基于双层梁理论的隧道下穿诱发无砟铁路变形计算方法

雷鸣; 张丙强; 刘海; 黄志斌

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20230033

基于双层梁理论的隧道下穿诱发无砟铁路变形计算方法

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20230033

雷鸣^1,,
张丙强^2, ,,
刘海²,
黄志斌³

1.
长沙学院土木工程学院，湖南长沙 410022
2.
福建理工大学土木工程学院，福建福州 350118
3.
中铁二十四局集团福建铁路建设有限公司，福建福州 350013

基金项目: 福建省自然科学基金（2020J01882，2023J01344）；湖南省教育厅重点项目（19A044）

详细信息

作者简介:
雷鸣（1977—），男，副教授，博士，研究方向为岩土工程，E-mail：540584998@qq.com

通讯作者:
张丙强（1979—），男，教授，博士，研究方向为地下工程，E−mail：zbq@fjut.edu.cn

中图分类号: U211.1
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出版历程
- 收稿日期: 2023-02-07
- 修回日期: 2023-10-01
- 网络出版日期: 2024-01-19
- 刊出日期: 2023-10-31

Theoretical Method for Calculating Rail Deformation of Ballastless Railway Caused by Tunnel Undercrossing Based on Dual Beam Model

1.
School of Civil Engineering, Changsha University, Changsha 410022, China
2.
School of Civil Engineering, Fujian University of Technology, Fuzhou 350118, China
3.
Fujian Railway Construction Co., Ltd., of China Railway 24th Bureau Group, Fuzhou 350013, China

摘要

摘要:
为研究隧道下穿无砟铁路轨道时板底部脱空对轨道变形的影响，提出一种改进的隧道下穿引起无砟铁路变形的计算方法. 首先，将无砟铁路轨道结构简化为双层地基梁模型，建立隧道下穿施工引起无砟铁路变形的控制方程；然后，将无砟铁路分为中间脱空段和两端接地段共三部分，推导隧道下穿施工诱发无砟铁路变形的计算式，对比路基不均匀沉降引起无砟轨道变形的理论计算值与数值模拟结果，验证了理论计算方法的正确性；最后，探讨了新建隧道埋深、隧道下穿施工引起周围地层的损失率，以及既有铁路与隧道间的水平夹角对无砟铁路轨道变形的影响. 研究结果表明：当隧道从铁路下方6 m处垂直穿越既有铁路时，轨道中点变形将达到最大值；隧道施工引起周围地层损失率从0.25%增大到2.50%时，轨道中点变形和轨道板底部脱空区宽度将分别增大4.0倍和2.2倍.
- 轨道变形 /
- 隧道下穿 /
- 双层梁模型 /
- Winkler地基 /
- 理论方法
Abstract:
To analyze the effect of a void under the track slab on the rail deformation of a ballastless railway caused by tunnel undercrossing, an improved calculation method was proposed to predicate the tunnel undercrossing-induced rail deformation of the ballastless railway. Firstly, the rail of the ballastless railway was simplified as a dual subgrade beam model, and the governing equation was established for the rail deformation of ballastless railway caused by tunnel undercrossing. Then, the ballastless railway was divided into three parts including the middle section above a void and the two sections connecting with the subgrade, and the formulas for the rail deformation of the ballastless railway caused by tunnel undercrossing were derived. The proposed theoretical calculation method was verified by comparing the theoretically calculated and numerically simulated results of rail deformation of the ballastless railway caused by uneven settlement of the subgrade. Finally, the influences of parameters on the rail deformation of the ballastless railway were discussed, including the burial depth of the new tunnel, the ground loss rate caused by tunnel undercrossing construction, and the intersection angle between the railway and the tunnel. The results show that when the undercrossing tunnel is 6 m below the railway, the deformation at the midpoint of the rail reaches the maximum. When the ground loss rate caused by tunnel undercrossing construction increases from 0.25% to 2.50%, the deformation at the midpoint of the rail and the width of the void under the track slab increase by 4.0 and 2.2 times, respectively.
- rail deformation /
- tunnel undercrossing /
- dual beam model /
- Winkle foundation /
- theoretical method

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随着超高声速装备的发展，传统的地面测试设施无法充分模拟飞行器预期的高空飞行环境，出现了以火箭滑橇为代表的新型地面测试系统^[1-2]. 传统的火箭橇地面测试系统存在两个主要问题：一是火箭橇与轨道直接接触，产生的机械摩擦、磨损、烧蚀对结构破坏严重，使试验具有很大风险；二是火箭滑橇与轨道的机械摩擦产生强烈的冲击、振动，掩盖了空气与滑橇相互作用产生的振动，干扰了超高速环境下飞行器的气动性能测试. 为了解决该问题，霍洛曼空军基地提出了一种超导电动悬浮运载方案，避免了机械摩擦和振动，使火箭橇整体性能得到了提升^[3]. 但在实际测试中，由于超导线圈暴露在空气中而迅速失超，因此悬浮状态难以持久，实验效果受限.

考虑到Halbach永磁阵列能在单侧产生较强的磁场^[4]，可用来代替超导线圈. 因此，本文拟采用“直线Halbach永磁阵列+导体板”结构电动悬浮方案取代原有方案. 针对这种类型的结构，国内外开展了广泛的研究.

在国外，永磁电动悬浮技术的应用以美国Magplane磁浮飞机^[5]、美国GA Urban磁悬浮列车^[6]、Hyperloop 原型小车为典型代表^[7]，其悬浮、导向系统均采用永磁电动悬浮系统. 国外学者主要提出通过提高永磁材料的利用率，来提高系统性能. Han^[8]将性能指标定义为磁通平方与永磁阵列单位体积重量的比值，进行永磁阵列的优化，指出当永磁阵列波长是悬浮间隙的4π倍，且永磁阵列厚度是悬浮间隙的4π/5倍时性能最优. Davey^[9]采用的优化指标为永磁阵列重量与磁通平方的比值，指出非理想Halbach永磁阵列背部存在磁场泄漏的情况，提出在背部设置钢板的方法优化永磁阵列性能. 实际上，国外的优化工作主要针对永磁阵列静磁场，具有一定的局限性，而基于运动电磁场模型的结构优化更具有研究价值. 国内的研究除了研究永磁电动悬浮静磁场的结构优化外，也研究了基于运动电磁场模型的永磁阵列和导体板结构的优化.

