基于改进Super-Twisting滑模观测器的永磁同步电机无传感器控制

王涛; 黄景春; 周行之; 金靖

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20220793

基于改进Super-Twisting滑模观测器的永磁同步电机无传感器控制

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20220793

西南交通大学电气工程学院，四川成都 610031

基金项目: 国家自然科学基金项目（U21A20169）；四川省自然科学基金项目（2022NSFSC0451）

详细信息

作者简介:
王涛（1972—）男，教授，博士生导师，研究方向为电机鲁棒控制，E-mail：taowang@home.swjtu.edu.cn

中图分类号: TM341
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出版历程
- 收稿日期: 2022-11-17
- 修回日期: 2023-06-08
- 网络出版日期: 2025-01-13

Sensorless Control of Permanent Magnet Synchronous Motor Based on Improved Super-Twisting Sliding Mode Observer

School of Electrical Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China

摘要

摘要:
在无传感器控制宽调速范围内，传统super-twisting二阶滑模观测器算法在永磁同步电机中存在转子位置估计误差随速度变化而发生抖动的问题. 为减小转子位置估计误差并提升电机调速控制性能，本文基于双曲函数提出一种改进的滑模观测器，并设计定子电阻的在线辨识方案，同时开发扰动电压观测器以在线估计逆变器非线性引起的失真电压；最后，通过电机硬件在环实验测试进行验证. 测试结果表明：位置估计误差减小7.6%，速度估计精度提高5.8%.
- 永磁同步电机 /
- 无传感器控制 /
- 改进super-twisting算法 /
- 定子电阻在线辨识 /
- 逆变器非线性补偿
Abstract:
In the wide speed range of sensorless control, the traditional super-twisting second-order sliding mode observer algorithm had a problem that the error of rotor position estimation would change with the speed in the permanent magnet synchronous motor (PMSM). In order to improve the control performance of the motor speed and reduce the error of rotor position estimation, an improved sliding mode observer based on hyperbolic function was proposed, and an online identification scheme of stator resistance was designed. A disturbance voltage observer was designed to estimate the distortion voltage caused by the nonlinearity of the inverter on line. Finally, the hardware-in-the-loop test was carried out to verify the feasibility of the scheme. The test results show that the error of position estimation can be reduced by 7.6%, and the accuracy of velocity estimation can be increased by 5.8%.
- permanent magnet synchronous motor /
- sensorless control /
- improved super-twisting algorithm /
- online identification of stator resistance /
- nonlinearity compensation of inverter

HTML全文

永磁同步电机（permanent magnet synchronous motor，PMSM）因效率高、体积小、结构简单等优点，越来越受到关注，在电动汽车、磁悬浮列车^[1-3]等领域已得到广泛应用. 然而，永磁同步电动机的高性能控制需要有关转子位置信息的反馈，通常通过编码器或旋转变压器获得准确的转子位置. 但使用这些设备需要与电动机同轴连接，这可能导致系统体积的增加. 而且，这些设备易受到诸如振动、高温等外部因素的损坏. 因此，永磁同步电动机无传感器控制已成为交流传动领域的重要研究方向. 目前，PMSM无传感器控制方法主要可以分为基于高频信号注入的方法^[4]、基于电机模型的方法：前者利用电机的凸极特性来获得转子位置信息，主要应用于低速和零速状态；后者在低速和零速条件下估算困难，适合于中高速场合，如模型参考自适应法、扩展卡尔曼滤波法、滑模观测器法等^[5-7]. 其中，滑模观测器由于具有对自身参数变化不敏感、对外部扰动具有较强鲁棒性、易于实现等优点，实际工程中被广泛应用于PMSM的中高速无传感器控制.

文献[8]提出一种适用于宽速度范围的新型滑模观测器，通过选择基于速度的不同反馈增益，在低速时实现转子位置估计误差的最小化，并且在高速时可以加速观测器的收敛，但由于引入了低通滤波器，会引起幅值衰减和相位延时问题. 文献[9]通过结合二阶滑模观测器和模型参考自适应2种方法来估算直线电机转速，有效解决了传统滑模观测器的抖动问题. 文献[10]中通过采用基于super-twisting算法的二阶滑模观测器来估计转子位置和转速，避免了低通滤波器的使用，但由于采用恒值滑模系数，转速升降过程中可能会加大转子位置估计误差，甚至造成系统失稳. 文献[11]针对滑模观测器引起的抖振问题，提出一种基于迭代的滑模观测器，有效减小滑模引起的抖振现象. 文献[12]提出一种基于自适应super-twisting滑模观测器算法，可以减小由于转速变化时恒值滑模系数引起的转子位置估计误差.

在运行过程中，电机参数会随工况环境发生波动，如温升、集肤效应等原因引起的电阻值变化. 由于基于模型的PMSM电机无传感器控制需要获取准确的定子电阻等参数，若计算采用的电阻值与实际值出现偏差，会使位置和转速估计出现较大误差，且可能导致系统不稳定^[13]. 在线定子电阻估计在无传感器控制中起着重要作用，特别是在低速区域，与定子电阻两端的电压降相比，反电动势相对较小. 文献[14]提出具有定子电阻在线辨识的一阶滑模观测器，用于PMSM无传感器控制.

在实际中，由于低速时反电动势较低，以及逆变器非线性因素，使得基于模型的PMSM无传感器控制技术性能较差. 逆变器非线性是由死区时间、导通/关断延迟以及开关管和二极管两端的压降造成的. 逆变器非线性会造成电压畸变，使得参考电压和实际电压不匹配. 而通常采用参考电压代替实际电压估计速度和位置，电压失真会给位置和速度估计带来较大误差. 因此，基于该问题而提出的逆变器非线性补偿技术已得到初步应用^[15]，由于没有考虑到参数不确定性对估计失真电压的影响，当温度变化时，可能会造成较大的估计误差.

