输电塔是高负荷电能输送的载体，亦是重要的生命线工程，保证其服役安全性具有重要意义^[1-3]. 然而，由于我国资源分布不均衡，输配电系统中约有2/3的面积为山区. 为保护线路走廊的生态环境，减少基础土石方开挖，输电线路在经过陡峭山区时常采用长短腿铁塔以适应地形需要^[4-5].

长短腿输电塔研究方面，贾玉琢等^[6]通过数值方法对比了长短腿输电塔和等长腿输电塔的动力响应，结果发现短腿的存在对输电塔位移、支座反力以及主材轴力均有显著影响；Szafran等^[7]开展铁塔整体推覆试验研究发现，塔腿的稳定性将决定铁塔的整体承载力；Chen等^[8]分析塔腿级差对输电塔结构效应的影响规律，发现长短腿级差将增大塔腿轴向力以及塔体的横纵向位移；刘鸣等^[9]研究在覆冰条件下长短腿钢管塔的动力特性，分析表明长短腿铁塔长腿处更早出现局部阵型，且自振频率减小幅度大于等于长腿铁塔；赵瑜等^[10]结合数值方法研究了长短腿形式对铁塔塔身的影响规律，并从塔身腹杆形式、开口、根开和截面材料等方面给出设计建议. 以上研究发现，相比于等长腿铁塔，长短腿的存在使得铁塔的结构型式和受力性能存在较大差异. 然现阶段长短腿输电塔的研究主要集中在试验及数值模拟方面，对于长短腿输电塔可靠度的研究却鲜有涉及. 可靠度分析是输电线路结构设计的重要保障，准确评估长短腿输电塔的可靠水平尤为重要.

类似于传统输电塔结构^[11][12][13]，长短腿输电塔通常存在多种失效模式，因此其属于整体可靠度问题. 通过等价描述法对长短腿输电塔的多个失效模式进行等价描述，进而将整体可靠度转化为简单可靠度问题求解，对于长短腿输电塔整体可靠度分析是一种可行的思路^[14]. 再而，长短腿输电塔功能函数经等价描述后，通常存在复杂的函数形式，采用常规基于验算点的方法可能存在多验算点问题致使计算精度不理想^[15]. 其中，矩方法不依赖于验算点，避开了复杂积分和求导运算，可极大兼顾计算精度和效率^[16]. 特别地，基于样本矩-改进最大熵法广泛应用于多种工程可靠度分析^[17-18]. 该方法通过拟Monte Carlo法（QMCS）获取结构的样本矩，并结合改进最大熵法拟合概率密度函数获得结构的可靠指标，可为长短腿输电塔整体可靠度分析提供一种切实可行的思路.

鉴于此，本文基于样本矩-改进最大熵法对陡峭山区长短腿输电塔开展整体可靠度分析. 结合典型工程实例，建立长短腿输电塔数值模型，并根据不同破坏形式给出对应的功能函数；通过等价极值事件原理、低偏差序列以及改进最大熵方法计算长短腿输电塔整体可靠指标，并分析不同塔腿级差对长短腿输电塔整体可靠指标的影响规律，以期为长短腿输电塔整体安全评估提供参考.

1.   长短腿输电塔数值模型及功能函数

1.1   数值模型的建立

本文依托某陡峭山区500 kV线路工程，以该工程中某长短腿耐张塔建立数值模型，其平面图见图1（a），铁塔相关设计参数见表1. 该塔为标准Ⅰ型塔，负荷按0°～20°转角包络计算，设计风速和覆冰厚度分别为30 m/s和15 mm. 杆塔均采用单角钢形式，主材规格最小为L160 × 10，最大为L250 × 30，斜材规格范围为L56 × 5～L200 × 14，通过Smart Tower设计软件，可将杆件截面类型、面积和惯性矩等参数信息转换至ANSYS APDL命令流. 采用通用有限元软件建立长短腿输电塔数值模型，其中，主材采用BEAM189单元模拟，斜材采用LINK8单元模拟，塔腿底部采用固定约束，有限元模型见图1（b）. 塔身主材、横担主材以及地线支架主材选用Q355钢，斜材选用Q235钢，通过双线性随动强化模型（BKIN）模拟本构关系. 采用拟静力方法对长短腿输电塔施加荷载，通过将各荷载转换为x、y和z 3个方向分力进行组合，并设置3个荷载步逐步施加杆塔和导地线自重、导地线张力、塔身和导地线风荷载. 其中，风荷载计算方面，根据《架空输电线路荷载规范》（DL/T 5551—2018）第4.2.10规定^[19]：“杆塔应计算最不利风向作用，一般耐张型塔可只计算90°一种基本风速的风向”. 因此，本文风荷载的计算考虑最不利风向，即风荷载按90°风向进行换算并加载. 需要说明的是，通过对该塔的所有工况预分析发现，其中主材主要受90°大风工况控制，因此本文算例中仅考虑大风工况，后续若需分析断线、不均匀冰和安装工况，可直接按具体工况进行加载，并沿用本文计算框架即可，兹不赘述.

