列车荷载作用下的磁浮轨道梁响应极值条件

向活跃; 刘科宏; 李永乐

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20220835

列车荷载作用下的磁浮轨道梁响应极值条件

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20220835

向活跃^{1, 2,},
刘科宏¹,
李永乐^{1, 2}

1.
西南交通大学桥梁智能与绿色建造全国重点实验室，四川成都 611756
2.
西南交通大学土木工程学院，四川成都 610031

基金项目: 国家自然科学基金项目（52322811，51978589）

详细信息

作者简介:
向活跃（1986—），男，副教授，博士，研究方向为桥梁风工程与车桥耦合振动，E-mail：hy@swjtu.edu.cn

中图分类号: U441.3
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出版历程
- 收稿日期: 2022-11-29
- 修回日期: 2023-03-16
- 网络出版日期: 2024-10-14
- 刊出日期: 2023-05-05

Extremum Conditions of Response of Maglev Guideway Under Train Loads

XIANG Huoyue^{1, 2
,},
LIU Kehong¹,
LI Yongle^{1, 2}

1.
State Key Laboratory of Bridge Intelligent and Green Construction, Southwest Jiaotong University, Chengdu 611756, China
2.
School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China

摘要

摘要:
为研究磁浮轨道梁动力响应的变化规律，将磁浮列车简化为移动的均布荷载，采用解析法得到简支轨道梁动力响应的解析解，并讨论轨道梁最大值随车速、跨度等参数的变化规律，推导磁浮轨道梁动力响应的极值条件，利用有限元方法和车-桥耦合振动方法进行验证. 结果表明：列车与轨道梁跨度比值较大时，随列车速度的增加轨道梁跨中最大响应以波动形式增加，最大响应存在极值，轨道梁响应随轨道梁跨度、质量等参数也有类似规律；当车速和跨度的乘积为特定常数，或轨道梁一阶竖弯频率与跨度的乘积为车速特定倍数时，轨道梁产生消振现象.
- 磁浮轨道梁 /
- 动力响应 /
- 均布荷载 /
- 解析法 /
- 消振现象
Abstract:
To reveal the variation law of dynamic response of maglev guideways, maglev trains were simplified as moving uniform loads, and analytical methods were employed to obtain the analytical solutions for dynamic response of simply supported guideways. The variation laws of the maximum response of guideways with train speed and guideway span were discussed, and the extremum conditions of response of maglev guideways were derived, which were verified by finite element and train-bridge coupling vibration methods. The results show that under the condition of a large train-guideway span ratio, the maximum response of midspan increases with fluctuations as the train speed increases and has extremums. Guideway response also has similar change laws with the variations of guideway span, mass, and other parameters. When the product of span and speed is a specific constant, or the product of the first-order vertical frequency and span of guideway is a specific time the train speed, the guideway produces vibration isolation.
- maglev guideway /
- dynamic response /
- uniform loads /
- analytical method /
- vibration isolation

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磁浮列车是未来地面高速交通系统的重要发展方向. 因磁浮列车与轨道无直接接触，磁浮系统具有噪声小、环保、速度范围广、爬坡能力强等优点^[1-2]. 目前，中国和日本已开发出时速600公里级的磁浮列车^[3]，为高速磁浮交通系统工程化应用奠定了较好的基础. 由于常导磁浮列车与轨道梁的间隙较小，轨道梁的振动对行车安全影响大，研究磁浮列车作用下轨道梁的动力响应变化规律对其设计十分重要.

目前，轨道梁响应的研究方法主要包括现场实测、数值仿真和解析法等. 现场实测基于现有的磁浮试验线或运营线展开研究^[2,4-6]. 现场实测结果反映了实际行车过程中的所有影响因素. 然而，由于高昂的成本和磁浮线路的稀缺，很难通过现场实测进行系统性的参数化研究. 数值仿真是磁浮轨道梁动力响应的主要研究方法，通过研究列车与桥梁的相互耦合作用，模拟列车过桥的全过程，以此评价桥梁的动力性能. 国内外学者针对磁浮列车与桥梁间的相互作用^[7-15]进行了大量研究. 研究中，桥梁模型通常被视为简支或连续的欧拉-伯努利梁，而车辆模型则具有多样性^[16]，有空间模型，也有垂向模型. 数值仿真分析方法能很好地模拟车-桥系统的动态响应，对明确列车与桥梁间的耦合机制十分有利. 然而，车-桥耦合振动考虑的因素复杂，且受到轨道不平顺的影响，虽可进行参数化分析，但得到的是数值解，难以从原理上解释磁浮轨道梁动力响应的变化规律. 在解析法方面，邓建良等^[17]将磁浮列车荷载简化为移动均布荷载，求解得到简支轨道梁的动力响应解析解，研究影响动力系数大小的主要无量纲参数以及动力系数随各参数的变化规律. Wang等^[18]将轨道梁简化为欧拉梁-均布弹簧-简支欧拉梁的双层磁浮导轨模型，得到桥梁响应的解析解，并通过多模态模型进行数值模拟验证. Song等^[19]提出一种简化的磁浮列车-斜拉桥系统的响应计算方法，将斜拉桥理想化为弹性基础上的简支欧拉梁，将磁浮列车简化为移动的均匀荷载，推导出桥梁动态响应的解析解. 上述研究加深了对磁浮轨道梁动力响应变化规律的认识.