在国内，中国科学院电工研究所^[10-12]、中科院大学^[13]、西南交通大学^[14-17]、海军工程大学^[18]、国防科技大学等^[19-21]单位主要开展了板式Halbach永磁电动悬浮系统的研究，并设计了转台实验装置模拟永磁电动悬浮系统的直线运动. 在系统性能优化方面，主要目的是提高永磁材料的利用率（浮重比）、降低牵引能耗（浮阻比）和系统稳定性（悬浮刚度）. 围绕浮重比、浮阻比和悬浮刚度指标，较多学者在系统性能优化方面取得了一定成果. 2004年，中国科学院电工研究所^[22]研究了导体板分层结构对提高浮重比的作用；2007年，以提高磁体利用率和浮阻比为目标，对Halbach永磁阵列的结构进行了优化设计^[23]；2021年，国防科技大学则给出了基于二维电磁场模型下浮重比的解析优化表达式^[24]；北京交通大学则以浮重比和能量损耗为指标对永磁电动悬浮系统进行了优化研究^[25]；西南交通大学^[26]、海军工程大学^[18]则基于浮重比和浮阻比开展了多目标优化研究. 考虑悬浮刚度是永磁电动悬浮中体现系统抵抗外界作用的重要指标，而在前人的研究中有所欠缺，对包含悬浮刚度在内的优化工作需要进一步完善.

基于上述考虑，本文主要针对永磁电动悬浮系统的理论化建模及其原理性验证和后续工程化的性能优化开展研究，首先对永磁电动悬浮系统进行横向延拓，推导三维电磁力模型，进行有限元仿真验证，在此基础上进一步探究基于浮重比、浮阻比、悬浮刚度性能指标的多目标优化问题，并搭建实验平台对优化策略的有效性进行实验验证.

1. 超高速永磁电动悬浮结构

图1（a）为整体结构示意，图1（b）为单端结构示意. 图中，y₁为悬浮间隙. 系统主要由悬浮架、悬浮永磁阵列、导向永磁阵列、铝轨、水泥梁组成. 火箭橇的负载由悬浮架支撑，动力由火箭发动机提供. 悬浮架底部前后端和左右两侧对称布置4个单元的永磁阵列和4个支撑轮，侧面垂臂上布置有导向保护轮. 永磁电动悬浮、导向子系统对称分布于悬浮架底部4个悬浮点，橇体的每个悬浮点均有1个悬浮子系统和1个导向子系统. 水泥梁上表面安装有两条铝轨，与悬浮永磁阵列一起构成悬浮子系统. 导向永磁阵列与悬浮永磁阵列空间布局类似，布置在悬浮架侧面垂臂上，两条铝轨布置在支撑座侧面，与导向永磁阵列一起构成导向子系统. 当火箭发动机推动火箭橇运动时，悬浮永磁阵列相对铝轨运动，在铝轨内部产生感应涡流，提供悬浮力. 导向永磁阵列相对铝轨运动时，产生导向力.

图 1 超高速火箭橇永磁电动悬浮方案

Figure 1. Permanene electrodynamic suspension scheme for ultra-high spend rocket sled

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2. 电动悬浮系统建模

“直线Halbach永磁阵列+导体板”结构永磁电动悬浮系统延拓示意如图2所示.

图 2 永磁电动悬浮系统延拓示意

Figure 2. Continuation of permanent magnet electrodynamic suspension system

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假设Halbach永磁阵列沿着z轴正方向运动，其剩磁为B_r，波长为λ，宽度为w，厚度为d. 导体板宽度为W，厚度为h. 当系统向右以速度v运动，空间电磁场呈周期性变化，基频ω=2πv/λ. 令k=2π/λ，根据双重傅里叶级数展开公式，磁化强度M₀可由不同频率分量叠加而成：

$M_{y0}\left( {x,{\textit{z}},t} \right){\text{ = }}\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\sum\limits_{r = 1}^{ + \infty } {m_y^{n,r}\sin \frac{{r{\text{π } x}}}{W}\cos (nk{\textit{z}} - n\omega t)} },$

(1)

$M_{{\textit{z}}0}\left( {x,{\textit{z}},t} \right){\text{ = }}\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\sum\limits_{r = 1}^{ + \infty } {m_{\textit{z}}^{n,r}\sin \frac{{r{\text{π } x}}}{W}\sin (nk{\textit{z}} - n\omega t)} },$

(2)

式中： $M_{y0}\left( {x,{\textit{z}},t} \right)$ 和 $M_{{\textit{z}}0}\left( {x,{\textit{z}},t} \right)$ 为磁化强度M₀的y方向和z方向的分量； $m_y^{n,r}$ $(m_{\textit{z}}^{n,r})$ 分别为磁化矢量y(z)方向分量沿x轴方向第r次，沿z轴方向第n次（双重傅里叶级数）展开的系数(r、n为正整数)，如式（3）、（4）；t为时间.

$m_y^{n,r}{\text{ = }}\frac{{16{\varepsilon _n}{B_{\rm{r}}}}}{{{\mu _0}{{\text{π }}^2}}}\frac{1}{r}\sin \frac{{r{\text{π }}}}{2}\sin \left( {\frac{{r{\text{π } w}}}{2W} } \right) ,$

(3)

$m_{\textit{z}}^{n,r}{\text{ = }}\frac{{16{\gamma _n}{B_{\rm{r}}}}}{{{\mu _0}{{\text{π }} ^2}}}\frac{1}{r}\sin \frac{{r{\text{π }}}}{2}\sin \left( {\frac{{r{\text{π } w}}}{2W} } \right),$

(4)

式中： $\varepsilon _n$ 、 $\gamma _n$ 为参数变化量； $\mu _0$ 为空气磁导率.

表1、2给出了单位波长永磁体个数M = 4，8时ε_n、γ_n的非零项取值及电动悬浮系统特征参数. 中，l为永磁阵列的总体长度. 当r为偶数时， $M_{y0}( x, {\textit{z}},t ) {\text{ = }} M_{{\textit{z}}0}\left( {x,{\textit{z}},t} \right) = 0$ .

