研究表明，在工程应用问题上，时滞会使系统发生复杂动力学行为^[1-5]，同样也会引起磁浮系统动力学行为的改变. 磁浮列车通过悬浮控制系统与轨道产生吸力实现系统的悬浮，可实现无接触运行^[6-11]，其系统通过各种传感器对悬浮间隙、加速度等悬浮状态进行测量，其中速度信号需要通过加速度信号积分获得，控制系统在传感器接收信号、信号计算以及信号执行等过程中总伴随着时滞的产生. 磁浮系统运行期间，系统表现为强非线性^[12-13]，并且受到轨道参数误差、载荷变化、电磁影响等外界干扰. 当系统控制参数发生变化，突破一个临界值时，系统的平衡状态将被打破，产生振荡，进入不稳定状态，产生Hopf分岔^[14-15]. 磁浮系统的Hopf分岔是由系统内部的非线性力和外部扰动共同作用引起，而控制系统中控制时滞的出现会使系统在动态响应中发生相移或者相位延迟，会影响系统的振荡频率并改变系统的动态行为. 王洪坡^[12] 在研究悬浮系统稳定性时发现，控制环节时滞过大将造成剧烈的车轨耦合振动. Xu等^[16]在实车测试过程中发现间隙反馈控制为0.027时车轨振动更加剧烈. 时滞是磁浮列车系统中一个重要的影响因素，可能引起系统动力学行为的改变，甚至导致车轨共振等问题. 因此，需要考虑并优化控制策略，减小时滞对系统的负面影响，以保证磁浮列车稳定、安全运行.

陈晓昊等^[17]建立单自由度电磁悬浮模型，以控制器时滞为参量，定量给出系统发生Hopf分岔的时滞临界值，当控制器时滞大于临界值时，系统平衡点不再稳定. Li等^[18]分析了时滞对车轨耦合系统稳定性的影响，分析表明，间隙和速度通道的时滞会减弱稳定性，应尽量避免，而电流通道的时滞有益于系统稳定性. 王洪坡等^[19-22]建立弹性轨道上单点磁浮系统的动力学模型，将系统方程在平衡点附近线性化，研究时滞和控制参数对系统亚谐共振周期解中受迫振动的影响，结果表明，适当的时滞可以改变亚谐共振的响应幅值，同时还能控制混沌的出现，调节控制参数可以有效抑制亚谐共振响应. 吴晗等^[23]则在柔性梁-悬浮架-车体三自由度磁浮系统中加入间隙反馈控制时滞，探讨时滞临界值与车辆运行速度、反馈控制参数、二系悬挂参数和导轨参数的关系，给出增强列车安全性的意见. 以上研究表明，磁浮系统中时滞对系统稳定性和振动特性有重要影响，在控制策略中需要考虑时滞因素. 时滞的大小与控制器参数、运行速度、二系悬挂参数和导轨参数等因素有关，适当的时滞可以改变系统响应特性、抑制共振和混沌等现象，从而增强磁浮列车的运行安全性.

沈飞等^[24]针对Moon模型，讨论控制回路中速度反馈信号存在的时滞对非线性悬浮系统稳定性的影响，并以时滞作为参量，分析系统产生Hopf分岔的条件. Sun等^[25]建立单自由度磁浮控制器时滞系统，通过加入延迟补偿辅助信号达到消除输入延迟的目的，并利用神经网络近似计算外部扰动和时变质量，试验结果证明，在存在输入时滞的情况下，该控制器的精度比传统的滑膜控制器高出80.5%. Wang等^[21]研究伯努利-欧拉梁上的磁浮系统加入时滞位置反馈控制下的动态现象，探究系统时滞与Hopf分岔的关系. Zhang等^[26]用伪振荡器分析计算系统分岔的周期解，确定了分岔的方向，结果证明，可以通过时滞和控制参数影响Hopf分岔的发生和周期解的幅值. 针对磁浮系统中存在的控制器时滞问题，学者们通过各种处理方式来弥补其影响，从而提高控制精度和稳定性. 同时，时滞与Hopf分岔之间存在密切联系，通过研究时滞和控制参数对分岔的影响，可有效调节系统动力学行为.

