高承载力密度磁轴承优化设计

姜豪; 苏振中; 姜亚鹏

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20240553

高承载力密度磁轴承优化设计

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20240553

姜豪^{1, 2,},
苏振中^{1, 2, ,},
姜亚鹏^{1, 2}

1.
电磁能技术全国重点实验室（海军工程大学），湖北省武汉市 430030
2.
湖北东湖实验室，湖北省武汉市 430205

基金项目: 国家自然科学基金项目（52477046，52107063）；湖北省自然科学基金项目（2024AFB340）

详细信息

作者简介:
姜豪（1995—），男，讲师，博士，研究方向为磁悬浮电机技术，E-mail：jianghao23@nue.edu.cn

通讯作者:
苏振中（1989—），男，教授，博士生导师，研究方向为集成化发电技术、磁悬浮技术等，E-mail：suayst@nue.edu.cn

中图分类号: TH133.3
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出版历程
- 收稿日期: 2024-10-28
- 修回日期: 2025-05-09
- 网络出版日期: 2025-05-19

Optimized Design of High-Load Capacity Magnetic Bearings

JIANG Hao^{1, 2
,},
SU Zhenzhong^{1, 2
, ,},
JIANG Yapeng^{1, 2}

1.
National Key Laboratory of Electromagnetic Energy, Naval University of Engineering, Wuhan 430030, China
2.
East Lake Laboratory of Hubei Province, Wuhan 430205, China

摘要

摘要:
高速重载是磁轴承的重要应用趋势，针对传统磁轴承承载力密度低、电磁设计与控制器设计过程脱离等问题，本文提出通过增大磁轴承工作磁密到材料饱和区，用以提高磁轴承的承载力密度；在此基础上，考虑磁轴承饱和与强机电耦合特性，开展高承载力密度磁轴承结构-控制一体化设计. 首先,考虑饱和、转子偏心等因素，建立高承载力密度磁轴承的非线性磁路模型；其次，根据动力学模型构建磁轴承结构设计与控制系统的耦合关系，同时考虑磁轴承的承载力、功放电压和系统稳定性等约束，以最小轴向长度和最大力变化率作为优化目标，建立高承载力密度磁轴承的多目标优化模型，利用NSGA-II算法求解以得出高承载力密度磁轴承的设计方案；最后，利用有限元和实验验证设计方案的可行性. 结果表明：相较于传统磁轴承，高承载力密度磁轴承的承载力密度提高了21%，实测样机支承刚度与非线性磁路计算刚度的误差在4.6%以内，能够实现高转速下的稳定运行.
- 磁轴承 /
- 高承载力密度 /
- 饱和效应 /
- 耦合 /
- 多目标优化
Abstract:
High-speed and heavy-load applications are an important trend for magnetic bearings (MBs). To address issues such as low load capacity and disconnection between electromagnetic design and controller in traditional MBs, increasing the working magnetic flux density of the MBs to approach the material’s saturation region was proposed, which helps improve the load capacity. On this basis, an integrated structure-control design of high-load capacity MBs was carried out with the saturation and strong electromechanical coupling characteristics taken into consideration. Firstly, factors such as saturation and rotor eccentricity were considered to establish a nonlinear magnetic circuit model of the high-load capacity MBs. Then, based on the rotor dynamics model, the coupling relationship between the structural design and the control system was analyzed. Constraints such as load capacity, power amplifier voltage, and system stability of the MBs were considered, with optimization objectives set as minimizing the axial length and maximizing the rate of change of force. A multi-objective optimization model for high-load capacity MBs was established and solved using the NSGA-II algorithm to obtain the design scheme. Finally, the proposed design scheme was validated through finite element analysis and experiments. The results show that compared to traditional MBs, high-load capacity MBs increase the load capacity by nearly 21%. The error between the measured support stiffness of the prototype and the calculated stiffness from the nonlinear magnetic circuit is within 4.6%, demonstrating stable operation at high rotational speed.
- magnetic bearing /
- high-load capacity /
- saturation effect /
- coupling /
- multi-objective optimization

HTML全文

主动磁轴承（简称“磁轴承”）是一种非接触式新型轴承，是依靠磁场产生力对转子进行悬浮^[1]. 由于与转子无机械接触、且支承特性可控，磁轴承在高速和减振降噪场合具有良好的应用潜力^[2-3]. 近年来，磁轴承在高转速、高载荷的大功率飞轮和电机等领域应用加快，但其低承载力密度特征和高系统复杂度仍然是制约自身推广应用的重要缺陷^[4-5]. 一方面，受限于铁磁材料固有的饱和特性，大多数磁轴承是采用线性控制方法，且为防止铁磁材料饱和带来的非线性引起控制性能下降，最大工作磁密通常设置在铁磁材料的膝点以内（偏置磁密不超过0.8 T），使得磁轴承的承载力密度在0.4 MPa以内^[6-9]，相对较低. 采用新型铁磁材料可以提高磁密的线性工作点，但会显著增加磁轴承的成本或降低其它性能. 另一方面，磁轴承作为机电一体化设备，其机电耦合特性导致系统复杂度较高，从本体设计到功率放大器电压计算、系统控制性能分析等过程，通常需要多次的设计和控制参数迭代，才能得到较为满意的性能^[10-13]. 针对上述问题，本文将通过增大磁轴承的工作点磁密至饱和区，来提高磁轴承的承载力密度，后面统一称之为“高承载力密度磁轴承”，并采用结构-控制一体化设计方法提高设计效率. 相较于传统磁轴承设计方法，铁磁材料的饱和效应增加了高承载力密度磁轴承的非线性程度，增大了磁轴承的设计与控制难度. 一方面，建模方法需能考虑饱和与耦合等因素；另一方面，设计方法能够提高非线性优化效率，兼顾结构对控制性能的影响.

在磁轴承建模方面，文献[14]提出了一种改进磁路模型，可以考虑磁轴承的漏磁、耦合效应. 文献[15]采用子域法推导了磁轴承的解析模型，可以精确计算转子偏心后的磁场分布. 文献[16]利用场路结合方法分析磁轴承的悬浮力饱和特性，并采用多项式拟合建立了悬浮力的非线性模型. 文献[17]为考虑磁轴承的饱和效应，提出一种基于分布磁路法的解析计算方法. 文献[18]考虑材料非线性及涡流影响，建立磁轴承的非线性磁路模型. 上述方法可有效提高磁轴承的建模精度，为高承载力密度磁轴承精确建模提供了重要借鉴. 与建模过程相反，磁轴承设计是根据性能需求计算最佳的结构方案，目前磁轴承设计大都是基于简化的磁路模型. 文献[19]以最大承载力为目标，设计一种三自由度磁轴承. 文献[20]以最小轴向长度和风磨损耗作为优化目标，建立磁轴承的多学科优化模型. 文献[21]为减小损耗，通过优化将磁轴承的最大控制电流减小到初始值的40%. 文献[22]对三自由度混合磁轴承进行优化，并分析参数与优化目标的关系. 上述优化方法围绕各自应用需求提供了不同的磁轴承设计思路，但很少考虑结构设计对控制性能的影响.

