冲击激励下轴线失准转子-磁轴承系统不对中定量研究

肖玲; 李园超; 赵晨曦; 程文杰; 冯圣

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20230454

冲击激励下轴线失准转子-磁轴承系统不对中定量研究

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20230454

1.
西安科技大学理学院，陕西西安 710054
2.
西安交通大学机械工程学院，陕西西安 710049

基金项目: 国家自然科学基金（52275271）；陕西省自然科学基金（2022JM-194）

详细信息

作者简介:
肖玲（1983—），女，教授，博士，研究方向为电磁轴承、高速电机转子、软磁复合材料，E-mail：xiaoling@xust.edu.cn

中图分类号: TH133.3
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出版历程
- 收稿日期: 2023-09-04
- 修回日期: 2024-03-22
- 网络出版日期: 2024-04-29
- 刊出日期: 2024-03-28

Quantitative Research on Misalignment Magnitude of Rotor-Magnetic Bearing System with Axis Misalignment Under Shock Excitation

1.
College of Science, Xi’an University of Science and Technology, Xi’an 710054, China
2.
School of Mechanical Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China

摘要

摘要:
为研究和识别转子系统在轴承处发生的平行角度混合不对中，提出一种频谱辨识转子-磁轴承系统固有不对中量大小的方法. 采用动量矩定理将圆盘不平衡力对转轴的影响等效到转子轴向力上，建立考虑轴向径向耦合效应的刚性双偏置圆盘转子-磁轴承系统的动力学模型；通过SIMULINK仿真得到系统时域下的位移和电流响应，分析不对中条件下转子系统动力学特性，并利用快速傅里叶变换将时域响应转换为频域响应，基于频域下最小二乘算法得到转子系统不对中量大小. 结果表明：在冲击激励影响条件下，采用该方法计算的不对中量大小误差均在5.0%以内，当转子受到外界扰动力时，该算法能够准确定量识别转子的不对中量，可为不对中转子-磁轴承系统故障诊断及自修复提供理论参考.
- 冲击载荷 /
- 轴承-转子系统 /
- 不对中量 /
- 快速傅里叶变换 /
- 轴向径向耦合
Abstract:
A spectral identification method for calculating the magnitude of inherent misalignment in a rotor-magnetic bearing system was proposed to study and identify mixed parallel misalignment of the rotor system occurring at the bearing. The momentum moment theorem was used to equate the effect of the disc unbalance force on the rotating shaft to the axial force of the rotor and establish a dynamics model of the rigid double offset disc rotor-magnetic bearing system considering the axial and radial coupling effects. The SIMULINK simulation was used to calculate the displacement and current response of the system in the time domain, and the dynamics characteristics of the rotor system under the misalignment condition were analyzed. Furthermore, the fast Fourier transform was utilized to convert the response in the time domain into that in the frequency domain. The magnitude of the misalignment of the rotor system was then calculated based on the least squares algorithm in the frequency domain. The results show that the error in the calculated magnitude of misalignment by using this method is within 5.0% under the influence of shock excitation, indicating that even if the rotor is affected by external disturbance forces, the algorithm can accurately quantify the rotor’s misalignment. This provides a theoretical reference for fault diagnosis and self-repair of misaligned rotor-magnetic bearing systems.
- shock excitation /
- bearing-rotor system /
- misalignment magnitude /
- fast Fourier transform /
- axial and radial coupling

HTML全文

目前，通信感知一体化（integrated sensing and communication, ISAC）被认为是下一代移动通信（B5G/6G）的关键技术之一，受到了学术界和工业界的广泛关注. 通信感知一体化是指在同一个硬件平台上通过资源共享实现通信和感知功能，从而降低硬件成本，提高频谱利用效率^[1-3]. 在6G网络中，ISAC技术将提供高质量无线连接和高精度感知能力，为许多新兴应用提供关键助力，如无人机通信、车联网、智能家居、智慧城市等^[4-5]. 现有ISAC系统的研究主要集中于地面场景，一方面，ISAC系统对目标的感知依赖收发两端的视距链路，感知性能会因障碍物阻挡而受到较大影响；另一方面，为保障通信质量，需要确保发射端对通信用户下行数据传输的准确性，而下行数据传输易受视距阻碍，且非视距通信对传输信号功率要求较高^[6].

为缓解上述局限性，可以采用高度自控的无人机（unmanned aerial vehicle, UAV）作为空中的ISAC平台. UAV机动性强，具有强视距、广覆盖、易部署等特点^[7]. 将无人机与ISAC相结合，可以提高系统整体的通信与感知性能、降低功率损耗、扩大感知范围、减少感知盲区^[8]，同时，利用感知到的环境信息可以实现更加有效的通信组网和无线覆盖^[9-10]. 与单一功能的UAV通信系统相对比，UAV ISAC系统可以实现通信和感知性能的相互增益，有效提升两者的质量. 通过整合通信和感知功能，ISAC系统可以替代独立的通信和感知设备，从而减轻UAV的整体负载，增强其机动性. 这种集成更有望解决UAV通信系统性能和续航能力的关键性问题. 随着ISAC技术的不断演进，UAV ISAC系统的通信和感知性能正日益受到广泛关注^[11].