为提高PMSM中高速无传感器控制性能，本文对基于super-twisting算法的滑模观测器进行研究. 针对在变速情况下恒值滑模系数易造成转子位置估计误差甚至系统失稳，采用一种改进的super-twisting滑模观测器，减小在宽速度范围下转子位置的估计误差，基于存在的稳定条件证明其稳定性. 由于温升会引起实际定子电阻和设定的定子电阻存在不匹配，从而造成位置估计误差，基于双曲函数，研究一阶滑模观测器在线估计定子电阻方案；通过李雅普诺夫稳定性理论证明其稳定性；为减小逆变器非线性特性造成的电压失真现象，研究一种基于扰动观测器的逆变器非线性补偿方法；最后，通过实验测试验证研究算法的正确性.

1. 传统super-twisting滑模观测器

1.1 PMSM数学模型

在两相静止坐标系下，表贴式PMSM的数学模型可表示为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{{{\mathrm{d}}}{i_\alpha }}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = - \dfrac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{i_\alpha } + \dfrac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{u_\alpha } - \dfrac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{e_\alpha }}, \\ {\dfrac{{{{\mathrm{d}}}{i_\beta }}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = - \dfrac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{i_\beta } + \dfrac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{u_\beta } - \dfrac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{e_\beta }} , \end{array}} \right.$

(1)

式中： $i_{\alpha}（i_{\beta}）$ 、 $u_{\alpha}（u_{\beta}）$ 分别为 $\alpha$ 轴（ $\beta$ 轴）定子电流分量、定子电压分量； $R$ 和 ${L_{\mathrm{s}}}$ 分别为定子电阻和电感； ${e_\alpha }$ 、 ${e_\beta }$ 分别为 $\alpha 、\beta$ 轴反电动势分量，如式（2）所示.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_\alpha } = - {\psi _{\mathrm{f}}}\omega \sin \;\theta {\text{,}}} \\ {{e_\beta } = {\psi _{\mathrm{f}}}\omega \cos \;\theta {\text{, }}} \end{array}} \right.$

(2)

式中： ${\psi _{\mathrm{f}}}$ 为转子磁链， $\omega$ 和 $\theta$ 分别为转子的电角速度和电角度位置.

1.2 super-twisting算法

super-twisting算法基本形式为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\dot x}_1} = - {k_1}{{\left| {{x_{1,e}}} \right|}^{1/2}}{\mathrm{sign}}\left( {{x_{1,{\mathrm{e}}}}} \right) + {x_2} + {\rho _1}\left( {{x_1},t} \right){\text{, }}} \\ {{{\dot x}_2} = - {k_2}{\mathrm{sgn}}\left( {{x_{2,{\mathrm{e}}}}} \right) + {\rho _2}\left( {{x_2},t} \right){\text{, }}} \end{array} } \right.$

(3)

式中： ${x_i}$ 为系统第i个状态变量，i=1,2； ${x_{i,{\mathrm{e}}}} = {\hat x_i} - {x_i}$ ，为第i个状态估计值 ${\hat x_i}$ 与实际值之间的误差； ${\rho }_{i}$ (·)为第i个状态变量的扰动项； ${k_i}$ 为第i个状态变量的滑模系数； $t$ 为时间.

为满足可行的系统动力学和稳定性，滑模系数和扰动项需要分别满足式（4）、（5）所示关系.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{k_1} > 2{\delta _1}\;,\;} \\ {{k_2} > {k_1}\dfrac{{5{\delta _1}{k_1} + 4\delta _1^2}}{{2\left( {{k_1} - 2{\delta _1}} \right)}}\;,} \end{array}} \right.$

(4)

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left| {{\rho _1}} \right| \leqslant {\delta _1}{{\left| {{x_1}} \right|}^{1/2}},\;} \\ {{\rho _2}\;{\text{ = }}\;0，\;} \end{array}} \right.$

(5)

式中： ${\delta _1}$ 为任意的正常数.

满足稳定性条件后，系统最终将稳定在原点.

1.3 传统的super-twisting滑模观测器

基于传统的super-twisting滑模观测器的永磁同步电机无传感器控制算法形式如式（6）所示.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{aligned} &\frac{{{{\mathrm{d}}}{{\hat i}_\alpha }}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = - \frac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat i}_\alpha } + \frac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{u_\alpha }{\text{ + }}\frac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}\times \\ & \quad \left[{k_1}{\left| {{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}} \right|^{1/2}}{\mathrm{sgn}}\left( {{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}} \right) + \int {{k_2}{\mathrm{sgn}}\left({{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}} \right){\mathrm{d}}t} \right] ,\\ \end{aligned} \\ \begin{aligned} &\frac{{{{\mathrm{d}}}{{\hat i}_\beta }}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = - \frac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat i}_\beta } + \frac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{u_\beta }{\text{ + }}\frac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}\times \\ & \quad\left[{k_1}{\left| {{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right|^{1/2}}{\mathrm{sgn}}\left({{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right){\text{ + }}\int {{k_2}{\mathrm{sgn}}\left({{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right){\mathrm{d}}t} \right], \end{aligned} \end{array} } \right.$

(6)

式中： ${k_1}$ , ${k_2}$ >0， ${\hat i_\alpha }$ （ ${\hat i_\beta }$ ）和 ${ i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}$ （ ${ i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}$ ）分别为α轴（β轴）估计电流和电流误差.

