Vibration and Stability Evaluation of Magnetically Suspended Fluid Machinery Based on API617
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摘要:
为评估磁悬浮流体机械设计的合理性和运行的可靠性，应用API617标准对其振动和稳定性进行分析. 首先，对API617标准中关于磁悬浮流体机械的相关规范和要求进行介绍；然后，以一台磁悬浮风机为研究对象，基于API617标准开展转子动力学分析、闭环传递函数测试、振动分析、稳定性评估等工作. 结果表明：各项指标均满足API617标准要求，转子运行转速与临界转速之间的分离裕度为69.7%和53.8%，设计合理；磁悬浮转子系统建模准确，可用于预测转子的动力学行为；径向磁悬浮轴承系统灵敏度传递函数峰值均处于等级A范围内，轴向磁悬浮轴承处于等级B范围内，满足长期稳定运行要求；运行转速范围内转子振动小于10 μm，远小于振动极限要求.
Abstract:To evaluate the design rationality and operation reliability of the magnetically suspended fluid machinery, the API617 standard was applied to analyze its vibration and stability. Firstly, the relevant specifications and requirements for magnetically suspended fluid machinery in the API617 standard were introduced. Then, a magnetically suspended blower was taken as the research object, and rotor dynamics analysis, closed-loop transfer function testing, vibration analysis, stability evaluation, and other work were carried out based on the API617 standard. The results indicate that all indicators meet the API617 standard requirements. The separation margins between the rotor operating speed and critical speed are 69.7% and 53.8%, respectively, and the design is reasonable. The modelling of the magnetically suspended rotor system is accurate and can be used to predict the dynamic behavior of the rotor; the peak sensitivity transfer function values of the radial active magnetic bearing (AMB) system are all in zone A, while those of the axial AMB are in zone B, meeting the requirements for long-term and stable operation. The rotor vibration within the operating speed range is less than 10 μm, far below the vibration limit requirement.
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近年来高速铁路发展迅猛[1]，列车伴山而行、穿山而过，缩短城市间时空距离的同时也加大了铁路沿线环境安全监测的难度. 隧道口上方山体和轨旁边坡面临崩塌和溜滑等风险，威胁列车的安全运行[2].无线传感器网络（wireless sensor network，WSN）因其自组织能力，可被应用于山体和边坡的安全监测报警系统[3-4]. 部署的传感器节点可以实时感知并收集山体崩塌和滑坡的触发参量，例如降雨量、土壤湿度、孔隙水压力等[5]. 节点部署策略直接影响WSN的监测效果，通过优化节点部署方案，可以提高安全监测报警系统的性能，从而保障列车的安全运营.
WSN节点部署的研究目标主要有提高网络覆盖率、网络连通性以及网络生命周期等[6]. 文献[7]中提出一种自适应多策略人工蜂群算法，使用模拟退火与动态搜索改进人工蜂群算法，增强算法跳出局部最优的能力，从而提高网络覆盖率. 文献[8]中提出一种基于快速非支配排序的改进蚁狮算法，通过提高算法求解精度、种群多样性以及全局搜索能力，优化节点部署方案. 以上研究适用于部署二维平面的WSN，起伏地形下节点部署问题更加复杂. 文献[9]分析起伏地形覆盖问题，证明该问题为NP-hard完全问题.
