Face Stability of Shield Tunnel in Sandy Cobble Stratum with Continuum-Based Discrete Element Method

土的动力性能是开展岩土构筑物动力稳定性评估、动力灾害预测、抗振（震）设计等工作的基础. 以岩土地震工程为应用背景，土的动力性能研究自20世纪60年代起得到快速发展并取得了大量的有益成果^[1]. 近年来，随着全世界范围内高速公路和高速铁路的迅猛发展，车辆行驶引起的地基长期振动作用正逐步得到关注. 与地震荷载不同，该类振动荷载具有作用时间长、荷载幅值相对较小的基本特点，因此，在该类荷载作用下工程基础一般不会出现瞬态的失稳破坏，只有在振动周次达到一定数量时，工程基础可能由于地基土体的累积应变效应而产生不均匀变形或强度弱化，进而影响上部工程的正常服役性能.

目前，长期振动荷载作用对岩土工程构筑物长期服役性能的影响已经得到共识. 调查表明，车辆行驶振动荷载是路基病害的重要诱因之一，路基的不均沉降、路面纵向裂缝、路面车辙以及翻浆冒泥等工程病害与长期的振动荷载作用不无关系. 由于现场的沉降监测不能将交通振动荷载引起的沉降与构筑物自重引起的沉降变形中区分出来，因此，只能通过侧面的对比分析证明车辆振动荷载的作用. Fujikawa等^[2-3]对日本Saga机场高速公路某断面不同位置进行了长期监测，监测结果表明，在通车约4年后，单行车道两侧的沉降量比车道中心沉降量高约0.05 m. Wichtmann^[4]在研究中报道了Heller对某一吊车柱下独立基础的沉降进行了连续6年的连续监测发现，不同柱下独立基础的沉降量显著不同. 凌建明等^[5]针对上海外环路进行通车后连续2年的长期监测发现，路面的沉降约为90～100 mm. 哈尔滨铁路局辖下的牙林线K74处年沉降量达860 mm，且曾发生过日沉降变形30 mm的记录，但是在周围的建筑地基却未发生这种灾害，因此，推断这种沉降与列车行驶荷载有关^[6]. 青藏铁路自开通以来，路基沉降变形、路堤裂缝等灾害频发，已经威胁到了行车安全，开通第一年，DK1136段多处监测断面年沉降量达到50 mm以上，最大到达93 mm^[7]. 对青藏铁路的调查发现，西大滩至尺曲谷地164座桥梁路桥过渡段均存在差异性沉降，达到了4～8 cm^[8]. G213线川汶公路建成通车后，在K95 + 300～K95 + 490段路基出现了明显的沉降变形，最大沉降量达80 cm，且路基变形局限于公路范围内，表明该沉降与车辆振动荷载有关^[9]. 金辰^[10]通过对内蒙古某公路进行路面开裂状况调查发现，行车道的路面开裂状况比超车道严重，而行车道的重载汽车和来往车辆更多. 湖南省耒宜和莲易高速公路路基病害较多，出现多处路基沉陷、车辙、翻浆冒泥及路面开裂，路基病害段的车流量大、通车时间长、重车比例高^[11]. 此类均直接或间接地反映了长期振动荷载作用对于岩土工程构筑物的显著影响. 因此，开展长期循环振动作用下土的动力学特性研究，发展长期循环振动荷载下土的本构模型体系是实现对岩土承载体长期动力稳定性评估，发展基于变形的地基与岩土构筑物设计方法的基础性工作，研究成果对于保证工程的长期动力安全稳定与服役性能具有重要的支撑作用.

1.   长期循环荷载的特点

岩土工程领域的循环荷载实际上是为了在室内试验中研究土的动力学行为所施加的一种简化的动力荷载形式. 长期循环荷载是为区别瞬态循环振动作用而提出的，一般具备2个特点：循环振动周次较多（一般以万次计），循环振动荷载幅值相对较低. 相关学者^[12-14]针对不同土类进行了大量不同循环三轴试验发现，土的累积应变随着振动次数的发展呈现出3类模式，如图1所示：1） A类，稳定型，在低幅的循环荷载作用下累积应变速率随着振动次数的增加逐渐减小并趋近于0；2） C类，破坏型，在高幅值循环荷载作用下，累积应变速率随着振动次数迅速增大，在较少的周次范围内即可达到应变限值；3） B类，临界型，位于稳定型与破坏型之间，在达到一定振动周次后，累积应变速率随着振动次数的发展基本不变. 长期循环荷载条件下土体的变形模式一般属于A类，相较于高幅值循环荷载下土体累积应变在有限的振次下发生迅速增大，低幅的循环荷载所形成的累积应变相对较小，但是在经历长期（大周次）的循环作用后，土体的累积应变可能超过工程正常运营的限值，进而影响工程的正常服役性能，路基在长期交通荷载下的动力沉降为该类灾害形式的典型代表.

