浅埋盾构穿越渗透性地层时极限支护压力分析

曹利强; 张顶立; 李新宇; 李奥; 孙振宇

摘要: 基于半承压水模型综合考虑土压盾构穿越渗透性地层时覆土层及下卧层的渗透性，推导了盾构穿越层中沿掘进方向的水头分布的解析解，将其与现有的二维渗流场的解析解结合扩展为相应的三维近似解，同时采用数值仿真得到稳态渗流条件下浅埋渗透性地层的主、被动破坏模式，建立了相应的柱体+弧形转角体模型，将前述三维渗流场引入该模型，通过力矩平衡法得到了相应两种极限状态下开挖面支护压力的计算公式，与既有结果进行对比，此计算方法更接近数值解. 研究结果表明：施工对开挖面前方渗流场的扰动基本局限在三倍洞径以内，主、被动极限支护压力的值随水头差的增大均线性增加，盾构直径和水头差是影响主动极限支护压力的主要因素，拱顶埋深与盾构直径是影响被动极限支护压力的主要因素；实际施工过程中，支护压力值应尽可能接近水土分算下的土体原始地层侧压力值，并在其附近（最好在其上方）小幅度波动，波动范围应以变形控制标准为依据.

关键词:

Abstract: Based on the semi-contained water model, the permeability of shield-crossing soil and overburden layers when the shield passed through the permeable soil was comprehensively analysed. The analytical solution of the head distribution along the tunnelling direction in the shield-crossing soil layer was derived, and the analytical solution of the two-dimensional seepage field was extended to the corresponding three-dimensional approximate solution. The active and passive failure modes of shallow-buried soil under steady-state seepage were determined using numerical modelling, and a corresponding cylinder-arc-corner-shaped model was established. Subsequently, the formulas of the two-limit support pressures at the tunnel face were obtained by introducing the above-mentioned three-dimensional seepage solution, and the newly calculated results were compared with those of the existing model. The results derived from the developed model were closer to the numerical solution. In addition, disturbance of the seepage field in front of the tunnel face was limited to three times the tunnel diameter and the values of the active and passive limit support pressure increased linearly with increasing head difference. The shield diameter and head difference were found to be the two main factors affecting the active limit pressure. The overburden thickness and shield diameter were the two major factors affecting the passive limit pressure. During tunnelling, the support pressure should be as close as possible to the in-situ transverse earth pressure using the approach that separately calculated the values for soil and water and should slightly fluctuate in the vicinity (preferably above it). The fluctuation range should be determined according to the deformation control standard.

Key words:

随着我国经济的高速发展，越江跨海隧道将大量建设，其中盾构法是常用的隧道施工方法^[1]. 盾构掘进时开挖面的稳定性控制是保证施工安全的关键，而极限支护压力的合理确定则是维持开挖面稳定的核心问题，支护压力过小将导致开挖面土体坍塌，支护压力过大则将导致开挖面土体隆起^[2]. 当地下水存在时，开挖面的稳定控制变得更加困难，尤其是当盾构穿越渗透性富水地层时，开挖对渗流场的扰动产生的渗透力将对开挖面的稳定产生极为不利的影响^[3].

目前求解渗流作用下开挖面极限支护压力的解析方法主要分为极限平衡法和极限分析法两种，且研究主要集中于求解主动极限支护压力. 在极限平衡方面，Anagnostou等^[3]采用数值方法得到渗透力并将其引入楔形体模型，根据量纲分析原理得到极限支护压力；李鹏飞等^[4]采用楔形体模型及条分模型计算开挖面的极限支护压力，计算时假设水压力的分布形式，进而求解主动极限支护压力；Perazzelli等^[5]首先采用数值方法得到开挖面附近的水头分布，然后通过拟合技术得到水头分布的计算公式，最后将以上近似解引入到改进的楔形体模型中求解极限支护压力. 在极限分析方面，Lee等^[6]将数值分析得到的渗透力解引入到Leca等^[7]提出的上限分析模型中求解极限支护压力；王浩然等^[8]采用数值模拟方法首先建立了考虑渗流影响下的开挖面对数螺旋线失稳模型，并假设破坏区域内的渗透力均匀分布，利用上限法求解得到极限支护压力. 根据解析解的复杂及应用程度来说，极限平衡法更方便在工程中使用^[9]. 从以上研究现状可知，尚有三个关键问题需要解决：一是前述研究将破坏区域处理为楔形体，这与实际情况存在一定差别；二是破坏区域内的渗透力的求解主要通过数值模拟方法、数值模拟与拟合技术相结合的方法来实现，这均给渗透力的求解及应用带来困难；三是缺乏渗流作用下主、被动极限支护压力求解的统一性及完备性.

针对以上三个问题，本文一方面试图直接从解析角度出发构建破坏区域内的三维渗流场，进而求得渗透力的显式解；另一方面从数值仿真角度出发建立更符合实际破坏情况的柱体+弧形转角体模型，以代替经典的楔形体模型，进而将上述渗透力解析解引入到该模型中采用力矩平衡法求解开挖面的主、被动极限支护压力，最后将计算结果与既有成果进行对比，证明本文方法的合理性和优越性，同时给出盾构施工时开挖面支护压力选择的安全范围，并在实际工程案例中得到验证.

1. 稳态渗流条件下渗流场分析

土压平衡盾构在富水地层中施工时，由于施工扰动产生水头差，进而导致地下水向隧道内部渗流. 一般而言，由于衬砌管片与盾尾同步注浆体的堵水作用，地下水较难从洞壁渗流进入隧道中，开挖面几乎成为地下水渗流进入隧道的唯一通道. 研究表面，当盾构机穿越渗透性地层时，地下水在每一环掘进阶段内即基本达到稳态渗流状态，因此可以认为在此阶段内，渗流场是稳定的，孔隙水压力仅是空间位置的函数，同时根据已有研究发现^[10]，覆土层中无明显的水平水力梯度，而穿越层中无明显的竖向水力梯度，基于此本部分将通过引入半承压水模型并考虑下卧层的渗透性推导出沿盾构掘进方向的水头分布函数并结合现有二维渗流场的解析解^[11]扩展为相应的三维解，为下一步求解极限支护压力奠定基础.

