二自由度磁浮列车悬浮系统时滞控制研究

王美琪; 曾思恒; 李源; 刘鹏飞

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20230282

二自由度磁浮列车悬浮系统时滞控制研究

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20230282

王美琪^{1, 2,},
曾思恒²,
李源²,
刘鹏飞^{1, 2, ,}

1.
石家庄铁道大学交通工程结构力学行为与系统安全国家重点实验室，河北石家庄 050043
2.
石家庄铁道大学机械工程学院，河北石家庄 050043

基金项目: 国家自然科学基金（12102273）

详细信息

作者简介:
王美琪（1987—），男，副教授，博士，研究方向为非线性动力学、磁悬浮列车动力学与控制，E-mail：wangmeiqi@stdu.edu.cn

通讯作者:
刘鹏飞（1985—），男，副教授，博士，研究方向为列车-轨道耦合动力学、磁悬浮列车动力学与控制，E-mail：lpfswjtu@163.com

中图分类号: O324
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出版历程
- 收稿日期: 2023-06-11
- 修回日期: 2023-09-12
- 网络出版日期: 2024-04-29
- 刊出日期: 2023-10-07

Research on Time Lag Control of Levitation System of Two-Degree-of-Freedom Magnetic Levitation Train

WANG Meiqi^{1, 2
,},
ZENG Siheng²,
LI Yuan²,
LIU Pengfei^{1, 2
, ,}

1.
State Key Laboratory of Mechanical Behavior and System Safety of Traffic Engineering Structures, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China
2.
School of Mechanical Engineering, Shijiazhuang Tiedao University, Shijiazhuang 050043, China

摘要

摘要:
为研究控制器时滞对磁浮列车悬浮系统稳定性的影响，首先，以位移-速度为反馈控制参数，建立考虑控制器时滞的二自由度磁浮列车悬浮系统模型；其次，通过Routh-Hurwitz稳定性判据得到无时滞系统的稳定性区域，同时，依据特征根穿越虚轴边界条件，获得系统发生Hopf分岔的控制器时滞临界值；最后，分析反馈控制参数及系统参数与控制器时滞临界值的关系. 研究结果表明：当系统参数一定时，控制器时滞临界值随位移控制增益的增大而减小，随速度控制增益的增大先增大后减小；当反馈控制参数一定时，控制器时滞临界值随二系刚度的增大而减小，随二系阻尼的增大而增大；当系统时滞以10⁻⁶数量级在时滞临界值附近渐渐增大时，系统会从稳定—周期运动—不稳定逐渐变化，期间发生超临界Hopf分岔.
- 磁浮系统 /
- 稳定性 /
- 时滞 /
- 反馈控制 /
- Hopf分岔
Abstract:
In order to study the influence of controller time lag on the stability of the levitation system of the magnetic levitation train, firstly, the two-degree-of-freedom magnetic levitation train levitation system model is established by taking displacement-velocity as the feedback control parameter, and the controller time lag is taken into account; secondly, the stability region of the time lag-free system is obtained by the stability criterion of Routh-Hurwitz, meanwhile, based on the characteristic root crossing the imaginary axis boundary condition, we obtain the critical value of the time lag of the controller when the system undergoes Hopf bifurcation; finally, we analyze the relationship between the feedback control parameters and the system parameters and the critical value of the controller time lag. The results show that: when the system parameters are certain, the critical value of the controller time lag decreases with the increase of the displacement control gain, and increases and then decreases with the increase of the velocity control gain; when the feedback control parameters are certain, the critical value of the controller time lag decreases with the increase of the secondary suspension stiffness, and increases with the increase of the secondary suspension damping; as the time lag of the system increases asymptotically by an order of magnitude 10⁻⁶ around the critical value of time lag, the system will gradually change from stable-periodic motion-unstable, during which the supercritical Hopf bifurcation occurs.
- magnetic levitation system /
- stability /
- time lag /
- feedback control /
- Hopf bifurcation

HTML全文

跨座式单轨交通通过单根轨道梁来实现支承、稳定和导向等功能，车体骑跨在轨道梁上运行的铁路. 它能有效利用城市道路空间，爬坡和曲线通过能力强，噪声和景观影响小，适用于建筑物密度大的狭窄街区，是现代化城市快速轨道交通的一种新形式.

