Online Parameter Identification of Linear Induction Motors Based on Improved Interconnected Full-Order Observer
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摘要:
由于直线感应电机特殊结构和动态边端效应等影响，其励磁电感和次级损耗电阻的变化机理和规律复杂，为提高观测器对励磁电感和次级损耗电阻的辨识精度和性能，提出一种基于改进互联型全阶观测器的直线感应电机双参数在线辨识方法. 首先，根据考虑动态边端效应的直线感应电机T型等效电路，建立双参数变化的电机状态空间方程，并分析参数变化及耦合特性对电机极点影响；其次，为减小参数耦合对辨识精度的影响，建立双参数互联的低耦合辨识模型，完成互联型全阶自适应观测器设计，采用Popov超稳定性理论推导励磁电感和次级电阻在线辨识的自适应律，实现双参数在线辨识；然后，为提高观测器的稳定性和收敛速度，结合新型极点配置法完成反馈增益矩阵的推导与设计；最后，搭建仿真模型和硬件在环辨识模型进行实验验证. 结果表明：新型全阶自适应观测器在启动加速阶段时励磁电感和损耗电阻辨识误差在0.01%左右；在负载动态时损耗电阻辨识误差在0.03%左右.
Abstract:Due to the special structure and dynamic end effect of linear induction motors, the change mechanism and law of their excitation inductance and secondary loss resistance are complicated. In order to improve the identification accuracy and performance of the observer for excitation inductance and secondary loss resistance, an online dual-parameter identification method of linear induction motors based on an improved interconnected full-order observer was proposed. Firstly, based on the T-type equivalent circuit of the linear induction motor considering dynamic end effects, the state space equations with dual-parameter changes were established, and the influence of parameter changes and coupling characteristics on motor poles was analyzed. Secondly, to reduce the impact of parameter coupling on identification accuracy, a low-coupling identification model with dual-parameter interconnection was established, and an interconnected full-order adaptive observer was designed. The adaptive laws for online identification of excitation inductance and secondary resistance were derived using Popov hyperstability theory, realizing online dual-parameter identification. Then, to improve the stability and convergence speed of the observer, a feedback gain matrix was derived and designed by using a novel pole configuration method. Finally, a simulation model and hardware-in-the-loop identification model were built for experimental verification. The results show that the new full-order adaptive observer achieves excitation inductance and loss resistance identification errors of around 0.01% during the startup acceleration phase and around 0.03% during dynamic loading.
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直线感应电机（LIM）具有爬坡能力强、转弯半径小、安全性能高且无需传动装置即可实现直线运动等优势，在中低速磁悬浮与新型轨道交通领域得到广泛应用[1]. LIM可视为感应电机的一种特殊情况，其定子、转子沿平面上展开而成初级、次级LIM. 由于铁芯结构的非对称性，导致动态边端效应减弱了气隙磁场，同时，由于存在未知的负载输入和时变的电气及机械参数，将使得电机参数实时变化，进而对LIM牵引系统的运行效率、推力性能以及整体安全性产生负面影响[2]. 因此，获得精确的电机电气参数和机械设计等参数是确保LIM实现高性能控制策略[3-5]的关键.
为获得受动态边端效应影响的电机实时参数，基于LIM，等效模型辨识中还需要相对准确的电机基本电阻、漏感和励磁电感等参数[6]，但由于LIM特殊的拓扑结构、数学模型、电磁关系以及初、次级漏感不等且次级漏感较小等原因，感应电机离线辨识方法无法直接适用[7]. 目前LIM的参数辨识方法相对较少，借鉴旋转感应电机参数辨识分类方法，可分为离线辨识和在线辨识2种方式[8]. 在通过离线辨识获得基本电机参数研究中，徐伟等[9]通过将电机与负载端的皮带轮相连，使圆弧LIM实现顺向拖动，通过测量空载和短路试验中的电机线电压、线电流以及输入频率等参数，可以直接计算出单边LIM的T型等效电路参数. 为简化空载试验，Raptis等 [10]通过有限元分析来得到电机参数，该方法对LIM也同样适用，但需要LIM的本体设计参数. 邸珺等[11]提出基于等效次级的LIM空载试验方法，使用软铁氧体背板代替背铁，以确保次级线圈无涡流并保持磁化电感恒定，以应对LIM初级和次级漏感不等的情况. 为实现工程化应用，吕刚等[12]提出一种基于变频器的LIM离线参数辨识方法. 该方法利用单相直流测试、单相高频测试和单相低频测试来获取电机参数，无需额外试验测量仪器，简化了参数辨识的难度. 然而，通过离线识别或LIM的理论计算获得参数的方法难以全面、精确地考虑所有因素，因此，亟需对LIM在线辨识策略开展深入的研究.
