基于多种群遗传算法的磁浮列车自抗扰速度控制

李自康; 戴春辉; 黄翠翠; 龙志强

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20240113

基于多种群遗传算法的磁浮列车自抗扰速度控制

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20240113

国防科技大学智能科学学院，湖南长沙 410000

基金项目: 国家自然科学基金项目（52332011）

详细信息

作者简介:
李自康（1995—），男，博士研究生，研究方向为电磁悬浮与推进控制，E-mail：lizikang24@nudt.edu.cn

通讯作者:
戴春辉（1984—），男，副研究员，博士，研究方向为电磁悬浮与推进控制、智能诊断与容错控制，E-mail：daichunhui@nudt.edu.cn

中图分类号: U238
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出版历程
- 收稿日期: 2024-03-07
- 修回日期: 2024-08-25
- 网络出版日期: 2025-03-05

Active Disturbance Rejection Speed Control for Maglev Trains Based on Multiple Population Genetic Algorithm

College of Intelligence Science and Technology, National University of Defense Technology, Changsha 410000, China

摘要

摘要:
相较传统轮轨交通方式，磁浮列车具有速度快、噪音小、平稳性高、维护成本低等不可替代的优势，为构建便捷顺畅的城市交通系统提供一种理想方案. 为实现磁浮列车在复杂扰动环境下的精准速度运行控制，提出一种参数自整定的自抗扰控制(ADRC)方法. 首先，通过受力分析建立磁浮列车纵向动力学模型，用于描述运行控制过程中的非线性迟滞特性；将模型不确定参数及外部扰动等因素归纳为扩张状态，设计三阶扩张状态观测器实时观测扩张状态，并基于李雅普诺夫稳定性定理对观测器的收敛性条件进行分析；针对传统ADRC控制参数多、调参困难的问题，引入多种群遗传算法(MPGA)实现参数自适应优化和调整；最后，利用磁浮列车现场运行采集的数据开展仿真实验，结果表明：相较传统ADRC，MPGA-ADRC在速度控制精度方面提升22.7%，跟踪平稳性提升25.6%，表明所提出的方法能够有效提升磁浮列车运行的稳定性和乘坐舒适性.
- 磁浮列车 /
- 自抗扰控制 /
- 扩张状态观测器 /
- 多种群遗传算法 /
- 速度控制
Abstract:
Compared with traditional wheel-rail transportation, maglev trains have some irreplaceable advantages such as high speed, low noise, smooth operation, and low maintenance cost, providing an ideal scheme for constructing a convenient urban transportation system. To realize precise speed control of maglev trains in complex disturbance environments, an active disturbance rejection control (ADRC) method with self-tuning parameters was proposed. Firstly, the longitudinal dynamic model of maglev trains was established by force analysis to describe the nonlinear hysteresis characteristics of maglev trains during operation. Secondly, the unknown parameters of the model and external disturbances were regarded as the extended state, and a third-order extended state observer was designed to observe the extended state in real time. In addition, the convergence condition of the observer was analyzed based on the Lyapunov stability theorem. Then, to solve the problem of many control parameters and difficult parameter adjustment in traditional ADRC, the multiple population genetic algorithm (MPGA) was introduced to realize adaptive optimization and adjustment of parameters. Finally, the simulation experiment was carried out based on the data collected from the real operation environment of maglev trains, and the simulation results show that compared with traditional ADRC, the speed control accuracy is increased by 22.7% and the tracking stability is improved by 25.6% by means of MPGA-ADRC method, which indicates that the proposed method can effectively improve the stability and ride comfort of maglev trains.
- maglev train /
- active disturbance rejection control /
- extended state observer /
- MPGA /
- speed control

HTML全文

作为一种新型轨道交通方式，磁浮列车基于电磁力实现列车的无接触悬浮、导向和驱动，有效克服传统轮轨交通制式存在的弓网受流和轮轨黏着约束，是实现城市和城际之间快速互联的有效解决方案^[1]. 20 世纪60年代，以研究常导电磁悬浮技术为代表的德国和低温超导电动悬浮为代表的日本率先开启磁浮交通技术的攻关^[2]. 2002年，我国通过引进和消化德国相关磁浮技术，在上海建设了全球首条高速磁浮商业运营线，设计速度达505 km/h，已安全运行超过20年. 此外，我国还在长沙、北京、清远等地区建设了城市轨道交通中低速磁浮线以及旅游观光线. 未来，我国还将储备和发展速度600 km/h级高速磁浮列车相关技术，有望在特定场景下补充或替代传统铁路运输方式，显示出磁浮交通系统的巨大发展潜力^[3].

目前，城市轨道交通中的地铁列车和磁浮列车基本都运行在线路相对固定和封闭的环境中，且车型统一，大多采用自动驾驶（ATO）的控车方式. 在自动驾驶过程中，精确平稳的速度跟踪控制是其安全高效运行的重要保障，其相关控制算法也是自动驾驶系统的关键底层逻辑. 针对列车在各类不同运行工况下的列车速度自动控制方法，国内外学者开展了许多卓有成效研究，并且很多方法都已获得实际工程应用. 何之煜等^[4]针对高速列车，利用非参数化迭代学习控制方法实现了列车准点运行和精确停车，并且该算法已成功试验在CRH3型列车中；王青元等^[5]设计了一种列车ATO系统的自适应终端滑模控制方法，在实现精确控车的基础上有效降低控制输入切换频率，提升乘坐舒适性；Mao^[6]研究了故障工况下列车的自适应容错控制方法，保证跟踪误差渐近收敛的同时能够有效降低执行器故障造成的不利影响；林雪等^[7]在考虑故障的基础上进一步考虑执行器饱和的影响，提出高速列车自适应神经网络滑模控制策略；Ji等^[8]利用迭代学习控制策略，解决存在未知速度延迟和输入饱和下的列车精确速度跟踪问题；Sun等^[9]基于搭接结构提出电磁悬浮系统模型预测控制方法，实现多约束条件下磁浮列车的平稳运行.