跨座式单轨交通虽然地形适应能力强，但其小曲率、多弯道的线路使轮胎运行条件变得更加严苛，更容易产生异常磨损. 以重庆轨道交通为例，调研发现：跨座式单轨列车走行轮轮胎的设计使用历程为20万公里，但在运行约7万公里时走行轮轮胎便出现了严重的异常磨损现象，导致走行轮轮胎提前报废，且需要更换导向轮和稳定轮在内的全套轮胎，维修成本极高，且由此带来的安全隐患也很大. 目前国内不少学者也对此开展了初步研究^[1-7]. 贺观^[1]对重庆市跨座式单轨车辆动力转向架和非动力转向架的走行轮轮胎胎面磨损情况进行分析，总结出了胎面均匀与不均匀磨损的典型特征.

由于跨座式单轨车辆独特的走行方式，轮胎模型对整车模型精度至关重要. 任利惠等^[2]建立了线性化轮胎模型，其中，走行轮轮胎模型考虑了径向刚度、侧偏效应及纵向滑转，导向轮和稳定轮模型则考虑了径向刚度和侧偏效应，该模型能较好地预估导向轮与稳定轮预压力值. 跨座式单轨车辆各轮胎均为橡胶充气轮胎，针对其非线性，赵树恩等^[3]建立了非线性轮胎模型，其将走行轮轮胎模型建成“魔术公式”模型，充分考虑了走行轮轮胎的侧偏力与回正力矩. 文孝霞等^[4]建立了轨道梁-走行轮有限元分析模型，研究发现当列车在小半径弯道行驶时，在轮胎接地印迹内，轮胎纵向剪切应力和侧向剪切应力、接地压力展现出明显的梯度分布关系，从而揭示了走行轮轮胎出现偏磨损的原因. 申震^[5]通过建立车-轨耦合动力学模型的方式，采用正交试验与灵敏度分析研究了车辆参数对轮胎偏磨的影响规律. Maciel等^[6]建立了4个不同复杂程度的轮胎模型，最简单的为线性轮胎模型，最复杂的为完全高阶非线性模型，研究结果表明，轮胎模型中侧偏刚度对整车动力学模型精度与轮胎侧向力预测至关重要. 王国林等^[7]提出了曲面走行踏面方法，其进一步对跨座式单轨列车走行轮轮胎的磨损与偏磨损进行控制. 在线路无法更改的前提下，车辆结构参数对走行轮轮胎的磨损关系值得深入研究.

本文在ABAQUS平台搭建有限元模型^[8]基础上，不改变单轨列车走行轮轮胎材料、走行踏面曲线工况的情况下，从车辆结构中二系悬挂参数出发，探索控制走行轮胎磨损的方法. 首先，建立走行轮轮胎有限元模型，提出走行轮轮胎不均匀磨损的评价指标；其次，探索走行轮轮胎侧偏角、侧倾角及其组合对走行轮轮胎磨损与不均匀磨损的影响，建立少变量易分析的走行轮轮胎磨损及不均匀磨损的间接评价方法；接下来，结合新的磨损间接评价方法，研究车辆结构参数中二系悬挂参数对走行轮各轮胎磨损及不均匀磨损的影响；最后，对车辆结构参数进行优选，减轻走行轮各轮胎的不均匀磨损现象，改善走行轮各轮胎磨损状态.