从式（6）可以看出，式（3）中的扰动项 ${\rho _1}$ 被 $- R{\hat i_\alpha }{\text{/}}{L_{\mathrm{s}}} + {u_\alpha }{\text{/}}{L_{\mathrm{s}}}$ 和 $- R{\hat i_\beta }{\text{/}}{L_{\mathrm{s}}} + {u_\beta }{\text{/}}{L_{\mathrm{s}}}$ 所代替，于是式（5）可以被重写为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \dfrac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat i}_\alpha } + \dfrac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{u_\alpha } - {\delta _1}{{\left| {{{\hat i}_\alpha }} \right|}^{1/2}} \leqslant 0{\text{, }}} \\ { - \dfrac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat i}_\beta } + \dfrac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{u_\beta } - {\delta _1}{{\left| {{{\hat i}_\beta }} \right|}^{1/2}} \leqslant 0.} \end{array}} \right.$

(7)

足够大的常数 ${\delta _1}$ 使得式（7）成立. 将式（6）减去式（1），可以推导出 $\alpha 、\beta$ 轴电流误差状态为

$\left\{ \begin{array}{c}\begin{array}{l} \dfrac{{{\mathrm{d}}}{i}_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}{{{\mathrm{d}}}t}=-\dfrac{R}{{L}_{{\mathrm{s}}}}{i}_{\alpha ,{\mathrm{e}}}\text{ + }\dfrac{1}{{L}_{{\mathrm{s}}}}{\hat{e}}_{\alpha }\text{ + }\dfrac{1}{{L}_{{\mathrm{s}}}}\left[{k}_{1}{\left|{i}_{\alpha ,{\mathrm{e}}}\right|}^{1/2}\text{sgn}\left({i}_{\alpha ,{\mathrm{e}}}\right)\text{ + }\right.\\ \left.\quad{\displaystyle \int {k}_{2}\text{sgn}\left({i}_{\alpha ,{\mathrm{e}}}\right){{\mathrm{d}}}t}\right]\text{ }\text{，}\text{ }\end{array}\\ \begin{array}{l} \dfrac{{{\mathrm{d}}}{i}_{\beta ,{\mathrm{e}}}}{{{\mathrm{d}}}t}=-\dfrac{R}{{L}_{{\mathrm{s}}}}{i}_{\beta ,{\mathrm{e}}}\text{ + }\dfrac{1}{{L}_{{\mathrm{s}}}}{\hat{e}}_{\beta }\text{ + }\dfrac{1}{{L}_{{\mathrm{s}}}}\left[{k}_{1}{\left|{i}_{\beta ,{\mathrm{e}}}\right|}^{1/2}\text{sgn}\left({i}_{\beta ,{\mathrm{e}}}\right)\text{ + }\right.\\ \left.\quad{\displaystyle \int {k}_{2}\text{sgn}\left({i}_{\beta ,{\mathrm{e}}}\right){{\mathrm{d}}}t}\right]\text{ }\text{，}\text{ }\end{array}\end{array}\right.$

(8)

式中： ${\hat e_\alpha }$ 、 ${\hat e_\beta }$ 分别为 ${e_\alpha }$ 、 ${e_\beta }$ 的估计值.

当估计误差到达滑动模态时，无传感器控制系统达到稳定. 此时， ${i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}} = {\hat i_\alpha } - {i_\alpha } \approx 0$ ， ${i_{\beta ,{\mathrm{e}}}} = {\hat i_\beta } - {i_\beta } \approx 0$ . 采用等效控制获得的估计反电动势为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat e}_\alpha } = - \left[{k_1}{{\left| {{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}} \right|}^{1/2}}{\mathrm{sgn}}\left( {{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}} \right) + \displaystyle\int {{k_2}{\mathrm{sgn}}\left( {{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}} \right){\mathrm{d}}t} \right]\;}, \\ {{{\hat e}_\beta } = - \left[{k_1}{{\left| {{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right|}^{1/2}}{\mathrm{sgn}}\left( {{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right){\text{ + }}\displaystyle\int {{k_2}{\mathrm{sgn}}\left( {{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right){\mathrm{d}}t} \right]\;} . \end{array} } \right.$

(9)

估算出反电动势后，转子电角度和电角速度的估计值分别为

$\hat \theta {\text{ = }}\arctan \; \frac{{ - {{\hat e}_\alpha }}}{{{{\hat e}_\beta }}},$

(10)

$\hat \omega {\text{ = }}\frac{{{\mathrm{d}}\hat \theta }}{{{\mathrm{d}}t}}.$

(11)

2. 改进的super-twisting滑模观测器

2.1 改进super-twisting算法

传统super-twisting滑模观测器增益系数为常值，其扰动项与转速有关. 由（4）可知，当电机在高速运行时，需要较大的滑模系数以满足稳定性条件. 然而，若滑模系数选择过大，可能在低速范围内导致电机剧烈抖动，甚至引发系统不稳定，因为此时扰动量较小. 相反，选择较小的滑模系数则可能导致高速时系统失稳，因为在这种情况下，小的滑模系数可能无法满足式（5）的稳定性要求.