针对起伏地形下的WSN节点部署，学者们基于虚拟力方法、Voronoi图、智能优化算法等进行了研究[10]. 文献[11]提出一种适用于起伏地形的WSN确定性部署算法，使用Voronoi图将监测区域分区，结合Delaunay方法建立部署节点间连通性，在保证网络连通性的同时提高网络覆盖率，但算法性能受地形影响大. 文献[12]通过经典分水岭算法保持地形拓扑特征，将起伏地形映射到二维平面，再利用代价因子构造感知概率，节点均匀分布，该算法在不规则地形下采用均匀随机分布方式部署节点，易产生冗余覆盖，增多节点部署数目. 文献[13]采用数字高程模型（digital elevation model，DEM）对起伏地形表面进行建模，提出一种基于网格扫描的贪婪节点部署算法，根据节点覆盖面积，降序选择节点部署位置；该算法仅以网络覆盖率为优化目标未考虑节点部署方案对WSN应用性能的影响. 文献[14]提出一种适用于起伏地形下WSN节点部署的改进海洋捕食者算法（improved marine predator algorithm，IMPA），通过引入随机对立学习与差分进化算子提高IMPA的全局搜索能力，并结合混合蛙跳算法进行局部搜索，提高求解精度，优化节点部署方案；然而，当网络目标覆盖率提升或搜索维度增加时，该算法的求解精度可能会下降，导致需要部署的节点数量增多. 文献[15]中提出一种增强灰狼优化器（enhanced grey wolf optimizer，EGWO），将灰狼种群分为内、外层进行搜索，并引入Tent映射以增强算法的局部与全局搜索能力，从而提高问题求解精度，优化起伏地形下的WSN覆盖率；但同样，在搜索维度增加时，该算法也面临求解精度下降和节点部署数量增加的问题.
上述研究成果虽然可以实现起伏地形下的WSN节点部署，但仍存在一些不足，如节点部署数目多导致网络成本高、部署难度大，并且缺乏与典型路由算法结合的网络生命周期性能测试分析. 此外，由于铁路沿线起伏地形复杂多样，不同地形粗糙度下的节点部署算法性能也存在一定差异. 为解决这些问题，提出一种适用于铁路沿线起伏地形的WSN节点部署算法. 该算法基于DEM与Delaunay方法对起伏地形进行建模，确定节点部署的解空间，以网络连通性为约束、网络覆盖率为目标，通过迭代方式，结合IMPA及遗憾最小化为准则，利用筛选函数完成WSN节点的部署.
1. 模型分析
1.1 起伏地形表面建模
地理信息系统中，多采用DEM表示地形特征，使用规则网格模型建立地形特征点集合DEM[16]，如式（1）所示.
DEM={Qv,h}V,H, (1) 式中：$ Q_{v,h} $为特征点，表示节点可部署位置，是规则网格第v行、第h列交点；V、H分别为行、列最大数目.
$ Q_{v,h} $的编号为$ H\left( {v - 1} \right) + h $，特征点编号集合为D， $ V \times H $为网格精度，如图1（a）所示.
使用Delaunay方法将地形表面划分为三角平面，如图1（b）所示. 三角平面集合表示为Φ，三角平面边集合表示为e，网格精度需满足任意边的长度小于等于节点感知半径$ r_{\text{c}} $.
1.2 节点连通性模型
定义1：当两个传感器节点通视，且欧式距离小于等于通信半径$ r_{\text{d}} $，则称节点连通.
采用ModSAF算法判断两点通视，当两点连线地表切面的高程值不高于两点间直线时，则两点通视. 以图2为例，A、B为地表上不相连两点，其水平面垂直映射点为A'、B'. e'为集合e水平面垂直映射集合； b为线段A'B'与集合e'的交点集合，$ b_\delta $为集合b中第δ个交点；$ {\textit{z}}_{b_{\delta}} $为$ b_\delta $对应线段AB上的高程值，$ {\textit{z}}'_{b_{\delta}} $为$ b_\delta $对应地表高程值. 若$ \forall {\textit{z}}'_{b_\delta} \leqslant {\textit{z}}_{b_\delta} $，则A、B通视，记为$ l_{{A,B }}=1 $；否则A、B非通视，记为$ l_{{A,B }}=0 $.当A、B符合定义1时，A、B连通，记为$ L_{{A,B}}=1 $；否则，A、B非连通，记为$ L_{{A,B }}=0 $.
定义2：网络连通性是指网络中任意两个传感器节点间至少存在一条通信路径.
定义3：网络连通度$ \lambda \left( \cdot \right) $是指网络中存在的通信路径总数与最大通信路径总数之比，如式（2）所示.
λ(N)={∑I∈NεI|N|2−|N|，|N|>1,0，|N|=1, (2) 式中：N为WSN部署节点集合，节点编号即部署位置编号，$ \varepsilon_I $（$ 0 \leqslant \varepsilon_I \leqslant \left| N \right| - 1 $）为节点I的通信路径数目，|∙|表示集合中元素数目.
