Modeling and Simulation of a Novel Heteropolar Radial Hybrid Magnetic Bearing
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摘要:
针对高速电机和飞轮储能系统等对空间利用率要求较高的场合，提出一种新型异极径向混合磁轴承(Heteropolar radial hybrid magnetic bearing，HRHMB). 首先，建立该磁轴承的等效磁路模型，通过解析磁场得出其电流刚度、位移刚度及电磁力，并通过有限元仿真验证其有效性；然后，在相同约束条件下与传统偏置磁轴承进行对比，分析磁轴承的刚度特性和空间利用率；最后，通过有限元仿真研究新型磁轴承径向两自由度间的电磁力耦合，并与传统磁轴承进行对比. 研究结果表明：在相同承载力等约束条件下，该新型磁轴承的体积仅为传统磁轴承的0.87倍，其电磁力在控制电流和转子位移影响下的相对误差值为6.5%，而传统磁轴承的电磁力相对误差为13.6%，表明新型磁轴承径向两自由度的电磁力耦合小于传统磁轴承，解耦效果良好.
Abstract:For environments with high space utilization rate requirements such as high-speed motors and flywheel energy storage systems, a novel heteropolar radial hybrid magnetic bearing (HRHMB) was proposed. Firstly, the equivalent magnetic circuit model of the new magnetic bearing was established, and the current stiffness, displacement stiffness, and electromagnetic force were obtained by analyzing the magnetic field. The effectiveness was verified by finite element simulation. Then, the stiffness characteristics and space utilization rate of the magnetic bearing were analyzed by comparison with the traditional biased magnetic bearing under the same constraint conditions. Finally, the electromagnetic force coupling between two degrees of freedom in the radial direction of the novel magnetic bearing was studied by finite element simulation and compared with the traditional magnetic bearing. The results show that the volume of the novel magnetic bearing is only 0.87 times that of traditional magnetic bearing under the same bearing capacity and other constraints. At the same time, under the influence of control current and rotor displacement, the relative error value of the electromagnetic force for the novel magnetic bearing is 6.5%, while that for the traditional magnetic bearing is 13.6%. The radial two-degree-of-freedom electromagnetic force coupling of the new magnetic bearing is smaller than that of the traditional magnetic bearing, and the decoupling effect is good.
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输电线路作为生命线工程之一，其正常运行是各行各业正常运转的基础. 当前，许多在役输电塔已服役多年. 由于受各种外界因素的作用，服役中的铁塔构件不可避免的会出现各种损伤或缺陷. 台风和极端天气作用下输电塔倒塌事故时有发生[1-2]. 为保证输电线路的安全性，需要对原有线路进行重新设计或者对在役铁塔进行加固. 铁塔的原址重建或整个线路的重新设计均会耗费大量财力、物力，因此，输电塔的加固成为一个重要的研究领域.
应用较多的输电塔加固技术为增大截面技术，即通过连接件的形式对原角钢进行加固. 其截面形式主要有十字型、Y型和T型等. 针对十字型加固截面，韩军科等[3-10]通过试验和仿真分析研究了组合截面的加固方式以及夹具数目等相关参数对承载力的影响. 针对Y型加固截面，魏鸣宇等[11-13]提出焊接或非焊接的Y型加固方式，并进行了相关的理论分析、构件试验以及真型试验验证. 针对T型加固截面，杨正等[14-17]通过试验对加固方案的相关参数进行了详细分析，同时，对加固后的输电塔进行了试验[18]及仿真分析. 除以上主流的附加角钢加固截面外，对Z字型[19]、外包角钢[20]、箱型截面[21]、角钢夹内槽钢或填板[22]等加固方式也展开了相关的研究.
