考虑能耗的电磁主动悬架LQR控制策略

孙凤; 邢大壮; 周冉; 金俊杰; 徐方超

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20220815

考虑能耗的电磁主动悬架LQR控制策略

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20220815

沈阳工业大学机械工程学院，辽宁沈阳 110870

基金项目: 国家自然科学基金（52005345, 52005344）；国家重点研发计划（2020YFC2006701）；辽宁省教育厅项目（LFGD2020002）；辽宁省”揭榜挂帅”科技重大专项（2022JH1/10400027）

详细信息

作者简介:
孙凤（1978—），男，教授，博士，研究方向为机械系统多元驱动及其控制技术，E-mail：sunfeng@sut.edu.cn

中图分类号: TH122；U463.33
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出版历程
- 收稿日期: 2022-11-29
- 修回日期: 2023-03-19
- 网络出版日期: 2023-06-01
- 刊出日期: 2023-03-29

LQR Control Strategy for Electromagnetic Active Suspension Considering Energy Consumption

School of Mechanical Engineering, Shenyang University of Technology, Shenyang 110870, China

摘要

摘要:
为改善车辆电磁主动悬架功率过大的问题，提出一种考虑能耗的改进线性二次型调节器（linear quadratic regulator，LQR）控制策略. 首先，介绍电磁主动悬架的结构，由等效磁路法得出直线电机的推力模型，再建立电磁主动悬架的动力学模型；其次，在传统的LQR加权系数优化模型基础上提出增加有关能耗的约束条件，设计了一种改进LQR控制策略；最后，使用MATLAB/Simulink进行仿真，通过主动力大小进行控制器正确性的验证，并对比分析随机路面下的能耗与动力学效果. 结果表明：改进LQR控制策略的主动力大小符合优化时约束的概率最低为99.89%；改进LQR控制策略与原LQR控制策略相比，功率均方根降低80.29%，悬架动行程均方根没有明显差别，轮胎动变形均方根优于原LQR控制策略约5%，车身垂向加速度降幅最低仍能达到原LQR控制策略的50%.
- 直线电机 /
- 悬架 /
- LQR控制 /
- 优化 /
- 随机路面
Abstract:
In order to reduce the excessive power consumption of vehicle electromagnetic active suspension, a modified linear quadratic regulator (LQR) control strategy considering energy consumption was raised. Firstly, the structure of electromagnetic active suspension was introduced. The thrust model of the linear motor was established by the equivalent magnetic circuit method, and the dynamic model of electromagnetic active suspension was built. Secondly, based on the optimization model of weighting coefficients in the original LQR control strategy, a constraint condition considering energy consumption was put forward, and a modified LQR control strategy was designed. Finally, MATLAB/Simulink was adopted for simulations, and the correctness of the controller was verified by active force values. Energy consumption and dynamic performance in random road were compared. The results show that the active force value of the modified LQR control strategy meets the optimization constraint condition with a probability of 99.89%. Compared with the original LQR control strategy, the modified LQR control strategy reduces the root-mean-square (RMS) of power by 80.29%. In addition, there is no significant difference in the RMS of suspension working space, and the RMS of dynamic tyre deformation is 5% lower than that of the original LQR control strategy. The reduction of body vertical acceleration can still reach more than 50% of the original LQR control strategy.
- linear motor /
- vehicle suspensions /
- LQR control /
- optimization /
- random road

HTML全文

车辆悬架是车身与车桥之间的传力连接装置，其优劣会影响车辆的整体性能. 被动悬架一般由参数不可调的弹簧与阻尼器组成，无法在所有工况保持较好的性能. 主动悬架是在悬架系统中增加力作动器，具有改善车辆性能的能力. 相比其他主动悬架，电磁主动悬架具有无需气路或油路、响应快、易于控制等特性，成为主动悬架的研究热点^[1-4]. 而电磁主动悬架的性能取决于控制器的设计^[5-7]. 最优控制理论与计算机技术的发展促进了控制器的设计与优化，推动了电磁主动悬架的发展.