图  1  平面图和有限元模型（单位：m）

Figure  1.  Plan view and finite element model (unit: m)

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图2给出了90°大风工况下长短腿输电塔轴向应力云图和位移云图，图中，MX、MV分别表示应力和位移最大、最小的位置. 由图2（a）可知，长短腿输电塔整体具有较好的承载能力，塔腿前后侧分别受拉压作用，最大应力主要集中在短腿主材区域，大小为245 MPa，相比长腿主材应力167 MPa，轴向应力绝对值增大47.3%，有必要评估具有长短腿效应的输电塔安全水平；由图2（b）可知，长短腿输电塔最大位移主要集中在塔顶，大小为619.9 mm，相比于规范^[20]的挠度限值（7h/1000 =7 × 94.7=662.9 mm，h为铁塔全高），位移低于挠度限值. 综上所述，长短腿输电塔可能发生杆件应力失效和塔顶位移失效2种破坏模式，属于整体可靠度分析范畴，有必要综合评估其整体的安全性.

表  1  输电塔设计参数

Table  1.  Design parameters of transmission tower

设计参数	取值/m		设计参数	取值/m
塔高	94.7		呼高	48
对角半根开	12.3		水平档距	450
垂直档距	700		塔腿级差	12

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图  2  轴向应力云图和位移云图

Figure  2.  Cloud map of axial stress and displacement

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1.2   功能函数

由于长短腿输电塔应力和位移量纲不一致，为方便后续对功能函数等价描述，将应力和位移的功能函数进行无量纲化处理.

根据《建筑结构可靠度设计统一标准》（GB 50068—2018）^[21]，长短腿输电塔功能函数为

式中：Θ为随机参数向量，σ_S（Θ）和σ_R（Θ）分别为长短腿输电塔抗力和效应.

进一步地，将式（1）无量纲化处理为

关于式（2）的解释为：当长短腿输电塔抗力和效应之比小于1时，则结构发生破坏. 长短腿输电塔应力和位移的G（Θ）无量纲化后，具有了可比性.

1.2.1   构件应力失效

根据受力形式不同，长短腿输电塔不同构件的破坏形式各异. 如主材和塔身斜材通常为受压构件或压弯构件，导地线挂点附近斜材通常为受拉构件或拉弯构件，挂线角钢为双向受弯构件. 据此，根据《架空输电线路杆塔结构设计技术规程》（DL/T 5486—2020）^[20]，长短腿输电塔各构件按受力状态被分为受拉构件、受压构件、拉弯构件、压弯构件及双向受弯构件，对应的功能函数分别为G_ε（Θ），ε=1,2,$\cdots$,5.

1） 轴心受拉构件

式中：N为轴心拉力；f_u为钢材抗拉强度；γ_R为抗力分项系数，按规范^[20]表4.4.1-2取值；η为构件强度折减系数，按规范^[20]表6.1.1取值；A_n为构件净截面面积.

2） 轴心受压构件

式中：f_y为钢材屈服强度；φ为稳定系数，按规范^[20]附录B取值；A为构件毛截面面积；m_N为压杆稳定强度折减系数，按式（5）计算.

式中：w和t分别为角钢翼缘自由外伸宽度和翼缘厚度；η_c为角钢构件宽厚比限值，按 ${\eta _c} = 13\sqrt {235/\varphi {f_{\text{y}}}}$计算.