1.3 节点覆盖模型
节点采用球形布尔感知模型，当节点I与点J间欧式距离$ d_{I,J} \leqslant r_{\text{c}} $，且$ l_{I,J} = 1 $时，节点I覆盖点J，记为$ C_{I,J} = 1 $；否则，未覆盖，记为$ C_{I,J} = 0 $.
$ S_I = \{\, \varphi \,|\,C_{I,\,a\varphi ,\,1} = 1,\;\,C_{I,\,a\varphi ,\,2} = 1,\,C_{I,\,a\varphi ,\,3 }= 1 ,\;\varphi \,\in\, \varPhi $，$ \varphi \notin K \} $，为节点I覆盖三角平面中的集合. 其中：$ a_{\varphi ,1} $、$ a_{\varphi ,2} $、$ a_{\varphi ,3} $为三角平面φ的顶点；$ K = \bigcup\nolimits_{I \in N} {S_I} $，为WSN覆盖集合.
网络覆盖率η是指WSN覆盖面积与起伏地形表面总面积之比[19]，如式（3）所示.
η(N)=∑φ∈Kqφ∑φ∈Φqφ×100\% , (3) 式中：$ q_\varphi $为三角平面φ的面积.
2. 改进海洋捕食者算法
海洋捕食者算法（MPA）是一种模拟海洋生物捕食的群智能算法，捕食策略分为莱维飞行与布朗运动[20]，具有寻优能力强、调整参数少的特点. 但MPA在3个搜索阶段（高速比阶段、等速比阶段、低速比阶段）的搜索次数均固定为$ {{t_{\text{max}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{t{\text{max}}} 3}} \right. } 3} $，易导致过早进入局部搜索或局部搜索不充分. 本节提出根据相邻搜索最优解适应度差值与最大搜索次数tmax联合控制各搜索阶段搜索次数的IMPA.
2.1 初始种群
种群初始解X0随机均匀分布在搜索空间上，如式（4）所示.
X0=xb+rand(xa−xb), (4) 式中：$ x_{\text{a}} $、$ x_{\text{b}} $分别为解空间上、下界，$ {\boldsymbol{r}}_{\text{and}} $为（0,1）区间中均匀随机数向量.
猎物矩阵Y由n个维度为dm的猎物构成，如式（5）所示. 初始捕食者矩阵$ {\boldsymbol{E}} = \left[ {\boldsymbol{X}}_{\text{top}}\;{\boldsymbol{X}}_{\text{top}}\; \cdots \;\right. \left.{\boldsymbol{X}}_{\text{top}} \right]_{n \times d{\text{m}}} $，由顶级捕食者$ {\boldsymbol{X}}_{\text{top}} $构成.
Y=[X1,1X1,2⋯X1,dmX2,1X2,2⋯X2,dm⋮⋮⋮Xn,1Xn,2⋯Xn,dm]n×dm. (5) 2.2 搜索策略
步骤1 高速比阶段. 通过布朗运动更新猎物，如式（6）所示.
Y(t)i=Y(t−1)i + pRA⊗si, (6) si=RB⊗(Ei−RB⊗Y(t−1)i), (7) 式中：$ {\boldsymbol{Y}}_i^{\left( t \right)} $为第t次搜索中第i个猎物，$ {\boldsymbol{s}}_i $为第i个猎物移动步长，$ {\boldsymbol{E}}_i $为第i个捕食者，$ p = {\text{0}}{\text{.5}} $，$ {\boldsymbol{R}}_{\text{A}} $为[0,1]区间内随机数向量，$ \otimes $表示向量中元素依次相乘，$ {\boldsymbol{R}}_{\text{B}} $为基于布朗运动的随机数向量.
第t次搜索的最优解适应度差值为
FC(t)={Ftop(t),t = 1,Ftop(t)−Ftop(t−1),t > 1, (8) 式中：$ {\boldsymbol{F}}_{\text{top}}\left( t \right) $为第t次搜索的最优解适应度.