以上的加固试验及仿真研究大多是基于两端铰接的边界条件以及双肢连接的连接方式，这样的简化与输电塔主材在输电塔的简化受力状态相符合. 在输电塔倒塌机理研究中，通过真型试验和仿真分析[23-28]，输电塔斜材被证实其面外变形会对整体结构的破坏产生重要影响，并且在某些荷载工况下为首先破坏的杆件. 输电塔斜材连接肢沿长度方向存在多个节点，T型加固的方法可以做到全长加固. 而应用于斜材的加固方法除T型加固外，Sun等[29]提出利用2个C型或U型轻钢截面组合成箱型的约束装置；Chen等[30]提出利用夹具固定钢管的加固方式；Li等[31]提出在角钢中部利用夹具固定钢板的加固方式. 斜材T型加固已经取得了相应工程应用，但另外3种加固方式目前还未直接应用于工程实践.
目前，针对斜材加固方案的研究均在双肢连接基础上对夹具的数目等相关参数[14-16]进行分析. 斜材通过螺栓借助节点板与主材连接，处于单面连接偏心受压的状态. 非连接肢的受力相较于双肢连接的任意一肢小. 针对单面连接的连接特点，加固方案对夹具的紧固作用需求更小，其需要开展更深一步的研究.
因此，本文的研究对象为T型加固角钢构件[14]，基于组合梁理论构建平衡微分方程，得到组合角钢弯矩与挠度之间的关系式，并基于两端铰接的假定得到T型加固角钢的抗弯刚度系数. 然后进行了单面连接角钢T型加固构件试验，分析不同夹具数目对承载力的影响，并结合有限元模型分析长细比、宽厚比和材料强度对加固方案的影响，给出单面连接T形加固的设计方法.
1. 基于组合梁理论的加固理论模型
1.1 基本假定
在受到弯矩作用时，如图1所示的T型加固组合截面角钢构件类似于组合梁，其中，附加角钢发挥的是组合梁中钢梁的作用，处于受拉状态. 而夹具固定以及原角钢和附加角钢接触面由于紧固作用产生的摩擦力相当于外包混凝土组合梁的黏结力或抗剪连接件的剪力，使加固组合角钢弯曲变形协调，共同承担弯矩作用[32].
本节参考考虑接触面相对滑移的组合梁模型中的Newmark模型基本假定，来分析加固对结构抗弯刚度的影响：
假定1： 原角钢和附加角钢在受力过程中始终保持接触.
假定2： 采用Euler-Bernouulii假定，弯矩作用下，主角钢和附加角钢保持相同的曲率，忽略其剪切变形.
假定3： 夹具等效为分布在连接面的黏结层，其单位长度的抗剪刚度为Ks，单位长度的剪力为Vs，相对滑移的大小为Δu，则Vs=KsΔu.
1.2 建立平衡方程
在T型加固组合构件承载过程中，轴力以及均布风荷载始终施加在原构件，取原构件的一部分为隔离体进行受力分析（图2），列出其平衡方程. 图2中：N1、V1、M1分别为原角钢的轴力、剪力和弯矩，N2、V2、M2分别为附加角钢的轴力、剪力和弯矩，dN、dV、dM(x) 分别为微元轴力、剪力及截面弯矩增量，dN1、dV1、dM1（dN2、dV2、dM2 ）分别为原角钢微元（附加角钢微元）的轴力、剪力和弯矩，dx为微元的长度. N、M(x)、V、q(x) 分别为外荷载中的轴力、弯矩、剪力和分布荷载，q0(x)为附加角钢提供给原角钢的侧向力，e为原角钢形心到附加角钢形心的距离.
平衡方程如下：
N=N1+N2， (1) M(x)=M1+M2+N1e−Ne， (2) dN1=−Vsdx. (3) 忽略剪切变形及梁轴线缩短的影响，构件轴线的曲率w为
w=−E1I1/M1， (4) w=−E2I2/M2， (5) 式中：w为构件横坐标x处z方向的变形，E1（E2）、I1（I2）为原角钢（附加角钢）的弹性模量、惯性矩.
定义E0I0=E1I1 + E2I2，由式（2）、（4）、（5）可得
M1=E1I1E0I0(M(x)−N1e+Ne)， (6) N1=1e(E0I0w+M(x)+Ne). (7) 1.3 考虑接触面的相对滑移
定义上梁形心处的坐标为（x,e1,−e1），对应的轴向位移为u1；定义下梁形心处的坐标为（x, e2, −e2），对应的轴向位移为u2，e1、e2分别为原角钢和附加角钢的形心距，如图3所示.
