Modeling of High-Speed Maglev Linear Synchronous Motors Considering Influence of Suspension System
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摘要:
为提高高速磁浮直线同步电机模型精度，基于电磁铁模块磁共能重构，提出一种计及悬浮系统影响的分布参数建模方法. 首先，建立高速磁浮列车电磁铁模块的有限元模型，利用有限元数值分析获取电磁铁模块在不同工况下的磁共能数据，通过对磁共能进行傅里叶级数展开及多项式拟合构建磁共能的解析模型；其次，根据磁共能解析模型推导电磁铁模块的磁链、电压和推力方程；然后，根据列车编组数量和电磁铁模块数量分别建立左右两侧直线同步电机的数学模型，并通过运动学方程计算高速磁浮列车位置和速度；最后，通过硬件在环仿真系统进行实验验证. 试验结果表明：本文所提建模方法与传统建模方法相比，推力波动幅值增加超过6.8%；并且所提方法可以准确表征悬浮系统对牵引控制的影响，当励磁电流谐波幅值增加0.5、1.0、2.0 A时，推力波动幅值分别最大增加54.3%、26.2%、83.7%；当励磁电流谐波频率为5、10、20 Hz时，推力的谐波频率最大达到5.14%，21.75%和14.17%.
Abstract:To enhance the modeling accuracy of high-speed maglev linear synchronous motors, a distributed parameter modeling method considering the influence of the suspension system was proposed based on the magnetic co-energy reconstruction of the electromagnetic module. Firstly, a finite element model of the electromagnetic module of a high-speed maglev train was established. Finite element numerical analysis was conducted to obtain magnetic co-energy data of the electromagnet module under different operating conditions. The magnetic co-energy was then subjected to Fourier series expansion and polynomial fitting to construct an analytical model of the magnetic co-energy. Subsequently, based on the analytical model of the magnetic co-energy, equations for the flux linkage, voltage, and thrust force of the electromagnetic module were derived. Then, mathematical models for the left and right linear synchronous motors based on the number of train formations and the number of electromagnetic modules were established, and the position and velocity of the high-speed maglev train were calculated through kinematic equations. Finally, the proposed modeling method was validated through experiments using a hardware-in-the-loop simulation system. The experimental results indicate that compared to traditional modeling methods, the proposed modeling method increases the amplitude of thrust fluctuations by more than 6.8%. Moreover, the proposed method can accurately characterize the influence of the suspension system on traction control. When the harmonic amplitude of the excitation current increases by 0.5 A, 1.0 A, and 2.0 A, the maximum increase in the amplitude of thrust fluctuations is 54.3%, 26.2%, and 83.7%, respectively. Furthermore, when the harmonic frequency of the excitation current is at 5 Hz, 10 Hz, and 20 Hz, the harmonic frequency of the thrust reaches up to 5.14%, 21.75%, and 14.17%, respectively.
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Key words:
- magnetic levitation /
- linear motors /
- traction control /
- suspension system /
- modeling method
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高速磁浮具有高速快捷、运能强大、安全可靠、适应性好、绿色环保等优势，适用于中长途运输，能促进城际间同城化发展，也适用于大型城市群内部快速通勤. 相对高速轮轨铁路，高速磁浮列车摆脱了车轮与轨道黏滞系数的限制，能更经济地达到更高的速度[1-2].
长定子直线同步电机（LSM）具有高速度、高效率等优点，被应用于常导高速磁浮列车中. 同时，实现列车的牵引与悬浮. 悬浮系统通过动态调节励磁电流保持悬浮气隙的恒定[3-6]，但是，励磁电流的变化会改变气隙磁场，从而引起推力波动[7-8]. 此外，高速磁浮列车在换步过程中会产生电流波动，也会引起推力波动[9-10]. 另一方面，直线电机的齿槽效应[11]和端部效应[12]等也会带来推力波动问题. 推力波动直接作用在磁浮列车上会产生振动，降低列车的乘坐舒适性. 磁悬浮车辆作为机械结构有机械固有频率，当推力波动频率与机械频率接近时，激发列车结构共振，影响列车安全运行[13]. 因此，对高速磁浮直线同步电机进行精确建模可为后续推力波动抑制方法设计与仿真打下基础.