当$ {\boldsymbol{F}}_{\text{C}} $满足式（9），即搜索过程中连续M次$ {\boldsymbol{F}}_{\text{C}}=0 $时，进入步骤2，并更新$ {\boldsymbol{F}}_{\text{C}} = \left[ {1\;1\; \cdots \;1} \right] $.
t∑j=t−M+1FC(j)=0，t>M. (9) 步骤2 等速比阶段. 通过布朗运动与莱维飞行更新猎物，如式（10）所示.
Y(t)i={Y(t−1)i + pRA⊗si，1⩽i⩽n2,Ei + pCF⊗si，n2 < i⩽n, (10) si={RL⊗(Ei−RL⊗Y(t−1)i)，1⩽i⩽n2,RB⊗(RB⊗Ei−Y(t−1)i)，n2 < i⩽n, (11) 式中：$ C{\text{F}} = {( {1 - t / {t_{\text{max}}}}} )^{( {{{2t} {t{\text{max}}}}} )} $，为控制捕食者步长的自适应参数；$ {\boldsymbol{R}}_{\text{L}} $为基于莱维飞行的随机数向量. 通过式（8）求解$ {\boldsymbol{F}}_{\text{C}} $，当$ {\boldsymbol{F}}_{\text{C}} $满足式（9）时，进入步骤3，并更新$ {\boldsymbol{F}}_{\text{C}} = \left[ {1\;1\; \cdots \;1} \right] $.
步骤3 低速比阶段. 通过莱维飞行更新猎物，如式（12）所示. 通过式（8）求解$ {\boldsymbol{F}}_{\text{C}} $，当$ {\boldsymbol{F}}_{\text{C}} $满足式（9），终止搜索. 搜索过程中，$ t = t_{\text{max}} $时终止搜索.
Y(t)i=Ei + pCF⊗si, (12) si=RL⊗(RL⊗Ei−Y(t−1)i). (13) 搜索过程中进行海洋记忆存储，保存优秀猎物；使用涡流或鱼类聚集装置效扰动猎物矩阵Y，使算法跳出局部最优[20].
3. WSN节点部署算法
综合考虑网络覆盖率、网络连通性以及网络生命周期部署传感器节点. 基于所提IMPA建立候选个体集，在IMPA搜索过程中对猎物进行取整. 以收益函数遗憾最小化为准则[21]衍生新个体，将最佳新个体并入集合N，通过迭代方式确定达到目标覆盖率$ \eta {\text{t}} $的节点部署方案.
3.1 基于IMPA构建候选个体集
节点部署问题解空间为集合D，基于所提IMPA建立候选个体集，搜索维度$ d_{\text{m}} $随η增加而减小，如式（14）所示.
dm=⌈(1−η(N)ηt)⌊CL2rc⌋⌊CW2rc⌋⌉, (14) 式中：$ C_{\text{L}} $、$ C_{\text{W}} $分别为起伏地形长、宽.
适应度函数$F(\cdot) $如式（15）所示，适应度值最大的个体为最优解.
{F(Yi)=η(N∪Yi),s.t. λ(N∪Yi) = 1. (15) IMPA通过式（4） ～（13）求解最优解，并逐次提取最优解$ {\boldsymbol{g}}_{{\text{top}}}^{\left( t \right)} $，建立矩阵G=[$ {\boldsymbol{g}}_{{\text{top}}}^{\left( 1 \right)}\;{\boldsymbol{g}}_{{\text{top}}}^{\left( 2 \right)}\; \cdots \;{\boldsymbol{g}}_{{\text{top}}}^{\left( t \right)} $]，通过式（16）建立候选个体集Z.