在传统通信领域，正交频分复用（orthogonal frequency division multiplexing, OFDM）波形因其能有效消除码间干扰和载波间干扰，并具备较高的频谱利用效率等优势而被广泛应用^[12-13]. 在感知方面，OFDM波形的大带宽特性有助于提升感知探测的距离分辨率. 因此，基于OFDM波形的ISAC系统设计受到了广泛关注和研究. 文献[14]最早对OFDM波形在探测方法方面进行了研究. 然而，在通感一体化设计中，需要将通信符号调制到子载波上以承载通信信息，这会对感知性能产生影响. 文献[15-16]基于连续波OFDM波形来实现ISAC，并在接收端通过频域元素级除法消除通信数据对波形的影响，随后，在符号和载波两个维度分别进行离散傅里叶变换（discrete Fourier transform, DFT）与离散傅里叶逆变换（inverse DFT, IDFT），以得到探测目标的速度和距离信息. 为增加感知的距离，文献[17]通过脉冲形式发射，在波形脉宽内连续发射多个OFDM符号，从而提升通信速率.

基于OFDM的通信感知一体化（OFDM-based ISAC）平台可充分利用频谱资源，扩大感知范围并提升感知效果. 然而，在实际通信场景的感知探测过程中，由于收发端的相对距离较近，可能出现发射信号未经环境反射而直接泄露至接收端的现象. 这一信号分量被称为自干扰（self-interference, SI）信号，而经过环境反射的信号则是有用信号. SI信号具有传输距离较短、功率较大的特点，会导致有用信号受到强烈干扰，从而影响ISAC系统的整体感知性能^[18-19]. 因此. 自干扰消除（self-interference cancellation, SIC）对感知过程尤为关键. 传统SIC可划分为传播域消除^[20]、模拟域消除^[21]和数字域消除^[22]. 传播域消除是通过环形器隔离、天线隔离等方法提高收发隔离度，使得SI信号在到达接收机时经历较大的衰减. 模拟域方法则通过可调控的硬件电路在接收机射频前端重建模拟SI信号的副本，并完成相应的消除过程^[23]. 数字域方法则以发射机基带信号作为参考源，利用数字信号处理技术估计SI信道参数，进而重建SI信号，然后通过从接收信号中减去估计的SI信号，实现SI的消除^[24]. 然而，在传统通信系统中，由于器件性能和工程技术上的局限性，传播域消除和模拟域消除通常难以将SI信号降至噪声水平. 因此，还需要进一步对经过模数转换器后的SI信号进行数字域消除处理^[25]. 数字域具有较强的信号处理能力，数字域SI消除效果通常好于模拟域. 因此，当前ISAC研究亟需提出复杂度低、性能优良的数字域自干扰消除方案，以提升系统感知性能.

针对上述问题，本文构建一个包含SI信号的回波模型，以研究多目标场景下的OFDM-based ISAC系统. 在此基础上，提出一种数字域自干扰消除方案. 该方案采用最小二乘算法对SI信号的幅度进行估计，并进行SI信号的重建. 随后，通过从接收信号中减去重建的SI信号，实现对SI信号的有效抑制. 本方案可以有效消除OFDM-based ISAC系统中的SI信号，并将其功率降低至噪声功率水平，从而确保系统对其他有用目标的感知性能得以保障.

1. 信号模型

本节介绍OFDM-based ISAC系统发射的信号模型，以及包含SI的回波模型. OFDM-based ISAC架构如所示. 图中： ${a_m}(n)$ 为第 $m$ 个OFDM符中第 $n$ 个子载波所传输的正交幅度调制（quadrature amplitude modulation, QAM）符号，S/P为串/并转换，CP为OFDM符号的循环前缀，D/A、A/D分别为数/模、模/数转换，RF为射频信号. 假设每个OFDM符号具有 $N$ 个子载波，子载波间距为 $\Delta f$ ，那么，发射端的第 $m$ 个OFDM符号的基带信号为

图 1 OFDM-based ISAC系统架构

Figure 1. OFDM-based ISAC system architecture

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${x_m}(t) = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{a_m}(n){{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}2{\text{π}} n\Delta ft}}\eta (t - mT_{\mathrm{O}}} ),$

(1)

式中：t为时间； $T_{\mathrm{O}} = {T_{{\text{CP}}}}+T$ ，为1个完整的OFDM符号持续时间， ${T_{{\text{CP}}}}$ 为CP长度， $T = 1/\Delta f$ ，为1个基础OFDM符号持续时间； $\eta (t)$ 为窗函数，如式（2）所示.

