Calculation Method of Magnetic Force of Hybrid Electromagnets Based on Nonlinear Inductance
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摘要:
为提高混合电磁铁磁力计算的准确性和效率，综合考虑解析法计算速度快和有限元法计算精度高的优势，提出一种基于非线性电感的混合电磁铁磁力计算方法. 首先，分析混合电磁铁电感与电流的关系，建立考虑磁饱和的非线性电感模型；然后，采用等效面电流法，将 2 种典型的混合电磁铁结构（结构a、结构b）等效为多电磁线圈的纯电磁铁结构，进而利用能量平衡法推导出通用于串联磁路型混合电磁铁磁力表达式，其中非线性电感的参数变量由有限元仿真法拟合得到. 研究结果表明：结构 a 和结构 b 利用本文所述方法得到的电磁力计算结果与传统有限元仿真结果的平均偏差为2.54%和2.37%，结构a与实验测量的平均偏差为2.63%，且与传统有限元法相比，计算效率极大提升，即本文所述方法通过较少任务的有限元仿真得到远高于现有解析公式准确性的电磁力计算结果.
Abstract:In order to improve the accuracy and efficiency of the magnetic force calculation of hybrid electromagnets, this paper took into account the advantages of fast calculation speed of the analytical method and high calculation accuracy of the finite element method and proposed a calculation method of the magnetic force of hybrid electromagnets based on the nonlinear inductance. The paper first analyzed the relationship between the inductance and current of the hybrid electromagnet and established a nonlinear inductance model considering magnetic saturation. Then, the equivalent surface current method was used to equate two typical hybrid electromagnet structures (structure a, structure b) into pure electromagnet structures with multi-electromagnetic coils. The magnetic force expression of the series magnetic circuit type hybrid electromagnet was derived by using the energy balance method, in which the parameter variables of the nonlinear inductance model were fitted by the finite element simulation method. The research results show that the average deviations between the electromagnetic force calculation results of structures a and b obtained by the proposed method and the traditional finite element simulation are 2.54% and 2.37%, and the average deviation between structure a and experimental measurement is 2.63%. Compared with the traditional finite element method, the calculation efficiency is greatly improved. In other words, the proposed method obtains electromagnetic force calculation results that are much more accurate than the existing analytical formulas through finite element simulation with fewer tasks.
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在长期服役过程中，杂质颗粒会逐渐侵入道砟骨架空隙，造成道床脏污. 道砟脏污不仅会产生高昂的维护成本，还会增加铁路运行的安全风险. 研究表明，脏污会降低道床稳定性、承载力和排水能力，并引发道床板结和翻浆冒泥等病害[1-2]. 脏污质主要包括：1） 基床表层及底砟层渗入的细小土石颗粒；2） 上部侵入的煤渣、矿渣、砂石颗粒以及枕木风化后的碎屑；3） 发生磨损与破碎的道砟颗粒[3]. 目前，国内外关于脏污道砟的力学行为特性已有大量研究. Koohmishi等[4]研究了脏污道砟颗粒级配及尺寸对其导水性能的影响，结果显示：脏污道砟的排水性能受道砟级配、污染物级配及污染程度的影响；受细砂污染道砟的渗透系数比受粗砂污染道砟的渗透系数低10倍左右. Kashiani等[5]针对磨损的脏污道砟，开展了一系列大型三轴压缩试验，研究了颗粒含水率对其力学特性的影响. Indraratna等[6-7]利用室内三轴试验，并结合相应离散元（DEM）数值模型，通过分析颗粒运动及颗粒间接触特征，提出了污染物对道砟的“润滑剂”效应，认为脏污质填充于道砟空隙，弱化了颗粒间的咬合，从而降低了集料的抗剪强度.
为提升有砟轨道道床性能，在铁道工程领域常常采用格栅、土工织物等材料. 研究表明，格栅可显著提高道砟集料的抗剪强度，并有效减小道床沉降[8–10]. 土工格栅主要通过约束道砟集料的侧向变形，增加道砟颗粒间的咬合，从而实现其加固机理[11-12]. 然而，由于脏污质填充于集料骨架空隙间（如煤渣、土石颗粒等），或附着在道砟颗粒表面（如湿润的黏土质等），道砟颗粒间以及道砟颗粒与格栅纵横肋之间的嵌固咬合作用将会发生改变.