1. 轮胎磨损模型建立

1.1 运行工况下磨损分析

跨座式单轨列车以小半径转弯时，走行轮轮胎磨损比较严重，因而取车辆最小过弯半径R为100 m，相应车速 ${v_{\text{c}}}$ 为36 km/h. 前转向架各走行轮轮胎径向力 $F_{{\textit{z}}{\text{t}}_1jk}^{}$ 、侧偏角 $\alpha$ 和侧倾角 ${\beta _{}}$ 分别为

$\begin{split} & F_{{\textit{z}}{{\text{t}}_1{jk}}}^{} = \frac{{({m_{\text{c}}} + 2{m_{\text{t}}})g}}{8} +\\ &\quad k_{{\textit{z}}{\text{v}}}^{}\left[ {{{\textit{z}}_{{\text{t1}}}} - {{( - 1)}^{k + 1}}{H_2}{\varphi _{{\text{t1}}}} - {{( - 1)}^{j + 1}}{H_1}{\theta _{{\text{t1}}}}} \right] +\hfill \\ &\quad c_{{\textit{z}}{\text{v}}}^{}\left[ {{{\dot {\textit{z}}}_{{\text{t1}}}} - {{( - 1)}^{k + 1}}{H_2}{{\dot \varphi }_{{\text{t1}}}} - {{( - 1)}^{j + 1}}{H_1}{{\dot \theta }_{{\text{t1}}}}} \right] , \end{split}$

(1)

$\alpha = {\psi _{{\text{t1}}}} - \frac{{{{\dot y}_{{\text{t1}}}} - {{( - 1)}^j}{H_1}{{\dot \psi }_{{\text{t1}}}} - {{( - 1)}^k}{H_3}{{\dot \phi }_{{\text{t1}}}}}}{{{v_{\text{c}}}}},$

(2)

$\beta = {\varphi _{{\text{t1}}}} - \frac{{{{\dot {\textit{z}}}_{{\text{t1}}}} + {{( - 1)}^j}{H_1}{{\dot \theta }_{{\text{t1}}}} + {{( - 1)}^k}{H_3}{{\dot \phi }_{{\text{t1}}}}}}{{{v_{\text{c}}}}} ,$

(3)

式（1）～（3）中：k = 1代表左侧（走行轮或水平轮），k = 2代表右侧（走行轮或水平轮）；j = 1代表前排（走行轮或导向轮），j = 2代表后排（走行轮或导向轮）； ${m_{\text{c}}}$ 为车体质量； ${m_{\text{t}}}$ 为前转向架质量与后转向架质量之和；g为重力加速度； $k_{{\textit{z}}{\text{v}}}^{}$ 为走行轮轮胎径向刚度； ${{\textit{z}}_{{\text{t1}}}}$ 为前转向架浮沉自由度； ${H_1}$ 为走行轮轴距一半； ${H_2}$ 为走行轮轮距一半； ${H_3}$ 为导向轮轴距一半； $c_{{\textit{z}}{\text{v}}}^{}$ 为走行轮轮胎径向阻尼； ${\psi _{{\text{t}}1}}$ 、 ${y_{{\text{t1}}}}$ 、 ${\varphi _{{\text{t1}}}}$ 、 ${\theta _{{\text{t1}}}}$ 分别为前转向架摇头自由度、横摆自由度、侧倾自由度、点头自由度； ${{ \phi }_{{\text{t1}}}}$ 为前转向架滑动方向与路面纹理方向的角度.

1.2 轮胎有限元模型

为分析走行轮各轮胎磨损情况，建立其有限元模型是一种高效、便捷的方法.

用GOTECH AI-7000M电子拉伸试验设备对走行轮轮胎各橡胶材料进行测试发现,采用ABAQUS中的Yeoh模型^[9-10]能较好地反映其本构关系，其表达式为

$U={C}_{10}({I}_{1}-3)-{C}_{20}{({I}_{1}-3)}^{2}-{C}_{30}{({I}_{1}-3)}^{3},$

(4)

式中：U为单位参考体积的应变能；C₁₀、C₂₀、C₃₀均为温度相关系数；I₁为应变第一不变量.

