Influence of Fastener Stiffness Nonlinearity on Wheel–Rail Transient Rolling Contact Behavior in Corrugated Area

XU Jingmang; LIANG Xinyuan; WANG Kai; ZHAO Siqi; WANG Ping

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20211043

Volume 59 Issue 2

Apr. 2024

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Abstract

References

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Citation:

XU Jingmang, LIANG Xinyuan, WANG Kai, ZHAO Siqi, WANG Ping. Influence of Fastener Stiffness Nonlinearity on Wheel–Rail Transient Rolling Contact Behavior in Corrugated Area[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2024, 59(2): 247-255. doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20211043

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Influence of Fastener Stiffness Nonlinearity on Wheel–Rail Transient Rolling Contact Behavior in Corrugated Area

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20211043

MOE Key Laboratory of High-Speed Railway Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China

Received Date: 16 Dec 2021
Rev Recd Date: 27 Apr 2022

Available Online: 19 Dec 2023

Publish Date: 07 May 2022

Abstract

Abstract

The stiffness of the rubber pad of the WJ-8 fastener exhibits nonlinear characteristics during long-term service, and the static stiffness decreases with the increase in the load. In order to improve the calculation accuracy of the three-dimensional transient rolling contact finite element model, the LMA tread wheel and CHN60 rail were used. Based on the explicit integration algorithm, the linear elastic fasteners in the previous research were transformed into nonlinear fasteners to establish a three-dimensional wheel–rail transient rolling contact finite element model considering the nonlinear characteristics of fastener stiffness. The influence of stiffness nonlinearity on the high-frequency dynamic response and transient contact behavior between wheel and rail corrugation was studied, and the change of wheel–rail contact force and axle box acceleration in the time-frequency domain under corrugation conditions was analyzed. The results show that the nonlinearity of the fastener has an obvious effect on the change of the wheel–rail contact force. The main manifestation is that when the wheel travels to the front end of the fastener, the strong vibration makes the rubber pad soft, which reduces the contact force of the wheel and rail. In addition, when the wheel travels above the fastener, the vibration is weakened under the action of the axle load; the stiffness characteristic increases the wheel-rail contact force, and the difference between the wheel–rail force changes is up to 13.1%.
- stiffness nonlinearity,
- transient rolling contacts,
- rail corrugation,
- explicit finite element method

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磁悬浮轴承（AMBs）具有无摩擦、免润滑、长寿命、可主动监测和控制的优点，近年来在流体机械上的应用逐渐增多^[1-2]. 为了对磁悬浮轴承设计、性能评估等方面进行规范，国际标准组织提出了针对装备磁悬浮轴承的旋转机械的ISO14839系列标准，涵盖了磁悬浮旋转机械术语定义、振动评估、稳定裕度评估、技术指南、保护轴承5个方面^[3-7].

随着石油天然气工业中的压缩机、膨胀机等对高速、密封、性能要求的提升，该领域的旋转设备供应商越来越多地选择磁悬浮轴承作为转子支承部件. 由于磁悬浮轴承与传统油膜轴承在原理、支承特性、振动等方面存在较大的区别，美国石油学会（API）将磁悬浮轴承纳入API617《轴流、离心压缩机及膨胀机-压缩机标准》中^[8]. 1995年API617第六版中首次以注意事项的形式提到磁悬浮轴承；在2014年第八版中正式形成了标准和规范；2022年第九版中对磁悬浮流体机械的要求进行了进一步明确. 准确的转子动力学模型和完备的动力学分析是磁悬浮轴承结构和控制器设计的基础，也是磁悬浮流体机械系统稳定可靠运行的保障. 因此，API617标准不仅包含了ISO14839要求的振动水平和稳定裕度分析，还对转子动力学的分析验证提出了具体要求.