目前，国内外对脏污道砟或格栅加筋道砟的力学性能已进行了充分研究，但针对不同脏污质对格栅加固性能影响进行比较研究的文献较少. Indraratna等[13-14]分析了不同脏污程度下格栅加筋道砟的强度及变形特性，但脏污质仅局限于煤渣颗粒，不同脏污情况下格栅加筋道砟的力学性能演化规律仍不明晰. 根据Huang等[15-16]关于不同污染物对道砟的强度及变形特性的研究，污染物的种类及含量对道砟力学行为具有明显影响. 因我国现有的有砟铁路列车运载性质多样、所处地理环境复杂等原因，道床脏污来源不尽相同. 如处于华北地区的大秦线、蒙华铁路等多条货运线路主要受到上部的煤渣污染；对于南方山区、丘陵地带的铁路轨道，由于地基层不充分排水，产生的黏土污染最为严重；煤渣及黏土的材料物理性质、颗粒级配及强度特性等具有明显差异. 因此，本文采用煤渣、黏土作为脏污质，开展了不同脏污程度下格栅加筋道砟集料的大型直剪试验，分析不同法向压力条件下各试样强度及形变发展规律，探讨了其抗剪强度、峰值摩擦角、剪胀角等力学参数的变化特性，分析比较了不同脏污质对格栅加筋道砟性能影响的差异，以期为实际铁路运维过程中格栅加固的方法设计及效果评判提供理论依据.
1. 试验设计
1.1 试验仪器
由于道砟颗粒尺寸较大，传统直剪设备无法满足试验要求，因此本文自主设计一套大型道砟集料直剪设备，如图1所示. 该设备由4部分构成：1） 反力系统，包括反力架（构件）及反力底座（构件）；2） 加载系统，包括水平千斤顶及竖向千斤顶，该设备使用的千斤顶可提供15 t推力，满足该直剪试验所需的要求，在剪切过程中竖向千斤顶施加的法向压力恒定，而水平千斤顶由数控油压设备控制，实现匀速水平推力；3） 装样系统，包括上、下剪切盒及盖板；4） 数据采集系统，包括位移传感器、静态应变仪.
需要特别指出的是，已有的大型直剪设备多采用推动上剪切盒方式，而研发的设备采用水平千斤顶（构件）推动下剪切盒（构件）方式施加水平推力，该方式可避免在剪切过程中由竖向千斤顶（构件）施加的法向压力产生偏心. 除此之外，为保证剪切过程中剪切面积恒定，下剪切盒剪切方向尺寸较上剪切盒大100 mm.
1.2 试样制备
该试验使用的道砟级配满足我国《铁路碎石道砟》（TB/T 2140—2008）[17]标准，相关参数见图2.
从图2可知：道砟最大粒径Dmax = 64 mm，有效粒径D10 = 24 mm，中值粒径D30 = 34 mm，控制粒径D60 = 42 mm，平均粒径D50 = 39 mm，曲率系数Cc = 1.75 mm，不均匀系数Cu = 1.15 mm. 分别采用煤渣、黏土作为污染杂质，其相关力学指标见表1，所用格栅如图3所示. 根据Mcdowell等[18]的研究，最优格栅孔径与道砟尺寸之比为1.4，即格栅孔径为1.4倍道砟尺寸可提供最优约束. 此试验所用道砟D50 = 39 mm，故孔径尺寸选为55 mm，格栅相关参数见表2. 根据Indraratna等[19]对道砟脏污程度的定义，采用VCI （void contamination index, VVCI）作为该试验脏污质污染指标，见式（1）.
VVCI=1+efebGs,bGs,fMfMb×100%, (1) 式中：ef、 Gs,f、 Mf和eb、 Gs,b、 Mb分别为脏污质和道砟集料的孔隙比、比重、干重.
