由于交通线路走向和场地限制，许多路基、桥梁和隧道等构筑物处于高陡边、仰坡之下，上方存在难以彻底清除和治理的危岩落石，对运营安全造成严重威胁，需要采取可靠防护结构措施以保证安全. 在进行落石防护结构设计时，需要首先设定落石尺寸（体积）以确定冲击作用（荷载）. 因此，落石尺寸的确定是科学、合理进行防护结构设计的首要条件^[1]. 我国铁路、公路工程结构可靠性设计规范中，将落石冲击按偶然作用处理^[2-5]. 偶然作用的代表值即是设计值，当缺乏历史资料时一般都是根据工程经验通过分析判断经协议确定其名义值，若有一定统计规律时其设计值也可以通过某一分位值来确定^[2]. 当有统计数据但缺乏失效后果的定量和经济上的优化分析时，国际标准建议可采用重现期为万年的标准确定其代表值^[6]. 目前，我国还没有明确提出落石冲击作用代表值或设计值的定量确定方法，在设计中仍以名义值而非统计值进行计算. 如隧道手册中明洞结构的落石设计尺寸最大取1 m^3[7]. 然而，落石体积超过2 m³的事件发生较多而并非是小概率事件，如宝成铁路某段落石记录显示，每年体积大于3 m³落石事件发生次数平均为2次^[8]. 这说明将1 m³作为落石设计尺寸名义值不仅无法体现落石事件的概率统计特征，也与实际情况不符. 由于落石事件突发性强、随机性大，基于概率的可靠性设计对科学、合理进行防护结构设置尤为必要^[1]. 确定落石冲击作用的代表值或设计值是进行拦石网（墙）、明洞或棚洞等被动防护结构可靠性设计的必须环节. 因此，提出具有概率统计特征的落石设计尺寸确定方法，对体现和满足现代防护结构可靠性设计理念和要求尤为必要.

国外开展了较多落石尺寸设计值确定方法的研究，如：Illeditsch等^[9]利用由无人机摄影测量和数值成像技术对节理切割岩块尺寸进行数理统计分析，得到落石块体对应某分位值的设计尺寸；奥地利在指南“The Austrian Guideline ONR 24810 （On 2012）”中指出，落石设计尺寸是根据落石发生频率，取累积概率分布的95%～98%分位值^[10]；Marchelli等^[11-13]在进行落石被动防护结构高度的可靠性设计中，考虑到时变性，设落石尺寸服从正态分布，取某重现期尺寸均值（50%分位值）为特征值；文献[14-15]对设计落石（design block）的定义是指某一重现期具有一定尺寸（体积）的落石块（a “desigh block” refers to the return period of a block with a certain size （volume）.）. 从上述分析可知，目前确定落石设计尺寸的方法主要有3种（经验法、分位值法和重现期法）：经验法取名义值，没有概率统计概念，不能体现偶然性和随机性，不能满足可靠性设计要求；分位值法可体现事件的概率统计特征，可用于可靠性分析，但没有体现时间因素，只根据落石尺寸分布的分位值（如95%分位值），可能导致设计尺寸过大^[16]；重现期具有时间概念且具有统计概率特征，如同风、洪水及地震等自然灾害，落石事件适合用尺寸-重现期来表征^[11-13]，如De Biagi等^[17]提出采用泊松-广义帕累托分布（GPD）复合极值模型预测落石尺寸-重现期的方法. 基于重现期的落石尺寸确定需要具有关于落石事件的发生时间、频次及落石尺寸等较为系统的历史统计记录数据.

目前，我国还未开展落石防护结构可靠性设计的相关研究，落石冲击荷载也未明确落石设计尺寸确定方法. 本文结合我国以往铁路运营单位落石事件记录，根据数据特征，进行落石尺寸-重现期计算分析，参考地震作用标准值取值原则，提出基于重现期的落石设计尺寸确定方法，以期为我国落石防护结构可靠性设计方法体系的建立提供技术支撑. 本文先介绍基于GPD复合模型的落石尺寸-重现期计算方法；再根据我国宝成铁路落石事件记录数据，进行落石尺寸与相应重现期的计算，阐述了GPD阈值选取方法，探讨落石事件记录中缺失的最大、最小落石尺寸数据对阈值选取和落石尺寸-重现期预测结果的影响；最后，参考我国地震作用标准值取值原则，提出基于重现期的落石设计尺寸确定方法.