表 1 M=4，8时，ε_n、γ_n的取值

Table 1. Values of ε_nand γ_n when M = 4，8

M	n/次	ε_n	γ_n
4	1	sin π/4	sin π/4
	3	1/3sin π/4	−1/3sin π/4
	5	−1/5sin π/4	−1/5sin π/4
	7	−1/7sin π/4	1/7sin π/4
	9	1/9sin π/4	1/9sin π/4
8	1	2sin π/8	2sin π/8
	7	2/7sin π/8	−2/7sin π/8
	9	−2/9sin π/8	−2/9sin π/8
	15	−2/15sin π/8	2/15sin π/8
	17	2/17sin π/8	2/17sin π/8

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区域 Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ内部无自由电流，这4个区域标量磁位的n次倍频分量可表示为

${\varphi _i}(x,y,{\textit{z}},t) = {{\rm{Re}}} \left\{ {{{\dot \varphi }_{i}}(x,y){{\rm{e}}^{{\rm{j}}(nk{\textit{z}} - n\omega t)}}} \right\}{\text{, }}\quad i{{ = {{ \text{Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅴ}}}}}.$

(5)

在区域 Ⅳ 的矢量磁位在x、y、z轴方向的3个分量可分别表示为

$A_{k{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t) = {{\rm{Re}}} \left\{ {\dot A_{k_{\text{IV}}}(x,y){{\rm{e}}^{{\rm{j}}(nk{\textit{z}} - n\omega t)}}} \right\},\quad k = x{\text{, }}y,{\text{ }}{\textit{z}}.$

(6)

表 2 电动悬浮系统特征参数

Table 2. Parameters of electrodynamic suspension system

参数	B_r/T	M	λ/mm	l/mm	w/mm	d/mm	W/mm	h/mm	y₁/mm
取值	1.44	8	0.24	0.27	60	30	100	30	15

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各个区域的标量磁位和矢量磁位控制方程分别为

$\begin{split} &\left(\frac{{\partial }^{2}}{\partial {x}^{2}}\text{ + }\frac{{\partial }^{2}}{\partial {y}^{2}} + \frac{{\partial }^{2}}{\partial {{\textit{z}}}^{2}}\right){\varphi }_{i}(x,y,{\textit{z}},t)=\\&\quad\quad \left\{\begin{array}{l}0,\quad\text{ }i\text{={ \text{Ⅰ}},{ \text{Ⅲ}}, { \text{Ⅴ}}},\\\nabla {{\boldsymbol{M}}}_{0}=\dfrac{\partial {M}_{{\textit{z}}{0}}\left(x,\text{ }{\textit{z}},t\right)}{\partial {\textit{z}}},\quad i={ \text{Ⅱ}},\end{array}\right. \end{split}$

(7)

$\begin{split} &\left( {\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}{\text{ + }}\frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {{\textit{z}}^2}}} - \mu \sigma \frac{\partial }{{\partial t}}} \right)A_{k_{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t) = 0{\text{, }}\\ &\quad\quad i{\text{ = }}x,{\text{ }}y,{\text{ }}{\textit{z}}, \end{split}$

(8)

式中： $\mu$ 为导体板磁导率； $\sigma$ 为导体板电导率.

式（7）的通解为

$\begin{split} &{\dot \varphi _i}(x,y,t) =\\&\quad \left\{\begin{gathered} \sum\limits_{r = 1}^{ + \infty } {(C_{1i}{{\rm{e}}^{{\tau _r}y}} + C_{2i}{{\rm{e}}^{ - {\tau _r}y}})\sin \frac{{r{\text{π } x}}}{W}} {\text{, }}\quad i{\text{ = { \text{Ⅰ,Ⅲ,Ⅴ}}}}, \\ \sum\limits_{r = 1}^{ + \infty } {\left(C_{1i}{{\rm{e}}^{{\tau _r}y}} + C_{2i}{{\rm{e}}^{ - {\tau _r}y}} - \frac{{m_{\textit{z}}^{n,r}nk}}{{\tau _r^2}}\right)\sin \frac{{r{\text{π } x}}}{W}} {\text{, }}\quad i{\text{ = { \text{Ⅱ}}}} , \\ \end{gathered} \right. \end{split}$

(9)

式中： $C_{1i}$ 、 $C_{2i}$ 为待定系数；τ_r如式（10）.

${\tau _r} = \sqrt {{n^2}{k^2} + {{\left( {\frac{{r{\text{π }}}}{W}} \right)}^2}}.$

(10)

式（8）的通解可表示为

$\left\{\begin{gathered} \dot A_{x_{\text{IV}}}(x,y) = \sum\limits_{r = 1}^{ + \infty } {\left( {D_{1r}{{\rm{e}}^{{\alpha _r}y}} + D_{2r}{{\rm{e}}^{ - {\alpha _r}y}}} \right)} \sin \frac{{r{\text{π }}}}{W}x,\\ \dot A_{y_{\text{IV}}}(x,y) = \sum\limits_{r = 1}^{ + \infty } {\left( {E_{1r}{{\rm{e}}^{{\alpha _r}y}} + E_{2r}{{\rm{e}}^{ - {\alpha _r}y}}} \right)} \sin \left( {\frac{{r{\text{π }}}}{W}x - \frac{{r{\text{π }}}}{2}} \right),\\ \dot A_{{\textit{z}}_{\text{IV}}}(x,y) = \sum\limits_{r = 1}^{ + \infty } {\left( {F_{1r}{{\rm{e}}^{{\alpha _r}y}} + F_{2r}{{\rm{e}}^{ - {\alpha _r}y}}} \right)} \sin \left( {\frac{{r{\text{π }}}}{W}x - \frac{{r{\text{π }}}}{2}} \right),\end{gathered}\right.$

(11)

式中： $D_{1r}$ 、 $D_{2r}$ 、 $E_{1r}$ 、 $E_{2r}$ 、 $F_{1r}$ 、 $F_{2r}$ 为待求参数；

$\begin{split} &{\alpha _r} = {a'_r} + {b'_r}{\rm{j}} {\text{ }} = \\&\quad \sqrt {\frac{{\tau _r^2 + \sqrt {\tau _r^4 + {\mu ^2}{\sigma ^2}{n^2}{\omega ^2}} }}{2}} - \frac{{\mu \sigma n\omega {\rm{j}}}}{{\sqrt {2\left( {\tau _r^2 + \sqrt {\tau _r^4 + {\mu ^2}{\sigma ^2}{n^2}{\omega ^2}} } \right)} }} . \end{split}$

(12)

在空气域，无穷远处标量磁位为0；在永磁阵列外表面与空气交界处不存在自由电流，因此，磁感应强度的法向分量连续，磁场强度的切向分量不连续；导体板的外表面不存在自由电流，则在空气与导体板交界处磁感应强度和矢量磁位是连续的. 由此可得各求解域的边界条件为