Z={Gj1|ρ(N∪Gj1)⩾ρm}∪{Gj1|F(Gj1)⩾Fm}, (16) ρ(N)=∑I∈NξI|N|2−|N|, (17) 式中：$ \rho \left( \cdot \right) $为网络密度即网络中实际存在的连通边数目与最大可能边数目之比；$ {\boldsymbol{G}}_{j1} $为G中第j1个个体；$ \rho_{\text{m}} = {{\displaystyle\sum\nolimits_{j1 = 1}^{|{\boldsymbol{G}}|} {\rho \left( {N \cup {\boldsymbol{G}}_{j1}} \right)} }/ {\left| {\boldsymbol{G}} \right|}} $，为个体平均网络密度；$ F_{\text{m}} = {{\displaystyle\sum\nolimits_{j1 = 1}^{|{\boldsymbol{G}}|} {F\left( {{\boldsymbol{G}}_{j1}} \right)} } /{\left| {\boldsymbol{G}} \right|}} $，为个体平均适应度；$ \xi_I $为节点I的连通边数目.
3.2 基于遗憾最小化衍生新个体
IMPA求解维度固定，易导致冗余节点增加，为优化节点部署数目、提高IMPA搜索结果利用率，基于遗憾最小化衍生新个体. 任取集合Z中两个个体$ Z_{j2} $与$ Z_{j3} $，生成节点候选集合$ W = \{ Z_{j2} \cup Z_{j3}\} $. W中节点为博弈参与者，策略空间$ \varOmega = \{ \omega_1,\omega_2\} $. $ \omega_1 = 0 $，表示节点不加入新个体；$ \omega_2 = 1 $，表示节点加入新个体. 第k个参与者的策略$ \sigma_k \in \varOmega $，策略组$ \sigma = \left( {\sigma_1,\sigma_2, \cdots ,\sigma_{\left| W \right|}} \right) $，收益和函数如式（18）所示.
μ(σ)={|σ|∑k=1|βk|−||σ|∪k,α=1k≠α(SWk∩SWα)||σ|，βm=1,|σ|∑k=1(|βk|−2||σ|∪α=1α≠k(βk∩βα)|)，βm>1, (18) 式中：$ \beta_{\text{m}} = \displaystyle\sum\nolimits_{k = 1}^{|\sigma |} {\sigma_k} $，为新个体中节点数目；$ \beta_k $、$ \beta_\alpha $分别为第k、α个参与者的覆盖集合；$ S_{Wk} $、$ S_{W\alpha} $分别为节点$ W_{k} $、$ W_{\alpha} $的三角平面覆盖集合.
$ \sigma_k = 1 $时，$ \beta_k = S_{Wk} $；否则$ \beta_k = \varnothing $.$ \mu_k\left( \sigma \right) = \mu \left( \sigma \right)/ |\sigma | $，表示第k个参与者收益.
生成$ 2|\sigma | $个不重复策略组，第k个参与者在第T个策略组$ \mathop \sigma \nolimits^{\left( T \right)} $中采取策略$ \sigma_k $的遗憾如式（19）所示.
r(T)k(σk)=[μk(σk,σ(T)−k)−μk(σ(T))]+, (19) 式中：$ \mathop \sigma \nolimits_{ - k}^{\left( T \right)} $为$ \mathop \sigma \nolimits^{\left( T \right)} $中除$ \mathop \sigma \nolimits_k^{\left( T \right)} $以外的策略，$ {\left[ x \right]^ + } = \max \left\{ {x,0} \right\} $.
第k个参与者采用策略$ \omega_\gamma $（$ \gamma \in \left[ {1,2} \right] $）的概率为
Pk(ωγ)=Rk(ωγ)2∑γ0=1Rk(ωγ0), (20) 式中：$ R_k\left( {\omega _\gamma } \right) = \displaystyle\sum\nolimits_{T = 1}^{2|\sigma |} {\mathop r\nolimits_k^{\left( T \right)} \left( {\omega _\gamma } \right)} $，为第k个参与者在策略$ \sigma_k = \omega _\gamma $时的累积遗憾.