作为目前磁悬浮流体机械最为全面的标准，API617标准在设备供应商的设计、制造和调试，以及用户的验收、使用过程中发挥着日益重要的作用，目前相关研究也逐渐展开. 崔恒斌等^[9]详细介绍了ISO14839标准中关于磁悬浮旋转机械振动水平和稳定裕度两方面的内容，并以一个磁悬浮轴承转子试验台为实例进行评估，但未对API617标准中要求的转子动力学进行分析. Khatria等^[10]比较了API617标准和ISO14839标准中关于磁悬浮轴承系统稳定性判据的内容，表明当控制器阶数较低时，2种判据具有可比性；当控制器阶数较高时，ISO14839中的灵敏度传递函数更适合评估稳定性. Smithani等^[11]以一台配备磁悬浮轴承的膨胀机-压缩机为例，介绍了基于API617标准的设计、制造、调试和测试过程，并从工程实践经验出发对标准提出了一些建议. Swanson等^[12]同样介绍了API617标准中对磁悬浮流体机械的要求，并给出了2个磁悬浮流体机械的例子进行详细讲解. 胡永等^[13]基于API617标准，对某磁悬浮压缩机的模态和不平衡响应进行了数值仿真分析，但缺乏稳定性评估等内容.

目前，国外已经广泛运用API617标准进行磁悬浮流体机械的设计、测试和验收工作，其可用性和适用性已得到了检验. 基于API617标准进行分析和评估对于磁悬浮流体机械的规范化和进一步发展具有推动作用. 然而，国内磁悬浮流体机械对API617标准的应用和报道相对较少.

本文以一台磁悬浮风机为例，基于API617标准第九版中对磁悬浮流体机械的规范和要求，分析其是否满足标准的各项要求，评价磁悬浮风机的可靠性和稳定性.

1. API617标准中关于磁悬浮流体机械的规范和要求

根据API617标准第九版，对磁悬浮流体机械的规范和要求主要包括自由-自由状态下转子模态频率与振型、无阻尼临界转速、不平衡响应、磁悬浮轴承转子系统传递函数、磁悬浮轴承转子系统测试.

1.1 自由-自由状态下转子模态频率与振型

标准要求建立转子的有限元模型，计算自由-自由状态下转子的模态频率和振型；绘制自由-自由状态下转子模态频率随转速变化的坎贝尔图，该图要求包含3倍最大转速范围内的所有转子模态.

该部分的目的是在转子的设计阶段初步了解其动力学特性，以进行校核和优化. 具体包括：1）初步检查运行转速与临界转速的分离裕度；2）确定陀螺效应对转子模态频率的影响；3）确定运行转速是否高于临界转速，以便进行磁悬浮轴承控制器设计；4）检查是否有弯曲模态的振型节点位于磁悬浮轴承电磁执行器和位移传感器之间，若存在，需及时优化执行器和传感器位置，或在设计控制器时加以考虑.

1.2 无阻尼临界转速

绘制转子各阶模态频率随磁悬浮轴承刚度的变化曲线；根据磁悬浮轴承结构参数和控制器设计，推导出磁悬浮轴承等效动刚度；将磁悬浮轴承动刚度曲线叠加到模态频率变化曲线中，得到转子横向无阻尼临界转速图，初步获得磁悬浮轴承支承下转子的临界转速，并根据需求优化磁悬浮轴承的设计.

1.3 不平衡响应

转子的典型不平衡响应曲线如图1所示，图中： N_min、N_max分别为最小和最大持续运行转速，N_c1、N_c2均为转子的临界转速，A_c1为N_c1处的振幅，N₁为小于且最接近N_c1、振幅为0.707A_c1时的转速，N₂为大于且最接近N_c1、振幅为0.707A_c1时的转速. 不平衡响应分析主要包括放大系数（式（1））、分离裕度、振动极限. 其中，磁悬浮流体机械的放大系数和分离裕度与非磁悬浮轴承支承机械一样，用于表征转子运行转速与临界转速之间的安全余量. N_c1处的放大系数如式（1），N_c2处的放大系数A_F2同理可得.

