桥梁参数对磁浮系统车-桥耦合稳定性的影响

周丹峰; 朱鹏翔; 屈鸣鹤; 王连春; 李杰

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20240381

桥梁参数对磁浮系统车-桥耦合稳定性的影响

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20240381

国防科技大学智能科学学院，湖南长沙 410073

基金项目: 国家自然科学基金项目（52332011）

详细信息

作者简介:
周丹峰（1982—），男，副研究员，博士，研究方向为磁悬浮控制和电磁发射技术，E-mail：zhoudanfeng@nudt.edu.cn

通讯作者:
王连春（1984—），男，讲师，博士，研究方向为磁悬浮控制，E-mail：spring_512@163.com

中图分类号: TP273
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出版历程
- 收稿日期: 2024-08-01
- 修回日期: 2025-04-20
- 网络出版日期: 2025-05-17
- 刊出日期: 2025-04-24

Influence of Bridge Parameters on Vehicle-Bridge Coupling Stability of Maglev System

College of Intelligence Science and Technology, National University of Defense Technology, Changsha 410073, China

摘要

摘要:
为解决磁浮交通车-桥耦合自激振动问题并指导磁浮桥梁的设计，基于模态分析法建立桥梁的数学模型，研究桥梁的参数对磁浮列车车-桥耦合稳定性的影响. 首先，以磁浮工程某外伸型高架桥梁为例，用模态分析法建立弹性支撑结构的桥梁数学模型，探讨支墩位置对桥梁模态频率的影响；其次，结合磁浮列车悬浮控制系统的模型构建车-桥耦合系统模型，通过分析其开环频率特性研究自激振动发生的原因；最后，探讨桥梁的一阶模态频率、跨径、阻尼比、线密度等参数对车-桥耦合稳定性的影响. 研究表明：桥梁一阶模态频率接近或高于悬浮临界频率易导致闭环不稳定，故一阶模态频率高于10 Hz的轻质梁易引发车-桥耦合自激振动；大跨径梁的模态频率和模态增益更低，稳定性优于小跨径梁；桥梁的阻尼比、线密度越小，不稳定的频率范围越宽；相比两端支撑梁，在桥梁长度和截面固定情况下外伸梁的一阶模态频率随跨径减小呈先增后减的趋势，其最高频率可高出53.9%，更容易进入不稳定频率范围，因此，在磁浮工程中应尽量避免使用这类短跨外伸梁.
- 磁浮列车 /
- 车-桥耦合 /
- 振动 /
- 桥梁 /
- 参数
Abstract:
To solve the self-excited vibration problem during vehicle-bridge coupling in the maglev transportation and guide maglev bridge design, a mathematical model of the bridge was established based on the modal analysis method, so as to study the influence of the bridge parameters on the stability of the vehicle-bridge coupling in the maglev system. Firstly, by taking a stretched overpass in a maglev project as an example, the mathematical model of the overpass with elastic support structures was established using the modal analysis method, and the influence of the pier position on the modal frequencies of the overpass was studied. Secondly, according to the levitation control system model of the maglev train, the vehicle-bridge coupling system model was established. Then, the causes of self-excited vibration were studied by analyzing its open-loop frequency characteristics. Finally, the effects of parameters, including the first-order modal frequency of the overpass, the span, the damping ratio, and the line density on the stability of vehicle-bridge coupling were discussed. The results show that when the first-order modal frequency of the overpass is close to or higher than the critical levitation frequency, the closed loop may be unstable. Therefore, a light bridge with the first-order modal frequency of above 10 Hz is more likely to induce self-excited vibration during vehicle-bridge coupling; long-span bridges have lower modal frequencies and gains and are more stable than short-span bridges; a smaller damping ratio and line density of the overpass mean wider unstable frequency range; compared to girders with supports at both ends, under the fixed bridge length and cross-section, the first-order modal frequency of the stretched bridge shows a trend of first increasing and then decreasing as the span decreases, with the maximum frequency exceeding 53.9%, which makes it more likely to fall into the unstable frequency range. Therefore, the short-span stretched bridges should be excluded from maglev projects as much as possible.
- maglev train /
- vehicle-girder coupled /
- vibration /
- girder /
- parameters

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电磁型磁浮（EMS）列车的车-桥耦合自激振动问题会导致车辆和桥梁产生严重的振动，从而影响正常悬浮^[1-2]. 例如，美国的AMT （American Maglev Technology）磁浮系统在佛罗里达州的Edgewater测试基地悬浮良好，但在欧道明大学的试验线上却出现了强烈振动而无法稳定悬浮^[3]. 欧道明大学的轨道采用高架形式，轨道小巧美观，但其刚度和自重均较小，研究者认为正是这种轻质桥梁导致车辆无法正常悬浮. 对于EMS磁浮系统来说，桥梁的结构参数对悬浮稳定性影响甚大，在设计阶段应慎重考虑.

国内的磁浮列车在研发过程中也大都经历了明显的车-桥耦合振动问题^[4-5]. 我国CMS-04中低速磁浮列车在唐山中低速磁浮试验线上曾多次出现严重的车-桥耦合自激振动，导致桥梁和全车很多悬浮架产生同频率的大幅振动，甚至引起悬浮电磁铁磕碰轨道^[6-7].

此外，在上海高速磁浮列车示范运营线上，当列车低速通过道岔时会发生较为严重的车-岔振动，甚至导致车辆受流器与动力轨之间产生拉弧现象^[8]. 相关学者在嘉定试验线开展车-岔动力测试时发现，道岔跨中加速度优势频率为13.86 Hz，与上述CMS-04中低速磁浮列车在唐山线上产生的自激振动频率十分接近. 通过分析，曾国锋等^[8]认为车-岔-悬浮控制三者之间的参数匹配关系对车-桥系统动力响应有较大影响.