$\eta (t)=\left\{\begin{array}{l}1, \quad t\in [-{T}_{\text{CP}},T], \\ 0, \quad 其他. \end{array}\right.$

(2)

假设发射的信号由 $M$ 个连续的OFDM符号组成，经过上变频后可以表示为

$x_{\text{RF}}(t) = \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {{x_m}(t){{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}2{\text{π}} {f_{\text{c}}}t}}}=x(t){{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}2{\text{π}} {f_{\text{c}}}t},{\text{ }}}$

(3)

式中： ${f_{\text{c}}}$ 为载波频率，x(t)为基带发射信号.

假设发射的OFDM信号被 $I$ 个目标反射至接收端，其中，第i个目标的距离和相对速度分别为 ${R_i}$ 和 ${v_i}$ ， $\forall i = 1,2, \cdots ,I$ ，对应的时延和多普勒频移分别为 ${\tau _i} = 2{R_i}/{c_0}$ 和 ${f_i} = 2{v_i}{f_{\text{c}}}/{c_0}$ ，其中， ${c_0}$ 为光速. 此外，假设存在发射端直接泄露至接收端的自干扰信号，并且发射端天线与接收端天线距离为 ${d_{{\text{sr}}}}$ ， ${d_{{\text{sr}}}} \ll {R_i}$ ，且该距离已知. 那么接收端的回波信号经过下变频后可以表示为

$y(t)={\displaystyle \sum _{i=1}^{I}{\beta }_{i}x(t-{\tau }_{i}){{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{j}}2{\text{π}} {f}_{i}t} + \underset{自干扰信号}{\underbrace{{\beta }_{0}x(t-{\tau }_{0})}} + w(t)},$

(4)

式中： ${\beta _i}、{\tau _i}$ 分别为第 $i$ 个目标回波的复幅度、时延， ${\beta _0}$ 和 ${\tau _0} = {{{d_{{\text{sr}}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{d_{{\text{sr}}}}} {{c_0}}}} \right. } {{c_0}}}$ 分别为SI信号的复幅度和时延， $w(t)$ 是均值为0、方差为 ${\sigma ^2}$ 的复高斯白噪声.

考虑到发射机和接收机不存在相对运动，因此，不考虑SI信号的多普勒频移. 此外，由于发射机和接收机距离较近，假设SI信号的幅度远远大于目标发射的信号幅度，并且SI信号的时延远远小于目标反射的回波时延，即 $\left\| {{\beta _0}} \right\| \gg \max \; \left\| {{\beta _i}} \right\|$ ， ${\tau _0} \ll \min\; {{\tau _i}}$ . 需要注意的是，CP的长度必须大于等于目标反射引起的最大时延^[15]，即 ${T_{{\text{CP}}}} \geqslant \max \; {{\tau _i}}$ .

由于 ${f_i} T_{\mathrm{O}} \ll 1$ ，一个OFDM符号周期内的相位旋转可以近似为常数， $y(t)$ 可以近似为^[26]

$y(t)\approx {\displaystyle \sum _{i=1}^{I}{\displaystyle \sum _{m=0}^{M-1}{\beta }_{i}{x}_{m}(t-{\tau }_{i})}{{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{j}}2{\text{π}} m{f}_{i}{T_{\mathrm{O}}}} + \underset{自干扰信号}{\underbrace{{\beta }_{0}x(t-{\tau }_{0})}} + w(t)}.$

(5)

在接收端，以采样频率 ${T_{\text{s}}} = T/N$ 对回波进行采样，并且去除CP后，第 $m$ 个OFDM符号的第 $l$ 个采样点（ $l=0,1,\cdots ,N-1$ ）可以表示为

$\begin{split} &{y}_{m}(l)={\displaystyle \sum _{i=1}^{I}{\displaystyle \sum _{n=0}^{N-1}{\beta }_{i}{a}_{m}(n){{\mathrm{e}}}^{-{\mathrm{j}}2{\text{π}} n\Delta f{\tau }_{i}}}}{{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{j}}2{\text{π}} m{f}_{i}{T_{\mathrm{O}}}}{{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{j}}2{\text{π}} nl/N} + \\ &\quad \underset{自干扰信号}{\underbrace{{\beta }_{0}{a}_{m}(n){{\mathrm{e}}}^{-{\mathrm{j}}2{\text{π}} n\Delta f{\tau }_0}{{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{j}}2{\text{π}} nl/N}}} + {\tilde{w}}_{m}(l),\quad\text{ } \end{split}$

(6)

式中： ${\tilde w_m}(l)$ 为采样后的噪声.