图  1  循环荷载下土体累积应变发展模式分类^[12]

Figure  1.  Classification of soil cumulative strain development modes under cyclic loading^[12]

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基于室内单元试验开展长期循环荷载下土体动力学特性的研究尚需选取合理的循环荷载加载模式，与模拟地震荷载的加载模式不同，交通荷载等与上部结构及地基系统自重引起的初始应力场以单向压应力形式叠加后共同作用于地基系统中，此时以单向循环荷载的加载模式开展室内试验显然更加合理，但是对于一些特殊的工况，也会存在双向循环加载模式，但并不具备普遍性. 与饱和土的室内瞬态循环加载试验不同，大周次的室内循环加载试验模拟的是长期振动荷载行为，因此，试验过程中应设置排水条件.

2.   长期循环荷载下土的应变累积特性

2.1   应变累积强度研究进展

土是典型的弹塑性材料，如图2所示，在循环加载过程往往不能形成闭合的滞回圈，在动力卸载至初始应力状态时尚有不可恢复的变形，即为累积变形.

图  2  循环荷载下土体的累积应变

Figure  2.  Accumulative strain of soil under cyclic loading

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图2中：${\sigma _0}$为初始静偏应力，${\sigma _{\rm{d}}}$为循环应力幅值，${\varepsilon _{{\rm{acc}},N}}$为第N次循环时的累积变形. 在不排水条件下饱和土的孔隙水压也将不断积聚. 累积变形或累积孔压随振次的发展过程即为其累积特性.

事实上，无论瞬态的循环加载还是长期循环加载，土的累积行为均会发生，循环荷载作用下土的累积特性研究起始于岩土地震工程领域，如前文所述，在岩土地震工程的试验研究中，振动荷载幅值相对较大（相对于土的静强度），循环振动次数相对较少（从数次至100次左右），振动荷载以往返循环模式加载. 对于饱和土而言，在模拟地震荷载试验中为不排水条件，因此，在加载过程中土的体积应变保持不变，其累积特性主要关注孔隙水压力在动态加载过程中的变化过程，本文中不作介绍. 对于干砂或非饱和土而言，其累积特性主要指应变在动态加载过程中的演化行为. Silver等^[15-16]利用往返循环荷载幅值固定的循环单剪试验研究干砂的残余体应变，试验结果表明，干砂的体积残余变形随振动次数增加而增大，且砂的密度和往返循环振动次数一定时，体应变与竖向正应力无关，与往返剪应变幅值成正比. 针对干砂在多维振动条件下沉降特性，已有试验结果表明在多维振动条件下干砂的沉降量大于单向振动条件的沉降量^[17]. 当土体循环应变大于某一阈值时土体的颗粒结构破坏压密，进而引起土体的累积应变，而目前已通过试验确定了各种类型土的循环剪应变阈值的取值^[18-19]. Xu等^[20]利用循环三轴试验研究了不同含水量的非饱和低塑性黏土的残余体应变. 刘启旺等^[21]针对超深厚覆盖层中深埋细粒土开展模拟地震荷载的循环三轴试验，研究其残余变形随振动次数的发展规律，发现其地震残余变形主要受土密度、固结条件和围压力条件控制，尤其固结比的影响较大. 在前述模拟地震荷载作用下，土累积应变特性的试验中，荷载幅值一般较大，累积应变增长速率随着振次的增加而增大，按照已有的安定性理论分类^[12]，其累积应变发展模式为加速破坏型.

相对于模拟地震荷载作用，在长期低幅循环荷载（往复循环和往返循环）下各类土的累积应变特性研究更为深入与广泛. Gu等^[13,22]通过大量的试验研究表明，无论对于何种类型的土，在长期低幅循环加载下累积应变随着振动次数增加呈现出指数形式的增长. 陈方敏等^[23]通过循环三轴试验发现，累积轴向应变与循环振动次数的对数呈线性关系. 陈靖宇^[24]通过粗粒土的循环三轴试验发现，累积变形速率随着循环次数的增加而逐渐减少. Helm等^[25]针对中粗砂和细砂的试验结果中，发现累积应变的累积速率与循环振动次数的倒数1/N呈线性比例. Gotschol^[26]针对碎石土的循环三轴试验结果发现其具有相对于对数关系更快的累积速率. 上述试验结果的差异源自于不同的试验土材料及其相对于各自强度的应力水平.