为避免车-桥耦合振动问题，当前商业磁浮线通常把桥梁设计得较厚重，这在很大程度上放宽了对悬浮控制系统的稳定性要求^[9-10]. 李小珍等^[11]研究简支梁跨径对中低速磁浮列车车-桥耦合振动的影响指出，随着简支梁跨径的增加，桥梁竖向动挠度增大，但竖向加速度会随之减小；唐语等^[12]采用ABAQUS和SIMPACK联合仿真对磁浮车辆和道岔的耦合振动问题进行研究发现，增加梁的刚度和重量是减少车-梁耦合振动的有效方法. 然而，磁浮道岔梁的质量和刚度无法做得很大，因此，磁浮列车在这类桥梁上更易发生车-岔耦合振动现象^[13]. 文献[14]研究表明：由2套台车支承的长19 m、板厚25 mm的道岔主动梁在磁浮列车激励下最大位移已接近安全限值，因此，只能采用3套台车支承. 增加梁截面板厚可大幅减小道岔梁最大位移. 显然，增加台车改变了梁的支撑跨径，而增加梁截面板厚改变了梁的刚度和质量，均说明桥梁的主要参数对车-桥耦合系统的稳定性有很大影响.

在分析方法上：刘伟等^[15]将虚拟激励法引入磁浮车-桥振动分析中，提出中低速磁浮车辆-悬浮控制系统-桥梁耦合系统随机振动分析方法，该方法能够高效计算中低速磁浮车-桥系统随机动力响应；向活跃等^[16]研究列车荷载作用下的磁浮轨道梁响应极值条件，采用解析法推导磁浮列车轨道梁的理论解，分析不同速度下简支轨道梁的消振机理；娄会彬等^[17-18]研究T构梁温度和收缩徐变效应对磁浮车-桥-桥耦合振动的影响，仿真计算了考虑T构梁温度和收缩徐变前后磁浮车辆通过T构梁时车-桥-桥耦合系统的动力学响应，结果表明，升温温差和收缩徐变会导致F轨轨面形成静态几何不平顺.

从控制角度，杨志南等^[19]利用SIMPACK、ANSYS等软件搭建了分布式协同仿真平台，研究了悬浮控制的间隙和间隙微分反馈系数对车-岔耦合振动的影响，发现这些控制参数过大或过小均会导致悬浮振动变大，故单纯调节控制参数难以完全消除车-岔耦合振动. 卜秀孟等^[20]分析不同控制参数对磁浮车-桥耦合系统动力响应的影响，明确了悬浮系统控制参数与磁浮车-桥系统动力响应之间的关系. 侯龙刚等^[21]分析发现，磁浮车在低速通过道岔时会因道岔一阶垂向模态导致强烈的耦合自激振动问题，为此，在道岔安装调谐质量阻尼器（TMD）来抑制振动，然而，这一方案无疑会提高系统成本和复杂度.

针对上述问题，本文开展磁浮列车的车-桥耦合自激振动机理研究，通过建立磁浮列车-桥梁耦合系统模型，从控制稳定性角度分析车-桥耦合自激振动的发生机理，重点探讨桥梁跨径、模态频率、模态阻尼、线密度等参数对车-桥耦合系统稳定性的影响，为未来磁浮桥梁的轻量化设计提供借鉴.

1. 磁浮列车车-桥耦合系统建模

1.1 磁浮桥梁建模

图1是CMS-04中低速磁浮列车在唐山中低速磁浮试验线上进行测试的场景. 图中的高架梁是一种预应力钢筋混凝土梁. 因施工位置所限，该梁的左侧有一部分位于支墩的外侧，属于一种悬臂外伸梁. 相对其他混凝土梁，该梁跨径较短，且梁的截面较小. 图2是某次试验时在车辆中间一个悬浮架上记录的悬浮间隙和悬浮电磁铁的垂向加速度信号. 可以看出，二者均出现了明显的周期振荡，说明发生了车-桥耦合自激振动.

图 1 CMS-04中低速磁浮列车通过高架桥梁

Figure 1. CMS-04 medium-low speed maglev train passing through overpass

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图 2 CMS-04磁浮列车通过图1所示桥梁时的悬浮间隙和电磁铁加速度

Figure 2. Levitation gap and acceleration of electromagnet when CMS-04 maglev train passes through overpass in Fig.1

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磁浮桥梁的长度通常远大于其宽度和高度，因此，在建模时常将其视为Bernoulli-Euler梁. 桥梁的垂向运动方程为

${E_{\mathrm{b}}}{I_{\mathrm{b}}}\frac{{{\partial ^4}y\left( {x,t} \right)}}{{\partial {x^4}}} + {\rho _{\mathrm{b}}}\frac{{{\partial ^2}y\left( {x,t} \right)}}{{\partial {t^2}}} = {f_{\mathrm{b}}}\left( {x,t} \right) - \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}{m_{\mathrm{b}}}\left( {x,t} \right) ,$

(1)

式中：y(x,t)为桥梁的垂向挠度，f_b(x,t)为作用在梁上的外力，m_b(x,t)为作用在梁上的弯矩，x为梁长度方向的坐标，E_b为梁的杨氏模量，I_b为梁的截面惯性矩，ρ_b为梁的线密度，t为时间.

采用模态分析法，假定桥梁的振动模态振型为 $\phi ( x )$ ，模态频率为 $\omega$ ，式（1）可以转化为

${E_{\mathrm{b}}}{I_{\mathrm{b}}}\frac{{{\partial ^4}\phi \left( x \right)}}{{\partial {x^4}}} + {E_{\mathrm{r}}}{I_{\mathrm{r}}}\frac{{{\partial ^4}\phi \left( x \right)}}{{\partial {x^4}}} - \left( {{\rho _{\mathrm{b}}} + {\rho _{\mathrm{r}}}} \right){\omega ^2}\phi \left( x \right) = 0 ,$

(2)

式中：ρ_r为轨排的线密度，E_r和I_r分别为轨排的杨氏模量和截面惯性矩.