1.   基于泊松分布-GPD复合模型的落石尺寸-重现期计算方法

1.1   泊松分布-GPD复合模型

文献[17]根据落石事件发生和记录特点，利用和基于可描述小概率事件的泊松分布和具有幂律形式的GDP极值模型特点，设所观察记录的落石事件相互独立，落石发生次数服从泊松分布，超过某足够大阈值的落石尺寸（体积）服从GPD，根据年发生次数（频率）与重现期的关系，得到关于落石事件发生频率与落石尺寸的复合模型，计算及推导过程如下^[17]：

设每年尺寸大于某阈值 μ 的落石事件发生次数均值为 λ，落石体积尺寸v的分布函数为F(v)，体积超过v的落石事件发生概率为1－F(v)，则每年尺寸超过v的落石事件发生概率为 λ(1－F(v))，其倒数即为对应的重现期 T，则有

对应重现期T的落石尺寸v为

式中：F ⁻¹为落石尺寸分布函数的反函数

设v服从GPD，则

式中：σ、ξ和μ分别为尺度（scale）、形状（shape）和位置（location）参数， 位置参数 μ 即为落石尺寸阈值.

由式（3）可得

将式（1）代入式（4），得到v与T的关系为

由式（5）得到重现期T的表达式为

则年超越概率（重现期的倒数）为

1.2   参数估计

在利用式（6）或（7）进行v与T的计算分析时，需要确定λ、σ、ξ及μ等4个参数的取值. 当具有落石事件历史记录数据时，首先根据数据情况设定阈值μ，只有尺寸大于阈值μ的落石事件才记入事件发生的统计次数$n^*$. 同时，考虑到落石记录时间t是从落石已发生后开始记录，因此，假定有半个重现期的时间需要补充^[17]，因此，数据的统计时间t^*为

落石事件发生的统计次数$n^*$服从参数为λ的泊松分布，λ可根据样本数据进行估计^[17]，如式（9）.

参数σ、ξ可根据样本数据通过极大似然法进行估计.

以宝成铁路白—上段1961—1972年期间落石事件的记录数据（表1）为分析对象，进行泊松分布-GPD复合模型参数设置.

表  1  宝成铁路白—上段落石记录^[8]

Table  1.  Rockfall records of Bai−Upper section of Baoji−Chengdu Railway^[8] 次

年份	v>3.0 m3	2.0 m3<v≤3.0 m3	1.5 m3<v≤2.0 m3	1.0 m3<v≤1.5 m3	0.5 m3<v≤1.0 m3	v≤0.5 m3	合计
1961 年	1	1			0	10	12
1962 年	4	1		2	2	17	26
1963 年	4		2	1	4	30	41
1964 年	3	4	2	3	5	54	71
1965 年	1			2	2	45	50
1966 年	5	2		3	12	99	121
1967 年		1		1	1	5	8
1969 年		3		1	5	26	35
1970 年	1		1	5	16	51	74
1971 年	1	1	2	3	3	30	40
1972 年	3	2	3	3	2	39	52
合计	23	15	10	24	52	406	530
分占比例%	4.34	2.83	1.89	4.53	9.81	76.6	100.00

下载: 导出CSV 

| 显示表格

表1中记录了t = 11年期间落实事件次数n =530次的落石事件. 暂取 μ=0.5 m³，则表1中体积大于0.5 m³的落石发生统计次数n^*=124次，由式（9）可知t^*=11.04 a，利用式（9）计算得到 λ=11.23次/a.