因此，本文将从材料性能的尽限应用入手，兼顾磁轴承结构参数与控制参数之间的交叉耦合，利用高效优化设计方法提高磁轴承的集成化程度和性能. 首先，综合考虑磁轴承饱和、偏心等因素，建立高承载力密度磁轴承的精确数学模型；在此基础上，综合考虑实际设计过程中的结构限制和控制约束，选取优化目标和决策变量，建立高承载力密度磁轴承的多目标优化设计模型，实现对高承载力密度径向磁轴承的结构-控制一体化设计.

1. 高承载力密度磁轴承数学模型

如图1所示，高承载力密度磁轴承具有显著的非线性特征，图中，B_knee、B_deep和B_sat分别为材料膝点、深度饱和点与完全饱和点处的磁密，T；H_knee、H_deep和H_sat分别为膝点、深度饱和点与完全饱和点处的磁场强度，A/m. 因此，首先需根据磁轴承的拓扑结构、支承转子类型和控制方法，建立磁轴承的数学模型，为磁轴承设计提供准确的磁力关系和动力学基础.

图 1 传统磁轴承与高承载力密度磁轴承磁密工作区

Figure 1. Working area of magnetic flux density of traditional and high-load capacity MBs

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1.1 磁路模型

本文以十六大小极径向磁轴承（后面统一简称“磁轴承”）为研究对象，其拓扑结构和极性分布如图2所示. 图中，N_i（S_i）表示第i（i=1…，16）个磁极的极性，r_s1、r_s2和r_s3分别为磁轴承定子的外、中、内径，r_r1、r_r2分别为十六大小极径向磁轴承转子的外、内径，w_c1、w_c2分别为大、小极的磁极宽度，θ_s1、θ_s2分别为大极和小极对应的磁极角度，w_e为定子磁轭宽度，h为磁极高度，e₁、e₂分别为定子内径和中径处的槽宽，θ_c1、θ_c2分别为定子内径和中径处槽宽对应的角度. d转子的额偏心距离,大磁极是小磁极宽度的两倍. 结合磁轴承的拓扑结构，考虑材料饱和等因素，对磁轴承进行网格剖分，建立磁轴承的磁网络模型如图3所示. 图中，R_ri、R_gi、R_ci、R_ei分别表示第i个回路中的转子磁轭磁阻、气隙磁阻、定子磁极磁阻和定子磁轭磁阻，R_di为第i个回路的漏磁磁阻. F_m,i为第i个磁极上线圈电流提供的磁势. 图中，为提高优化效率，利用磁网络法建立磁轴承的磁路模型.

图 2 十六极径向磁轴承拓扑结构和极性分布

Figure 2. Topology and polarity distribution of 16-pole radial MBs

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图 3 磁轴承的磁网络模型

Figure 3. Magnetic network model of MBs

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引入关联矩阵C定义节点和支路间的磁通方向. 当支路m磁通离开相邻节点n，令C_m,n=1. 当支路m磁通流入相邻节点n，则为C_m,n=−1，若互不相连，则有C_m,n=0. 根据基尔霍夫定律，各节点流入和流出的磁通之和为零，如式（1）所示.

$C{\boldsymbol{\phi}} = 0 ,$

(1)

式中： ${\boldsymbol{\phi}}$ 为支路磁通向量.

根据磁路安培环路定理，支路磁通向量 ${\boldsymbol{\phi}}$ 与支路磁压降向量U满足式（2）所示的关系

$\begin{split} & {\boldsymbol{\phi}} {\boldsymbol{R}} = U ,\;\\& R = {{\mathrm{diag}}} \left( {\left[ {{R_{\mathrm{r}}},\;R_{\mathrm{g}}^{},\;{R_{\mathrm{d}}},\;{R_{\mathrm{c}}},\;{R_{\mathrm{e}}}} \right]} \right),\; \end{split}$

(2)

式中：R为支路磁阻矩阵.

气隙磁阻R_gi和漏磁磁阻R_d如式（3）～（5）所示.

${R_{{\mathrm{g}}i}} = \frac{{{\lambda _i}g({\theta _j})}}{{{u_0}{A_{{\mathrm{g}}i}}}} , {R_d} = \frac{{{\theta _{\mathrm{c}}}}}{{{\mu _0}l\ln \left(\dfrac{{{r_{{\mathrm{s}}2}}}}{{{r_{{\mathrm{s}}3}}}}\right)}},$

(3)

$g(\theta ) = {g_0} - d\cos (\theta - \varphi ),$

(4)

$\begin{split} {\lambda _i}{=}& \left(1 + \frac{{4g\left({\theta _j}\right)}}{{{\text{π}} {w_{cs}}}}\left(1 + {\mathrm{ln}}\;\left(\frac{{{\text{π}} h}}{{4g\left({\theta _j}\right)}}\right)\right)\right)\\ &\quad \left(1 + \frac{{2g\left({\theta _j}\right)}}{{{\text{π}} l}}\left(1 + {\mathrm{ln}}\;\left(\frac{{{\text{π}} h}}{{2g\left({\theta _j}\right)}}\right)\right)\right), \end{split}$

(5)

式中：g₀为转子在平衡位置时的磁轴承气隙长度，φ为转子的偏向角度，g（θ_i）为考虑偏心后的气隙长度，l为定子轴向长度，A_gi为气隙横截面的面积. λ_i边缘效应系数，μ₀为真空下磁导率.

根据铁心磁路长度和有效面积，可以计算各个铁心磁阻如式（6）所示.

$\left\{ \begin{aligned} & {R_{{\mathrm{e}}i}} = \frac{{{l_{{\mathrm{e}}i}}}}{{{\mu _{\mathrm{e}}}{A_{{\mathrm{e}}i}}}} ,\\& {R_{{\mathrm{c}}i}} = \frac{{{l_{{\mathrm{c}}i}}}}{{{\mu _{\mathrm{c}}}{A_{{\mathrm{c}}i}}}} ,\\& {R_{{\mathrm{r}}i}} = \frac{{{l_{{\mathrm{r}}i}}}}{{{\mu _{\mathrm{r}}}{A_{{\mathrm{r}}i}}}}, \end{aligned}\right.$

(6)

式中：u_ri、u_ci和u_ei为分别为转子磁轭、定子磁极和定子磁轭的磁导率. A_ri、A_ci和A_ei分别为转子磁轭、定子磁极和定子磁轭横截面的有效面积，l_ri、l_ci和l_ei分别转子磁轭、定子磁极和定子磁轭横截面的有效磁路长度.

进一步建立支路磁压降向量U与节点磁动势向量V的关系，如式（7）所示.

$\left\{\begin{aligned} & {\boldsymbol{V}}{=}{\boldsymbol{C}}({\boldsymbol{U}} - {\boldsymbol{E}}) , \\& {\boldsymbol{E}}{=}N{I_i} ,\\& {\boldsymbol{U}} = {{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{T}}}{\boldsymbol{V}}{+}{\boldsymbol{E}}, \end{aligned}\right.$

(7)

式中：E为支路磁势源向量，N为线圈匝数，I_i为第i个磁极线圈电流.