在LIM运行时，LIM的动态端部效应和边缘效应是造成励磁电感和损耗电阻动态变化的主要原因，其次还受到次级轨道路线变化而导致动态偏移、材料电阻率、机械气隙等影响. 目前，在线参数辨识的观测器研究主要集中在自适应律优化、离散化方法优化以及观测器反馈增益矩阵设计等方面，以解决电机参数、速度辨识的共通性问题[13]. 刘可安等[14]针对LIM在无次级感应板区域的电流和推力冲击问题，提出基于互感实时在线辨识的无次级感应板区域检测算法，可判断直线电机的真实运行状态，还通过动态调整电机指令电流和高精度电机模型计算实现平滑过渡. 王惠民等[15]通过建立LIM的全阶观测器模型，并将观测器极点配置为LIM稳态工作极点的$k$倍，据此详细推导出增益矩阵，并采用Popov超稳定性理论完成自适应律设计，最终得到直线电机励磁电感的在线辨识算法. Dong等[16]在构建LIM模型参考自适应系统时，以初级电流为状态变量，推导出电压和电流模型离散方程，采用Popov超稳定准则导出次级时间常数自适应律算法，并结合简便的励磁电感辨识算法，构建低耦合特性的双参数辨识系统. 在观测器离散方式的研究中，Wang等[17]采用改进的欧拉近似对观测器进行离散化，以解决电机速度在高速时稳定性、精度和计算量之间的矛盾. 针对状态观测器在低载波比下离散误差过大问题，张钦培等[18]提出基于感应电机特征根离散化模型，通过将状态转移矩阵对角化从而得到精确离散化结果. 在增益矩阵设计研究中，Zhang等[19]提出广义状态观测器增益，将观测器极点移到感应电机极点的左侧，并且观测器极点的虚分量小于感应电机极点的虚分量，实验表明，该观测器具有比常规固定增益更高的速度和磁链估计精度. 尹忠刚等[20]提出一种基于全阶自适应观测器的双参数辨识设计方案，根据Popov超稳定性理论对感应电机进行了稳定性分析，并设计了反馈增益矩阵，可实现对转速和定子电阻的在线辨识. 此外，Nguyen 等[21]提出的状态观测器按照极点放置方法设计在z域，该观测器的收敛速度比感应电机极点的收敛速度快，且没有额外的振荡效应. 然而，由于LIM受动态边端效应影响，电机参数变化规律比旋转感应电机更加复杂多变，且二者的2个共轭极点对应的运动模态分布差异明显，故需进一步深入分析研究受动态端部效应和边缘效应影响的在线参数辨识方案.
针对LIM的特殊结构和动态边端效应等引起的参数变化，本文提出一种互联型全阶状态观测器在线辨识励磁电感和次级电阻的方法. 首先，建立电机空间状态方程，并分析受动态边端效应的参数变化对LIM系统极点的影响. 在此基础上，为减小参数耦合对辨识系统的影响，推导出基于互联型全阶观测器的双参数在线辨识数学模型，采用Popov超稳定性理论推导出励磁电感和次级电阻双参数在线辨识的自适应律. 然后，为增加系统的稳定性能，根据不同配置法设计反馈增益矩阵的优势，提出复合型极点配置法对反馈增益矩阵进行设计. 最后，搭建仿真模型与硬件在环系统，通过仿真与实验验证该算法在不同工况下的有效性.
1. LIM建模与参数敏感度分析
由于LIM具有特殊结构和动态边端效应，Duncan等[22-23]提出考虑边端效应的数学模型. 本文在研究参数变化规律或参数辨识方法之前，将动态边端效应的影响视为磁化支路中电阻和电感的变化，采用LIM的T型等效电路（如图1）进行描述.
图1中：$ f(Q) $为动态边端效应损耗对次级电阻和励磁电感的影响，${R_{\mathrm{s}}}、Rr、{L_{{\mathrm{ls}}}}、Llr、{L_{\mathrm{m}}}、ωs、{{{\boldsymbol{\psi}}} _{\mathrm{r}}}、j、{{\boldsymbol{i}}_{\mathrm{r}}}、{{\boldsymbol{i}}_{\mathrm{s}}}、{\boldsymbol{u}}_{\mathrm{s}}$为分别为LIM初级电阻、次级电阻、初级漏感、次级漏感、励磁电感、次级电角速度、次级磁链、旋转算子、次级电流向量、初级电流向量、初级电压. 将基尔霍夫定律应用于图1的T型等效电路后，在$\alpha O\beta $坐标系下建立以初级电流${{\boldsymbol{i}}_{\mathrm{s}}} = [ {isαisβ} ]$、次级磁链${{\boldsymbol{\psi}} _{\mathrm{r}}} = [ {ψrαψrβ} ]$和初级电压${{\boldsymbol{u}}_{\mathrm{s}}} = [ {usαusβ} ]$为状态变量的LIM空间矢量方程组[23]，如式（1）所示.