引起磁浮列车和轨道梁振动的因素主要有3个方面：1）磁浮列车上桥过程中的冲击效应，通过频率进行控制；2）轨道梁结构的变形，通过预拱度和刚度限值进行控制；3）随机轨道不平顺，主要由轨道梁的安装和制造误差导致的，包括长波和短波误差. 对于常导磁浮列车而言，由于采用了主动控制系统，对轨道不平顺和轨道梁的变形而言，还可通过优化控制系统参数，以减小列车振动. 后2个方面只能采用车-桥耦合振动方法进行研究. 对于第1个方面，解析法能更直观地研究冲击效应的影响. 虽然解析法中忽略了车辆和轨道梁之间的耦合作用，并进行大量简化，但可得到获得描述车辆或轨道梁响应的解析表达式，方便了解动力响应变化的一般规律.

同时，解析法和车-桥耦合振动研究均表明^[9,11,17-18]，随着车速的增加，磁浮轨道梁的响应存在极值情况，但已有研究未给出轨道梁动力响应的极值条件. 《高速磁浮交通设计标准》（CJJ/T 310—2021）^[20]中通过限制轨道梁一阶竖向频率，以控制轨道梁的动力响应. 而按规范中的频率限值进行设计时，轨道梁仍存在明显的动力响应^[16,21]. 尽管规范确保了轨道梁响应总是处于较低水平，但仍可能达到局部最大. 因此，采用解析法明确磁浮轨道梁动力响应变化规律及极值条件是必要的.

本文以上海磁浮线为背景，采用解析法分析磁浮列车通过简支轨道梁时的动力响应，推导磁浮轨道梁的解析解，提出均布荷载作用下轨道梁最大动力响应的极大值和极小值条件，并与有限元法（FEM）和车桥耦合振动方法进行对比.

1. 轨道梁的运动方程解析解

1.1 基本假定

就上海磁浮线而言，悬浮磁铁均匀分布在轨道梁两侧. 为获得轨道梁的运动方程，进行以下简化：

1）上海磁浮列车每个悬浮磁体上等距安装12个磁极，是产生悬浮力的基本电磁体元件^[22]，磁极间距为0.258 m. 将列车过桥简化为均布荷载以匀速通过直线简支轨道梁.

2）忽略轨道梁的纵向变形、横向变形与自重导致的初始变形，并视其材质沿梁长是均匀的.

3）忽略梁的剪切效应，将梁视为欧拉梁.

4）磁浮列车导向面的电磁力相当于预应力，轨道梁在横向的动力响应较小，忽略轨道梁的横向振动.

5）上海磁浮线列车为五车编组^[23]，轨道梁跨度为24.768 m，与每节车的长度相当，假设列车与轨道梁跨度比大于3.0.

6）为简化分析，忽略轨道梁结构阻尼的影响.

7）忽略高速情况下列车气动力的影响.

磁浮列车通过轨道梁的过程可分为3个阶段：1）磁浮列车上桥阶段，称为阶段Ⅰ（图1（a））； 2）磁浮列车满布在桥上阶段，称为阶段Ⅱ（图1（b））； 3）磁浮列车下桥阶段，称为阶段Ⅲ（图1（c））. 在阶段Ⅲ，轨道梁处于卸载阶段，静态响应将迅速降低^[22]，且由于磁浮列车荷载的均匀性（相较于轮轨系统）与轨道梁的竖向刚度较大，列车下桥后桥梁反弹较小. 因此，本文主要研究阶段Ⅰ、Ⅱ.