轨排弯曲产生的附加力矩为

${m_{\mathrm{b}}}\left( {x,t} \right) = {E_{\mathrm{r}}}{I_{\mathrm{r}}}\frac{{{\partial ^2}\phi \left( {x,t} \right)}}{{\partial {x^2}}}.$

(3)

式（2）的特征方程为

$\left( {{E_{\mathrm{b}}}{I_{\mathrm{b}}} + {E_{\mathrm{r}}}{I_{\mathrm{r}}}} \right){\lambda ^4} - \left( {{\rho _{\mathrm{b}}} + {\rho _{\mathrm{r}}}} \right){\omega ^2} = 0 ,$

(4)

于是可得

${\omega ^2} = \sqrt {\frac{{EI{\lambda ^4}}}{{{\rho _{\mathrm{b}}} + {\rho _{\mathrm{r}}}}}} ,$

(5)

式中： $EI = {E_{\mathrm{b}}}{I_{\mathrm{b}}} + {E_{\mathrm{r}}}{I_{\mathrm{r}}}$ ，E和I分别为桥梁的等效弹性模量和截面惯性矩； $\lambda$ 为空间波长.

作为示例，考虑图1所示的外伸梁，其等效结构如图3所示. 图中，k₁和k₂分别为由桥墩和基础以及桥梁支座构成的左、右两侧等效弹性系数. 将图3中的桥梁视为2段，L₁和L₂分别为两段梁的长度，假定其振型分别为

图 3 非对称外伸梁的简化结构示意

Figure 3. Simplified structure of asymmetrical stretched bridge

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$\begin{split} & {\phi _1}\left( x \right) = {C_1}{K_1}\left( {\lambda x} \right) + {C_2}{K_2}\left( {\lambda x} \right) + \\ &\quad {C_3}{K_3}\left( {\lambda x} \right) + {C_4}{K_4}\left( {\lambda x} \right) , \end{split}$

(6)

$\begin{split} & {\phi _2}\left( x \right) = {D_1}{K_1}\left( {\lambda x} \right) + {D_2}{K_2}\left( {\lambda x} \right) + \\ &\quad {D_3}{K_3}\left( {\lambda x} \right) + {D_4}{K_4}\left( {\lambda x} \right) , \end{split}$

(7)

式（6）、（7）中：K₁(·)～K₄(·)为Krylov函数，由正弦、余弦、双曲正弦和双曲余弦4种函数组合而成^[22]； C₁～C₄、D₁～D₄为未知系数，须根据桥梁的边界条件确定.

在最左端支墩处，梁的边界条件满足

${\left. {EI\frac{{{{\text{d}}^2}{\phi _1}\left( x \right)}}{{{\text{d}}{x^2}}}} \right|_{x = 0}} = 0 ,$

(8)

${\left. {EI\frac{{{{\text{d}}^3}{\phi _1}\left( x \right)}}{{{\text{d}}{x^3}}}} \right|_{x = 0}} = - {k_1}{\phi _1}\left( 0 \right) .$

(9)

在梁的右侧支墩处，有

${\phi _1}\left( {{L_1}} \right) = {\phi _2}\left( 0 \right) ,$

(10)

${\left. {\frac{{{\text{d}}{\phi _1}\left( x \right)}}{{{\text{d}}x}}} \right|_{x = {L_1}}} = {\left. {\frac{{{\text{d}}{\phi _2}\left( x \right)}}{{{\text{d}}x}}} \right|_{x = 0}} ,$

(11)

${\left. {EI\frac{{{{\text{d}}^2}{\phi _1}\left( x \right)}}{{{\text{d}}{x^2}}}} \right|_{x = {L_1}}} = {\left. {EI\frac{{{{\text{d}}^2}{\phi _2}\left( x \right)}}{{{\text{d}}{x^2}}}} \right|_{x = 0}} ，$

(12)

${\left. {EI\frac{{{{\text{d}}^3}{\phi _1}\left( x \right)}}{{{\text{d}}{x^3}}}} \right|_{x = {L_1}}} = {k_2}{\phi _2}\left( 0 \right) + {\left. {EI\frac{{{{\text{d}}^3}{\phi _2}\left( x \right)}}{{{\text{d}}{x^3}}}} \right|_{x = 0}} .$

(13)

梁的最右端处于自由状态，有

${\left. {EI\frac{{{{\text{d}}^2}{\phi _2}\left( x \right)}}{{{\text{d}}{x^2}}}} \right|_{x = {L_2}}} = 0 ,$

(14)

${\left. {EI\frac{{{{\text{d}}^3}{\phi _2}\left( x \right)}}{{{\text{d}}{x^3}}}} \right|_{x = {L_2}}} = 0 .$

(15)

将式（8）～（15）代入式（6）、（7），并联合式（5）可解得λ、C₁～C₄、D₁～D₄，从而得到 $\phi_1$ (x)和 $\phi_2$ (x)，进而组合起来得到完整的桥梁模态振型ψ(x). 取L₁=12.5 m，L₂=2.0 m，线密度为2.2 t/m，EI = 5 × 10⁹ N·m²，k₁ = k₂ = 6 × 10⁸ N/m，可得梁的前三阶模态振型如图4所示.