参数者根据$ P_k $选择策略，$ P_k\left( {\omega _1} \right) = P_k\left( {\omega _2} \right) $时，生成多个策略组；$ P_k\left( {\omega _1} \right) > P_k\left( {\omega _2} \right) $时，策略组$ {\sigma ^ * } $中第k个参与者的策略$ \mathop \sigma \nolimits_k^* = \omega _1 $；$ P_k\left( {\omega _1} \right) < P_k\left( {\omega _2} \right) $时，$ \mathop \sigma \nolimits_k^* = \omega _2 $. 当策略组$ {\sigma ^ * } $满足式（21）时，$ {\sigma ^ * } $达到纳什均衡，为最佳策略组；否则，更改$ {\sigma ^ * } $中遗憾最大的参与者策略，直至$ {\sigma ^ * } $达到纳什均衡. 最佳策略组$ {\sigma ^ * } $衍生出新个体$ {g^ * } = \left\{ {W \otimes {\sigma ^ * }} \right\} $，构建新个体集合$ {G^ * } $.
μk(σ∗)⩾maxσk∈Ω(μk(σk,σ∗−k)). (21) 3.3 筛选函数
以网络覆盖率与网络密度的线性函数归一化值$ \eta _{\text{no}}\left( \cdot \right) $、$ \rho _{\text{no}}\left( \cdot \right) $为指标，构建筛选函数为
F1(G∗j4)=θtAηno(N∪G∗j4)+(1−θtA)ρno(N∪G∗j4), (22) 式中：$ G_{j4}^ * $为新个体集合$ G_{j4}^ * $中第j4个个体；$ \theta_{t_{\text{A}}} $为第$ t_{\text{A}} $次迭代中网络覆盖率的权重，$ \theta _{t{\text{A}}} $随$ t_{\text{A}} $增大而增大，如式（23）所示.
θtA={θtA−1+(1−θtA−1)(η(N)ηt)dm−1，tA>1,θ0，tA=1. (23) 选择F1值最大的新个体并入集合N，即$ N = N \cup \mathop {{{\mathrm{argmax}}} }\nolimits_{G_{j4}^ * } \left( {{F_1}\left( {G_{j4}^ * } \right)} \right) $. 当$ \eta \left( N \right) < \eta _{\text{t}} $时，更新覆盖集合$ S_I $，进入下一次迭代，$ t_{\text{A}}=t_{\text{A}} + 1 $；否则，终止迭代，得到节点部署方案. 初始时，集合N中仅包含Sink节点所在特征点编号. 算法流程如下：
算法名称：WSN节点部署算法
输入：部署节点集合N，目标覆盖率$ \eta _{\text{t}} $，$ t_{\text{A}}=1 $
输出：部署节点集合N
1: while $ \eta \left( N \right) < \eta _{\text{t}} $ do
2: 基于IMPA建立候选个体集合Z;
3: for j2=1:|Z|−1 do
4: for j3= j2 + 1:|Z| do
5: $ W = \{ Z_{j_{\text{2}}} \cup Z_{j_{\text{3}}}\} $，并生成$ 2|\sigma | $个策略组;
6: while $ \mu _k\left( {{\sigma ^ * }} \right) < \mathop {\max }\limits_{{\sigma _k} \in \Omega } \left( {\mu _k\left( {{\sigma _k},\sigma _{ - k}^ * } \right)} \right) $ do
7: 通过式（19） ～ （21）更新$ \mathop \sigma \nolimits^* $;
8: end while
9: 根据最佳策略组衍生出新个体
10: end for
11: end for
12: 根据式（22）选择最佳新个体,更新集合N、S;
13: 更新$ t_{\text{A }}=t_{\text{A}} + 1 $,计算权重$ \theta _{t{\text{A}}} $;
14: end while
4. 仿真分析
在Window 10系统上，使用MATLAB 2022a对算法进行仿真，CPU为Intel（R） Core（TM） i7-13700F，内存32 GB. 仿真参数如表1所示[22].