图 1 磁浮列车过桥示意

Figure 1. Schematic diagram of maglev train crossing bridge

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图1中：L_b为轨道梁的长度；L_v（L_v>L_b）为列车的长度；q为列车单位长度的重量；V为磁浮列车的速度；t₁为列车在阶段Ⅰ中的运行时间；t₂为列车在阶段Ⅱ中的运行时间；x为轨道梁的纵向坐标；v为轨道梁的垂向位移函数，向下为正.

1.2 阶段Ⅰ的动力响应

无阻尼的欧拉梁基本弯曲方程可写为

$EI\frac{{{\partial ^{\text{4}}}\nu }}{{\partial {x^4}}} + m\frac{{{\partial ^2}\nu }}{{\partial {t^2}}} = q( H(x - (Vt - {L_{\mathrm{v}}})) - H(x - Vt)),$

(1)

式中：m为轨道梁单位长度的质量，t为任意阶段中列车的运行时间，E为梁材质的弹性模量，I为梁的面内抗弯惯性矩，H(·)为Heaviside函数.

式（1）可使用振型叠加法求解，得到轨道梁的振动模态方程为

${M_n}\mathop {{Y_n}}\limits^{..} (t) + W_n^2{M_n}{Y_n}(t) = {p_n}(t),$

(2)

式中： ${W_n} = {n^2}{{\text{π}} ^2}\sqrt {EI/(mL_{\mathrm{b}}^4)}$ ，为梁的第n个振型的模态圆频率；Y_n(t)为振型叠加法中第n个振型的广义坐标；M_n和p_n(t)分别为第n个振型的广义质量和广义荷载，分别如式（3）、（4）.

${M_n} = \int\limits_0^{{L_{\mathrm{b}}}} {\phi _n^2} (x)m{\mathrm{d}}x = m{L_{\mathrm{b}}}/2,$

(3)

${p_n}(t) = q\int\limits_0^{{L_{\mathrm{b}}}} {{\phi _n}} (x)( H(x - (Vt - {L_{\mathrm{v}}})) - H(x - Vt)) {\mathrm{d}}x,$

(4)

式中：ϕ_n(x)=sin nπx/L_b，为简支梁第n个振型函数.

在阶段Ⅰ时，以磁浮列车开始上桥的时刻为初始时刻，此阶段持续时间为t₁ （0≤t₁≤L_b/V），p_n(t₁)可表示为

${p_n}({t_1}) = \frac{{q{L_{\text{b}}}}}{{n{\text{π}} }}\left(1 - \cos \frac{{n{\text{π}} V}}{{{L_{\text{b}}}}}{t_1}\right).$

(5)

通过式（2）可得到阶段Ⅰ轨道梁的运动函数为

$\begin{split} & \nu (x,{t_1}) = \sum\limits_{n = 1}^\infty {\sin \frac{{n{\text{π}} x}}{{{L_{\text{b}}}}}\frac{{2qL_{\mathrm{b}}^4}}{{{n^5}{{\text{π}} ^5}EI}}((1 - \cos\; {W_n}{t_1})} - \\ & \quad \frac{1}{{1 - {{\varOmega _n^2}}/{{W_n^2}}}}(\cos\; {\varOmega _n}{t_1} - \cos\; W_n{t_1})) , \end{split}$

(6)

式中：Ω_n=nπV/L_b，为轨道梁上均布荷载的第n个激励频率.

由式（6）可知，由于 $n^5$ 出现在各项系数分母上，二阶及以上振型对于轨道梁运动位移的影响较小（相较于一阶）. 因此，仅需分析第一阶竖向振型即可获得较高精度结果. 考虑n=1时（W=W₁， $\varOmega = {\varOmega _1}$ ）对应的振动模态对结构运动的贡献，可得到

$\begin{split} & \nu (x,{t_1}) = \frac{{2q}}{{{\text{π}} mW_{}^2}}((1 - \cos\; W{t_1}) \sin \frac{{{\text{π}} x}}{{{L_{\text{b}}}}}- \\ & \quad \frac{1}{{1 - {{\varOmega _{}^2}}/{{{W^2}}}}}(\cos\; \varOmega {t_1} - \cos \;W{t_1})) . \end{split}$

(7)

1.3 阶段Ⅱ的动力响应

在阶段Ⅱ时，以磁浮列车刚离开轨道梁的时刻为初始时刻，此阶段持续时间为t₂ (0≤t₂≤（L_v−L_b)/V），p_n可表示为

${p_n} = \frac{{q{L_{\text{b}}}}}{{n{\text{π}} }}[1 - {( - 1)^n}].$

(8)