${\varphi _{\text{I}}}(x, + \infty ,{\textit{z}},t) = 0,$

(13)

$- \frac{{\partial {\varphi _{\rm{I}}}(x,{y_1} + d,{\textit{z}},t)}}{{\partial y}} = - \frac{{\partial {\varphi _{{ \text{Ⅱ}}}}(x,{y_1} + d,{\textit{z}},t)}}{{\partial y}} + {M_{y0}} ,$

(14)

$- \frac{{\partial {\varphi _{\rm{I}}}(x,{y_1} + d,{\textit{z}},t)}}{{\partial {\textit{z}}}} = \left( { - \frac{{\partial {\varphi _{{ \text{Ⅱ}}}}(x,{y_1} + d,{\textit{z}},t)}}{{\partial {\textit{z}}}}} \right),$

(15)

$- \frac{{\partial {\varphi _{{ \text{Ⅱ}}}}(x,{y_1},{\textit{z}},t)}}{{\partial y}} + {M_y} = - \frac{{\partial {\varphi _{ \text{Ⅲ}}}(x,{y_1},{\textit{z}},t)}}{{\partial y}},$

(16)

$- \frac{{\partial {\varphi _{{ \text{Ⅱ}}}}(x,{y_1},{\textit{z}},t)}}{{\partial {\textit{z}}}} = \left( { - \frac{{\partial {\varphi _{{ \text{Ⅲ}}}}(x,{y_1},{\textit{z}},t)}}{{\partial {\textit{z}}}}} \right),$

(17)

$- {\mu _0}\frac{{\partial {\varphi _{{ \text{Ⅲ}}}}(x,0,{\textit{z}},t)}}{{\partial x}} = \frac{{\partial A_{\textit{z}{\text{IV}}}(x,0,{\textit{z}},t)}}{{\partial y}} - \frac{{\partial A_{y{\text{IV}}}(x,0,{\textit{z}},t)}}{{\partial {\textit{z}}}},$

(18)

$- {\mu _0}\frac{{\partial {\varphi _{{ \text{Ⅲ}}}}(x,0,{\textit{z}},t)}}{{\partial y}} = \frac{{\partial A_{x{\text{IV}}}(x,0,{\textit{z}},t)}}{{\partial {\textit{z}}}} - \frac{{\partial A_{\textit{z}{\text{IV}}}(x,0,{\textit{z}},t)}}{{\partial x}},$

(19)

$\frac{{\partial A_{\textit{z}{\text{IV}}}(x, - h,{\textit{z}},t)}}{{\partial y}} - \frac{{\partial A_{y{\text{IV}}}(x, - h,{\textit{z}},t)}}{{\partial {\textit{z}}}} = - {\mu _0}\frac{{\partial {\varphi _{\text{V}}}(x, - h,{\textit{z}},t)}}{{\partial x}},$

(20)

$\frac{{\partial A_{x{\text{IV}}}(x, - h,{\textit{z}},t)}}{{\partial {\textit{z}}}} - \frac{{\partial A_{\textit{z}{\text{IV}}}(x, - h,{\textit{z}},t)}}{{\partial x}} = - {\mu _0}\frac{{\partial {\varphi _{\text{V}}}(x, - h,{\textit{z}},t)}}{{\partial y}},$

(21)

${\varphi _{\text{V}}}(x, - \infty ,{\textit{z}},t) = 0.$

(22)

此外，在导体板上表面和下表面感应涡流在法向的分量均为0，故

$\dot A_{y_{\text{IV}}}\left( {x,0} \right) = \dot A_{y_{\text{IV}}}\left( {x, - h} \right) = 0.$

(23)

为了使矢量磁位的解唯一，对矢量磁位施加库仑规范型，得

$\frac{{\partial A_{x{{\text{IV}}}}}}{{\partial x}} + \frac{{\partial A_{y{{\text{IV}}}}}}{{\partial y}} + \frac{{\partial A_{{\textit{z}}{{\text{IV}}}}}}{{\partial {\textit{z}}}} = 0.$

(24)

将标量磁位和矢量磁位的通解代入式（13）～（24）中，通过求解可得各个未知系数的表达式.

磁化强度z方向上n次倍频分量引起的导体板中电场分布为

$\left\{\begin{aligned} &E_{x{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t) = - \frac{{\partial A_{x{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t)}}{{\partial t}},\\ & E_{y{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t) = - \frac{{\partial A_{y{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t)}}{{\partial t}}{\text{ = 0}},\\ &E_{\textit{z}{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t) = - \frac{{\partial A_{\textit{z}{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t)}}{{\partial t}}.\end{aligned}\right.$

(25)

磁化强度z方向上n次倍频分量引起的导体板中磁感应强度分布为

$\left\{\begin{aligned} &B_{x{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t) = \frac{{\partial A_{\textit{z}{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t)}}{{\partial y}} - \frac{{\partial A_{y{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t)}}{{\partial {\textit{z}}}},\\ & B_{y{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t) = \frac{{\partial A_{x{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t)}}{{\partial {\textit{z}}}} - \frac{{\partial A_{\textit{z}{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t)}}{{\partial x}}{\text{ }},\\ & B_{\textit{z}{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t) = \frac{{\partial A_{y{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t)}}{{\partial x}} - \frac{{\partial A_{x{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t)}}{{\partial y}}.\end{aligned}\right.$

(26)

可得长度为l的永磁阵列受到的悬浮力和磁阻力分别为

$\begin{split} {F_{\rm{L}}} =& \dfrac{{ - \sigma l}}{T} \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\int_0^T {\int_{ - h}^0 {\int_0^W {\left( {{E_{{{\textit{z}}{{\rm{IV}}}}}}(x,y,{\textit{z}},t){B_{{x{{\rm{IV}}}}}}(x,y,{\textit{z}},t)} \right.} } } } -\\ &\left. {{\rm{ }} \quad {E_{{x{{\rm{IV}}}}}}(x,y,{\textit{z}},t){B_{{{\textit{z}}{{\rm{IV}}}}}}(x,y,{\textit{z}},t)} \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y{\rm{d}}t, \end{split}$

(27)

${F_{\rm{D}}} = \frac{l}{T}\sum\limits_{n = 1}^{ + \infty } {\int_0^T {\int_{ - h}^0 {\int_0^W {\sigma E_{x{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t)B_{y{\text{IV}}}(x,y,{\textit{z}},t){\rm{d}}x{\rm{d}}y{\rm{d}}t} } } } ,$

(28)

式中：T为空间电磁场在时域上的周期，T=2π/ω.