图 1 转子不平衡响应图

Figure 1. Unbalanced response of rotor

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${{{A}}_{\text{F1}}} = \frac{{{N_{{\mathrm{c}}1}}}}{{{N_{\text{2}}} - {N_{\text{1}}}}} .$

(1)

如果某阶临界转速处的放大系数小于2.5，那么可以认为此临界转速处的阻尼是足够的，不需要考虑分离裕度，此临界转速可以被包含在运行转速范围内；若放大系数大于等于2.5，则运行转速与临界转速之间需要保证存在一定的分离裕度.

N_c1与N_min之间的分离裕度要求为

${{{S}}_{\mathrm{M1}}} = \frac{{{N_{{\mathrm{min}}}} - {N_{\mathrm{c1}}}}}{{{N_{{\mathrm{min}}}}}} \geqslant 0.17\left( {1 - \frac{1}{{{{{A}}_{\mathrm{F1}}} - 1.5}}} \right).$

(2)

N_c2与N_max之间的分离裕度要求为

${{{S}}_{\mathrm{M2}}} = \frac{{{N_{{\mathrm{c2}}}} - {N_{{\mathrm{max}}}}}}{{{N_{{\mathrm{max}}}}}} \geqslant 0.1 + 0.17\left( {1 - \frac{1}{{{{{A}}_{\mathrm{F2}}} - 1.5}}} \right) .$

(3)

对于不平衡响应幅值，API617标准要求转子即使存在2倍的最大允许残余不平衡，在运行转速范围内，振动也不超过极限幅值.

由于磁悬浮轴承的刚度较滑动轴承低，传递到机壳的振动也相应较小；同时，磁悬浮流体机械中保护轴承的间隙是所有间隙中最小的，保证了即使转子振动较大也不会引起其他部件的接触碰摩. 因此，API617标准对磁悬浮轴承支承的流体机械不平衡振动极限较滑动轴承提高了3倍，要求为

${A_{\mathrm{r}}} \leqslant \min \left\{ {3\times {25.4\sqrt {\frac{{12\;000}}{{{N_{{\mathrm{max}}}}}}} } ,0.3{C_{{\mathrm{min}}}}} \right\} \text{，}$

(4)

式中：A_r为转子运行转速范围内的最大振动；C_min为转定子间隙最小处，在磁悬浮轴承转子系统中一般为保护轴承间隙.

ISO14839-2标准^[4]同样对磁悬浮转子的振动提出了要求并划分了等级，如表1所示. 转子处于B级以上，即转子振动小于0.4C_min时均可以接受，相比之下，API617标准的要求更为严格.

表 1 磁悬浮轴承转子系统振动等级（ISO14839-2）

Table 1. AMB-rotor system vibration level （ISO14839-2）

等级	A_r/C_min	描述
A	<0.3	新调试设备一般都处于此等级
B	[0.3, 0.4）	设备可长时间运行
C	[0.4, 0.5）	需要定期维护以保持稳定运行
D	≥0.5	设备失稳的可能性较大

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API617标准中还规定：在需要的情况下，可以通过不平衡响应试验来验证模型. 但由于需要拆机及结构紧凑难以增加不平衡质量等问题，磁悬浮流体机械通常不进行不平衡响应试验，而使用更为简便的系统传递函数测试进行替代.

1.4 磁悬浮轴承转子系统传递函数

磁悬浮轴承系统的一个优势是可以充当激振器对转子施加无接触激励，并通过位移传感器测量响应，这使得系统传递函数的测试非常容易. 因此，传递函数分析与测试成为磁悬浮轴承转子系统模型验证、性能评估必不可少的部分. 另外，对于需要密封或拆装复杂的机器，传递函数测试可能是系统模型验证的唯一实用方法^[12].