此时运动函数为

$\begin{split} & \nu (x,{t_2}) = \sum\limits_{n = 1}^\infty \sin \frac{{n{\text{π}} x}}{{{L_{\text{b}}}}}\frac{{2qL_{\mathrm{b}}^4}}{{{n^5}{{\text{π}} ^5}EI}}\Bigg(2 + \Bigg(1 - \Bigg.\Bigg. \\ &\quad \left.\left.\frac{1}{{1 - {{\varOmega _n^2}}/{{W_n^2}}}}\right)\left(\sin\; \frac{{W_n}/{{L_{\text{b}}}}}{V}\sin \;{W_n}{t_2} -\right.\right.\\ &\quad \left.\left.\left(1 + \cos\; \frac{{W_n}/{{L_{\text{b}}}}}{V}\right)\cos\; {W_n}{t_2}\right)\right) . \end{split}$

(9)

同理可知高阶振动模态的影响可以忽略，仅考虑n=1时（W=W₁， $\varOmega = {\varOmega _1}$ ）对应的振动模态对结构运动的贡献，可得到

$\begin{split} & \nu (x,{t_2}) = \sin \frac{{{\text{π}} x}}{{{L_{\text{b}}}}}\frac{{2q}}{{{\text{π}} m{W^2}}}\Bigg(2 + \Bigg(1 -\Bigg.\Bigg. \\ &\quad \left.\left.\frac{1}{{1 - {{{\varOmega ^2}}}/{{{W^2}}}}}\right)\Bigg(\sin\; \frac{W{{L_{\text{b}}}}}{V}\sin\; W{t_2} -\Bigg.\right. \\ &\quad \Bigg.\Bigg.\left(1 + \cos\; \frac{W{{L_{\text{b}}}}}{V}\right)\cos\; W{t_2}\Bigg)\Bigg) . \end{split}$

(10)

1.4 阶段Ⅰ与阶段Ⅱ的响应比较

由式（7）、（10）可见，尽管磁浮列车通过轨道梁的过程是连续的，但轨道梁在阶段Ⅰ、Ⅱ的振动模式是不同的. 若假定某一阶段的最大响应占主导地位，则可降低研究磁浮列车过桥过程中轨道梁响应最大值的难度.

由式（7）、（10）易知轨道梁位移极值出现在跨中（x=L_b/2），阶段Ⅰ、Ⅱ轨道梁跨中最大响应如图2所示. 图中车速间隔为10 km/h，相应的截面参数参考上海磁浮线的数据，详见第3节.

图 2 阶段Ⅰ、Ⅱ轨道梁最大跨中响应比较

Figure 2. Comparison of the maximum midspan response of the guideway at stage Ⅰ and stage Ⅱ

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由图2可知，虽然阶段Ⅱ轨道梁动力响应的初始状态由阶段Ⅰ决定，但阶段Ⅱ轨道梁跨中最大响应整体上大于阶段Ⅰ. 列车荷载满布轨道梁时外荷载为常数，加之振动方程中未考虑阻尼比的影响，在满布状态下轨道梁的振动不会衰减. 因此，讨论阶段Ⅱ轨道梁的动力响应即可反映列车上桥全过程的动力响应.

2. 轨道梁最大动力响应变化规律

2.1 轨道梁动力响应极值条件

式（10）较为复杂，不易发现其规律. 因此，只考虑其与速度有关的部分，即

$\begin{split} & U = \left(1 - \frac{1}{{1 - {{{\varOmega ^2}}}/{{{W^2}}}}}\right)\left(\sin\; \frac{W{{L_{\mathrm{b}}}}}{V}\sin\; Wt_2-\right. \\ &\quad \left.\left(1 + \cos\; \frac{W{{L_{\mathrm{b}}}}}{V}\right)\cos\; Wt_2\right). \end{split}$

(11)

其具体形式为

$\begin{split} & U=(-1)^a\sqrt{2+2\cos\; WL_{\mathrm{b}}/V}\left|\left(1-\frac{1}{1-\varOmega^2/W^2}\right)\right| \\ & \quad\sin\left(Wt+\arctan\frac{-1-\cos\; WL_{\mathrm{b}}/V}{\sin WL_{\mathrm{b}}/V}\right),\end{split}$

(12)

式中：当Ω²/(Ω²−W²)sin WL_b/V>0时，a=1；当Ω²/(Ω²−W²)sin WL_b/V<0时，a=2.