Satyanarayana等^[8]对改进线性二次型调节器（linear quadratic regulator，LQR）控制策略分别进行了平顺行驶与严苛行驶条件的仿真；Ding等^[9]在循环工况的路面激励下，得到了LQR控制策略在各路面等级的动力学响应；Shahid等^[10]设计了Super-Twisting高阶滑模控制、一阶滑模控制、积分滑模控制、比例积分微分（PID）和LQR等控制策略；Manna等^[11]为比较LQR控制与模型预测控制（model predictive control，MPC）的效果，选取了2组LQR参数与3组MPC参数进行试验分析. 上述研究促进了悬架主动控制策略的发展. Montazeri-Gh等^[12]研究滚珠丝杠式电磁主动悬架，对频域使用遗传算法确定天棚阻尼与地棚阻尼系数；Ataei等^[13]对电磁混合悬架建立了舒适模式、操稳模式及馈能模式，并使用NSGA-Ⅱ算法进行多目标优化；Yamin等^[14]使用布谷鸟搜索算法设计了PID与天棚控制策略；史文库等^[15]使用基于Sobol序列的差分-禁忌混合优化算法进行悬架参数识别. 上述研究均涉及了控制策略的参数优化，然而，电磁主动悬架受到温升、能效经济性等方面的限制，因此设计控制策略时还应考虑能耗的约束，而现有悬架控制策略的设计与优化并未建立系统输入与能耗的关系.

本文以直线电机作为悬架作动器，对电磁主动悬架进行建模，并提出一种考虑能耗的改进LQR控制策略；使用MATLAB/Simulink进行仿真，与被动悬架、使用原LQR控制策略的主动悬架对比，验证了改进LQR控制策略的可行性.

1. 电磁悬架结构与力学模型

1.1 电磁悬架结构

直线电机具有结构简单、响应速度快、运行稳定等优点. 本实验室结合直线电机结构，在不改变被动悬架的基础上，提出一种能够同时进行主动控制与能量回收的新型电磁悬架.

新型电磁悬架主要由弹簧、液压阻尼器、作动器、上端盖、下端盖等组成，如图1所示^[16]. 直线电机作动器置于弹簧内部、液压阻尼器外部.

图 1 新型电磁悬架结构

Figure 1. Structure of new electromagnetic suspension

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作动器结构如图2所示，由初级与次级组成：初级主要由永磁环、软铁环、固定环、外壁、底座等组成，永磁环与软铁环交替排列，相邻永磁环两两相斥，最上方为固定环，以防止永磁环因斥力移动；次级主要由3组线圈与线圈骨架组成，其中线圈2用于主动控制，线圈1与线圈3用于能量回收. 在组装时，初级底座与下端盖的限位托盘固连，次级上端通过法兰端盖与上端盖固联，作动器的次级跟随活塞杆运动提高了电磁悬架的可靠性.

图 2 直线电机结构

Figure 2. Structure of linear motor

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1.2 直线电机力学模型

图3为所设计的直线电机示意. 图中：r_k为线圈从内向外第k层绕组的半径，k=1～n_e；d为线圈绕组漆包线的直径；r_m为永磁环与软铁环的外半径；h_i1、h_i2、h_i3分别为各软铁环高度；h_c1、h_c2、h_c3分别为各线圈高度；Φ₁、Φ₂、Φ₃、Φ₄分别为等效磁路中的主磁通；Φ₅、Φ₆、Φ₇、Φ₈分别为等效磁路中的漏磁通.