轮胎在装配和充气工况下，轮胎的几何条件和负荷条件都是轴对称的，因此，采用平面的二维模型来分析轮胎的装配和充气工况，考虑到轮胎的接触非线性以及模拟静态接地工况必须用到三维模型. 因此所建立的模型在胎圈与轮辋接触部位、胎冠与地面接触部位分别定义了接触对. 轮胎的过盈装配过程，定义轮辋为解析刚体，用ABAQUS的接触计算逐步消除过盈，完成装配；轮胎的接地过程，定义路面为刚体，用固定轮辋，对地面施加位移的方法，模拟轮胎加载过程.

在ABAQUS软件中建立走行轮轮胎有限元二维模型，如图1（a）所示，轮胎三维模型由二维模型旋转100份生成，如图1（b）所示. 二维断面模型中橡胶材料分别采用CGAX3H超弹性单元（三角形单元）和CGAX4H超弹性单元（四边形单元），其对应的三维模型网格单元分别为C3D6H和C3D8H. 二维断面模型中选用4 mm的胎面和胎圈网格，选用6 mm的胎侧，整个二维断面模型共有1 964个单元和2 156个节点；整个三维模型共有196 400个单元和201 050个节点. 模型中的轨道面设置为解析刚体，其分析精度已通过大量的试验证实^[11-14].

图 1 走行轮轮胎有限元模型

Figure 1. Finite element model of the running wheel tire

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1.3 模型验证

为验证有限元模型的精确性，对345/85R16型单轨列车走行轮单胎在额定载荷（54 880 N）和额定充气压力（960 kPa）条件下按标准对走行轮轮胎进行侧向与纵向刚度试验.

图2为轮胎侧向和纵向刚度的有限元分析结果. 由图2可知：有限元模型计算的径向、侧向刚度与实测的径向、侧向刚度的相对误差分别为1.9%、2.1%，满足工程分析需求，证明走行轮轮胎有限元模型是合理的.

1.4 轮胎磨损及不均匀磨损指标

橡胶磨损量为单位摩擦距离的磨损体积或磨损质量^[15]. Grosch^[16]研究了滑动速度v、接触压力P、温度T等对橡胶磨损的影响，并提出橡胶磨损量A与耗散能W的关系，如式（5）.

$A = {A_0}{\left( {\frac{W}{{{W_0}}}} \right)^e},$

(5)

式中：W₀为参考耗散能；A₀为速度v_c下能量耗散为W₀的磨损量；e为磨损指数.

图 2 走行轮轮胎有限元模型验证

Figure 2. Validation of finite element model of the running wheel tire

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为了直接反映v、P、T对磨损量的影响，将式（5）修正^[15]为

$A = a{(\mu Pv)^b}{T^c},$

(6)

式中：a、b、c均为拟合系数，可根据磨损试验进行拟合； $\mu$ 为摩擦系数.

通过式（6）得到其接地区磨损量为

${A_{{\text{jie}}}} = a{\left[ {\sum\limits_{q = 0}^u {\sum\limits_{p = 1}^m {{\mu _{qp}}{P _{qp}}{S_{qp}}\left( {v_{x,qp} + {v}_{y,qp}^{}} \right)} } } \right]^b}{T^c},$

(7)

式中：u为接地区单元个数；m为接地区单元节点数；P_qp为节点接触应力，Pa；S_qp为胎面各节点接触面积，m²；v_x,qp、v_y,qp分别为接地区域内节点沿轮胎纵向及侧向的相对滑移速度，m/s；μ_qp为节点摩擦系数，如式（8）.

${\mu _{qp}} \approx \frac{{\lambda {{\rm{Im}}}\; K\left( {{\omega _1}{v_{qp}}} \right)}}{{\left| {K\left( {{\omega _1}{v_{qp}}} \right)} \right|}},$

(8)

式中： ${\omega _1}$ 为路面最小角频率； $\lambda$ 为摩擦参数； $K$ 为弹簧刚度；v_qp为接地区域内节点沿轮胎纵向及侧向的相对滑移合速度.