则有

$v(x,t_2)=\mathrm{sin}\frac{\text{π}x}{L_{\mathrm{b}}}\frac{2q}{\text{π}mW^2}(2+U).$

(13)

根据式（11）、（12）等价可以得到辅助角φ的取值，如表1所示，变化趋势如图3所示.

表 1 φ取值表

Table 1. Value of the auxiliary angle φ

车速范围/ （km·h⁻¹）	φ 取值/rad	备注
$\left[\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{{\text{π}} + 2k{\text{π}} }},\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{2k{\text{π}} }}\right]$	$\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{2V}} - \dfrac{{\text{π}} }{2} - k{\text{π}}$	$k = 1,2,\cdots$
$\left[\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{2{\text{π}} + 2k{\text{π}} }},{\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{{\text{π}}+ 2k{\text{π}} }} }\right)$	$\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{2V}} - \dfrac{{\text{π}} }{2} - (k + 1){\text{π}}$	$k = 0,1,\cdots$
$\left({\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{\text{π}} }}, + \infty \right)$	$\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{2V}} - \dfrac{{\text{π}} }{2}$

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图 3 辅助角变化趋势

Figure 3. Change trend of auxiliary angle

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为分析图2中的极值条件，将x=L_b/2代入式（13），通过φ，式（13）可简化为

$\begin{split} & v({t_2}) = \frac{{2q}}{{{\text{π}} m{W^2}}}\Bigg(2 + \sqrt {2 + 2\cos {{W{L_{\text{b}}}}}/{V}} \Bigg(1 - \Bigg.\Bigg.\\ &\quad \left.\left.\frac{1}{{1 - {{{\varOmega ^2}}}/{{{W^2}}}}}\right)\sin (W{t_2} + \varphi )\right). \end{split}$

(14)

磁浮列车速度改变时，辅助角会发生不连续的变化，从式（14）可见，括号内包括2部分，常数项代表静力荷载作用效应，其大小等同于静止满布均布荷载作用轨道梁时的跨中竖向位移，与车速无关；正弦函数项代表动力作用效应，受均布荷载移动速度的影响，是造成轨道梁振动的主要原因. 其影响主要体现在2个方面：1）车速（加载频率）对于波动（正弦函数）幅值的影响；2）车速会制约磁浮列车满布在桥上阶段的时间，给予t一定的取值区间，会影响正弦函数的取值.

为简化数学模型，首先假定磁浮列车为无限长，此时磁浮列车满布在桥上阶段持续时间足够长，式（14）总能达到最大或最小，即sin(Wt₂+φ)总能在某2个时刻达到1或者−1. 考虑到式（14）中常数项与系数项皆大于0，则轨道梁的最大竖向位移响应可表示为

$\begin{split} & {\nu _{\max }} = \frac{{2q}}{{{\text{π}} m{W^2}}}\Bigg(2 + \left| \sqrt {2 + 2\cos {{W{L_{\text{b}}}}}/{V}}\times \Bigg.\right.\\ &\quad \left.\left.\left(1 - \frac{1}{{1 - {{{\varOmega ^2}}}/{{{W^2}}}}}\right) \right|\right). \end{split}$

(15)

随着车速改变，跨中最大响应存在极大值和极小值，且交替出现：当列车速度在相邻极值点之间时，最大响应单调变化，在图2中表现为轨道梁阶段Ⅱ的最大响应在100～450 km/h车速区间中的波动式变化. 通过单调性分析，可得极小值车速为

${V_{k {\text{-}} {\mathrm{vis}}}} = \frac{{W{L_{\text{b}}}}}{{{\text{π}} + 2k{\text{π}} }} ,\quad k=1,2,3,\cdots,$

(16)

或

$f_k=\frac{1 + 2k}{2} \frac{{V}_{{}_{k{\text{-}}{\mathrm{vis}}}}}{{L}_{\text{b}}},\quad k=1,2,3,\cdots,$

(17)

式中：f_k=W/(2π)，为轨道梁的第1个振型的模态频率.

轨道梁响应极小值所对应的车速可视为消振车速，在图2中对应阶段Ⅱ响应波谷时的车速. 随着k的增加，可依次称为第1消振车速、第2消振车速等. 当列车速度大于V_1-vis时，轨道梁最大响应保持单调增长趋势.

同样，通过单调性分析，可得轨道梁跨中竖向响应极大值条件为

${V_{\max }} = \frac{{W{L_{\text{b}}}}}{{{u_2}}} \text{，}$

(18)

式中：u₂可通过式（19）得到.