此外，针对不同类型的岩土材料，国内外相关学者^[27-31]开展了一系列的应力控制或应变控制的循环三轴试验，研究应力或应变幅值对累积应变的影响规律，试验结果表明随着应力或应变幅值的增大，累积应变速率逐渐变大. Sawicki等^[30,32]对累积体应变与应力或应变幅值的影响进行了研究，得到了类似的变化规律. 针对应力或应变幅值的影响，部分研究者^[22,32-35]提出了CSR （循环应力）或DSR （重复应力与剪切强度的比值）的概念表达其影响，结果表明，相同振次条件下的累积应变速率随着CSR或DSR的增大而增大. 围压对土累积应变速率的影响同样得到研究者的关注^[35-36]，试验结果表明，随着围压的增加，累积应变速率逐渐减小. 在往返循环加载模式下的单剪试验或三轴试验中平均体应力经常被选择作为控制指标，在单向循环加载模式下初始体应力常被选作控制指标，两者为表达初始应力的平均应力的不同名称，其力学意义是一致的，在初始应力为各向同性条件下，两者均等于围压. Silver等^[15,18]通过试验发现平均体应力对累积应变影响并不明显. 然而， Wichtmann等^[32]针对砂土的试验结果发现了不同的规律，累积应变速率随着平均体应力的增大而显著的减小. 表达初始应力水平的另一指标——初始偏应力对累积应变特性的影响同样不可忽略. Chen等^[37-38]发现，随着初始静态偏应力的增大，相同振动次数条件下的累积应变越大. 在另外一些文献中，初始偏应力的影响通常由应力比或平均应力比（初始偏应力与初始体应力的比值）来表达，结果表明，在相同的初始体应力和循环应力幅值条件下，应力比越大，相同振次条件下累积应变越大^[32]. 对于影响岩土材料力学物理力学性能的各类因素，如含水量、孔隙比、温度以及土类型等对其长期低幅循环荷载下的累积应变大小的影响同样得到研究者的重视，并得到各自的影响规律^[15-16,39]. 在进一步的研究中，Gu等^[13]首次引入静剪切强度作为综合指标反映粉质黏土的物理力学特性对其累积应变的影响. 除上述影响因素外，重复或循环荷载的加载频率同样对各类岩土材料的累积应变大小具有影响，但并未得到统一的结论^[14,40-41].

2.2   应变累积流动方向研究进展

前述研究中主要在一维条件下开展，而且累积轴向应变通常被选作研究指标. 当发展至三轴条件下时，另外一个重要的指标（累积方向，类似于经典弹塑性理论中的塑性流动方向）也需要通过试验进行研究. 累积方向通常通过累积剪应变与累积体应变的比值表达，目前针对该研究的资料并不丰富：贾鹏飞等^[42-43]通过循环三轴试验研究了砂土的累积方向，结果表明累积方向同初始（静态）应力状态密切相关，砂土的初始密度、循环应力幅值以及循环振动次数等对其影响可以忽略；Wichtmann等^[44-45]基于循环三轴试验针对多种类型的砂土研究了各类因素对累积方向的影响，试验结果表明，累积方向只与初始（平均）应力比相关，而与应力幅值、围压、孔隙比和加载频率无关. 随着振动次数的增加，累积体应变占据的比例稍有增加，可基本忽略不计. Pang等^[46]针对黏土材料开展动三轴试验发现，黏土的累积流动方向在循环加载过程中并非保持不变，随着振动次数的增加，累积体应变增加.

2.3   研究进展小结与讨论

土体的累积变形特性（应变累积强度与应变累积方向）受到多方面影响，本文对影响因素及当前室内试验中所选取的考察指标进行了总结分类，如表1所示.

表  1  影响因素分类与表征指标

Table  1.  Classification and characterization of influence factors

类别	考察指标
初始应力状态	主应力空间	围压${\sigma _3}$、轴向应力${\sigma _1}$、固结应力比$k = {{{\sigma _1}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\sigma _1}} {{\sigma _3}}}} \right. } {{\sigma _3}}}$
	$p {\text{-}} q$空间	初始平均主应力${p_0}$、初始剪应力${q_0}$、初始应力比${\eta _0} = {{{q_0}} / {{p_0}}}$
循环应力特征	加载频率、循环应力波形、循环应力幅值、循环应力的偏振、主应力轴旋转等
土的物理特征	土的类型与级配特征，土的颗粒骨架的组构形式，初始孔隙比（相对密实度、压实度），含水量（饱和度），温度（冻结与否）

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针对应变累积流动方向的试验研究相较于应变累积强度的研究还不充分，相关的研究结论尚未达成共识，其原因主要在于针对非饱和状态土体的动态体积应变精准量测技术尚不成熟，较多的试验结果中并未得到累积体应变的有效测试结果，今后的研究中需要加强，特别是针对初始应力状态和循环荷载特征对于应变累积流动方向的影响需要进一步得到关注.

3.   长期循环荷载下土的动态模量演化规律

3.1   动剪切模量演化规律研究进展

基于等效线性化本构模型的应用模式，动剪模量成为目前应用最为广泛的动力学性能指标之一，在该应用模式下动剪模量是以土体动剪应力-动应变曲线的峰值割线模量形式表达土的动力特性. 目前，土动力学学者就动剪模量与动剪应变幅值之间的相关性已经取得共识，20世纪70年代以来，国内外学者^[47-53]针对砂土、黏土、碎石砂土、软土等各类型土开展相关试验研究发现：无论是何种类型土在剪应变幅值小于其各自的应变阈值时，动剪模量变化不大；大于该应变幅值时，动剪模量随着应变幅值增大而减小.