将采样信号 ${y_m}(l)$ 进行DFT后可以得到

$\qquad\qquad {r}_{m}(n)=\frac{1}{N}{\displaystyle \sum _{l=0}^{N-1}{y}_{m}(l){{\mathrm{e}}}^{-{\mathrm{j}}2{\text{π}} nl/N}} \text{}=\text{}{\displaystyle \sum _{i=1}^{I}\text{}}{\beta }_{i}{a}_{m}(n){{\mathrm{e}}}^{-{\mathrm{j}}2{\text{π}} n\Delta f{\tau }_{i}}{{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{j}}2{\text{π}} m{f}_{i}{T_{\mathrm{O}}}}\text{} + \text{}\underset{自干扰信号}{\underbrace{{\beta }_{0}{a}_{m}(n){{\mathrm{e}}}^{-{\mathrm{j}}2{\text{π}} n\Delta f{\tau }_{0}}}}\text{} + \text{}{w}_{m}(n),$

(7)

式中： ${w_m}(n) = {{\displaystyle\sum\limits_{l = 0}^{N-1} {{{\tilde w}_m}(l){{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{j}}2{\text{π}} nl/N}}} } / N}$ ，为频域噪声.

为简化符号，定义 ${\phi _i} = {{2{\text{π}} {f_i} T_{\mathrm{O}}}}$ ， ${\varphi _i} = 2{\text{π}} \Delta f{\tau _i}$ ，式（7）可以重写为

${r}_{m}(n)=\text{}{\displaystyle \sum _{i=1}^{I}\text{}}{\beta }_{i}{a}_{m}(n){{\mathrm{e}}}^{-{\mathrm{j}}{n\varphi }_{i}}{{\mathrm{e}}}^{{\mathrm{j}}{m\phi }_{i}}\text{} + \text{}\underset{自干扰信号}{\underbrace{{\beta }_{0}{a}_{m}(n){{\mathrm{e}}}^{-{\mathrm{j}}{n\varphi }_{0}}}}\text{} + \text{}{w}_{m}(l).$

(8)

由式（8）可以看出， ${r_m}(n)$ 包含了 $I$ 个目标的距离和速度信息，但同时也存在SI信号. 由于ISAC系统的接收天线和发射天线距离较近，接收信号中的SI信号强度远大于目标反射的回波信号强度，这会导致雷达信号处理结果中出现虚假目标，并且严重影响对真实目标的距离和速度估计.

2. 基于自干扰消除的回波信号处理

2.1 基于最小二乘的自干扰消除

为便于描述，将接收到的信号 ${r_m}(n)$ 写成矩阵形式. 令 ${\boldsymbol{R}} \in {\mathbb{C}^{M \times N}}$ ，并且 ${[{\boldsymbol{R}}]_{m,n}} = {r_m}(n)$ ，其中， ${[{\boldsymbol{R}}]_{m,n}}$ 表示矩阵 ${\boldsymbol{R}}$ 中第 $m$ 行第 $n$ 列的元素. 定义矢量 ${\boldsymbol{\beta}} = {({\beta _1},{\beta _2}, \cdots ,{\beta _I})^{\text{T}}}$ ， ${{\boldsymbol{v}}_i} = {(1,{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}{\phi _i}}}, {{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}2{\phi _i}}},\cdots ,{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}(M - 1){\phi _i}}})^{\text{T}}}$ ， ${{\boldsymbol{d}}_i} = (1, {{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{j}}{\varphi _i}}} , {{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{j}}2{\varphi _i}}} ,\cdots ,{{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{j}}(N - 1){\varphi _i}}})^{\text{T}}$ ，那么

${\boldsymbol{R}}={\boldsymbol{A}}\odot \left({\displaystyle \sum _{i=1}^{I}{\beta }_{i}{{\boldsymbol{v}}}_{i}\otimes {{\boldsymbol{d}}}_{i}^{\text{T}}}\right) + \underset{自干扰信号}{\underbrace{{\boldsymbol{A}}\odot ({\beta }_{0}{{\boldsymbol{v}}}_{0}\otimes {{\boldsymbol{d}}}_{0}^{\text{T}})}} + {\boldsymbol{W}},$

(9)

式中： $\odot$ 和 $\otimes$ 分别表示Hadamard积和kronecker积； ${\boldsymbol{A}}$ 为调制符号矩阵， ${[{\boldsymbol{A}}]_{m,n}} = {a_m}(n)$ ； ${\boldsymbol{W}}$ 为噪声矩阵， ${[{\boldsymbol{W}}]_{m,n}} = {w_m}(n)$ ； ${{\boldsymbol{v}}_0} = {(1,1, \cdots ,1)^{\text{T}}};{\text{ }}{{\boldsymbol{d}}_0} = (1,{{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{j}}{\varphi _0}}}, {{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{j}}2{\varphi _0}}}, \cdots , {{\mathrm{e}}^{ - {\mathrm{j}}(N - 1){\varphi _0}}})^{\text{T}}$ .