由式（8）可知，摩擦系数与轮胎胶料模量息息相关. 根据走行轮轮胎的实际运行工况，其储能模量与损耗模量的表达式^[15,17]为

${{\rm{Re}}}\; E(\varphi ) = K\frac{{{{(\varphi \tau )}^2}}}{{1 + {{(\varphi \tau )}^2}}} ,$

(9)

${{\rm{Im}}} \;E(\varphi ) = K\frac{{\varphi \tau }}{{1 + {{(\varphi \tau) }^2}}},$

(10)

式中： $\varphi$ 为频率； $\tau$ 为与阻尼 $\eta$ 和弹簧刚度K相关的时间常数， $\tau$ = $\eta$ /K.

为了表示轮胎接地区磨损不均性，引入磨损量偏度值 Δ 作为评价指标，如式（11）.

$\varDelta = \sqrt {\frac{1}{{m - 1}}\sum\limits_{n = 1}^m {{{\left( {{A_n} - \overline A} \right)}^2}} },$

(11)

式中：A_n为接地区第n个节点的磨损量； $\overline A$ 为接地区内所有节点累计得到的磨损量均值.

2. 轮胎磨损间接评价指标

分析跨座式单轨车辆轮胎磨损特性时，通常是将车辆动力学模型输出的边界条件导入走行轮各轮胎有限元模型分析其磨损与不均匀磨损特性，考虑车辆众多参数时，计算量尤为复杂^[18]. 因此，有必要新建一个磨损特性间接评价指标. 通过对汽车轮胎不均匀磨损可知，侧偏角、侧倾角是影响轮胎不均匀磨损的重要因素，合理的组合能有效改善轮胎的磨损状态.

2.1 侧偏角

侧偏角 $\alpha$ 定义为车轮滚动接触平面与车轮中心运动方向的夹角，顺时针方向为正. 侧偏角由轮胎运行条件所决定，并取决于车辆前进速度、侧向速度、横摆角速度和转向角等，如图3所示.

2.2 侧倾角

车轮侧倾角 ${\beta _{}}$ 为车轮外倾角是车轮平面与路面垂直面之间的夹角^[19]，当车辆或转向架侧滚时，轮胎将产生侧倾角，与地面形成倾角的旋转主轴与地面的交点O则是车轮几何运动的中心，如图4所示.

2.3 侧偏角对走行轮轮胎磨损影响

在纯侧偏工况下，走行轮轮胎的磨损量及磨损量偏度值趋势如图5所示.

图 3 轮胎侧偏角

Figure 3. Tire slip angle

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图 4 轮胎侧倾角

Figure 4. Tire roll angle

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图 5 纯侧偏工况下走行轮轮胎磨损量及其偏度值

Figure 5. Wear mass loss and its skewness of the running wheel tire with slip angle

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由图5可知：当走行轮侧偏角从−3.0° 变化到0 时，走行轮轮胎磨损量与其磨损量偏度值逐渐减小；当走行轮侧偏角从0 增加到3.0° 时，其磨损量与磨损量偏度值均随着侧偏角增大而逐渐增大.

2.4 侧倾角对走行轮轮胎磨损影响

纯侧倾工况下，走行轮轮胎磨损量及其偏度值如图6所示. 由图6可知：当侧倾角从−6.0° 变化到0 时，走行轮轮胎磨损量稳步增加；当侧倾角从0 增长到6.0° 时，走行轮轮胎磨损量逐渐下降；当侧倾角幅值较大时，走行轮轮胎磨损量偏度值急剧上升.

2.5 侧偏角及侧倾角匹配分析

当跨座式单轨车辆走行轮轮胎以不同的侧偏角及侧倾角运行时，走行轮轮胎的磨损状态各异，见表1.

由表1可知：在任一侧偏角下，走行轮轮胎磨损量均随着侧倾角幅值的增大而减小；在任一侧倾角下，走行轮轮胎磨损量均随着侧偏角幅值的增大而增大；当跨座式单轨车辆走行轮以小侧偏角、大侧倾角运行时，走行轮轮胎磨损量较小；侧偏角对轮胎磨损量的影响更大，当无法同时满足上述条件时，优先选择小侧偏角.