3） 受弯构件

式中：M_x、M_y分别为绕x轴和y轴的弯矩；W_x、W_y分别为绕x轴和y轴截面模量.

4） 压弯构件

式中：N_EX为轴压参数，按式（8）计算.

式中：λ_x为构件绕x轴长细比；E为弹性模量.

5） 拉弯构件

需要说明的是，本文应力失效计算时通过有限元得到各杆件的内力信息，并根据杆件内力符号及大小判断其受力状态，最后匹配式（3）～（9）进行计算. 若同时可能存在多个失效模式，则几个失效模式均进行计算后取最不利的结果. 此外，采用该方式同图3有限元结果进行了对比分析，有限元得出的塔身主材最大计算应力比约为0.79，而规范^[20]受压构件计算应力比约为0.818，理论计算公式得出的应力比较大，得到的结果更偏保守，进一步说明本文处理方式的保守性和正确性.

图  3  样本分布对比

Figure  3.  Comparison of sample distribution

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1.2.2   位移失效

长短腿输电塔塔顶发生过大的挠曲变形，将极大影响线路的运行情况. 结合规范[20]第5.2.1条规定的自立式耐张塔挠度限值，长短腿输电塔位移失效的功能函数G_d（Θ）表示为

式中：d为输电塔有限元计算的塔顶实际位移.

值得一提的是，虽然规范[20]给出的挠度限值要求为风速5 m/s、无冰条件下，同本算例杆塔环境条件存在出入，但考虑到过大的杆塔位移将使架空导线电气距离减小，可能发生击穿电气间隙而引发的安全事故^[22]. 因此，出于保守起见，仍按规范限值作为承载能力极限状态范畴进行计算.

2.   基于改进最大熵原理的长短腿输电塔整体可靠度计算方法

2.1   等价功能函数

对于长短腿输电塔的应力失效，只要其中一根受力构件失效（主斜材），则认为整个铁塔结构发生破坏. 因此，应力失效对应串联整体可靠度问题. 对于此类问题，基于等价极值事件^[14]，可建立应力失效的等价功能函数G_s（Θ）为

类似的，对于应力失效和位移失效，只要发生其中一种，即认为长短腿输电塔发生破坏. 因此，长短腿输电塔整体失效的功能函数Z表示为

获得长短腿输电塔的等价功能函数Z后，即将整体可靠度问题转化为简单可靠度问题求解.

2.2   基于低偏差序列的等价功能函数统计矩估计

基于低偏差序列的长短腿输电塔等价功能函数样本矩估计，实际是通过高效的低偏差序列方法生成长短腿输电塔随机样本点Θ，并计算各样本点对应的等价功能函数值Z，最后结合统计方法获得等价功能函数统计矩. 鉴于低偏差序列方法众多，本文采用收敛效果好且精度相对较高的Sobol序列^[23]，用于长短腿输电塔等价功能函数统计矩估计.

2.2.1   Sobol序列生成

Sobol序列可有效控制误差界限，通过替代Monte Carlo法（MCS）的随机数数列，可达到更高的计算精度和收敛效果，其产生方法如下^[23]：

首先，假设存在一个2为基数的不可约多项式 U（x）（x为自变量，最高阶为p），产生第q个方向数 V_q，分别如式（13）和式（14）所示.

式中：c₁、c₂、$\cdots$、c_p−1取值0或1，m_q为任意正整数，$\oplus$为二进制的异或运算.

结合式（13）～（15），得到Sobol序列第q个随机样本为

式中：a₁、a₂、$\cdots$、a_q取值为0 或 1.

结合上述方法，在1 cm × 1 cm面域内生成500组伪随机序列和Sobol序列，二维分布如图3所示. 不难看出，伪随机数序列容易出现局部团簇现象，相比之下，Sobol序列具有更好均匀分布特征.

2.2.2   统计矩计算

获取随机样本点后，进一步调用长短腿输电塔数值模型计算各样本点对应的等价功能函数值，通过对等价功能函数集合进行统计分析，得到等价功能函数Z的第k阶原点矩为

式中： w_t为权系数，N_T为样本总数.