1.1 三维渗流场求解

现有渗流场^[11]的二维解如式（1）所示，其中 $H\left( {x,z} \right)$ 、 ${h_{\rm{w}}}$ 及 ${H_{\rm{w}}}$ 分别表示任意一点的总水头、地表面水头及隧道洞壁水头， $r$ 为隧道半径， $h$ 为隧道中心埋深， $R$ 为平面内任意一点到隧道中心的距离.

$\begin{split} &X(x,z) = {h_{\rm{w}}} + \frac{{{H_{\rm{w}}} - {h_{\rm{w}}}}}{{2\ln \left[ {\displaystyle\frac{h}{r} - \sqrt {{{\left( {\displaystyle\frac{h}{r}} \right)}^2} - 1} } \right]}}\\ &\quad \left( {\ln \frac{{{x^2} + {{\left( {z + \sqrt {{h^2} - {r^2}} } \right)}^2}}}{{{x^2} + {{\left( {z - \sqrt {{h^2} - {r^2}} } \right)}^2}}}} \right), \end{split}$

(1)

文献[10]假设在覆土层中仅发生竖向渗流，下卧层不透水，穿越层中仅发生沿水平并指向隧道开挖面方向的渗流，同时认为在开挖面处为盾构土仓水头，在开挖面前方无穷远处为自然水头，推导出穿越层中沿开挖方向的水头分布函数. 但根据渗流场数值模拟发现，下卧层中存在一定的水力梯度，并在隧道底部以下 $D$ 处，基本恢复到自然水头. 利用此结果，并采用上述模型，同时考虑覆土层及下卧层的竖向渗流作用，考虑覆土层及下卧层的分层性，推导穿越层中水头的分布函数. 根据流体的连续性方程，并考虑在 $x = 0$ 处不存在沿 $x$ 向的渗流，可得

$kD\frac{{{\partial ^2}X(y)}}{{\partial {y^2}}} - \frac{{X(y) - {H_1}}}{{\displaystyle\sum\limits_i^n {\frac{{{d_i}}}{{{k_i}}}} }} - \frac{{X(y) - {H_2}}}{{\displaystyle\sum\limits_j^m {\frac{{{d_j}}}{{{k_j}}}} }} = 0$

(2)

式中：

$\begin{split} {H_1} = {H_2} = {h_{\rm{w}}} \\ \sum\limits_i^n {{d_i}} = C \\ \sum\limits_j^m {{d_j}} = D \end{split}$

(3)

边界条件为：

$\left\{ \begin{aligned} & y = 0,X(0) = {H_{\rm{w}}} \\ & y = + \infty ,X( + \infty ) = {h_{\rm{w}}}. \end{aligned} \right.$

(4)

解得

$X(y) = {h_{\rm{w}}} + \left( {{H_{\rm{w}}} - {h_{\rm{w}}}} \right){{\rm e}^{ - y\sqrt \lambda }},$

(5)

式中：

$\lambda = \frac{1}{{kD\displaystyle\sum\limits_i^n {\frac{{{d_i}}}{{{k_i}}}} }} + \frac{1}{{kD\displaystyle\sum\limits_j^m {\frac{{{d_j}}}{{{k_j}}}} }}，$

(6)

当 $k = {k_i} = {k_j}$ 时，则：

$\lambda = \frac{{C + D}}{{C{D^2}}}$

(7)

其中： $D$ 为隧道直径、 $C$ 为隧道拱顶覆土厚度、 ${d_i}$ 为覆土层第 $i$ 层厚度、 ${d_j}$ 为下卧层第 $j$ 层厚度、 $k$ 为穿越层土体渗透系数、 ${k_i}$ 为覆土层第 $i$ 层土体渗透系数、 ${k_j}$ 为下卧层第 $j$ 层土体渗透系数.

基于以上假设及研究，可以把隧道开挖后的三维渗流模型假设为沿隧道开挖方向的洞壁不等势水头形成的孔压场，结合式（1）及（5）得到近似的三维渗流场，如式（8）所示. 当 $R \geqslant r$ ，即位于非穿越层时，采用式（8）计算总水头的分布，当 $R < r$ ，即位于穿越层时，采用式（5）计算总水头沿隧道开挖方向的水头分布.

$\begin{split} &X(x,y,z) = {h_{\rm{w}}} + \frac{{\left( {{H_{\rm{w}}} - {h_{\rm{w}}}} \right){{\rm e}^{ - y\sqrt \lambda }}}}{{2\ln \left[ {\displaystyle\frac{h}{r} - \sqrt {{{\left( {\displaystyle\frac{h}{r}} \right)}^2} - 1} } \right]}}\\ &\quad \left( {\ln \frac{{{x^2} + {{\left( {z + \sqrt {{h^2} - {r^2}} } \right)}^2}}}{{{x^2} + {{\left( {z - \sqrt {{h^2} - {r^2}} } \right)}^2}}}} \right) \end{split}$

(8)

孔隙水压力 $u$ 可通过式（9）计算：

$u(x,y,z) = \left[ {H(x,y,z) - z} \right]{\gamma _{\rm{w}}}.$

(9)

式（8）满足： $y = 0$ ，即在开挖面处时转化为式（1），式（5）满足： $y = 0,H(0) = {H_{\rm{w}}}$ ，且均满足： $H( + \infty ) = {h_{\rm{w}}}$ . 需要说明的是，式（5）与（8）仅可计算开挖面前方土体的总水头分布，开挖面后方由于隧道管片处的边界条件较复杂，水头分布求解存在一定困难，有待进一步研究.