为进一步减少抖振，采用双曲函数F(·)代替符号函数作为切换函数，改进super-twisting滑模观测器形式如式（12）所示.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{gathered} \frac{{{{\mathrm{d}}}{{\hat i}_\alpha }}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = - \frac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat i}_\alpha } + \frac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{u_\alpha } - \frac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat e}_\alpha } - \\ \quad\left[{h_1}{\left| {{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}} \right|^{1/2}}F\left( {{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}} \right) + \int {{h_2}F\left( {{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}} \right){\mathrm{d}}t} \right],\\ \end{gathered} \\ \begin{gathered} \frac{{{{\mathrm{d}}}{{\hat i}_\beta }}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = - \frac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat i}_\beta } + \frac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{u_\beta } - \frac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat e}_\beta } - \\ \quad\left[{h_1}{\left| {{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right|^{1/2}}F\left( {{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right){\text{ + }}\int {{h_2}F\left( {{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right){\mathrm{d}}t} \right],\;\; \\ \end{gathered} \end{array} } \right.$

(12)

$F\left( {{i_{\mathrm{e}}}} \right) = \frac{{{{\mathrm{e}}^{m{i_{\mathrm{e}}}}} - {{\mathrm{e}}^{ - m{i_{\mathrm{e}}}}}}}{{{{\mathrm{e}}^{m{i_{\mathrm{e}}}}} + {{\mathrm{e}}^{ - m{i_{\mathrm{e}}}}}}},$

(13)

式中： ${h_i}$ 为改进滑模观测器的第 $i$ 个状态变量的滑模系数； ${\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat e}_\alpha }}&{{{\hat e}_\beta }} \end{array}} \right]^{\text{T}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - {\psi _{\mathrm{f}}}\hat \omega \sin \;\hat \theta }&{{\psi _{\mathrm{f}}}\hat \omega \cos\; \hat \theta } \end{array}} \right]^{\text{T}}}$ ，为估计的反电动势； ${i_{\mathrm{e}}} \in \left\{ {{i_{_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}},{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right\}$ ；m为调节双曲函数边界层的正增益，不同m值的双曲函数如图1所示.

图 1 不同m值下的双曲函数

Figure 1. Hyperbolic functions under different values of m

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由式（5）可得，扰动项 ${\rho _1}$ 可表示为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _1}\left( {{{\hat i}_\alpha },t} \right) = - \dfrac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat i}_\alpha } + \dfrac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{u_\alpha } - \dfrac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat e}_\alpha },\;\;} \\ {{\rho _1}\left( {{{\hat i}_\beta },t} \right) = - \dfrac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat i}_\beta } + \dfrac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{u_\beta } - \dfrac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat e}_\beta }.\;\;} \end{array}} \right.$

(14)

在大多数情况下，电机定子电压近似等于反电动势，因此，式（14）可以简化为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\rho _1}\left( {{{\hat i}_\alpha },t} \right) \approx - \dfrac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat i}_\alpha }\;\;}, \\ {{\rho _1}\left( {{{\hat i}_\beta },t} \right) \approx - \dfrac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat i}_\beta }\;\;}. \end{array}} \right.$

(15)

扰动项与电流有关，在负载变化不大的情况下，可以选取一个相对较小的常值滑模系数，这样系统不会因为滑模系数过大或者过小而造成抖振加剧，甚至系统失稳.

所提出的改进super-twisting滑模观测器不需要在线调整滑模系数，并且可以在宽速度范围内减小由于滑模系数过大造成的抖振现象.

2.2 改进Super-Twisting滑膜观测器稳定性分析

当式（16）条件成立时， ${\rho _1}\left( {{{\hat i}_\alpha },t} \right) = {\rho _2}\left( {{{\hat i}_\beta },t} \right){\text{ = }}0$ . 对于较大常数 ${\delta _1}$ ，式（16）很容易成立.

因此，只需使得系数h₁、h₂满足式（17）.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left| {{\rho _1}\left( {{{\hat i}_\alpha },t} \right)} \right| \approx \left| { - \dfrac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat i}_\alpha }} \right| \leqslant {\delta _1}{{\left| {{{ i}_{\alpha,{\mathrm{e}}} }} \right|}^{1/2}},\;\;} \\ {\left| {{\rho _1}\left( {{{\hat i}_\beta },t} \right)} \right| \approx \left| { - \dfrac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{{\hat i}_\beta }} \right| \leqslant {\delta _1}{{\left| {{{ i}_{\beta,{\mathrm{e}}} }} \right|}^{1/2}}.\;\;} \end{array}} \right.$

(16)

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{h_1} > 2{\delta _1}}, \\ {{h_2} > {h_1}\dfrac{{5{\delta _1}{h_1} + 4\delta _1^2}}{{2\left( {{h_1} - 2{\delta _1}} \right)}}.\;} \end{array}} \right.$

(17)

将式（12）减去式（1），定子电流误差满足式（18）所示关系.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{{\mathrm{d}}}{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = - \dfrac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}} - \dfrac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{e_{\alpha ,{\mathrm{e}}}} - {h_1}{{\left| {{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}} \right|}^{1/2}}F\left( {{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}} \right) - \displaystyle\int {{h_2}F\left( {{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}} \right){\mathrm{d}}t}, \;} \\ {\dfrac{{{{\mathrm{d}}}{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = - \dfrac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}} - \dfrac{1}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{e_{\beta ,{\mathrm{e}}}} - {h_1}{{\left| {{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right|}^{1/2}}F\left( {{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right) - \displaystyle\int {{h_2}F\left( {{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right){\mathrm{d}}t}. \;\;} \end{array}} \right.$

(18)

当系统稳定后，估计误差将会保持在滑模面上，这意味着 ${i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}} = {i_{\beta ,{\mathrm{e}}}} = {\dot i_{\alpha ,{\rm{e}}}} = {\dot i_{\beta ,{\rm{e}}}} = 0$ ，证明所设计的滑膜观测器是稳定的.