图 3 轴向和横向力作用下接触面的相对滑移Figure 3. Relative slip of contact surface under axial and transversal forces因此，在弯曲变形时任一点的轴向位移Δu为
Δu=u2−u1+w′e， (8) 式中：e= e1 + e2.
对式（8）求导可得
(Δu)′=ε2−ε1+w″e， (9) 式中：ɛ1、ɛ2分别为上、下微元的应变.
1.4 T型加固构件抗弯刚度分析
将式（3）、（7）代入Vs=KsΔu可得
N″1=−Ks(−N1E2A2−N1E1A1+N1e2E0I0)−Ks(NE2A2−Ne2E0I0)+KsM(x)eE0I0， (10) 式中：A1、A2为原角钢和附加角钢的截面面积.
由式（7）可得
N″1=1e(E0I0w(4)+M″(x)). (11) 将式（11）代入式（10）可得
M(x)=EeqIeqα2w(4)−EeqIeqw″−E2A2EAA0Ne−EeqIeqE0I0α2q(x)， (12) EeqIeq=E0I0−EmAme2EAA0， (13) α2=Ks(EAA0EmAm−e2E0I0)， (14) 式中：EAA0=E1A1 + E2A2；EmAm=E1A1 + E2A2.
假设结构的边界条件为两端铰接，对于结构的变形曲线，可以考虑
w=a1sin(πlx)， (15) 式中：l为构件的长度，a1为杆件中点的挠度.
忽略分布荷载的影响，并假定T型加固附加角钢的属性和尺寸与原角钢完全一致，将式（15）代入式（12）可得
12Ne+M(x)=−[(π2E1A1Ksl2+2)−A1e22I1]E1I1w″. (16) 式（16）左侧代表位置x处受到的弯矩和，右侧则是由组合构件变形产生的内弯矩. 定义抗弯刚度提高系数αI如式（17）所示，表示T型加固对于结构抗弯刚度的提高程度.
αI=(π2E1A1Ksl2+2)−A1e22I1. (17) 1.5 T型加固构件抗弯刚度提高系数分析
以长度为1 480 mm的T型加固角钢构件为例，E=2.06 × 105 MPa. 假设Ks范围为10～100 MPa. 3种常用角钢截面的抗弯刚度提高系数随抗剪刚度变化如图4所示. 接触面的摩擦力随着荷载的增大而增大，Ks随着轴力的增大而增大. 随着荷载的增大，摩擦力会逐渐达到一个最大值，也就是其最大静摩擦力. 从图4可以看出，抗弯刚度的提升效果是随着荷载的增大而减小的，截面宽度越大，其抗弯刚度提高系数越大.
图 4 抗弯刚度提高系数随Ks的变化Figure 4. Variation of flexural stiffness improvement coefficient with Ks双面连接T型角钢的传力效率为15%～35%[15]，传力效率为附加角钢轴力与外荷载的比值. Ks与附加角钢的轴力可由假定3与式（1）、（3）得出
Ks=N2lΔu， (18) 式中：Δu参考钢-混凝土抗剪连接件的试验[33]取为0.2 mm.
在Ks为10～100 MPa区间内，抗弯刚度提高系数均在3.833以上，说明在达到极限荷载前加固对构件抗弯刚度的提升是显著的，而且大于两个角钢独立的抗弯刚度，即提高系数为2.
由式（18）可知，单位长度的抗剪刚度与附加角钢的轴力正相关. 输电塔主材的长细比均在100以下，截面尺寸较大，因此，附加角钢承受的荷载较大，需要夹具提供的抗剪刚度更高，需要的夹具数目更大，才能实现抗弯刚度提升的目的. 而输电塔单面连接斜材的长细比在100～200，截面尺寸较小，接触肢承担的轴力更小，导致附加角钢承受的荷载偏小，无需更大的抗剪刚度. 因此，对于单面连接斜材T型加固方案夹具的数目的选择需要开展更深入的研究.