图 6 纯侧倾工况下走行轮轮胎磨损量及其偏度值

Figure 6. Wear mass loss and its skewness of the running wheel tire with roll angle

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表 1 不同侧偏角、侧倾角组合下轮胎磨损量

Table 1. Wear of walking wheel tire with different slip angles and roll angles × 10⁻⁴ g

侧倾角/（°）	侧偏角/（°）
侧倾角/（°）	−3.0	−2.0	−1.0	0	1.0	2.0	3.0
−6.0	5.29	4.80	4.12	3.29	4.28	5.17	5.67
−4.0	5.53	5.07	4.24	3.35	4.34	5.25	5.70
−2.0	5.71	5.20	4.30	3.38	4.38	5.23	5.71
0	5.82	5.22	4.32	3.39	4.36	5.22	5.81
2.0	5.86	5.24	4.52	3.37	4.31	5.20	5.62
4.0	5.72	5.18	4.29	3.32	4.25	5.06	5.42
6.0	5.70	5.11	4.23	3.28	4.13	4.86	5.16

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3. 车辆二系悬挂参数对走行轮轮胎不均匀磨损影响

本文重点研究跨座式单轨车辆以规定的速度、标准的载荷过半径为100 m的弯道时，二系悬挂纵向、横向和垂向的刚度参数参数对走行轮各轮胎不均匀磨损的影响.

3.1 二系悬挂纵向刚度对走行轮不均匀磨损的影响

保持其他参数不变，单独改变二系悬挂纵向刚度，由车辆动力学模型计算所得的走行轮各轮胎侧偏角及侧倾角如图7所示，图中：k_x,ct₀为二系悬挂纵向刚度初始值. 由图7可知：二系悬挂纵向刚度对走行轮各轮胎侧倾角几乎没有影响，而调整二系悬挂纵向刚度，使走行轮各轮胎总体侧偏角幅值达到较小值，能有效改善走行轮轮胎的磨损状态.

图 7 二系悬挂纵向刚度对侧偏角、侧倾角的影响

Figure 7. Influence of longitudinal stiffness of secondary suspension on the slip angle and roll angle

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3.2 二系悬挂横向刚度对走行轮不均匀磨损的影响

保持其他参数不变，单独改变二系悬挂横向刚度，由车辆动力学模型计算所得的走行轮各轮胎侧偏角及侧倾角如图8所示，图中：k_y,ct₀二系悬挂横向刚度初始值. 由图8可知：二系悬挂横向刚度对走行轮各轮胎侧偏角影响很大，对走行轮各轮胎侧倾角几乎没有影响. 综上考虑，调整二系悬挂横向刚度能有效改善走行轮各轮胎磨损状态.

3.3 二系悬挂垂向刚度对走行轮不均匀磨损的影响

保持其他参数不变，单独改变二系悬挂垂向刚度，由车辆动力学模型计算所得的走行轮各轮胎侧偏角及侧倾角如图9所示，图中：k_z,ct₀为二系悬挂垂向刚度初始值.

由图9可知：随着二系悬挂垂向刚度增加，走行轮各轮胎侧偏角幅值均下降，且走行轮各轮胎侧偏方向不变；当二系悬挂垂向刚度值为1.3k_z,ct₀时，前、后排走行轮轮胎侧偏角幅值接近相等；当二系悬挂垂向刚度值增加到1.5k_z,ct₀时，左前与左后走行轮轮胎侧偏角幅值接近为0，此时磨损状态良好；二系悬挂垂向刚度对走行轮各轮胎侧倾角几乎无影响，因此通过优化二系悬挂垂向刚度使走行轮各轮胎侧偏角幅值处于合理值能有效改善走行轮各轮胎磨损状态.

图 8 二系悬挂横向刚度对侧偏角、侧倾角的影响

Figure 8. Influence of lateral stiffness of secondary suspension on the slip angle and roll angle

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图 9 二系悬挂垂向刚度对侧偏角、侧倾角的影响

Figure 9. Influence of vertical stiffness of secondary suspension on the slip angle and roll angle

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4. 车辆二系悬挂参数优选

4.1 优选参数选择

二系悬挂纵向刚度、横向刚度、垂向刚度对走行轮各轮胎侧偏角及侧倾角均有一定程度影响，因此这些参数可初步作为优选参数.