{ddt[isψr]=Ax+Bus=[A11A12A21A22][isψr]+[1˜σ˜LsI0]us,is=Cx=[I0][isψr]T, (1) 式中：${\boldsymbol{A}_{11}} = - \dfrac{1}{{\tilde \sigma {{\tilde L}_{\mathrm{s}}}}}\left[ {{R_{\mathrm{s}}} + {{\hat R}_{\mathrm{r}}}\left(1 - \dfrac{{{{\tilde L}_{\mathrm{m}}}}}{{{{\tilde L}_{\mathrm{r}}}}}\right) + \dfrac{{{{\tilde L}_{\mathrm{m}}}}}{{{{\tilde L}_{\mathrm{r}}}}}\left(\dfrac{{{{\tilde L}_{\mathrm{m}}}}}{{{{\tilde T}_{\mathrm{r}}}}} - {{\tilde R}_{\mathrm{r}}}\right)} \right]\boldsymbol{I}$，${\boldsymbol{A}_{12}} = \dfrac{{{{\tilde L}_{\mathrm{m}}}}}{{\tilde \sigma {{\tilde L}_{\mathrm{s}}}{{\tilde L}_{\mathrm{r}}}}}\left[ {\left(\dfrac{1}{{{{\tilde T}_{\mathrm{r}}}}} - \dfrac{{{{\tilde R}_{\mathrm{r}}}}}{{{{\tilde L}_{\mathrm{m}}}}}\right)\boldsymbol{I} - \dfrac{{P{\text{π}} }}{\tau }v{\boldsymbol{j}}} \right]，A22=−1˜TrI+Pπτvj$，$A21=(˜Lm˜Tr−˜Rr)I$，$j=[0−110]$，$I=[1001]$，$˜Lm= {L_{\mathrm{m}}}(1 - f(Q))， ˜Ls=˜Lm+Lls，{\tilde L_{\mathrm{r}}} = {\tilde L_{\mathrm{m}}} + {L_{{\mathrm{lr}}}}，˜Rr=Rrf(Q)$，$˜Tr=˜Lr/(˜Rr+Rr)，\tilde \sigma = 1 - {\tilde L_{\mathrm{m}}}^2({\tilde L_{\mathrm{s}}}{\tilde L_{\mathrm{r}}})，$$ {\tilde{L}}_{{\mathrm{m}}}、{\tilde{R}}_{{\mathrm{r}}}、{\tilde{L}}_{{\mathrm{s}}}、 {\tilde{L}}_{{\mathrm{r}}}、{\tilde{T}}_{{\mathrm{r}}}， $ $\tilde{\sigma } $、$P$、$\tau $、$v$分别为考虑动态边端效应时LIM的励磁电感、等效涡流损耗电阻、初级电感、次级电感、转子时间常数、漏感系数、电机极对数、电机极距、电机速度.
鉴于全阶观测器需要，根据LIM极点来配置观测器极点的位置，因此，需要获得LIM极点的解析解. 值得注意的是，无论选择哪2个状态变量（如初级电流、初级磁链、次级磁链），所得的极点解析解都是相同的. 利用LIM复矢量状态方程（式（1））来求解其状态矩阵特征方程$ |s{\boldsymbol{I}} - {\boldsymbol{A}}| = 0 $，根据静止坐标系下的复矢量模型，可以得出LIM的极点分布规律. 同时，考虑到边端效应对电机参数的影响，分析电机励磁电感和损耗电阻变化为初始值0.5倍与1.5倍范围对电机极点的敏感度，电机参数变化下极点关系如图2所示.
图 2 参数变化对LIM极点的影响Figure 2. Impact of parameter variations on the poles of linear induction motor由图2可知：在LIM中左侧的共轭极点对应着次级磁链的运动模态，右侧靠近虚轴的极点对应着初级电流的运动模态. 这是因为次级时间常数较小，导致LIM的次级磁链动态响应较快于初级电流. 同时，除动态边端效应引起的电机参数变化外，实际运行中还存在着电机参数随次级感应板形变、气隙、频率等因素而变化. 这导致观测器在观测过程中可能会经历震荡和收敛的过程. 因此，有必要综合考虑多种因素对LIM全阶状态观测器辨识参数的影响，提升辨识损耗电阻和励磁电感的精度.