近年来，自抗扰控制以其不依赖模型、抗扰性强、控制精度高等优势，逐步开始应用于磁浮列车系统设计. 龙志强等^[10]提出一种基于自抗扰控制（ADRC）的磁浮列车ATO算法，该方法克服了传统比例、积分和微分（PID）控制存在的过大超调和速度频繁切换问题，对提升磁浮列车乘坐舒适性和跟踪精确性具有显著优势. 黄翠翠等^[11]针对的磁浮复合隔振系统干扰的抑制问题设计自抗扰控制器，有效提升系统抗干扰能力. 王盼盼等^[12]针对磁浮列车的速度跟踪控制的时滞问题，运用自抗扰控制理论实现磁浮列车在不同路段精准跟踪目标速度曲线，且具有跟踪误差小和抗干扰性强等优势. Lu等^[13]基于ADRC原理提出一种磁浮列车主动导向系统的优化控制算法，并基于磁浮实验原理样车验证了算法的应用效果. 针对电动悬浮型磁浮列车的偏航角干扰抑制问题，Zhang等^[14]提出显式互补滤波ADRC算法，减弱了列车振动引起的高频噪声. 可以看到，ADRC技术在磁悬浮列车运行控制、悬浮控制和导向控制等方面均表现出良好的性能优势，为本文提供了技术参考. 执行精确的制动和加速控制并精确地跟踪设定的速度曲线是自动驾驶系统的关键目标. 在复杂磁场力和多变外部因素干扰下，磁浮列车还受到直线电机阻力、电磁涡流阻力影响，其纵向动力学结构相较传统轮轨交通列车更为复杂，要实现磁浮列车的精确平稳速度控制更为困难，因此，有必要深入研究扰动环境下的磁浮列车速度自动控制策略.

在前述研究成果的基础上，本文结合自抗扰控制和多种群遗传算法2方面优势，提出一种参数自动整定的磁浮列车速度控制方法. 首先，对磁浮列车纵向动力学进行建模；然后，构建ADRC速度控制器的各个环节，并将多种群遗传算法应用于ADRC参数整定；最后，通过对比实验验证本文所提出方法的优越性.

1. 磁浮列车运动学模型描述

根据磁浮列车的纵向受力分析，可归纳为牵引力、制动力和运行阻力3部分，其中，运行阻力包括基本阻力与附加阻力.

1.1 牵引制动力

以中低速磁浮列车为例，车载直线感应电机采用“恒滑差频率”调速方式，电机工作在转折速度以下时产生恒定牵引力，高于转折速度时牵引力随速度增加而减少，如式（1）^[15].

${F_{\text{t}}}(t) = \left\{ \begin{gathered} 40,\quad{\text{ 0}} \leqslant v < 9.72{\text{ m/s}}, \\ 1.442 \times {10^3} \times v^{ - 1.008}, \\ \quad{\text{ 9}}{\text{.72}}\;{\mathrm{m/s}} \leqslant v < 13.89{\text{ m/s}}, \\ 7.287 \times {10^4} \times v^{ - 2.009}, \\ \quad{\text{ 13}}{\text{.89}}\;{\mathrm{m/s}} \leqslant v \leqslant 19.45{\text{ m/s}}, \\ \end{gathered} \right.$

(1)

式中： F_t为牵引制动力，v为电机运行速度.

制动方式主要包括电制动和液压制动，电制动力 ${F_{{\text{be}}}}$ 和液压制动力 ${F_{{\text{bh}}}}$ 如式（2）所示. ${F_{{\text{be}}}}$ 随速度提升而增加，速度达到6 km/h后保持恒定； ${F_{{\text{bh}}}}$ 随速度增加而逐渐变小，在6 km/h时降至0^[15].

$\left\{\begin{array}{l} {F_{{\text{be}}}}(t) = \left\{ \begin{gathered} 5.689v - 0.219,\quad{\text{ 0}} < v < 1.667{\text{ m/s}}, \\ 33.9,\quad{\text{ 1}}{\text{.667}}{\text{ m/s}} \leqslant v < 19.445{\text{ m/s}}, \\ \end{gathered} \right.\\ {F_{{\text{bh}}}}(t) = \left\{ \begin{gathered} - 5.692v + 34.596, \\ \quad{\text{ 0}} < v < 1.667{\text{ m/s}}, \\ 0,\quad{\text{ 1}}{\text{.667}}{\text{ m/s}} \leqslant v < 19.445{\text{ m/s}}, \\ \end{gathered} \right. \end{array}\right.$

(2)

1.2 运行阻力

1）基本阻力 ${F_{\text{b}}}$ . 磁浮列车的基本阻力由空气阻力 ${f_{\text{a}}}$ 、直线电机阻力 ${f_{\text{e}}}$ 以及涡流阻力 ${f_{\text{m}}}$ 组成.

a）空气阻力：磁浮列车高速运行时，主要阻力来源是空气阻力，其数值与列车的运行速度、最大截面积、空气密度和列车表面形状等有关，经验计算公式^[16]为

${f_{\text{a}}} = c {v^2} {10^{ - 3}},$

(3)

式中： c为阻力系数，kNs²/m².

b）直线电机阻力：由直线电机产生电磁力牵引，运行过程中直线电机的初级线圈在悬浮磁铁的磁场中产生感应电流，进而产生阻碍列车运行的力，计算公式^[16]为

${f_{\text{e}}} = \left\{ \begin{gathered} 3.3n,\quad 0 < v < 41.7{\text{ m/s}}, \\ (146{\text{/}}v(t) - 0.2)n,\quad v \geqslant 41.7{\text{ m/s}} , \\ \end{gathered} \right.$

(4)

式中：n为列车编组数.

c）电磁涡流阻力：磁浮列车运行时，车载线圈相对轨道电磁体做切割磁感线运动，产生水平方向上阻碍磁浮列车运行的力，该阻力的模型^[16]为

${f_{\text{m}}} = \frac{1}{2}n [{(v{\text{/}}111)^{0.5}} + 1.3 {(v{\text{/}}111)^{0.7}}].$

(5)

2）附加阻力 ${F_{\text{a}}}$ . 附加阻力是由线路条件或列车特定工况额外产生的阻力，包含曲线、隧道、坡道阻力等. 考虑到磁浮列车具有较好的爬坡能力，仅考虑由于坡道产生的附加阻力，如式（6）^[5-6].