1.2 三维解的验证及误差分析

为验证解析解的合理性，采用有限差分计算软件FLAC3D进行渗流计算，隧道的工程条件为： $h = 7.5\;{\rm{m}}$ ，隧道 $r = 2.5\;{\rm{m}}$ ，水深 ${h_{\rm{w}}} = 5\;{\rm{m}}$ ，岩体的渗透系数为 $5.3 \times {10^{ - 6}}\;{\rm{m}} \cdot {{\rm{s}}^{{\rm{ - 1}}}}$ . 为了消除边界效应对渗流场的影响，取模型范围为： $0 \leqslant x \leqslant 4D$ ， $- 5D \leqslant$ $y \leqslant 5D$ ， $- 4D \leqslant z \leqslant 0$ . 具体模拟过程为：（1）生成初始孔隙水压力场；（2）固定 $x = 4D,y = \pm 5D$ 及 $z = - 4D$ ，平面 $z = 0$ 处的孔压值，将 $x = 0$ 设为不透水边界；（3）不考虑分布开挖的影响，一步开挖到 $y =$ 0处，将开挖面处设为排水条件，其他开挖边界设为不透水条件；（4）迭代计算直至渗流场达到稳定状态.

非穿越层（ $R \geqslant r$ ）中，开挖面前方 $y = D$ 处孔隙水压力的解析解与数值解的结果对比如图1所示，从图中可以看出，近似解析解与数值解基本吻合，误差较小.

图 1

$y = D$ 处孔隙水压力分布（单位：Mpa）

Figure 1. Distribution of pore water pressure at

$y = D$ （unit：Mpa）

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为了进一步说明三维解的合理性，取穿越层中 $AB$ 线（图2）上的孔压及孔压梯度的解析解与数值解进行比较，对于孔压：在开挖面附近，数值解较解析解大，在远离开挖面处，两者趋同；对于孔压梯度：在开挖面及远离开挖面处，解析解均稍大于数值解，孔压梯度在远离开挖面 $3D$ 距离处基本减小为 $0.$

图 2

$AB$ 线孔压解析解与数值解对比（

$y = D$ 单位：Mpa）

Figure 2. Comparison between analytical solution and numerical solution of pore water pressure on line

$AB$ （

$y = D$ unit：Mpa，）

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穿越层（ $R < r$ ）中，取 $x = 0$ 面处 $MN$ 线上的孔压及孔压梯度的数值解与解析解进行比较，从图3中可以看出，两者的数值解与解析解基本一致，在远离开挖面时，解析解稍大于数值解，孔压梯度同样在远离开挖面 $3D$ 处基本减小为 $0$ . 渗透力的值与孔压梯度呈正比，所以采用上述孔压解析解求得的渗透力求解极限支护压力是偏于安全的.

图 3

$MN$ 线孔压解析解与数值解对比（单位：Mpa）

Figure 3. Comparison between analytical solution and numerical solution of pore water pressure on line

$MN$ （unit：Mpa）

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2. 开挖面极限支护压力求解

上述研究已基本厘清了盾构开挖面前方土体中渗流场的分布规律，为了进一步求得开挖面的主、被动极限支护压力，还必须建立符合实际破坏模式的力学模型. 因此本部分将采用数值仿真方法建立力学模型，将上述渗透力引入其中，采用力矩平衡法求解主、被动极限支护压力.

2.1 渗流条件下主、被动破坏模式研究

地下水渗流产生的渗透力对开挖面前方土体的失稳模式具有一定的影响，对此利用FLAC3D软件进行模拟. 地面与开挖面为唯一透水边界，土体采用M-C屈服准则，模型一步开挖至模型中点处，对开挖面施加支护压力，逐渐改变支护压力，同时监测掌子面中心处的位移，当支护压力的值微小变化时，位移突然增大，则可以认为此状态为土体失稳的极限状态. 表1为数值模拟所需的隧道几何参数及围岩力学性质参数.

表 1 隧道几何参数及围岩力学参数

Table 1. Geometric parameters of tunnel and mechanics parameters of surrounding soil

D/m	C/m	H/m	c/kPa	$\varphi$ /（°）	$\gamma$ /（kg•m^–3）	${\gamma _{{\rm{sat}}}}$ /（kg•m^–3）
5	5	5/10/15	1	30	1 611	1 920

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最大塑性剪切应变率可以描述模型的破坏模式，通过数值模拟发现，当隧道浅埋，土体处于主动极限平衡状态时，破坏将会发展到地表；当土体处于被动极限平衡状态时，破坏土体同样会沿着开挖面前方发展，进而波及地表，从数值仿真的结果可以看出，土体在两种极限状态下的破坏模式相似：覆土层中的破坏体呈柱状，穿越层中的滑动体呈现类似于水管转角形状. 土体的内摩擦角对坍塌体及滑动体的范围有较大的影响，摩擦角较小时，坍塌范围大；摩擦角较大时，坍塌范围小，经典的楔形体模型认为滑动面与水平面的倾角呈 $45^\circ + \varphi {\rm{/2}}$ ，事实上不同的围岩条件、不同的应力状态、土体的饱和状态对滑动面倾角均有影响，因此本文不具体固定滑动面倾角的值，计算所有取值中最大的主动极限支护压力和最小的被动极限支护压力作为其上下限.

图 4 模型最大塑性剪切应变率（变形放大50倍）

Figure 4. Maximum plastic shearing strain rate of numerical model （The deformation is magnified 50 times）

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2.2 渗流条件下主、被动破坏模型建立

根据数值仿真结果建立如图5所示的破坏模型：开挖面前方覆土层中的滑动体呈圆柱状，开挖面前方位于穿越层中的滑动区域为刚塑性弧形转角体，其在极限状态滑动时于滑动边界上满足摩尔库伦破坏准则.

图 5 渗流条件下三维破坏模型

Figure 5. Three-dimensional failure model under seepage

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2.3 弧形转角体顶部竖向有效松动压力求解

图5中，取覆土层 $IJK{O_1}$ 中微元列平衡微分方程，结合地面边界条件：

（1）当土体位于水位以上，即当 $0 \leqslant z \leqslant \left( {C - H} \right)$ 时：

$\begin{split} & {\text{π}} {r_1}^2{\sigma _z} + {\text{π}} {r_1}^2\gamma {\rm{d}}z =\\ & {\text{π}} {r_1}^2({\sigma _z} + {\rm{d}}{\sigma _z}) + 2{\text{π}} {r_1}(c + K{\sigma _z}\tan \varphi ){\rm{d}}z , \end{split}$

(10)

式中： $\sigma _z(z)$ 为微元体顶部所受竖向有效压力

图 5 渗流条件下三维破坏模型

Figure 5. Three-dimensional failure model under seepage

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边界条件为： $z = 0,{\sigma _{z(\;)}} = q$ ,

解微分方程可得

${\sigma _{z}}(C-H) = \frac{{{r_1}\gamma - 2c}}{{2K\tan \varphi }}\left( {1 - {{\rm{e}}^{{\rm{ - }}\frac{{2K(C - H)\tan \varphi }}{{{r_1}}}}}} \right) + q{{\rm{e}}^{{\rm{ - }}\frac{{2K(C - H)\tan \varphi }}{{{r_1}}}}}$

(11)

式中：r为土体天然重度；k为侧压力系数；C为天然土体粘聚力；q为地表面超载.