2. 互联型双参数在线辨识系统设计
2.1 全阶状态观测器建模
为实现全阶自适应观测器在线参数辨识，参考式（1）中LIM模型的状态空间方程，判断LIM模型的能控性和能观性，构建能观矩阵，通过将表1参数代入计算可知，能观矩阵$ {{\boldsymbol{W}}_{\mathrm{c}}} $与能控矩阵$ {{\boldsymbol{W}}_0} $满秩，因此，系统具备能控能观性.
表 1 直线感应电机参数Table 1. Parameters of linear induction motor参数 取值 参数 取值 额定功率/W 424 互感/H 0.517 额定速度/（m·s−1） 8 初级电感/H 0.637 初级长度/m 1.014 初级电阻/Ω 11 极距/mm 0.205 次级电感/H 0.757 极对数 3 次级电阻/Ω 32.571 {rank(Wc)=[BBABA2BA3]=4,rank(W0)=[CCACA2CA3]T=4. (2) 在进行参数辨识时，由于电机励磁电感和次级损耗电阻的变化相互耦合，为降低实际系统中由于二者中参数耦合而造成的辨识困难，在开始时通过电机离线辨识或者电机铭牌获取励磁电感$ {L_{{\mathrm{m0}}}} $、损耗电阻初始值$ {R_{{\mathrm{r0}}}} $，在辨识$ {\hat L_{\mathrm{m}}} $观测器中，$ {\hat R_{\mathrm{r}}} $为初始值后更新为上一周期辨识结果，在辨识$ {\hat R_{\mathrm{r}}} $时，$ {\hat L_{\mathrm{m}}} $选取当前时刻的上一周期的辨识定值，并根据式（1）选择以LIM的初级电流与次级磁链作为状态变量，利用反馈增益矩阵保证观测器辨识的收敛性速度与稳定性，通过相互迭代实现观测器的精确辨识. 其中，观测器反馈增益矩阵的设计对观测器性能的影响极大，为保证系统稳定性与收敛速度，需满足观测器极点均位于电机极点右侧，本文构造的互联型双参数全阶观测器模型框图如图3所示. 图中：${v^ * }$（$v$）、$\left\| {\varphi _{\mathrm{r}}^ * } \right\|$（$\left\| {{\varphi _{\mathrm{r}}}} \right\|$）为速度、次级磁链的参考值（返回值）； $i_q^ * $、$i_d^ * $为速度、磁链控制器输出的$dOq$坐标系电流参考值，由三相电流（${i_{\mathrm{a}}}$、${i_{\mathrm{b}}}$、${i_{\mathrm{c}}}$）、电角度${\theta _{\mathrm{e}}}$、Clark与Park坐标变换输出（${i_q}$、${i_d}$）实际值坐标闭环控制.
根据LIM等效电路，利用空间状态方程构建互联型全阶观测器. 为保证观测器收敛，需根据电机极点推导出反馈增益矩阵G，以保证动态性能与稳定性，构造互联型双参数在线辨识模型，如式（3）所示.
ddt[ˆisˆψr]=[ˆA11ˆA12ˆA21ˆA22][ˆisˆψr]+[1˜σ˜LsI0]us+G(is−ˆis), (3) 式中：“^”表示观测器对式（1）中各变量的估计值，后文同；初级电流$ {\hat {\boldsymbol{i}}_{\mathrm{s}}} = {[ ˆisαˆisβ ]^{\mathrm{T}}} $；次级磁链的估计值$ {\hat {\boldsymbol{\psi}} _{\mathrm{r}}} = {[ ˆψrαˆψrβ ]^{\mathrm{T}}} $.
由于图3中观测器1和观测器2在构造辨识模型时，在表达式上有一定的共通性，为简化模型，根据式（3）将辨识励磁电感$ {\hat {\boldsymbol{A}}_{{\mathrm{Lm}}}} $与损耗电阻$ {\hat {\boldsymbol{A}}_{{\mathrm{Rr}}}} $模型改写为式（4）.
{ddt[ˆisˆψr]=ˆALm[ˆisˆψr]+[1˜σ˜LSI0]us+G(is−ˆis),ddt[ˆisˆψr]=ˆARr[ˆisˆψr]+[1˜σ˜LSI0]us+G(is−ˆis), (4) G=[GiGψ]=[g1g2g3g4−g2g1−g4g3]T., (5) 式中：$ {{\boldsymbol{G}}}_{i}、{\boldsymbol{G}}_{{{\psi}} } $分别为电流部分反馈增益和磁链部分反馈增益.