在前述研究中，循环三轴试验和共振柱试验是最为常规的手段，同时，假设动剪模量在随着振动次数是不变的，并取其平均值或最终稳定值作为试验结果进行讨论. 随着试验测量技术的进步和相关研究的深入，部分学者^[54-57]发现动剪模量随着振动次数的变化是不可忽略的，试验结果表明，动剪模量随着预加载次数的增加而增大，同时还发现当预加载循环应变幅值大于10⁻⁴时，动剪模量随预加载振动次数的变化较为显著，而在循环应变幅值小于10⁻³时，动剪模量基本不变. 尚守平等^[58]利用分级循环加载试验研究了应变累积对黏土动剪模量的影响，认为先期较小幅值荷载的应变累积作用对后继较大幅值荷载下测得的动剪切模量影响不大，进而论证了分级循环加载试验的应用基础. 张炜等^[59-60]对黏土进行排水条件下的循环单剪试验，试验结果表明，随着循环加载过程中累积体应变的增加，动剪模量不断强化.

对于饱和或接近于饱和的砂土和黏土，在不排水条件下开展循环三轴试验，动剪切模量呈现出与前述试验结果相反的变化规律，可通过刚度衰减比的概念来描述动态模量随着循环荷载振动次数的增加而衰减的变化规律. Soltani-Jigheh等^[61]针对饱和的黏土和颗粒材料的混合土进行了不排水条件下的应变控制式循环三轴试验，试验结果表明，随着颗粒材料含量的增加，刚度衰减比和归一化后的孔压增量均会增大. Zhou等^[62]利用带有弯曲元模块的三轴循环试验装置研究了模拟地震作用的不排水条件下的往返循环荷载历史对饱和砂土的小应变动剪切模量的影响，指出在确定土层地震反应分析中由地震荷载作用历史引起的有效应力衰减和土颗粒结构的重分布对土层弹性参数的影响是不可忽略的. Lin等^[63]针对饱和黏土进行了不排水条件下的动三轴试验，动态剪切模量随着剪切应变的增加而减小，提出并验证了相应的计算模型. Vucetic^[64]在总结分析大量试验资料的基础上得到以下结论：1） 在循环剪应变幅值大于其阈值时，土的动力学特性在循环加载过程中会产生显著的变化，剪应变阈值的大小与土的类型和初始物理状态有关；2） 在不排水条件下，饱和或接近于饱和的土在循环荷载作用下超孔隙水压力随着振动次数的增加而累积，因此相应的动剪切模量逐渐减小；3） 对于排水条件下的饱和土、非饱和土或干砂的刚度随着振动次数的增加而增加源自循环荷载的压密作用；4） 在剪应变幅值小于其阈值的循环荷载作用下，如果振动次数非常大，干砂或非饱和土的压密现象或不排水条件下饱和土的超孔压累积现象同样较为显著. 柏立懂^[65]利用共振柱试验研究了先期循环振动荷载历史对干砂动剪切模量的影响，并发现了与前期研究不同的结论，随着先期循环振动次数的增加，动剪切模量先减小后增加，认为干砂中动态模量的变化是土粒磨损作用、结构密实化以及颗粒轴向定向或颗粒配位数定向化共同作用的结果，磨损作用与结构密实化使模量增大，而颗粒轴向定向或颗粒配位数定向化则使其减小.

针对Vucetic^[64]所提出的最后一条结论，在一些特殊的土动力学问题中，长期低幅振动荷载作用下的土动力学性能开始得到重视. Wichtmann等^[66-67]分别利用共振柱试验仪、空心扭转试验仪和带有弯曲元模块的循环三轴试验仪器研究了干砂在长期低幅扭转循环荷载历史和轴向循环荷载历史对其小应变刚度的影响，试验结果表明，扭转循环荷载历史对小应变刚度稍有影响，在10万次轴向循环加载过程中小应变刚度变化并不显著. Karg等^[68]同样利用带有弯曲元的循环三轴试验设备进行级配良好的饱和砂土材料在排水条件下的长期低幅往返循环荷载三轴试验，试验结果表明在振动次数达到10万次过程中杨氏模量基本保持不变. 在国内，黄茂松等^[69]利用带有弯曲元的循环三轴仪开展长期往复循环荷载作用下近海饱和软黏土的不排水条件下试验研究，在试验过程中通过弯曲元测试土的剪切波速，进而得到其动剪切模量. 试验结果表明，动剪切模量随着往复循环荷载振动次数的增加衰减显著. Ling等^[70]针对接近于0 ℃的冻土开展长期往复循环荷载下的动剪切模量试验发现，随着振动次数的增加，冻土的动剪切模量逐渐增大. 试验测试元件和水平、排水条件、计算弹性参数方法以及岩土材料的不同使得试验的结果有所不同.