在进行SI消除前，需要去除调制符号的影响. 对于接收端而言，调制符号矩阵 ${\boldsymbol{A}}$ 是已知的.

通过对式（9）中的 ${\boldsymbol{R}}$ 进行元素级除法可有效消除调制符号，即 ${[{\boldsymbol{Z}}]_{m,n}} \triangleq {{{{[{\boldsymbol{R}}]}_{m,n}}} / {{{[{\boldsymbol{A}}]}_{m,n}}}}$ ，进一步地， ${\boldsymbol{Z}}$ 可以表示为

${\boldsymbol{Z}}={\displaystyle \sum _{i=1}^{I}{\beta }_{i}{{\boldsymbol{v}}}_{i}\otimes {{\boldsymbol{d}}}_{i}^{\text{T}}} + \underset{自干扰信号}{\underbrace{{\beta }_{0}{{\boldsymbol{v}}}_{0}\otimes {{\boldsymbol{d}}}_{0}^{\text{T}}}} + {\boldsymbol{N}},$

(10)

式中： ${[{\boldsymbol{N}}]_{m,n}} \triangleq {{{{[{\boldsymbol{W}}]}_{m,n}}} / {{{[{\boldsymbol{A}}]}_{m,n}}}}$ .

将式（10）中 ${\boldsymbol{Z}}$ 向量化，可以得到

${\boldsymbol{z}}\triangleq {{\boldsymbol{f}}_{{\mathrm{vec}}}}\text{(}{\boldsymbol{Z}}\text{)}={\displaystyle \sum _{i=1}^{I}{\beta }_{i}{{\boldsymbol{d}}}_{i}\otimes {{\boldsymbol{v}}}_{i}} + \underset{自干扰信号}{\underbrace{{\beta }_{0}{{\boldsymbol{d}}}_{0}\otimes {{\boldsymbol{v}}}_{0}}} + {{\boldsymbol{f}}_{{\mathrm{vec}}}}({\boldsymbol{N}}),$

(11)

式中： ${{\boldsymbol{f}}_{{\mathrm{vec}}}}$ (·)为向量化运算符.

对于式（11）中的自干扰信号 ${\beta _0}{{\boldsymbol{d}}_0} \otimes {{\boldsymbol{v}}_0}$ ，由于发射天线与接收天线间距 ${d_{{\text{sr}}}}$ 已知，且两天线相对速度为0，因此， ${{\boldsymbol{d}}_0}$ 和 ${{\boldsymbol{v}}_0}$ 是已知的. 只需要求解出SI信号复幅度 ${\beta _0}$ ，就可以重建SI信号，从而消除SI信号的影响. 假设SI信号的时延和多普勒与目标反射引起的时延和多普勒不相关，并且有 $E\left\{ {{\beta _i}{{\boldsymbol{a}}_i}^{\text{H}} {\beta _0}{{\boldsymbol{a}}_0}} \right\} = 0$ . 其中， ${{\boldsymbol{a}}_i} = {{\boldsymbol{d}}_i} \otimes {{\boldsymbol{v}}_i}$ ， ${{\boldsymbol{a}}_0} = {{\boldsymbol{d}}_0} \otimes {{\boldsymbol{v}}_0}$ . SI信号的复幅度 ${\beta _0}$ 的估计值为

${\hat \beta _0} = \mathop {\arg \min }\limits_{\boldsymbol{\beta}} {\left\| {{\boldsymbol{z}} - {\boldsymbol{\beta}} {{\boldsymbol{a}}_0}} \right\|^2}.$

(12)

式（12）是经典的最小二乘估计问题，可得 ${\hat \beta _0} = {\boldsymbol{a}}_0^{\text{H}}{\boldsymbol{z}}/({\boldsymbol{a}}_0^{\text{H}}{{\boldsymbol{a}}_0})$ .

从接收信号 ${\boldsymbol{z}}$ 中减去重构的数字域SI信号z_SI，即可完成SI消除. SI消除后的回波信号为

$\tilde {\boldsymbol{z}} \triangleq {\boldsymbol{z}} - {{\boldsymbol{z}}_{{\mathrm{SI}}}},$

(13)

式中： ${{\boldsymbol{z}}_{{\mathrm{SI}}}} = {\hat \beta _0}{{\boldsymbol{a}}_0}$ .