根据式（1）与式（3）可得LIM与全阶自适应观测器数学模型的差值，则误差状态方程为
ddt[ΔisΔψr]=[A11−GiA12A21−GψA22][ΔisΔψr]+ΔA[ˆisˆψr], (6) 式中：$ \Delta{{\boldsymbol{i}}_{\mathrm{s}}} = {{\boldsymbol{i}}_{\mathrm{s}}} - {\hat {\boldsymbol{i}}_{\mathrm{s}}} = {[ {ΔisαΔisβ} ]^{\mathrm{T}}} $，为初级电流观测误差，$ \Delta{{\boldsymbol{\psi}} _{\mathrm{r}}} = {{\boldsymbol{\psi}} _{\mathrm{r}}} - {\hat {\boldsymbol{\psi}} _{\mathrm{r}}} = {[ {ΔψrαΔψrβ} ]^{\mathrm{T}}} $，为次级磁链观测误差， $ \Delta {\boldsymbol{A}} $∈{$ \Delta {{\boldsymbol{A}}}_{{\mathrm{Lm}}}，\Delta {{\boldsymbol{A}}}_{{\mathrm{Rr}}} $}，$\Delta {\boldsymbol{A}}_{\mathrm{Lm}}、\Delta {\boldsymbol{A}}_{\mathrm{Rr}} $分别为电机方程与辨识电机励磁电感、损耗电阻参数的误差，如式（7）.
{ΔALm=A−ˆALm=[RrLlrLls+LlrRrLls+Llr−RrLlr−(Rr+Rrf(Q))]ΔeLm，ΔARr=A−ˆARr=[−1Lls+Llr1Lls+Llr−LlrLr−1Lr]ΔeRr， (7) 式中：$ \Delta {e_{{\mathrm{Lm}}}} $为实际励磁电感与估计励磁电感的误差，$ \Delta {e_{{\mathrm{Rr}}}} $为实际损耗电阻与估计损耗电阻的误差.
根据式（3）～（7）的推导，LIM全阶自适应观测器误差方程构成的等效结构框图如图4所示.
电机在实际运行中受动态边端效应等影响，励磁电感和损耗电阻随速度变化而变化，当观测的状态变量与实际电机参数产生偏差时，动态估计误差如式（6）所示. 根据Popov超稳定性理论，将非线性反馈系统相应的改写为Popov不等式进行分析，并推导出励磁电感和损耗电阻的自适应律，完成观测器双参数辨识. 根据式（6）、（7）可推导出2个不等式：
\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\xi _1} = \int { - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {\boldsymbol{i}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}}}&{\Delta{\boldsymbol{\psi}} _{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}} \end{array}} \right]} \Delta {{\boldsymbol{A}}_{{\mathrm{Lm}}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat {\boldsymbol{i}}}_{\mathrm{s}}}} \\ {{{\hat {\boldsymbol{\psi}} }_{\mathrm{r}}}} \end{array}} \right]{\mathrm{d}}t \geqslant - {\gamma _1^2}} ，\\ {{\xi _2} = \int { - \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\Delta {\boldsymbol{i}}_{\mathrm{s}}^{\mathrm{T}}}&{\Delta{\boldsymbol{\psi}} _{\mathrm{r}}^{\mathrm{T}}} \end{array}} \right]} \Delta {{\boldsymbol{A}}_{{\mathrm{Rr}}}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat {\boldsymbol{i}}}_{\mathrm{s}}}} \\ {{{\hat {\boldsymbol{\psi}} }_{\mathrm{r}}}} \end{array}} \right]{\mathrm{d}}t \geqslant - {\gamma _2^2}} ， \end{array}} \right. (8) 式中：$ {\gamma _1}^2 $、$ {\gamma _2}^2 $为辨识系统变量的误差，t为时间.
为提高辨识的收敛速度，通常在实际应用中采用比例-积分（PI）自适应方案来设计励磁电感和电阻的自适应律，如式（9）、 （10）所示.