如今众多学者也开展了智能控制方式的相关研究，Cui等^[27]设计一种包含自适应控制项和延迟反馈控制项的新型控制器，并进行数值仿真. Feng等^[28]对连续时间动态模糊控制系统进行了可控性分析. De Oliveira Evald等^[29]提出鲁棒模型自适应比例积分控制器的离散时间进行李雅普诺夫稳定性分析. 本文研究对象为磁浮系统时滞模型，时滞控制在于实时性要求高，需要及时响应系统的状态变化和时滞带来的影响. 但神经网络控制和模型自适应控制的计算复杂性较高，导致实时性不足，无法满足时滞控制系统的要求. 同时，由于神经网络、模型自适应、模糊控制、神经网络以及模糊规则的确定均需大量数据进行训练推演，且模糊控制需要经验者提供一定的模糊规则. 对于磁悬浮模型动力学行为检测仿真而言，时间成本长，计算过于复杂，在内存有限的微控制器上计算效果也可能不理想. 比例-积分-微积分控制(PID)作为全球工业中最常用的控制策略^[30]，相比上述控制方式得益于实现方式简单，计算复杂度低，更在于易于实施和直观的增益调整^[31]的特点，在磁浮过程控制中具有更高的接受度.

因此，为探究控制器时滞对磁浮列车悬浮系统稳定性的影响，建立考虑位移-速度反馈控制时滞的悬浮架-车体二自由度磁浮系统，并计算导致系统发生Hopf分岔的控制器时滞临界值. 通过应用线性化系统的Routh-Hurwitz稳定性判据，推导出原非线性系统在平衡点附近的稳定性区域；利用特征根的穿越条件，得到系统的控制器时滞临界值，从而确定系统的Hopf分岔点. 绘制控制器时滞临界值与固有频率关于反馈控制参数的关系图和控制器时滞临界值与固有频率关于系统参数的关系图. 通过数值仿真和实验验证了控制器时滞临界值的准确性.

1.   磁浮时滞系统模型搭建

磁浮列车系统中，电磁铁与悬浮架通过一系悬挂装置连接，悬浮架与车体通过二系悬挂装置连 接^[32].本文研究的二自由度磁浮列车悬浮磁浮时滞系统如图1所示. 图中：k和c分别为二系悬架部分的刚度和阻尼，z₁为悬浮架的垂向位移，z₂为车体的垂向位移，z₀为悬浮架的期望悬浮间隙，F(i，z₁)为悬浮架的悬浮电磁力，i为电流. 将整车结构简化为刚性车体，通过二系悬挂连接到刚性磁悬浮悬架. 由于一系悬挂的刚度相比二系悬挂的刚度大了2个数量级，导致电磁铁与磁悬浮车架的相对位移很小，因此，忽略一系悬挂^[33]. 由于本文研究内容为时滞对磁浮列车悬浮系统垂向位移的影响，因此，只考虑车体和悬浮架的垂向运动.

图  1  磁浮时滞模型

Figure  1.  Time lag model of magnetic levitation

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磁浮列车悬浮系统的动力学方程为

平衡位置电流i₀满足 (m₁ + m₂)g=F(i₀，z₀)，将电磁力在平衡点处进行泰勒展开，得

式中：$\Delta F$为悬浮电磁力变化量，F_i(·)为电磁力F(·)对电流i的偏导函数，$\Delta$i(t)为控制电流，F_c(·)为电磁力F(·)对位移的偏导函数，$\Delta$z₁(t)为位移z₁随时间t的变化量，$\alpha$($\Delta$i,$\Delta$z₁(t))为展开高阶项.

忽略高阶项得到平衡点邻域附近的线性化形式^[34]为

式中：${k_{\text{i}}} = {F_{\mathrm{i}}}\left( {{i_0},{{{{\textit{z}}}}_0}} \right) = {\left. {\left( {\dfrac{{\partial F}}{{\partial i}}} \right)} \right|_{\left( {{i_0},{{\textit{z}}_0}} \right)}} = \dfrac{{{\mu _0}{N^2}S{i_0}}}{{2{\textit{z}}_0^2}}$，${k_{\text{c}}} = {F_{\mathrm{c}}}\left( {{i_0},{{\textit{z}}_0}} \right) = {\left. {\left( {\dfrac{{\partial F}}{{\partial {\textit{z}}}}} \right)} \right|_{\left( {{i_0},{{\textit{z}}_0}} \right)}} = \dfrac{{{\mu _0}{N^2}Si_0^2}}{{2{\textit{z}}_0^3}}$，

其中：μ₀为空气磁导率，N为悬浮电磁铁绕组匝数, S为悬浮电磁铁有效面积.