$- 2{u_2} - 2{u_2}\cos \;{u_2} - 0.5 u_2^2\sin\; {u_2} + \frac{{{{\text{π}} ^2}}}{2}\sin \;{u_2} = 0.$

(19)

为进一步明确消振的原理，根据式（8），在轨道梁上布置匀速移动的均布荷载，相当于对每个微段截面施加固定的集中力. 因而，轨道梁的位移为

$v(x,{t_2}) = \frac{{4q}}{{{\text{π}} mW_{}^2}}\sin \frac{{{\text{π}} x}}{{{L_{\text{b}}}}}(1 - \cos\; W{t_2}).$

(20)

式（20）为式（10）的通解，与列车速度无关. 该振动为周期性简谐振动，平衡位置的挠度等同于轨道梁在满布均布静荷载作用下的挠度，且振动幅值与其相同.

根据式（5），阶段Ⅰ也相当于向每个微段截面施加频率等于激励频率的谐波荷载. 阶段Ⅰ结束时振动状态为阶段Ⅱ轨道梁振动的初始状态，可得轨道梁的响应为

$\begin{split} & v(x,{t_2}) = ({{\mathop {{Y_n}}\limits^. (0)}}/{{{W_n}}}\sin\; {W_n}{t_2} +\\ &\quad {Y_n}(0)\cos\; {W_n}{t_2})\sin \;{{{\text{π}} x}}/{{{L_{\text{b}}}}}. \end{split}$

(21)

式（21）为式（7）的特解，式（10）可由式（20）和式（21）相加得到. 当列车速度满足式（17）时，阶段Ⅰ结束时的振动恰好与阶段Ⅱ满布荷载作用下振动相消. 此时，阶段Ⅱ的响应将保持在平衡位置，而不再振动，这就是消振现象的原因.

式（16）中，由于假定了无限车长，阶段Ⅱ轨道梁的最大响应为理论最大值，该阶段进行持续的周期性振动，不同车速下轨道梁的响应不会发散，且是连续的，这表明了在两相邻消振车速之间，轨道梁响应肯定存在极大值.

2.2 轨道梁动力响应极小值的一般条件

在磁浮轨道梁设计中，更加关注轨道梁动力响应极小值的情况. 同时，刚度、跨度、质量等参数的影响也应关注.

为得到轨道梁动力响应极小值的一般条件，在此定义速度参数^[14]为

$\beta = \frac{\varOmega }{W} .$

(22)

为方便讨论，由式（8）除以跨中静位移，可定义动力放大系数为

$K = \frac{{768}}{{5{{\text{π}} ^5}}}\left(2 + \left| {\sqrt {2 + 2\cos \frac{{\text{π}} }{\beta }} \left(1 - \frac{1}{{1 - {\beta ^2}}}\right)} \right|\right).$

(23)

式（15）、（23）具有相似的结构，易得其具有相似的单调性和极值，动力放大系数取极小值时的速度参数为

${\beta _{\min }} = \frac{1}{{1 + 2k}},\quad k = 1,2,3,\cdots.$

(24)

此时，动力系数为

$K = \frac{{1\;536}}{{5{{\text{π}} ^5}}} \approx 1.0.$

(25)

在简支梁的条件下，速度参数为

$\beta = V{L_{\text{b}}}\sqrt {\frac{m}{{EI{{\text{π}} ^2}}}}.$

(26)

当动力放大系数取极小值时，式（26）可以改为

$V {L_{\text{b}}} = \frac{{\text{π}} }{{1 + 2k}}\sqrt {\frac{{EI}}{m}},\quad k = 1,2,3,\cdots.$

(27)

由式（26）可知，轨道梁动力响应随车速、跨度、轨梁质量等参数的变化有相似的规律. 当轨道梁的截面和材料确定后，在车速和跨度的乘积为一常数时，轨道梁的动力响应可达到极小值. 式（27）即为轨道梁动力响应最小时的一般条件，该条件与式（16）是一致的，此时轨道梁动力放大系数约为1.0，即与均布荷载静止过桥基本等效.

2.3 有限车长和超高速的影响

对于超高速和车长度较短的情况，列车满布于轨道梁的时间很短，此时需要考虑式（14）中正弦函数的折减效应.

令列车满布时间等于正弦函数周期，使得轨道梁的最大振动始终能够达到理论最大值，可设置保守速度V_x，如式（28）.

$\frac{{{L_{\text{v}}} - {L_{\text{b}}}}}{{{V_{\text{x}}}}} = \frac{{2{\text{π}} }}{W}.$

(28)

当V≤V_x时，式（14）中正弦函数能取到[−1,1]的所有值，轨道梁最大振动与无限车长状态一致.