2.3   基于改进最大熵法的长短腿输电塔可靠度分析

2.3.1   改进最大熵法

获得等价功能函数Z的统计矩之后，可进一步结合改进最大熵法进行长短腿输电塔整体可靠度分析^[18]. 以等价功能函数Z的熵取最大值为目标函数，第k阶原点矩为约束条件，建立优化模型为

式中：f_Z（z）为最大熵概率密度函数，H_s为熵函数.

通过Lagrange乘子法将式（18）的约束优化问题转换为无约束优化问题，并通过牛顿法求解，如式（19）所示.

式中：L为Lagrange函数；n为阶数；λ₀, λ₁, $\cdots$, λ_k为Lagrange系数，通过式（19）求解获得.

由于式（18）、（19）的积分区间为无限域（−∞, + ∞），难以直接在无限域上进行积分计算. 进一步地，本文引入积分界限方法^[24]确定积分界限，首先，定义第i阶线性转换矩m_i为

式中：i=1, 2, $\cdots$, n.

据此，建立如式（21）～（23）所示方程.

式中：n^*=ent(n/2)，τ=10^{−（n* + 1）}.

求解式（23）得到解±ς，即为式（18）、（19）积分的上下界限.

2.3.2   长短腿输电塔可靠度计算

取前4阶原点矩后，结合式（20）～（23），式（19）可改写为无约束优化问题的目标函数：

进而，等价功能函数Z的概率密度函数为

长短腿输电塔整体失效概率p_f与可靠指标β分别为

式中：Ф为标准正态分布函数.

2.4   实现步骤

结合长短腿输电塔数值模型、等价极值事件原理、Sobol序列以及改进最大熵法，可得到长短腿输电塔整体失效概率p_f和可靠指标β，具体流程见图4，计算步骤如下：

图  4  长短腿输电塔整体可靠度分析流程

Figure  4.  Overall reliability analysis process of transmission tower with asymmetrical legs

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步骤1　结合现有铁塔设计规范以及数值分析结果，总结长短腿输电塔常见失效模式，并给出对应的功能函数（式（3）～（10））. 基于等价极值事件原理建立长短腿输电塔等价功能函数Z（式（12））.

步骤2　确定长短腿输电塔随机变量参数及其分布类型，基于Sobol序列生成随机样本Θ（式（13）～（16））.

步骤3　编制相关程序，批量调用数值模型并计算各个样本点对应的长短腿输电塔等价功能函Z.

步骤4　根据随机样本Θ和等价功能函数值Z，计算统计功能函数前k阶原点矩M_Z,k（式（17））.

步骤5　结合原点矩M_Z,k，基于改进最大熵原理重构最大熵概率密度函数（式（18）～（23）），并计算长短腿输电塔整体失效概率p_f和可靠指标β（式（24）～（26））.

3.   长短腿输电塔整体可靠度分析

3.1   随机变量及其分布类型

工程结构的可靠性受结构自身的随机性、环境的随机性以及荷载的随机性等多种因素的影响. 由于部分随机变量统计参数暂未明确，因此本文主要考虑材料的随机性和荷载的随机性. 材料的随机性方面，参考《建筑结构可靠度设计统一标准》（GB 50068—2018）^[21]和文献[1]，长短腿输电塔的材料随机变量及概率分布如表2所示.

表  2  材料随机变量及其概率分布参数

Table  2.  Random variables of material and their probability distribution parameters

变量	均值	标准差	分布类型
弹性模量/MPa	2.06 × 105	6180	Lognormal
泊松比	0.3	0.009	Lognormal
Q235屈服强度/MPa	263.7	18.46	Lognormal
Q355屈服强度/MPa	387.1	27.10	Lognormal

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荷载的随机性方面，由于长短腿输电塔属于高柔结构，受风荷载较为敏感，因此，荷载的随机性主要体现为风荷载随机性. 采用等效静风荷载模拟风荷载效应，假设等效静风荷载W_se服从极值Ⅰ型分布，设计基准期T年内的等效静风荷载概率${F_{{W_{{\text{se}},T}}}}$为

式中：w为风压；W_se,T为设计基准期T年内的等效静风荷载；${{\bar W}_{{\text{se}},T}}$和${\delta _{{W_{{\text{se}},T}}}}$分别为${{{W_{{\text{se}},T}}}}$的均值和标准差；${\bar W_{{\text{se}}}}$和${\delta _{{W_{{\text{se}}}}}}$分别为W_se的均值和变异系数，计算过程可参考文献[25].