（2）当土体位于水位以下，即当 $\left( {C - H} \right) < z \leqslant C$ 时：

为求解方便，首先将覆土层中的水头函数式（8）改写成柱坐标形式，同时将 $z$ 轴正方向改为竖直向下：

$\begin{split} &X(\rho ,\theta ,z) = {h_{\rm{w}}} + \\ &\begin{split} & \frac{{\left( {{H_{\rm{w}}} - {h_{\rm{w}}}} \right){{\rm e}^{ - \sqrt \lambda \left( {{r_1} + \rho \sin \theta } \right)}}}}{{2\ln \left[ {\displaystyle\frac{{2H + D}}{D} - \sqrt {{{\left( {\displaystyle\frac{{2H + D}}{D}} \right)}^2} - 1} } \right]}} \;\times \\ & \left( {\ln \frac{{{{\left( {\rho \cos \theta } \right)}^2} + {{\left( { - z + \sqrt {{H^2} + HD} } \right)}^2}}}{{{{\left( {\rho \cos \theta } \right)}^2} + {{\left( { - z - \sqrt {{H^2} + HD} } \right)}^2}}}} \right), \end{split} \end{split}$

(12)

平均水头函数为

$\overline {X(z)} = \frac{{\displaystyle\int_0^{2{\text{π}} } {\displaystyle\int_0^{{r_1}} {X(\rho ,\theta ,z)} } \rho {\rm{d}}\rho {\rm{d}}\theta }}{{{\text{π}} {r_1}^2}},$

(13)

则竖向渗透力为：

${f_z}(z) = - \frac{{{\rm{d}}\overline {X(z)} }}{{{\rm{d}}z}}{\gamma _{\rm{w}}}.$

(14)

因式（14）积分不存在原函数，采用Taylor级数可得平均竖向渗透力为

$\!\!\!\begin{split} & \overline {{f_z}} (z) \!=\! \frac{1}{2}\left( {{f_{z }}(C \!-\! H) \!+\! {f_{z }}C} \right) \!=\! \\ &\;\, \!- \!\frac{{{{\rm{e}}^{ \!-\! {r_1}\sqrt \lambda }}\left( {2D \!+\! H} \right){\gamma _{\rm{w}}}\Delta h}}{{D\sqrt {{H^2} \!+\! HD} \ln \left( {1 \!+\! \displaystyle\frac{{2H}}{D} \!-\! 2\sqrt {{{\left( {\displaystyle\frac{H}{D}} \right)}^2} \!+\! \displaystyle\frac{H}{D}} } \right)}}, \end{split}$

(15)

式中： $\Delta h$ 为水头差.

同样取微元列微分方程：

$\begin{split} & {\text{π}} {r_1}^2{\sigma _z}\prime \!+\! {\text{π}} {r_1}^2\gamma \prime {\rm{d}}z \!+\! {\text{π}} {r_1}^2\overline {{f_z}} {\rm{d}}z \!=\!\\ & {\text{π}} {r_1}^2({\sigma _z}\prime \!+\! {\rm{d}}{\sigma _z}\prime ) \!+\! 2{\text{π}} {r_1}(c\prime \!+\! K\prime {\sigma _z}\prime \tan \,{\varphi ^\prime }){\rm{d}}z, \end{split}$

(16)

式中： $c\prime$ 为饱和土体边摩擦角

边界条件为 $z = C - H$ 时，

${\sigma _{z}} (C-H)= \frac{{{r_1}\gamma - 2c}}{{2K\tan \varphi }}\left( {1 - {{\rm{e}}^{{\rm{ - }}\frac{{2K(C - H)\tan \varphi }}{{{r_1}}}}}} \right) + q{{\rm{e}}^{{\rm{ - }}\frac{{2K(C - H)\tan \varphi }}{{{r_1}}}}},$

则在拱顶处的竖向压力为

$\begin{split} &{\sigma _{\rm{v}}}\prime = \frac{{{r_1}\gamma \prime + {r_1}\overline {{f_z}} - 2c\prime }}{{2K\prime \tan \varphi \prime }}\left( {1 - {{\rm{e}}^{{\rm{ - }}\frac{{2HK\prime \tan \varphi \prime }}{{{r_1}}}}}} \right) +\\ &\quad {\sigma _{z}(C-H)}{{\rm{e}}^{{\rm{ - }}\frac{{2HK\prime \tan \varphi \prime }}{{{r_1}}}}} \end{split}$

(17)

