Dimensional Synthesis Approach for Planar Open Path Based on Chord Angle Descriptor
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摘要:
针对数值图谱法提取平面开环轨迹特征计算量大、检索效率低的问题，提出一种基于弦角描述符的平面开环轨迹尺寸综合方法. 首先，利用弦角描述符的平移、旋转、缩放不变性，得到与机构机架位置、机架偏转角度和整体缩放均无关的开环轨迹形状特征；其次，基于弦角描述符自包含属性提出不受采样分辨率影响的开环轨迹部分匹配算法；然后，通过多维尺度缩放法将弦角描述符压缩为2维特征，并结合层次聚类算法，建立16 000组平面四杆机构的数值图谱库；在此基础上，根据弦角描述符与图谱库中弦角描述符的相似程度，检索出满足设计要求的机构尺寸型；最后，通过2个平面开环轨迹尺寸综合算例，验证该方法的有效性. 研究结果表明：所提尺寸综合方法能够得到满足设计要求的平面开环轨迹尺寸综合结果，且无需对轨迹进行归一化处理；与B样条曲线描述符、曲率描述符、傅里叶描述符相比，弦角描述符的开环轨迹匹配总时间分别减少了43%、35%、38%.
Abstract:To deal with huge computation and low retrieval efficiency in extracting planar open path features by a numerical atlas method, a dimensional synthesis approach was proposed for planar open paths based on chord angle descriptors. Firstly, by using the invariance of translation, rotation, and scaling of chord angle descriptors, the open path shape features independent of the frame position, orientation, and overall scaling of linkages were obtained. Secondly, based on the self-contained properties of chord angle descriptors, a partial matching algorithm not affected by the sampling resolution was proposed for open paths. Furthermore, the chord angle descriptors were compressed into two-dimensional features by multi-dimensional scaling. The numerical atlases of 16 000 groups of planar four-bar linkages were established by combining the hierarchical clustering algorithm. On this basis, the linkage dimension type suitable for design requirements was retrieved according to the similarity between the chord angle descriptors and those in the atlases. Finally, this method was validated by two-dimensional synthesis examples of planar open paths. The research findings show that overall dimensional results of planar open paths satisfying the design requirements can be achieved through the dimensional synthesis approach, and normalization is not required for paths. Compared with that of the curve descriptor, the curvature descriptor, and the Fourier descriptor of the B sample, the total open path matching time of the chord angle descriptors decreases by 43%, 35%, and 38%, respectively.
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现行电气化铁路采用换相（异相）单边供电[1-2]，以减少负序对三相电网的影响[3]，进而降低电能质量问题中的三相电压不平衡[4]. 为此，需要在接触网的各供电分区之间增设电分相以进行隔离. 然而，电分相[5]的设置导致了无电区，给铁路运行带来诸多问题[6-10]. 同相供电可以同时解决牵引变电所的负序问题及其出口处的电分相问题. 在文献[11]提出同相供电方案之后，研究者们基于无功型对称补偿技术[12-17]进一步开发了牵引变电所有功型同相供电方法[18-19]. 该方法能以最小补偿容量使三相电压不平衡度达标[20]，同时消除变电所出口处的电分相. 为进一步消除分区所处和全线的电分相和无电区，不仅需要实现两个牵引变电所间的双边供电和更大范围的贯通供电[18,21-22]，还需应对铁路贯通供电可能对电网带来的新问题.
1. 贯通供电
贯通供电是两个及以上牵引变电所同相供电和分区所双边供电的结合，能够确保现代交直交列车的牵引和（电）制动都需要的牵引网不间断供电. 最简单的贯通供电是采用单相牵引变压器的牵引变电所同相供电和分区所双边供电的结合，如图1所示. 图中，分区所纵向断路器K需要合闸才能实现贯通供电，否则，仅为牵引变电所的同相供电，属于单边供电. 电网中，将分区所断路器K合闸的操作称为合环，合环需满足电网规定的条件，否则无法进行贯通供电.
图 1 同相单边供电和贯通供电空载示意Figure 1. Co-phase single-end power supply and interconnected power supply under no-load condition虽然俄罗斯、乌克兰等前苏联国家[2]及韩国的电气化铁路一直采用双边供电，但其牵引变电所仍然采用异相供电，即换相接入电网，并不属于本文定义的贯通供电.