由式（18）可得

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} {e_{\alpha ,{\mathrm{e}}}} = {{\hat e}_\alpha } - {e_\alpha } = \\ \quad - {L_{\mathrm{s}}}\left[{h_1}{\left| {{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}} \right|^{1/2}}F\left( {{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}} \right) + \int {h_2}F\left( {{i_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}} \right){\mathrm{d}}t\right], \; \\ {e_{\beta ,{\mathrm{e}}}} = {{\hat e}_\beta } - {e_\beta } = \\ \quad - {L_s}\left[{h_1}{\left| {{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right|^{1/2}}F\left( {{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right){\text{ + }}\int {h_2}F\left( {{i_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} \right){\mathrm{d}}t\right]. \\ \end{gathered} \end{array} } \right.$

(19)

反电动势和转速由式（20）所示的反电动势观测器得到.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\dfrac{{{\mathrm{d}}{{\hat e}_\alpha }}}{{{\mathrm{d}}t}} = - \hat \omega {{\hat e}_\beta } - l{e_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}}, \\ {\dfrac{{{\mathrm{d}}{{\hat e}_\beta }}}{{{\mathrm{d}}t}} = \hat \omega {{\hat e}_\alpha } - l{e_{\beta ,{\mathrm{e}}}}} ,\\ {\dfrac{{{\mathrm{d}}\hat \omega }}{{{\mathrm{d}}t}} = {e_{\alpha ,{\mathrm{e}}}}{{\hat e}_\beta } - {e_{\beta ,{\mathrm{e}}}}{{\hat e}_\alpha }}, \end{array}} \right.$

(20)

式中：l为正的观测器增益.

将式（17）代入式（20），通过积分即可得到所需的电机估计反电动势和估计转速，估计的角度可通过式（10）获得.

3. 定子电阻在线辨识

在系统运行期间，定子电阻可能会因温度变化而变化，尤其是在电机低速区间，定子电阻变化可能会使转子位置和速度的估计精度降低，从而使系统运行性能下降. 因此，对于基于模型的PMSM无传感器控制系统，在线定子电阻辨识是非常有必要的. 通过定子电阻的在线辨识方案获得准确的电机模型，将会提高基于改进super-twisting滑模观测器转子位置和速度的估算准确性和稳定性.

文献[10]提出一种基于符号函数的一阶滑模观测器，用于在线估计定子电阻. 但符号函数会引起严重抖动，而一阶滤波器会引起延迟及幅值衰减. 本文研究一种基于双曲函数的改进滑模观测器算法在线估计定子电阻阻值. PMSM的电压方程在d、q轴旋转坐标系中表示为

$\frac{{{{\mathrm{d}}}{i_d}}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = - \frac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{i_d} + \frac{{{u_d}}}{{{L_{\mathrm{s}}}}} + \hat \omega {i_q},\;\;$

(21)

$\frac{{{{\mathrm{d}}}{i_q}}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = - \frac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{i_q} + \frac{{{u_q}}}{{{L_{\mathrm{s}}}}} - \hat \omega {i_d} - \frac{{{\psi _{\mathrm{f}}}\hat \omega }}{{{L_{\mathrm{s}}}}},\;\;$

(22)

式中： ${i}_{d}、{i}_{q}$ （ ${u}_{d}、{u}_{q}$ ）分别为d、q旋转参考系中的定子电流（电压）.

基于改进的滑模观测器定子电阻在线辨识方案如式（23）所示.

$\frac{{{{\mathrm{d}}}{{\hat i}_q}}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = - \frac{{{k_{\mathrm{R}}}F\left( {{{\hat i}_q} - {i_q}} \right)}}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{\hat i_q} + \frac{{{u_q}}}{{{L_{\mathrm{s}}}}} - \hat \omega {i_d} - \frac{{{\psi _{\mathrm{f}}}\hat \omega }}{{{L_{\mathrm{s}}}}},\;\;$

(23)

式中： k_R为改进滑模观测器的滑模系数， $\hat i_q$ 为q轴估计的定子电流.

式（21）减去式（20），可以得出估计电流误差的状态方程为

$\frac{{{{\mathrm{d}}}{i_{q,{\mathrm{e}}}}}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = \frac{R}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{i_q} - \frac{{{k_{\mathrm{R}}}F\left( {{i_{q,{\mathrm{e}}}}} \right)}}{{{L_{\mathrm{s}}}}}{i_q},\;\;$

(24)

式中： $i_{q,{\mathrm{e}}}=\hat i_q - i_q$ .

当滑模函数到达滑模面时，q轴电流估计值等于实际值. 估计的定子绕组电阻为

$\hat R = {k_{\mathrm{R}}}F\left( {{i_{q,{\mathrm{e}}}}} \right).\;\;$

(25)

为分析改进滑模观测器的稳定性，将滑模面 $S$ 定义为q轴电流估计值和实际值的误差函数，如式（26）所示.

$S = {\hat i_q} - {i_q}.\;\;$

(26)

Lyapunov函数定义为

$V = \frac{1}{2}{S^{\text{2}}}\;\;$

(27)

显然，根据李雅普诺夫的稳定性理论，如果 $V > 0$ ， $\dot V < 0$ ，提出的滑模观测器稳定. 式（22）中的时间微分方程为

$\frac{{{{\mathrm{d}}}V}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = S\frac{{{{\mathrm{d}}}S}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = {i_{q,{\mathrm{e}}}}\frac{{{{\mathrm{d}}}{i_{q,{\mathrm{e}}}}}}{{{{\mathrm{d}}}t}}.\;\;$

(28)

将式（22）代入（28），可进一步推导得

$\frac{{{{\mathrm{d}}}V}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = \left( {{{\hat i}_q} - {i_q}} \right){i_q}\left( {\frac{{R - {k_{\mathrm{R}}}F\left( {{i_{q,{\mathrm{e}}}}} \right)}}{L}} \right) < 0.\;\;$

(29)

因此，要使滑模观测器稳定的条件为 ${k_{\mathrm{R}}} > R$ . 提出的具有定子电阻在线辨识的改进super-twisting滑模观测器结构如所示. 图中， $\hat R$ 为辨识的定子电阻， $\hat i= \hat i_\alpha ,\hat i_\beta$ .