\begin{split} &{\hat L_{\mathrm{m}}} = {L_{{\mathrm{m0}}}} + {k_{\mathrm{i}}}\int(\Delta{i_{{\mathrm{s}}\alpha}}{{\hat {\boldsymbol{i}}}_{{\mathrm{s}}\alpha}} +\Delta{i_{{\mathrm{s}}\beta }}{{\hat {\boldsymbol{i}}}_{{\mathrm{s}}\beta }}){\mathrm{d}}t +\\ &\quad{k_{\mathrm{p}}}(\Delta{i_{{\mathrm{s}}\alpha}}{{\hat {\boldsymbol{i}}}_{{\mathrm{s}}\alpha}} + \Delta{i_{{\mathrm{s}}\beta }}{{\hat {\boldsymbol{i}}}_{{\mathrm{s}}\beta }}), \end{split} (9) \begin{split} &{{\hat R}_{\mathrm{r}}} ={k_{\mathrm{r}}}(\Delta{i_{{\mathrm{s}}\alpha }}({{\hat \varphi }_{{\mathrm{r}}\alpha }} - {{\hat L}_{\mathrm{m}}}\hat {\boldsymbol{i}}_{{\mathrm{s}}\alpha }^{}) + \Delta{i_{{\mathrm{s}}\beta }}({{\hat \varphi }_{{\mathrm{r}}\beta }} - \hat {\boldsymbol{i}}_{{\mathrm{s}}\beta }^{}))+ {k_{{\mathrm{ir}}}} \times \\ &\quad\int {(\Delta{i_{{\mathrm{s}}\alpha }}({{\hat \varphi }_{{\mathrm{r}}\alpha }} - {{\hat L}_{\mathrm{m}}}\hat {\boldsymbol{i}}_{{\mathrm{s}}\alpha }^{}) + \Delta{i_{{\mathrm{s}}\beta }}({{\hat \varphi }_{{\mathrm{r}}\beta }} - \hat {\boldsymbol{i}}_{{\mathrm{s}}\beta }^{}))} {\mathrm{d}}t + {R_{{\mathrm{r0}}}} , \end{split} (10) 式中：$ {L_{{\mathrm{m0}}}} $、$ {R_{{\mathrm{r0}}}} $分别为初始化励磁电感和损耗电阻值，ki、kp为励磁电感PI控制参数，$ {k_{\mathrm{r}}} $、$ {k_{{\mathrm{ir}}}} $为损耗电阻PI控制器参数.
对全阶自适应观测器系统而言，其渐进超稳定的充分必要条件是线性前向通道的传递函数矩阵为正定传递函数矩阵，在系统中，可通过极点配置法进行合理设计反馈增益矩阵G实现.
2.2 新型反馈增益G矩阵设计
由于LIM在实际运行过程中受到多种因素的干扰，如次级感应板形变、气隙、频率和温度变化等，这些因素会导致电机参数的实时变化，从而影响系统的收敛性和稳定性. 为提高全阶自适应观测器对参数辨识的精度和观测器的稳定性，需重新设计反馈增益矩阵G，以确保前向通道是正定即可. LIM系统在零增益矩阵下是稳定的，但由于缺少负反馈增益矩阵G修正，因此，观测器的收敛性和稳定性相对较差. 目前矩阵G的设计主要有极点倍数配置方法[15]和极点左移配置方法[19]. 极点倍数配置方法将电机极点变为原来的$k$倍距离，以增强收敛速度，令$ {\mathrm{eig}}({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{GC}}) = k {\mathrm{eig}}({\boldsymbol{A}}) $可求得观测增益矩阵$ {{\boldsymbol{P}}_{{\mathrm{obs1}}}} $，其中，eig(·)为MATLAB/Simulink中求特征值函数，如图5（a）所示：当$ k < 1 $ 时，观测器极点位于电机极点右侧，将导致观测器系统不稳定；当$ k = 1 $ 时，若观测器中参数与电机参数一致，则观测器特征方程与电机特征方程一致，即矩阵$ \boldsymbol{G} $为$ {\boldsymbol{0}} $矩阵，导致观测器抗扰能力不足；随着$ k $值的增大，可保证观测器极点位于电机极点的左侧，但较大极点倍数配置方法可能会增加观测器极点的虚部，亦会导致观测器失稳. 而极点左移配置法将观测器极点在电机极点基础上左移$b$倍距离，采用$ {\mathrm{eig}}({\boldsymbol{A}} -{\boldsymbol{ GC}}) = {\mathrm{eig}}({\boldsymbol{A}}) + b $可求解得观测增益矩阵$ {{\boldsymbol{P}}_{{\mathrm{obs2}}}} $，如图5（b）所示：当$b > 0$时，观测器极点位于电机右侧，无法满足系统对稳定性要求，而当$b < 0$时，左移增益矩阵通常可以获得更优的观测器稳定性性能，但动态性能较弱. 由图5分析可知，修改$k$和$b$将有助于加快全阶状态观测器的收敛性，但也将增加观测器的参数敏感性，因此，其取值需要结合电机极点进行综合权衡.
因此，综合二者特性，采用极点倍数配置法与极点左移配置法进行组合[24]，为增强观测器性能，可对反馈增益矩阵进行特殊设计，求解电机的极点和观测器极点的空间分布关系，根据线性系统理论可知，系统完全可观并且反馈矩阵G一定存在. 要确定反馈矩阵G，只需求出$({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{GC}})$的特征值，使得${{\mathrm{Re}}} ({\mathrm{eig}}({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{GC}})) < 0$，代入电机参数即可得到全阶状态观测器的特征值，求解式（11）方程.