图 3 直线电机示意

Figure 3. Parameters of linear motor

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由等效磁路法知，软铁环2对应气隙的磁感应强度为

${B_{\text{gg2}}}\left( {{r_k}} \right) = \frac{{{\varPhi _2} + {\varPhi _3}}}{{2\text{π} {h_{\text{i2}}}\left( {{r_\text{m}} + {r_k}} \right)}} .$

(1)

本文是主动控制部分的研究，使用的线圈为线圈2. 假设线圈中改变磁感线方向的磁路忽略不计，由安培力公式与式（1）得

$F = B_{\rm{gg2}}LI = \sum\limits_{k = 1}^{n_{\rm{e}}} {\frac{{\left( {{\varPhi _2} + {\varPhi _3}} \right){r_k}{h_{\text{c2}}}}}{{{h_{\text{i2}}}\left( {{r_\text{m}} + {r_k}} \right)d}}} I \text{，}$

(2)

式中：F为电机出力；L为切割磁感线的线圈长度；I为电流.

将与电流无关的项整理为推力系数k_f，则

$F = {k_\text{f}}I.$

(3)

使用电机热功率均方根（式（4））作为能耗的评价指标，如式（4）.

${P_{\text{rms}}} = \sqrt {\frac{1}{T}\int_0^T {{{\left\| {{I^2}r} \right\|}^2}\text{d}t} } \text{，}$

(4)

式中：T为采样时长；r为线圈电阻；t为时间.

2. 电磁悬架系统建模

2.1 电磁悬架动力学模型

悬架的作用为控制刚体模态，短波激励下输入主要影响的是单个车轮而非车身；长波激励下，左、右轮输入通常有较高相关性，且乘用车参数前、后部分的相互影响很小. 因此，使用1/4车模型能较为准确地反映所设计悬架的基本特性. 故建立电磁主动悬架动力学模型，如图4所示. 图中：m_b为簧载质量；m_w为非簧载质量；k_s为悬架弹簧刚度；c_s为减振器阻尼；k_t为轮胎刚度；x_b为簧载质量位移；x_w为非簧载质量位移；x_g为路面输入.

图 4 1/4车电磁主动悬架模型

Figure 4. Quarter electromagnetic active suspension model

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由牛顿第二定律，有

$\left\{ \begin{array}{l} {m_{\rm{b}}}{{\ddot x}_{\rm{b}}} = {k_{\rm{s}}}\left( {{x_{\rm{w}}} - {x_{\rm{b}}}} \right) + {c_{\rm{s}}}\left( {{{\dot x}_{\rm{w}}} - {{\dot x}_{\rm{b}}}} \right) + F,\\ {m_{\rm{w}}}{{\ddot x}_{\rm{w}}} = {k_{\rm{t}}}\left( {{x_{\rm{g}}} - {x_{\rm{w}}}} \right) - {k_{\rm{s}}}\left( {{x_{\rm{w}}} - {x_{\rm{b}}}} \right) - {c_{\rm{s}}}\left( {{{\dot x}_{\rm{w}}} - {{\dot x}_{\rm{b}}}} \right) - F. \end{array} \right.$

(5)

取系统的状态变量为

${\boldsymbol{X}} = {\left( { \begin{array}{l} {{x_\text{b}} - {x_\text{w}}},\;\;{{x_\text{w}} - {x_\text{g}}},\;\;{{{\dot x}_\text{b}}},\;\;{{{\dot x}_\text{w}}} \end{array} } \right)^{\text{T}}} ,$

(6)

输入与扰动分别为

$U = I \text{，}$

(7)

$W = {\dot x_g} .$

(8)

输出为车身垂向加速度、悬架动行程、轮胎动变形与电流，如式（9）.