3. 电磁力仿真验证

通过有限元仿真得到了悬浮力和磁阻力在0～300 m/s速度下的变化情况，如图3所示. 悬浮力随速度的增加先迅速增加，当速度超过50 m/s后，增加速度非常缓慢. 磁阻力随速度的增加快速增加，当速度在5 m/s附近时，达到最大；当速度在5～50 m/s时，迅速下降；当速度超过50 m/s后下降平缓. 在超高速工况下，理论解析计算得到悬浮力与通过仿真得到悬浮力的误差为8%以内，而磁阻力曲线差别极小，说明了三维电磁力模型计算表达式的正确性.

图 3 永磁电动悬浮电磁力仿真与理论对比

Figure 3. Electromagnetic force comparison of permanent magnet electrodynamic suspension system between simulation and theoretical results

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4. 面向火箭橇工程化应用的基于并行策略的多目标优化

永磁电动悬浮系统主要采用3项指标描述悬浮性能：浮重比、浮阻比和悬浮刚度. 浮重比是指永磁阵列产生的悬浮力与永磁阵列总质量的比，反映了永磁阵列材料利用率的大小，其表达式为

${\zeta _1}{\text{ = }}{{{F_{\rm{L}}}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{F_L}} {\left( {\rho glwd} \right)}}} \right. } {\left( {\rho glwd} \right)}} ，$

(29)

式中： $\rho$ 为永磁阵列密度.

浮阻比为永磁阵列产生的悬浮力与磁阻力之间的比值，相当于电动悬浮系统的“摩擦系数”，反映了一定承载能力下电动悬浮系统的能耗情况，其表达式为

${\zeta _2}{\text{ = }}{{{F_{\rm{L}}}} / {{F_{\rm{D}}}}}.$

(30)

悬浮刚度反映了悬浮力对悬浮间隙的敏感性，悬浮刚度越大，系统的稳定性越好，抵御外界干扰的能力越强. 根据三维电磁力解析式，可以得到永磁电动悬浮系统的悬浮刚度为

${\zeta _3} = \left| {{{\partial {F_{\rm{L}}}}/ {\partial {y_1}}}} \right|.$

(31)

通常情况下，这3个指标难以同时达到最优. 考虑到永磁电动悬浮系统的设计要兼顾到上述3个性能指标，可根据目标函数的重要性给每个目标函数赋予权重，将多目标问题转化为单目标优化问题.

4.1 优化问题描述

根据工程需要，火箭橇的承载能力为2 t，共设置4个悬浮点，设置单个悬浮点的长度不超过0.5 m，为了尽可能降低纵向涡流效应和导体板宽度，永磁阵列应尽量铺满沿导轨长度方向上的所允许空间，因此，单个悬浮点悬浮力密度设置为10 kN/m. 参照日本MLU002型超导磁浮列车在悬浮间隙20 cm，运行速度500 km/h，垂向位移2～3 cm时，单个超导线圈悬浮刚度约为0.5 MN/m，要求超高速火箭橇单个悬浮点的悬浮刚度不小于0.5 MN/m，则4个悬浮点的总体悬浮刚度不小于2.0 MN/m，即当负载质量变化200 kg时，火箭橇垂直方向变化1 mm，满足工程需求. 此外，在上述约束条件下，期望通过结构参数的调整使得浮重比、浮阻比、悬浮刚度越大越好. 因此，优化问题的数学模型描述为

${\rm{min }} \left(- {\rm{ }}{p_1}{\zeta _1}/{\zeta _{\max 1}} - {p_2}{\zeta _2}/{\zeta _{\max 2}} - {p_3}{\zeta _3}/{\zeta _{\max 3}}\right),$

(32)

$\begin{aligned}{\rm{s.t.}}\left\{ \begin{array}{l} {0<\lambda \leqslant 0.5,\;0<w\leqslant0.5,\;0<d\leqslant0.05,}\\ \quad {w\leqslant W\leqslant0.5,{\rm{ }}0<h\leqslant0.05,}\\ {\dfrac{{{F_{\rm{L}}}}}{l} = 1 \times {\rm{1}}{{\rm{0}}^4},\;{\rm{ }}\dfrac{{{F_{\rm{L}}}}}{{\rho glwd}}\geqslant50,}\\ {\dfrac{{{F_{\rm{L}}}}}{{{F_{\rm{D}}}}}\geqslant20,\;{\rm{ }}\dfrac{{\partial {F_{\rm{L}}}}}{{\partial {y_1}}}\geqslant0.5 \times {{10}^6},} \end{array} \right. \end{aligned}$

(33)

式中： $p_{1}、p_{2}、p_{3}$ 分别为3个目标函数ζ₁、ζ₂、ζ₃的权重，3个权重之和为1； $c_{1}、c_{2}、c_{3}$ 为归一化的系数；给定悬浮间隙和导体板宽度下浮重比、浮阻比、悬浮刚度在可行域内的最优值分别记作为 $\zeta _{\max1}$ 、 $\zeta _{\max2}$ 、 $\zeta _{\max3}$ ，则 ${c_1}{\text{ = }}{1 /{\zeta _{\max1}}}$ ， ${{{c_2}{\text{ = }}1} / {\zeta _{\max2}}}$ ， ${c_3}{\text{ = }}{1 /{\zeta _{\max3}}}$ .