对于V>V_x的情况（超高车速），由于辅助角在每个速度范围内的表达式不同，本节主要讨论V_x≥WL_b/V的情况来简化计算. 这种情况可转化为z≥2 （z=L_v/L_b−1），即列车长度是轨道梁长度的3倍及以上时：

1）当V<(z + 0.5)WL_b/π时，轨道梁竖向位移最大动力响应仍为式（13）.

2）当V≥(z + 0.5)WL_b/π时，轨道梁竖向位移最大动力响应为

${v _{\max }} = \frac{{2q}}{{{\text{π}} m{W^2}}}(2 + g({\textit{z}},r)),$

(29)

$g({\textit{z}},r) = \frac{2}{{{r^2} - 1}}\cos\; 0.5{\text{π}} r \cos ({\textit{z}} + 0.5){\text{π}} r,$

(30)

式中：r=WL_b/(πV)，为频率比，r∈（0，1/(z + 0.5)].

计算不同z值（z∈[2，5]）时，式（30）随r变化的取值，其结果如图4所示.

图 4 不同z时式（30）的取值

Figure 4. Values of Eq. (30) under different z

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由图4可见，对于z≥2的情况，r∈（0,1/(z + 0.5)]，轨道梁竖向位移最大动力竖向位移随车速呈减函数的性质.

考虑到当V∈[WL_b/(3π)，(z + 0.5)WL_b/π]时轨道梁速度最大响应保持单调增长趋势，可定义界限速度为

${V_{\lim }} = ({\textit{z}} + 0.5)\frac{{W{L_{\text{b}}}}}{{\text{π}} }.$

(31)

当车速为界限速度时，轨道梁动力响应取极大值. 同时，式（31）为有限车长情况下轨道梁动力响应变化的分界线，当车速小于界限车速时，轨道梁的实际最大响应与无限车长状态下的响应相同.

以上海磁浮线参数为例，其轨道梁长度为24.768 m，5辆编组的磁浮列车界限速度为5730 km/h，目前几乎没有列车能达到极限速度. 所以，第2节中的极值条件在有限车长条件下也是适用的.

3. 验证与分析

3.1 与有限元方法的对比分析

为验证上述理论分析结果的准确性，参考上海磁浮线简支轨道梁建立有限元模型，跨度24.768 m，材料为混凝土. 一阶垂直频率为7.14 Hz，忽略桥墩的影响. 轨道梁的横截面如图5所示.

图 5 轨道梁横截面示意（单位：m）

Figure 5. Cross section of guideway （unit: m）

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轨道梁截面面积为3.107 m²，面内抗弯惯性矩为1.814 m⁴，面外抗弯惯性矩为1.629 m⁴，扭转惯性矩为0.948 m⁴，每延米质量为8322.985 kg/m. 均布荷载的长度为5 × 24.768 m （5辆车编组，每辆车长24.768 m）. 根据相关规范^[17]，车辆每延米重量取25.6 kN/m.

验证轨道梁运动方程式（7）与式（10）的准确性，设定车速为500 km/h，计算跨中截面的竖向位移. 运动方程结果与有限元验证结果如图6示.

图 6 不同阶段结果对比

Figure 6. Comparison of results at different stages

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由图6可知：在磁浮列车上桥阶段有限元方法与解析法得到的竖向位移差值小于0.01 mm；在磁浮列车满布在桥上阶段，2种方法计算的位移差值小于0.05 mm. 表明得到的运动方程解是准确的.

进一步采用上述模型，计算100～1100 km/h内不同速度下轨道梁跨中的最大竖向动力响应，速度间隔为10 km/h，计算结果与式（15）的对比如图7所示.

图 7 解析法与有限元法结果比较

Figure 7. Comparison of analytical method and FEM

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由图7可见，式（15）得到的竖向位移最大值响应与有限元法吻合较好，2种方法相差小于0.75%，各极值点大小与幅值对应情况良好，证明了理论分析结果的可靠性；轨道梁的第1消振速度V_1-vis=424 km/h，极大值速度为337 km/h，与式（17）、（18）计算结果吻合. 此外，车速为424 km/h时，轨道梁动力响应与静力响应接近，动力放大系数接近1.0，与式（25）结果一致的.