2.2 自干扰消除后的回波信号处理

自干扰消除后的回波信号 $\tilde {\boldsymbol{z}}$ 可以表示为

$\tilde{{\boldsymbol{z}}}\text={\displaystyle \sum _{i=1}^{I}{\beta }_{i}{{\boldsymbol{d}}}_{i}\otimes {{\boldsymbol{v}}}_{i}} + \underset{残余自干扰信号}{\underbrace{({\beta }_{0}-{\widehat{\beta }}_{0}){{\boldsymbol{d}}}_{0}\otimes {{\boldsymbol{v}}}_{0}}} + {{\boldsymbol{f}}_{{\mathrm{vec}}}}({\boldsymbol{N}}).$

(14)

将 $\tilde {\boldsymbol{z}}$ 矩阵化，可以得到

$\begin{split} &\tilde{{\boldsymbol{Z}}}\triangleq {{\boldsymbol{f}}_{{{\mathrm{vec}}}}^{-1}}(\tilde{{\boldsymbol{z}}}) ={\displaystyle \sum _{i=1}^{I}{\beta }_{i}{{\boldsymbol{v}}}_{i}\otimes {{\boldsymbol{d}}}_{i}^{\text{T}}} +\underset{残余自干扰信号}{\underbrace{({\beta }_{0}-{\widehat{\beta }}_{0}){{\boldsymbol{v}}}_{0}\otimes {{\boldsymbol{d}}}_{0}^{\text{T}}}} + {\boldsymbol{N}},\end{split}$

(15)

式中： ${{\boldsymbol{f}}_{{\mathrm{vec}}}^{-1}}$ (·)为矩阵化运算符，是 ${{\boldsymbol{f}}_{{\mathrm{vec}}}}$ (·)的逆运算.

令 ${{\boldsymbol{v}}_{i,{\mathrm{r}}}} = {{\boldsymbol{F}}_M}{{\boldsymbol{v}}_i}$ ，其中， ${{\boldsymbol{F}}_M}$ 为 $M \times M$ 的DFT矩阵，则向量 ${{\boldsymbol{v}}_{i,{\mathrm{r}}}}$ 的第 $u$ 个元素为

${{{v}}_{i,{\mathrm{r}},u}} = \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {{{\text{e}}^{{\mathrm{j}}m{\phi _i}}}{{\text{e}}^{{{ - {\mathrm{j}}2{\text{π}} mu} / M}}}} = \sum\limits_{m = 0}^{M - 1} {{{\text{e}}^{{\mathrm{j}}{{4{\text{π}} m T_{\mathrm{O}}{f_{\text{c}}}{v_i}} / {{c_0}}}}}{{\text{e}}^{{{ - {\mathrm{j}}2{\text{π}} mu} / M}}}} .$

(16)

在 ${u_i} ={\mathrm{ent}} ( {{{2M T_{\mathrm{O}}{f_{\text{c}}}{v_i}} / {{c_0}}}} )$ 处，式（16）中2个指数项互相抵消， ${{{v}}_{i,{\mathrm{r}},u}}$ 取得峰值.

令 ${{\boldsymbol{d}}_{i,{\mathrm{r}}}} = {\boldsymbol{F}}_N^ * {{\boldsymbol{d}}_i}$ ，其中，(·)^*表示共轭运算，则向量 ${{\boldsymbol{d}}_{i,{\mathrm{r}}}}$ 的第 $k$ 个元素为

$\begin{split} &{{{d}}_{i,{\mathrm{r}},k}} = \sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\text{e}}^{ - {\mathrm{j}}n{\varphi _i}}}{{\text{e}}^{{{{\mathrm{j}}2{\text{π}} kn} / N}}}} =\sum\limits_{n = 0}^{N - 1} {{{\text{e}}^{ - {\mathrm{j}}4{{{\text{π}} n\Delta f{R_i}} / {{c_0}}}}}{{\text{e}}^{{{{\mathrm{j}}2{\text{π}} kn} / N}}}}. \end{split}$

(17)

在 ${k_i} ={\mathrm{ent}}( {{{2N\Delta f{R_i}} / {{c_0}}}})$ 处，式（17）中2个指数项互相抵消， ${{{d}}_{i,{\mathrm{r}},k}}$ 出现峰值.

假设自干扰消除的效果很好，即 ${\beta _0} - {\hat \beta _0} \approx 0$ ，并且忽略噪声的影响，对 $\tilde {\boldsymbol{Z}}$ 进行2D-DFT，可以得到信号处理矩阵 ${\boldsymbol{P}}$ ，如式（18）所示.

${\boldsymbol{P}}={{\boldsymbol{F}}}_{M}\tilde{{\boldsymbol{Z}}}{{\boldsymbol{F}}}_{N}^{\text{H}}={\displaystyle \sum _{i=1}^{I}{\beta }_{i}({{\boldsymbol{F}}}_{M}{{\boldsymbol{v}}}_{i})\otimes {({{\boldsymbol{F}}}_{N}^{\ast }{{\boldsymbol{d}}}_{i})}^{\text{T}}}.$

(18)

由式（16）、（17）知， ${\boldsymbol{P}}$ 在第 ${u_i} = {\mathrm{ent}} ({2M T_{\mathrm{O}}{f_{\text{c}}}{v_i}} / {{c_0}} )$ 行、第 ${k_i} = {\mathrm{ent}}( {{{2N\Delta f{R_i}} / {{c_0}}}} )$ 列处取得峰值. 根据 $I$ 个峰值所在的位置，即可得到 $I$ 个目标对应的距离和速度.