${F_{\text{a}}} = mg \tan \theta /1\;000,$

(6)

式中：θ为线路坡度的角度，m为列车总质量（T）.

综上，根据牛顿运动学并结合式（1）～（6），建立磁浮列车的运动学模型为

$\left\{ \begin{gathered} \dot s = v, \\ m\dot v = F - {F_{\text{b}}} - {F_{\text{a}}} + D, \\ \end{gathered} \right.$

(7)

式中：s为磁浮列车实时位置，F为牵引/制动力，D为外部扰动.

2. 自抗扰控制器设计

本节设计用于磁浮列车速度状态调整的ADRC控制器. 为便于后续分析，令 $s = {x_1}$ ， $v = {x_2}$ ，磁浮列车二阶控制系统的状态方程为

$\left\{ \begin{gathered} {{\dot x}_1}(t) = {x_2}(t), \\ {{\dot x}_2}(t) = u(t) - f({x_1},{x_2},t) + d(t), \\ \end{gathered} \right.$

(8)

式中：u为系统控制输入，表示磁浮列车在牵引/制动力作用下产生的单位质量加速度；f为列车在外部阻力下的加速度；d为扰动量.

2.1 跟踪微分器（TD）

自抗扰控制的过渡过程由非线性跟踪微分器执行，微分控制器输出目标曲线的跟踪曲线和目标曲线的微分，在一定程度上解决了PID控制存在的快速和超调的矛盾，形式为^[17]

$\left\{ \begin{gathered} {v_1}(t + 1) = {v_1}(t) + h{v_2}(t), \\ {v_2}(t + 1) = {v_2}(t) + h {\text{fst}}({v_1}(t) - {v_{\mathrm{r}}}(t),{v_2}(t),\delta ,{h_0}), \\ \end{gathered} \right.$

(9)

式中：v₁为输出的跟踪值，v_r为输入参考值；v₂为v₁的微分；h为采样周期；δ为跟踪速度因子，其值的大小决定跟踪速度的快慢；h₀为滤波因子，用于抑制v₁（k）产生过大超调fst（·）为最速控制综合函数，如式（10）.

$\begin{split} &{\text{fst}}({v_1}(k) - {v_{\mathrm{r}}}(k),{v_2}(k),\delta ,{h_0})= \\ &\quad - \left\{ \begin{gathered} \delta {\text{sign}}(a),\quad |a| > d, \\ \delta \frac{a}{d},\quad |a| \leqslant d, \\ \end{gathered} \right. \end{split}$

(10)

$a = \left\{ \begin{gathered} {v_2} + \frac{{({a_0} - d)}}{2}{\text{sign}}(w),\quad \left| w \right| > {d_0}, \\ {v_2} + \frac{w}{{{h_0}}},\quad \left| w \right| \leqslant {d_0}, \\ \end{gathered} \right.$

(11)

式中： $d = \delta {h_0} ,\; {d_0} = {h_0}d ,\; w = ({v_1} - {v_r}) + {h_0}{v_2} ,\; {a_0} = \sqrt {{d^2} + 8\delta |s|}$ .

2.2 扩张状态观测器（ESO）

（1） ESO设计形式

ESO将系统不确定项和外扰视为扩张状态，基于系统的输入和输出信息实时估计无法直接测量的状态，进而利用控制律有效抵消这些扰动对系统控制性能的影响.

将模型（8）中的 $d(t) - f({x_1},{x_2},t)$ 视为扩张状态 ${x_3}$ ，并令 ${\dot x_3}(t) = \omega (t)$ ，模型（8）扩张为三阶系统：

$\left\{ \begin{gathered} {{\dot x}_1}(t) = {x_2}(t), \\ {{\dot x}_2}(t) = u(t) + {x_3}(t), \\ {{\dot x}_3}(t) = \omega (t), \\ y(t) = {x_1}(t), \\ \end{gathered} \right.$

(12)

针对系统（12），设计三阶ESO形式为

$\left\{ \begin{gathered} {e_1} = {{\textit{z}}_1} - y, \\ {{\dot {\textit{z}}}_1} = {{\textit{z}}_2} - {\beta _1}{e_1}, \\ {{\dot {\textit{z}}}_2} = {{\textit{z}}_3} - {\beta _2}{\text{fal}}({e_1},\alpha ,\tau ) + u(t), \\ {{\dot {\textit{z}}}_3} = - {\beta _3}{\text{fal}}({e_1},\alpha ,\tau ), \\ \end{gathered} \right.$

(13)

式中：e₁为状态误差；α为一个幂指数， $0 < \alpha < 1$ ； $\tau$ 为线性区间长度， $0 < \tau < 1$ ；z₁、z₂、z₃为观测器状态； ${\beta _1}$ 、 ${\beta _2}$ 、 ${\beta _3}$ 为待设计观测器增益；fal（·）为一个非线性函数，用于削弱在切换区间由高增益产生的抖振，如式（14）.

${\text{fal}}({e_1},\alpha ,\tau ) = \left\{ \begin{gathered} \frac{{{e_1}}}{{{\tau ^{1 - \alpha }}}},\quad \left| {{e_1}} \right| \leqslant \tau \\ {\left| {{e_1}} \right|^\alpha }{\text{sign}}({e_1}),\quad \left| {{e_1}} \right| > \tau \\ \end{gathered} \right.$

(14)

式中： $\tau$ 为线性区间长度， $0 < \tau < 1$ ， $0 < \alpha < 1$ .

2） 收敛性分析

ESO观测误差系统为

$\left\{ \begin{gathered} {e_1} = {{\textit{z}}_1} - y, \\ {{\dot e}_1} = {e_2} - {\beta _1}{e_1}, \\ {{\dot e}_2} = {e_3} - {\beta _2}{\text{fal}}({e_1},\alpha ,\tau ), \\ {{\dot e}_3} = \omega (t) - {\beta _3}{\text{fal}}({e_1},\alpha ,\tau ). \\ \end{gathered} \right.$

(15)

令 ${\boldsymbol{e}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_1}}&{{e_2}}&{{e_3}} \end{array}} \right]^{\text{T}}}$ ，将式（15）在零平衡点的状态表示为矩阵形式，如式（17）.