同时将 ${r_1} = \displaystyle\frac{D}{{2\tan \beta }}$ 代入式（11）、（17）中可得

竖向主动有效压力为

$\begin{aligned} & \sigma _{{\rm vl}}\prime = U_{\gamma {\rm l}} \gamma D + U_{\gamma \prime {\rm l}}\gamma \prime D + {U_c{\rm l}} c + U_{c\prime {\rm l}} c\prime +\\ &\quad U_{f{\rm l}}{\gamma _{\rm{w}}}\Delta h + U_{q{\rm l}} q, \\ & U_{\gamma {\rm l}} = \frac{{\left( {{{\rm{e}}^{{\rm{ - }}\frac{{4HK\prime \tan \beta \tan \varphi \prime }}{D}}} - {{\rm{e}}^{{\rm{ - }}\frac{{4K(C - H)\tan \varphi \tan \beta + 4K\prime H\tan \varphi \prime \tan \beta }}{D}}}} \right)}}{{4K\tan \beta \tan \varphi }}, \\ & U_{\gamma \prime {\rm l}} = \frac{{\left( {1 - {{\rm{e}}^{{\rm{ - }}\frac{{4HK\prime \tan \varphi \prime \tan \beta }}{D}}}} \right)}}{{4K\prime \tan \varphi \prime \tan \beta }}, \\ &U_{c{\rm l}} = - \frac{{\left( {{{\rm{e}}^{{\rm{ - }}\frac{{4HK\prime \tan \beta \tan \varphi \prime }}{D}}} - {{\rm{e}}^{{\rm{ - }}\frac{{4K(C - H)\tan \varphi \tan \beta + 4K\prime H\tan \varphi \prime \tan \beta }}{D}}}} \right)}}{{K\tan \varphi }}, \\ &U_{c\prime {\rm l}} = - \frac{{\left( {1 - {{\rm{e}}^{{\rm{ - }}\frac{{4HK\prime \tan \varphi \prime \tan \beta }}{D}}}} \right)}}{{K\prime \tan \varphi \prime }}, \\ & U_{f{\rm l}} = \frac{{\left( {1 - {{\rm{e}}^{{\rm{ - }}\frac{{4HK\prime \tan \varphi \prime \tan \beta }}{D}}}} \right)D\overline {{f_z}} }}{{4K\prime \tan \beta \tan \varphi \prime {\gamma _{\rm{w}}}\Delta h}}, \\ & U_{q{\rm l}} = {{\rm{e}}^{{\rm{ - }}\frac{{4K(C - H)\tan \beta \tan \varphi + 4K\prime H\tan \varphi \prime \tan \beta }}{D}}} \end{aligned}$

(18)

$K\prime$ 为有效测压力系数 $K\prime=1-\sin \varphi$ ； $\varphi \prime$ 为饱和土体内摩擦角， $K\prime=1-\sin \varphi$

同理在列平衡方程时，取摩擦阻力的方向与求竖向主动有效压力时的方向相反，即可得竖向被动有效压力，其中：

$H$ -竖向渗流路径长度（ $H < C$ ）、 $\Delta h$ -水头差、 $\gamma \prime$ -土体浮重度、 $\gamma$ -土体天然重度、 ${\gamma _{\rm{w}}}$ -水重度、 $c\prime$ -饱和土体粘聚力、 $c$ -天然土体粘聚力、 $\varphi \prime$ -饱和土体内摩擦角、 $\varphi$ -天然土体内摩擦角、 $q$ -地表面超载、 $K$ -侧压力系数、 $K\prime$ -有效侧压力系数（注：当地勘资料未提供侧压力系数的取值时，取 $K = 1 - \sin \varphi$ ， $K\prime = 1 - \sin \varphi \prime$ ^[12]）

2.4 开挖面极限支护压力求解

在弧形转角体中， $EFGI$ 是以 $O$ 点为圆心的一段弧，弧在 $I$ 点的切线与 ${O_1}I$ 垂直，转角体的受力如图5所示，微元体绕 ${O_1}$ 点转动，坐标系统采用双极坐标， ${O_1}$ 、 ${O_2}$ 点分别为两极坐标系的原点，微元体对 ${O_1}$ 点取矩并积分得到各力的合力矩，根据力矩平衡法，得到开挖面的极限支护压力. 在求各个力的合力矩时，由于积分函数较复杂，积分不存在原函数，采用Taylor级数得到其近似解. 此外，由于开挖卸荷作用，此处不考虑滑动面处正应力的作用，仅考虑由于黏聚力产生的摩擦阻力，这样处理也会使计算结果偏于安全.

（1）重力力矩为

$\begin{gathered} {{M}_\gamma } = \gamma \prime \int_0^{\frac{{\text{π}} }{2}} \!\!\!{\int_0^{2{\text{π}} } \!\!\!{\int_0^{r\left( \alpha \right)} \!\!{\rho \cos \alpha {{\left( {r\left( \alpha \right) - \rho \cos \theta } \right)}^2}{\rm{d}}} } } \rho {\rm{d}}\theta {\rm{d}}\alpha = \\ \frac{{5\left[ {\left( {{\text{π}} - 2\beta } \right){{\left( {1 + {{\tan }^2}\beta } \right)}^2} + \tan \beta {{\left( {1 - \tan \beta } \right)}^2}} \right]{D^4}\gamma \prime}}{{128\;{{\tan }^4}\beta }}. \end{gathered}$

(19)

（2）渗透力力矩为

将穿越层中的水平渗透力改写成极坐标形式：

$f\left( {\rho ,\theta ,\alpha } \right) = {\gamma _{\rm{w}}}\Delta h\sqrt \lambda {{\rm{e}}^{ - \left( {r\left( \alpha \right) - \rho \cos \theta } \right)\cos \alpha \sqrt \lambda }},$

(20)

则渗透力矩为

$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\begin{split} & {{M}_f} = \int_0^{\frac{{\text{π}} }{2}} \int_0^{2{\text{π}} } \int_0^{r\left( \alpha \right)} f\left( {\rho ,\theta ,\alpha } \right)\\ & \rho \sin \alpha {{\left( {r\left( \alpha \right) - \rho \cos \theta } \right)}^2}{\rm{d}} \rho {\rm{d}}\theta {\rm{d}}\alpha = \\ & \frac{{5\left[ {\left( {{\text{π}} - 2\beta } \right){{\left( {1 + {{\tan }^2}\beta } \right)}^2} + \tan \beta {{\left( {1 - \tan \beta } \right)}^2}} \right]\sqrt \lambda {D^4}{\gamma _{\rm{w}}}\Delta h}}{{128\;{\text{π}}\;{{\tan }^4}\;\beta }}. \end{split}$

(21)

（3）摩擦阻力力矩为

$\begin{split} & {{M}_c} = \int_0^{\frac{{\text{π}} }{2}} {\int_0^{2{\text{π}} } {c\prime {r^3}(\alpha ){{\left( {1 - \cos \theta } \right)}^2}} } {\rm{d}}\theta {\rm{d}}\alpha =\\ & \frac{{3{\text{π}} \left[ {\left( {{\text{π}} - 2\beta } \right){{\left( {1 + {{\tan }^2}\beta } \right)}^2} + \tan \beta {{\left( {1 - \tan \beta } \right)}^2}} \right]{D^3}c\prime}}{{32\;{{\tan }^3}\;\beta }} . \end{split}$