3. 仿真验证

本文采用基于频域元素级除法的2D-DFT对SI消除前后的接收信号进行处理，以获得三维雷达图像. 当目标回波间的时延差较小时，2D-DFT算法产生的目标峰可能会出现融合现象，为SI消除带来一定的挑战. 本节将对比感知目标在不同距离上的SI消除性能. 表1为基于24 GHz ISM频段的OFDM-based ISAC系统参数. 表中：B为带宽，R_max为最大探测距离， $\Delta R$ 为距离分辨率， $V_{\mathrm{max}}$ 为最大探测速度， $\Delta v$ 为速度分辨率.

表 1 OFDM-based ISAC系统参数

Table 1. Parameters of OFDM-based ISAC system

变量	数值
${f_{\text{c}}}$ /GHz	24
M/个	256
N/个	1024
$\Delta f$ /kHz	90.909
$T$ /μs	$11$
${T_{{\text{CP}}}}$ /μs	$1.375$
$T_{\mathrm{O} }$ /μs	$12.375$
$B$ /MHz	93.1
${R_{\max }}$ /m	206
$\Delta R$ /m	1.61
${v_{\max }}$ /（m·s⁻¹）	±252.3
$\Delta v$ /（m·s⁻¹）	1.97

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假设机载通感一体化系统发射天线与雷达接收天线间距 ${R_{{\text{sr}}}} = 1{\text{ m}}$ ，该系统前方存在2个感知目标，两目标的距离相同，为 ${R_{\text{T}}}$ . 其中，目标1相对速度为0，目标2的相对速度为10 m/s. 目标回波功率P_Rx用雷达方程进行计算：

${P_{{\text{Rx}}}} = \dfrac{{{P_{{\text{Tx}}}}G{\sigma _{{\text{RCS}}}}{\lambda ^2}}}{{{{\left( {4{\text{π}} } \right)}^3}{R_{\text{T}}}^4}},$

(19)

式中： ${P_{{\text{Tx}}}}$ 为发射信号功率， $G$ 为天线增益， ${\sigma _{{\text{RCS}}}}$ 为感知目标的雷达散射截面积， $\lambda$ 为载波波长.

假设 ${P_{{\text{Tx}}}}$ =1.0 W，噪声功率 ${P_{\text{N}}}$ =0.1 W， $G$ =0 dB，两感知目标的 ${\sigma _{{\text{RCS}}}}$ 均为3 m². 为突出目标感知结果，对2D-DFT处理结果进行最大值归一化.

场景1　假设两感知目标与机载通感一体化系统间距离 ${R_{\text{T}}} = {\text{13}}{\text{.38 m}}$ ，进行SI消除处理前、后得到的雷达图像如图2所示. 可以看出，感知目标与SI信号间距离较远，不存在耦合，通过SIC处理可以完全去除SI信号在雷达图像中的影响.

图 2 R_T = 13.38 m，SIC处理前、后的雷达图像

Figure 2. Radar images before and after SIC processing when R_T = 13.38 m

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场景2　假设 ${R_{\text{T}}} = 3.72{\text{ m}}$ ，进行SI消除处理前、后得到的雷达图像如所示. 感知目标与SI信号间时延差等效距离 ${R_{{\text{eq}}}} = 2\Delta R = 3.22{\text{ m}}$ ，在雷达图像中存在一定耦合，通过SIC处理依然可以完全去除SI信号的影响.

图 3 R_T = 3.72 m，SIC处理前、后的雷达图像

Figure 3. Radar images before and after SIC processing when R_T = 3.72 m

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场景3　假设 ${R_{\text{T}}} = 1.63{\text{ m}}$ ，进行SI消除处理前、后得到的雷达图像如所示. 感知目标与SI信号间时延差等效距离 ${R_{{\text{eq}}}} = 0.7\Delta R = 1.13{\text{ m}}$ ，SI信号与目标回波信号间存在较强耦合，经过SIC处理后，仍然残留了部分SI信号.

图 4 R_T = 1.63 m，SIC处理前、后的雷达图像

Figure 4. Radar images before and after SIC processing when R_T = 1.63 m

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目标回波信号功率可以由式（19）计算得到. 由于在仿真中两目标的回波信号功率相等，因此，两目标回波信号的信干噪比（signal to interference plus noise ratio, SINR）也相等. 在上述3种场景下，目标回波信号SIC处理前后的SINR数据如表2所示. 综合对比～与中的数据可以观察到，当回波信号间的时延差等效距离 ${R_{{\text{eq}}}} \geqslant 2\Delta R$ 较大时，信号间耦合程度相对较低. 经过本文提出的自干扰消除算法处理后，目标回波的SINR有近10.00 dB的提升，有效消除了回波信号中的自干扰成分. 反之，当信号间的时延差进一步缩短，信号间耦合程度上升，最小二乘自干扰消除算法仅能部分消除信号中的自干扰成分，但仍然具有不错的干扰抑制效果. 目标回波经过SIC处理后，其SINR得到了4.33 dB的改善. 上述对比结果证明了本文算法的有效性.