采用状态反馈法对系统进行控制，以位移-速度为反馈变量，则控制电流^[35]为

式中：k_p为位移控制增益， k_d为速度控制增益.

综合式（3）、（4），并整理可得

式中：$\Delta{\textit{z}_2}(t)$为位移${{\textit{z}}_2}$随时间的变化量.

由于磁浮控制系统存在信号反馈与信息计算等因素，因此，反馈控制力往往滞后于信号探测位置，等效为控制系统时滞，即

式中：τ为控制系统时滞.

考虑控制系统时滞后的动力学方程为

令$\mu = \dfrac{{{m_1}}}{{{m_2}}}$，$\xi = \dfrac{c}{{{m_1}}}$，${\omega ^2} = \dfrac{k}{{{m_1}}}$，${\omega _{\text{d}}} = \dfrac{{{k_{\text{i}}}{k_{\text{d}}}}}{{{m_1}}}$，${\omega _{\text{p}}} = \dfrac{{{k_{\text{i}}}{k_{\text{p}}}}}{{{m_1}}}$，${\omega _{\text{c}}} = \dfrac{{{k_{\text{c}}}}}{{{m_1}}}$，${{\textit{z}}_{11 }} = \Delta{{\textit{z}}_1}\left( {t - \tau } \right)$，${\dot {\textit{z}}_{11}} = \Delta{\dot {\textit{z}}_1}\left( {t - \tau } \right)$，则式（7）可化为

2.   系统稳定性分析

2.1   Routh-Hurwitz稳定

令x₁₁ = $\Delta{{\textit{z}}_1}\left( {t - \tau } \right)$，$\dot x$₁₁ = $\Delta{\dot {\textit{z}}_1}\left( {t - \tau } \right)$，y₁ = $\Delta{\dot {\textit{z}}_1}(t)$，y₂ = $\Delta{ {\textit{z}}_2}(t)$，x₁ = $\Delta{ {\textit{z}}_1}(t)$，x₂ = $\Delta{{\textit{z}}_2}(t)$，将式（10）化为一阶微分方程为

令${\boldsymbol{x}} = {\left[ {{x_1}\;{y_1}\;{x_2}\;{y_2}} \right]^{\mathrm{T}}}$，x₁=[$\dot x_{11} \;x_{11}$]^T，可将式（9）写为

式中：${{\boldsymbol{A}}_1} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0&0 \\ {{\omega _{\mathrm{c}}} - {\omega ^2}}&{ - \xi }&{{\omega ^2}}&\xi \\ 0&0&0&1 \\ {\mu {\omega ^2}}&{\mu \xi }&{ - \mu {\omega ^2}}&{ - \mu \xi } \end{array}} \right]$，${{\boldsymbol{A}}_2} =$$\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&0&0 \\ { - {\omega _{\text{p}}}}&{ - {\omega _{\text{d}}}}&0&0 \\ 0&0&0&0 \\ 0&0&0&0 \end{array}} \right]$.

根据滞后性常微分方程理论，式（10）的特征方程为

式中：$\lambda$为特征值，I为单位矩阵.

将式（11）展开为多项式形式，即

式中：$L\left( \lambda \right) = {\lambda ^4} + {a_3}{\lambda ^3} + {a_2}{\lambda ^2} + {a_1}\lambda + {a_0}$，${a_3} = \xi + \mu \xi$，${a_2} = {\omega ^2} + \mu {\omega ^2} - {\omega _{\text{c}}}$，${a_1} = - \mu \xi {\omega _{\text{c}}}$，${a_0} = - \mu {\omega ^2}{\omega _{\text{c}}}$；$R\left( \lambda \right) = {b_3}{\lambda ^3}+ {b_2}{\lambda ^2} + {b_1}\lambda + {b_0}$，${b_3} = {\omega _{\text{d}}}$，${b_2} = {\omega _{\text{p}}} + \mu \xi {\omega _{\text{d}}}$，${b_1} = \mu \xi {\omega _{\text{p}}} + \mu {\omega ^2}{\omega _{\text{d}}}$，${b_0} = \mu {\omega ^2}{\omega _{\text{p}}}$.