图 4 外伸梁的前三阶模态振型

Figure 4. Modal shapes of first three orders of stretched bridge

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若梁的长度和截面尺寸不变，当右侧支墩位置不同时，梁的振型和频率也有所不同，对应的前三阶模态频率列于表1. 为便于对比，表中同时列出对应简支条件下梁的前三阶模态频率. 可见：相比两端支撑梁（对应表格最后一行），随跨径的缩短，外伸梁的一阶模态频率呈现先增后减的趋势，其最高频率可高出53.9% （11 m跨径时）；而对于12.5 m跨径的外伸梁，其频率也会增大29.5%. 这种模态频率的增大势必会影响车-桥耦合系统的稳定性. 此外，从表1还可以看出，同等跨径下，简支梁的模态频率会高于弹性支撑梁，且前者二阶以上模态频率偏高更多，与磁浮线路上观测的情况不符. 例如，实测唐山线道岔梁的一阶模态频率为13.10 Hz，二阶模态频率为28.50 Hz，如图5所示. 但在简支条件下表1中14.5 m两端支撑梁的二阶模态频率几乎是一阶模态的4倍，误差较大，因此，本文采用弹性支撑模型.

表 1 不同跨径下外伸梁的前三阶模态频率

Table 1. Simplified structure of asymmetrical stretched bridge Hz

跨径/m	弹性支撑			简支支撑
跨径/m	一阶	二阶	三阶	一阶	二阶	三阶
10.0	16.05	23.23	54.10	16.98	38.54	106.22
11.0	16.55	26.00	51.22	17.45	44.56	93.50
12.0	14.86	33.96	48.67	15.95	55.81	96.44
12.5	13.92	38.10	49.09	14.99	56.89	114.08
13.0	13.02	39.68	52.96	13.94	54.86	118.95
14.0	11.40	37.84	62.92	12.07	48.29	108.58
14.5	10.75	36.56	64.57	11.42	45.67	102.91

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图 5 唐山线道岔梁车-岔耦合振动时的悬浮间隙功率谱

Figure 5. Power spectrum of levitation gap during vehicle-turnout coupling vibration at turnout of Tangshan Line

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桥梁的垂向形变 $y\left( {x,t} \right)$ 可以表示为各阶模态叠加，如式（16）.

$y\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{\psi _k}\left( x \right){q_k}\left( t \right)} ,$

(16)

式中：ψ_k(x)和q_k(t)分别为桥梁的第k阶模态振型和广义位移.

桥梁在外力作用下的第k阶模态受迫振动可表示为^[7]

${\ddot q_k}\left( t \right) + \omega _k^2{q_k}\left( t \right) = \frac{1}{{{l_0}{M_k}}}\int_{{x_0}}^{{x_0} + {l_0}} {{F_{\mathrm{m}}}\left( t \right){\psi _k}\left( x \right){\text{d}}x} ,$

(17)

式中：ω_k为桥梁的第k阶模态频率；F_m(t)为作用在梁上的电磁力；x₀为电磁力的起始位置；l₀为电磁力的长度；M_k为广义质量，如式（18）所示.

${M_k} = \left( {{\rho _{\mathrm{b}}} + {\rho _{\mathrm{r}}}} \right)\int_0^L {\psi _k^2\left( x \right){\text{d}}x},$

(18)

式中：L为桥墩支点距离.

式（17）与弹簧质量振子系统的二阶动力学方程形式类似，对应的等效质量为

${\bar m_k} = \frac{{{l_0}{M_k}}}{{{\psi _k}\left( {{x_0}} \right)\displaystyle\int_{{x_0}}^{{x_0} + {l_0}} {{\psi _k}\left( x \right){\text{d}}x} }} ,$

(19)

等效刚度为

${\bar k_k} = \frac{{{l_0}{M_k}\omega _k^2}}{{{\psi _k}\left( {{x_0}} \right)\displaystyle\int_{{x_0}}^{{x_0} + {l_0}} {{\psi _k}\left( x \right){\text{d}}x} }} .$

(20)

可以看出，桥梁第k阶模态的等效质量和等效刚度同电磁铁所在的起始位置x₀有关，且x₀对应的模态振幅越小，其等效的刚度和质量也越大.

对于有阻尼的梁，式（17）的左边会出现阻尼项，其Laplace变换可以表示为

$\left\{\begin{array}{l} {H_k}\left( s \right) = \dfrac{{{y_{0k}}\left( s \right)}}{{{F_m}\left( s \right)}} = \dfrac{{{g_k}\left( {{x_0}} \right)}}{{{s^2} + 2{\zeta _k}{\omega _k}s + \omega _k^2}} ,\\ {g_k}\left( {{x_0}} \right) = \dfrac{{{\psi _k}\left( {{x_0}} \right)}}{{{l_0}{M_k}}}\displaystyle\int_{{x_0}}^{{x_0} + {l_0}} {{\psi _k}\left( x \right){\text{d}}x} , \end{array}\right.$

(21)

式中：s为Laplace变换复变量；H_k(s)为桥梁在第k阶模态时的传递函数；y_0k(s)和g_k(x₀)分别为桥梁的第k阶模态在x₀处的位移和模态增益； $\zeta$ 为梁的第k阶模态阻尼系数.

根据式（16）可得桥梁的传递函数为

$H\left( s \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{H_k}\left( s \right)} .$

(22)

假定电磁铁的位置位于2个桥墩中心，当考虑梁的前三阶模态时，外伸梁的频率响应如图6所示. 从图中可以看出，桥梁的垂向振动幅值在一阶模态频率附近达到最大；若电磁力在该频率上的分量足够大，则可能引发车-桥耦合自激振动问题.