综上，可以得到磁轴承的节点磁势方程如式（8）所示.

$\left\{\begin{aligned} & {\boldsymbol{CG}}({{\boldsymbol{C}}^{\mathrm{T}}}{\boldsymbol{V}}{+}{\boldsymbol{E}}){=}0 ,\\& {\boldsymbol{G}} = {{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}， \end{aligned} \right.$

(8)

式中：G为支路磁导矩阵.

利用磁势方程计算出节点磁势，考虑材料饱和特性（磁轴承定转子材料选用硅钢片35WW270，其B-H曲线如所示），根据材料B-H曲线对支路磁阻矩阵进行更新，迭代直至精度满足要求为止，最终得到各支路磁通向量 ${\boldsymbol{\phi}}$ ，计算支路磁密向量B如式（9）所示.

图 4 硅钢片35WW270的B-H曲线

Figure 4. B-H curve of silicon steel sheet （35WW270）

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$\left\{\begin{aligned} & {\boldsymbol{B }}= {{\boldsymbol{A}}^{ - 1}}{\boldsymbol{\phi}} ,\; \\&A = {{\mathrm{diag}}} ([{A_{\mathrm{r}}},\;A_{\mathrm{g}}^{},\;{A_{\mathrm{d}}},\;{A_{\mathrm{c}}},\;{A_{\mathrm{e}}}]),\; \end{aligned} \right.$

(9)

式中：A为支路磁路截面积矩阵.

判断磁密误差是否满足要求，若不满足，利用新的磁导率更新磁导矩阵，代入磁网络方程中进行计算，重复上述过程，直至达到精度要求为止. 为实现较高的计算精度，设置磁密前、后计算误差不大于0.001 T，作为磁路迭代计算的收敛判据. 整个计算流程如图5所示. 在磁网络模型的求解过程中，为了获取对应磁密下各处的磁导率，首先利用3次样条方法拟合出硅钢片的B-H曲线，最后通过插值得到对应的磁导率，对磁导矩阵进行更新.

图 5 基于磁网络法的磁轴承解析计算方法

Figure 5. Analytical calculation method for MBs based on magnetic network method

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为提高磁力计算精度，根据Schwarz-Christoffel变换方法，计算不同磁极边缘位置处的气隙磁密，磁密满足式（10）所示的参数方程.

$\left\{ \begin{gathered} x(\zeta ){{ = }}\frac{{g(\theta )}}{{2{\text{π}} }}\left[ {2\sqrt {\zeta + 1} {{ + }}ln\left( {\frac{{\sqrt {\zeta + 1} - 1}}{{\sqrt {\zeta + 1} + 1}}} \right)} \right], \\ {B_{\mathrm{g}}}(\zeta ) = \frac{{{B_{\mathrm{g}}}}}{{\sqrt {\zeta + 1} }}, \\ \end{gathered} \right.$

(10)

式中：ζ为用于描述磁极边缘位置的独立变量，B_g（ζ）为位置x（ζ）处的气隙磁密，B_g为气隙磁密.

根据磁密计算磁轴承的承载力F_r为

${F_{\mathrm{r}}}\left( {I,d,\varphi } \right){=}\sqrt {{F_x}^2{+}{F_y}^2},$

(11)

$\left\{\begin{aligned} & {F_x} = \sum\limits_{i{{ = }}1}^{16} {\frac{{{B_{{\mathrm{g}},{\theta _i}}^2}{S_{{\theta _i}}}}}{{2{u_0}}}\cos \;{\theta _i}} ,\\& {F_y} = \sum\limits_{i{{ = }}1}^{16} {\frac{{{B_{{\mathrm{g}},{\theta _i}}^2}{S_{{\theta _i}}}}}{{2{u_0}}}\sin \;{\theta _i}}, \end{aligned}\right.$

(12)

式中：I为线圈的电流，B_{g,θ_i}、S_{θ_i}分别为第i个磁极的气隙磁密和磁极面积，F_x、F_y分别为x方向和y方向上的分力.

将磁轴承的线圈等效为阻感电路如图6所示. 图中：V_w为线圈的电压，V_b为线圈的偏置电压（直流电压），V_c是线圈的控制电压（交流电压），R_coil和L_coil分别为单个线圈的电阻和电感.

图 6 等效阻感电路

Figure 6. Equivalent resistor-inductor circuit

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根据磁轴承的拓扑结构和线圈匝数，可以计算R_coil如式（13）所示.

${R_{{\mathrm{coil}}}}{=}\rho \frac{{{l_{{\mathrm{coil}}}}}}{{{s_{{\mathrm{coil}}}}}},$

(13)

式中：ρ为铜的电阻率，l_coil、s_coil分别为线圈长度和截面积.

在平衡位置处，L_coil可以近似表示为

${L_{{\mathrm{coil}}}}{=}\frac{{2{u_0}{N^2}({w_{{\mathrm{c}}1}} + {w_{{\mathrm{c}}2}})l}}{{{g_0}}},$

(14)

根据磁轴承的线圈电阻和电感，可以推导线圈的电压方程为

$\left\{\begin{aligned}& {V_{\mathrm{w}}} = {V_{\mathrm{c}}} + {V_{\mathrm{b}}} ,\\& {V_{\mathrm{c}}} = {L_{{\mathrm{coil}}}}\frac{{dI}}{{dt}} , \\&{V_{\mathrm{b}}} = {R_{{\mathrm{coil}}}}I, \end{aligned} \right.$

(15)

根据线圈电流的组成关系，线圈最大电流I_max可以表示为

$\left\{ \begin{aligned} & {I_{{\mathrm{max}}}} = {I_{\mathrm{b}}} + {I_{\mathrm{c}}} ,\\& {I_{\mathrm{c}}} = {I_{{\mathrm{stat}}}} + I_{{\mathrm{dyn}}}^{} I_{{\mathrm{dyn}}}^{} = I_{{\mathrm{dyn}},{\mathrm{max}}}^{}\sin (\omega {\mathrm{t}}), \end{aligned} \right.$

(16)

式中：I_b为偏置电流，I_c为控制电流，I_dyn为动态电流，I_stat为磁轴承用于克服转子重力的静态电流，I_dyn,max为磁轴承允许的最大动态电流，ω为动态电流的交变频率，t为时间. 则线圈电压可以表示为

$\begin{split} & {V_{\mathrm{w}}} = ({I_{\mathrm{b}}} + {I_{\mathrm{stat}}}){R_{\mathrm{coil}}} + \frac{{dI_{{\mathrm{dyn}}}^{}}}{{dt}}{L_{\mathrm{coil}}} = \\ &\quad ({I_{\mathrm{b}}} + {I_{\mathrm{stat}}}){R_{\mathrm{coil}}} + I_{{\mathrm{dyn}},{\mathrm{max}}}^{}\omega {L_{\mathrm{coil}}}\cos (\omega t). \end{split}$