对于σ、ξ，需要利用样本数据进行参数估计得到. 由于表1中落石尺寸为区间值，采用蒙特卡罗随机抽样法^[18]，在表1中每个区间随机生成对应发生次数的落石尺寸，如0.5 m³<v≤1.0 m³共发生了52次，则在此尺寸区间内随机生成52个落石尺寸数据. 由于体积大于3.0 m³的落石尺寸未明确上限值，取10.0 m³为记录的最大落石尺寸，以便于随机抽样生成样本数据. 利用随机生成的样本数据，采用极大似然法进行广义帕累托分布的σ、ξ参数估计^[19]，共进行10000次估计，结果如表2所示.

表  2  GPD参数σ、ξ估计

Table  2.  Estimated results of GPD parameters ξ and σ

条件	ξ	σ
90% 置信区间	[0.40,0.60]	[0.86,1.02]
95% 置信区间	[0.38,0.63]	[0.84,1.04]
均值	0.50	0.94

下载: 导出CSV 

| 显示表格

1.3   落石尺寸-重现期计算

将所得参数 λ、σ、ξ及μ=0.50 m³代入式（7），得到宝成铁路白—上段的年发生频率-落石尺寸（(1/T)−v）结果，如图1所示.

图  1  年发生频率-落石尺寸关系

Figure  1.  Relationship between annual frequency of occurrence and rockfall size

下载: 全尺寸图片 幻灯片

由图1可知：当重现期为50 a时，落石尺寸均值为43.16 m³，95%置信区间为[22.80,87.92] m³；当重现期为100 a时，落石尺寸均值为61.62 m³，95%置信区间为[25.20,136.69] m³.

取T=100 a，将前述10000次随机抽样估计得到的σ、ξ代入式（5），得到相应的10000个落石尺寸数据，其统计频次及累积概率分布如图2所示.

图  2  100年重现期落石尺寸频次与累积概率分布

Figure  2.  Frequency and cumulative probability distribution of rockfall size during 100-year return period

下载: 全尺寸图片 幻灯片

由图2可知，当μ取0.50 m³、最大落石尺寸取10 m³时，重现期为100 a的落石尺寸的50%、90%、95%、98%分位值分别为61.62、91.34、101.75、116.23 m³.

2.   阈值的选取

在前述参数估计及v-T计算中，暂取阈值μ为0.5 m³. 而在采用广义帕累托分布模型进行数据分析时，阈值的选取会影响预测结果：阈值过小造成统计上的偏差较大；阈值过大将导致样本数量偏少，预测的误差增大^[20-21]. 因此，阈值的选取需在偏差与误差之间均衡，通常的做法是在某数据范围内选取尽可能低的阈值^[18,22-24].

2.1   阈值选取方法

阈值选取可根据平均超出量的线性变化和参数估计的稳定性作为依据^[20-21].

1） 平均超出量的线性变化

对给定的样本$X_1、X_2、\cdots、X_{i}\cdots、X_N$，定义样本平均超出量函数为

式中：N为超出量的个数.

如果对某个初始阈值μ₀，超出量分布近似服从参数σ、ξ的GPD分布，则对大于μ₀的μ，样本平均超出量函数应该在一条直线附近波动^[20-21]，方法如下：

① 选择适当的μ₀作为阈值，使得E(μ)关于μ≥μ₀近似线性.

② 根据式（10）绘制样本的平均超出量函数曲线，关注在初始阈值μ₀以后平均超出量函数E(μ)斜率的变化，选取斜率不变区域中的最小阈值作为最合适的阈值（μ）.

2） 参数稳定性评估

若μ₀对应的超出量近似为GPD分布，则对大于μ₀的阈值μ，其超出量所拟合的GPD分布形状参数ξ的估计值应保持不变. 因此，可选取令ξ、$\sigma ^*$保持近似常数的最小μ作为阈值. 其中，

式中：${\sigma _{{\mu _0}}}$为初始阈值μ₀所对应的尺度参数.

对表1数据，以0.05 m³为间隔，选取0.20、0.25、0.30、…、1.20 m³共21个μ₀，对每个μ₀进行GPD参数${\sigma _{{\mu _0}}}$、ξ估计，方法同1.2节，仍取最大落石尺寸为10.0 m³，共进行10000次计算，得到相应${\sigma _{{\mu _0}}}$、ξ的均值和90%、95% 置信区间，再将${\sigma _{{\mu _0}}}$、ξ估计值代入式（10）、（11），得到E(μ)-μ₀、ξ-μ₀及σ^*-μ₀的关系，如图3～5所示.