传统的直线电机数学模型一般为集中参数模型[14]. 为考虑磁饱和与交叉饱和现象，可以将电感表示为电流的多项式函数，进一步提升模型精度[15]. 然而，集中参数模型基于线性化假设，无法准确体现推力波动现象，该建模方法具有一定局限性. 为反映电磁场中的电机谐波和非线性问题，研究人员提出一些利用磁场分析的先进半解析模型. 基于有限元分析结果和适当的基函数，场重构方法可以准确描述非饱和条件下磁场中的谐波特性[16]. 磁链重构的电机建模方法可以准确预测磁饱和情况下的转矩脉动[17]. 由于电机的磁链与电压、磁力和机械的动态方程均可通过磁共能进行描述[18]，因此，磁共能的电机解析数学模型在简洁性与准确性上具有明显优势. 磁共能重构的方法被应用于开关磁阻电机[19]、直流励磁磁通切换电机[20]和旋转永磁同步电机[21]，该方法可准确描述电机转矩脉动与磁饱和现象. 文献[22]将基于磁共能重构的分布参数建模方法应用于高速磁浮直线同步电机，验证分布参数建模方法可以精确表征磁场谐波及铁芯磁饱和对牵引控制的影响，但并未考虑高速磁浮实际运行中悬浮系统对牵引控制的影响.
集中参数推导的传统高速磁浮直线同步电机数学模型忽略悬浮系统调节、直线电机谐波和非线性特性的影响，导致模型精度不高，本文针对该问题，提出计及悬浮系统影响的高速磁浮直线同步电机分布参数建模方法. 通过仿真和硬件在环实验，验证本文所提建模方法的正确性.
1. 传统LSM建模方法
常导高速磁浮列车车厢底部装有多个电磁铁模块，末节车厢每侧包含7.5个标准电磁铁模块，而中间车厢为8.0个. 电磁铁模块不仅提供悬浮力，同时与轨道上的定子铁芯和线圈构成电励磁长定子直线同步电机.
长定子直线同步电机的定子为分段结构，牵引变电站对不同的定子段分段供电. 因此，随着列车位置发生变化，直线电机的漏感、电阻以及线路阻抗参数等都会发生变化. 在建立长定子直线同步电机的数学模型时，需要将其分为3部分考虑：列车覆盖定子段部分、列车未覆盖部分定子段、轨旁馈电电缆部分.
首先，建立覆盖部分的d、q轴电压和磁链方程：
{udis=risid+pψdis−ψqisπv/τ,uqis=risiq+pψqis+ψdisπv/τ,ψdis=Ldisid+ψm,ψqis=Lqisiq, (1) 式中：udis和uqis分别为覆盖部分的d、q轴电压，id和iq分别为定子d、q轴电流，ψdis和ψqis分别为d、q轴磁链，ψm为动子励磁磁链，Ldis、Lqis分别为列车覆盖部分直线同步电机的d、q轴电感，p为微分算子，ris为覆盖部分的电阻，τ为悬浮电磁铁极距，v为列车运行速度.
磁极未覆盖部分的定子绕组电压和磁链方程为
{udos=Rosid+pψdos−ψqosπv/τ，uqos=Rosiq+pψqos+ψdosπv/τ，ψdos=(Los+Lon)id，ψqos=(Los+Lon)iq，Ros=ros+ron， (2) 式中：udos和uqos分别为列车磁极未覆盖部分d、q轴的定子绕组电压，ψdos和ψqos分别为列车磁极未覆盖部分d、q轴的定子绕组磁链，Los为磁极未覆盖部分定子绕组总漏感，Lon为馈电电缆的等效电感，Ros为磁极未覆盖部分总电阻，ros为磁极未覆盖部分绕组上的电阻，ron为馈电电缆等效电阻.
高速磁浮列车运动学方程为
{mdvdt=Fx−Fz,S=∫vdt, (3) 式中：m为列车质量，Fx为推力，Fz为阻力[23]，S为行驶距离，t为时间.