2. 单面连接角钢构件T型加固试验
2.1 试件设计
在上世纪九十年代中国大量建设的输电杆塔中宽度为40 mm，厚度为4 mm的等边角钢截面被广泛用于输电塔交叉斜材构件. 迄今为止，随着中国设计规范对杆塔结构安全性要求的提高以及杆塔结构老化等问题，这些构件不满足当前的抗风性能要求，需要进行加固来提高承载力. 因此，本文设计了4组构件，每组3根构件进行重复试验来保证试验结构的准确性，避免偶然误差的影响. 试件的相关参数如表1所示，包含作为对照组的一组原角钢试验和用于验证加固效果的3组复合双角钢构件试验. 此外，试验中使用的是6.8级普通螺栓即实际杆塔使用的螺栓等级，直径为16 mm，标称屈服强度为600 MPa. 试件总长度为
1580 mm, 试件计算长度取螺栓群形心的距离，为1480 mm.表 1 试件相关参数Table 1. Related parameters of specimens构件编号 截面类型 长度/
mm夹具间
距/mm夹具数
目/个长细比 SPE1 L40 × 4 1480 187.3 SPER2 L40 × 4 1480 1160 2 SPER3 L40 × 4 1480 580 3 SPER5 L40 × 4 1480 290 5 根据斜材的构造形式，与节点板连接的一肢会与同一节间内的斜材相交，称此面为连接面，而非连接面在轴向上没有任何的连接点. 因此，可以附加一根长度略小于原角钢的构件与原材连接，实现通长加固且两端不与节点连接的目的，称此角钢为附加角钢. 加固连接件由V形卡槽和加固板组成，将原角钢和附加角钢固定，组合成T形截面.
参考DL/T 5486—2020[34]，建议组合压缩构件的夹具间距Li≤40i，其中，i为截面最小回转半径. 加固后组成的复合双角钢斜材构件和组合截面最大的区别在于：复合构件中的附加角钢只与原角钢接触，两端是不固定在节点板上，即不直接承受压力，而组合截面附加角钢是直接承受轴力的，因此，本文只是参考规范中的夹具间距进行设计. 考虑到40i的夹具间距要求，夹具个数最大选为5个，对应的间距为290 mm，最小满足构造要求，即两端各设置一个.
2.2 材料属性
本文的附加角钢采用和原角钢一样的材料，即Q235B. 夹具包括V型卡槽和加固连接板，均采用Q345，在加载过程中始终处于弹性阶段. 因此，仅对角钢构件进行材性拉伸试验，每个截面使用3个相同的截面，以平均值为截面的材料属性，试验结果如表2所示，其中：E为弹性模量，fy为屈服强度，fu为极限抗拉强度.
表 2 试验材料相关参数Table 2. Related parameters of experimental material材料 E/GPa fy/MPa fu/MPa Q235 212 330.0 481.7 2.3 试件设计
如图5（a）所示，偏心压缩试验通过200 kN伺服液压作动器进行加载，试件上端为伺服液压作动器的球铰，下端另附加一个球铰，实现两端铰接的目的. 为还原实际输电塔，斜材仅通过螺栓一肢与节点板连接的边界条件，本文设计一个T字板，其中水平板（200 mm × 200 mm × 10 mm）与球铰接触，竖直板借助螺栓与试件连接. 水平板的形心与原角钢的连接肢螺栓连接中心处于同一位置，而不是与复合双角钢构件的剪心重合，荷载通过T字板传递到原角钢连接肢螺栓中心. 由于T字板的存在，实际直接受力的只有原角钢，附加角钢不直接承受外荷载作用，与实际工程中原位加固的受力模式相同.
为研究加载过程中原角钢和附加角钢的变形分布，考虑了位移计和应变片的布置，如图5（b）所示. 位移计共2个（D1、D2分别测量与连接肢方向垂直和相同的水平位移），布置在构件的跨中截面. 应变测点为6个（S1～S6），其中原角钢截面布置4个，附加角钢截面布置2个.
试验加载分为2个阶段，在第一阶段，施加的荷载通过力施加，施加速率为0.1 kN/s 当荷载达到构件理论承载力的60%左右为加载的第二阶段. 施加的荷载通过位移施加，施加速率为0.6 mm/min. 当荷载降到峰值的80%或结构破坏时，停止试验.