4.2 优化方法

将基于线性加权意义下的多目标优化问题重构成两级优化问题：1个系统级和3个子系统优化问题. 通过共享系统级设计变量，每个子系统都可以独立执行优化，子系统级的优化问题可以同时求解，达到并行计算的目的，提高优化效率. 子系统及优化器1负责以浮重比为状态变量的优化设计；子系统及优化器2负责以浮阻比为状态变量的各特征参数的优化；子系统及优化器3则负责以悬浮刚度为状态变量的各特征参数的优化设计. 引入系统级设计变量λ_SL、w_SL、d_SL、w_SL、W_SL、h_SL和系统级状态变量y_1SL、y_2SL、y_3SL、Y₁、Y₂、Y₃、Y₄，假设第a个子系统的设计变量为λ_a1、w_a1、d_a1、h_a1，第a个子系统的状态变量为y_l1，则系统级优化问题的数学模型如式（34）、（35）所示，子系统优化问题的数学模型如式（36）～（44）所示. 其中，a=1，2，3. 依据协同优化的思想，采用并行优化策略（parallel computing strategy，PCS），如所示. 中：X为系统级变量的集合， $X = \{ {\lambda _{{\rm{SL}}}},{W_{{\rm{SL}}}},{w_{{\rm{SL}}}},{d_{{\rm{SL}}}},{h_{{\rm{SL}}}}\}$ ；X₁、X₂、X₃分别为子系统1、2、3的变量集合， ${X_1} = \{ {\lambda _{11}},{w_{11}},{d_{11}},{W_{11}},{h_{11}}\}$ ， ${X_2} = \{ {\lambda _{21}}, {h_{21}}\}$ ， ${X_3} = \left\{ {{\lambda _{31}},{w_{31}},{d_{31}},{W_{31}},{h_{31}}} \right\}$ ，其中，W₁₁、W₃₁分别为子系统1、3对应于永磁阵列和导体板宽度的设计变量.

图 4 多目标优化优化策略流程

Figure 4. Flow chart of multi-objective optimization strategy

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$\;\;\;\min { - \zeta } = {y_{1{\rm{SL}}}} + {y_{2{\rm{SL}}}} + {y_{3{\rm{SL}}}},$

(34)

$\begin{gathered} {\text{s}}{\text{.t}}{\text{. }}\left\{ \begin{gathered} {J_1} = {({\lambda _{11}} - {\lambda _{{\rm{SL}}}})^2} + {({w_{11}} - {w_{{\rm{SL}}}})^2} + {({d_{11}} - {d_{{\rm{SL}}}})^2} + \\ \quad {({W_{11}} - {W_{{\rm{SL}}}})^2} + {({h_{11}} - {h_{{\rm{SL}}}})^2} + {({y_{11}} - {y_{1{\rm{SL}}}})^2} = 0 , \\ {J_2} = {({\lambda _{21}} - {\lambda _{{\rm{SL}}}})^2} + {({h_{21}} - {h_{{\rm{SL}}}})^2} + {({y_{21}} - {y_{2{\rm{SL}}}})^2} = 0, \\ {J_3} = {({\lambda _{31}} - {\lambda _{{\rm{SL}}}})^2} + {({w_{31}} - {w_{{\rm{SL}}}})^2} + {({d_{31}} - {d_{{\rm{SL}}}})^2} + \\ \quad{({W_{31}} - {W_{{\rm{SL}}}})^2} + {({h_{31}} - {h_{{\rm{SL}}}})^2} + {({y_{31}} - {y_{3{\rm{SL}}}})^2} = 0 , \\ 0 \lt {\lambda _{{\rm{SL}}}} \leqslant 0.5,{\text{ }}0 \lt {W_{{\rm{SL}}}} \leqslant 0.5,{\text{ }}0 \lt {w_{{\rm{SL}}}} \leqslant {W_{{\rm{SL}}}}, \\ \quad0 \lt {d_{{\rm{SL}}}} \leqslant 0.05,{\text{ }}0 \lt {h_{{\rm{SL}}}} \leqslant 0.05, \\ {Y_1} = \frac{{\rho g{w_{{\rm{SL}}}}{d_{{\rm{SL}}}}{y_{1{\rm{SL}}}}}}{{{\text{1}}{{\text{0}}^4}{c_1}{p_1}}} + 1 = 0, {\text{ }}{Y_2} = \frac{{{y_{1{\rm{SL}}}}}}{{50{c_1}{p_1}}} + 1 \leqslant 0, \\ \quad{Y_3} = \frac{{{y_{2{\rm{SL}}}}}}{{15{c_2}{p_2}}} + 1 \leqslant 0, {\text{ }}{Y_4} = \frac{{{y_{3{\rm{SL}}}}}}{{0.5 \times {{10}^6}{c_3}{p_3}}} + 1 \leqslant 0, \\ - 1 \lt {y_{1{\rm{SL}}}},{y_{2{\rm{SL}}}},{y_{3{\rm{SL}}}} \leqslant 0. \\ \end{gathered} \right. \\ \end{gathered}$

(35)

子系统及优化器1优化问题的数学模型为

$\begin{split} \;\;\min\; &{J_1} = {({\lambda _{11}} - {\lambda _{{\rm{SL}}}})^2} + {({w_{11}} - {w_{{\rm{SL}}}})^2} + {({d_{11}} - {d_{{\rm{SL}}}})^2} + \\& {\text{ }}{({W_{11}} - {W_{{\rm{SL}}}})^2} + {({h_{11}} - {h_{{\rm{SL}}}})^2} + {({y_{11}} - {y_{1{\rm{SL}}}})^2},\end{split}$

(36)

$\begin{gathered} {\text{s}}{\text{.t}}{\text{. }}\left\{ \begin{gathered} 0 \lt {\lambda _{11}} \leqslant 0.5, \\ 0 \lt {w_{11}} \leqslant 0.5, \\ 0 \lt {d_{11}} \leqslant 0.05, \\ {w_{11}} \leqslant {W_{11}} \leqslant 0.5, \\ 0 \lt {h_{11}} \leqslant 0.05, \\ \end{gathered} \right. \end{gathered}$

(37)

${\text{ }}{y_{11}} = - {c_1}{p_1}{\zeta _1}\left( {{\lambda _{11}},{w_{11}},{d_{11}},{W_{11}},{h_{11}}} \right).$

(38)

子系统及优化器2优化问题的数学模型为

$\quad\min {J_2} = {({\lambda _{21}} - {\lambda _{{\rm{SL}}}})^2} + {({h_{21}} - {h_{{\rm{SL}}}})^2} + {({y_{21}} - {y_{2{\rm{SL}}}})^2},$

(39)

$\begin{gathered} {\text{s}}{\text{.t}}{\text{. }}\left\{ \begin{gathered} 0 \lt {\lambda _{21}} \leqslant 0.5, \\ 0 \lt {h_{21}} \leqslant 0.05, \\ \end{gathered} \right. \end{gathered}$

(40)

${\text{ }}{y_{21}} = - {c_2}{p_2}{\zeta _2}\left( {{\lambda _{21}},{h_{21}}} \right).$

(41)