3.2   计算次数确定

理论上，长短腿输电塔所生成的随机样本数量越多，即模拟次数越多，所得的整体可靠指标越接近真实值. 然而，过高的样本往往需要计算成本过于昂贵，确定一个合适的分析样本尤为重要. 对此，图5给出了长短腿输电塔等价功能函数Z的前4阶原点矩随样本数量的变化曲线，可以发现，样本数量在300个以下时，等价功能函数前4阶原点矩随样本数量波动较大，而样本数量超过300个时，前4阶原点矩趋于稳定. 因此，本文随机样本数量选取为300个，以保证长短腿输电塔可靠度分析的稳定性.

图  5  前4阶原点矩-样本数量曲线

Figure  5.  Curve of first fourth-order moments about origin versus sample size

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3.3   结果分析

根据表2和式（27）～（28），生成500个随机样本点，结合式（17）计算长短腿输电塔等价功能函数Z前4阶原点矩；随后，基于改进最大熵原理计算长短腿输电塔的整体失效概率p_f和可靠指标β，结果见表3. 此外，为验证本文方法的精度和效率，采用Monte Carlo法计算1×10⁶次的结果作为标准解进行校核，相关计算结果亦列于表3. 由表3可知，采用本文方法计算的长短腿输电塔整体失效概率和可靠指标分别为9.32 × 10⁻⁵和3.7368，相比于MCS法的失效概率9.97 × 10⁻⁵和可靠指标3.7198，相对误差分别为6.52%和0.46%；计算效率方面，MCS法计算次数为1×10⁶次，而本文方法仅需计算500次即可达到与MCS法接近的计算结果，计算时间仅为MCS 法的0.05%. 此外，根据我国《建筑结构可靠度设计统一标准》（GB 50068—2018）^[21]，结构构件在延性破坏下的承载能力极限状态的目标可靠指标为2.7～4.2. 由表3亦可以看出，本文方法计算得到的长短腿输电塔整体可靠指标为3.7368，能较好满足目标可靠度的要求，在90°大风工况下具有一定安全性能.

表  3  整体可靠度计算结果

Table  3.  Calculation results of overall reliability

计算方法	pf			β		分析次数/次
	取值	相对误差/%		取值	相对误差/%
MCS法	9.97 × 10−5			3.7198		1000000
本文方法	9.32 × 10−5	6.52		3.7368	0.46	500

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表4给出了单一失效模式下长短腿输电塔可靠度计算结果，可以发现，相比MCS法，本文方法计算的应力失效和位移失效的可靠指标相对误差仅为0.55%和0.51%，进一步验证本文方法的准确性. 此外，对比表4应力失效和位移失效的可靠指标，其中，应力失效的可靠指标相对较小，即长短腿输电塔发生应力失效的概率大于位移失效的概率. 对比表3和表4发现，应力失效和位移失效下长短腿输电塔的失效概率分别为8.94 × 10⁻⁵和5.80 × 10⁻⁵，相比整体失效概率9.32 × 10⁻⁵偏低，说明考虑单一失效模式低估了长短腿输电塔的失效概率. 因此，出于结构安全考虑，建议采用整体可靠指标衡量长短腿输电塔的可靠度水平.