$\dot {\boldsymbol{e}} = - {\boldsymbol{A}}(e){\boldsymbol{e}},$

(16)

式中：

${\boldsymbol{A}}(e) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\beta _1}}&{ - 1}&0 \\ {{\beta _2}\dfrac{{{\text{fal}}({e_1},\alpha ,\tau )}}{{{e_1}}}}&0&{ - 1} \\ {{\beta _3}\dfrac{{{\text{fal}}({e_1},\alpha ,\tau )}}{{{e_1}}}}&0&0 \end{array}} \right].$

(17)

令 $F = \dfrac{{{\text{fal}}({e_1},\alpha ,\tau )}}{{{e_1}}}$ ，显然 $F > 0$ . 令 $B = {\beta _1}{\beta _2} - {\beta _3}$ ，当满足 $B > 0$ 时，可得主对角线元素均为正的矩阵 ${\boldsymbol{D}}$ ，使 ${\boldsymbol{DA}}(e)$ 为对称正定矩阵：

${\boldsymbol{D}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&{\dfrac{{{\beta _2}}}{B} + {\sigma _1}}&{ - \delta } \\ { - \dfrac{{{\beta _2}}}{B} - {\sigma _1}}&\delta &{\dfrac{1}{{BF}} + {\sigma _2}} \\ \delta &{ - \dfrac{1}{{BF}} - {\sigma _2}}&\delta \end{array}} \right],$

(18)

式中： $\delta$ 为无穷小的正数， ${\sigma _1}$ 、 ${\sigma _2}$ 为关于 $\delta$ 的接近0的值.

取误差系统式（16）的Lyapunov函数为

$V(t) = \int_0^t {( - {{\dot {\boldsymbol{e}}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{D}}\dot {\boldsymbol{e}}){\text{d}}\tau } + {C_0},$

(19)

式中： ${C_0}$ 为常数.

将式（18）展开可得

$\begin{split} & V(t) = \int_0^t { - {{({\boldsymbol{A}}(e){\boldsymbol{e}})}^{\text{T}}}{\boldsymbol{D}}({\boldsymbol{A}}(e){\boldsymbol{e}}){\text{d}}\tau } + {C_0}= \\ &\quad \int_0^t [ - {({\beta _1}{e_1} - {e_2})^2} - \delta {({\beta _2}F - {e_3})^2} - \delta {({\beta _3}F)^2}{\text{]d}}\tau + {C_0} . \end{split}$

(20)

由于 $\delta \to 0$ ，进一步有

$V(t) \approx {C_0} - \int_0^t {{{({\beta _1}{e_1} - {e_2})}^2}{\text{d}}\tau }.$

(21)

在平衡点处， $\displaystyle\int_0^t {{{({\beta _1}{e_1} - {e_2})}^2}{\text{d}}\tau }$ 有界，故选取合适的 ${C_0}$ 可保证 $V(t) > 0$ .

对 $V(t)$ 求导，有

$\begin{split} & \dot V(t) = - {({\beta _1}{e_1} - {e_2})^2} - \delta {({\beta _2}F - {e_3})^2}- \\ &\quad \delta {({\beta _3}F)^2} \leqslant 0. \end{split}$

(22)

当且仅当 ${\boldsymbol{e}} = {\boldsymbol{0}}$ 时， $\dot V(t) = 0$ . 由式（21）、（22）可知，当 $B > 0$ 时，系统在平衡点处渐进稳定. 即观测器增益均为正数且满足 ${\beta _1}{\beta _2} - {\beta _3} > 0$ ，ESO关于平衡点渐进稳定.

2.3 误差反馈控制律（NLSEF）

依据“大误差小增益，小误差大增益”的工程思想，ADRC的误差反馈控制律实际上是对PID线性加权控制的一种改进. 本文设计的误差反馈控制律表达式为

$\left\{ \begin{gathered} {\varepsilon _1} = {v_1} - {{\textit{z}}_1}, \\ {\varepsilon _2} = {v_2} - {{\textit{z}}_2}, \\ {u_0} = {k_{\text{p}}}{\varepsilon _1} + {k_{\text{d}}}{\varepsilon _2}, \\ u = {u_0} - {{\textit{z}}_3}, \\ \end{gathered} \right.$

(23)

式中： ${k_{\text{p}}}$ 和 ${k_{\text{d}}}$ 均为待设计控制参数， ${u_0}$ 为NLSEF输出控制量.

综上，磁浮列车ADRC控制结构如图1所示.

图 1 磁浮列车MPGA-ADRC控制框架

Figure 1. MPGA-ADRC frame of maglev train

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3. 基于基于多种群遗传算法（MPGA）的ADRC参数整定

ADRC涉及多个控制环节，其中ESO起到状态观测和扰动估计的作用，而NLSEF是实现误差反馈控制和扰动补偿的重要环节. ADRC控制参数众多，传统ADRC利用工程经验或人工手动调参，难以取得最优控制效果. 为此，本节提出基于多种群遗传算法（MPGA）的参数整定方法，利用MPGA对ESO参数 ${\beta _1}$ 、 ${\beta _2}$ 、 ${\beta _3}$ 以及NLSEF参数 ${k_{\text{p}}}$ 、 ${k_{\text{d}}}$ 进行综合整定，选择最优的控制器参数组，从而提升ADRC的控制精度，实现控制参数的自动整定优化.

3.1 MPGA原理

MPGA通过改善种群间交互方式提升算法寻优效率和收敛速度，是对标准遗传算法（SGA）的改进. 具体来说，MPGA通过引入移民算子的迁移机制，将当前群中适应度最优的个体替换子代种群中适应度最差的个体，促进种间的群协同进化；进一步利用人工选择算子将适应度最优的个体保存至精英种群，避免进化过程中最优个体丢失. MPGA算法原理如图2所示.

图 2 MPGA算法原理

Figure 2. Principle of MPGA

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3.2 MPGA参数设定

1）适应度函数.