(17)

在此基础上，可以计算磁轴承的最大线圈电压V_w,max为

$\begin{split} & {V_{{\mathrm{w,max}}}} = I_{{\mathrm{dyn,max}}}^{}{R_{\mathrm{coil}}}\left| {\xi + \omega \frac{{{L_{\mathrm{coil}}}}}{{{R_{\mathrm{coil}}}}}} \right| = \\ &\quad I_{{\mathrm{dyn,max}}}^{}{R_{\mathrm{coil}}}\sqrt {{\xi ^2} + {\omega ^2}{\tau ^2}}, \end{split}$

(18)

$\xi = \frac{{({I_{\mathrm{b}}} + {I_{\mathrm{stat}}})}}{{I_{{\mathrm{dyn,max}}}^{}}} , \tau = \frac{{{L_{\mathrm{coil}}}}}{{{R_{\mathrm{coil}}}}},$

(19)

式中：ξ为磁轴承电流静态电流（包含偏置电流和克服转子重力电流）与动态电流的比值；τ为线圈的时间常数，仅与磁轴承的线圈电阻和电感相关.

1.2 动力学模型

为分析系统的稳定性，需建立磁轴承-转子系统的动力学模型. 本文的研究对象为刚性转子，如图7所示，图中a、b分别为A、B端磁轴承到质心的距离，c、d分别为A、B端位移传感器到质心的距离. 转子质心的运动可以采用转子坐标系o-x_ry_rz_r和惯性坐标系o-xyz进行描述. 由于本章仅分析径向磁轴承，因此，只考虑径向4个自由度. 将转子质心沿惯性坐标系o-xyz径向2个正交方向x、y的平动位移分别为x_i、y_i，转子坐标系与惯性坐标系3个方向上的倾斜角度表示为α、β、γ. 磁轴承-刚性转子系统采用传统的分散比例-积分-微分控制（简称PID控制）方法，由于积分参数主要用于消除静态误差，对系统稳定性影响较小，因此本文仅考虑PD控制.

图 7 磁轴承-刚性转子系统模型

Figure 7. MB–rigid rotor system model

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利用拉格朗日方程可以推导四自由度磁轴承-刚性转子系统的动力学模型^23]，如式（20）～（27）所示.

${\boldsymbol{M}}\ddot {\boldsymbol{q}} + {\boldsymbol{G}}_{\mathrm{t}}\dot {\boldsymbol{q}} = - {{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{b}}}{{\boldsymbol{K}}_x}{{\boldsymbol{T}}_s}q - {{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{b}}}{{\boldsymbol{K}}_{\mathrm{i}}}({{\boldsymbol{P}}_{\mathrm{d}}}{\boldsymbol{y}} + {{\boldsymbol{D}}_{\mathrm{d}}}\dot {\boldsymbol{y}}) ,$

(20)

$\left\{\begin{aligned} & {\boldsymbol{M}} = {\text{diag}}\left( {\left[ {{I_y},\;m,\;{I_x},\;m} \right]} \right) ,\;\\& {\boldsymbol{q }}= \left[ {\beta ,\;{x_i},\; - \alpha ,\;{y_i}} \right], \end{aligned}\right.$

(21)

$\begin{aligned} & {{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{b}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} a \quad b \quad 0 \quad 0 \\ 1 \quad 1 \quad 0 \quad 0 \\ 0 \quad 0 \quad a \quad b \\ 0 \quad 0 \quad 1 \quad 1 \end{array}} \right] ,\\& {{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{c}}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} c \quad 1 \quad 0 \quad 0 \\ d \quad 1 \quad 0 \quad 0 \\ 0 \quad 0 \quad c \quad 1 \\ 0 \quad 0 \quad d \quad 1 \end{array}} \right], \end{aligned}$

(22)

$\begin{aligned} & {\boldsymbol{G}}_{\mathrm{t}}= {I_z}\varOmega \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \quad 0 \quad 1 \quad 0 \\ 0 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \\ { - 1} \quad 0 \quad 0 \quad 0 \\ 0 \quad 0 \quad 0 \quad 0 \end{array}} \right] ,\\& \varOmega = \dot \gamma , {{\boldsymbol{y}}_{\mathrm{c}}}{ = }{{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{c}}}q, \end{aligned}$

(23)

${{\boldsymbol{P}}_{\mathrm{d}}} = {\text{diag}}\left( {\left[ {{k_{PA}},\;{k_{PB}},\;{k_{PA}},\;{k_{PB}}} \right]} \right),$

(24)

${{\boldsymbol{D}}_{\mathrm{d}}} = {\text{diag}}\left( {\left[ {{k_{DA}},\;{k_{DB}},\;{k_{DA}},\;{k_{DB}}} \right]} \right),$

(25)

${{\boldsymbol{K}}_x} = {\text{diag}}\left( {\left[ {{k_{xA}},\;{k_{xB}},\;{k_{yA}},\;{k_{yB}}} \right]} \right) ,\; {{\boldsymbol{q}}_{\mathrm{b}}}{ = }{{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{s}}}{\boldsymbol{q}},$

(26)

${{\boldsymbol{K}}_i} = {\text{diag}}\left( {\left[ {{k_{ixA}},{k_{ixB}},{k_{iyA}},{k_{iyB}}} \right]} \right) , {{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{s}}} = {{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{b}}}^{\mathrm{T}},$

(27)

式中：q为转子的质心位移向量，y_c为传感器的输出位移向量，x_xA、x_xB、x_yA、x_yB分别为A、B端位移传感器沿x、y方向的转子位移. m为转子的质量，I_x、I_y、I_z分别为转子x、y、z 3个正交方向上的转动惯量，M为转子的质量矩阵，G_t为陀螺效应矩阵，Ω为转子角速度. T_b为磁轴承的力臂系数矩阵. T_c为传感器位移的变换矩阵. K_x、K_i分别为位移刚度矩阵和电流刚度矩阵，k_xA、k_xB（k_yA、k_yB）分别为A、B端磁轴承沿x(y)方向的位移刚度，k_ixA、k_ixB、k_iyA、k_iyB分别为A、B端磁轴承沿x、y方向的电流刚度，T_s为坐标变换矩阵，P_d、D_d分别为比例系数矩阵和微分系数矩阵，k_PA、k_PB分别为A、B端磁轴承的比例系数，k_DA、k_DB分别为A、B端磁轴承的微分系数.

进一步采用状态方程描述磁轴承-转子系统的动力学模型，定义转子位置状态变量 ${\boldsymbol{X}} = {[ {\boldsymbol{q}},\dot {\boldsymbol{q}}]^{\mathrm{T}}}$ ，将描述磁轴承系统动力学模型的矩阵微分方程转换成状态方程，如式（28）～（30）所示.