{\mathrm{eig}}({\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{GC}}) = k {\mathrm{eig}}({\boldsymbol{A}}) + b . (11) 通过求解式（11）可得到
{\boldsymbol{G}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2b + \tilde \sigma (k - 1)({R_{\mathrm{s}}}{{\tilde L}_{\mathrm{r}}} + {{\tilde R}_{\mathrm{r}}}{{\tilde L}_{\mathrm{s}}}) + {\boldsymbol{j}}(1 - k){\omega _{\mathrm{r}}}} \\ {({k^2} - 1){R_{\mathrm{s}}} + \dfrac{{k{^2}/\tilde \sigma - kb({R_{\mathrm{s}}}{{\tilde L}_{\mathrm{r}}} + {{\tilde R}_{\mathrm{r}}}{{\tilde L}_{\mathrm{s}}} - {\boldsymbol{j}}{\omega _{\mathrm{r}}}/\tilde \sigma )}}{{{{\tilde R}_{\mathrm{r}}} - {\boldsymbol{j}}{{\tilde L}_{\mathrm{r}}}{\omega _{\mathrm{r}}}}}} \end{array}} \right], (12) 式中：$\omega _{\mathrm{r}} $为次级电角速度.
在本文中，$k$和$b$均为定性分析代数，通过调节$k$和$b$可以改变观测器极点. 为提高观测的稳定性与精确辨识，需要保证观测器极点位于电机极点的左侧，同时还需尽可能保证其观测器极点实部大而虚部小. 结合图5的分析与参数试凑法，在新型观测器中取$k$=1.2，$b{{ = }} - {{10}}$，求解得到新型观测器的极点$ {{\boldsymbol{P}}_{{\mathrm{obs3}}}} $如图6所示.
图 6 新型观测器极点$ {{\boldsymbol{P}}_{{\mathrm{obs3}}}} $Figure 6. New observer $ {{\boldsymbol{P}}_{{\mathrm{obs3}}}} $ pole由图6可知，新型观测器$ {{\boldsymbol{P}}_{{\mathrm{obs3}}}} $结合极点倍数和极点左移法的优点，其电流运动模态和次级磁链运动模态的虚部较小，阻尼比较大且整体极点左移，有利于增强电机系统稳定与动态性能.
3. 仿真及实验分析
3.1 仿真分析
为验证所设计互联型全阶自适应观测器的在线辨识能力，利用MATLAB/Simulink对本文的辨识算法进行仿真研究. LIM的T型等效电路用$f(Q)$来表示动态边端效应等对励磁电感与损耗电阻的影响，由式（1）建立电机状态空间方程，并根据图3搭建仿真模型及算法，所使用LIM参数如表1所示. 采用$f(Q)$模拟LIM的由动态边端效应造成的参数变化工况，通过设置不同速度对辨识算法进行验证.
在仿真中引入极点倍数法、极点左移法以及新型复合极点法进行设计互联型观测器，并对电机双参数进行在线辨识对比，仿真结果如图7所示.
图 7 不同增益矩阵在线辨识双参数Figure 7. Online identification of two parameters with different gain matrices由图7可知：励磁电感随速度增加而减小，损耗电阻随速度增加而增加；在0～1 s启动过程中，由于速度稳定造成初始值存在误差，对辨识系统影响较大；在速度跟踪稳定后，采用极点放大求解的观测器将导致次级磁链虚轴放大，导致辨识的稳定性能较差，且随速度增加误差越大；极点左移法设计的观测器的稳态性能较好，但动态响应时间较长；新型增益矩阵则结合了二者的特点进行互补，相较于单一的增益矩阵，新型复合配置观测器具备更好的稳定性和收敛速度.
3.2 硬件在环实验
为进一步验证互联型全阶自适应状态观测器双参数在线辨识的精度，根据图3搭建硬件在环仿真（HIL）测试系统，如图8所示. 图中，θe为电角度. 在FPGA板卡中根据式（1）搭建LIM (field programmable gate array)仿真模型，通过控制Intel Core i7 4.2 GHz的CPU实现LIM矢量控制系统与参数在线辨识算法的建立，其中实验的不确定性多来源于模型的实验配置和采样速率，此外，实验精度需要注意速率转化模块和数据精度换算的统一，本实验的采样频率为50 kHz，所采用的LIM参数见表1.
硬件在环仿真实验中，0～5 s内完成加减速运行，采用带载启动方式，负载为20 N，并在1.5 s突变负载扰动增加20 N，对双参数在线辨识的性能进行验证，并分析$ k $倍配置的观测器$ {{\boldsymbol{P}}_{{\mathrm{obs1}}}} $、左移$ b $配置的观测器$ {{\boldsymbol{P}}_{{\mathrm{obs2}}}} $以及新型复合极点配置的观测器$ {{\boldsymbol{P}}_{{\mathrm{obs3}}}} $对辨识结果的影响，对比实验结果如图9所示.