图  3  E(μ)-μ₀曲线

Figure  3.  E(μ)-μ₀ curves

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  4  ξ-μ₀曲线

Figure  4.  ξ-μ₀ curves

下载: 全尺寸图片 幻灯片

图  5  $\sigma ^*$-μ₀曲线

Figure  5.  $\sigma ^*$-μ₀ curves

下载: 全尺寸图片 幻灯片

由图3可知：当μ₀在（0.55,1.00）m³、（1.00,1.20）m³范围时，E(μ)与μ₀呈较明显的线性关系；由图4、图5可知，当μ₀在（0.55,0.80）m³范围时，参数ξ、$\sigma ^*$变化较小接近常数. 因此，对于表1落石事件数据记录，取 μ = 0.55 m³是合适的.

2.2   不完备数据记录对阈值选取的影响

表1落石事件记录中，缺少大于3 m³落石尺寸上限值和小于0.5 m³落石尺寸下限值. 为考察缺失数据对阈值选取的影响，记录最大落石尺寸最大值v_max和最小值v_min，按2.1节所述方法考察E(μ)-μ₀、ξ-μ₀变化规律，由于$\sigma ^*$-μ₀与ξ-μ₀具有类似的变化规律，下面分析中不再列出.

最大落石尺寸v_max为4.0、5.0、6.0、8.0、10.0 m³时的E(μ)-μ₀、ξ-μ₀关系如图6所示.

图  6  不同v_max的E（μ）-μ₀和ξ-μ₀曲线

Figure  6.  E（μ）-μ₀ and ξ-μ₀ charts according to v_max values

下载: 全尺寸图片 幻灯片

由图6可知，取不同v_max时，E(μ)-μ₀曲线的线性段和ξ-μ₀曲线稳定段对应的阈值范围基本一致，说明记录的最大落石尺寸对阈值选取影响较小.

取v_max为6.0 m³和最小落石尺寸v_min为0.001、0.075、0.125 m³时的E(μ)-μ₀、ξ-μ₀关系曲线如图7所示.

图  7  不同v_min的E(μ)-μ₀和ξ-μ₀曲线

Figure  7.  E(μ)-μ₀ and ξ-μ₀ curves with different v_min values

下载: 全尺寸图片 幻灯片

由图7可知，不同v_min的E(μ)-μ₀曲线的线性段和ξ-μ₀曲线稳定段对应的阈值范围基本一致，说明记录的最大落石尺寸对阈值选取影响较小.

综合以上分析，说明对于表1的落石冲击数据记录，所缺失的落石最大和最小尺寸对阈值选取影响较小，2.1节中在设定记录的最大落石尺寸为10.0 m³的情况下所得到的阈值 μ =0.55 m³是可行的.

3.   落石尺寸设计值的确定

针对表1记录数据，取阈值μ为0.55 m³，记录的最大落石尺寸v_max分别为4.0、6.0 m³，按上述分析方法进行计算，得到v-1/T关系，如图8所示（仅显示均值）. 当通过现场坡体地质构造详细勘察后发现可能失稳下落的最大岩块尺寸时，同时绘制截断的v-1/T关系曲线^[17]. 例如，假设通过详细勘察或调查后发现，宝成铁路白—上段边坡体可能失稳掉落的最大岩块尺寸为20.0 m³，且设表1中大于3.0 m³落石尺寸区间具有上限值6.0 m³，则可绘制截断的v-1/T关系曲线，在图8中以红色虚线表示.

图  8  v-1/T

Figure  8.  Block Rockfall v-1/T of occurrence

下载: 全尺寸图片 幻灯片

50、100、1 000、10 000 a重现期的落石尺寸如表3所示. 由表3可知，当设记录的最大落石尺寸为6.0 m³时，宝成铁路白—上段50、100、1 000、10 000 a重现期的落石尺寸均值分别为13.42、15.91、26.75、42.99 m³；当最大落石尺寸为4.0 m³时，则为4.93、5.09、5.41、5.58 m³，相应的90%及95%置信区间示于表3中. 当通过现场详细勘察预测的可能失稳掉落的最大落石尺寸小于预测值时，可采用如图8所示的截断值方式，如前述1000、10000 a重现期的落石尺寸预测值分别为26.75、42.99 m³，则统一取20.00 m³.