Indraratna等[14]对煤渣脏污下格栅加筋道砟力学特性的研究显示，当VCI大于40%时，脏污集料的归一化峰值剪应力相较于干净集料降低50%以上. 在实际服役中，当道砟集料的抗剪强度由于外部污染或颗粒劣化而明显降低时，需采用重新夯实或材料换新等措施，故本文仅对VCI小于40%的脏污情况进行了研究. 该试验分别制备煤渣、黏土脏污条件下VCI为0、20%、40%的直剪试样各4组，为反映脏污质存在条件下格栅加固性能的变化，本研究设置了相同条件下不含格栅的各组试样进行对比，试样具体设置情况见表3.
表 1 道砟及脏污质相关力学指标Table 1. Mechanical indexes of ballast and fouling substances名称 比重 堆积密度/
（kg•m−3）含水
率/%孔隙
比 e液限ωL/% 塑限ωP/% 道砟 2.66 1432 0.858 黏土 2.70 1178 22.2 1.207 42.10 22.40 煤渣 1.22 715 0.707 表 2 格栅参数Table 2. Physical and technical properties of geogrid格栅参数 数值 孔径形式 双向孔径 55 mm × 55 mm 材料 聚丙烯 2% 应变时抗拉强度/（kN•m−1） 11 5% 应变时抗拉强度/（kN•m−1） 15 峰值抗拉强度/（kN•m−1） 30 屈服点伸长率/% 13 表 3 试样设置情况Table 3. Details of experimental specimens类型 试样编号 脏污质种类 VCI/% 法向压力 σn/kPa 含格栅 GN1 黏土 0 15、35、55、75 GN2 20 GN3 40 GM1 煤渣 0 15、35、55、75 GM2 20 GM3 40 不含格栅 N1 黏土 0 15、35、55、75 N2 20 N3 40 M1 煤渣 0 15、35、55、75 M2 20 M3 40 1.3 试验步骤
为减小试验误差，试验前开展了预试验并以此确定直剪试样中道砟集料的堆积密度（压实后为1432 kg/m3），从而计算各组试验中道砟的合理用量. 为减小剪切过程中下剪切盒与底板以及上下剪切盒之间的摩擦力，在底板上布置10根直径为10 mm的圆棒（如图1），并在上下盒剪切面及内部均涂抹润滑油. 制样时，每组试样称取等量道砟集料275 kg，与式（1）计算得到相应质量的脏污杂质充分拌合. 装样过程中，每150 mm高度采用低锤重压的方式对试样进行压实. 格栅布置在剪切面，即距下剪切盒底面高250 mm处.
每组试样加载前，对试样施加100 kPa的法向压力进行过载压实，该压力持续60 s，待试样稳定后缓慢卸载至0，随后缓慢施加法向压力至设定值，即15、35、55、75 kPa. 剪切过程中，水平千斤顶以3 mm/min的速度缓慢施加水平推力；法向压力通过伺服控制系统维持压力恒定. 通过预试验发现，在剪切应变达到10%之前，剪切力已逐渐趋于稳定，剪切面出现明显破坏. 因此本试验在加载过程中待剪切应变达到10%，即剪切位移达到60 mm时停止.
2. 试验结果
2.1 强度特性分析
黏土及煤渣分别作为脏污质时，在不同污染程度下道砟试样的剪切应力τs随剪切位移 Δs发展情况如图4. 从图可以看出：随着法向压力σn的提高，各试样的抗剪强度均逐渐提高；相同试验环境下（即污染物种类、VCI值及法向压力均维持一致），不论脏污质材料及脏污质含量，受格栅加固道砟集料的抗剪强度明显高于未受格栅加固道砟集料的抗剪强度，格栅的存在可显著提高道砟集料的抗剪强度；在道床受到外界杂质污染时，布置格栅可作为减轻道砟抗剪强度降低的手段，这是由于格栅的纵横肋限制了道砟颗粒的平移与旋转，从而加强了道砟颗粒之间的咬合作用[11-12].