图1（a）所示的同相单边供电牵引网通过单个牵引变电所与电网的单个公共连接点连接后向列车供电. 而图1（b）所示的贯通供电牵引网则通过多个牵引变电所与电网的多个公共连接点连接后向列车供电，此时，牵引网成为电网中的连接支路，牵引供电系统和电网的拓扑结构发生变化. 以牵引网空载情况为例，双边供电的牵引变电所和牵引网串联后在电网不同公共连接点之间又增生了一条新的支路，形成新的电流分量，称为均衡电流或环路电流，或者说增生了一个新的功率分量，称为穿越功率. 与贯通供电相比，由于同相单边供电分区所（SP）的纵向断路器K分闸，牵引网不贯通，空载工况下不会产生穿越功率.
图2为同相单边和贯通供电的列车牵引用电和再生发电工况示意. 从图中可见，同相单边供电时，不同牵引变电所的列车牵引用电功率和列车再生发电功率在贯通供电时得以叠加，虽然列车的用电和发电总量不变，但贯通供电后，从电网用电或向电网发电的最大功率会减小，对应的负序最大值也会减小. 从这个意义上说，贯通供电优于单边供电.
图 2 同相单边和贯通供电运行工况示意Figure 2. Operation under co-phase single-end power supply and interconnected power supply但与同相单边供电相比，贯通供电给电网带来新的问题，即能否合环以及合环后的穿越功率问题. 本文讨论电网的正常状态，关于故障状态和对应的继电保护技术，可参见文献[18]、[23-24].
2. 贯通供电合环
以图1（b）中选择两个牵引变电所构成的双边供电合环情形加以讨论，如图3所示. 假设实施双边供电的两个变电所SS1、SS2的电源分别来自有（等效）电气连接的电网公共连接点PCC1、PCC2，当牵引变电所SS1、SS2之间分区所的纵向断路器K合闸，就构成双边供电.
实现双边供电必须在同一电网内进行. 电气化铁路的双边供电与电网的电磁合环有所不同：电网电磁合环为三相合环，而双边供电是单相合环；电网电磁合环的开关是常开的，而双边供电的纵向开关是常闭的. 尽管如此，由于双边供电和电网的电磁合环都将改变电网的拓扑结构和运行方式，因此，必须满足电网规定的合环条件.
《青海省电力系统调度规程》[25]规定了电网的解合环操作，其中合环操作：“必须相位相同，电压差一般允许在20%之内，相角差一般不超过20°，以确保合环时不因环路电流过大引起潮流的变化而超过继电保护、系统稳定和设备容量等方面的限额. 合环后应当及时通知有关调度及厂站. 对于较复杂环网的操作，应当先进行模拟计算. ”
《中国南方电网电力调度管理规程》[26]解合环操作规定：1） 必须确保相序相位正确才能合环；2） 解、合环操作必须确保解、合环后潮流不超过稳定极限、设备不过负荷、电压在正常范围内，不引起继电保护和安全自动装置误动；3） 具备条件时，合环操作应使用同期装置；4） 500 kV合环时电压差一般不应超过额定电压10%，220 kV不应超过额定电压20%；500 kV系统合环一般应检同期合环，有困难时应启用合环开关的同期装置检查相角差；500 kV合环时相角差一般不应超过20°，220 kV一般不应超过25°.
图3中PCC1和PCC2之间的电压差和相角差可以于K合闸之前在分区所测得，也可以在已知PCC1和PCC2之间的电气连接关系时通过潮流计算得到[3].
实际电网中，图3所示PCC1和PCC2之间的电气连接方式多种多样，作为举例，这里考虑220 kV输电线路对铁路两个牵引变电所的专用线供电方式，则三相等值电路可由图4描述. 图中，ZA、ZB和ZC为输电线的三相阻抗，L为牵引变电所之间的距离.
首先，分析分区所纵向断路器K合闸之前PCC1和PCC2之间的电压差和相角差是否满足合环规程的规定.
当末端负荷电流$\dot I$通过电阻为R、电抗为X，即阻抗为$Z = R + {\text{j}}X$的线路时，首端电压${\dot U_{\text{f}}}$与末端电压${\dot U_{\text{e}}}$的电压降$ \Delta \dot U $、电压差$ \Delta U $和相位差θ的相量图如图5所示[1,15]. $ \Delta U $和θ分别为[1,27]
ΔU=|˙Uf|−|˙Ue|=√(Ue+XIsinφ+RIcosφ)2+(XIcosφ−RIsinφ)2−Ue≈XIsinφ+RIcosφ, (1) θ=arctanXIcosφ−RIsinφXIsinφ+RIcosφ, (2) 式中：$\varphi $为电流$\dot I$的功率因数角，以滞后为正.