${\boldsymbol{Y}} = {\left( { \begin{array}{c} {{{\ddot x}_\text{b}}}, \;\;{{x_\text{b}} - {x_\text{w}}},\;\; {{x_\text{w}} - {x_\text{g}}},\;\;I \end{array} } \right)^{\text{T}}} .$

(9)

由式（3）、（5）得系统的状态空间方程为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\boldsymbol{\dot X}} = {\boldsymbol{AX}} + {\boldsymbol{B}}U + {\boldsymbol{G}}W} \text{，}\\ {{\boldsymbol{Y}} = {\boldsymbol{CX}} + {\boldsymbol{D}}U} \text{，} \end{array}} \right.$

(10)

式中： ${\boldsymbol{A}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&1&{ - 1} \\ 0&0&0&1 \\ { - \dfrac{{{k_\text{s}}}}{{{m_\text{b}}}}}&0&{ - \dfrac{{{c_\text{s}}}}{{{m_\text{b}}}}}&{\dfrac{{{c_\text{s}}}}{{{m_\text{b}}}}} \\ {\dfrac{{{k_\text{s}}}}{{{m_\text{w}}}}}&{ - \dfrac{{{k_\text{t}}}}{{{m_\text{w}}}}}&{\dfrac{{{c_\text{s}}}}{{{m_\text{w}}}}}&{ - \dfrac{{{c_\text{s}}}}{{{m_\text{w}}}}} \end{array}} \right] \text{；}$

${\boldsymbol{B}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&0&{\dfrac{{{k_\text{f}}}}{{{m_\text{b}}}}}&{ - \dfrac{{{k_\text{f}}}}{{{m_\text{w}}}}} \end{array}} \right]^{\text{T}}} \text{；}$

${\boldsymbol{C}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \dfrac{{{k_\text{s}}}}{{{m_\text{b}}}}}&0&{ - \dfrac{{{c_\text{s}}}}{{{m_\text{b}}}}}&{\dfrac{{{c_\text{s}}}}{{{m_\text{b}}}}} \\ 1&0&0&0 \\ 0&1&0&0\\ 0&0&0&0 \end{array}} \right] \text{；}$

${\boldsymbol{D}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{k_\text{f}}}}{{{m_\text{b}}}}}&0&0&1 \end{array}} \right]^{\text{T}}} \text{；} {\boldsymbol{G}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{{{ - }}1}&0&0 \end{array}} \right]^{\text{T}}} .$

2.2 路面模型

参考GB/T 7031—2005^[17]，进行车辆舒适性和悬架的评价等研究可利用统计参数来描述路谱；道路不平度可由基于位移功率谱密度的拟合来评价. 采用最小二乘法将平滑过的位移功率谱密度函数G_d用一条直线进行拟合，一般公式为

${G_\text{d}}\left( n \right) = {G_\text{d}}\left( {{n_0}} \right) {\left( {\frac{n}{{{n_0}}}} \right)^{ - \omega }} \text{，}$

(11)

式中：n为空间频率；n₀为参考空间频率（0.1 m⁻¹）；ω为拟合功率谱密度的指数.

当研究单位距离上路面垂向变化时，使用速度功率谱密度G_v(n)比较方便. G_d(n)与G_v(n)的关系为

${G_\text{v}}\left( n \right) = {G_\text{d}}\left( n \right) {\left( {2\text{π} n} \right)^2} .$

(12)

重构满足既定功率谱密度的路面时域模型有两个前提条件：道路过程是平稳的高斯随机过程；道路过程具有遍历性^[18]. 对于路面模拟，令ω=2，此时G_v(n)为常数，可以通过对白噪声积分而获得位移模拟. 取下截止空间频率n₁=0.01 m⁻¹，以避免在低频段出现大的位移^[17].

本文使用滤波白噪声模型进行随机路面输入^[18]，如式（13）.

${\dot x_{\rm{g}}} = - 2\text{π} {n_1}v{x_\text{g}} + 2\text{π} {n_0}\sqrt {{G_\text{d}}({n_0})v} w\text{，}$

(13)

式中：v为车速；w为一均值为0、方差为1的高斯白噪声.