3. T型加固试验结果及分析
3.1 破坏模式及承载力对比
图6显示了所有单角钢构件和T型加固角钢构件的破坏模式.
图 6 原构件和加固构件的破坏模式Figure 6. Failure modes of original members and members after retrofitting角钢构件的失效模式为整体失稳，失稳方向并非沿着最小轴或者平行轴失稳，而是介于两者之间，平行轴失稳方向的位移偏大一些. T型加固角钢构件的失稳模式仍然为整体失稳，但主要以平行轴方向的变形为主，且破坏时平行轴方向的位移要小于原角钢.
从表3可以看出，加固对长细比为187.3的L40 × 4构件起到了良好的加固效果，且加固效果随着加固数目的增加而增大. 当采用5个夹具时其加固效果达到了100.4%，仅采用2个夹具加固效果也达到了57.8%. 此外，试验结果具有较大的离散性，加固后的构件离散性更大，且离散的幅度随着夹具数目的增大而增大. 为更好地分析加固机理，本文后续选择3组重复试验中承载力最大的构件进行对比分析，表3中：F11 、F12 和F13为3组重复试验的极限承载力结果，Δ为加固后承载力提高幅度.
表 3 加固前后承载力对比Table 3. Comparison of bearing capacities before and after retrofittingkN 构件编号 F11 F12 F13 平均值 Δ/% SPE1 17.08 17.83 20.44 18.45 SPER2 28.06 28.57 30.70 29.11 57.8 SPER3 32.39 34.43 36.47 34.43 86.6 SPER5 34.93 36.43 39.55 36.97 100.4 3.2 加固前、后位移对比
如图7所示，从方向上看，加固后D2的位移方向变为负方向，且位移值随荷载的增大而增大，而原角钢则是前期变化不大，后随荷载增大而正方向增大；对D1来说，加固后结构的刚度明显提高，同一荷载下的位移明显减小，刚度减小的速率较未加固的角钢小，因此位移得到较好的发展.
图 7 加固前后水平位移对比Figure 7. Comparison of transversal displacements before and after retrofitting对比不同加固连接件数目的结果主要为荷载大于20 kN后的2个区别：其一是D2的位移在接触面滑动现象后出现接近原路径返回的现象；其二是D1的位移出现了荷载减小位移增大的现象，可以观察到SPER3和SPER5的图像曲率基本相同，反映了夹具数目为3以及夹具为5对结构刚度的提高作用相似. 而SPER2则明显不同，相较于SPER3，其刚度较小，这是由于缺少了跨中的加固连接件，跨中侧向位移明显很大，附加角钢和原角钢在此方向上出现了明显的位移差.
如图8所示，X为沿着原角钢主轴方向的横向位移，Y为沿着最小轴方向的横向位移. 对于原角钢来说，在15 kN附近以下的荷载作用下，2个方向的位移基本相同的，代表结构基本沿着平行轴方向变形；加固后可以看出，沿着最小轴方向的位移要明显小于主轴方向的位移，对于未出现接触面滑移的构件以及滑移前的曲线，随着荷载的增大，两者的位移差逐渐增大. 这是因为未加固前，原角钢非连接肢方向的初始弯矩较小，引起的位移较小，而加固后形心改变，偏心距提高，随着荷载的增大，非连接肢方向的位移增大，该方向位移会导致主轴位移增大而最小轴位移减小. 而对于产生了接触面滑移现象的瞬间主轴方向的位移变化不大，最小轴方向的位移变化较大. 在摩擦力转变为动摩擦力后构件沿着最小轴方向变形.
图 8 主轴和最小轴水平位移对比Figure 8. Comparison of transversal displacements in primary and minimum axes从横向位移对比可知，原构件主要以平行轴方向的变形为主，前期非连接肢方向的位移几乎没有，后期沿着角钢内的方向变形. 加固后，非连接肢方向的位移在整个荷载加载中均沿着角钢外的方向变形，而同一荷载下，平行轴方向的变形得到了限制.