表  3  各重现期对应落石尺寸均值及其置信区间

Table  3.  Mean rockfall sizes and their confidence intervals during different return periods m³

重现期/a	均值			90% 置信区间			95% 置信区间
	vmax=4.0 m3	vmax=6.0 m3		vmax=4.0 m3	vmax=6.0 m3		vmax=4.0 m3	vmax=6.0 m3
50	4.93	13.42		[4.28，5.89]	[11.30，14.92]		[4.13, 6.12]	[11.03, 15.26]
100	5.09	15.91		[4.39，6.12]	[13.34，17.86]		[4.23, 6.38]	[12.89，18.72]
1000	5.41	26.75		[4.60，6.69]	[21.23，31.83]		[4.42, 7.01]	[20.28，33.38]
10000	5.58	42.99		[4.70，7.02]	[31.95，53.43]		[4.51, 7.39]	[30.21，56.86]

下载: 导出CSV 

| 显示表格

参照我国建筑抗震设计的三水准设防目标（小震不坏、中震可修、大震不倒）的地震作用标准值确定方法，即设计基准期为50 a最大值36.8%、90%、98%的分位值，对应的超越概率为63.2%、10.0%、2.0%^[6,25]，通过利用落石尺寸-重现期的计算方法得到相应的落石尺寸标准值；考虑到目前公路桥梁及隧道等工程中将设计基准期定为100 a^[3]，取相同的超越概率或分位值，可计算得到相应的落石尺寸标准值及对应重现期，计算过程及结果如表4所示.

表  4  各设计基准期落石尺寸标准值

Table  4.  Standard values of rockfall size in different design reference periods m³

设计基准期/a	设防 水准	T/年	1/T/年− 1	1−1/T	N 年不超越 概率 (1− 1/T)N	N 年超越 概率 1−(1−1/T)N	与 T 对应的 落石尺寸标准值
							vmax=4.0 m3	vmax=6.0 m3
50	Ⅰ	50	0.0200	0.9800	0.36	0.64	4.93	13.4
	Ⅱ	475	0.0021	0.9979	0.90	0.10	5.33	22.8
	Ⅲ	2475	0.0004	0.9996	0.98	0.02	5.49	32.4
100	Ⅰ	100	0.0100	0.9900	0.37	0.63	5.09	15.9
	Ⅱ	900	0.0011	0.9989	0.89	0.11	5.40	26.2
	Ⅲ	5000	0.0002	0.9998	0.98	0.02	5.54	37.4

下载: 导出CSV 

| 显示表格

由表4可知，对于宝成线白—上段，以50 a为设计基准期，按三水准落石冲击设防标准，当记录的最大落石尺寸为6.0 m³ （4.0 m³）时，Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ设防水准对应的落石尺寸标准值即设计值分别为13.4、22.8、32.4 m³ （4.93、5.33、5.49 m³），当设计基准期为100 a时，设计值分别为15.9、26.2、37.4 （5.90、5.40、5.54 m³）. 当具有通过详细调查的可能失稳掉落的岩块或危岩体尺寸小于表4中落石尺寸标准值时，可取调查的最大落石尺寸为标准值. 如图8中截断值为20 m³，则超过此值的统一取20 m³为设计值.

以上说明，历史记录中最大落石尺寸v_max对预测结果有影响. 这是由于在对表1数据进行落石尺寸-重现期计算分析时，在大于3.0 m³落石尺寸区间进行随机抽样生成相应发生次数的样本数据，需要设定如1.2节中取10.0 m³作为记录的最大落石尺寸v_max，不同v_max会导致不同的样本数据分布，导致得到不同的GPD参数ζ、σ，因此，会得到不同的预测结果. 为研究v_max对预测结果的影响规律，取v_max为4.0、5.0、6.0、7.0、8.0、9.0、10.0 m³，μ=0.55 m³，分别进行如2.1节所述的10 000次随机抽样计算，得到50 a及100 a重现期落石尺寸均值随v_max的变化规律，如图9所示.