220 kV输电线路最大输送功率为500 MV•A[3]. 计算中，输电线采用2 × LGJQ-500二分裂导线，取单位长阻抗z0=
0.0312 + j0.3052 Ω/km，PCC2处的输送功率分别取200、300、500 MV•A. 考虑相邻牵引变电所的间距L与输电线匹配，L分别取50、60、70、80 km，输送功率的功率因数分别取0.95和0.90，ΔU和θ的计算结果分别列于表1和表2. 其中，ΔU的百分值以额定电压220 kV为基准.表 1 功率因数为0.95（滞后）时的电压差ΔU和相角差θTable 1. Voltage difference (ΔU) and phase angle difference (θ) at a power factor of 0.95 (lagging)L/km 传输功率 200 MV•A 传输功率 300 MV•A 传输功率 500 MV•A ΔU/kV ΔU/% θ/（o） ΔU/kV ΔU/% θ/（o） ΔU/kV ΔU/% θ/（o） 50 3.49 2.74 3.23 5.38 4.23 4.78 9.44 7.43 7.74 60 4.23 3.33 3.85 6.56 5.16 5.69 11.60 9.13 9.16 70 4.99 3.93 4.47 7.77 6.12 6.58 13.85 10.90 10.53 80 5.77 4.54 5.08 9.02 7.10 7.45 16.17 12.73 11.85 表 2 功率因数为0.90（滞后）时的电压差ΔU和相角差θTable 2. Voltage difference (ΔU) and phase angle difference (θ) at a power factor of 0.90 (lagging)L/km 传输功率 200 MV•A 传输功率 300 MV•A 传输功率 500 MV•A ΔU/kV ΔU/% θ/（o） ΔU/kV ΔU/% θ/（o） ΔU/kV ΔU/% θ/（o） 50 4.41 3.47 2.99 6.74 5.30 4.41 11.63 9.16 7.10 60 5.33 4.20 3.56 8.17 6.44 5.23 14.19 11.17 8.37 70 6.26 4.93 4.13 9.64 7.59 6.04 16.81 13.24 9.60 80 7.21 5.68 4.68 11.13 8.76 6.84 19.50 15.35 10.78 从图5和表1、2可见，输送（视在）功率的功率因数越高，电压差越小，但相角差越大. 总的看：在牵引变电所间距不超过80 km下（通常如此），双边供电时分区所的合环电压差不大于16.00%，相角差不大于12.00°，低于合环规程的规定值，符合要求.
实践中，双边供电除了仿真计算之外，在合环前应选择牵引网处于空载状态，并检测分区所两侧接触网的电压差和相角差，在允许的电压差和相角差范围内，才能令纵向断路器K合闸.
双边供电一旦合环就可长期运行.
3. 穿越功率分析与计算
牵引供电系统的正常状态可分为牵引、再生和空载3种工况. 其中，空载工况下，双边供电与单边供电才有本质区别，双边供电的牵引供电系统与电网（等效）输电线并联，造成均衡电流或者穿越功率. 从图6可见，空载工况下，双边供电的穿越功率在一个变电所（如SS1）表现为用电状态，在另一个变电所（如SS2）则表现为发电状态，更多牵引变电所贯通供电时，穿越功率可能穿越得更远.
3.1 等效电路与均衡电流计算
对应图1和图4，将归算到电网侧的三相等效电路示于图7. 图中，Zd为三相输电线的相阻抗，即ZA=ZB=ZC=Zd；$ {Z_{{\text{J1}}}} $和$ {Z_{{\text{J}}2}} $为牵引变电所SS1和SS2的进线相阻抗；$ Z_{{\text{T1,e}}} $和$ Z_{{\text{T}}2,{\mathrm{e}}} $为归算到电网侧的单相牵引变压器阻抗；$ Z_{\text{q,e}} $为归算到电网侧的牵引网阻抗；LC为电力机车.
考虑牵引网空载工况，选择A相或B相可得计算均衡电流的单相等效电路，如图8所示. 图中，用$ {Z_{\text{d}}} 、{Z_{\text{q}}} $分别表示电网输电线与牵引供电系统（包括进线相阻抗）的归算阻抗. 设总电流为$ \dot I $，通过电网输电线的电流为$ {\dot I_{\text{d}}} $，通过牵引供电系统的电流为$ {\dot I_{\text{q}}} $，则有支路电压方程如式（3）所示.