子系统及优化器3优化问题的数学模型为

$\begin{split} \;\; \min\; &{J_3} = {({\lambda _{31}} - {\lambda _{{\rm{SL}}}})^2} + {({w_{31}} - {w_{{\rm{SL}}}})^2} + {({d_{31}} - {d_{{\rm{SL}}}})^2} + \\& {\text{ }}{({W_{31}} - {W_{{\rm{SL}}}})^2} + {({h_{31}} - {h_{{\rm{SL}}}})^2} + {({y_{31}} - {y_{3{\rm{SL}}}})^2},\end{split}$

(42)

$\begin{gathered} {\text{s}}{\text{.t}}{\text{. }}\left\{ \begin{gathered} 0 \lt {\lambda _{31}} \leqslant 0.5, \\ 0 \lt {w_{31}} \leqslant 0.5, \\ 0 \lt {d_{31}} \leqslant 0.05, \\ {w_{31}} \leqslant {W_{31}} \leqslant 0.5, \\ 0 \lt {h_{31}} \leqslant 0.05, \\ \end{gathered} \right. \end{gathered}$

(43)

${\text{ }}{y_{31}} = - {c_3}{p_3}{\zeta _3}\left( {{\lambda _{31}},{w_{31}},{d_{31}},{W_{31}},{h_{31}}} \right) .$

(44)

4.3 优化结果

考虑到浮重比和悬浮刚度随悬浮间隙的增加而下降比较明显，超高速永磁电动悬浮系统额定悬浮间隙设置为15 mm. 浮重比、浮阻比、悬浮刚度在可行域内的最优值分别为 $\zeta _{\max 1} = 97.83$ ， $\zeta _{\max 2} = 25.83$ ， $\zeta _{\max 3} = 6.48\;{\text{MN/m}}$ . 根据浮重比、浮阻比、悬浮刚度的重要性，三者的权重分别赋为p₁=0.2，p₂=0.2，p₃=0.6. 给定B_r=1.45 T，M=8，v=300 m/s，l=0.5 m，可以得到各个特征参数的最优值. 在实际优化中，系统级优化采用粒子群算法；各子系统则采用序贯二次规划方法，将各个单性能指标的优化结果作为初始寻优点. 此外，针对状态函数和约束条件，在系统级构造外点罚函数T₁₁，其表达式为

$T_{11} = - \zeta + {J_1} + {J_2} + {J_3} + Y_1^2 + \sum\nolimits_{m = 2}^4 {{{\max }^2}\left\{ {0,{Y_m}} \right\}}.$

(45)

随着迭代的进行，罚函数越来越接近目标函数. 经过上述优化方法，得到的罚函数和系统级设计变量、状态变量迭代过程如图5所示. 采用粒子群优化方法时罚函数的构造方式与采用并行优化策略时一致. 将并行优化策略（PCS）得到的结果与单纯采用粒子群优化方法（PSO）得到的结果进行对比，如表3所示. 由表可见，采用并行优化策略得到的浮重比、浮阻比和悬浮刚度有所提升. 由此可见，采用两级优化策略，在系统级进行全局寻优，将子系统级采用单性能指标的优化结果作为初始寻优点进行优化，具有可行性.

图 5 各个变量的迭代过程

Figure 5. Iterative process of each variable

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表 3 基于PSO和PCS的多目标优化结果对比

Table 3. Comparison of multi-objective optimization results

参数	PSO	PCS
λ/mm	162.5	232.1
w/mm	86.8	191.6
d/mm	22.8	22.4
W/mm	130.1	383.1
h/mm	3.2	1.0
ζ₁	72.6	74.9
ζ₂	15.0	16.3
ζ₃/（MN·m⁻¹）	0.5	0.7

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依据上述多目标优化结果，超高速火箭橇永磁电动悬浮系统的设计方案为：每个悬浮点安装4排完全相同的Halbach永磁阵列，沿导体板宽度方向并排布置，其外部尺寸261 mm（总长度） × 192 mm（总宽度） × 22.4 mm（厚度）；每组永磁阵列包含9个永磁块，充磁角度与火箭橇运动速度方向的夹角依次为π/2，π/4， $0,\cdots$ ，−3π/2；每个永磁块的尺寸为29 mm（长） × 48 mm（宽） × 22 mm（高），铝轨截面尺寸为383 mm（宽） × 1 mm（厚）.

5. 实验验证

研制了“Halbach永磁阵列+凸缘式铝制转盘”的悬浮导向一体化实验平台，模拟电动悬浮系统在有限宽轨道上的直线运动，验证理论模型的正确性和优化策略的有效性. 如图6所示，该平台主要包括电机、铝制转盘、Halbach永磁阵列和测力计. 电机与铝制转盘通过转轴固联，通过电机变频调速实现转盘转速的改变. 活动支架与基座之间通过直线滑轨Ⅰ联接，可实现竖直方向位置的调整，使得磁体中心落在环形轨道中心线上. 磁体固定架与活动支架也通过直线滑轨联接，可确保永磁阵列的轴向运动，实现连续调节悬浮间隙的作用. 磁体固定在其背部的铝制背板上，背板与磁体固定架通过直线滑轨联接，可实现沿转盘切向的自由移动. 则拉压力Ⅰ、Ⅱ可以测量悬浮力，拉压力传感器Ⅲ可以测量磁阻力. 在转盘两侧均可安装永磁阵列，转盘右侧的机构用于其他目的，不参与实验，在实验中仅使用左侧Halbach永磁阵列. 为了提升系统性能，磁体的材料选用N52. 通过优化设计，转盘外径为0.4 m，总厚度为30 mm，其凸缘的厚度为10 mm，宽度为90 mm；永磁阵列中单个永磁体的尺寸为19.2 mm（长） × 66.8 mm（宽） × 23.4 mm（高）. 考虑到电机功率的限制，永磁阵列由半个周期的5块永磁体组成，充磁角度依次为−π/2、−π/4、0、π/4、π/2. 永磁阵列总长为96 mm，其长度与圆盘的周长相比较小，因此，可以将旋转运动视为线性运动. 电机驱动转盘以0～4000 r/min的速度转动，由于凸缘厚度远大于涡流集肤深度，因此，可认为涡流全部集中在环状凸缘内，凸缘的径向宽度可视为轨道宽度. 通过调整使得悬浮间隙为25 mm，缓慢增加电机转速至4 000 r/min，通过上位机可采集到悬浮力和磁阻力的变化趋势如图7所示. 从图中可以看出，悬浮力和磁阻力的理论曲线实验和曲线变化规律一致. 将优化前、后的永磁电动悬浮系统性能进行了对比，如表4所示. 由表可知：优化设计后浮重比从11.0提升至18.3，增幅为75.50%；浮阻比从3.5提升至3.8，增幅为7.50%；单位质量永磁阵列的悬浮刚度从6.1 kN/m提升至20.6 kN/m，增幅为235.94 %. 由此可见，经过优化，永磁电动悬浮系统的综合性能得到了提高，证明了多目标优化策略的有效性.