从主轴和最小轴方向的变形对比可知：原角钢的两个方向变形基本一致，加固后主轴方向的位移大于最小轴方向的位移，反映了加固后角钢的变形方向位于平行轴和最小轴之间，且随着荷载的增大偏转角在不断增大；加固连接件数目的减小影响了平行轴方向横向位移的发展以及在荷载后期2个轴方向位移差的缩小.
3.3 加固前后应变对比
从图9可知：对于SPER2来说，在10 kN荷载后，S1和S2的应变仍能随着荷载的提高而继续提高；对于SPER3和SPER5来说，在荷载5 kN后，S1和S2的应变相较于SPE1小；SPER2和SPE1的曲线在10 kN前基本重合，而SPER3和SPER5的曲线在整个过程中均基本重合.
图 9 加固前、后连接肢应变对比Figure 9. Comparison of strains in connected leg before and after retrofitting在压应变为−630～−670 μɛ 时，2种加固结构均出现了荷载突然下降的情况. 这是由于原角钢非连接肢与加固角钢之间接触面的静摩擦力达到最大，随着荷载的增大，转变为动摩擦力. 由于金属间的接触关系，静力“咬合”的静摩擦力大于动力“滑动”的动摩擦力，而这2种夹具不能提供足够的约束作用，导致原角钢提供的内力不能与外力平衡，荷载突然下降. 对于SPER2和SPER3在此之后出现了多次荷载突然下降的现象，是由于动摩擦力下，夹具的固定作用，不足以使原角钢和加固角钢协同受力，加固角钢出现了与原角钢的相对变形导致的.
从图10中可以看出：SPER2应变差的趋势和SPE1基本相同，随荷载线性增加，斜率逐渐减小；SPER3和SPER5的曲线基本重合，趋势上呈现2个线性段，最后破坏时的斜率仍然较大. 反映了加固可以有效地促进连接肢压应变的发展，限制连接肢肢尖和肢背的应变差，帮助连接肢尽可能均匀地受压. 夹具数目从2增加到3会使连接肢应变差变化模式改变，在数目为3的基础上再增加夹具的数目，对应变差的变化模式影响较小.
图 10 加固前、后连接肢应变差对比Figure 10. Comparison of strain differences in connected leg before and after retrofitting如图11所示，非连接肢荷载作用下，肢尖受拉，肢背受压. 这是由于初始偏心的初始弯矩和平行轴方向的位移引起的附加弯矩作用下的结果.
图 11 加固前、后非连接肢应变对比Figure 11. Comparison of strains in unconnected leg before and after retrofitting由于加固后截面惯性矩的增大，同一荷载下加固后肢尖的拉应变和肢背的压应变均得到一定程度的减小，随着荷载的增大，加固前、后肢尖的拉应变增大的变化速率趋势均为随荷载的增大而增大. 肢背的压应变的应变增大速率随荷载增大，而加固后则出现了应变增大速率不变甚至减小. 这是由于随着荷载的增加，结构的横向位移变大，同一荷载增量下引起的附加弯矩增量变大，引起的应变增大. 而肢背的压应变变化则是由于20 kN以后非连接肢的水平位移发展，非连接肢受拉 导致压应变增加速率减小，到最后甚至出现压应变减小的现象.
不同加固连接件数目曲线的差距主要在曲线后半段，加固连接件数目越小肢尖的压应变增大速率越大，且连接件数目越少时接触面滑动现象会产生荷载减小压应变增大和拉应变减小的现象.
图12介绍了不同加固连接件数目下附加角钢两肢的荷载-应变曲线. 在连接肢方向上弯矩的作用下，接触肢测点受拉，而非接触肢测点受压，理论上2个测点离组合截面的中性轴的距离较接近，应变绝对值应较接近，但是由于非连接肢方向的弯矩作用下，非接触肢受拉，接触肢位于中性轴附近应变减小. 所以整体上压应变的绝对值小于拉应变的绝对值. 附加角钢的应变具有很强的随机性，其变化形式更多的取决于荷载以及双向位移的结果.