图 4 不同脏污情况下受格栅加固与未受格栅加固道砟剪切应力τs与剪切位移 Δs的关系Figure 4. Relationships between τs and Δs for geogrid-reinforced and unreinforced ballast under various fouling levels为探究不同脏污质对格栅加固效果的影响，图5展示了不同污染程度下，格栅加固道砟集料分别受黏土和煤渣污染时，峰值抗剪强度τsmax与σn关系. 从图5可以看出：干净的受格栅加固道砟集料表现出最大峰值抗剪强度；同一法向压力下，随着VCI从20%增加至40%，格栅加固道砟的峰值抗剪强度逐渐降低；受黏土污染或受煤渣污染的格栅加固道砟在不同法向压力条件下具有不同的响应，在σn=15 kPa时，VCI从20%增加至40%，受黏土污染的试样峰值强度降低20.3%，随着σn增加至75 kPa时，该试样峰值强度降低9.1%；对于受煤渣污染的试样，峰值强度降低比受σn的影响较小，始终维持在7.3%左右.
图 5 峰值强度τsmax与法向压力σn关系Figure 5. Relationships between peak shearing strength τsmax and normal stress σn值得注意的是，同一污染程度下，受煤渣污染的格栅加固道砟展现出更低的抗剪强度. 这说明相较于黏土脏污，煤渣会对格栅加固道砟的剪切性能产生更不利的影响，这是由黏土和煤渣不同的颗粒粒径所导致，如图6所示. 由图可知：当污染程度较低时，由于黏土的粒径较小，其附着在道砟颗粒表面，道砟颗粒仍充分接触，而煤渣颗粒则填充于部分道砟骨架中间，阻碍了道砟颗粒的接触，导致道砟颗粒间力链的断裂；当污染程度较高时，黏土完全填充道砟骨架孔隙，或格栅与道砟颗粒之间，限制了道砟的运动；相反而言，由于煤渣颗粒粒径较大，其之间的相对运动导致道砟颗粒更易移动与旋转. 当VCI值达到40%时，受黏土污染和受煤渣污染的格栅加固道砟峰值剪切强度最低，且两者抗剪强度几乎相等，此时已达到道床需要维护的临界点.
图 6 黏土及煤渣污染示意Figure 6. Schematic diagram of ballast aggregates fouled by clays and coals图7为各污染情况下道砟集料的峰值摩擦角Φmax与σn关系曲线. 对于同种污染物，在相同法向压力条件下，随着污染程度的增加，格栅加固道砟的峰值摩擦角会逐渐减小. 而对比不同脏污质影响下的道砟集料，可以发现煤渣污染使格栅加固道砟展现出更低的峰值摩擦角. 这说明，相较于黏土脏污，煤渣脏污对格栅加固集料抗剪性能具有更不利的影响.
图 7 Φmax与σn关系Figure 7. Relationships between peak friction angle Φmax and normal stress σn2.2 变形特性分析
为研究脏污情况下道砟集料的变形特性，图8展示了受黏土或煤渣污染时，道砟试样的法向位移Δn随Δs变化曲线. 从图中可以看出：所有试样在剪切前期均经历了短暂的剪缩阶段，且随着法向压力的增加，剪缩现象更明显，剪缩阶段持续的时间越长；随后试样体积逐渐增加，出现剪胀现象直到整个剪切过程结束. 相同压力条件下，受黏土或煤渣污染的道砟试样法向位移随剪切位移变化如图9所示. 为节约篇幅，此处仅展示了法向压力为55 kPa时的各试样法向位移变化图. 对比VCI为0 （即未受污染的格栅加固道砟试样）与VCI为20%和40%的格栅加固道砟试样，可以发现：干净道砟的体积变形最大；随着道砟脏污程度增加，试样的体积变形会减小. 这是因为当污染程度逐渐增加时，更多的道砟骨架孔隙被脏污质颗粒所填充，道砟颗粒的相对运动更困难. 尽管格栅可限制道砟的侧向变形，但剪切过程中道砟颗粒的重排布受到了脏污质颗粒的限制，故造成试样体积变化更不明显.