为进一步明确消振的机理，均布荷载以第1消振速度通过轨道梁时，对阶段Ⅱ的振动进行分解. 该阶段的振动是由阶段Ⅰ结束时的振动和阶段Ⅱ列车满布时振动叠加而成. 图8给出了这2种振动的时程曲线. 由图8可见，2种振动的振幅一致，振动方向相反，叠加后振动恰好为静止状态，冲击效应消失.

图 8 消振车速下阶段Ⅱ振动分解

Figure 8. Vibration decomposition diagram at stage Ⅱ at a train speed producing vibration isolation

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3.2 与车桥耦合振动方法的对比

为进一步验证理论分析结果，考虑轨道不平顺、轨道梁阻尼和车桥耦合的影响. 采用带有比例-微分（PD）控制器的磁浮系统空间耦合振动模型^[10]进行数值仿真分析. 轨道梁的基本参数与3.1节有限元分析相同，轨道梁模型采用瑞利阻尼，阻尼比为0.02. 5辆车编组的车辆模型共具有437个自由度，并考虑了车辆与轨道梁之间的耦合作用. 上海磁浮线（SML）实测的轨道不平顺功率谱密度函数^[24]被用于模拟随机不平顺. 计算了100～600 km/h内不同速度下跨中的最大竖向位移动力响应，速度间隔为10 km/h，与式（8）的计算结果进行比较，如图9所示.

图 9 解析法与耦合振动法结果比较

Figure 9. Comparison of analytical method and coupling vibration method

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从图9可见，耦合振动方法的计算结果与解析法基本一致. 耦合振动模型计算的极大值通常小于解析解计算的极大值，可能是由于系统阻尼的影响. 总体而言，轨道不平顺、轨道梁阻尼和车桥耦合等因素不会显著改变第2节中获得的最大动力响应随车速的变化规律. 极小值和极大值的位置与解析法结果吻合，表明本文推导的极值条件是可信的.

4. 结　论

采用解析法推导了磁浮列车轨道梁的理论解，提出轨道梁动力响应的极值条件，并用有限元软件与耦合振动模型进行对比和验证，分析不同速度下简支轨道梁的消振机理. 得出以下结论：

1）列车与简支轨道梁长度比大于3时，随着列车速度的增加，跨中轨道梁竖向位移最大动力响应以波动形式增加，随跨度、质量等参数也有类似规律.

2）阶段Ⅰ结束时的振动与车辆荷载满布时引起的振动相消时，轨道梁振动将消失. 车速和跨度的乘积为特定常数，或频率与跨度的乘积为1.5倍车速时，为最优跨度（或最优车速）.

3）轨道不平顺、轨道梁阻尼和车辆/轨道梁耦合的影响不会显著改变轨道梁最大动力响应的变化规律.

图 1 磁浮列车过桥示意

Figure 1. Schematic diagram of maglev train crossing bridge

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图 2 阶段Ⅰ、Ⅱ轨道梁最大跨中响应比较

Figure 2. Comparison of the maximum midspan response of the guideway at stage Ⅰ and stage Ⅱ

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图 3 辅助角变化趋势

Figure 3. Change trend of auxiliary angle

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图 4 不同z时式（30）的取值

Figure 4. Values of Eq. (30) under different z

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图 5 轨道梁横截面示意（单位：m）

Figure 5. Cross section of guideway （unit: m）

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图 6 不同阶段结果对比

Figure 6. Comparison of results at different stages

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图 7 解析法与有限元法结果比较

Figure 7. Comparison of analytical method and FEM

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图 8 消振车速下阶段Ⅱ振动分解

Figure 8. Vibration decomposition diagram at stage Ⅱ at a train speed producing vibration isolation

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图 9 解析法与耦合振动法结果比较

Figure 9. Comparison of analytical method and coupling vibration method

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表 1 φ取值表

Table 1. Value of the auxiliary angle φ

车速范围/ （km·h⁻¹）	φ 取值/rad	备注
$\left[\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{{\text{π}} + 2k{\text{π}} }},\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{2k{\text{π}} }}\right]$	$\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{2V}} - \dfrac{{\text{π}} }{2} - k{\text{π}}$	$k = 1,2,\cdots$
$\left[\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{2{\text{π}} + 2k{\text{π}} }},{\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{{\text{π}}+ 2k{\text{π}} }} }\right)$	$\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{2V}} - \dfrac{{\text{π}} }{2} - (k + 1){\text{π}}$	$k = 0,1,\cdots$
$\left({\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{\text{π}} }}, + \infty \right)$	$\dfrac{{W{L_{\text{b}}}}}{{2V}} - \dfrac{{\text{π}} }{2}$

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