图 6 桥梁的频率响应

Figure 6. Frequency response curves of bridge

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1.2 磁浮列车悬浮系统建模

磁浮列车的悬浮系统建模方面的研究较多，不展开讨论. 本文以单悬浮点的串级PID （比例-积分-微分）控制为例，悬浮系统的数学模型可以表示为^[23]

$\left\{ \begin{gathered} \frac{{u\left( t \right)}}{2} = i\left( t \right)R + \frac{{{\mu _0}A{N^2}}}{{2\delta \left( t \right)}}\dot i\left( t \right) - \frac{{{\mu _0}A{N^2}i\left( t \right)}}{{2\delta _{}^2\left( t \right)}}\dot \delta \left( t \right), \\ {m_1}\frac{{{{\text{d}}^2}{y_1}\left( t \right)}}{{{\text{d}}{t^2}}} = - {F_{\mathrm{m}}}\left( t \right) + {m_1}g, \\ {F_{\mathrm{m}}}\left( t \right) = \frac{{{\mu _0}A{N^2}}}{2}{\left( {\frac{{i\left( t \right)}}{{\delta \left( t \right)}}} \right)^2}, \\ {i_{\mathrm{e}}}\left( t \right) = {k_{\mathrm{p}}}\left( {{y_1}\left( t \right) - {y_0}\left( t \right) - {{\textit{z}}_0}} \right) + {k_{\mathrm{d}}}{{\dot y}_1}\left( t \right), \\ u\left( t \right) = {k_{\mathrm{c}}}\left( {{i_{\mathrm{e}}}\left( t \right) - i\left( t \right)} \right), \\ \end{gathered} \right.$

(23)

式中：u(t)为控制电压，i_e(t)和i(t)分别为通过电磁铁的期望电流和实际电流，R为电磁铁绕组的电阻，μ₀为真空磁导率，A和N分别为电磁铁磁极面积和绕组匝数，m₁为悬浮等效质量，k_p、k_d、k_c分别为比例、微分和电流环控制参数，z₀为期望悬浮间隙，y₁(t)和y₀(t)分别为电磁铁和轨道的垂向位移，δ(t)为实际悬浮间隙.

为分析悬浮系统的频率特性，将该系统的模型进行线性化，得

$\left\{ \begin{gathered} u\left( t \right) = {k_{\mathrm{p}}}{k_{\mathrm{c}}}\left( {{y_1}\left( t \right) - {y_0}\left( t \right)} \right) + {k_{\mathrm{d}}}{k_{\mathrm{c}}}{{\dot y}_1}\left( t \right), \\ {L_0}\dot i\left( t \right) = u\left( t \right)/2 - i\left( t \right)R + {F_{\mathrm{i}}}\left( {{{\dot y}_1}\left( t \right) - {{\dot y}_0}\left( t \right)} \right), \\ {F_{\mathrm{m}}}\left( t \right) = 2\left[ {{F_{\mathrm{i}}}i\left( t \right) - {F_{\mathrm{z}}}\left( {{y_1}\left( t \right) - {y_0}\left( t \right)} \right)} \right], \\ {m_1}{{\ddot y}_1}\left( t \right) + {F_{\mathrm{m}}}\left( t \right) = 0, \\ \end{gathered} \right.$

(24)

式中： $L_0=\dfrac{\mu_0 A N^2}{2 {\textit{z}}_0}, \quad F_{\mathrm{i}}=\dfrac{\mu_0 A N^2 i_0}{2 {\textit{z}}_0^2}, \quad F_{\mathrm{z}}=\dfrac{\mu_0 A N^2 i_0^2}{2 {\textit{z}}_0^3}$ .

对式（24）进行Laplace变换，经过推导消去中间变量，可得悬浮力和轨道垂向位移的关系为^[14]

$\frac{F_{\mathrm{m}}(s)}{y_0(s)}=-\frac{\eta m_1 s^2}{m_1 L_0 s^3 + m_1 \bar{R} s^2 + F_{\mathrm{i}} k_{\mathrm{c}} k_{\mathrm{d}} s + \eta},$

(25)

式中： $\eta=F_{\mathrm{i}}k_{\mathrm{c}}k_{\mathrm{p}}-2F_{\mathrm{z}}\overline{R}，\overline{R}=R+k_{\mathrm{c}}/2$ .

取悬浮控制系统的参数如表2所示. 表中列出的悬浮控制参数可使悬浮系统具有较好的动态性能. 在这组参数下，式（25）的频率响应曲线如图7所示. ω_c为相频曲线穿越 −180° 时的频率，该频率反映悬浮系统的带宽.

表 2 悬浮系统的主要参数

Table 2. Main parameters of levitation system

参数	数值	参数	数值
A/m²	0.018 48	k_p	5 000
N/匝	360	k_d	50
R/Ω	0.55	k_c	40
z₀/mm	8	μ₀/（H·m⁻¹）	4π × 10⁻⁷
m₁/kg	650

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从图7可以看出，悬浮系统的频率响应呈现带通特性. 在式（25）中，令s = jω，整理可得传递函数的实部和虚部. 令实部等于0，有

$\omega_{\mathrm{c}}=\sqrt{\frac{F_{\mathrm{i}} k_{\mathrm{c}} k_{\mathrm{d}}}{m_1 L_0}}.$

(26)

该频率与控制参数相关，反映了悬浮系统跟踪轨道的能力，与车-桥耦合系统的稳定性关系较大.

图 7 悬浮系统的频率响应

Figure 7. Frequency response characteristics of levitation system

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1.3 车-桥耦合模型的稳定性分析

式（21）、（22）、（25）构成了车-桥耦合系统模型. 在实际系统中，磁浮车由多个悬浮点构成，在考虑磁浮车辆和桥梁的耦合动力学问题时，应当把所有悬浮点考虑在内. 然而，各悬浮点所处的位置不同，对应的模态振幅也不相同. 在近似分析时，可根据车辆的实际位置在式（25）的分子上乘以一个放大系数. 这一问题在文献[24]中有相关讨论. 图8所示是车-桥耦合系统的开环频率响应曲线.