图 6 永磁电动悬浮系统悬浮、导向一体化实验台

Figure 6. Suspension and guidance integrated experimental platform for permanent magnet electrodynamic suspension system

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图 7 电磁力理论值与实验值的对比

Figure 7. Electromagnetic force comparison between experimental and theoretical results

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表 4 优化前、后永磁电动悬浮系统的性能对比

Table 4. Performance comparison of permanent magnet electrodynamic suspension system before and after optimization

参数及指标	优化前	优化后
永磁阵列尺寸/mm	200（波长）， 40（宽），40（厚）	153.6（波长）， 66.8（宽），23.4（厚）
v/（m·s⁻¹）	60	60
y₁/mm	20	20
浮重比	11.0	18.3
浮阻比	3.5	3.8
悬浮刚度/ （（kN·m⁻¹）·mg⁻¹）	6.1	20.6

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6. 结　论

本文针对超高速火箭橇工程需求提出了永磁电动悬浮系统结构，搭建实验样机并开展了原理性实验验证，在此基础上面向超高速火箭橇工程应用进行了性能优化计算. 主要结论为

1）通过系统横向延拓，构建了标量磁位和矢量磁位零边界条件，确保了分离变量法的实施条件，据此建立了永磁电动悬浮系统三维电磁力模型. 通过有限元仿真证明了理论模型的准确性，通过实验验证了理论上电磁力变化规律的正确性.

2）采用并行优化策略构造了系统级和子系统级双层优化结构，得到了3目标优化问题的线性加权意义上的最优解. 与粒子群方法得到的结果进行了对比，结果表明，经并行优化策略得到的系统性能指标更优. 通过实验对比了优化前、后的性能指标，证明了所采用的并行优化策略是有效的.

图 1 隧道下穿既有铁路力学分析示意

Figure 1. Mechanical analysis of existing railway caused by tunnel undercrossing

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图 2 本文结果与文献[23]数据的对比

Figure 2. Comparisons between results of this study and data from literature [23]

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图 3 隧道埋深的影响

Figure 3. Influence of buried depth of new tunnel

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图 4 隧道施工引起地层损失率的影响

Figure 4. Influence of ground loss rate caused by tunnel undercrossing construction

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图 5 地铁线路与隧道水平夹角的影响

Figure 5. Influence of intersection angle between between railway and tunnel

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表 1 无砟轨道材料参数

Table 1. Parameters of ballastless rail material

结构弹性模量/Pa 泊松比说明

钢轨 2.10 × 10¹¹ 0.30 T60 轨
道床板 3.25 × 10¹⁰ 0.17 C40 混凝土
支承层 2.55 × 10¹⁰ 0.17 C20 混凝土
路基 180 0.25 密度 300 kg/m³

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[22]	张乾,蔡小培,钟阳龙,等. 路基沉降区双块式无砟轨道损伤行为与轨面不平顺分析[J]. 中南大学学报(自然科学版),2022,53(7): 2573-2581. ZHANG Qian, CAI Xiaopei, ZHONG Yanglong, et al. Analysis of damage and rail irregularity of double-block ballastless track in subgrade settlement area[J]. Journal of Central South University (Science and Technology), 2022, 53(7): 2573-2581.
[23]	郭宇,高建敏,孙宇,等. 路基沉降与双块式无砟轨道轨面几何变形的映射关系[J]. 铁道学报,2016,38(9): 92-100. GUO Yu, GAO Jianmin, SUN Yu, et al. Mapping relationship between subgrade settlement and rail deflection of the double-block ballastless track[J]. Journal of the China Railway Society, 2016, 38(9): 92-100.
[24]	JIANG H G, LI X L, XIN G F, et al. Geometry mapping and additional stresses of ballastless track structure caused by subgrade differential settlement under self-weight loads in high-speed railways[J]. Transportation Geotechnics, 2019, 18: 103-110. doi: 10.1016/j.trgeo.2018.10.007

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1. 超高速永磁电动悬浮结构
2. 电动悬浮系统建模
3. 电磁力仿真验证
4. 面向火箭橇工程化应用的基于并行策略的多目标优化
4.1 优化问题描述
4.2 优化方法
4.3 优化结果
5. 实验验证
6. 结　论

结构	弹性模量/Pa	泊松比	说明
钢轨	2.10 × 10¹¹	0.30	T60 轨
道床板	3.25 × 10¹⁰	0.17	C40 混凝土
支承层	2.55 × 10¹⁰	0.17	C20 混凝土
路基	180	0.25	密度 300 kg/m³

基于双层梁理论的隧道下穿诱发无砟铁路变形计算方法

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20230033

作者简介: 雷鸣（1977—），男，副教授，博士，研究方向为岩土工程，E-mail：540584998@qq.com

通讯作者: 张丙强（1979—），男，教授，博士，研究方向为地下工程，E−mail：zbq@fjut.edu.cn

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出版历程

Theoretical Method for Calculating Rail Deformation of Ballastless Railway Caused by Tunnel Undercrossing Based on Dual Beam Model

1. 超高速永磁电动悬浮结构

2. 电动悬浮系统建模

3. 电磁力仿真验证

4. 面向火箭橇工程化应用的基于并行策略的多目标优化

4.1 优化问题描述

4.2 优化方法

4.3 优化结果

5. 实验验证

6. 结 论

计量

出版历程

目录

1. 超高速永磁电动悬浮结构

2. 电动悬浮系统建模

3. 电磁力仿真验证

4. 面向火箭橇工程化应用的基于并行策略的多目标优化

4.1 优化问题描述

4.2 优化方法

4.3 优化结果

5. 实验验证

6. 结 论

作者简介:
雷鸣（1977—），男，副教授，博士，研究方向为岩土工程，E-mail：540584998@qq.com

通讯作者:
张丙强（1979—），男，教授，博士，研究方向为地下工程，E−mail：zbq@fjut.edu.cn

6. 结　论

6. 结　论