以速度追踪误差的时间积分作为目标函数的一个子项，保证列车停车精度和精确跟踪参考速度曲线；在约束系统误差的同时，还应避免控制量过大，兼顾执行机构的输出能力. 结合对追踪误差和控制量的限制，选取式（24）形式的目标函数：

${J_{{\text{ADRC}}}}{\text{ = }}\int_0^{{t_s}} {{\omega _1}\left| {e(t)} \right|{\text{ + }}{\omega _2}\left| {u(t)} \right|{\text{d}t}},$

(24)

式中： $e(t) = y(t) - {v_{\mathrm{r}}}(t)$ ； ${\omega _1}$ 和 ${\omega _2}$ 均为加权值，本文选取 ${\omega _1} = 0.9$ ， ${\omega _2} = 0.1$ ；t_s为仿真运行结束时刻.

计算过程中对变量进行归一化处理，将原始值划归至[0,1]内，归一化算法为

$p(i) = \frac{{\hat p(i) - \mathop {\min }\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} \hat p(i)}}{{\mathop {\max }\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} \hat p(i) - \mathop {\min }\limits_{1 \leqslant i \leqslant n} \hat p(i)}},$

(25)

式中： $\hat p(i)$ 为原始 $e(i)$ 或 $u(i)$ 数据， $e(i)$ 和 $u(i)$ 分别第i个数据的误差和控制律；n为仿真生成的总数据数量.

目标函数值越小，代表种群中个体的适应度越高. 选取目标函数倒数作为MPGA适应度函数：

$f = \frac{1}{{{J_{{\text{ADRC}}}}}}.$

(26)

2）交叉和变异概率

传统遗传算法采用固定交叉和变异概率，较大的交叉概率虽然能提高交叉操作的速度，但会降低算法的寻优效率；采用较小的概率可能会过早地陷入局部最优解. 针对这一矛盾，MPGA的解决方法是令每个种群在一定范围内随机生成交叉和变异概率，如式（27）.

$\left\{ \begin{gathered} {P_{\text{c}}}(q) = {p_{{\text{c0}}}} + {p_{{\text{cn}}}}(q), \\ {P_{\text{m}}}(q) = {p_{{\text{m0}}}} + {p_{{\text{mn}}}}(q), \\ \end{gathered} \right.$

(27)

式中： ${P_{\text{c}}}(q)$ 为第q个种群的交叉概率，设置固定值 ${p_{{\text{c0}}}} = 0.7$ ， ${p_{{\text{cn}}}}(q) \in [0,0.2]$ ， ${P_{\text{m}}}(q)$ 为第q个种群的变异概率， ${p_{{\text{m0}}}} = 0.01$ ， ${p_{{\text{mn}}}}(q) \in [0,0.04]$ .

3）种群和个体数量

种群规模过小会导致收敛过快而陷入局部最优解，规模设定过大可能导致运算效率低，长时间内难以收敛到最优解. 综合考虑算法效率和寻优性能，设定种群数量为 20，种群中个体数量为50.

4）迭代精度

以最优个体保持代数为算法结束判据，即连续若干代种群的精英个体没有显著改善，则可认为算法已经达到最优解. 本文设定连续10代相同即判定寻优结束.

3.3 MPGA流程

根据 MPGA原理及磁浮列车ADRC控制结构建立算法流程. 具体规则如下：

步骤1　初始化. 设定种群和个体数量，确定待优化参数取值范围并对其染色体基因编码，创建初始种群.

步骤2　适应度计算. 调用磁浮列车ADRC模型，根据控制器输出和误差量，代入目标函数计算各初始种群个体的适应度.

步骤3　选择交叉、变异. 采用轮盘赌选择方式选取种群中适应度较优的2个个体，然后依据本种群的交叉概率对选择的个体进行重组生成子代，最后根据变异概率对该子代个体进行相应的变异生成新子代.

步骤4　移民. 周期性地选取当前种群中适应度高的个体移民至相邻种群.

步骤5　人工选择. 利用选择算子并将各种群中最优个体引入精英种群.

步骤6　算法结束. 若精英种群中新子代与上代最优个体之间连续10代无变化，则结束算法，输出最优个体，否则转步骤 2.

3.4 收敛性分析

通过上述分析可知，MPGA能够在有限迭代次数内搜索全局最优解，下面从数学上分析这一推测的正确性^[18-19].

设式（26）存在l个不同极大值点，根据适应度大小排列为

$f({X_1}) < f({X_2}) < \cdots < f({X_l}).$

(28)

假设目前处于状态 ${X_a}$ ，定义

$X_a^ + = \left\{ {X|f(X) > f({X_a})} \right\}.$

(29)

由于对任意个体进行有限次变异能够实现解空间的遍历搜索，因此

$P({X_a} \to X_a^ + {\text{)}} \geqslant P({X_b} \to X_b^ + {\text{)}} > {\text{0 }}(b > a) \text{，}$

(30)

式中：P为概率.

也就是说，当前状态为非全局最大值时，MPGA能够在有限步内实现由当前状态向存在更大极值点区域的定向转移. 由于局部极大值点的数恒少于其状态数，故MPGA可保证在有限步内搜索问题的全局最优解.

3.5 优化结果

依据3.3与3.4节设定的参数和流程运行MPGA，并与标准遗传算法进行对比. 设置SGA迭代次数为50，在达到迭代次数后即终止运行. 2种算法分别运行3次，结果如图3所示，并将图3的结果记录于表1. 由图4可知：MPGA运行3次得到的最优适应度值完全一致，在第15代左右开始收敛，保持代数达到10后停止运行，平均运行次数为24；SGA在接近最大迭代次数时算法仍然未达到稳定，且3次运行得到的最优适应度值均不相同，最优结果略小于MPGA. 这说明MPGA相比SGA具有更好的稳定性，兼顾了局部搜索效率和全局搜索效率.

表 1 算法效果对比

Table 1. Comparison of algorithm effects

运行次数	MPGA		SGA
运行次数	迭代次数/次	最优值	迭代次数/次	最优值
第1次	27	0.0776	50	0.0769
第2次	25	0.0776	50	0.0776
第3次	21	0.0776	50	0.0764

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图 3 适应度变化过程

Figure 3. Change process of fitness

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记录MPGA第1次运行时的参数调整过程，如所示. 在适应度迭代过程中控制参数不断地进行优化，经过27次迭代，得到最优控制器参数组合： ${\beta _1} = 1009.3$ ， ${\beta _2} = 1559.7$ ， ${\beta _3} = 4397.3$ ， ${k_{\text{p}}} = 17.3$ ， ${k_{\text{d}}} = 14.8$ .