图 2 提出的具有定子电阻在线辨识的改进的super-twisting滑模观测器结构框

Figure 2. Structure of proposed improved super-twisting sliding mode observer with online identification of stator resistance

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4. 逆变器非线性补偿

4.1 逆变器非线性分析

PMSM在稳态运行时，由于逆变器非线性因素的影响，其定子电流和电压会发生畸变，从而导致参考电压和实际电压之间不匹配. 而通常采用参考电压作为转子位置和速度估计，因此，逆变器的非线性会影响转子位置的估计精度.

如果考虑逆变器非线性，则旋转参考系中的实际电机模型重写为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{L_{\mathrm{s}}}\dfrac{{{{\mathrm{d}}}{i_d}}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = - R{i_d} + {u_d^*} - \hat \omega {L_{\mathrm{s}}}{i_q} + {V_{d,{\mathrm{dead}}}}}, \\ {{L_{\mathrm{s}}}\dfrac{{{{\mathrm{d}}}{i_q}}}{{{{\mathrm{d}}}t}} = - R{i_q} + {u_q^*} - \hat \omega {L_{\mathrm{s}}}{i_d} - {\psi _{\mathrm{f}}}\hat \omega + {V_{q,{\mathrm{dead}}}},\;} \end{array}} \right.$

(30)

式中： $\mathop u\nolimits_d^*$ 、 $\mathop u\nolimits_q^*$ 分别为 $d$ 、q轴参考电压， ${V_{d,{\mathrm{dead}}}}$ 和 ${V_{q,{\mathrm{dead}}}}$ 分别为 $d$ 、q轴上的扰动电压.

扰动电压受到死区时间、功率器件的开通延迟和关断延迟以及直流母线电压的影响，而开通延迟和关断延迟又依赖于直流母线电压和相电流等工作状态，这些参数需要额外的硬件电路进行离线测量. 本文提出一种通过在线计算V_d,dead和V_q,dead的方法，对逆变器非线性进行在线补偿，从而避免了硬件电路离线测量所带来的麻烦.

4.2 扰动电压观测器设计

设计一种结构简单的扰动电压观测器，不需要额外的硬件电路和离线实验测量. 该观测器采用估算电阻值代替设定电阻值，从而考虑了定子电阻的不确定性，实现对逆变器非线性引起的失真电压在线估计.

考虑到失真电压，PMSM的d、q轴电气离散系统模型为

$\begin{split} &{{\boldsymbol{u}}^ * }\left( k \right) = \hat R{\boldsymbol{i}}\left( k \right) - {L_{\mathrm{s}}}\frac{{{\boldsymbol{i}}\left( {k + 1} \right) - {\boldsymbol{i}}\left( k \right)}}{{{T_{\mathrm{s}}}}} + {{\hat{ \boldsymbol{E}}}}\left( k \right)= \\ & \quad {\boldsymbol{u}}_1^ * \left( k \right) - {{\boldsymbol{V}}_{{\mathrm{dead}}}}\left( k \right), \end{split}$

(31)

式中： $k$ 为离散时间， ${{\boldsymbol{u}}^*} = \left[ {u_d^*\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}u_q^*} \right]$ ， ${\boldsymbol{i}} = \left[ {{i_d}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{i_q}} \right]$ ， ${\hat {\boldsymbol{E}}}{\text{ = }} \left[ \hat \omega {L_{\mathrm{s}}}{i_q} \right.\;\; \left.\hat \omega {L_{\mathrm{s}}}{i_d} + {\psi _{\mathrm{f}}}\hat \omega \right]$ ， ${{\boldsymbol{V}}_{{\mathrm{dead}}}} = \left[ {{V_{d,{\mathrm{dead}}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array}{V_{q,{\mathrm{dead}}}}} \right]$ ， ${{\boldsymbol{u}}_1^*}$ 为补偿后的参考电压，T_s为采用周期.

为估计失真电压，可以近似认为在一个采样周期内失真电压保持不变，所以有

${{\boldsymbol{V}}_{{\mathrm{dead}}}}(k) \cong {{\boldsymbol{V}}_{{\mathrm{dead}}}}(k - 1).$

(32)

于是在时刻k的失真电压可以通过时刻k−1的失真电压值来估计，估计值为

$\begin{split} & {{\hat {\boldsymbol{V}}}_{{\mathrm{dead}}}}(k) \cong {{\boldsymbol{V}}_{{\mathrm{dead}}}}(k - 1){\text{ = }}{\boldsymbol{u}}_1^ * (k - 1) - \hat R{\boldsymbol{i}}(k - 1) - \\ & \quad{L_{\mathrm{s}}}\frac{{{\boldsymbol{i}}(k) - {\boldsymbol{i}}(k - 1)}}{{{T_{\mathrm{s}}}}} + {\hat {\boldsymbol{E}}}(k - 1) . \end{split}$

(33)

由于在扰动电压观测器中需要对电流进行微分运算，这可能会放大电流中的高频噪声信号. 所以，需要对估计的失真电压进行一阶低通滤波. 一阶低通滤波器传递函数为

$G({\textit{z}}) = \frac{{a{T_{\mathrm{s}}}}}{{1 - (1 - a{T_{\mathrm{s}}}){{\textit{z}}^{ - 1}}}},$

(34)

式中：a为一阶低通滤波器的截止频率，z为Z变换的自变量.