2. 基于磁共能重构的LSM建模方法
2.1 电磁铁磁共能特性分析
本文利用有限元软件建立电磁铁模型，二维模型如图1，参数如表1所示.
表 1 电磁铁模块主要参数Table 1. Main parameters of electromagnet module参数名称 数值 参数名称 数值 额定励磁电流/A 20 动子极距/mm 266.5 定子绕组匝数/匝 1 铁芯厚度/mm 185 励磁绕组匝数/匝 270 定子槽距/mm 86 定子极距/mm 258 额定气隙/mm 10 电磁铁模块的磁共能计算式为
Wc(Is,If,β,x)=∫ρcoe(Is,If,β,x)dV, (4) 式中：Wc(·)为磁共能，Is为定子电流幅值，If为励磁电流幅值，β为定子电流相角，x为电磁铁位置，ρcoe为磁共能密度，V 为 电磁铁模块耦合段的体积.
考虑到磁浮列车采用多点悬浮控制，悬浮间隙可以稳定于额定气隙附近，但是励磁电流往往波动较大. 因此，本文重点考虑励磁电流波动对模型的影响.
不同工况下磁共能分布如图2所示. 由图2可知：磁共能在定子电流相角上的周期为2π，在动子位置角上的基波周期为π/3.
2.2 改进的电磁铁磁共能数学模型
根据磁共能在定子电流相角和动子位置角2个维度上的周期性，对所有磁共能数值解进行二维傅里叶级数展开，如式（5）.
Wc=N1∑k1=−N1N2∑k2=−N2Wck1k2(Is,If)ej6k1πxτ+jk2β, (5) 式中：$ {\text{W}}_{\text{c}{{k}}_{\text{1}}{{k}}_{\text{2}}} $(·)为x的第k1次，β的第k2次傅里叶系数，同时也是定子电流和励磁电流的多项式；N1和N2分别为磁共能在x和β维度上的最高阶次.
考虑到磁共能主要为基波和低次谐波，将N1和N2分别设定为磁共能在x、β维度上的最高阶次.
式（5）中的磁共能可以用矢量形式来表达，首先定义傅里叶基向量为
{V(x)=[e−j6N1πxτe−j6(N1−1)πxτ⋯ej6(N1−1)πxτej6N1πxτ]T,U(β)=[e−jN2βe−j(N2−1)β⋯ej(N2−1)βejN2β]. (6) 设计式（7）所示的二元多项式对式（5）中的傅里叶系数进行拟合.
Wck1k2(Is,If)=N3∑I=0N3−J∑J=0W(I)(J)ck1k2IIsIJf， (7) 式中：N3为定子电流和励磁电流的最高阶次，I和J分别为定子电流和励磁电流的阶次.
化简后的磁共能解析式为
Wc=U(β)Wck1k2(Is,If)V(x). (8) 对式（8）所示的磁共能模型求d、q轴电流的偏导数，即可得到定子d、q轴系下磁链的表达式为
{ψd(Is,If,β,x)=∂Wc(Is,If,β,x)∂id,ψq(Is,If,β,x)=∂Wc(Is,If,β,x)∂iq. (9) d、q轴下的电压可表示为
[uduq]=[idiq]ris + [dψddtdψqdt]+πτ˙x[−ψqψd]. (10) 则电磁铁模块的推力为
Fx=32∂Wc(Is,If,β,x)∂x. (11) 2.3 高速磁浮直线同步电机模型
高速磁浮直线同步电机建模方法如图3所示. 图中：k为当前时刻，k + 1为下一时刻；ifSM(k)为每个电磁铁模块的励磁电流；Fxn为第n个电磁铁模块的推力大小；Fxl和Fxr分别为左侧和右侧的电磁铁模块推力；FxL、FxR为高速磁浮列车左、右侧直线电机的推力，通过计算所有电磁铁模块的推力之和就可以得到左、右两侧直线电机的推力；NSM为高速磁浮列车电磁铁模块数量. 首先，根据列车编组配置，计算NSM；其次，计算逆变器输出的d、q轴电压，并根据式（2）计算出未覆盖部分的电压；随后，得到覆盖部分的电压，并均分到每个电磁铁模块；根据式（10），可以由电压方程计算得到d、q轴电流；接着，计算出每个电磁铁模块的推力；再次，根据列车编组数以及当前速度，计算列车的阻力；最后，左右两侧直线电机推力相加可以得到总的推力，并根据式（3）最终计算得到列车位置和速度.