图 9 互联型全阶观测器双参数在线辨识波形Figure 9. Waveform of online dual-parameter identification of interconnected full-order observer由9（a）速度波形可知，由于速度闭环的存在，参数辨识过程中参数变化和负载扰动对速度跟踪波形影响较小. 由于励磁电感与损耗电阻之间存在耦合，采用互联型辨识算法能有效降低二者的耦合关系. 由图9可知：1） 在启动阶段电流还未稳定，采用极点倍数法配置的$ {{\boldsymbol{P}}_{{\mathrm{obs1}}}} $观测器，在启动加速阶段$ {\hat L_{\mathrm{m}}} 、 {\hat R_{\mathrm{r}}} $辨识误差在0.02%左右，由于极点虚部被放大导致其稳态性能差，一直存在0.01%的稳态误差；在6 m/s以后，$ {\hat R_{\mathrm{r}}} $受动态边端效应影响参数变化较大，其辨识的稳态误差在6%左右. 2） 采用极点左移配置法的$ {{\boldsymbol{P}}_{{\mathrm{obs2}}}} $观测器，在启动加速阶段$ {\hat L_{\mathrm{m}}}、 {\hat R_{\mathrm{r}}} $辨识误差较大，由于极点左移配置法对参数较为敏感，单纯采用该方法在互联辨识中容易对损耗电阻辨识产生较大影响，通过反馈矩阵修正后，在0.3 s后辨识误差收敛到0.1%左右；在6 m/s以后，$ {\hat R_{\mathrm{r}}} $辨识的稳态误差在7%左右. 3） 采用二者复合的新型观测器 （$ {{\boldsymbol{P}}_{{\mathrm{obs3}}}} $观测器），具备有二者的特性，在启动加速阶段，$ {{\boldsymbol{P}}_{{\mathrm{obs3}}}} $经0.1 s后，对$ {\hat L_{\mathrm{m}}} $和$ {\hat R_{\mathrm{r}}} $的辨识误差收敛到0.01%以内；在6 m/s以后，其辨识精度相对前2种观测器受速度和负载动态影响较小，在负载动态时，$ {\hat R_{\mathrm{r}}} $辨识误差为0.03%左右，相对前2种观测器具有较快的收敛速度和辨识精度.
4. 结 论
因LIM特殊结构与动态边端效应等影响造成励磁电感与损耗电阻等参数时变问题，本文提出一种基于互联型全阶状态观测器进行双参数辨识算法，通过极点分布图的分析与实验验证得到的主要研究结果如下：
1） 通过调节极点倍数配置方法参数或极点左移配置方法参数可以改变观测器极点在s域的负半平面位置，但需要保证观测器极点位于电机极点的左侧，同时，还需尽可能保证其观测器极点主导极点实部大而虚部小.
2） 采用新型极点配置法设计的观测器，相较于单一的配置法，其励磁电感$ {\hat L_{\mathrm{m}}} $和损耗电阻辨识$ {\hat R_{\mathrm{r}}} $的稳态误差为0.01%左右，负载动态时辨识$ {\hat R_{\mathrm{r}}} $误差在0.03%左右. 同时，其辨识精度相对单一配置观测器受速度和负载动态影响较小，具有较好的辨识性能.
3） 由于电机励磁电感和次级损耗电阻的变化相互耦合，采用互联型自适应全阶观测器进行双参数辨识，通过对励磁电感和损耗电阻的误差进行修正，能有效降低系统中由于二者中参数耦合而造成的辨识困难问题，对磁浮列车、物流装配与传送等LIM驱动系统具有重大的工程应用价值.
致谢：全国江西省研究生创新专项磁浮管轨直线感应电机设计与模型预测控制（YC2022-B185）资助；磁浮技术铁路行业重点实验室开放课题资助.
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图 2 参数变化对LIM极点的影响
Figure 2. Impact of parameter variations on the poles of linear induction motor
图 6 新型观测器极点$ {{\boldsymbol{P}}_{{\mathrm{obs3}}}} $
Figure 6. New observer $ {{\boldsymbol{P}}_{{\mathrm{obs3}}}} $ pole
图 7 不同增益矩阵在线辨识双参数
Figure 7. Online identification of two parameters with different gain matrices
图 9 互联型全阶观测器双参数在线辨识波形
Figure 9. Waveform of online dual-parameter identification of interconnected full-order observer
表 1 直线感应电机参数
Table 1. Parameters of linear induction motor
参数 取值 参数 取值 额定功率/W 424 互感/H 0.517 额定速度/（m·s−1） 8 初级电感/H 0.637 初级长度/m 1.014 初级电阻/Ω 11 极距/mm 0.205 次级电感/H 0.757 极对数 3 次级电阻/Ω 32.571 
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