˙IqZq=Zd˙Id. (3) 设ZJ1=ZJ2=ZJ，则求得均衡电流Iq为
˙Iq=ZdZq˙Id=Zd2ZJ+(ZT+12Zq,e)k2T˙Id, (4) 式中：kT为牵引变压器变比，即电网进线的线电压与牵引母线额定电压的比值.
定义分流比为η，即均衡电流与电网输电线中的电流之比，则由式（4）得
η=|˙Iq˙Id|=|ZdZq|=|Zd2ZJ+(ZT+12Zq,e)k2T|. (5) 精确计算需要掌握具体数据. 假设电网PCC1和PCC2之间220 kV输电线的长度为50 km，PCC1（PCC2）到牵引变电所SS1（SS2）的进线长度为10 km，输电线单位长阻抗同前，牵引变压器均为单相变压器，额定容量均为31.5 MV•A，短路电压百分比为10.5%，则求得归算到牵引侧的漏抗ZT=
0.2134 + j2.52 Ω，相邻牵引变电所间距50 km，直供方式牵引网空载电压为27.5 kV，变比kT=8，单线铁路、单链型悬挂牵引网单位长阻抗z=0.232 + j0.515 Ω/km，代入式（5）可得η=1.44%. 工程上，可以用η≈1k2T, (6) 进行估算，计算得$ \eta $=1/64≈1.56%，接近且略大于精确计算值.
3.2 穿越功率计算与测量
设电网输电线的额定电压为UN，由式（3）得到穿越功率Sq为
Sq=UNIq=ZdZqUNId, (7) 或者已知电网输电线三相功率S时，由式（8）估算得牵引网（单相）穿越功率.
Sq≈S√3k2T. (8) 一般110 kV输电线最大输送功率为50 MV•A，则直供方式时，变比kT=4，由式（8）估算得双边供电最大穿越功率为1.8 MV•A，占比3.6%；220 kV输电线最大输送功率为500 MV•A，则直供方式时，kT=8，由式（8）估算得双边供电穿最大越功率为4.6 MV•A，占比1.8%.
上述定义和讨论的均衡电流和穿越功率均沿线路传输，故称为纵向分量. 穿越功率可进一步分为有功分量和无功分量（一般为感性），都属于纵向分量. 因此，如果穿越功率存在，则在牵引变电所进线、牵引馈线以及牵引网的任何方便的部位都能测量得到. 还有一个像负荷一样的横向分量，这就是线路的容性无功功率，也叫充电功率. 穿越功率取决于电网对牵引供电系统的供电方式和电网潮流，充电功率则沿输电线和牵引网分布，取决于其长度和电压等级. 线路充电功率在分区所纵向断路器合闸前后的总量不变，但合闸后将在系统中重新分配，此时也存在一个分流点. 当分流点与分区所不重合时，分区所会测到这个分量不是0，而当分流点与分区所重合时，分区所的这个分量就是0.
要判断分区所合环后是否存在穿越功率，则应在牵引网空载时测量牵引网的有功分量，才能准确反映穿越功率情况：若检测到的有功分量为0，则穿越功率中的（纵向）无功分量亦为0，穿越功率即为0；而此时若检测到的无功分量不为0，只能说明存在充电功率（横向分量），不是穿越功率. 下面会看到，当电网对铁路牵引变电所进行树形供电时，理论上穿越功率为0.
4. 穿越功率解决方案
正常运行状态下，双边供电与单边供电在潮流分布上的唯一区别就是穿越功率问题. 由上分析可知，穿越功率占比很小，不会对电网潮流造成大的影响. 但是，为不产生穿越功率或不向电网发电（分量），仅达到与单边供电相同或更好的效果，必须关注并解决穿越功率的问题.
1） 树形供电
电网的变电站用同一（分段）母线公共连接点（PCC）为多个铁路变电所供电，这种供电方式称为树形供电[19,22,28]，如图9所示. 此时，对应图3，可认为PCC1与PCC2合并，电网输电线长度为0，即令式（6）中Zd=0，得η=0. 因此，铁路实施树形双边供电不会产生均衡电流和穿越功率，而负序等电能质量影响与铁路单边供电的处理方式相同.