图 4 参数调整过程

Figure 4. Process of parameters’ adjustment

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4. 数值仿真

本节利用数字仿真软件验证基于多种群遗传算法参数优化的自抗扰控制器（MPGA-ADRC）对磁浮列车速度跟踪控制的效果. MPGA-ADRC速度控制结构如图5所示. MPGA-ADRC控制参数如表2所示. 该结构主要包括MPGA-ADRC控制器以及磁浮列车纵向动力学模型，其中纵向动力学模型包括速度响应特性、运行阻力模型以及扰动模型.

图 5 基于MPGA-ADRC的磁浮列车速度控制结构

Figure 5. Speed control structure of maglev train based on MPGA-ADRC

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表 2 MPGA-ADRC控制参数

Table 2. Control parameters of MPGA-ADRC

名称	控制参数
TD	$\delta = 0.9$ ， $h = 0.01$ ， ${h_0} = 0.011$
ESO	$\alpha = 0.5$ ， $\tau = 0.01$ ， ${\beta _1} = 1\;009.3$ ， ${\beta _2} = 1\;559.7$ ， ${\beta _3} = 4\;397.3$
NLSEF	${k_{\text{p}}} = 17.3$ ， ${k_{\text{d}}} = 14.8$

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4.1 相关参数设置

为验证算法对实际线路的控制效果，采用唐山磁浮ATO运行曲线作为目标速度曲线验证外部扰动下MPGA-ADRC的鲁棒性，ATO曲线如图6.

图 6 唐山线固定限速曲线及ATO跟踪曲线

Figure 6. Fixed speed limit curve and ATO tracking curve of Tangshan Line

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线路扰动设置如下：1）在运行全程加入功率谱密度为0.1、采样时间为0.1 s的白噪声，模拟磁浮列车受到的内部干扰. 2）在列车运行至330 m处加入幅值为1、脉冲宽度为0.5 s的矩形方波，用于模拟列车在巡航阶段和停车制动阶段受到突发外部扰动.

4.2 实验结果

为验证MPGA-ADRC的控制效果，在外部扰动设置相同的条件下，进行2组对比实验.

1）采用经典遗传算法进行参数整定的自抗扰控制方法（GA-ADRC）. ESO和NLSEF参数选取3.5节第3次SGA整定得到的结果： ${\beta _1} = 1\;339.1$ ， ${\beta _2} = 1\;112.5$ ， ${\beta _3} = 4\;461.1$ ， ${k_{\text{p}}} = 15.8$ ， ${k_{\text{d}}} = 14.9$ ，其余参数与表2相同.

2）文献[20]基于仿真步长设置参数的传统自抗扰控制（ADRC），ESO参数整定规则如下：

$\left\{ \begin{gathered} {\beta _1} = 1/h, \\ {\beta _1} = 1/0.3{h^{0.9}}, \\ {\beta _1} = 1/14{h^{1.6}}. \\ \end{gathered} \right.$

(31)

误差反馈控制律与文献[20]中相同，其余参数与表2一致.

利用3种控制算法对磁浮列车ATO速度曲线进行追踪，仿真结果见图7～9. 基于MPGA-ADRC控制器的磁浮列车实际速度曲线整体贴合参考速度曲线，未出现超调量过大的现象，追踪误差主要存在于启动和速度切换阶段，且速度跟踪误差保持在（−0.32, 0.18）m/s，误差范围小于1.05%，能够满足准点运行和精确停车的实际工程需求. 由于GA会陷入局部最优解未成熟收敛现象，故相较于MPGA-ADRC误差曲线波动更为明显，但总体控制效果优于传统ADRC. 在传统ADRC控制下，磁浮列车运行速度追踪曲线波动更大，且响应过程更长，难以保证列车的准点运行，降低了乘坐舒适性. 此外，列车受到突发扰动时，通过上述3种控制策略均能快速消除扰动对系统造成的影响，体现了ADRC的抗干扰能力.

图 7 对唐山线的跟踪效果

Figure 7. Tracking effect of Tangshan Line

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图 8 速度跟踪误差

Figure 8. Speed tracking errors

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图 9 加速度误差

Figure 9. Acceleration errors

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采用均方根误差（RMSE，E_RMSE）对以上3种方法的速度和加速度控制性能进行定量评价，RMSE计算式为

$E_{\text{RMSE}} = \sqrt {\frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^n {{{({{\hat x}_i} - {x_i})}^2}} },$

(32)

式中： ${\hat x_i}$ 为第 $i$ 个数据的参考值， ${x_i}$ 为实际值，

算法性能对比结果如表3所示. 相较于GA-ADRC与传统ADRC，MPGA-ADRC控制精度分别提升12.3%和22.7%，速度跟踪平稳性分别提升13.5%和25.6%.

表 3 控制器性能比较

Table 3. Comparison of controllers performance

名称	最大速度误差（m·s⁻¹）	速度RMSE（m·s⁻¹）	加速度RMSE（m·s⁻²）
ADRC	0.4841	0.1468	0.1320
GA-ADRC	0.4211	0.1294	0.1135
MPGA-ADRC	0.3109	0.1135	0.0982

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图10、11展示了ESO对运行状态x₁、x₂、x₃的观测效果. 观测结果和实际值相差较小，为整体的速度控制精度提供了保证.

图 10 ESO观测效果

Figure 10. Observation effect of ESO

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图 11 ESO观测误差

Figure 11. Observation errors of ESO

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5. 结　论

1）本文提出一种MPGA-ADRC磁浮列车速度自动控制方法，基于纵向动力学模型设计ADRC控制结构，结合分离性原理引入MPGA算法实现控制器参数优化，使磁浮列车较平稳且无超调地跟踪目标速度曲线，提高了磁浮列车速度跟踪精度的同时克服了自抗扰控制参数多、整定难的问题.