磁悬浮轴承转子闭环系统框图如图2所示. 图中：X为转子振动位移，R为参考位置信号，V_s为位移传感器输出信号，V_e为位移误差信号，V₁为功率放大器输入信号，V₂为控制器输出信号，E₁为控制器前正弦激励信号，E₂为控制器后正弦激励信号，I为线圈电流，F为磁悬浮轴承电磁力.

图 2 磁悬浮轴承转子闭环系统框图

Figure 2. AMB-rotor closed-loop system

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具体的传递函数测试方法为^[14]：向系统注入正弦激励信号E₁或E₂，该激励信号的频率由低到高变化；在每一个激励频率下采集传递函数的输入和输出信号并计算幅值和相位，进而可得到幅值响应和相位响应随频率变化的幅频特性和相频特性曲线，即被测对象的传递函数. 常用的传递函数包括系统开环传递函数（V₁到V₂）、系统闭环传递函数（E₂到V₂）、灵敏度传递函数（E₁到V_e）、控制器传递函数（V_e到V₂）、广义被控对象开环传递函数（V₁到V_s）.

API617标准中要求分析和测试的传递函数为系统开环传递函数、系统闭环传递函数、灵敏度传递函数.

1）系统开环传递函数

磁悬浮轴承转子系统开环传递函数的定义为

${G_{\mathrm{o}}} = - \frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} .$

(5)

从系统开环传递函数中可以识别出转子在自由-自由状态下的模态频率，可用于转子模型验证.

2）系统闭环传递函数

磁悬浮轴承转子系统闭环传递函数的定义为

${G_{\mathrm{c}}} = - \frac{{{V_2}}}{{{E_2}}} .$

(6)

系统闭环传递函数测量可以替代不平衡响应测试进行磁悬浮轴承转子系统的模型验证，同时可以在非旋转状态下对磁悬浮轴承控制器进行优化.

3）灵敏度传递函数

磁悬浮轴承转子系统闭环传递函数的定义为

${G_{\mathrm{s}}} = \frac{{{V_{\mathrm{e}}}}}{{{E_1}}} .$

(7)

API617标准直接引用了ISO14839-3标准^[5]中关于磁悬浮轴承转子系统稳定性的评估方法，即通过磁悬浮轴承转子系统灵敏度传递函数的增益峰值来判断. ISO14839-3将灵敏度传递函数增益峰值分为4个等级，如表2所示，灵敏度峰值越小，对应的系统稳定裕度越大. API617标准要求径向灵敏度传递函数峰值保持在A等级，轴向灵敏度传递函数峰值为B等级以上.

表 2 磁悬浮轴承转子系统灵敏度峰值等级（ISO14839-3）

Table 2. Peak sensitivity level of AMB-rotor system （ISO14839-3）

等级	最大增益/dB	描述
A	<9.5	新调试设备一般都处于此等级
B	[9.5，12.0）	是可接受的、可长时间运行的
C	[12.0，14.0）	不满足长时间连续运行要求
D	≥14.0	可能会导致设备的损坏

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使用灵敏度传递函数进行系统稳定性评估仅能表示系统对参数变化和外部扰动的鲁棒性，磁悬浮轴承转子系统的稳定性还包括了控制系统、气动交叉耦合等稳定性分析.

1.5 磁悬浮轴承转子系统测试

磁悬浮轴承转子系统测试包括部件测试（尺寸检查、电气测试、承载力测试等）、系统测试（设计阶段建模准确性验证、系统稳定性评估等）、整机运行测试（流体机械性能测试、机械运行测试、跌落试验等）.

在静态悬浮时，需要测试系统灵敏度传递函数以此进行稳定性评估；需要测试系统闭环传递函数并与理论计算结果对比，以验证模型准确性，要求在 [0，1.25N_max]内. 测试得到的模态频率与理论计算频率偏差小于5%；测试得到的幅值峰值为理论计算幅值峰值的0.5倍～2.0倍. 进行旋转试验时，要求运行转速范围内转子振动不超过振动极限.