(22)

（4）竖向有效松动压力力矩为

${{M}_{{\sigma _{\rm{v}}}}} = {\text{π}} {\left( {\frac{D}{{2\;\tan \;\beta }}} \right)^3}{\sigma _{\rm{v}}}\prime .$

(23)

（5）极限支护压力力矩为

${{M}_{{\sigma _{\rm{T}}}}} = {\text{π}} {\left( {\frac{D}{2}} \right)^3}{\sigma _{\rm{T}}}\prime .$

(24)

根据力矩平衡：

${{M}_\gamma } + {{M}_f} + {{M}_{{\sigma _{\rm{v}}}}} = {{M}_c} + {{M}_{{\sigma _{\rm{T}}}}},$

(25)

可得主动极限支护压力为

$\sigma _{{\rm T}l}\prime \!=\! W_{\sigma \prime l}{\sigma _{\rm{v}}}\prime \!+\! W_{\gamma \prime l}D\gamma \prime \!+\! W_{c\prime l}c\prime \!+\! W_{fl}{\gamma _{\rm{w}}}\Delta h,$

(26)

式中：

$\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\begin{split} & W_{\sigma \prime {\rm l}} = \frac{1}{{{{\tan }^3}\beta }}{\text{；}} \\ & W_{\gamma \prime {\rm l}} = \frac{{5\left[ {\left( {{\text{π}} - 2\beta } \right){{\left( {1 + {{\tan }^2}\beta } \right)}^2} + \tan \beta {{\left( {1 - \tan \beta } \right)}^2}} \right]}}{{16{\text{π}} {{\tan }^4}\beta }} {\text{；}} \\ & W_{c\prime {\rm l}} = - \frac{{3\left[ {\left( {{\text{π}} - 2\beta } \right){{\left( {1 + {{\tan }^2}\beta } \right)}^2} + \tan \beta {{\left( {1 - \tan \beta } \right)}^2}} \right]}}{{4{{\tan }^3}\beta }} {\text{；}} \\ & W_{f{\rm l} }= \frac{{5\left[ {\left( {{\text{π}} - 2\beta } \right){{\left( {1 + {{\tan }^2}\beta } \right)}^2} + \tan \beta {{\left( {1 - \tan \beta } \right)}^2}} \right]\sqrt \lambda D}}{{16{\text{π}} {{\tan }^4}\beta }} . \end{split}$

(27)

结合式（18）、（26），可得

$\begin{split} & \sigma _{{\rm T}{\rm l}}\prime = N_{\gamma {\rm l}}\gamma D + N_{\gamma \prime {\rm l}}\gamma \prime D + N_{c{\rm l}}c + \\ & \quad N_{c\prime {\rm l}}c\prime + N_{f{\rm l}}{\gamma _{\rm{w}}}\Delta h + N_{q{\rm l}}q. \end{split}$

(28)

式中：

$\begin{split} & N_{\gamma {\rm l}} = W_{\sigma \prime {\rm l}}U_{\gamma {\rm l}} , \\ & N_{\gamma \prime {\rm l}} = W_{\sigma \prime {\rm l}}U_{\gamma \prime {\rm l}} + W_{\gamma \prime {\rm l}} ,\\ & N_{c{\rm l}} = W_{\sigma \prime {\rm l}}U_{c{\rm l}} ,\\ & N_{c\prime {\rm l}} = W_{\sigma \prime {\rm l}}U_{c\prime {\rm l}}+ W_{c\prime {\rm l}} ,\\ & N_{f{\rm l}} = W_{\sigma \prime }^lU_{f{\rm l}} + W_{f{\rm l}} ,\\ & N_{q{\rm l}} = W_{\sigma \prime {\rm l}}{U_q} . \end{split}$

(29)

同理将摩阻力反向施加到模型上可得被动极限支护压力.

2.5 极限支护压力求解结果验证

为验证本文方法的合理性，选择文献^[8]的相关参数： $D = 5\;{\rm{m}}$ ， $C = 20\;{\rm{m}}$ ， $c = 0$ ， $\varphi = 35^\circ$ ， $\gamma =$ 15.2 kN•m^–3， $\gamma \prime = 5.4$ kN•m^–3，与既有结果进行比较，由于无被动极限支护压力案例，此处仅对比主动极限支护压力，如图6所示. 从图6可以看出，用极限分析法计算得到的极限支护压力偏小，而采用极限平衡法计算得到的极限支护压力偏大，但更接近数值解，其中本文的解法更优. 从施工安全的角度看，选择偏大的主动极限支护压力更可靠.

2.6 极限支护压力参数敏感性分析

由式（28）可知，主、被动极限支护压力是隧道直径（ $D$ ）、隧道拱顶覆土厚度（ $C$ ）、渗流路径长度（ $H$ ）、重度（ $\gamma$ ）、重度折减系数（ ${\eta _\gamma }{\rm{ = }}\gamma \prime {\rm{/}}\gamma$ ）、内摩擦角（ $\varphi$ ）、内摩擦角折减系数（ ${\eta _\varphi }{\rm{ = }}\varphi \prime {\rm{/}}\varphi$ ）、黏聚力（ $c$ ）、黏聚力折减系数（ ${\eta _c}{\rm{ = }}c\prime {\rm{/}}c$ ）、水头差（ $\Delta h$ ）及地面超载（ $q$ ）共11个参数的函数，为了比较主、被动极限支护压力对各个因素的敏感程度及变化规律，使其中的某个参数在选定范围内变化（表2），其他参数为选定的一组基本组合中的固定值，同时为了消除各个影响因素单位差异的影响，将其进行归一化处理（ ${a_k}/{a_{k\max }}$ ），并基于以下表达式计算各因素的敏感度^[13]：

图 6 极限支护压力与水头差的关系

Figure 6. Relationship between limit support stress and water head difference

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表 2 各影响参数取值及主、被动极限支护压力敏感度因子

Table 2. Selection of parameters and its sensitivity to active and passive limit support pressures