表 1 仿真参数及取值Table 1. Simulation parameters and values参数 取值 起伏地形：长/宽/高 m 100/100/50 DEM网格精度 21 × 21 IMPA种群大小 50 权重$ \theta _0 $ 0.9 节点初始能量/J 1 数据包大小/bit 3200 电路能耗$ E_{\text{elec}} $/（nJ•bit−1） 50 功放参数$ \varepsilon _{\text{fs}} $/（ pJ•bit−1•m−2） 10 功放参数$ \varepsilon _{\text{amp}} $/（pJ•bit−1•m−4） 0.0013 距离阈值$ d_0 $/m 87 将本文算法（$ t_{\text{max}} = 500 $次，$ M = 35 $次）与IMPA[14]（$ t_{\text{max}} = 100 $次）、EGWO[15]（$ t_{\text{max}} = 100 $次）、IMPA-FD（improved marine predator algorithm-fixed dimensions）（$ t_{\text{max}} = 500 $次）、IMPA-AD（improved marine predator algorithm-adjustable dimensions）（$ t_{\text{max}} = 500 $次，$ M = 35 $次）进行对比分析. IMPA-FD是基于文献[11]的IMPA、维度$ d_{\text{m}} = \left\lfloor {{{C_{\text{L}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{C_{\text{L}}} {\left( {2r_{\text{c}}} \right)}}} \right. } {\left( {2r_{\text{c}}} \right)}}} \right\rfloor \left\lfloor {C_{\text{W}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{C{\text{W}}} {\left( {2r_{\text{c}}} \right)}}} \right. } {\left( {2r_{\text{c}}} \right)} \right\rfloor $的迭代部署算法. IMPA-AD是基于本文IMPA、维度函数的迭代部署算法. $ r_{\text{c}}=25 $ m，$ r_{\text{d}}=2r_{\text{c}} $. 分析目标覆盖率$ \eta _{\text{t}} $与地形粗糙度τ对算法性能的影响. 地形粗糙度τ即地表面积与其垂直投影面积之比[23]，如式（24）所示. 图3为不同τ下的地形示意. 为降低偶然性，以测试场景独立执行20次的均值表示结果.
τ=∑φ∈ΦqφCLCW. (24) 1）目标覆盖率$ \eta _{\text{t}} $对算法性能的影响
测试地形图3（d），$ \eta _{\text{t}} $以2.5%为增量从80%递增至100%，分析$ \eta _{\text{t}} $对节点部署数目与算法运行时长的影响，结果如图4所示. 由图4（a）可见，随$ \eta _{\text{t}} $递增，节点部署问题求解复杂度增大，节点部署数目及其增量逐渐增加；IMPA、EGWO部署节点数目最高、增长幅度最大，这是因为随$ \eta _{\text{t}} $提高搜索维度增大，算法求解精度降低；IMPA-FD部署节点数目次高，这是因为维度固定，但增加了冗余节点数目；本文算法、IMPA-AD部署节点数目较少，是因为维度函数提高了算法求解精度；相比于IMPA-AD，本文算法中衍生新个体的过程优化了节点部署与网络覆盖率之间的关系，有助于剔除冗余节点，进一步降低节点部署数目. 与对比算法相比，本文算法的节点部署数目降低2.9%～69.1%. 由图4（b）可见，随$ \eta _{\text{t}} $递增，算法运行时长呈上升趋势，IMPA-AD、本文算法的运行时长上升幅度低于其他算法，受$ \eta _{\text{t}} $影响小；IMPA-AD运行时长最短，这是因为本文提出的IMPA减少了搜索次数，且维度函数降低了问题求解复杂度. 本文算法因新个体衍生过程使其运行时长略高于IMPA-AD.
图 4 算法性能随$ \eta _{\text{t}} $变化趋势Figure 4. Variation of algorithm performance with $ \eta _{\text{t}} $2）地形粗糙度τ对算法性能的影响
设置地形高度一定，$ \eta _{\text{t}} $=100%，从节点部署数目、网络密度、网络生命周期以及算法运行时长方面分析算法在不同τ下的性能，结果如图5所示. WSN周期性收集数据，节点均需将感知数据发送至Sink节点[24]. 网络生命周期为首个节点能量耗尽时的网络运行轮次（单位：round）. Sink节点坐标（50,0,25），采用DGABT路由算法进行数据传输[25].