图 3 高速磁浮直线同步电机建模流程Figure 3. Modeling flowchart of high-speed maglev linear synchronous motor3. 仿真与实验验证
3.1 仿真验证
通过MATLAB软件可以将式（8）计算得到的磁共能与有限元仿真获得的磁共能进行对比. 为验证磁共能重构模型在一个仿真周期内总的精度，本文采用均方根误差表示磁共能模型和有限元仿真结果之间的偏离程度. 图4是所有电流工况点下的磁共能误差分布情况，除了在边界点由于多项式拟合的边界效应导致磁共能误差略大外，其他工况下磁共能误差均低于0.1 J，说明本文拟合的磁共能模型精度较高.
图 4 不同电流工况下的磁共能误差分布Figure 4. Distribution of magnetic co-energy error under different current conditions3.2 试验验证
在实验室中搭建基于RT-LAB的高速磁浮直线同步电机的硬件在环仿真平台，如图5所示. 图中：i为电流. 牵引系统在RT-LAB仿真机中，控制器芯片为TI的TMS320F28379D. 控制器和RT-LAB之间的通信通过一块接口板实现，接收RT-LAB中的速度和电流等模拟量，向RT-LAB发送控制指令.
3.2.1 不同电磁铁模块数量的对比
本文提出的方法可以通过配置电磁铁模块的数量以模拟不同列车编组数的牵引工况. 图6显示了当列车编组设置为3、5、8时加速过程中的推力. 在3种编组情况下，电磁铁模块数量分别为23、39、63个. 3种情况下的平均推力分别为175、190、210 kN. 可以发现：高速磁浮列车在相同的加速度下，随着列车数量的增加会导致车身重量的增加，因此，为保证相同的加速度，推力也会随之增加；推力波动会随着推力幅值的增加而增加，因此，随着编组数量的增加，推力波动会进一步加剧.
3.2.2 不同建模方法的对比
图7是传统集中参数模型和所提出的建模方法下的推力对比结果. 可以发现：在3个阶段下，2种建模方法的平均推力是大致相等的，分别为190、38、−135 kN；通过计算得到的基于集中参数模型的推力波动分别为22.10、21.00、26.40 kN，所提方法的推力波动分别为37.30、28.45、28.20 kN，基于磁共能重构方法的推力波动在3个阶段均大于传统方法. 这是由于有限元计算得到的磁共能在一个基波周期内沿动子位置以6倍基波频率波动，并且关于电流矢量相角也是周期性的，波动的幅值受定子电流和励磁电流大小影响. 同时，传统集中参数表示的磁共能难以处理齿槽效应、端部效应和铁芯饱和造成的变化，而这些变化特征可以利用二维傅里叶向量和多项式系数矩阵来表示，如式（6）和式（7）所示. 通过建立磁共能解析模型，所提方法可反映出电机电磁场中的电机谐波和非线性问题.
3.2.3 不同励磁电流的对比
为验证悬浮系统对牵引控制的影响，在所有电磁铁模块的额定励磁电流值上叠加一个谐波电流来模拟不同的励磁电流. 设置3组不同幅值和频率的励磁电流谐波：幅值为0.5 A，频率为5 Hz（谐波1）；幅值为1.0 A，频率为10 Hz（谐波2）；幅值为2.0 A，频率为20 Hz（谐波3）. 不同阶段时的推力对比如图8所示. 由图可知，谐波3对应的推力波动最大，谐波1对应的推力波动最小. 表2列出3种励磁电流谐波时在加速、匀速和减速阶段时的推力波动和主要频率的占比. 可以发现：随着励磁电流波动幅值的增加，推力波动幅值也随之增加；推力的波动频率也与励磁电流的谐波频率相近.