若不考虑系统时滞，则$\tau = 0$，式（12）变为

根据Routh-Hurwitz稳定性判据，无时滞系统的稳定性条件^[36-37]为

2.2   时滞临界稳定条件

对于式（8）平凡解渐进稳定的充要条件是其特征根不存在非负实部. 设特征值$\lambda$=α + jβ，代入式（12）得

式中：${L_1}\left( {\alpha ,\beta } \right) = \left( {\alpha ^4} + {a_3}{\alpha ^3} - 6{\alpha ^2}{\beta ^2} + {a_2}{\alpha ^2} - 3{a_3}\alpha {\beta ^2} + {a_1}\alpha + {\beta ^4} - {a_2}{\beta ^2} + {a_0} \right)$，${L_2}\left( {\alpha ,\beta } \right) = \left( {4{\alpha ^3}\beta + 3{a_3}{\alpha ^2}\beta - 4\alpha {\beta ^3}} + {2{a_2}\alpha \beta - {a_3}{\beta ^3} + {a_1}\beta } \right)$，${R_1}\left( {\alpha ,\beta } \right) = \left( {{b_3}{\alpha ^3} + {b_2}{\alpha ^2} - 3{b_3}\alpha {\beta ^2} + } {{b_1}\alpha - {b_2}{\beta ^2} + {b_0}} \right)$，${R_2}\left( {\alpha ,\beta } \right) = 3{b_3}{\alpha ^2}\beta + 2{b_2}\alpha \beta - {b_3}{\beta ^3} + {b_1}\beta$.

当特征值$\lambda$实部α=0时，系统稳定性发生变化. 若特征根从原点穿越虚轴，此时α=0且β=0，可得α + β=0，而由2.1节可知，α + β＞0，因此，特征根不会从原点穿越虚轴.

当α=0，β≠0时，特征根穿越虚轴，则式（15）变为

式中：${L_{11}}\left( \beta \right) = {\beta ^4} - {a_2}{\beta ^2} + {a_0}$，${L_{22}}\left( \beta \right) = - {a_3}{\beta ^3} + {a_1}\beta$，${R_{11}}\left( \beta \right) = - {b_2}{\beta ^2} + {b_0}$，${R_{22}}\left( \beta \right) = - {b_3}{\beta ^3} + {b_1}\beta$.

将式（16）虚实部分离可得

对式（17）化简三角函数后可得

展开得到一个关于β的多项式为

式中：${p_3} = a_3^2 - b_3^2 - 2{a_2}$，${p_2} = a_2^2 - b_2^2 + 2{a_0} - 2{a_1}{a_3} + 2{b_1}{b_3}$，${p_1} = a_1^2 - b_1^2 - 2{a_0}{a_2} + 2{b_0}{b_2}$，${p_0} = a_0^2 - b_0^2$.

若式（18）存在实根，则式（12）总存在一对纯虚根，此时根据式（17）可以得到时滞临界值的周期变化值为

式中：β₀为固有频率；τ₀为时滞值的临界值；β₀τ₀∈（0,2π），并且

由于特征根可以表示为λ关于τ的函数，因此，

令τ=τ_n，λ=jβ₀，代入式（20）并取实部可得

式中：$\gamma = \left[ {a_1} - 3{a_3}\beta _0^2 + \left( {{b_1} - 3\beta _0^2{b_3} - {b_0}{\tau _{\text{n}}} + \beta _0^2{b_2}{\tau _{\text{n}}}} \right) \right. \times \left. \cos\; {\beta _0}{\tau _{\text{n}}} + {\left( {2{\beta _0}{b_2} - {\beta _0}{b_1}{\tau _{\text{n}}} + \beta _0^3{b_3}} \right)\sin\; {\beta _0}{\tau _{\text{n}}}} \right]， f = [ 2{a_2}{\beta _0} -$ $4\beta _0^3 + \left( {2{\beta _0}{b_2} - {\beta _0}{b_1}{\tau _{\text{n}}} + \beta _0^3{b_3}} \right) \cos\; {\beta _0}{\tau _{\text{n}}}$ $\left( {b_1} - 3\beta _0^2{b_3} - {b_0}{\tau _{\text{n}}}+ \beta _0^2{b_2}{\tau _{\text{n}}} \right)$sin ${\beta _0}{\tau _{\text{n}}} ]$，$\eta \,=\, [ \left( {\beta _0^4{b_3} \,-\, \beta _0^2{b_1}} \right)\cos\; {\beta _0}{\tau _{\text{n}}} + ( {\beta _0}{b_0} - \beta _0^3{b_2} ) {\sin\; {\beta _0}{\tau _{\text{n}}}} ]$，$v = [ {\left( {{\beta _0}{b_0} - \beta _0^3{b_2}} \right)\cos\; {\beta _0}{\tau _{\text{n}}} - \left( {\beta _0^4{b_3} - \beta _0^2{b_1}} \right)}\times \sin\; {\beta _0}{\tau _{\text{n}}} ]$.