图5（a）中，节点部署数目随τ递增，呈下降趋势. 这是因为地形高度一定时，τ增大后节点间空间关联性增强；与其他算法相比，本文算法节点部署数目降低3.1%～74.0%. 由图5（b）可见，随τ递增，本文算法、IMPA-AD的ρ呈上升趋势；IMPA-FD的ρ呈波动趋势；IMPA、EGWO的ρ呈下降趋势. 这是因为随τ递增，本文算法、IMPA-AD节点部署数目略有下降对最大可能边数目影响较大；IMPA-FD节点部署数目减少对网络边数目、最大可能边数目影响相近；IMPA、EGWO节点部署数目锐减对网络边数目影响较大. 由图5（c）可见，τ对网络生命周期具有一定的影响；本文算法对应的网络生命周期高出其他算法13.3%～286.5%，这是因为本文算法综合考虑η与ρ部署节点，使靠近Sink节点的网络密度高，提高节点能量利用率，且节点部署数目少，网络中需转发数据量小，降低数据传输能耗. 由图5（d）可见，算法运行时长随τ递增，呈下降趋势，且本文算法、IMPA-AD因τ增大后节点间空间关联性增强、搜索次数少，故而运行时长短于其他算法，EGWO、IMPA、IMPA-FD、IMPA-AD以及本文算法的运行时长方差分别为563.3、571.4、531.9、154.9、171.1 s2，可见本文算法、IMPA-AD受τ影响小.
5. 结 论
针对起伏地形下WSN节点部署数目多的问题，提出一种节点迭代部署算法，从仿真结果可见本文算法具有如下优点：
1） 有效降低节点部署数目. 相比于其他算法，本文算法在起伏地形一定时，不同$ \eta _{\text{t}} $，节点部署数目降低2.9%～69.1%；在地形高度一定，$ \eta _{\text{t}} = 100\% $时，不同τ，节点部署数目降低3.1%～74.0%.
2） 网络生命周期长. 当$ \eta _{\text{t}} = 100\% $，不同τ时，本文算法的网络生命周期高出其他算法13.3%～286.5%.
3） 算法运行时长受$ \eta _{\text{t}} $、τ影响较小.
综上所述，在不同测试地形下本文算法均表现出良好的性能，但仍存在算法运行时长高的缺点.
致谢：北京市高速铁路宽带移动通信工程技术研究中心（北京交通大学）开放课题基金资助（BHRC-2022-1）.
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图 8 闭环传递函数理论计算与试验测试结果对比
Figure 8. Theoretical calculation and experimental results of closed-loop transfer function
图 9 轴向磁悬浮轴承转子系统闭环传递函数测试结果
Figure 9. Test result of closed-loop transfer function for axial AMB-rotor system
图 10 磁悬浮轴承转子系统灵敏度传递函数测试结果
Figure 10. Test results of sensitivity transfer function for AMB-rotor system
图 11 磁悬浮风机转子升速振动响应瀑布图
Figure 11. Waterfall diagram of vibration response of magnetically suspended blower rotor during acceleration
表 1 磁悬浮轴承转子系统振动等级（ISO14839-2）
Table 1. AMB-rotor system vibration level （ISO14839-2）
等级 Ar/Cmin 描述 A <0.3 新调试设备一般都处于此等级 B [0.3, 0.4） 设备可长时间运行 C [0.4, 0.5） 需要定期维护以保持稳定运行 D ≥0.5 设备失稳的可能性较大 
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表 2 磁悬浮轴承转子系统灵敏度峰值等级（ISO14839-3）
Table 2. Peak sensitivity level of AMB-rotor system （ISO14839-3）
等级 最大增益/dB 描述 A <9.5 新调试设备一般都处于此等级 B [9.5，12.0） 是可接受的、可长时间运行的 C [12.0，14.0） 不满足长时间连续运行要求 D ≥14.0 可能会导致设备的损坏
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表 3 径向磁悬浮轴承和转子的主要参数
Table 3. Main parameters of radial AMB and rotor
参数 数值 保护间隙/mm 0.25 偏置电流/A 2.5 磁极面积/mm2 270 线圈匝数/匝 80 转子长度/mm 562 轴颈轴径/mm 56
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