我国西北地区地广人稀，电网对铁路牵引变电所多进行树形供电，为开展和实施树形双边供电提供了得天独厚的条件. 国铁集团于2020年在科技研究开发计划中立项开展“电气化铁路牵引变电所双边供电试验”研究，通过综合比选，考虑电网电源条件，试验段选取在海拔约
3000 m、线路坡度16‰的格库铁路（青海段）东柴山至花土沟车站区段，长度约75 km. 格库铁路为国铁Ⅰ级客货共线的单线双向电气化铁路，设计速度120 km/h，使用HXD1C系列电力机车. 2021年7月试验取得圆满成功，仿真和试验证明在树形供电方式下，双边供电不产生穿越功率，具备投运条件.交通运输部国家“交通强国”试点中的“巴准铁路贯通式同相供电工程化”项目也是在电网树形供电下的铁路贯通供电应用实例[26]. 该铁路位于内蒙古鄂尔多斯市，为国铁Ⅰ级复线电气化重载运煤铁路，东起点岱沟站，向西经海勒斯壕南站与包神铁路在巴图塔站接轨，全长128 km. 改造前设有4座牵引变电所，贯通供电改造后由电网的川掌变电站树形供电至保留的四道柳和纳林川两个牵引变电所，牵引变电所均采用组合式同相供电方案[11]：主变更换为不等边Scott接线，其M座额定容量为40 MV•A，T座同相供电装置采用5 MV•A运行 + 5 MV•A备用方式，2014年6月25日8时58分四道柳和纳林川变电所之间的分区所合环成功，2024年9月实现全线贯通，这是世界首条取消全部电分相和无电区的贯通供电线路.
2） 合建所
将牵引变电所与电力（动照）变电所合建在一起，牵引变压器和电力（动照）变压器接入同一进线母线，如图10的SS2所示. 假设穿越功率由变电所SS1流向SS2，只要电力变压器的电力负荷大于穿越功率，则穿越功率就被“淹没”，合建所总体对电网表现为用电状态，而不会向电网发电. 由于穿越功率通常较小，只需电力负荷大于该值，即可解决穿越功率向电网发电的问题.
3） 穿越功率利用
首先识别穿越功率，例如通过光纤实时传递双边供电两端牵引馈线的有功功率，设流向牵引网为正，当该功率非0且两者之和为0时，则判定该功率为穿越功率，再在穿越功率末端的牵引变电所牵引母线上将穿越功率通过交/直/交（AC/DC/AC）装置将穿越功率转移到三相电力用电母线上，供电力负荷利用，或者通过交/直（AC/DC）装置与储能装置（ES）连接进行储能利用，为了更好利用和控制储能装置容量，一般串接直/直（DC/DC）变换装置，如图11所示. 图中，TT为牵引变压器，PTa为电压互感器，CTa为电流互感器.
多数情况下，电网对铁路的供电方式是非树形的，这时就有穿越功率产生[12-14]，例如，广州地铁18号和22号线采用同相供电，在陇枕变电所和陈头岗变电所进行了贯通供电试验，试验测试显示，穿越功率最大为2.2 MV•A.
5. 多功能的智能牵引变电所
与单边供电相比，贯通供电仍会产生负序功率和再生发电功率，但其最大值通常较小. 此外，贯通供电可能还会产生穿越功率. 由于再生发电功率和穿越功率的发电分量可以在牵引变电所进行统一处理，因此应提出一种多功能的牵引变电所供电方案，如图12所示. 图中：TSB为牵引母线；部分功率直流变换器（TPC）和三端口变换器（TPC）均为单相变流器，两者串联构成同相供电装置；DPC为三相交直变流器构成的能量转换装置，与TPC配合向铁路三相用电系统送电；ES为储能装置；RES为新能源发电装置；HPF为高通滤波器；PT为电压互感器；CT1和CT2为电流互感器；A、B、C为牵引变电所进行三相母线；a、b、c则为铁路三相用电系统的母线.
该方案借助单相组合式同相供电方案，仍然以Scott牵引变压器的M座牵引绕组为供电主通道，通过共用直流母线，增加新的潮流调节通道，最大程度复用变流器，减低变流器容量，增加性价比，使全寿命周期成本降至最低. 由于这种多功能供电方案可以根据供电需求进行灵活配置，同时实现牵引供电系统状态数据离线和在线智慧预测与监测，故亦可称为智能牵引变电所.
智能牵引变电所按照需要可以配置以下几个部分：1） M座牵引绕组构成单相牵引变压器，为供电主通道，简单、经济、可靠；2） 同相供电装置，由TPC、PPC串联构成，按需配置，使负序达标；3） 发电功率及穿越功率发电分量利用通道由TPC和DPC或ES构成，联通铁路三相用电或融入储能系统，能源高效融合利用，按需配置；4） 新能源发电通道，按需配置，接入地点可在变电所或车站，实现铁路沿线新能源消纳；5） 高通滤波通道，按需配置，消除高次谐波和谐振.