表 2 SIC处理前后SINR

Table 2. SINRs before and after SIC processing dB

R_T/m	目标 1		目标 2
R_T/m	SIC 前	SIC 后	SIC 前	SIC 后
13.38	−32.93	−23.73	−32.93	−23.73
3.72	−7.03	2.18	−7.03	2.18
1.63	2.51	6.84	2.51	6.84

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4. 结　论

针对机载通信感知一体化系统的自干扰问题，本文在OFDM-based ISAC信号模型中引入自干扰信号，并提出一种基于最小二乘思想的自干扰消除方法. 仿真结果表明，所提算法能够为目标回波信号的SINR带来近10.00 dB的提升，避免自干扰信号在雷达图像中形成虚假目标. 经过本文算法处理后，自干扰信号功率被抑制到噪声功率水平，有效提高了OFDM-based ISAC系统的感知性能.

图 1 刚性双偏置圆盘转子-磁轴承系统模型

Figure 1. Model of a rigid double offset disc rotor-magnetic bearing system

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图 2 圆盘1形心和重心位置关系

Figure 2. Relationship between shape center and gravity center for disc 1

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图 3 动力学模型仿真

Figure 3. Dynamics model simulation

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图 4 转子受冲击后轴心轨迹

Figure 4. Axial trajectory of rotor subjected to impact

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图 5 不同转速下径向磁轴承处位移、电流稳态响应

Figure 5. Steady-state response of displacement and current at radial magnetic bearing at different rotational speeds

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图 6 不同转速下混合磁轴承处位移、电流稳态响应

Figure 6. Steady-state response of displacement and current at hybrid magnetic bearing at different rotational speeds

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图 7 不同噪声影响下计算的不对中量误差百分比

Figure 7. Percentage of misalignment error calculated under different noise interferences

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表 1 系统结构参数与仿真参数

Table 1. System structure parameters and simulation parameters

参数	数值	参数	数值
m/kg l/m	3.910 0.400	s₀/mm	0.400
m_d1/kg	1.065	δ_x1，δ_x2/mm	0.140，0.150
m_d2/kg	2.081	δ_y1，δ_y2/mm	0.160，0.145
e₁，e₂/μm	80，100	δ_z2，Δ_x1/mm	0.130，0.100
${e_{{\textit{z}}1}}，{e_{{\textit{z}}2}}$ /μm	8，10	Δ_y1，Δ_x2/mm	0.130，0.120
β₁，β₂/（°）	20，30	Δ_y2，Δ_z2/mm	0.110，0.150
I_d/（kg·m²）	0.0455	K_P/（A·m⁻¹）	5500
a₁/mm	0.226	K_I/（A·（m·s）⁻¹）	8000
a₂/mm	0.174	K_D/（A·s·m⁻¹）	3
b₁/mm	0.126	R t/ms	20 6
I_p1/（kg·m²）	0.0019	b₂/mm	0.074
I_p2/（kg·m²）	0.0059

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表 2 频域下的径向磁轴承处转子位移和控制电流响应

Table 2. Rotor displacement and control current response at radial magnetic bearing in frequency domain

频率/ Hz	i	位移		电流
频率/ Hz	i	幅值/A	相位/（°）	幅值/m	相位/（°）
30	0	3.69 × 10⁻⁹	−16.09	0.929	−132.73
30	1	1.36 × 10⁻⁴	−32.43	0.754	152.99
35	0	1.13 × 10⁻⁹	112.79	0.930	−133.20
35	1	1.83 × 10⁻⁴	−61.97	1.016	124.49

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表 3 无噪声影响下不对中量实际值和估计值比较

Table 3. Comparison of actual and estimated values of misalignment without noise interference

不对中量	实际值/mm	估计值/mm	误差/%
δ_x1	0.140	0.1388	−0.857
δ_y1	0.160	0.1575	−1.563
δ_x2	0.150	0.1439	−4.067
δ_y2	0.145	0.1456	0.414
δ_z2	0.130	0.1285	−1.154

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1. 信号模型
2. 基于自干扰消除的回波信号处理
2.1 基于最小二乘的自干扰消除
2.2 自干扰消除后的回波信号处理
3. 仿真验证
4. 结　论

冲击激励下轴线失准转子-磁轴承系统不对中定量研究

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20230454

作者简介: 肖玲（1983—） ，女，教授，博士，研究方向为电磁轴承、高速电机转子、软磁复合材料，E-mail：xiaoling@xust.edu.cn

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