3.2   动回弹模量演化规律研究进展

在往复循环加载模式（也经常被称为重复荷载或单向循环荷载）下，动回弹模量经常被选作为弹性指标表征岩土材料的动力性能，特别是在评价交通荷载作用下路基土的动力学性能中得到了广泛的应用. 国内外相关学者开展了大量的室内试验，研究影响动回弹模量的各类因素，包括往复循环荷载幅值、围压、试验土的物理力学特性（包括含水量、密实度、温度、冻融循环等）等，得到了较多有益的阶段性成果^[71-82]. 此外，动回弹模量随循环荷载振动次数的变化规律也逐步得到部分研究者的重视. 针对不同的土材料及试验条件，动回弹模量随着振动次数的变化规律也有所不同,已有试验研究发现动回弹模量在循环加载过程中基本不变^[83]. 郭林等^[84]研究了不排水条件下温州结构性软黏土在长期单向循环荷载（往复循环荷载）作用下动回弹模量的变化特性，结果表明：在围压较低时，动回弹模量随振次的衰减并不明显，经少数几次循环后趋于稳定；在围压较高时，动回弹模量在最初的1万次循环内迅速衰减，之后趋于稳定. Lackenby等^[79,85-86]针对不同的颗粒类岩土材料在不排水条件下进行循环加载，均发现在循环加载过程中动回弹模量由于颗粒材料的不断压密而呈现出不断增长的趋势.

3.3   研究进展小结与讨论

综上可知，土的动态模量在长期循环荷载下的演化规律在不同的试验控制条件下出现不同的表现形式（增加、减小或保持不变），不同的试验土体类型、饱和状态、密实状态、循环荷载幅值以及试验时的排水条件等是造成实验结果差异的外在因素，外在因素通过影响或控制孔压积聚、颗粒间孔隙压密、土的结构性破损等物理状态对土体的动态模量产生影响，土的动态模量的演化是各个影响因素综合作用的结果. 如何选择可测或可获知的表征指标或状态变量，建立主要指标对动态模量影响的关系是构建统一的动态模量演化模型的关键.

4.   长期循环荷载下土的本构模型

4.1   经验型一维本构模型

迄今为止，相关学者^[87-90]基于运动硬化特性构建了多种动力弹塑性本构模型，包括套叠屈服面模型、边界面模型等以模拟砂土或黏土在循环荷载下的动力变形特性. 该类增量型的动力弹塑性模型可以模拟动应力-应变滞回曲线的细节，计算过程中每一循环均需要上百个增量步. 因此，动力弹塑性本构模型主要应用于地震动荷载下的土工构筑物振动反应的数值模拟. 对于循环振动次数数以万计的长期低幅循环加载模式，应用增量型动力弹塑性本构模型求解需要大量的计算资源，同时模型本身的系统误差也会随着振动次数的增加而不断累积有可能使得计算结果失真. 因此，针对长期循环荷载作用下特殊的土动力学问题需要寻求一种计算效率与模拟能力平衡较好的模拟方法.

对于交通荷载等长期循环荷载，其作用于地基土体中循环应力幅值一般处于“低幅”的范围，工程技术人员不关心每一循环荷载下的滞回细节，其所关注的是在经历长期循环振动作用后地基土的累积变形是否影响工程的正常服役性能. 鉴于此，在模拟长期循环荷载下实际工程的变形行为时可以将长期循环加载过程看作循环荷载应力幅值不变的长期“拟静力”作用过程，循环加载引起的土的累积变形可以看作由“拟静力”长期作用而引起的土的“蠕变”变形，因此，长期循环荷载下土的本构模型可以简化为基于长期循环三轴试验结果建立的累积应变与循环振动次数之间经验公式. 鉴于其与长期静荷载下的蠕变本构模型形式上的相似性，部分学者也将其称之为“动蠕变”本构模型，而两者的不同之处在于静力蠕变本构模型是描述土随着荷载作用时间的累积应变的发展过程，长期循环荷载下的土本构模型则是描述累积应变随振动次数的发展过程，两者均是基于试验现象而提出的经验方程.

基于大量的长期循环三轴试验结果，目前已建立了形式各异的累积应变经验模型^[91]. 幂方程形式的经验公式可模拟土的累积轴向应变$\varepsilon _{\rm{p}}$与循环荷载振动次数N的关系，如式（1）所示.

式中：$a$和$b$均为材料参数，其取值与影响土体累积应变水平的各类因素相关.

对数形式的经验式可描述累积轴向应变对振动次数的演化关系，如式（2）所示.

双对数形式的公式更加符合累积应变随振动次数的发展模式，如式（3）.

式（1）～（3）均规定了累积轴向应变与振次之间关系曲线的形状特征，如果推广至实际工程的应变预测中，需要开展大量的试验对该工程所涉及的各类工况进行参数标定. 此外，在文献[92-94]中同样提出了其他结构形式的经验模型，但是并未得到广泛的应用.

因此，研究者认为，在经验公式中应当引入对累积应变大小具有显著影响因素相关的显式表达式，Li等^[95]将循环偏应力幅值${q_{\text{d}}}$与静剪切强度${q_{\text{f}}}$的比值引入幂方程形式的经验公式，以此考虑循环应力水平和土物理状态特性对累积应变的影响，如式（4）.

式中：$m$为控制土体强度破坏线的参数.

Ullditz^[96]提出了类似的累积轴向应变的经验预估公式（式（5）），综合考虑了初始的轴向应力与循环应力幅值的影响.