由式（21）可知，当$\gamma \eta$+ fv≠0时满足穿越条件^[11,38].

3.   数值计算

3.1   控制参数Routh-Hurwitz稳定性范围

本文数值计算采用的参数^[33,39]有：m₁=8000 kg，m₂=39000 kg，g=9.82 m/s²，k=2.05 × 10⁵ N/m，c=10000 N•s/m，μ₀=4π × 10⁻⁷ N/A²，z₀=0.01 m，S=0.311 m²，线圈匝数N=290匝，电磁铁电阻R_m=0.61 Ω.

由Routh-Hurwitz稳定性判据（式（14））得出的控制参数稳定性范围如图2所示，其中阴影部分表示反馈控制参数的无时滞稳定区域.

图  2  Routh-Hurwitz稳定性范围

Figure  2.  Routh-Hurwitz stability region

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从阴影中选取3组反馈控制参数，计算结果如图3所示.

图  3  无时滞稳定性验证

Figure  3.  Stability verification without time lag

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3.2   控制参数时滞临界稳定

由式（18）、（19）可知，τ₀是关于反馈控制参数k_p、k_d的函数，当反馈控制参数变化时，系统的控制器时滞临界值是不同的，图4与图5分别为控制器时滞临界值、固有频域和反馈控制参数的关系.

图  4  控制器时滞临界值与反馈控制参数的关系

Figure  4.  Relationships between critical value of controller time lag and feedback control parameters

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图  5  固有频率与反馈控制参数的关系

Figure  5.  Relationships between natural frequency and feedback control parameters

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从图4可以看出，在系统参数一定时，τ₀随k_p的增大而减小，τ₀随k_d的增大先增大后减小.

从图5可以看出，当系统参数一定时，β₀随反馈控制参数的增大而增大.

3.3   系统参数Routh-Hurwitz稳定性范围

实际运行情况中，二系器件由于服役时间长，原定二系参数将发生改变，基于这一情况，本小节讨论在反馈控制参数一定下，系统参数变化对时滞临界值的影响.

本小节数值计算采用参数 ^[33,39]有：m₁=8 000 kg，m₂=39 000 kg，g=9.82 m/s²，μ₀=4π × 10⁻⁷ N/A²，z₀=0.01 m，S=0.311 m²，N=290匝，R_m=0.61 Ω，k_p=100000，k_d=1000.

由Routh-Hurwitz稳定性判据（式（14））得出的系统参数稳定性范围，如式（22）所示.

3.4   系统参数时滞临界稳定

同样由式（18）、（19）可知，τ₀是关于c、k的函数，当系统参数变化时，系统的控制器时滞临界值同样不同，图6与图7分别为控制器时滞临界值、固有频域和反馈控制参数的关系.

图  6  控制器时滞临界值与系统参数的关系

Figure  6.  Relationships between critical value of controller time lag and system parameters

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图  7  固有频率与系统控制参数的关系

Figure  7.  Relationships between natural frequency and system parameters

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从图6可以看出，在反馈控制参数一定时，τ₀随c的增大而增大，τ₀随k的增大而减小.

从图7可以看出，在反馈控制参数一定时，β₀随c的增大而减小，β₀随k的增大而增大.

3.5   数值仿真

为验证分析结果的正确性，对本文的磁浮系统进行数值仿真，取不同的k_p、k_d参数下控制器时滞临界值附近的数进行数值计算. 系统的初始位置条件为：[x₁ y₁ x₂ y₂]=[0.02 0 0 0].

示例：k_p=100000，k_d=1000，系统的控制器时滞临界值τ₀= 0.0 009 812 s.

图8为系统时滞τ=0.000 900 s时的系统响应，因为图中系统时滞$\tau$取值小于控制器时滞临界值τ₀，所以从时域图和相图可以看出此时系统变得稳定，在平衡点是渐进稳定的.