参数	取值	参数变化范围/m	敏感度因子
参数	取值	参数变化范围/m	主动	被动
$D$	10 m	5 m～15 m	0.66	0.94
$C$	10 m	5 m～15 m	0.08	1.44
$H$	5 m	0～10 m	0.24	0.19
$\gamma$	20 kN•m ^{– 3}	15 kN•m^–3～25 kN•m^–3	0.10	0.35
${\eta _\gamma }$	0.525	0.4～0.65	0.41	0.17
$\varphi$	30°	5°～55°	0.05	0.42
${\eta _\varphi }$	0.75	0.5～1.0	0.17	0.55
$c$	5 kPa	0 ～ 10 kPa	0.02	0.05
${\eta _c}$	0.75	0.5～ 1.0	0.15	0.06
$\Delta h$	10 m	0～20 m	0.56	0.23
$q$	25 kPa	0 ～50 kPa	0.02	0.13

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${S_k}\left( {{a_k}} \right){\rm{ = }}\left| {\frac{{{\rm{d}}f\left( {{a_k}} \right)}}{{{\rm{d}}{a_k}}}} \right|\left| {\frac{{{a_k}}}{{f\left( {{a_k}} \right)}}} \right|\left( {k = 1,2,...,n} \right)$

(30)

式中： $f\left( {{a_k}} \right)$ 为主、被动极限支护压力；其中： ${a_k}$ max为最大值， ${a_k}$ 为主、被动极限支护压力的影响因素， ${S_k}\left( {{a_k}} \right)$ 为因素 ${a_k}$ 的敏感度.

在对各因素敏感性排序时，采用以下公式计算敏感度因子，表达为

$\overline {{S_k}\left( {{a_k}} \right)} {\rm{ = }}\frac{1}{{d - c}}\int_c^d {\left| {\frac{{{\rm{d}}f\left( {{a_k}} \right)}}{{{\rm{d}}{a_k}}}} \right|\left| {\frac{{{a_k}}}{{f\left( {{a_k}} \right)}}} \right|} {\rm{d}}{a_k},$

(31)

式中： $\overline {{S_k}\left( {{a_k}} \right)}$ 为因素 ${a_k}$ 的敏感度因子； $c{\text{、}}d$ 为因素 ${a_k}$ 的取值变化范围.

据此得到主、被动极限支护压力依赖于各参数的变化规律、各参数的敏感度变化趋势及敏感度因子（表2）. 在变化规律方面：主动极限支护压力随着 $D$ 、 $C$ 、 $\gamma$ 、 ${\eta _\gamma }$ 、 $\Delta h$ 、 $q$ 等因素的增大而增大，随 $H$ 、 $c$ 、 ${\eta _c}$ 、 $\varphi$ 、 ${\eta _\varphi }$ 的增大而减小；被动极限支护压力随着 $C$ 、 $\gamma$ 、 ${\eta _\gamma }$ 、 $c$ 、 ${\eta _c}$ 、 $\Delta h$ 、 $q$ 的增大而增大，随 $D$ 、 $H$ 、 $\varphi$ 、 ${\eta _\varphi }$ 的增大而减小. 在敏感度方面：盾构直径和水头差是影响主动极限支护压力的主要因素，黏聚力和地面超载对其影响最弱；拱顶埋深与盾构直径是影响被动极限支护压力的主要因素，黏聚力和黏聚力折减系数对其影响最小.

3. 工程案例分析

理工大学站—红旗南路站区间为天津市地铁6号线一期工程中的重点项目，该项目线路全长626.4 m，为双线并行隧道，采用两台外径为6.2 m的土压平衡盾构施工，隧道拱顶埋深为10.9 m～16.2 m. 隧道所处地层条件主要为黏性土、粉土及粉砂，地下水位埋深为1.4 m～1.8 m，由于地层富水且渗透性好，粉土粉砂极易在渗流作用下发生开挖面失稳，合理支护压力的确定尤为重要. 隧道位置、地下水位置、各个地层的分界线以及15个计算断面的位置如图7所示，各土层的力学参数见表3. 从图7及表3可以看出，隧道所处土体是分层变化的，但是各土层的力学参数相差不大，因此为便于处理，将土层视为均质土体，采用加权平均法得到15个计算断面的力学参数计算该断面的主、被动极限支护压力、原始地层有效侧压力（式（32））及原始地层水土分算总侧压力（式（33）），并对各个压力进行比较.

图 7 盾构位置及地层分布

Figure 7. Location of tunnel and layout of soils

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表 3 地层力学参数

Table 3. Mechanical parameters of soil

土层编号	名称	饱和重度/（kN•m^–3）	黏聚力/kPa	内摩擦角/（°）	渗透系数/（cm•s^–1）	侧压力系数
（1）	杂填土	19.1	12.32	12.50	3.43 × 10^–6	0.65
（2）	粉质黏土	19.3	16.57	18.54	4.63 × 10^–6	0.52
（3）	粉质黏土	19.3	15.21	22.35	3.36 × 10^–6	0.55
（4）	粘质黏土	19.2	14.64	24.16	3.64 × 10^–5	0.55
（5）	粘质黏土	20.0	16.32	18.36	5.73 × 10^–4	0.53
（6）	粉质黏土	20.2	15.68	19.83	4.62 × 10^–6	0.52

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$\sigma _{\rm{Ts}}\prime = {K}\prime \left( {\gamma \left( {C - H} \right) + \gamma \prime \left( {H + D/2} \right) + q} \right),$

(32)

$\begin{gathered} \sigma _{\rm{Ts}} = {K}\prime \left( {\gamma \left( {C - H} \right) + \gamma \prime \left( {H + D/2} \right) + q} \right) +\\ {\gamma _{\rm{w}}}\left( {H + D/2} \right) , \end{gathered}$

(33)

计算结果与实测支护压力的对比分析如图8所示. 有图8可知，15个断面的平均实测支护压力为原始地层有效侧压力的2.60倍，平均主动极限支护压力为原始地层有效侧压力的0.40倍，平均被动支护压力为原始地层有效侧压力的7.52倍，因此针对此工程自身的安全施工而言，可调整支护压力的范围大约为7倍的原始地层有效侧压力值. 但值得说明的是，当支护压力接近上下限值时，土体即将破坏，此时已发生了较大变形，因此对于有对土体变形严格控制需求的水下盾构工程，如城市及海底隧道工程，支护压力的选择要避免接近上下限值，造成不必要的地层变形. 从图8还可以看出，被动破坏发生时需要较高的支护压力，实际施工中较难达到，而当排土出渣的速度较快时，支护压力可能急剧减小，极易造成主动破坏，因此其发生的可能性要远大于被动破坏. 实际施工中支护压力不可能设置为某一固定值，而是随时波动的，因此必须给出其合理范围. 根据研究结果，建议其值选择在水土分算下原始地层侧压力的附近，且最好在其上方小范围波动（图8中给出了原始地层侧压力的上下10%波动区间），波动范围的选择应该根据变形的控制要求设定，这也是本文要进一步研究的内容.