式中：${\sigma _{{\rm{atm}}}}$为标准大气压力值，${\sigma _{\textit{z}}}$为垂向有效应力.

Puppala等^[97]认为，Ullditz提出的累积轴向应变的经验预估公式（式（3））中未考虑侧向围压水平对累积轴向应变的影响，提出如式（6）所示的经验公式.

式中：${\sigma _{{\rm{oct}}}}$为八面体体应力，${\tau _{{\rm{oct}}}}$为八面体剪应力.

Chai等^[98]进一步考虑初始静态偏应力和静剪切强度的影响，构建了一种新的幂方程形式的经验方程计算软黏土在重复荷载下的累积轴向应变，如式（7）；在国内，黄茂松等^[99]提出了考虑类似影响因素的累积轴向应变经验公式.

式中：${q_{\rm{s}}}$为初始的静态偏应力值

Gidel^[100]基于大量动三轴试验提出了更为复杂的预测公式，更加全面地考虑各类影响因素的影响（式（8））.

式中：$\varepsilon _{0{\rm{p}}}$、$B$和$n$为材料常数；${p_{\rm{a}}}$为标准大气压力值；${N_0}$为参考振动次数；${p_{\max }}$为最大平均主应力；${q_{\max }}$为最大剪应力；$s$和$m$都为控制土体强度破坏线的参数；${L_{\max }} = \sqrt {p_{\max }^2 + q_{\max }^2} $，即土体在循环荷载下所能达到的最大应力水平与零点之间的距离.

图3为土体p-q （平均主应力-剪应力）空间中的应力状态，由图3可知：土体在$p {\text{-}} q$ 空间中静力破坏线表达式为$q = s + mp$，式（8）综合考虑土体应力水平和土的抗剪强度对累积应变的影响，但利用循环加载过程中应力峰值状态来综合表达初始静力水平和循环应力水平的影响，忽略了静动应力占比对累积变形同样具有显著影响的基本事实.

图  3  土体p-q空间中的应力状态

Figure  3.  Stress state of soil in p-q plane

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Gotschol^[26]提出了利用首次循环振动后的累积应变作为参数对大周次循环荷载下累积轴向应变进行预测的幂方程，如式（9）.

式中：$\varepsilon _{{\text{p}}1}^{}$为经历第一次振动次数后土体的累积轴向应变，α为材料参数.

类似的，其他学者^[35,100-102]提出了利用参考振动次数下（N=1, 100, 1000次）的累积轴向应变作为参数来预测长期循环振次下的累积变形. 该类公式中参考振次下的累积轴向应变虽然可以综合考虑2.3节中所列的3类影响因素的影响，但对于每一类前述控制条件不同的土样均需要开展试验获取其取值，或者需要系统开展不同影响因素下的试验，构建与主要因素相关的参考振次下的经验预测公式. 事实上，该类公式只是将各类因素的影响隐含于参考振次下的累积应变中，式（1）～（3）类似，其推广至工程应用时需要进行大量参数标定工作.

综合前述分析，笔者认为土体在长期循环荷载下累积应变经验计算公式可由如式（10）所示的一般形式所表达.

式中：$f\left( N \right)$为表达累积轴向应变随振动次数发展的函数，可根据试验结果选择幂函数形式、对数函数形式或其他适合的结构形式；$g\left( {a_{\text{0}},b_{\text{0}},c_{\text{0}},\cdots} \right)$为各类影响因素（如$a_{\text{0}},b_{\text{0}},c_{\text{0}},\cdots$）对累积应变大小影响规律的函数.

基于式（10）所示的构造形式，也有学者针对不同的岩土材料开展了相关研究：Pasten等^[103]针对砂类材料通过系统的室内试验构建了累积剪应变的经验公式，其中与振次相关的$f\left( N \right)$选用了对数函数形式，$g\left( {a_{\text{0}},b_{\text{0}},c_{\text{0}},\cdots } \right)$以多项式相乘的形式建立了循环应变幅值、初始体应力、初始偏正应力比、初始孔隙比、循环偏振变化对累积剪应变大小的影响关系. Li等^[102]针对冻土材料也构建了类似的累积剪应变经验公式. 需要说明的是，虽然式（10）考虑了较多影响因素，可提高公式的预测精度与适用能力，但式中所包含的计算参数众多，实际应用时所需的参数标定试验工作量较大. 鉴于此，笔者认为在构建$g\left( {a_{\text{0}},b_{\text{0}},c_{\text{0}},\cdots} \right)$的具体函数形式时，一方面需要遴选对累积应变具有显著影响的主要因素，在一定精度误差范围内忽略次要因素的影响，另一方面需要深刻理解各类影响因素之间的内在关系，选用统一的表征指标利用尽量简单的形式进行表达：在式（4）和式（7）中选用了静剪切强度指标综合反映土的物理状态的影响；在式（8）中使用当前土的应力状态与静力破坏状态之间的空间关系相关的表达式综合反映土体的应力水平与土体物理状态对累积应变的影响，均是较为先进合理的处理方法，在今后的研究中应当予以推广.