4.2 优选条件

为保证跨座式单轨车辆弯道通过性与走行轮各轮胎磨损均匀性，约束条件为：

1）前排走行轮各轮胎侧偏角方向相同，后排走行轮各轮胎侧偏角方向相同；

2）在车辆参数变化过程中，前、后排走行轮各轮胎侧偏角方向不能发生改变；

3）假设前排或后排走行轮两轮胎的侧偏角幅值分别为 ${C_1}$ 和 ${C_2}$ ，则

$\frac{{\left| {{C_1} - {C_2}} \right|}}{{{{{\min }\{ {{C_1},{C_2}} \}}}}} \leqslant 10{\text{%}} .$

(12)

4.3 参数优选分析

4.3.1 二系悬挂纵向刚度

由图7可得：当需同时满足其约束条件时，需将二系悬挂纵向刚度值调得足够高，而此时走行轮各轮胎侧偏角幅值均比较大，不均匀磨损现象严重. 因此很难通过单独调整二系悬挂刚度值使走行轮轮胎磨损状态得以较大改善.

4.3.2 二系悬挂横向刚度优选

二系悬挂横向刚度参数优选如图10所示. 由图10可知：当二系悬挂横向刚度值＞1.2k_y,ct₀时，左前与左后走行轮轮胎侧偏角方向发生改变，不符合约束条件 2）；当二系悬挂横向刚度值为0.6k_y,ct₀或1.1k_y,ct₀左右时，同时满足所有约束条件. 由于当二系悬挂横向刚度值取后者时走行轮各轮胎侧偏角幅值更小，因而二系悬挂横向刚度优选值为1.1k_y,ct₀，此时前排走行轮侧偏角为0.3°，后排走行轮侧偏角为−0.2°.

4.3.3 二系悬挂垂向刚度优选

二系悬挂垂向刚度参数优选如图11，由图11可知：当二系悬挂垂向刚度值为1.3k_z,ct₀时，同时满足上述约束条件，且走行轮各轮胎侧偏角幅值均较小. 因此，二系悬挂垂向刚度优选值为1.3k_z,ct₀，此时，前排走行轮侧偏角为0.2°，后排走行轮侧偏角为−0.2°.

图 10 二系悬挂横向刚度参数优选

Figure 10. Parameter optimization of lateral stiffness of secondary suspension

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图 11 二系悬挂垂向刚度参数优选

Figure 11. Parameter optimization of vertical stiffness of secondary suspension

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以前转向架为例，综上分析可得：优选前，转向架中前、后排走行轮轮胎侧偏角分别为0.5°、0.3°、−0.4°、−0.2°；优选后，转向架中前、后走行轮轮胎侧偏角为0.2°、0.2°、−0.2°、−0.2°.

5. 结　论

1）为了探究走行轮各轮胎的不均匀磨损情况，通过分析跨座式单轨列车走行轮的运行工况，建立了走行轮有限元轮胎模型.

2）通过轮胎磨损特性研究，探索走行轮轮胎侧偏角、侧倾角及其组合与走行轮轮胎磨损与不均匀磨损的关联性，可以建立少变量易分析的走行轮轮胎磨损及不均匀磨损的间接评价，能够更加直观有效地分析走行轮各轮胎的不均匀磨损情况.

3）通过建立的间接评价指标，研究了车辆结构参数中二系悬挂参数对走行轮各轮胎磨损及不均匀磨损的影响，并提出了选取合适的参数值，能够有效减轻走行轮各轮胎不均匀磨损.

4）由于跨座式单轨车辆参数同时对其他性能有很大影响，而本文仅从走行轮轮胎磨损与不均匀磨损角度出发优选了部分参数，这虽存在一定缺陷，但仍有一定工程意义.