图 8 各计算断面支护压力对比结果

Figure 8. Analysis results for support pressure in the project

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综上所述，基于以上工程的案例验证，证明本文计算极限支护压力的方法是可行的，计算结果是可靠的，可以为实际盾构工程支护压力的选择提供参考.

4. 结　论

基于半承压水模型将现有的二维渗流场解析解扩展为相应的三维解，同时建立渗流条件下开挖面的主、被动破坏模型，将前述三维解引入该模型中得到极限支护压力的计算表达式，得到如下具体结论：

（1）盾构穿越层中沿开挖方向的解析解与开挖面前方非穿越层中扩展的三维解可以较好的描述水压力的分布规律. 开挖面处的水力梯度最大，距离开挖面2～3倍洞径处的水力梯度基本减小为0，即开挖对渗流场的扰动效应影响基本局限在此范围内.

（2）盾构在浅埋渗透性地层中掘进时由于开挖面支护压力不足或过量引起的地层破坏模式可以由覆土层中的柱体模型和穿越层中的弧形转角体模型来描述，主、被动极限支护压力可以用由隧道拱顶埋深、盾构直径、渗流路径长度、重度、黏聚力、内摩擦角、地面超载及水头差等参数构成的函数来表示，其中，盾构直径和水头差是影响主动极限支护压力大小的主要因素，拱顶埋深与盾构直径是影响被动极限支护压力大小的主要因素.

（3）由于水头差的存在引起的渗流力对开挖面的稳定性造成不利影响，主、被动极限支护压力的值随水头差的增大均线性增加，当水头差很大时，支护压力的绝大部分用来平衡渗流力. 实际施工过程中，支护压力值应尽可能接近水土分算下的土体原始地层侧压力值，并在其附近（最好在其上方）小幅度波动，波动范围应以变形控制标准为依据.

图 1 $y = D$ 处孔隙水压力分布（单位：Mpa）

Figure 1. Distribution of pore water pressure at $y = D$ （unit：Mpa）

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图 2 $AB$ 线孔压解析解与数值解对比（ $y = D$ 单位：Mpa）

Figure 2. Comparison between analytical solution and numerical solution of pore water pressure on line $AB$ （ $y = D$ unit：Mpa，）

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图 3 $MN$ 线孔压解析解与数值解对比（单位：Mpa）

Figure 3. Comparison between analytical solution and numerical solution of pore water pressure on line $MN$ （unit：Mpa）

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图 4 模型最大塑性剪切应变率（变形放大50倍）

Figure 4. Maximum plastic shearing strain rate of numerical model （The deformation is magnified 50 times）

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图 5 渗流条件下三维破坏模型

Figure 5. Three-dimensional failure model under seepage

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图 5 渗流条件下三维破坏模型

Figure 5. Three-dimensional failure model under seepage

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图 6 极限支护压力与水头差的关系

Figure 6. Relationship between limit support stress and water head difference

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图 7 盾构位置及地层分布

Figure 7. Location of tunnel and layout of soils

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图 8 各计算断面支护压力对比结果

Figure 8. Analysis results for support pressure in the project

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表 1 隧道几何参数及围岩力学参数

Table 1. Geometric parameters of tunnel and mechanics parameters of surrounding soil

D/m	C/m	H/m	c/kPa	$\varphi$ /（°）	$\gamma$ /（kg•m^–3）	${\gamma _{{\rm{sat}}}}$ /（kg•m^–3）
5	5	5/10/15	1	30	1 611	1 920

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表 2 各影响参数取值及主、被动极限支护压力敏感度因子

Table 2. Selection of parameters and its sensitivity to active and passive limit support pressures

参数	取值	参数变化范围/m	敏感度因子
参数	取值	参数变化范围/m	主动	被动
$D$	10 m	5 m～15 m	0.66	0.94
$C$	10 m	5 m～15 m	0.08	1.44
$H$	5 m	0～10 m	0.24	0.19
$\gamma$	20 kN•m ^{– 3}	15 kN•m^–3～25 kN•m^–3	0.10	0.35
${\eta _\gamma }$	0.525	0.4～0.65	0.41	0.17
$\varphi$	30°	5°～55°	0.05	0.42
${\eta _\varphi }$	0.75	0.5～1.0	0.17	0.55
$c$	5 kPa	0 ～ 10 kPa	0.02	0.05
${\eta _c}$	0.75	0.5～ 1.0	0.15	0.06
$\Delta h$	10 m	0～20 m	0.56	0.23
$q$	25 kPa	0 ～50 kPa	0.02	0.13

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表 3 地层力学参数

Table 3. Mechanical parameters of soil

土层编号	名称	饱和重度/（kN•m^–3）	黏聚力/kPa	内摩擦角/（°）	渗透系数/（cm•s^–1）	侧压力系数
（1）	杂填土	19.1	12.32	12.50	3.43 × 10^–6	0.65
（2）	粉质黏土	19.3	16.57	18.54	4.63 × 10^–6	0.52
（3）	粉质黏土	19.3	15.21	22.35	3.36 × 10^–6	0.55
（4）	粘质黏土	19.2	14.64	24.16	3.64 × 10^–5	0.55
（5）	粘质黏土	20.0	16.32	18.36	5.73 × 10^–4	0.53
（6）	粉质黏土	20.2	15.68	19.83	4.62 × 10^–6	0.52

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