图 8 车轨耦合系统的开环频率特性

Figure 8. Open-loop frequency characteristics of vehicle-rail coupling system

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从图8可以看出，由于桥梁模态峰值的影响，车-桥耦合系统的开环频率特性在模态频率上将出现尖峰，这些尖峰是导致闭环系统出现不稳定的根本原因. 由于桥梁的一阶模态振幅最大，因而由其产生的峰值也最高. 同时，若悬浮系统的峰值频率和桥梁的一阶模态频率接近时，二峰叠加会导致在该频率附近出现幅值尖峰. 由于桥梁和悬浮系统自身都是稳定的，因此，当图8中的开环相频曲线向下穿越−180° 所对应的幅值响应高于0 dB时，闭环系统将不稳定，出现车-桥耦合自激振动.

图9所示为在所选参数下车轨耦合系统的悬浮间隙响应曲线. 可见，桥梁出现了不稳定的自激振动现象. 进一步分析振动的频率可以推断出桥梁的一阶振动模态引发了车轨耦合系统的自激振动.

图 9 车轨耦合系统的悬浮间隙

Figure 9. Levitation gap curve of vehicle-rail coupling system

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2. 桥梁参数对车-桥耦合稳定性的影响

磁浮桥梁的参数，如桥梁的跨径、线密度、模态频率、阻尼等对车-桥耦合系统的稳定性影响很大.

2.1 桥梁一阶模态频率对车-桥耦合稳定性的影响

桥梁一阶模态振型的振幅通常最大，因而也最容易引发自激振动问题. 《中低速磁浮交通设计规范》（CJJ/T 262—2017）^[25]规定磁浮简支桥梁竖向一阶频率f₁ ≥ 64/L. 这对桥梁的频率下限提出了要求. 理论研究和工程实践发现，当桥梁的一阶模态频率高到和悬浮系统的特征频率接近时，更容易引发车-桥耦合振动问题.

文献[23]表明，对于式（22）表达的桥梁模型来说，可以将其每阶模态视为一个无阻尼弹簧-质量振子，当该振子的自然振动频率高于悬浮系统的ω_c时，车轨耦合系统的稳定性条件将被打破，自激振动将会发生. 这意味着，对于无阻尼梁，即使其低阶模态频率低于ω_c，但其高阶模态总会引发自激振动问题. 对于有阻尼梁，上述结论不再成立. 此时，应综合考虑桥梁的阻尼大小和质量等因素. 通常，当桥梁的一阶模态频率接近ω_c时，引发车轨耦合振动的可能性也更大. 由图7、8可以看出，对于一阶模态频率高于10 Hz的桥梁，应关注车-桥耦合稳定性问题.

2.2 桥梁跨径对车-桥耦合系统稳定性的影响

桥梁跨径对模态频率和桥梁线密度有显著影响. 在CJJ/T 262—2017规范^[25]中，还规定了简支桥梁在列车静活载作用下竖向挠跨比限值应小于1/3 800. 这对桥梁的最低刚度进行了约束.

假定桥梁的截面是一个实心结构，L_g、b、h分别为梁的长、宽和高. 在磁浮列车均布载荷q的作用下，梁的挠度为

${y_{\mathrm{m}}} = \frac{{5q{L_{\mathrm{g}}^4}}}{{384EI}} .$

(27)

若按挠跨比1/3 800计算，梁的截面惯性矩至少应为

$I = \frac{{475q{L_{\mathrm{g}}^3}}}{{48E}} .$

(28)

又因为矩形截面梁的截面惯性矩为 $1/12b{h^3}$ ，因此，联合式（28）可得

$h = {\left( {\frac{{475q}}{{4Eb}}} \right)^{\tfrac{1}{3}}}L_{\mathrm{g}} .$

(29)

而简支梁的一阶模态频率为

${\omega _1} = \frac{{{{\text{π}} ^2}}}{{{L_{\mathrm{g}}^2}}}\sqrt {\frac{{EI}}{{{\rho _{\mathrm{l}}}}}} = \frac{{{{\text{π}} ^2}}}{{{L_{\mathrm{g}}^2}}}\sqrt {\frac{{475q{L_{\mathrm{g}}^3}}}{{48\rho bh}}} ,$

(30)

式中：ρ_l为梁的线密度，ρ为梁的材料密度.

结合式（29），可得

${\omega _1} = \frac{{{{\text{π}} ^2}}}{L_{\mathrm{g}}}\sqrt {\frac{{475q}}{{48\rho b{{\left( {\dfrac{{475q}}{{4Eb}}} \right)}^{\tfrac{1}{3}}}}}} .$

(31)

可以看出，梁的一阶模态频率和跨径成反比. 为验证这一结论，表3列出了唐山中低速磁浮试验线的几种典型混凝土梁的跨径和实测的一阶模态频率. 从表中可以看出，随着跨径的增大，桥梁的一阶模态频率随之降低. 其中，18.0 m跨径混凝土梁的典型垂向一阶模态频率约为9.00 Hz，而24.0 m混凝土梁则是6.80～7.00 Hz. 李苗等^[26]测得上海临港线的25.0 m混凝土梁和钢梁的垂向一阶模态频率分别为7.32、7.72 Hz，与唐山线24.0 m混凝土梁的实测频率也比较接近. 故本文以唐山线的桥梁参数作为参考.

表 3 唐山试验线几种典型的桥梁一阶模态频率

Table 3. First-order modal frequencies of typical bridges in Tangshan test line

编号	跨径/m	一阶模态频率/Hz	梁类型
L1_1	12.5*	13.80	外伸混凝土箱梁
L1_3	14.5	11.00	简支混凝土箱梁
L1_6	18.0	9.00	简支混凝土箱梁
L1_8	18.0	9.10	简支混凝土箱梁
L2_29	24.0	6.80	简支混凝土箱梁
L2_30	24.0	7.00	简支混凝土箱梁
注：* 表示L1_1梁全长为14.5 m，支墩间距为12.5 m.