图 1 磁浮时滞模型

Figure 1. Time lag model of magnetic levitation

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图 2 Routh-Hurwitz稳定性范围

Figure 2. Routh-Hurwitz stability region

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图 3 无时滞稳定性验证

Figure 3. Stability verification without time lag

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图 4 控制器时滞临界值与反馈控制参数的关系

Figure 4. Relationships between critical value of controller time lag and feedback control parameters

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图 5 固有频率与反馈控制参数的关系

Figure 5. Relationships between natural frequency and feedback control parameters

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图 6 控制器时滞临界值与系统参数的关系

Figure 6. Relationships between critical value of controller time lag and system parameters

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图 7 固有频率与系统控制参数的关系

Figure 7. Relationships between natural frequency and system parameters

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图 8 τ=0.000 900 s，τ<τ₀时的系统响应

Figure 8. System response with time lag τ=0.000 900 s, τ<τ₀

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图 9 τ=0.001 000 s，τ>τ₀时的系统响应

Figure 9. System response with time lag τ=0.001 000 s, τ>τ₀

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图 10 τ=0.000 986 s，τ>τ₀时的系统响应

Figure 10. System response with time lag τ=0.000 986 s, τ>τ₀

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图 11 UM模型建立示意

Figure 11. UM model establishment

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图 12 内部控制模块示意

Figure 12. Internal control module

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图 13 τ=0.000 900 s，τ <τ₀时的系统响应

Figure 13. System response with time lag τ=0.000 900 s, τ<τ₀

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图 14 τ=0.001 000 s，τ>τ₀时的系统响应

Figure 14. System response with time lag τ=0.001 000 s, τ>τ₀

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参考文献(39)

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施引文献

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1. 轮胎磨损模型建立
1.1 运行工况下磨损分析
1.2 轮胎有限元模型
1.3 模型验证
1.4 轮胎磨损及不均匀磨损指标
2. 轮胎磨损间接评价指标
2.1 侧偏角
2.2 侧倾角
2.3 侧偏角对走行轮轮胎磨损影响
2.4 侧倾角对走行轮轮胎磨损影响
2.5 侧偏角及侧倾角匹配分析
3. 车辆二系悬挂参数对走行轮轮胎不均匀磨损影响
3.1 二系悬挂纵向刚度对走行轮不均匀磨损的影响
3.2 二系悬挂横向刚度对走行轮不均匀磨损的影响
3.3 二系悬挂垂向刚度对走行轮不均匀磨损的影响
4. 车辆二系悬挂参数优选
4.1 优选参数选择
4.2 优选条件
4.3 参数优选分析
5. 结　论

1. 轮胎磨损模型建立
1.1 运行工况下磨损分析
1.2 轮胎有限元模型
1.3 模型验证
1.4 轮胎磨损及不均匀磨损指标
2. 轮胎磨损间接评价指标
2.1 侧偏角
2.2 侧倾角
2.3 侧偏角对走行轮轮胎磨损影响
2.4 侧倾角对走行轮轮胎磨损影响
2.5 侧偏角及侧倾角匹配分析
3. 车辆二系悬挂参数对走行轮轮胎不均匀磨损影响
3.1 二系悬挂纵向刚度对走行轮不均匀磨损的影响
3.2 二系悬挂横向刚度对走行轮不均匀磨损的影响
3.3 二系悬挂垂向刚度对走行轮不均匀磨损的影响
4. 车辆二系悬挂参数优选
4.1 优选参数选择
4.2 优选条件
4.3 参数优选分析
5. 结　论

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二自由度磁浮列车悬浮系统时滞控制研究

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20230282

作者简介: 王美琪（1987—），男，副教授，博士，研究方向为非线性动力学、磁悬浮列车动力学与控制，E-mail：wangmeiqi@stdu.edu.cn

通讯作者: 刘鹏飞（1985—），男，副教授，博士，研究方向为列车-轨道耦合动力学、磁悬浮列车动力学与控制，E-mail：lpfswjtu@163.com

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