3. 考虑能耗的控制策略设计

3.1 线性二次型调节器控制

最优控制是在一定的条件约束下，寻求使性能指标达到极值时的控制函数问题. 当被控对象的运动特征由微分方程来描述，性能指标由泛函来表示时，确定LQR控制函数的问题就转为在微分方程约束下求泛函的条件极值.

悬架的设计目标是尽可能提高车辆的乘坐舒适性、操纵稳定性和行驶平顺性，此外，主动悬架还应对作动器控制力进行约束以降低系统能耗. 故参考式（9），选取LQR控制策略的性能指标函数J为

$\begin{split} & J= \int_0^\infty {\left[ {{q_1}{{\ddot x}_\text{b}}^2 + {q_2}{{\left( {{x_\text{b}} - {x_\text{w}}} \right)}^2} + {q_3}{{\left( {{x_\text{w}} - {x_\text{g}}} \right)}^2} + } \right.} \\ & \quad \left. {{q_4}{I^2}} \right]\text{d}t \text{，} \end{split}$

(14)

式中：q_i分别为各性能指标的加权系数，i=1, 2, 3, 4.

将式（10）代入式（14），整理为

$J = \int_0^\infty {\left( {{{\boldsymbol{X}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{QX}} + {{\boldsymbol{U}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{RU}} + 2{{\boldsymbol{X}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{NU}}} \right)\text{d}t} \text{，}$

(15)

式中： ${\boldsymbol{Q}} = \dfrac{1}{{m_{\rm{b}}^2}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_1}k_\text{s}^2 + {q_2}m_\text{b}^2}&0&{{q_1}{k_\text{s}}{c_\text{s}}}&{ - {q_1}{k_\text{s}}{c_\text{s}}} \\ 0&{{q_3}m_\text{b}^2}&0&0 \\ {{q_1}{k_\text{s}}{c_\text{s}}}&0&{{q_1}c_\text{s}^2}&{ - {q_1}c_\text{s}^2} \\ { - {q_1}{k_\text{s}}{c_\text{s}}}&0&{ - {q_1}c_\text{s}^2}&{{q_1}c_\text{s}^2} \end{array}} \right] \text{；}$

${\boldsymbol{R}} = \frac{1}{{m_\text{b}^2}}\left( {{q_1}k_\text{f}^2 + {q_4}m_\text{b}^2} \right) \text{；}$

${\boldsymbol{N}} = \frac{1}{{m_\text{b}^2}}{\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {q_1}{k_\text{s}}{k_\text{f}}}&0&{ - {q_1}{c_\text{s}}{k_\text{f}}}&{{q_1}{c_\text{s}}{k_\text{f}}} \end{array}} \right]^{\text{T}}} .$

LQR控制策略的反馈增益矩阵为

${\boldsymbol{K}} = {{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{B}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{P}}\text{，}$

(16)

式中：P可由Riccati方程解出，如式（17）.

${{\boldsymbol{A}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{P}} + {\boldsymbol{PA}} - \left( {{\boldsymbol{PB}} + {\boldsymbol{N}}} \right){{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}\left( {{{\boldsymbol{B}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{P}} + {{\boldsymbol{N}}^{\text{T}}}} \right) + {\boldsymbol{Q}} = {0}.$

(17)

对状态反馈的LQR控制策略，求得系统输入为

${\boldsymbol{U}} = - {\boldsymbol{KX}}.$

(18)

由此，主动控制策略的设计就转化为q_i的选取问题.

3.2 优化问题模型

工程问题大多存在多个彼此冲突的目标，属于多目标优化问题，其最优解通常由数量众多甚至无穷大的Pareto最优解组成. 智能优化算法相比传统的数学规划法，能同时处理一组解，每运行一次能获得多个可行解，且对Pareto最优前端的形状和连续性不敏感. 智能优化算法在多目标优化领域已被普遍接受并广泛采用.