通过滤波后的扰动电压估计值为

${{\hat {\boldsymbol{V}}}_{{\mathrm{dead,f}}}}(k) = (1 - a{T_{\mathrm{s}}}){{\hat {\boldsymbol{V}}}_{{\mathrm{dead}}}}(k - 1) + a{T_{\mathrm{s}}}{{\boldsymbol{V}}_{{\mathrm{dead}}}}(k).$

(35)

估计失真电压后，将其反馈到参考电压，从而对逆变器非线性造成的电压失真进行在线补偿. 所提出的扰动电压观测器的结构原理如图3所示.

图 3 提出的逆变器非线性补偿方法结构框图

Figure 3. Structure of proposed inverter nonlinearity compensation method

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5. 实验测试结果分析

为验证本文提出方案的有效性，利用dSPACE半实物仿真平台对其进行硬件在环测试. 具有定子电阻在线辨识及逆变器非线性补偿的PMSM无传感器控制系统框图如所示. 图中： $\omega^*$ 、 $i_d^*$ 、 $i_q^*$ 、 $u_d^*$ 、 $u_q^*$ 分别为 $\omega$ 、 $i_d$ 、 $i_q$ 、 $u_d$ 、 $u_q$ 的参考值； $\mathop u\nolimits_{1d}^*$ （ $\mathop u\nolimits_{1q}^*$ ）为 $\mathop u\nolimits_d^*$ （ $\mathop u\nolimits_q^*$ ）叠加 ${V_{d,{\mathrm{dead}}}}$ （ ${V_{q,{\mathrm{dead}}}}$ ）扰动电压后的值；下标a、b、c的电流和电压，指对应的三相交流电的电流和电压， $\hat V_{d,{\mathrm{dead}}}$ 、 $\hat V_{q,{\mathrm{dead}}}$ 分别为 $V_{d,{\mathrm{dead}}}$ 、 $V_{q,{\mathrm{dead}}}$ 的估计值，U_dc为电压源， $\hat i_d$ 为d轴估计电流.

图 4 PMSM无传感器控制系统框图

Figure 4. Sensorless control system of PMSM

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硬件在环测试系统的结构框图如所示，测试系统由上位机、TMS320F28335数字信号处理器及dSPACE实时仿真器构成. 本文采用基于 ${i_d} = 0$ 的磁场矢量控制，逆变器开关频率为10 kHz.

图 5 硬件在环测试系统框图

Figure 5. Hardware-in-the-loop test system

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表贴式PMSM及控制系统的相关参数如表1所示.

表 1 PMSM相关参数

Table 1. Related parameters of PMSM

参数	值	参数	值
定子电阻/Ω	2.875	额定转矩/（N•m）	5
定子电感/H	0.008	额定电流/A	4.6
极对数/对	4	开通延迟/μs	0.6～1.8
永磁磁链/Wb	0.175	关断延迟/μs	1.8～3.0
m	0.01	死区时间/μs	3.0
额定速度/（r·min⁻¹）	1500	二极管正向压降/V	2.0～3.2
直流母线电压/V	310	饱和压降/V	1.9～2.8

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5.1 传统和改进super-twisting滑模观测器的实验测试分析

图6和图7分别为采用传统super-twisting滑模观测器和改进super-twisting滑模观测器的实验测试结果. PMSM为开环启动，并切换到无传感器运行. （a）中，电机给定速度为1000～150 r/min，负载转矩为3.6 N•m. 从（a）中可以看到，在低速范围时，转子转速和位置估计误差和变得更大了，分别达到了40 r/min和0.1 π. 这是因为在低速范围下，扰动项 $- R\hat i/{L_{\mathrm{s}}} + u/{L_{\mathrm{s}}}$ 变得很小，此时较大的滑模系数k₁和k₂会加剧滑模抖振现象. 相反，图6（b）为采用较小的滑模系数的实验结果，电机给定速度为150～1000 r/min，负载转矩为3.6 N•m. 转子转速和位置估计误差和变得更大了，分别达到了30 r/min和0.3 π. 系统在转速为610 r/min时出现失稳. 这是因为在高速范围下，较小的滑模系数k₁和k₂可能会造成super-twisting滑模观测器不稳定. 图6结果表明，具有常值滑模系数的传统super-twisting滑模观测器的性能会因为转速的改变而变差. 图7中的测试结果表明，在电机运行在宽速度范围下，相比于传统super-twisting滑模观测器，提出的改进super-twisting滑模观测器的转子位置误差更小，只有0.02 π，运行性能更好.

图 6 采用常值滑模系数的传统super-twisting滑模观测器测试结果

Figure 6. Test results of traditional super-twisting sliding mode observer using constant sliding mode coefficients

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5.2 定子电阻在线辨识算法测试分析

不具有定子电阻在线辨识的基于改进super-twisting滑模观测器的实验测试结果如图8所示. 25 s时，定子电阻R从2.8750 Ω突变为4.3125 Ω. 给定速度为1000 r/min，负载转矩为3.6 N•m. 从图8中可以看到，当定子电阻突变时，在实际转速和估计转速之间出现了较大的稳态误差，达到50 r/min，这是因为当定子电阻突变后，由于错误地估计转速，使得估计转速和实际转速至之间存在不匹配. 另外，定子电阻突变也使得实际位置和估计位置之间出现稳态误差，并增大位置估计的抖振现象.