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列车静活载取22.9 kN/m，梁的宽度b=1.5 m. 若以表3中18.0 m混凝土梁的实测频率为基准，根据式（31）可以计算出桥梁一阶模态频率随跨径的变化规律，如图10所示. 图中，对应24.0 m跨径的桥梁一阶模态频率是6.75 Hz，对应14.5 m跨径的混凝土梁一阶模态频率是11.17 Hz，均与表3中所列的实测频率比较接近. 说明上述模型具有较好的精确度. 图10还给出了桥梁的截面高度和跨径的关系. 可以看出，桥梁高度随跨径的增大而增高，这与实际情况相符.

图 10 桥梁一阶模态频率和跨径的关系

Figure 10. Relationship between first-order modal frequency of bridge and span

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另一方面，在桥梁挠度规范的约束下，桥梁的跨径也会影响桥梁的线密度，进而影响桥梁的模态增益. 对于简支梁来说，其模态位移最大点位于梁的中央，此处模态增益也最大. 其一阶模态振型 ${\phi _1}\left( x \right) = \sin \left( {{\text{π}} x/L} \right)$ ，由式（21）可得此处模态增益为

${g_1}\left( {\frac{L_{\mathrm{g}}}{2}} \right) = \dfrac{{2\left( {\cos {\dfrac{{{\text{π}} \left( {L_{\mathrm{g}} - {l_0}} \right)}}{{2L_{\mathrm{g}}}}} - \cos {\dfrac{{{\text{π}} \left( {L_{\mathrm{g}} + {l_0}} \right)}}{{2L_{\mathrm{g}}}}} } \right)}}{{{\text{π}} {l_0}{\rho _{\mathrm{l}}}}} .$

(32)

模态增益和跨径的关系如图11所示. 可以看出，模态增益随跨径的增大而减小，意味着桥梁的机械阻抗随跨径的增大而增大. 又因桥梁一阶模态频率随跨径的增大而降低，故适当增大跨径有利于提高车-桥耦合系统的稳定性. 然而，桥梁跨径不是越大越好. 随着桥梁跨径的增大，梁的截面高度也会随之增大，经济性可能反而下降. CJJ/T 262—2017规范^[25]指出，轨道梁跨径应根据其截面构造、桥梁高度和地基深度，结合经济指标等因素选择，宜采用中等跨径组合（20.0 m<L<30.0 m）或小跨径（L<20.0 m）组合.

图 11 桥梁一阶模态增益同跨径的关系

Figure 11. Relationship between first-order modal gain of bridge and span

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然而，实际的磁浮桥梁通常采用箱梁的形式，如图12所示. 此时梁的截面惯性矩为

图 12 箱梁的截面结构示意

Figure 12. Cross-section structure of box girder

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$I = \frac{1}{{12}}\left[ {b{h^3} - \left( {b - 2{b_0}} \right){{\left( {h - 2{h_0}} \right)}^3}} \right] .$

(33)

联合式（28）用数值求解方法得到梁的高度h，并进而由式（30）得到桥梁的一阶模态频率. 取b₀ = 0.22 m，h₀ = 0.2 m，计算得到梁的一阶模态频率如图13所示. 对比图10可以看出，采用箱梁模型计算得到的箱梁频率和实测值更接近，说明箱梁模型精确度更高.

图 13 箱梁的一阶模态频率和跨径的关系

Figure 13. Relationship between first-order modal frequency of box girder and span

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值得说明的是，唐山线的箱梁截面参数b₀并非恒值，不同跨径的梁该值存在差异. 另外，唐山线桥梁的截面并非规整的矩形. 例如，对于14.5 m跨径的钢筋混凝土简支梁来说，其横向桥面宽1.5 m，梁底宽1.3 m，桥面每侧悬臂长0.1 m，梁底到悬臂底采用圆弧过渡. 这种特殊的截面形状也是导致上述计算结果与实测值产生差异的原因.

2.3 桥梁的阻尼对车-桥耦合稳定性的影响

桥梁阻尼对车轨耦合系统的稳定性影响很大. 通常，阻尼越大的梁，其耗散振动能量的能力也越大，因此，其稳定性也越好. 根据式（23）构建包含一辆磁浮车（共5个悬浮架、20个悬浮控制点）的完整控制模型^[14]，并结合式（21）的桥梁模型，通过调节桥梁的一阶模态频率和阻尼比的取值，绘制出车-桥耦合系统的不稳定取值范围，如图14所示. 可以看出：桥梁的阻尼比越小，其不稳定的频率范围越宽；对于阻尼为0的桥梁，理论上不存在稳定的频率范围；对于低阻尼的桥梁，其一阶模态频率越高，越易引发自激振动问题. 对照表1可以发现，由于外伸梁一阶模态频率比两端简支梁高，使其更容易进入图中的不稳定区，故更易引发自激振动问题. 这与实际观察到的情况一致.

图 14 桥梁的不稳定频率范围和桥梁阻尼比的关系

Figure 14. Relationship between unstable frequency range and damping ratio of bridge

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此外，对于磁浮线路的道岔梁，由于采用钢材质，其阻尼比普遍比混凝土梁小，且模态频率也更高，因而更易引发自激振动问题. 例如，唐山磁浮试验线的道岔主梁容易出现13.10 Hz左右的等幅车-岔耦合自激振动.

2.4 桥梁线密度对车-桥耦合稳定性的影响

桥梁的线密度直接决定桥梁总重，对车轨耦合系统的稳定性影响同样较大. 从式（18）～（20）可以看出，桥梁的线密度越小，则对应的桥梁模态等效质量和等效刚度也越小，从而相同电磁力作用下桥梁的变形也越大. 图15所示为桥梁的一阶模态不稳定频率范围和桥梁线密度之间的关系（此时假定桥梁的一阶模态阻尼比固定为0.01）. 从图中可以看出，桥梁的线密度越小，对应的一阶模态不稳定频率范围也越宽. 考虑到高阶模态的影响，当桥梁线密度小到一定程度后，在选定的控制方法和控制参数下将不存在稳定的频率范围. 这从一定程度上可以解释AMT磁浮系统在欧道明大学轻质桥梁上出现悬浮困难的原因.