优化问题的数学模型为寻找一组设计变量，在满足约束条件的前提下使适应度函数尽可能小. 对于车辆垂向动力学问题，其模型可表示如下：^[19]

设计变量为

${\boldsymbol{q}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{q_1}}&{{q_2}}&{{q_3}}&{{q_4}} \end{array}} \right].$

(19)

适应度函数为车身垂向加速度、悬架动行程与轮胎动变形的归一化之和，如式（20）.

$\begin{split} \min f\left( {\boldsymbol{q}} \right) &= \frac{{\text{RMS} \left( {{x_\text{b}}\left( {\boldsymbol{q}} \right) - {x_\text{w}}\left( {\boldsymbol{q}} \right)} \right)}}{{{\text{RMS}} \left( {{x_{\text{b}{\text{P}}}} - {x_{\text{w}{\text{P}}}}} \right)}} + \\ &\quad \frac{{{{\rm{RMS}}}\; {{\ddot x}_\text{b}}\left( {\boldsymbol{q}} \right)}}{{{\text{RMS}}\; {{\ddot x}_{\text{b}{\text{P}}}}}} + \frac{{{\text{RMS}} \left( {{x_\text{w}}\left( {\boldsymbol{q}} \right) - {x_\text{g}}\left( {\boldsymbol{q}} \right)} \right)}}{{{\text{RMS}} \left( {{x_{\text{w}{\text{P}}}} - {x_{\text{g}{\text{P}}}}} \right)}}\text{,} \\ \end{split}$

(20)

式中：RMS为均方根（root-mean-square，RMS）； x_bP、x_wP、x_gP分别为被动悬架的簧载质量位移、非簧载质量位移、路面输入.

约束条件为车身垂向加速度、悬架动行程与轮胎动变形的归一化分别小于1，如式（21）.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{\text{\text{RMS}}}\; {{\ddot x}_\text{b}}\left( {\boldsymbol{q}} \right)}}{{{\text{RMS}}\; {{\ddot x}_{\text{b}{\text{P}}}}}} < 1} \text{，}\\ {\dfrac{{{\text{RMS}} \left( {{x_\text{b}}\left( {\boldsymbol{q}} \right) - {x_\text{w}}\left( {\boldsymbol{q}} \right)} \right)}}{{{\text{RMS}} \left( {{x_{\text{b}{\text{P}}}} - {x_{\text{w}{\text{P}}}}} \right)}} < 1}\text{，} \\ {\dfrac{{{\text{RMS}} \left( {{x_\text{w}}\left( {\boldsymbol{q}} \right) - {x_\text{g}}\left( {\boldsymbol{q}} \right)} \right)}}{{{\text{RMS}} \left( {{x_{\text{w}{\text{P}}}} - {x_{\text{g}{\text{P}}}}} \right)}} < 1} . \end{array}} \right.$

(21)

此模型能够同时保证车身垂向加速度、悬架动行程与轮胎动变形相比被动悬架有所改善，近年来在悬架设计优化问题中被广泛使用.

本文所使用的悬架参数如表1所示. 解模均使用如下工况与算法：G_d(n₀)=256×10⁻⁶ m³（C级路面），路面长度s=300 m，v=60 km/h，优化时间为以v驶过s的路面所用时长，使用遗传算法求解，其中前10 s的路面高程如图5所示.

表 1 1/4悬架参数

Table 1. Parameters of quarter suspension

参数	数值
m_b/kg	459
m_w/kg	50
k_s/（N·m⁻¹）	57000
c_s/（N·s·m⁻¹）	1800
k_t/（N·m⁻¹）	230000
k_f/（N·A⁻¹）	40
r/Ω	25.3

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图 5 时速60 km/h路面高程

Figure 5. Road elevation at speed of 60 km/h

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使用式（19）～（21）优化模型，且设对i=1, 2, 3, 4，均有q_i∈[1, + ∞），迭代求解得原LQR控制策略的加权系数矩阵 q_a=(174.5545, 91.0002, 54.6267, 1).