4.2   经验型三维本构模型

前述研究中所建立的经验公式（式（1）～（10））主要针对累积轴向应变，即一维动力蠕变本构模型，只能应用于一维的边值问题中，目前应用较多的即为模拟长期交通荷载下路基的动力沉降问题. 事实上，在长期循环荷载下土的变形是三维问题，因此，进行精细化的三维累积变形的模拟计算在一些特殊的边值问题中也很有必要. 鉴于目前在岩土工程领域“真三轴”试验结果并不多见，长期循环荷载下土的三维本构模拟同普通三维弹塑性本构模型构建程序类似：首先，基于普通循环三轴试验结果建立累积应变体积分量和剪切分量的计算流程；随后，进行三维扩展. 目前，构建累积应变剪切分量和体积分量随振动次数的经验公式主要通过以下2类模式实现：1） 基于试验结果分别建立剪切（或轴向）累积应变和体积累积应变随振动次数的经验公式，两者在形式上是“解耦”的，如Pasten等^[103]、Qian等^[104]和Wu等^[105]提出的累积偏应变和累积体应变的经验公式；2） 建立累积应变的剪切分量与体积分量的耦合关系，之后基于试验结果建立累积剪切应变或体积应变两者之间的其中一个分量的经验公式，另外一个分量由两者的耦合关系计算得到，此时的“耦合关系”即类似于经典弹塑性本构模型中的流动法则. 基于砂土的循环三轴试验，Wichtmann等^[44-45]发现，在长期低幅循环荷载下的累积流动方向与振动次数无关，符合由初始应力集成的修正剑桥模型形式的流动法则. Li等^[102]则通过试验发现，冻土材料的累积方向比（累积剪应变增量与累积体应变增量的比值）随着振动次数的增加是变化的，进而建立了与累积塑性历史相关的累积流动法则. François等^[94]和Karg等^[68]认为，颗粒类土材料在长期低幅循环荷载下的累积应变是由2类机制引起的：一是循环剪应力下颗粒间的剪切滑移作用；二是循环体应力下的体积压密作用. 基于试验结果提出了累积体应变和累积剪应变的经验公式，其中，累积体应变由体积压密作用和剪切滑移的剪胀作用共同构成.

通过分析可知，无论一维还是三维的累积本构模型中土单元的应力状态（包括初始应力和循环应力）或应变状态需要作为已知量输入经验公式. 因此完成模拟长期循环振动下的边值问题的模拟计算一般需要以下3个步骤：

步骤1　 自重应力场计算，通过该步骤可以计算得到每一单元的初始应力状态.

步骤2　 单个或几个循环振次的动力加载过程，通过该步骤可以得到每个计算单元的动应力或动应变峰值分布.

步骤3　 长期循环荷载下累积应变的计算过程，此时将前两个步骤得到的初始应力、动应力或动应变的峰值作为已知量，输入至累积应变的经验计算模型中，即可得到每一单元经历$N$次循环振动后的累积变形.

4.3   “振次增量”型弹塑性本构模型

4.2节中的模拟方法即为目前常用的“力-经验公式法”，该方法仅实现了计算域内力场与累积变形场的顺序耦合，即认为土的静动力状态在变形累积的过程中是保持不变的. 目前广泛应用的基于分层总和法的路基动力累积沉降预测实际上即为简化的一维“力-经验公式法”. 然而，“力-经验公式法”最终得到的是土单元的累积应变（对应经典弹塑性模型中的塑性应变）. 在长期循环荷载作用下土的最大总应变中还包含有弹性部分，为了得到总的峰值变形及峰值应力分布，相关学者将前述所构建的累积应变的经验公式对循环振动次数“求导”处理，得到关于振次的累积应变率的表达式，同时结合胡克定律，建立了“振次增量”型弹塑性本构模型. 该类模型与传统的弹塑性本构模型结构类似，适用于在有限元框架下进行集成，因此，应用于边值问题中时比“力-经验公式法”也更为便捷. 目前，基于此思路较为典型的工作是Niemunis 等^[101]、François等^[94]和Karg等^[68]分别提出的三维“振次增量”型弹塑性本构模型. 由图2可知，累积应变与回弹应变共同组成了土在长期低幅循环荷载下的总应变，因此，在“振次增量”型弹塑性本构模型中的弹性参数选用回弹模量更加合适.