$\left\{\begin{aligned} & \dot {\boldsymbol{X}} = {\boldsymbol{A}}_{\mathrm{state}}{\boldsymbol{X}}{+}{\boldsymbol{B}}_{\mathrm{input}}{\boldsymbol{U}} , \\& {\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\boldsymbol{O}}\quad{{{\boldsymbol{I}}_4}} \\ {{{\boldsymbol{A}}_{31}}}\quad{{{\boldsymbol{A}}_{32}}} \end{array}} \right], \end{aligned} \right.$

(28)

${{\boldsymbol{A}}_{31}} = - {{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}({{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{b}}}{{\boldsymbol{K}}_{\mathrm{x}}}{{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{s}}} + {{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{b}}}{{\boldsymbol{K}}_{\mathrm{i}}}{{\boldsymbol{P}}_{\mathrm{d}}}{{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{c}}}),$

(29)

${{\boldsymbol{A}}_{32}} = - {{\boldsymbol{M}}^{ - 1}}({\boldsymbol{G}} + {{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{b}}}{{\boldsymbol{K}}_{\mathrm{i}}}{{\boldsymbol{D}}_{\mathrm{d}}}{{\boldsymbol{T}}_{\mathrm{c}}}),$

(30)

式中：O为4阶零矩阵，I₄为4阶单位矩阵. A_state为状态转移矩阵，B_input为输入矩阵.

2. 结构-控制一体化设计方法

磁轴承系统的性能受其结构和控制参数共同决定. 为此，在建立高承载力密度磁轴承数学模型基础上，综合考虑磁轴承结构与控制方面的外部约束条件，并结合实际性能需求，选择优化目标，对高承载力密度磁轴承进行结构-控制一体化设计.

2.1 约束条件

磁轴承是一种支承装置，为保证被支承设备能够正常工作，磁轴承的支承能力必须满足被支承对象的承载力需求. 在结构设计方面，一方面，受限于工作环境和材料强度，磁轴承的尺寸不能与周围部件产生物理干涉，且转子线速度不能超出材料承受限制；另一方面，受散热条件和工艺水平限制，磁轴承的线圈电流和槽满率不能过大. 同时，为避免材料过于饱和，磁轴承的最大工作点磁密应不超过材料的深度饱和点. 除此之外，在控制性能方面，磁轴承提供的功放电压需满足电流响应速度要求，控制参数需能保证磁轴承的稳定运行. 因此，磁轴承设计本质上是多约束条件下的参数优化问题.

2.1.1 承载力约束

磁轴的承载力的选取与转子重力、电机单边磁拉力等因素有关. 由于本文研究对象的静载荷仅为转子重力，因此平衡位置处的静态承载力F_stat,0满足式（31）.

${F_{{\mathrm{stat}},0}} \geqslant {k_{\mathrm{c}}}{F_{{\mathrm{stat,e}}}}_{_0} ,$

(31)

式中：k_c为静态承载力系数，F_stat,e₀静态载荷.

为实现转子不平衡控制、振动控制功能，适应船舶摇摆、冲击环境，要求磁轴承具有足够的动态承载力F_dyn. 因此高承载力密度磁轴承的总承载力F_total需满足式（32）.

${F_{{\mathrm{total}}}}{=}{F_{{\mathrm{stat}},0}}{+}{F_{{\mathrm{dyn}}}}.$

(32)

2.1.2 磁密约束

增大工作点磁密可以提高磁轴承的承载力密度. 但过饱和会显著增大线圈损耗，且减小电流的利用率. 因此，当通最大控制电流时，磁轴承在平衡位置的铁心最大工作磁密不应超过铁磁材料的深度饱和磁密点B_deep，如式（33）所示.

$\max [{B_{\mathrm{e}}},{B_{\mathrm{c}}},{B_{\mathrm{r}}}] \leqslant {B_{{\mathrm{deep}}}},$

(33)

式中：B_e、B_c和B_r分别为定子磁轭、定子磁极和转子磁轭的磁密.

2.1.3 尺寸约束

磁轴承尺寸主要受限于工艺水平、材料强度以及外部尺寸干涉等因素. 本文研究对象为电励磁的磁轴承，采用线圈激励磁场，需对线圈能否完全嵌入定子槽中进行考虑. 根据磁轴承的实际嵌线水平，磁轴承槽宽e₁应不小于γ_c倍以上气隙，如式（34）所示.

${e_1} = 2{r_{{\mathrm{s}}3}}\sin \left(\frac{{{\theta _{{\mathrm{c}}1}}}}{2}\right) \geqslant {\gamma _{\mathrm{c}}}{g_0} .$

(34)

为使得槽空间需能容纳所需绕组线圈的数量. 根据工艺能力，线圈铜径的总截面积不应超过给定槽满率λ_req，如式（35）所示.

$\lambda {=}\frac{{{S_{\mathrm{coil}}}}}{{{S_{{\mathrm{cao}}}}}} \leqslant {\lambda _{{\mathrm{req}}}},$

(35)

式中：λ为槽满率，S_coil为磁轴承线圈的总截面积，S_cao为磁轴承的单个定子槽面积.

受转子材料强度限制，转子的线速度应满足式（36）.

$\varOmega {r_{{\mathrm{r}}1}} \leqslant {v_{\max }},$

(36)

式中：v_max为转子材料强度允许的最大线速度.

对于磁轴承而言，根据其十六大小极磁轴承结构和磁路特点，为使得磁场尽可能均匀分布，小极磁极宽度w_c2与定子磁轭宽度w_e相等，转子磁轭宽度应不小于小磁极宽度，如式（37）所示.

${w_{\mathrm{e}}} = {w_{{\mathrm{c}}2}} , {r_{{\mathrm{r}}1}} - {r_{{\mathrm{r}}2}} \gt {w_{{\mathrm{c}}2}},$

(37)

根据实际周围部件尺寸限制，高承载力密度磁轴承的定子外径r_s1和转子内径r_r2需满足式（38）.

$\left\{\begin{aligned}& {r_{{\mathrm{s}}1}} \leqslant {r_{{\mathrm{s}}1,{\mathrm{req}}}} ,\\& {r_{{\mathrm{r}}2}} \geqslant {r_{{\mathrm{r}}2,{\mathrm{req}}}}, \end{aligned} \right.$

(38)

式中：r_s1,req为最大定子外径，r_r1,req为最小转子内径.

2.1.4 电流约束

受线圈规格限制，线圈允许的最大电流I_max和铜线截面积应满足式（39）.

${I_{\max}} \leqslant {j_{\mathrm{c}}}{S_{\mathrm{a}}},$

(39)

式中：S_a为线圈截面积；j_c为最大工作电密，其大小与磁轴承的散热条件息息相关.

2.1.5 功放约束

线圈电阻和电感会制约电流的响应速度. 由于磁轴承是一种实时反馈控制系统，为满足磁轴承对电流的快速响应要求，功放电压V_p必须不低于最大线圈电压V_w,max，如式（40）所示.