表  4  单失效可靠度计算结果

Table  4.  Reliability calculation results under single failure mode

计算方法	应力失效					挠度失效
	pf	pf相对误差/%	β	β相对误差/%		pf	pf相对误差/%	β	β相对误差/%
MCS法	8.24 × 10−5		3.7678			6.28 × 10−5		3.8349
本文方法	8.94 × 10−5	8.50	3.7471	0.55		5.80 × 10−5	7.64	3.8543	0.51

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3.4   塔腿级差对可靠指标的影响

塔腿级差将改变长短腿输电塔的受力分布，进而影响结构的整体可靠指标. 本节从可靠度的角度，基于样本矩-改进最大熵法计算不同塔腿级差下长短腿输电塔的整体可靠水平，量化塔腿级差对长短腿输电塔整体可靠指标的影响规律. 对此，表5给出了塔腿级差在0～16 m共17个工况下长短腿输电塔整体的失效概率和可靠指标. 由表5可知，随着塔腿级差的增大，长短腿输电塔整体可靠指标随之减小，这主要由于长短腿的存在产生几何结构的不对称性，塔腿支承附近的结构杆件容易产生应力集中，导致其杆件内力显著增大，从而整体可靠指标相应降低. 由表5亦可以发现，16 m级差工况下的整体可靠指标为3.551，相比等长腿工况的整体可靠指标降低了15.72%，虽尚在目标可靠指标范围内，但安全水平已有大幅下降，建议设计时可通过优化塔位选择、采用不等高基础、加钢架或延伸段等方式，尽量避免级差过大的情况.

表  5  不同级差下长短腿输电塔可靠指标

Table  5.  Reliability index of transmission tower with asymmetrical legs under different leg length differences

塔腿级差/m	β	pf	变化率/%
0	4.213	1.26 × 10−5
1	4.192	1.38 × 10−5	0.50
2	4.158	1.60 × 10−5	1.30
3	4.124	1.87 × 10−5	2.13
4	4.089	2.16 × 10−5	2.94
5	4.054	2.52 × 10−5	3.78
6	4.028	2.81 × 10−5	4.39
7	3.996	3.22 × 10−5	5.16
8	3.974	3.53 × 10−5	5.67
9	3.943	4.02 × 10−5	6.41
10	3.913	4.56 × 10−5	7.13
11	3.872	5.41 × 10−5	8.11
12	3.810	6.96 × 10−5	9.58
13	3.737	9.32 × 10−5	11.31
14	3.680	1.17 × 10−4	12.65
15	3.625	1.44 × 10−4	13.95
16	3.551	1.92 × 10−4	15.72
注：级差为0表示等长腿.

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图6给出了长短腿输电塔在不同塔腿级差下的累积分布函数（cumulative distribution function, CDF）曲面，由底面投影可以看出，在不同塔腿级差下，长短腿输电塔的等效功能函数主要集中在0.5附近，且随着级差的增大有轻微的降低，结合式（2）可知，长短腿输电塔的应力和位移水平在大部分情况下维持在抗力的1/3左右，具有一定的安全性能.

图  6  不同塔腿级差下的CDF曲面

Figure  6.  CDF surface for various tower leg length differences

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4.   结　论

长短腿输电塔整体可靠度分析，是输电线路安全评估的重要内容. 本文以某典型山区长短腿输电塔为例，结合改进最大熵法计算了长短腿输电塔的整体可靠指标，探讨了塔腿级差对长短腿输电塔整体可靠指标的影响规律，得到主要结论如下：

1） 建立精细化长短腿输电塔数值模型，结合杆塔设计规范和数值结果，给出长短腿输电塔不同失效模式下的功能函数，并通过等价极值事件原理建立长短腿输电塔整体的等价功能函数.

2） 整体可靠度分析发现，本文方法具有较高的计算精度和效率，失效概率和可靠指标计算结果同MCS法的相对误差分别为6.52%和0.46%，而计算次数仅为MCS法的0.05%，可切实可行地应用于长短腿输电塔整体可靠度分析.

3） 对比单失效模式和考虑整体失效的可靠度计算结果发现，考虑整体失效的长短腿输电塔可靠指标低于考虑单失效的可靠指标，即单一失效模式高估了长短腿输电塔的安全水平，结构有偏不安全的可能性，因此，建议采用整体可靠指标来反映长短腿输电塔的安全水平.

4） 参数分析发现，塔腿级差对长短腿输电塔的整体可靠指标影响较为显著，随着塔腿级差的增大，长短腿输电塔的整体可靠指标有所降低，其中，16 m级差工况下的整体可靠指标相比等长腿工况降低了15.72%，设计时应避免级差过大的情况.

致谢：哈尔滨工业大学重庆研究院博士后特别支持计划（KY506023002）的支持.