2. 基于API617标准的磁悬浮风机分析与评估实例

2.1 磁悬浮风机试验系统介绍

磁悬浮风机试验系统如图3所示，图中：X1、Y1、X2、Y2分别表示径向磁悬浮轴承控制的4个通道方向. 磁悬浮风机主要由磁悬浮轴承、电机、转子、蜗壳、机壳等结构组成，额定功率为50 kW，运行转速为18000～30000 r/min，出口压力、流量、温度等参数由布置在标准管道中的相应传感器测量. 转子由2个径向磁悬浮轴承和一对轴向磁悬浮轴承支承，由永磁同步电机驱动旋转. 径向磁悬浮轴承和转子的主要参数如表3所示，采用的控制方法为目前工业上最常用的PID控制，其参数经过整定和优化可以满足磁悬浮风机的稳定悬浮及旋转要求. 定义靠近叶轮的径向磁悬浮轴承为AMB1，远离叶轮的径向磁悬浮轴承为AMB2.

图 3 磁悬浮风机试验系统

Figure 3. Magnetically suspended blower test system

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表 3 径向磁悬浮轴承和转子的主要参数

Table 3. Main parameters of radial AMB and rotor

参数	数值
保护间隙/mm	0.25
偏置电流/A	2.5
磁极面积/mm²	270
线圈匝数/匝	80
转子长度/mm	562
轴颈轴径/mm	56

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2.2 自由-自由状态下转子模态频率与振型

在转子设计阶段建立数值模型是有必要的，也是API617标准要求的步骤，在转子制造前用来检查其动力学行为是否满足设计要求.

使用有限元方法^[15-17]建立了磁悬浮风机转子的模型，其中主轴使用铁木辛柯梁单元，推力盘、叶轮简化为集中质量点，磁悬浮轴承电磁执行器、位移传感器、保护轴承、电机等关键位置均布置了节点. 转子模型共37个节点，148个自由度.

基于模型得到了转子自由-自由状态下的模态频率（一、二、三阶弯曲的模态频率分别为721.9、1212.0、1996.6 Hz）与振型（图4）. 从图4中可以看到：一阶弯曲模态的2个振型节点均位于磁悬浮轴承执行器与位移传感器之间，导致一阶弯曲模态振动检测和作动反向，在设计磁悬浮轴承控制器时需要额外关注. 另外，生成了模态频率随转子转速变化的坎贝尔图，如图5所示，可见此转子陀螺效应较小，最大运行转速与一阶弯曲模态频率之间的裕度较大，满足设计需求.

图 4 自由-自由状态下转子模态振型图

Figure 4. Rotor modal shapes at free-free state

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图 5 转子自由-自由坎贝尔图

Figure 5. Rotor free-free Campbell map

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2.3 无阻尼临界转速

磁悬浮轴承的刚度与频率有关，可以通过计算得到磁悬浮轴承的等效刚度^[18]，生成转子模态频率随支承刚度的变化曲线，并叠加磁悬浮轴承的等效刚度曲线，得到转子横向无阻尼临界转速图，如图6所示. 从图中可以看出：磁悬浮轴承提供的刚度为10⁶ N/m量级，前两阶刚体模态频率相近；在转子运行转速内，不存在临界转速.

图 6 磁悬浮转子无阻尼临界转速图

Figure 6. Undamped critical speed of magnetically suspended rotor

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2.4 不平衡响应

根据API617标准要求，转子总不平衡量为

${U_{\mathrm{a}}} = 2{U_{\mathrm{r}}} = \frac{{2W}}{{3.937}} = 51{\text{g}} {\text{•}} {\text{mm}} \text{，}$

(8)

式中：U_r为允许的最大不平衡量，U_a为不平衡响应计算时的输入不平衡，W为轴承静载荷.