图 8 不同励磁电流谐波时的推力对比Figure 8. Comparison of thrust force at different excitation current harmonics表 2 不同励磁电流时的推力谐波含量和波动对比Table 2. Comparison of thrust harmonics and fluctuations at different excitation currents阶段 类型 推力谐波占比/% 推力波动/kN f =5 Hz f =10 Hz f =20 Hz 加速 谐波 1 1.43 0.21 0.10 25.60 谐波 2 0.54 2.48 0.30 32.40 谐波 3 0.29 0.16 5.14 39.30 匀速 谐波 1 4.48 2.04 1.27 20.69 谐波 2 1.84 9.66 1.43 26.45 谐波 3 2.10 0.63 21.75 31.46 减速 谐波 1 3.86 0.10 1.01 22.00 谐波 2 0.59 7.98 0.37 33.40 谐波 3 0.48 0.63 14.17 48.50 综合上述：当高速磁浮列车处于匀速运行时仅需要克服阻力，推力的幅值不大，但推力波动所占比例较大；当高速磁浮列车在加速和减速时，此时定子电流较大，推力波动幅值也比较大，但是，推力波动所占比例不大；不管是加速、匀速和减速工况，悬浮系统的调节都加剧了推力波动，并且在推力中引入了励磁电流同频的谐波，这将带来共振的危害. 针对悬浮系统导致的推力波动问题，一方面可以进一步优化悬浮系统的控制，降低悬浮系统对牵引控制的影响；另一方面，则需要改进高速磁浮的牵引控制，减小悬浮系统调节导致的推力波动问题.
4. 结 论
针对集中参数模型难以表征高速磁浮悬浮系统的调节，电机谐波和非线性特性对牵引控制的影响，本文提出一种考虑悬浮系统影响的分布参数模型，通过对模型研究分析，得到以下结论：
1） 所提出方法可以通过配置高速磁浮电磁铁模块的数量反映不同列车编组时的牵引特性.
2） 与传统的集中参数模型相比，所提方法通过有限元获取磁共能数值解来建立直线同步电机数学模型，考虑电机的空间谐波以及铁芯的饱和效应，模型精度更高.
3） 高速磁浮直线同步电机推力波动幅值随着励磁电流谐波幅度的增大而增大，并且推力的波动频率与励磁电流的谐波频率相关.
本文提出的分布参数建模方法可以准确地表征悬浮系统对牵引控制的影响，是实现推力波动抑制的基础，有利于提高高速磁浮牵引控制性能.
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图 3 高速磁浮直线同步电机建模流程
Figure 3. Modeling flowchart of high-speed maglev linear synchronous motor
图 4 不同电流工况下的磁共能误差分布
Figure 4. Distribution of magnetic co-energy error under different current conditions
图 8 不同励磁电流谐波时的推力对比
Figure 8. Comparison of thrust force at different excitation current harmonics
表 1 电磁铁模块主要参数
Table 1. Main parameters of electromagnet module
参数名称 数值 参数名称 数值 额定励磁电流/A 20 动子极距/mm 266.5 定子绕组匝数/匝 1 铁芯厚度/mm 185 励磁绕组匝数/匝 270 定子槽距/mm 86 定子极距/mm 258 额定气隙/mm 10 
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表 2 不同励磁电流时的推力谐波含量和波动对比
Table 2. Comparison of thrust harmonics and fluctuations at different excitation currents
阶段 类型 推力谐波占比/% 推力波动/kN f =5 Hz f =10 Hz f =20 Hz 加速 谐波 1 1.43 0.21 0.10 25.60 谐波 2 0.54 2.48 0.30 32.40 谐波 3 0.29 0.16 5.14 39.30 匀速 谐波 1 4.48 2.04 1.27 20.69 谐波 2 1.84 9.66 1.43 26.45 谐波 3 2.10 0.63 21.75 31.46 减速 谐波 1 3.86 0.10 1.01 22.00 谐波 2 0.59 7.98 0.37 33.40 谐波 3 0.48 0.63 14.17 48.50
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