2）与传统ADRC相比，基于MPGA-ADRC的控制策略不再依赖工程经验整定参数，跟踪精度更高、响应速度更快，对外界扰动具更较强的鲁棒性，有利于实现复杂运行环境下磁浮列车的安全平稳和准点运行.

图 1 磁浮列车MPGA-ADRC控制框架

Figure 1. MPGA-ADRC frame of maglev train

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图 2 MPGA算法原理

Figure 2. Principle of MPGA

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图 3 适应度变化过程

Figure 3. Change process of fitness

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图 4 参数调整过程

Figure 4. Process of parameters’ adjustment

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图 5 基于MPGA-ADRC的磁浮列车速度控制结构

Figure 5. Speed control structure of maglev train based on MPGA-ADRC

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图 6 唐山线固定限速曲线及ATO跟踪曲线

Figure 6. Fixed speed limit curve and ATO tracking curve of Tangshan Line

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图 7 对唐山线的跟踪效果

Figure 7. Tracking effect of Tangshan Line

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图 8 速度跟踪误差

Figure 8. Speed tracking errors

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图 9 加速度误差

Figure 9. Acceleration errors

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图 10 ESO观测效果

Figure 10. Observation effect of ESO

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图 11 ESO观测误差

Figure 11. Observation errors of ESO

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表 1 算法效果对比

Table 1. Comparison of algorithm effects

运行次数	MPGA		SGA
运行次数	迭代次数/次	最优值	迭代次数/次	最优值
第1次	27	0.0776	50	0.0769
第2次	25	0.0776	50	0.0776
第3次	21	0.0776	50	0.0764

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表 2 MPGA-ADRC控制参数

Table 2. Control parameters of MPGA-ADRC

名称	控制参数
TD	$\delta = 0.9$ ， $h = 0.01$ ， ${h_0} = 0.011$
ESO	$\alpha = 0.5$ ， $\tau = 0.01$ ， ${\beta _1} = 1\;009.3$ ， ${\beta _2} = 1\;559.7$ ， ${\beta _3} = 4\;397.3$
NLSEF	${k_{\text{p}}} = 17.3$ ， ${k_{\text{d}}} = 14.8$

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表 3 控制器性能比较

Table 3. Comparison of controllers performance

名称	最大速度误差（m·s⁻¹）	速度RMSE（m·s⁻¹）	加速度RMSE（m·s⁻²）
ADRC	0.4841	0.1468	0.1320
GA-ADRC	0.4211	0.1294	0.1135
MPGA-ADRC	0.3109	0.1135	0.0982

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参考文献(20)

[1]	龙志强,窦峰山,王志强,等. 高速磁浮悬浮导向控制技术现状及展望[J]. 前瞻科技,2023,2(4): 78-88. LONG Zhiqiang, DOU Fengshan, Wang Zhiqiang, et al. Current status and prospect of high speed maglev levitation guidance control technology[J]. Science and Technology foresight, 2023, 2(4): 78-88.
[2]	邓自刚,刘宗鑫,李海涛,等. 磁悬浮列车发展现状与展望[J]. 西南交通大学学报,2022,57(3): 455-474,530. doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20220001 DENG Zigang, LIU Zongxin, LI Haitao, et al. Development status and prospect of maglev train[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2022, 57(3): 455-474,530. doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20220001
[3]	SUN Y G, QIANG H Y, WANG L, et al. A fuzzy-logic-system-based cooperative control for the multielectromagnets suspension system of maglev trains with experimental verification[J]. IEEE Transactions on Fuzzy Systems, 2023, 31(10): 3411-3422. doi: 10.1109/TFUZZ.2023.3257036
[4]	何之煜,徐宁. 非参数化迭代学习控制的列车自动驾驶控制算法[J]. 铁道学报,2020,42(12): 90-96. doi: 10.3969/j.issn.1001-8360.2020.12.012 HE Zhiyu, XU Ning. Research on automatic train operation algorithm based on non-parametric iterative learning control[J]. Journal of the China Railway Society, 2020, 42(12): 90-96. doi: 10.3969/j.issn.1001-8360.2020.12.012
[5]	王青元,吴鹏,冯晓云,等. 基于自适应终端滑模控制的城轨列车精确停车算法[J]. 铁道学报,2016,38(2): 56-63. doi: 10.3969/j.issn.1001-8360.2016.02.008 WANG Qingyuan, WU Peng, FENG Xiaoyun, et al. Precise automatic train stop control algorithm based on adaptive terminal sliding mode control[J]. Journal of the China Railway Society, 2016, 38(2): 56-63. doi: 10.3969/j.issn.1001-8360.2016.02.008
[6]	MAO Z H, YAN X G, JIANG B, et al. Adaptive fault-tolerant sliding-mode control for high-speed trains with actuator faults and uncertainties[J]. IEEE Transactions on Intelligent Transportation Systems, 2020, 21(6): 2449-2460. doi: 10.1109/TITS.2019.2918543
[7]	LIN X, DONG H R, YAO X M, et al. Neural adaptive fault-tolerant control for high-speed trains with input saturation and unknown disturbance[J]. Neurocomputing, 2017, 260: 32-42. doi: 10.1016/j.neucom.2017.02.083
[8]	JI H H, HOU Z S, ZHANG R K. Adaptive iterative learning control for high-speed trains with unknown speed delays and input saturations[J]. IEEE Transactions on Automation Science and Engineering, 2016, 13(1): 260-273. doi: 10.1109/TASE.2014.2371816
[9]	SUN Y G, HE Z Y, XU J Q, et al. Cooperative model predictive levitation control for two-points electromagnetic levitation system of high-speed maglev vehicle[J]. IEEE Transactions on Intelligent Vehicles, 2023, 99: 1-12.
[10]	龙志强,李云,王旭. 基于自抗扰控制的磁浮列车自动驾驶算法研究[C]//第27届中国控制会议. 昆明:北京航空航天大学出版社,2008:681-685.
[11]	黄翠翠,李晓龙,杨洋,等. 基于自抗扰技术的机械电磁悬浮复合隔振控制[J]. 西南交通大学学报,2022,57(3): 582-587. doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20210850 HUANG Cuicui, LI Xiaolong, YANG Yang, et al. Mechanical-electromagnetic suspension compound vibration isolation control based on active disturbance rejection technology[J]. Journal of Southwest Jiaotong University, 2022, 57(3): 582-587. doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20210850
[12]	王盼盼,杨杰,邹吉强,等. 基于改进自抗扰控制器的磁浮列车速度跟踪控制研究[J]. 铁道科学与工程学报,2023,20(1): 310-320. WANG Panpan, YANG Jie, ZOU Jiqiang, et al. Design maglev train speed tracking system based on improved active disturbance rejection controller[J]. Journal of Railway Science and Engineering, 2023, 20(1): 310-320.
[13]	LU Z X, CHEN C J. Research on decoupling control for module suspension system based on linear active disturbance rejection control[C]//2023 5th International Conference on Intelligent Control, Measurement and Signal Processing (ICMSP). Chengdu: IEEE, 2023: 260-265.
[14]	ZHANG B J, KE Z H, LI Z Y, et al. Yawing stability and manipulative approach design for maglev car based on active disturbance rejection control[J]. Asian Journal of Control, 2024, 26(2): 1003-1016. doi: 10.1002/asjc.3246
[15]	罗京,胡伟,刘豫湘. 中低速磁浮列车牵引特性分析和计算[J]. 电力机车与城轨车辆,2010,33(6): 21-22,26. doi: 10.3969/j.issn.1672-1187.2010.06.006 LUO Jing, HU Wei, LIU Yuxiang. Traction characteristic analysis and calculation of mid-low speed maglev trains[J]. Electric Locomotives & Mass Transit Vehicles, 2010, 33(6): 21-22,26. doi: 10.3969/j.issn.1672-1187.2010.06.006
[16]	杨光. 高速磁浮列车最优速度曲线及其跟踪控制研究[D]. 北京:北京交通大学,2007.
[17]	谢云德,龙志强. 高精度快速非线性离散跟踪微分器[J]. 控制理论与应用,2009,26(2): 127-132. XIE Yunde, LONG Zhiqiang. A high-speed nonlinear discrete tracking-differentiator with high precision[J]. Control Theory & Applications, 2009, 26(2): 127-132.
[18]	董聪,郭晓华. 广义遗传算法的逻辑结构及全局收敛性的证明[J]. 计算机科学,1998,25(5): 38-42. DONG Cong, GUO Xiaohua. Logical structure of generalized genetic algorithm and a proof of its global convergence. Computer Science, 1998, 25(5): 38-42.
[19]	SHI H F, WU S Y, KE Z H, et al. Speed-range-based novel guideway configuration with variable material and thickness for PMECB[J]. IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, 2024, 73: 2514913.
[20]	连文博,刘伯鸿,李婉婉,等. 基于自抗扰控制的高速列车自动驾驶速度控制[J]. 铁道学报,2020,42(1): 76-81. LIAN Wenbo, LIU\|Bohong, LI Wanwan, et al. Automatic operation speed control of high-speed train based on ADRC[J]. Journal of the China Railway Society, 2020, 42(1): 76-81.