非连接肢的应变分布取决于绕连接肢方向的附加弯矩，加固提高了此方向的抗弯刚度，同荷载下非连接肢的应变得到减小. 由于加固后非连接肢水平方向的位移较加固前得到了发展，非连接肢方向和连接肢方向的双向弯矩作用下导致肢背测点的压应变增加速率不变甚至减小，而肢尖的拉应变增大速率不断变大. 附加角钢的受力状态主要取决于双向附加弯矩，具有较强的离散性.
3.4 夹具数目影响总结
随着夹具数目的增加，承载力逐渐增大，相较于5个夹具的承载力，夹具数目减少到3个（2个），承载力下降了6.87%（21.26%）. 夹具数目减小会出现紧固作用不足引起的垂直于变形方向的相对滑移，造成应力重分布导致承载力下降，夹具数目减小越多，T型加固角钢构件的变形方向越接近于单角钢构件. 夹具数目减小到2个会使连接肢应变差的变化模式改变，不利于连接肢在弹塑性阶段均匀受压，连接件数目减少时接触面滑动现象会产生荷载减小压应变增大和拉应变减小的现象.
4. T型加固方案仿真分析
4.1 有限元模型及验证
输电塔角钢厚度方向的尺寸远小于宽度方向的尺寸，沿厚度方向的应力可以忽略. 基于通用有限元软件Abaqus选择壳单元进行建模，将原角钢、附加角钢、夹具和T字板分开建模，通过夹具的约束作用将附加角钢和原角钢连接起来，以满足构件实际的受力模式. 为了确保计算精度和速度，在考虑角钢截面尺寸后，划分单元的尺寸为10 mm，建模后T型加固角钢构件如图13（a）所示.
图 13 T型加固角钢构件有限元模型Figure 13. Finite element model of angle steel members after T-shaped retrofittingT型加固角钢构件的约束条件及荷载施加情况如图13（b）、（c）所示，在上下T字板的水平板中心建立参考点，并将参考点和水平板表面建立运动学约束关系. 约束上部参考点的x、y方向平动位移，约束下部参考点的x、y、z 3个方向的平动位移以满足铰接的边界条件. 荷载以集中荷载的形式直接施加在上部参考点，以模拟伺服液压作动器施加的荷载，进而还原试验中的加载路径：伺服液压作动器—T字板水平板中心—原角钢连接肢中心. 进行有限元的承载力分析之前，通过特征值屈曲分析获取模型的屈曲模态，来预测结构可能的失效模式. 本文利用特征值屈曲中的整体弯曲的屈曲模态来完成初始缺陷的施加. GB 50017—2017[35]规定轴心受压构件的初弯曲取构件长度的1/
1000 .在进行试验和有限元模型对比时，本文选择了3组重复试验中的承载力中值的构件进行对比分析，来验证有限元模型的适用性. 图14显示了试验构件和有限元（FEM）的模拟和试验的荷载-位移曲线，由于试验中上部伺服液压作动器的球铰并非双向可转动而是单向可转动，因此，在有限元模拟中考虑了上端对垂直连接肢方向转动的约束. 可以看出，试验结果和有限元结果在极限承载力方面具有良好的一致性， 二者的差异体现在加载后期. 第一点是由于加固角钢与原角钢的相对变形导致荷载降低的现象，该现象不影响结构的刚度，而模拟中是采用的tie连接，不会产生相对变形；第二点是极限承载力后结构破坏试验荷载不能稳定施加导致的曲线迅速下降，而有限元可以稳定施加荷载因此曲线缓慢下降.
图 14 有限元结果与试验对比Figure 14. Comparison of finite element results and experimental results关于加固方案中夹具的长度、宽度和厚度等因素，文献[13-14]的研究表明，对双面连接角钢加固后的承载力影响较小，因此，对单面连接角钢的分析仅考虑夹具的数量. 后续的有限元分析将考虑夹具数目n=2，3，4，5的情况.
另外，除特殊说明外，结构的边界条件均为两端铰接. 研究对象主要为服役期较长的220 kV输电塔， 因此，Q235B材料的屈服强度取其名义屈服强度235 MPa，弹性模量为206 GPa.