对比同一污染程度下受黏土和煤渣污染的格栅加固道砟试样，受煤渣污染试样的体积变形比受黏土污染试样的大30.5%. 这是由于脏污杂质材料性质不同导致：相较于煤渣颗粒粗糙的表面，黏土颗粒的表面相对较光滑，故黏土颗粒与道砟颗粒之间的摩擦力较小，道砟颗粒更容易重新排布，导致体积变形更小.
图 8 不同脏污情况下受格栅加固与未受格栅加固道砟Δn与Δs关系Figure 8. Relationships between Δn and Δs for geogrid-reinforced and unreinforced ballast under various fouling levels
图 9 σn = 55 kPa时Δn与Δs关系Figure 9. Relationships between normal displacement Δn and shearing displacement Δs under σn=55 kPa剪胀角常用来表示材料在剪切过程中体积变化率. 图10为不同压力条件下，分别受煤渣、黏土脏污质污染的格栅加固道砟峰值剪胀角ϕmax与σn关系. 由图可以看出：对于所有试样，法向压力的增加会导致峰值剪胀角的降低；不受格栅加固的干净道砟ϕmax值最大，格栅加固干净道砟次之；随着污染程度的增加，试样的ϕmax值也逐渐减小；同时，受煤渣污染的格栅加固道砟ϕmax值比受黏土污染的格栅加固道砟大. 这说明，在相同法向压力条件下，发生相同剪切位移时，前者比后者更容易发生体积膨胀.
3. 结 论
为研究不同脏污杂质对格栅加固性能的影响，本文选取煤渣和黏土两种道床常见脏污材料，对格栅加固道砟以及未受格栅加固道砟开展了一系列不同污染程度下的直剪试验，研究了脏污质对格栅加固机理的影响，并分析了不同脏污质的影响差异机理，可得到以下结论：
1） 随着污染程度的增加，煤渣或黏土质污染均会导致道砟集料剪应力、峰值摩擦角降低，法向剪胀位移、峰值剪胀角减小.
2） 同一脏污程度下，煤渣脏污引起的格栅加固道砟剪切强度下降现象更显著. 当污染指标VCI从20%增加至40%时，在低围压下黏土污染的格栅加固道砟强度降低20.3%，在高围压下该值降低9.1%；而煤渣污染的格栅加固道砟受法向压力变化影响较小，始终为7.3%左右. 这是由于煤渣颗粒粒径较黏土颗粒粒径更大所导致.
3） 对于脏污质对格栅加固道砟变形特性的影响，煤渣污染的格栅加固道砟具有更明显的剪缩现象，峰值剪胀角也更大. 同一污染程度下，煤渣污染的格栅加固道砟体积变形比黏土污染的试样大30.5%. 这是由于煤渣颗粒表面更粗糙，导致道砟颗粒在受到剪切时更难发生重排布，从而引起更大的体积变形.
4） 相较于黏土脏污，煤渣脏污会对格栅加固道砟的剪切力学行为产生更不利的影响. 在实际工程中应该更注意道床上部列车产生的煤渣污染.
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图 7 气隙z运动到z1时线圈磁链-电流曲线
Figure 7. Flux-current curves of coil when the air gap z moves to z1
图 11 系统xOz平面磁感应强度分布
Figure 11. Magnetic induction intensity distribution of system on xOz plane
图 12 工作气隙为5～15 mm时电磁力随气隙高度的变化曲线
Figure 12. Variation curves of electromagnetic force with air gap height at working air gap of 5–15 mm
图 14 工作气隙为8～15 mm时电磁力随气隙高度的变化曲线
Figure 14. Variation curves of electromagnetic force with air gap height at working air gap of 8–15 mm
表 1 仿真参数
Table 1. Simulation parameters
参 数 数 值 hpm/mm 6 N/匝 550 Hc/（A·m−1） 5.8 × 105 额定电磁线圈电流 I/A 2 等效线圈a（b）电流/A 2.67 额定气隙/mm 10 
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