对转子进行不平衡响应计算，确定转子临界转速和分离裕度，如图7所示. 由于2个刚体临界转速相近，在不平衡响应中区别不大，视作同一刚体临界转速. 可以看到，刚体临界转速和一阶弯曲临界转速处的放大系数均大于2.5，说明临界转速处阻尼过小，运行转速需要与临界转速充分分离. 对应的分离裕度分别为69.7%（> 17%）、53.8%（> 27%）.

图 7 磁悬浮转子不平衡响应

Figure 7. Unbalanced response of magnetically suspended rotor

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运行转速与临界转速充分分离，说明了转子设计的可靠性.

2.5 磁悬浮轴承转子系统传递函数

由于转子陀螺效应较小，各径向通道之间的耦合可以忽略. 在本文中，没有考虑径向通道之间的交叉传递函数.

1）系统闭环传递函数

基于磁悬浮轴承转子系统模型可以计算得到系统闭环传递函数并绘制频率响应曲线. 同时，按1.4节中的描述对磁悬浮风机系统在静态悬浮状态下进行闭环传递函数测试，传递函数的输入为激励信号E₂，输出为控制器输出信号V₂. 图8分别为AMB1和AMB2理论计算和试验测试结果对比. 由图可以看到，在[0，1.25N_max]范围内，模态频率和幅值峰值偏差均满足API617标准，验证了模型的准确性.

图 8 闭环传递函数理论计算与试验测试结果对比

Figure 8. Theoretical calculation and experimental results of closed-loop transfer function

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图9为轴向磁悬浮轴承转子系统闭环传递函数曲线的理论计算和试验测试结果对比. 轴向磁悬浮轴承系统可以看作单自由度系统，因此，图中只显示出一个刚体模态，理论计算和测试结果的模态频率和幅值峰值偏差均满足API617标准.

图 9 轴向磁悬浮轴承转子系统闭环传递函数测试结果

Figure 9. Test result of closed-loop transfer function for axial AMB-rotor system

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2）灵敏度传递函数

在静态悬浮状态下，按1.4节的描述对磁悬浮风机系统进行灵敏度传递函数测试，传递函数的输入为激励信号E₁，输出为位置误差信号V_e. 灵敏度传递函数测试结果如图10所示. 可以看到：径向AMB1和AMB2的灵敏度传递函数增益峰值均低于9.5 dB，处于A等级；而轴向AMB的灵敏度传递函数增益峰值大于9.5 dB，但小于12.0 dB，处于B等级；从稳定性评估角度说明系统能够保证长期稳定的运行.

图 10 磁悬浮轴承转子系统灵敏度传递函数测试结果

Figure 10. Test results of sensitivity transfer function for AMB-rotor system

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2.6 磁悬浮风机运行测试

对磁悬浮风机进行测试，从静态悬浮状态升速至额定转速30000 r/min，两径向磁悬浮轴承处的振动响应瀑布图如图11所示. 可以看到：振动以转速同频分量为主，同时包含了很小的奇次倍频分量；升速过程中最大振动出现在刚体临界转速处， AMB2处振动大于AMB1处振动.

图 11 磁悬浮风机转子升速振动响应瀑布图

Figure 11. Waterfall diagram of vibration response of magnetically suspended blower rotor during acceleration

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根据API617要求，此磁悬浮风机的振动极限为48.2 μm. 转子两端振动均远小于API617标准规定的振动极限48.2 μm，说明了此磁悬浮风机的运行可靠性.

3. 结　论

本文介绍了API617标准中有关磁悬浮流体机械的主要规范和要求，并以一台磁悬浮风机为例，根据标准要求通过理论建模计算和试验测试进行了分析和评估. 结果表明，该磁悬浮风机的转子动力学设计合理，系统稳定性和振动测试满足标准要求. 运用API617标准进行磁悬浮流体机械的设计、测试和验收工作，避免潜在的安全隐患，对其稳定安全运行和推广发展具有重要的意义.

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通讯作者: 陈斌, bchen63@163.com

1.
沈阳化工大学材料科学与工程学院沈阳 110142

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