${V_{\mathrm{p}}} \geqslant {V_{{\mathrm{w,max}}}}.$

(40)

2.1.6 稳定性约束

已知系统动力学模型，根据动力学模型的状态转移矩阵A_state，可以得到系统的特征方程为

$\det ({{\boldsymbol{\lambda}} _{\mathrm{d}}}{{\boldsymbol{I}}_8} - A_{\mathrm{state}}) = 0,$

(41)

式中：λ_d为系统的特征根向量，I₈为8阶单位矩阵.

根据劳斯判据，磁轴承-转子系统要满足稳定性要求，系统特征方程的全部特征根需位于S域左半平面. 为使得磁轴承稳定工作，如式（42）所示.

${{\mathrm{Re}}} [{{\boldsymbol{\lambda}} _{\mathrm{d}}}] \lt {\boldsymbol{O}},$

(42)

式中：Re[λ_d]为特征根的实部向量.

2.2 优化目标

磁轴承优化目标的选取取决于被支承对象的实际性能需求. 结合实际设备需求，一方面，为减小设备体积和提高转子临界转速，通常要求磁轴承具有较短的轴向长度；另一方面，为适应复杂的船舶运动环境和满足设备的减振降噪需求，往往需要磁轴承具有较快的力响应速度. 因此，选取最小轴向长度和最大力变化率为优化目标.

2.2.1 最小轴向长度

在满足约束条件的前提下，将磁轴承的轴向长度L最小作为第一个优化目标.

2.2.2 最大力变化率

忽略转子偏心，磁轴承在单个自由度上的电磁力F_f可以近似表示如式（37）所示.

${F_{\mathrm{f}}} = {K_{\mathrm{i}}}{I_{\max}} = {K_{\mathrm{i}}}({I_{\mathrm{b}}} + {I_{\mathrm{stat}}} + I_{{\mathrm{dyn}}}^{}) \text{，}$

(43)

式中：K_i为等效电流刚度. 对上述电磁力进行求导，可以得到磁轴承的力变化率为

$\left| {\frac{{d{F_f}}}{{dt}}} \right| = \left| {{K_i}\frac{{{I_{{\mathrm{dyn}}}}}}{{dt}}} \right| = \left| {{K_i}\frac{{\omega {V_{\mathrm{w}}}}}{{{R_{\mathrm{coil}}}\sqrt {{\xi ^2} + {\omega ^2}{\tau ^2}} }}\sin (\omega t)} \right|.$

(44)

由于线圈电压不超过功放电压，进一步可以得到高承载力密度磁轴承的最大力变化率为

${\left| {\frac{{d{F_f}}}{{dt}}} \right|_{\max }} = \left| {{K_i}\frac{{\omega {V_{\mathrm{w}}}}}{{{R_{\mathrm{coil}}}\sqrt {{\xi ^2} + {\omega ^2}{\tau ^2}} }}} \right|.$

(45)

为保证磁轴承具有较快的响应速度，以力的最大变化率最大作为第2个优化目标，如式（46）所示.

$\operatorname{Max}\left|\frac{d F_f}{d t}\right|_{\max }.$

(46)

综合上述约束条件和优化目标，选取磁极宽度、转子外径、轴向长度、磁极高度、比例系数和微分系数作为磁轴承的设计变量，考虑数学处理的统一性等因素，将目标函数的最大值问题转化为最小值问题进行处理，可以得到高承载力密度磁轴承的优化模型如式（47）～（49）所示.

$\left\{\begin{aligned} & \mathrm{Min}\qquad L,\; \\& {\mathrm{Min}} - {\left| {\frac{{d{F_f}}}{{dt}}} \right|_{\max }},\; \\& {\mathrm{s.t}}.\quad {F_{{\mathrm{stat}},\;0}} \geqslant {k_{\mathrm{c}}}{F_{{\mathrm{stat,\;e}}}}_{_0} ,\; \\& \quad \quad \max ({B_{\mathrm{e}}},\;{B_{\mathrm{c}}},\;{B_{\mathrm{r}}}) \leqslant {B_{{\mathrm{deep}}}} ,\; \\& \quad \quad {e_1} = 2{r_{{\mathrm{s}}3}}\sin (\frac{{{\theta _{{\mathrm{c}}1}}}}{2}) \geqslant {\gamma _c}{g_0} ,\; \\& \quad \quad \lambda {=}\frac{{{S_{\mathrm{coil}}}}}{{{S_{{\mathrm{cao}}}}}} \leqslant {\lambda _{{\mathrm{req}}}} ,\; \\& \quad \quad \varOmega {r_{{\mathrm{r}}1}} \leqslant {v_{\max }} ,\; \\& \quad \quad {w_{{\mathrm{c}}1}} = 2{w_{{\mathrm{c}}2}},\;{w_e} = {w_{{\mathrm{c}}2}},\;\;\;\;{r_{{\mathrm{r}}1}} - {r_{{\mathrm{r}}2}} \gt {w_{{\mathrm{c}}2}} ,\; \\& \quad \quad {r_{{\mathrm{s}}1}} \leqslant {r_{{\mathrm{s}}1,\;{\mathrm{req}}}},\;{r_{{\mathrm{r}}2}} \geqslant {r_{{\mathrm{r}}2,\;{\mathrm{req}}}} ,\; \\& \quad \quad {I_{\max}} \leqslant {j_{\mathrm{c}}}{S_{\mathrm{a}}} ,\; \\& \quad \quad {V_p} \geqslant {V_{{\mathrm{w,\;max}}}} ,\; \\& \quad \quad {{\mathrm{Re}}} [{\lambda _{\mathrm{d}}}] \lt 0 . \end{aligned}\right.$

(47)

对上述高承载力密度磁轴承的优化思路进行总结，其优化流程可以描述为如图8所示.

图 8 高承载力密度磁轴承优化设计流程

Figure 8. Optimal design procedure of high-load capacity MBs

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3. 优化方案计算与验证

3.1 优化方案计算

在求解优化方案前，首先根据实际需求，确定高承载力密度磁轴承的主要输入参数，如表1所示.

表 1 高承载力密度磁轴承的主要输入参数

Table 1. Key input parameters for high-load capacity MBs

符号	参数	值	单位
m	转子重量	490	kg
B_sat	深度饱和磁密点	1.8	T
g₀	气隙长度	0.4	mm
d_a × d_b	线径宽度和高度	2.5 × 1.4	mm
R_s1,req	最大定子外径	330	mm
R_r1,req	最小转子内径	120	mm
Ω	转子角速度	6000 × 2π	rad/s
	最大线速度	187	m/s

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由于铁磁材料固有的饱和效应，磁轴承设计本身是一个非线性优化问题. 考虑磁轴承的结构-控制一体化设计模型非线性程度高，且优化参量多，约束条件复杂，本文选择带精英策略的非支配排序遗传算法（NSGA-II 算法）^[24]，通过快速排序和拥挤度计算提高磁轴承优化效率，利用Matlab算法工具箱计算模型的Pareto最优解. 根据上述建立的多目标优化模型和输入参数，利用NSGA-II 算法计算出高承载力密度磁轴承的Pareto最优前沿，结果如图9所示. 得到对应的Pareto最优解集如表2所示.