一般同相供电装置的容量仅占M座牵引绕组（主变）容量1/4甚至更小，穿越和再生功率利用通道容量也在5 MV•A及以下，可有效减少设备重复与投资.
智能牵引变电所具有故障导向安全特性，即使图12中的②～⑤通道退出运行，也能够保持牵引供电.
此外，借助单相组合式同相供电方案，还可以构造共用交流牵引母线的智能牵引变电所方案.
智能牵引变电所具有以下多种功能：1） 可以补偿负序，使三相电压不平衡达标，不对电网造成影响；2） 可以补偿无功功率，提高功率因数，提高和稳定网压；3） 可以消除高次谐波和谐振；4） 可以调控系统潮流，将剩余再生发电功率和穿越功率发电分量转变为用电功率，不向电网发电，不影响电网发电潮流调度；5） 可以促进铁路沿线新能源消纳等.
以上功能可以根据工程实际需要进行灵活组合.
6. 结 论
1） 在一般牵引变电所间距（不超过80 km）下，双边供电时分区所的合环电压差不大于16.00%，相角差不大于12.00°，符合电网合环规定.
2） 与单边供电相比，双边供电和贯通供电可能会产生穿越功率. 该穿越功率可以通过计算和测量获得. 以110 kV输电线为例，其最大输送功率为50 MV•A，采用直供方式时，牵引网的最大穿越功率为1.8 MV•A，占电网输送功率的3.6%；而220 kV输电线的最大输送功率为500 MV•A，直供方式下牵引网的最大穿越功率为4.6 MV•A，占比为1.8%.
3） 消除穿越功率向电网发电的影响，可以采取电网树形供电、合建变电所和穿越功率利用等方案加以解决.
4） 可以进一步发展多功能的智能牵引变电所，根据实际需求进行灵活配置，综合解决负序、再生发电和穿越功率等对电网的影响问题，从而实现电气化铁路的更大范围贯通供电，推动电网和铁路的双赢发展.
致谢：黄小红、王辉、张戬、王帅博士参加了相关研究工作，在此表示感谢.
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图 12 表3机构的运动轨迹及其匹配轮廓段
Figure 12. Motion paths of linkages in Tab.3 and their matching segments
图 14 表4机构的运动轨迹及其匹配轮廓段
Figure 14. Motion paths of linkages in Tab.4 and their matching segments
表 1 轨迹匹配过程所用时间
Table 1. Time consumption of path matching process
描述符 归一化
时间/ms相似度
计算时间/ms总时间/ms 减少时间
百分比/%弦角描述符 13 13 B样条曲线描述符 12 11 23 43 曲率描述符 12 8 20 35 傅里叶描述符 12 9 21 38 
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表 2 ${\boldsymbol{\varLambda }}$中最大的前10个特征值
Table 2. Top 10 largest eigenvalues in ${\boldsymbol{\varLambda }}$
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 特征值 127984 34480 27102 19090 7166 4120 3694 3068 2586 1847
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表 3 算例1的尺寸综合结果
Table 3. Dimensional synthesis results of example 1
编号 ${r_1}$ ${r_2}$ ${r_3}$ ${r_4}$ $\phi $ ${\rho _{\max }}$ 1 1.3587 3.2236 3.8587 1.2522 − 2.2294 0.9981 2 1.0514 1.1401 2.2410 2.9365 − 0.7038 0.9980 3 0.6868 1.1227 0.7865 0.4678 0.4194 0.9974 4 0.5852 0.8668 0.9214 0.1351 − 0.7159 0.9974 5 0.3917 0.6009 1.5018 1.1475 − 0.2561 0.9973 6 0.7365 1.8271 1.6517 0.3828 0.8777 0.9973
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表 4 算例2的尺寸综合结果
Table 4. Dimensional synthesis results of example 2
编号 ${r_1}$ ${r_2}$ ${r_3}$ ${r_4}$ $\phi $ ${\rho _{\max }}$ 1 0.6485 0.7565 0.7875 2.7891 1.1536 0.9974 2 0.2227 0.7548 0.3097 0.8841 1.2532 0.9969 3 0.6797 0.3256 0.2244 0.3311 − 1.2038 0.9968 4 1.2501 0.6843 0.4309 0.7100 − 1.7501 0.9968 5 0.6241 1.0639 1.1351 1.9733 − 0.6183 0.9967 6 1.3592 1.2685 0.5040 1.8007 − 1.4115 0.9967
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