4.2 长细比对夹具数目的影响
输电塔受压斜材的最大长细比限值为200[30]，因此，本文选择斜材的长细比λ在100～200. 如图15所示. 当长细比位于100～140时，加固构件的承载力不随夹具数目的改变而改变；当长细比位于150～200时，夹具数目为3、4、5的加固构件承载力基本相同，最大差距为0.97%，而夹具数目为2的加固构件承载力低于其他夹具数目下的承载力，且随着长细比增大，加固效果降低的幅度越大. 对于两端铰接的单面连接T型加固斜材，长细比低于150时可以采用2个夹具的布置方式，λ≥150时，可以采用3个夹具的布置方式即可得到最大的加固效果.
图 15 不同长细比下夹具数目对承载力的影响Figure 15. Effect of number of connectors on bearing capacity under different slenderness ratios4.3 宽厚比对夹具数目的影响
图16为不同截面宽度下宽厚比对加固构件承载力的影响. 图中，d为截面宽度，实线为λ=120，虚线为λ=180. 当原构件的长细比为120时，夹具数目为2、3时承载力一致，选用夹具数目为2即可. 当长细比增大到180并且截面宽度固定时，夹具数目增加导致的承载力提升幅度随着宽厚比的增大而减小. 但以d=50 mm为例，夹具数目从2提高到3导致的承载力提高比例在4.0%～6.3%. 应当选择夹具的数目为3. 对比前文长细比处的选择，可以看出宽厚比不影响夹具数目的选择.
图 16 不同宽厚比下夹具数目对承载力的影响Figure 16. Effect of number of connectors on bearing capacity under different width-to-thickness ratios4.4 材料强度对夹具数目的影响
为研究材料强度对夹具数目选择的影响，本文选择了3种材料强度fy进行研究，即fy=235，345，460 MPa. 从图17可以看出，当长细比大于140时，材料屈服强度从235 MPa提高，2个夹具数目下荷载的差值随着屈服强度的提高而提高. 而当长细比小于130时，不同屈服强度和不同夹具数目下的承载力基本相同. 虽然长细比为140～150时，屈服强度为345 MPa和460 MPa 对应的n=2时的承载力低于n=3时的承载力，但是减小的幅度最大为1.3%，可以忽略. 因此，不同材料强度下仍然可以在λ<150时采用2个夹具布置，λ≥150时采用3个夹具的布置方式.
图 17 不同长细比和材料强度下夹具数量对承载力的影响Figure 17. Effect of number of connectors on bearing capacity under different slenderness ratios and material strengths5. 结 论
1） T型加固方案对原角钢抗弯刚度的提升效果随着荷载的增大而减小，但是加固构件最小的抗弯刚度仍大于原角钢和附加角钢各自的抗弯刚度之和.
2） T型加固会使构件的破坏方向更偏向于最小轴，且夹具数目越多，偏转角度越大. 夹具数目减小会出现紧固作用不足引起的垂直于变形方向的相对滑移，造成荷载重分布导致承载力下降.
3） 输电塔斜材λ<150时可以采用2个夹具的布置方式，λ≥150时可以采用3个夹具的布置方式，即可得到最大的加固效果. 宽厚比和材料强度均不影响夹具数目的选择.
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图 9 2种磁轴承的永磁磁通密度分布
Figure 9. Permanent magnetic flux density distribution of two types of magnetic bearings
图 10 2种磁轴承的位移刚度和电流刚度对比
Figure 10. Comparison of displacement stiffness and current stiffness of two types of magnetic bearings
图 12 转子不偏心时控制电流的耦合特性
Figure 12. Coupling characteristics of control current when rotor is not eccentric
图 13 转子偏移0.1mm时控制电流的耦合特性
Figure 13. Coupling characteristics of control current when rotor offsets 0.1 mm
表 1 磁轴承主要参数
Table 1. Main parameters of magnetic bearing
参数 传统 新型 定子外直径/mm 130 139 转子外直径/mm 50 50 轴向长度/mm 45 45 主气隙长度/mm 0.5 0.5 辅助气隙长度/mm 1 永磁体厚度/mm 2 3 永磁体宽度/mm 15 8 磁极截面积/mm2 920 1560 最大控制电流/A 3.6 12/3 
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