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1. 磁浮列车运动学模型描述
1.1 牵引制动力
1.2 运行阻力
2. 自抗扰控制器设计
2.1 跟踪微分器（TD）
2.2 扩张状态观测器（ESO）
2.3 误差反馈控制律（NLSEF）
3. 基于基于多种群遗传算法（MPGA）的ADRC参数整定
3.1 MPGA原理
3.2 MPGA参数设定
3.3 MPGA流程
3.4 收敛性分析
3.5 优化结果
4. 数值仿真
4.1 相关参数设置
4.2 实验结果
5. 结　论

1. 磁浮列车运动学模型描述
1.1 牵引制动力
1.2 运行阻力
2. 自抗扰控制器设计
2.1 跟踪微分器（TD）
2.2 扩张状态观测器（ESO）
2.3 误差反馈控制律（NLSEF）
3. 基于基于多种群遗传算法（MPGA）的ADRC参数整定
3.1 MPGA原理
3.2 MPGA参数设定
3.3 MPGA流程
3.4 收敛性分析
3.5 优化结果
4. 数值仿真
4.1 相关参数设置
4.2 实验结果
5. 结　论

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基于多种群遗传算法的磁浮列车自抗扰速度控制

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20240113

作者简介: 李自康（1995—），男，博士研究生，研究方向为电磁悬浮与推进控制，E-mail：lizikang24@nudt.edu.cn

通讯作者: 戴春辉（1984—），男，副研究员，博士，研究方向为电磁悬浮与推进控制、智能诊断与容错控制，E-mail：daichunhui@nudt.edu.cn

计量

出版历程

Active Disturbance Rejection Speed Control for Maglev Trains Based on Multiple Population Genetic Algorithm

1. 磁浮列车运动学模型描述

1.1 牵引制动力

1.2 运行阻力

2. 自抗扰控制器设计

2.1 跟踪微分器（TD）

2.2 扩张状态观测器（ESO）

2.3 误差反馈控制律（NLSEF）

3. 基于基于多种群遗传算法（MPGA）的ADRC参数整定

3.1 MPGA原理

3.2 MPGA参数设定

3.3 MPGA流程

3.4 收敛性分析

3.5 优化结果

4. 数值仿真

4.1 相关参数设置

4.2 实验结果

5. 结 论

计量

出版历程

目录

1. 磁浮列车运动学模型描述

1.1 牵引制动力

1.2 运行阻力

2. 自抗扰控制器设计

2.1 跟踪微分器（TD）

2.2 扩张状态观测器（ESO）

2.3 误差反馈控制律（NLSEF）

3. 基于基于多种群遗传算法（MPGA）的ADRC参数整定

3.1 MPGA原理

3.2 MPGA参数设定

3.3 MPGA流程

3.4 收敛性分析

3.5 优化结果

4. 数值仿真

4.1 相关参数设置

4.2 实验结果

5. 结 论

作者简介:
李自康（1995—），男，博士研究生，研究方向为电磁悬浮与推进控制，E-mail：lizikang24@nudt.edu.cn

通讯作者:
戴春辉（1984—），男，副研究员，博士，研究方向为电磁悬浮与推进控制、智能诊断与容错控制，E-mail：daichunhui@nudt.edu.cn

5. 结　论

5. 结　论