图 7 基于改进super-twisting滑模观测器的实验测试结果

Figure 7. Test results of improved super-twisting sliding mode observer

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图 8 不具有定子电阻在线辨识的基于改进super-twisting滑模观测器的实验测试结果

Figure 8. Test results of improved super-twisting sliding mode observer without online identification of stator resistance

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图9为具有定子电阻在线辨识的基于改进super-twisting滑模观测器的PMSM无传感器控制测试结果. 图9（a）表明在25 s定子电阻突变后，估计转速很快跟随上了实际转速，跟随效果良好，位置估计的抖振现象也相应减少. 图9（b）表明，在线定子电阻观测器跟踪实际电阻的性能良好. 以上实验结果表明，定子电阻在线辨识可以提高基于改进super-twisting滑模观测器的PMSM无传感器控制方案的估计精度和系统稳定性.

图 9 具有定子电阻在线辨识的基于改进super-twisting滑模观测器的实验测试结果

Figure 9. Test results of improved super-twisting sliding mode observer with online identification of stator resistance

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5.3 逆变器非线性补偿实验测试分析

为验证提出的逆变器非线性在线补偿方法的有效性，在PMSM控制系统中进行测试. 图10为采用和不采用提出的逆变器非线性补偿策略的实验测试结果. PMSM的给定速度为150 r/min，负载转矩为3.6 N•m. 从图10（a）中可以看到，d、q轴电压和电流中含有六次谐波分量；图10（b）表明，相电流中含有较大的谐波分量.

图 10 传统super-twisting滑模观测器测试结果

Figure 10. Test results of traditional super-twisting sliding mode observer

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图11（a）、（b）为采用提出的逆变器非线性补偿策略的实验结果. 从图中可以看出，在对逆变器非线性进行在线补偿后，d、q轴电压和电流中的六次谐波分量被消除了，相电流的五次和七次谐波分量明显减小了，相电流波形更加接近正弦波. 该策略有助于建立更精确的PMSM模型，并提高位置估计的准确性.

图 11 逆变器非线性补偿策略的改进super-twisting滑模观测器测试结果

Figure 11. Test results of improved super-twisting sliding mode observer based on inverter nonlinearity compensation strategy

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图11（c）中为采用提出的逆变器非线性补偿策略的super-twisting滑模观测器测试结果. PMSM的给定转速为800～150 r/min，负载转矩为3.6 N•m. 采用补偿后的参考电压作为滑模观测器的电压输入，从而提高转子位置和速度估计的精确性.

6. 结　论

本文提出一种基于改进super-twisting滑模观测器的PMSM无传感器控制方案，该方案考虑了定子电阻参数变化及逆变器非线性问题. 在改进的super-twisting滑模观测器中，等效扰动项被限制在很小的范围内，观测器的系数可以随速度变化而保持恒定. 与传统的super-twisting滑模观测器相比，提出的改进super-twisting滑模观测器可以提高位置估计性能. 因定子电阻参数易受温度影响而变化，改进super-twisting滑模观测器用于定子电阻在线辨识，避免了传统一阶滑模观测器带来的严重抖动. 考虑到逆变器非线性会使得定子电流和电压波形发生畸变，提出一种扰动电压观测器，对逆变器非线性造成的电压失真进行在线补偿. 最后，通过实验测试验证所提出的PMSM无传感器控制方案的有效性.

图 1 不同m值下的双曲函数

Figure 1. Hyperbolic functions under different values of m

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图 2 提出的具有定子电阻在线辨识的改进的super-twisting滑模观测器结构框

Figure 2. Structure of proposed improved super-twisting sliding mode observer with online identification of stator resistance

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图 3 提出的逆变器非线性补偿方法结构框图

Figure 3. Structure of proposed inverter nonlinearity compensation method

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图 4 PMSM无传感器控制系统框图

Figure 4. Sensorless control system of PMSM

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图 5 硬件在环测试系统框图

Figure 5. Hardware-in-the-loop test system

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图 6 采用常值滑模系数的传统super-twisting滑模观测器测试结果

Figure 6. Test results of traditional super-twisting sliding mode observer using constant sliding mode coefficients

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图 7 基于改进super-twisting滑模观测器的实验测试结果

Figure 7. Test results of improved super-twisting sliding mode observer

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图 8 不具有定子电阻在线辨识的基于改进super-twisting滑模观测器的实验测试结果

Figure 8. Test results of improved super-twisting sliding mode observer without online identification of stator resistance

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图 9 具有定子电阻在线辨识的基于改进super-twisting滑模观测器的实验测试结果

Figure 9. Test results of improved super-twisting sliding mode observer with online identification of stator resistance

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图 10 传统super-twisting滑模观测器测试结果

Figure 10. Test results of traditional super-twisting sliding mode observer

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图 11 逆变器非线性补偿策略的改进super-twisting滑模观测器测试结果

Figure 11. Test results of improved super-twisting sliding mode observer based on inverter nonlinearity compensation strategy

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表 1 PMSM相关参数

Table 1. Related parameters of PMSM

参数	值	参数	值
定子电阻/Ω	2.875	额定转矩/（N•m）	5
定子电感/H	0.008	额定电流/A	4.6
极对数/对	4	开通延迟/μs	0.6～1.8
永磁磁链/Wb	0.175	关断延迟/μs	1.8～3.0
m	0.01	死区时间/μs	3.0
额定速度/（r·min⁻¹）	1500	二极管正向压降/V	2.0～3.2
直流母线电压/V	310	饱和压降/V	1.9～2.8

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