笔者认为，回弹参数的正确选取是关系经历长期循环荷载后弹性变形计算的关键，因此，也需要建立一个合理的回弹参数计算模型作为“振次增量”型弹塑性本构模型应用基础. 基于大量的轴向应力应变关系计算得到的回弹模量经验模型被相关研究者提出，在路基动力性能的评价中得到广泛的应用. 大量的回弹模量的经验模型中融合了与土力学状态（静态和动态）和物理力学性质相关的各类因素的影响^[35,106-108]. 在回弹模量的经验公式中往往通过假定土的泊松比在长期低幅循环加载中保持不变进行三维扩展. 然而，相关的试验结果^[107,109]表明，泊松比在加载过程中并不是保持不变的，继而关于泊松比的经验计算模型在部分学者的研究中得到报道^[107,110]. 此外，回弹模量和泊松比可以由另外两个回弹参数代替，即为动剪切回弹模量和动体积回弹模量. Gao等^[111]和Liu等^[108]分别构建了各自动剪切回弹模量和动体积回弹模量的经验公式，表达了土动静应力状态对其的影响. 然而，各回弹参数在长期低幅循环加载过程中的变化特性并未关注： 在Niemunis 等^[68,94,101]所提出的“振次增量”型弹塑性本构模型中，也只考虑了弹性参数的压力相关性；Li等^[102]通过冻土材料的长期循环三轴试验发现回弹模量随振次的变化不可忽略，基于试验数据提出了冻土回弹模量与累积应变历史和压力水平均相关的经验公式，并将其集成于冻土的“振次增量”型弹塑性本构模型中.

综上可知：基于经验方程联合弹塑性力学基本框架构建“振次增量”型弹塑性本构模型是当前该方向的主流发展方向；全应变空间下土的累积应变经验预估公式是实现精准模拟的关键步骤，对应变累积具有显著影响的各类因素应当在该预估公式中得以表达. 目前，针对长期循环荷载下土的本构模型，大量相关学者做出了卓有成效的工作，然而由于该问题的复杂性，相关的研究还需进一步加强，例如：实际工程问题中的长期循环振动幅值往往是变化的，即使外部施加的循环荷载幅值不变，也会由于累积变形和土体物理力学状态的变化使得作用于同一土单元的循环应力在不同阶段发生变化，而土单元的应力应变水平又是影响土体累积变形的关键因素. 在当前的研究中，输入累积应变经验公式的应力或应变值在加载过程中并未进行调整，显然会影响最终累积变形的预估精度. 同时，当前的累积应变经验模型均是基于循环荷载幅值不变的室内试验结果构建的，因此其在变幅值循环加载条件下的适用性也需要进一步考察. 鉴于此，笔者认为构建长期变幅值循环荷载条件下的土的弹塑性本构模型，并发展适用于其的数值算法将是该研究领域的一项重要工作.

5.   结束语

长期循环荷载下土的动力学特性及本构模拟是当前土动力学领域的研究热点之一，经过各国学者和工业界的不懈努力，相关研究已经取得较为丰富的成果. 本文通过总结长期循环荷载下土体的累积变形特性、动态模量的演化特征以及本构模拟的研究进展，得到相关认识：

1） 长期循环荷载下累积应变发展模式与循环荷载幅值密切相关，除此之外，还有多种因素控制累积应变的发展模式和大小. 整体而言影响因素可以分为3类：① 土的初始应力状态水平，在各向同性初始应力条件下，一般选择围压作为其研究指标，在各向异性的三轴应力条件下，初始体应力和初始应力比通常被选作研究指标，在实际的三维应力条件下还需包括初始中主应力的影响；② 循环应力的特性，包括循环荷载模式（单向循环加载或双向循环加载）、循环荷载波形、循环荷载幅值、循环荷载振动次数以及加载频率、主应力轴旋转等；③ 土的初始物理力学状态，包括土的含水量、孔隙比、温度、颗粒组构和土体类型和级配特征等，一般可选取剪切强度等指标综合描述其影响. 长期循环荷载作用下土体应变累积方向的研究成果并不丰富，开发精准的体应变测量技术，开展累积流动方向的变化规律与影响因素分析研究是目前研究者应当关注的重点.

2） 土的动态模量在长期循环荷载下的演化规律在不同的试验控制条件下出现不同的表现形式（增加、减小或保持不变），孔压积聚、颗粒间孔隙压密、土的结构性的破损等物理状态是影响土的动态模量发生变化的内在原因，土的动态模量的演化是各个影响因素综合作用的结果. 因此，在今后的研究中应当重点关注如何选择可测或可获知的表征指标或状态变量，建立主要指标对动态模量影响的关系是构建统一的动态模量演化模型.

3） 增量型动力弹塑性本构模型并不适用于长期循环加载工况，在“力-经验公式”框架下建立长期循环加载下累积变形的经验模型是当前主流方法，但是该方法不符合当前数值计算的框架结构，因此，在经典弹塑性力学框架下三维空间内的累积应变和动态模量表达式，建立适用于数值计算的“振次增量”型弹塑性本构模型，是当前研究的主流发展方向. 且现存的长期循环加载下累积变形经验模型在面向工程应用时均存在参数过多且确定困难的缺点，因此，笔者建议经验公式的建立应当在考虑影响因素带来的参数数量和预测精度之间寻求平衡，构建时应当突出主要影响因素，忽略次要因素的影响. 深刻理解各类影响因素之间的内在关系，选用统一的表征指标并利用尽量简单的形式进行表达. 同时需要指出的是，当前的本构模型在应用于工程实践中的变幅值、变频率等复杂加载工况时尚存在不足，这也是今后该研究中应当努力突破的关键问题之一.