图  8  τ=0.000 900 s，τ<τ₀时的系统响应

Figure  8.  System response with time lag τ=0.000 900 s, τ<τ₀

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图9为τ=0.001 000 s时的系统响应，τ取值大于τ₀，所以从时域图与相图可以看出此时系统变得不稳定，在平衡点附近是发散的.

图  9  τ=0.001 000 s，τ>τ₀时的系统响应

Figure  9.  System response with time lag τ=0.001 000 s, τ>τ₀

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图10为τ=0.000 986 s时的系统响应，因为τ取值大于控制器时滞临界值τ₀，但τ不太大，所以系统在平衡点附近做周期运动，此时发生超临界Hopf分岔.

图  10  τ=0.000 986 s，τ>τ₀时的系统响应

Figure  10.  System response with time lag τ=0.000 986 s, τ>τ₀

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4.   实验验证

基于已在车辆工程领域广泛应用的多体动力学仿真软件（UM），对所述数学问题进行建模，具体建模数据如下：

m₁=8000 kg，m₂=39000 kg，g=9.82 m/s²，k=2.05 × 10⁵ N/m，c=100 00 N•s/m，μ₀=4π × 10⁻⁷ N/A²，z₀=0.02 m，S=0.311 m²，N=290匝，R_m=0.61 Ω.

具体建立模型如图11(a)、(b)所示，弹簧阻尼部件细节如图11（c）、（d）所示，红色物块为悬浮架，蓝色物块为悬浮车体. 运行期间限制自由度，使系统整体只在Z轴方向上移动.

图  11  UM模型建立示意

Figure  11.  UM model establishment

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磁浮力元采用时变力元进行代替，时滞控制部分采用UM内部控制模块搭建，输入In为对应悬浮架与轨道之间间隙值，输出Out为对应时变力元. 内部控制模块示意如图12所示. 图中，x为输入量，u为前一传输端输入量.

图  12  内部控制模块示意

Figure  12.  Internal control module

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图13为τ=0.000 900 s时的系统响应. 从图中可知：τ取值小于τ₀，所以从时域图和相图可以看出此时系统变得稳定，在平衡点是渐进稳定的.

图  13  τ=0.000 900 s，τ <τ₀时的系统响应

Figure  13.  System response with time lag τ=0.000 900 s, τ<τ₀

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图14为τ=0.001 000 s时的系统响应，从图中可以看出，由于τ取值大于τ₀，对应控制力无法及时响应，导致控制力始终滞后于所要控制状态，最终系统整体失稳. 实验验证效果与数值分析结果相对应，进一步验证了系统时滞与控制器时滞临界值的大小关系对于整体磁浮系统带来的影响：当τ < τ₀，系统在平衡点处渐进稳定；当τ > τ₀，系统整体失稳；当τ = τ₀时，系统将会在平衡点处做周期运动.

图  14  τ=0.001 000 s，τ>τ₀时的系统响应

Figure  14.  System response with time lag τ=0.001 000 s, τ>τ₀

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5.   结　论

考虑磁浮列车悬浮系统反馈控制系统时滞的影响，建立了二自由度磁浮系统动力学模型. 根据Routh-Hurwitz稳定性判据对系统进行了稳定性分析，得到系统的无时滞稳定性区域. 通过对特征根的判断研究时滞对二自由度磁浮系统的稳定性的影响，利用数值计算验证了理论分析结果的正确性，并且通过实验进一步验证了数值分析的准确性，从而得到如下结论：

1） 在系统的无时滞稳定性区域内外分别选取3组反馈控制参数，选取阴影内的反馈控制参数，系统在平衡点是渐进稳定的，而阴影外的反馈控制参数是不稳定的；选取阴影内的反馈控制参数时，选取的反馈控制参数越大，系统的振动幅值越小.

2） 选取不同的反馈控制参数时，控制器时滞临界值也不同，τ₀会随k_p的增大而减小，随k_d的增大先增大后减小，τ₀随k的增大而减小，随c的增大而增大. 当τ以10⁻⁶的数量级大小变化，τ<τ₀时，系统在平衡点渐进稳定，当τ>τ₀时，系统逐渐发散，但在当τ=τ₀时，系统在平衡点附近做周期运动，此时发生超临界Hopf分岔.