图 9 Pareto前沿

Figure 9. Pareto front

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表 2 Pareto最优解集

Table 2. Pareto optimal solution set

最优解序列	磁极宽度/ mm	转子外径/ mm	轴向长度/ mm	磁极高度/ mm	比例系数/ （A•mm⁻¹）	微分系数/ （A•s•mm⁻¹）
1	22.0	125.0	77.6	18.1	46.52	0.047
2	22.8	124.1	60.5	18.6	47.98	0.046
3	22.0	125.0	69.1	18.1	46.52	0.047
4	22.0	125.0	70.4	18.1	46.51	0.047
5	22.0	125.0	71.4	18.1	46.52	0.047
6	22.0	125.0	73.7	18.1	46.51	0.047
7	22.9	123.5	59.7	18.7	48.19	0.046
8	23.4	121.5	59.3	20.7	48.57	0.045
9	23.5	119.0	62.2	22.0	46.58	0.047
10	22.9	124.0	59.7	18.7	48.17	0.046

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综合考虑设备对轴向长度和力变化率的需求，本文选择选择Pareto前沿中目标之间“边际替代率”变化最大点（即改进某一目标会导致另一目标显著恶化的位置）对应的设计方案9作为最终高承载力密度磁轴承方案，根据磁轴承设计方案和应用对象，进一步开展转子动力学计算和温度场评估，性能均满足要求. 在相同约束条件以及承载力下，令偏置磁密为0.8 T，基于非线性磁力模型，通过优化设计计算传统径向磁轴承方案. 将高承载力密度磁轴承设计方案与传统设计方案进行对比，二者的主要参数如表3所示. 可以看到，相对于传统磁轴承设计方案，高承载力密度磁轴承的轴向长度减小了17.3%，承载力密度提高了21 %，最大力回转率提高了近40 %. 因此，增大工作磁密和优化后，磁轴承的集成度和响应速度明显提高.

Table 3. Key design scheme parameters of high-load capacity MBs and traditional MBs

参数	高承载力密度磁轴承	传统磁轴承	单位
实际最大承载力	7145	7145	N
偏置磁密	1.0	0.8	T
气隙	0.4	0.4	mm
定子外径	165.0	165.0	mm
转子内径	60.0	60.0	mm
轴向长度	62.0	75.0	mm
最大力回转率	9.62 × 10⁶	6.86 × 10⁶	N/s
承载力密度	0.484	0.40	MPa

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3.2 仿真验证

为验证优化方案的可行性，根据表2中的最优设计方案，利用ANSYS 软件建立高承载力密度磁轴承的有限元模型，有限元模型如图10所示.

图 10 高承载力密度磁轴承有限元模型

Figure 10. Finite element model of high-load capacity MBs

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首先，令转子处于平衡位置，给高承载力密度磁轴承x方向加偏置电流，y方向加最大控制电流，利用有限元计算磁轴承的气隙磁密，并与磁网络法计算结果进行对比，结果如图11（a）所示，对应的磁场分布云图如图11（b）所示. 从图中结果可以看出，高承载力密度磁轴承轴承出现了明显的饱和现象，尽管如此，解析计算与有限元的计算结果较为吻合，承载力达到7150 N，满足设计需求.

图 11 气隙磁密和分布云图

Figure 11. Air gap magnetic flux density and distribution cloud map

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进一步利用磁网络法和有限元法分别计算磁轴承在不同控制电流下的电磁力，结果如图12所示. 可以看出，随着电流增大，饱和效应增强，电磁力非线性程度加深. 在所分析的控制电流和偏心位移范围内，电磁力误差小于4%.

图 12 不同控制电流的电磁力及误差

Figure 12. Electromagnetic forces and errors under different control currents

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为分析系统的稳定性并对比分析积分参数对磁轴承的影响，根据优化结果中的控制参数，计算不同转速（0 ～ 6000 rpm）下系统根轨迹，结果如图13所示（红色曲线）. 可以看出，系统特征根始终位于S域左半平面，因此，磁轴承始终能够稳定工作. 增加对比计算不同参数下的根轨迹，分析PID控制参数对系统性能影响. 可以看出，比例系数影响模态刚度，微分系数影响阻尼，积分系数用于消除静差. 比例系数增大，模态刚度增大；进动频率升高；微分系数增大，模态阻尼增大. 尽管积分系数增大，模态阻尼减小，进动模态稳定性变差，但对本文的磁轴承-刚性转子系统影响较小.

图 13 不同转速下的系统根轨迹

Figure 13. System root locus at different rotational speeds

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3.3 实验验证

基于高承载力密度磁轴承优化方案，制造磁轴承样机，并搭建磁浮电机实验平台，平台如图14所示. 实验平台含有2个径向磁轴承和1个轴向磁轴承，共同实现转子的五自由度悬浮，十路位移传感器和电流传感器分别测量转子位移和线圈电流，伺服电机和变频器共同驱动转子旋转. 搭建了DSP + FPGA架构的磁轴承控制器，实现对磁轴承的双闭环（内环为电流环，外环为位移环）控制，利用上位机实时监测磁轴承的状态信息. 其中位移环控制参数如表2（方案9）所示，电流环采用PI控制，比例系数为30 A/V，积分系数为60 A/（V•s）.

图 14 实验平台

Figure 14. Experimental platform

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当转子悬浮时，将磁轴承的偏置电流设置为14 A，通过调整参考位置改变转子沿x方向的偏心位移，测量控制电流和偏心位移（非伸端）的关系，如图15所示. 然后考虑饱和、转子初始偏心等因素，建立磁轴承的转子受力平衡方程，通过设计偏心实验对磁轴承的载荷和刚度进行辨识^[25]，并与理论刚度进行比较，结果和误差如表4所示. 可以看出，与实测结果相比，实际磁轴承样机的电流刚度与设计值误差小于1.0%，位移刚度误差在4.6 %以内.

图 15 控制电流和偏心位移的关系（非伸端）

Figure 15. Relationship between control current and eccentric displacement （non-extended end）

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利用磁轴承优化的控制参数对转子进行悬浮，测量额定转速下的转子偏心位移和轴心轨迹如图16所示. 可以看出，额定转速，转子的偏心位移在0.02 mm以内，磁轴承系统可以在全转速范围下稳定运行.