图  9  预测落石尺寸-v_max关系

Figure  9.  Relationships between predicted rockfall size and v_max

下载: 全尺寸图片 幻灯片

由图9可知，预测的50 a及100 a重现期落石尺寸随所设定的记录最大落石尺寸增大而增大. 重现期为50 a，记录最大落石尺寸为5.0、10.0 m³时，对应的落石尺寸分别为8.50、45.15 m³，相差36.65 m³；重现期为100 a，记录最大落石尺寸为5.0、10.0 m³时，对应的落石尺寸分别为9.40、72.33 m³，相差62.93 m³；记录数据最大落石尺寸对落石尺寸-重现期预测结果影响较大，预测的重现期对应的落石尺寸与记录数据最大落石尺寸呈指数型函数关系. 以上分析表明，观察记录中最大落石尺寸及发生次数对落石尺寸标准值的确定具有显著影响.

对于记录中缺少小于0.5 m³的最小落石尺寸v_min，取v_max=6.0 m³及μ=0.55 m³，分别取v_min为0.001、0.025、0.050、0.075、0.100、0.125 m³，计算得到 1/T-v关系如图10所示.

图  10  不同v_min的1/T-v

Figure  10.  v-1/T of occurrence with different v_min values

下载: 全尺寸图片 幻灯片

由图10可知，不同最小落石尺寸的预测结果相近，说明记录的最小落石尺寸对落石尺寸-重现期的预测结果无明显影响.

4.   结　论

本文基于泊松-广义帕累托分布复合模型，结合宝成铁路白—上段落石记录数据，探讨了基于重现期的落石尺寸设计值确定方法，通过研究得出以下结论：

1） 参照我国抗震设计，提出落石防护结构三水准设防目标，即“小落石不坏、中落石可修、大落石不塌”，根据三水准对应的0.64、0.10及0.02超越概率，得到各设计基准期对应的落石尺寸标准值及对应重现期，从而明确了落石尺寸设计值的确定方法，可为艰险山区交通基础设施落石防护结构设计提供参考.

2） 阈值的选取是利用泊松-广义帕累托分布复合模型进行落石尺寸-重现期预测的关键环节，需通过平均超出量函数随初始阈值的线性变化和GPD参数估计随初始阈值的稳定性来评估阈值的合理性. 阈值的选取主要与相应于尺寸区间的落石事件发生频次有关，而与落石事件历史记录的最大、最小落石尺寸相关性不明显.

3） 由于对GPD形状参数ξ影响显著，落石事件历史记录的最大落石尺寸对预测结果影响较大，记录的最大落石尺寸越大，一定重现期对应的落石尺寸预测值越大，呈指数函数增长形式，因此，应加强落石事件中最大落石尺寸及次数的记录统计.

4） 通过设定记录中最大落石尺寸，明确了宝成铁路白—上段历史记录数据取落石尺寸阈值为0.55 m³，当设记录的最大落石尺寸为6.0 m³时，预测得到50、100、1000、10000 a重现期的落石尺寸均值为13.42、15.91、26.75、42.99 m³，当记录的最大落石尺寸设为4.0 m³时，则为4.93、5.09、5.41、5.58 m³；得到以50、100 a为设计基准期的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ设防水准对应的落石尺寸标准值，即设计值. 应注意，当具有通过详细调查可能失稳掉落的岩块或危岩体尺寸小于预测的落石尺寸标准值时，则取调查的最大落石尺寸为设计值.

致谢：西南交通大学2015级道路桥梁与渡河工程专业本科生刘林奇（现美国科罗拉多矿业大学攻读博士学位）在毕业论文中做了相关计算方法的初步演算和编程工作；2018级硕士研究生卢梦园开展了阈值选取及复合极值模型的探索工作；中央高校基本科研业务费专项（2682023CX075）资金资助.