3.3 考虑能耗的改进LQR控制策略

首先，对优化模型进行分析简化. 车辆指标中直接与乘坐舒适性相关的是车身垂向加速度，如果车身垂向加速度能够改善，则可以接受悬架动行程与轮胎动变形在设计范围内有轻微劣化. 故取消对悬架动行程与轮胎动变形的约束条件，只保留

$\frac{{{\text{RMS}} \;{{\ddot x}_\text{b}}\left( {\boldsymbol{q}} \right)}}{{{\text{RMS}}\; {{\ddot x}_{\text{b}{\text{P}}}}}} < 1 .$

(22)

使用式（19）、（20）、（22）的简化模型，其他条件同3.2节，得q_b=(174.5545, 91.0002, 54.6267, 1). 对所设计的LQR控制策略，去掉式（21）中悬架动行程与轮胎动变形的约束条件对优化结果没有影响，简化后的优化问题模型减少了迭代过程的计算量.

其次，在简化优化模型中增加约束能耗的条件. 由LQR控制原理知，加权系数q₄有约束系统输入的能力. 然而式（22）约束条件与式（20）适应度函数中没有关于系统输入或消耗能量的变量，导致能耗在优化过程中未能受到控制.

对于状态反馈的LQR控制策略，由式（10）、式（18）得

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\boldsymbol{\dot X}} = \left( {{\boldsymbol{A}} - {\boldsymbol{BK}}} \right){\boldsymbol{X}} + {\boldsymbol{G}}W} \text{，}\\ {{\boldsymbol{Y}} = \left( {{\boldsymbol{C}} - {\boldsymbol{DK}}} \right){\boldsymbol{X}}} \text{.} \end{array}} \right.$

(23)

系统相当于是以路面为单输入的线性系统. 由随机振动理论可知，若随机振动系统是线性的，激励是平稳、各态历经的和接近于正态分布，则线性系统的响应也有近似于正态的概率分布^[20]. 经过大量试验，在式（22）的约束条件基础上，增加对主动力的控制，以出力来约束能耗，如式（24）.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{\text{RMS}}\; {{\ddot x}_\text{b}}\left( {\boldsymbol{q}} \right)}}{{{\text{RMS}} \;{{\ddot x}_{\text{b}{\text{P}}}}}} < 1} \text{，}\\ {{\text{RMS}}\; F < \dfrac{1}{3}{F_\text{p}}} \text{，} \end{array}} \right.$

(24)

式中：F_p为优化过程期望的电机最大出力.

使用式（19）、（20）、（24）的改进优化模型，令 F_p=600 N，其他条件同3.2节，得改进LQR控制策略的加权系数矩阵 q_c=(37.4349, 68.9191, 35.2202, 1.0372). 使用MATLAB/Simulink联合仿真计算主动控制力，如图6所示. 对主动控制力的绝对值求概率分布，得主动控制力的最大值为613.035 N，小于F_p的概率为99.89%，从而证明了改进LQR控制策略的有效性.

图 6 改进LQR控制策略仿真主动力

Figure 6. Simulated active force of modified LQR control strategy

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4. 仿真对比

以被动悬架、使用原LQR控制策略的电磁主动悬架和使用改进LQR控制策略的电磁主动悬架分别进行MATLAB/Simulink仿真，仿真工况同3.2节，仿真时长为10 s，其车身垂向加速度、悬架动行程与轮胎动变形3～8 s的变化如图7所示.

图 7 仿真3～8 s悬架动力学性能

Figure 7. Suspension dynamic performance in 3–8 s during simulation

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改进LQR控制策略仿真全过程的功率均方根值（1082.43 W）相比原LQR控制策略（5492.41 W）的降幅为80.29%. 仿真全过程动力学性能指标均方根值与相比被动悬架降幅分别如表2、3所示.