图 15 桥梁的不稳定频率范围同桥梁线密度的关系

Figure 15. Relationship between unstable frequency range and line density of bridge

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从图15还可以看出，若桥梁的模态频率接近或稍高于悬浮临界频率，更容易发生车轨耦合自激振动问题.

上述分析结果与控制参数的关系较大，当控制参数发生变化时，上述参数的稳定范围也将发生变化. 这里不展开讨论.

3. 结　论

本文针对磁浮列车的车-桥耦合自激振动问题，讨论桥梁的模态频率、跨径、阻尼比、线密度等参数对车-桥耦合稳定性的影响. 主要结论包括：

1）桥梁的一阶模态频率接近或略高于悬浮临界频率，容易引发车-桥耦合自激振动. 因此，对于一阶模态频率高于10.00 Hz的桥梁，更应关注车-桥耦合稳定性问题.

2）在满足挠跨比指标的情况下，桥梁跨径越大，其模态频率越低，对应车-桥耦合系统模态增益也越低，因而稳定性也越好. 磁浮工程中常用的24.0 m跨径桥梁稳定性优于18.0 m以下的短跨桥梁.

3）阻尼对车轨耦合系统的稳定性影响很大. 桥梁的阻尼比越小，其不稳定的频率范围越宽. 因此，相同条件下混凝土梁的稳定性优于钢梁.

4）桥梁的线密度越小，对应的一阶模态不稳定频率范围也越宽. 小跨径桥梁因其线密度小于大跨径桥梁，且模态频率较高，因此稳定性差.

5）外伸梁的模态频率高于两端支撑梁的，因而更容易进入不稳定模态频率范围. 在磁浮工程中应尽量避免使用这类短跨外伸梁.

图 1 CMS-04中低速磁浮列车通过高架桥梁

Figure 1. CMS-04 medium-low speed maglev train passing through overpass

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图 2 CMS-04磁浮列车通过图1所示桥梁时的悬浮间隙和电磁铁加速度

Figure 2. Levitation gap and acceleration of electromagnet when CMS-04 maglev train passes through overpass in Fig.1

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图 3 非对称外伸梁的简化结构示意

Figure 3. Simplified structure of asymmetrical stretched bridge

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图 4 外伸梁的前三阶模态振型

Figure 4. Modal shapes of first three orders of stretched bridge

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图 5 唐山线道岔梁车-岔耦合振动时的悬浮间隙功率谱

Figure 5. Power spectrum of levitation gap during vehicle-turnout coupling vibration at turnout of Tangshan Line

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图 6 桥梁的频率响应

Figure 6. Frequency response curves of bridge

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图 7 悬浮系统的频率响应

Figure 7. Frequency response characteristics of levitation system

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图 8 车轨耦合系统的开环频率特性

Figure 8. Open-loop frequency characteristics of vehicle-rail coupling system

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图 9 车轨耦合系统的悬浮间隙

Figure 9. Levitation gap curve of vehicle-rail coupling system

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图 10 桥梁一阶模态频率和跨径的关系

Figure 10. Relationship between first-order modal frequency of bridge and span

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图 11 桥梁一阶模态增益同跨径的关系

Figure 11. Relationship between first-order modal gain of bridge and span

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图 12 箱梁的截面结构示意

Figure 12. Cross-section structure of box girder

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图 13 箱梁的一阶模态频率和跨径的关系

Figure 13. Relationship between first-order modal frequency of box girder and span

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图 14 桥梁的不稳定频率范围和桥梁阻尼比的关系

Figure 14. Relationship between unstable frequency range and damping ratio of bridge

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图 15 桥梁的不稳定频率范围同桥梁线密度的关系

Figure 15. Relationship between unstable frequency range and line density of bridge

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表 1 不同跨径下外伸梁的前三阶模态频率

Table 1. Simplified structure of asymmetrical stretched bridge Hz

跨径/m	弹性支撑			简支支撑
跨径/m	一阶	二阶	三阶	一阶	二阶	三阶
10.0	16.05	23.23	54.10	16.98	38.54	106.22
11.0	16.55	26.00	51.22	17.45	44.56	93.50
12.0	14.86	33.96	48.67	15.95	55.81	96.44
12.5	13.92	38.10	49.09	14.99	56.89	114.08
13.0	13.02	39.68	52.96	13.94	54.86	118.95
14.0	11.40	37.84	62.92	12.07	48.29	108.58
14.5	10.75	36.56	64.57	11.42	45.67	102.91

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表 2 悬浮系统的主要参数

Table 2. Main parameters of levitation system

参数	数值	参数	数值
A/m²	0.018 48	k_p	5 000
N/匝	360	k_d	50
R/Ω	0.55	k_c	40
z₀/mm	8	μ₀/（H·m⁻¹）	4π × 10⁻⁷
m₁/kg	650

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表 3 唐山试验线几种典型的桥梁一阶模态频率

Table 3. First-order modal frequencies of typical bridges in Tangshan test line

编号	跨径/m	一阶模态频率/Hz	梁类型
L1_1	12.5*	13.80	外伸混凝土箱梁
L1_3	14.5	11.00	简支混凝土箱梁
L1_6	18.0	9.00	简支混凝土箱梁
L1_8	18.0	9.10	简支混凝土箱梁
L2_29	24.0	6.80	简支混凝土箱梁
L2_30	24.0	7.00	简支混凝土箱梁
注：* 表示L1_1梁全长为14.5 m，支墩间距为12.5 m.

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