表 4 刚度及其误差

Table 4. Stiffness and errors

参数	理论计算	实验辨识	相对误差（%）
电流刚度/（N•A⁻¹）	849	847.1	−0.22
位移刚度/（N•m⁻¹）	−3.11 × 10⁷	−2.97 × 10⁷	−4.52

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图 16 转子偏心位移和轴心轨迹（6 000 rpm）

Figure 16. Rotor eccentric displacement and shaft center trajectory （6 000 rpm）

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4. 结　论

为提高磁轴承的集成度和设计效率，本文提出了高承载力密度磁轴承技术路线，并对磁轴承进行了结构-控制一体化设计，利用有限元和实验样机对磁轴承设计方案性能进行验证. 研究结论如下：

1）相较于传统磁轴承，高承载力密度磁轴承工作磁密较高，承载力密度提高了21%，可以减小磁轴承的体积成本；

2）基于磁网络法的磁轴承解析计算方法，建模因素较为全面，可以同时考虑磁轴承饱和效应、边缘效应、转子偏心、漏磁等因素，不仅计算速度快，还具有满意的计算精度，能够提高磁轴承的分析效率；样机实测支承性能误差在4.6%以内，能实现在全转速范围内的稳定运行，满足设计要求；

3）采用结构-控制一体化设计可以同时考虑磁轴承机械结构与控制性能的耦合特性，兼顾磁轴承的电磁与控制性能，减少功放电压选取、响应速度核算、控制参数串联迭代等过程，改善磁轴承的设计效率与控制性能.

下一步将重点围绕高承载力密度磁轴承非线性控制方法进行研究，增大磁轴承在非线性运行域的稳定范围.

图 1 传统磁轴承与高承载力密度磁轴承磁密工作区

Figure 1. Working area of magnetic flux density of traditional and high-load capacity MBs

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图 2 十六极径向磁轴承拓扑结构和极性分布

Figure 2. Topology and polarity distribution of 16-pole radial MBs

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图 3 磁轴承的磁网络模型

Figure 3. Magnetic network model of MBs

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图 4 硅钢片35WW270的B-H曲线

Figure 4. B-H curve of silicon steel sheet （35WW270）

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图 5 基于磁网络法的磁轴承解析计算方法

Figure 5. Analytical calculation method for MBs based on magnetic network method

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图 6 等效阻感电路

Figure 6. Equivalent resistor-inductor circuit

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图 7 磁轴承-刚性转子系统模型

Figure 7. MB–rigid rotor system model

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图 8 高承载力密度磁轴承优化设计流程

Figure 8. Optimal design procedure of high-load capacity MBs

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图 9 Pareto前沿

Figure 9. Pareto front

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图 10 高承载力密度磁轴承有限元模型

Figure 10. Finite element model of high-load capacity MBs

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图 11 气隙磁密和分布云图

Figure 11. Air gap magnetic flux density and distribution cloud map

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图 12 不同控制电流的电磁力及误差

Figure 12. Electromagnetic forces and errors under different control currents

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图 13 不同转速下的系统根轨迹

Figure 13. System root locus at different rotational speeds

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图 14 实验平台

Figure 14. Experimental platform

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图 15 控制电流和偏心位移的关系（非伸端）

Figure 15. Relationship between control current and eccentric displacement （non-extended end）

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图 16 转子偏心位移和轴心轨迹（6 000 rpm）

Figure 16. Rotor eccentric displacement and shaft center trajectory （6 000 rpm）

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表 1 高承载力密度磁轴承的主要输入参数

Table 1. Key input parameters for high-load capacity MBs

符号	参数	值	单位
m	转子重量	490	kg
B_sat	深度饱和磁密点	1.8	T
g₀	气隙长度	0.4	mm
d_a × d_b	线径宽度和高度	2.5 × 1.4	mm
R_s1,req	最大定子外径	330	mm
R_r1,req	最小转子内径	120	mm
Ω	转子角速度	6000 × 2π	rad/s
	最大线速度	187	m/s

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表 2 Pareto最优解集

Table 2. Pareto optimal solution set

最优解序列	磁极宽度/ mm	转子外径/ mm	轴向长度/ mm	磁极高度/ mm	比例系数/ （A•mm⁻¹）	微分系数/ （A•s•mm⁻¹）
1	22.0	125.0	77.6	18.1	46.52	0.047
2	22.8	124.1	60.5	18.6	47.98	0.046
3	22.0	125.0	69.1	18.1	46.52	0.047
4	22.0	125.0	70.4	18.1	46.51	0.047
5	22.0	125.0	71.4	18.1	46.52	0.047
6	22.0	125.0	73.7	18.1	46.51	0.047
7	22.9	123.5	59.7	18.7	48.19	0.046
8	23.4	121.5	59.3	20.7	48.57	0.045
9	23.5	119.0	62.2	22.0	46.58	0.047
10	22.9	124.0	59.7	18.7	48.17	0.046

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Table 3. Key design scheme parameters of high-load capacity MBs and traditional MBs

参数	高承载力密度磁轴承	传统磁轴承	单位
实际最大承载力	7145	7145	N
偏置磁密	1.0	0.8	T
气隙	0.4	0.4	mm
定子外径	165.0	165.0	mm
转子内径	60.0	60.0	mm
轴向长度	62.0	75.0	mm
最大力回转率	9.62 × 10⁶	6.86 × 10⁶	N/s
承载力密度	0.484	0.40	MPa

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表 4 刚度及其误差

Table 4. Stiffness and errors

参数	理论计算	实验辨识	相对误差（%）
电流刚度/（N•A⁻¹）	849	847.1	−0.22
位移刚度/（N•m⁻¹）	−3.11 × 10⁷	−2.97 × 10⁷	−4.52

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参考文献(25)

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1. 高承载力密度磁轴承数学模型
1.1 磁路模型
1.2 动力学模型
2. 结构-控制一体化设计方法
2.1 约束条件
2.2 优化目标
3. 优化方案计算与验证
3.1 优化方案计算
3.2 仿真验证
3.3 实验验证
4. 结　论

高承载力密度磁轴承优化设计

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20240553

作者简介: 姜豪（1995—），男，讲师，博士，研究方向为磁悬浮电机技术，E-mail：jianghao23@nue.edu.cn

通讯作者: 苏振中（1989—），男，教授，博士生导师，研究方向为集成化发电技术、磁悬浮技术等，E-mail：suayst@nue.edu.cn

计量

出版历程

Optimized Design of High-Load Capacity Magnetic Bearings

1. 高承载力密度磁轴承数学模型

1.1 磁路模型

1.2 动力学模型

2. 结构-控制一体化设计方法

2.1 约束条件

2.1.1 承载力约束

2.1.2 磁密约束

2.1.3 尺寸约束

2.1.4 电流约束

2.1.5 功放约束

2.1.6 稳定性约束

2.2 优化目标

2.2.1 最小轴向长度

2.2.2 最大力变化率

3. 优化方案计算与验证

3.1 优化方案计算

3.2 仿真验证

3.3 实验验证

4. 结 论

计量

出版历程

目录

1. 高承载力密度磁轴承数学模型

1.1 磁路模型

1.2 动力学模型

2. 结构-控制一体化设计方法

2.1 约束条件

2.2 优化目标

3. 优化方案计算与验证

3.1 优化方案计算

3.2 仿真验证

3.3 实验验证

4. 结 论

作者简介:
姜豪（1995—），男，讲师，博士，研究方向为磁悬浮电机技术，E-mail：jianghao23@nue.edu.cn

通讯作者:
苏振中（1989—），男，教授，博士生导师，研究方向为集成化发电技术、磁悬浮技术等，E-mail：suayst@nue.edu.cn

4. 结　论

4. 结　论