表 2 性能指标均方根

Table 2. RMS of performance indexes

策略	车身垂向加速度/（m·s⁻²）	悬架动行程/mm	轮胎动变形/mm
被动	2.2197	14.7514	5.8153
原 LQR 控制策略	1.3202	12.0841	5.6834
改进 LQR 控制策略	1.7254	12.1087	5.3656

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表 3 性能指标均方根降幅

Table 3. Reduction of RMS of performance indexes %

策略	车身垂向加速度	悬架动行程	轮胎动变形
原 LQR控制策略	40.52	18.08	2.27
改进 LQR控制策略	22.27	17.91	7.73

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由图7与表3可知：相比被动悬架，改进LQR控制策略能够降低车身垂向加速度与悬架动行程的峰值，控制车身姿态；改进LQR控制策略其动力学3指标的均方根值相比被动悬架分别改善了22.27%、17.91%和7.73%，能够提高车辆的乘坐舒适性、操纵稳定性和行驶平顺性.

两种主动悬架相比，原LQR控制策略虽然能改善性能尤其是车身垂向加速度，然而其只求取最优解的原理难以约束系统输入，导致功率均方根过大，对直线电机温升及能耗极为不利；而改进LQR控制策略其功率均方根约只有原LQR控制策略的20%，且由表3可知，车身垂向加速度降幅最少仍能达到原LQR控制策略的50%，悬架动行程与原LQR控制策略没有明显差距，轮胎动变形降幅优于原LQR控制策略约5%. 综合能耗与效果考虑，使用改进LQR控制策略的电磁主动悬架表现出显著的能效经济性优势.

5. 结　论

1）期望最大出力为600 N的条件下，使用改进优化模型求得的LQR加权系数进行仿真，主动控制力的最大值为613.035 N，小于600 N的概率为99.89%，验证了改进LQR控制策略的正确性.

2）使用改进LQR控制策略的电磁主动悬架与被动悬架车辆相比，其动力学指标明显改善，且相比使用原LQR控制策略的主动悬架，在功率均方根降低80.29%的同时，仍能得到50%以上的车身垂向加速度均方根降幅，以及同等以上水平的悬架动行程与轮胎动变形性能. 改进LQR控制策略为重视能耗的电磁悬架参数选取提供了理论支持.

图 1 新型电磁悬架结构

Figure 1. Structure of new electromagnetic suspension

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图 2 直线电机结构

Figure 2. Structure of linear motor

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图 3 直线电机示意

Figure 3. Parameters of linear motor

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图 4 1/4车电磁主动悬架模型

Figure 4. Quarter electromagnetic active suspension model

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图 5 时速60 km/h路面高程

Figure 5. Road elevation at speed of 60 km/h

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图 6 改进LQR控制策略仿真主动力

Figure 6. Simulated active force of modified LQR control strategy

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图 7 仿真3～8 s悬架动力学性能

Figure 7. Suspension dynamic performance in 3–8 s during simulation

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表 1 1/4悬架参数

Table 1. Parameters of quarter suspension

参数	数值
m_b/kg	459
m_w/kg	50
k_s/（N·m⁻¹）	57000
c_s/（N·s·m⁻¹）	1800
k_t/（N·m⁻¹）	230000
k_f/（N·A⁻¹）	40
r/Ω	25.3

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表 2 性能指标均方根

Table 2. RMS of performance indexes

策略	车身垂向加速度/（m·s⁻²）	悬架动行程/mm	轮胎动变形/mm
被动	2.2197	14.7514	5.8153
原 LQR 控制策略	1.3202	12.0841	5.6834
改进 LQR 控制策略	1.7254	12.1087	5.3656

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表 3 性能指标均方根降幅

Table 3. Reduction of RMS of performance indexes %

策略	车身垂向加速度	悬架动行程	轮胎动变形
原 LQR控制策略	40.52	18.08	2.27
改进 LQR控制策略	22.27	17.91	7.73

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施引文献

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