基于模型参考自适应的自学习悬浮控制策略

陈萍; 史天成; 于明月; 单磊

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20220752

基于模型参考自适应的自学习悬浮控制策略

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20220752

1.
沈阳航空航天大学民用航空学院，辽宁沈阳 110136
2.
沈阳航空航天大学自动化学院辽宁沈阳 110136
3.
山东和顺电气有限公司，山东肥城 271600

基金项目: 国家自然科学基金（51605309）；辽宁省教育厅项目（JYT2020153）

详细信息

作者简介:
陈萍（1987—），女，讲师，博士，研究方向为磁浮列车控制技术等，E-mail：20160020@sau.edu.cn

中图分类号: TP273.2
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出版历程
- 收稿日期: 2022-11-01
- 修回日期: 2023-05-23
- 网络出版日期: 2023-06-16
- 刊出日期: 2023-05-29

Self-Learning Model Reference Adaptive Levitation Control Strategy

1.
Civil Aviation College, Shenyang Aerospace University, Shenyang 110136, China
2.
School of Automation, Shenyang Aerospace University, Shenyang 110136, China
3.
Shandong Heshun Electric Limited Company, Feicheng 271600, China

摘要

摘要:
针对电磁悬浮列车悬浮控制器因轨道不平顺所引发的未知非线性力和传递函数不确定问题，提出一种基于模型参考自适应的自学习控制方案，控制算法中可调参数根据系统状态、误差和时间调整，使悬浮间隙稳定在恒定数值；学习率根据目标间隙误差大小动态调节，避免可调参数调节过慢，同时保证在稳定悬浮时间隙波动更小；通过李雅普诺夫稳定性判据证明了模型参考自适应控制系统的稳定性；通过MATLAB/Simulink对所提出的控制方案进行仿真. 研究结果表明：自学习模型参考自适应控制算法间隙的均方根误差为0.12，设定合适的可调参数初始值并对其限幅能够提升控制器的鲁棒性；在单悬浮架测试时，控制器获取到加速度信号，所提出算法的上升时间和调节时间分别为1.21 s和2.04 s，该方法学习率可动态调节，提升了控制器的适应能力.
- 磁浮列车 /
- 悬浮控制 /
- 模型参考自适应 /
- 李雅普诺夫函数
Abstract:
A self-learning model reference adaptive control strategy was proposed to solve the problems of unknown nonlinear force and uncertain transfer function of levitation controllers, which were caused by track irregularity in electromagnetic levitation trains. The tunable parameters in the control algorithm were adjusted according to the system state, error, and time, so as to make the gap stabilize at a constant value. In order to avoid slow adjustment of tunable parameters, the learning rate was dynamically adjusted according to the error of target gaps, so as to guarantee that the gap fluctuation was smaller during stable levitation. The stability of the model reference adaptive control system was confirmed by a Lyapunov framework, and the proposed control strategy was simulated by MATLAB/Simulink. The results show that the root-mean-square error (RMSE) of the gap of the self-learning model reference adaptive control algorithm is 0.12, and setting appropriate initial values of tunable parameters and limiting their amplitude can improve the robustness of the controller. When the algorithm is tested on a single levitation frame, the acceleration signal is obtained by the controller. The rising and adjustment time of the proposed algorithm is 1.21 s and 2.04 s, respectively. It proves that the learning rate of the method can be adjusted dynamically, which improves the adaptive ability of the controller.
- maglev trains /
- levitation control /
- model reference adaptive /
- Lyapunov functions

HTML全文

磁浮列车因其无接触运行、爬坡能力强、噪声小等优点得到了研究人员的广泛关注. 但是悬浮系统的敏感性、开环不稳定性和非线性给控制器的设计带来很大挑战^[1]. 控制器的指令响应速度与闭环鲁棒性相互矛盾，需要权衡两者的关系^[2].

消除悬浮架撞击轨道梁现象需要提高指令响应速度；当列车运行在不平顺的轨道梁上或停车上下客时，会影响稳定悬浮，从而需要增加控制系统的鲁棒性. 但提高指令响应速度与增加系统的闭环鲁棒性两者相互矛盾，因为线路情况多变并且环境较为恶劣^[3]，提升算法鲁棒性显得更为重要^[4-5].

针对文献[6]提出的悬浮控制器，其非线性、模型不确定性和轨道不平顺产生的干扰力被视为对简化线性模型的扰动，通常采用扩张状态观测器观测和抑制扰动^[7-9]，并采用反馈控制实现对期望间隙的跟踪，但是其算法的反馈系数是固定的，影响了列车对不同线路的适应能力. 针对多变的运行工况，文献[10]提出一种实用的变结构滑模控制算法，但滑模控制在系统达到滑模面附近有颤振现象，易导致悬浮架紧固件松动，增加检修工作量；文献[11]提出一种神经网络自适应控制算法应对车体质量变化的影响.

变化的工况使得磁浮列车传递函数具有不确定性，需要对所受干扰力进行实时参数估计和补偿^[5]. 定参数控制很难适应这种状态，每隔一段时间都需要针对现场运营状态重新调整以控制参数^[12].

当被控对象结构已知，且参数变化不大时，模型参考自适应（MRAC）控制是提高跟踪精度的一个很好的选择^[13-14]，算法的稳态误差较小^[15]. 本文以中低速磁浮列车为对象，基于MRAC控制器需要固定的参数少，相同的代码可以适应不同线路的特点^[6]，开展自学习模型参考自适应（SMRAC）悬浮控制策略研究. 为维持稳定悬浮效果，对微分信号加入了限幅，并将学习率与参数稳定值联系起来，悬浮过程采用变步长迭代. 通过李雅普诺夫稳定性判据证明了控制器的稳定性，通过仿真和实验验证所设计的控制器在大误差时有较快的跟踪性能. 仿真和实验表明，与比例-积分-微分（PID）算法和线性二次型调节器（LQR）算法^[16]相比，所提出的自学习模型参考自适应控制算法能够适应不同的线路工况，且稳定时的悬浮间隙波动更小.

1. 列车电磁悬浮模型

中低速磁悬浮列车中一个悬浮架上有8个电磁铁，分为4组，每组2个电磁铁形成一个控制点，如图1所示. 控制器独立控制电磁铁的电流，有独立的传感器测量电流、间隙和加速度，悬浮架结构左右互相悬吊，控制点之间相互解耦. 车体载荷由空气弹簧传递至悬浮架上；悬浮架由电磁铁产生的电磁力吸附轨道实现悬浮；位移加速度传感器安装在电磁铁端部，测量悬浮间隙和电磁铁加速度；电流传感器测量电磁铁线圈电流. 根据间隙传感器输出值计算出目标电流，通过电流传感器的输出值动态调节线圈电流^[4]，使列车在运行中悬浮架与F轨保持名义悬浮间隙^[17].

图 1 列车悬浮架结构

Figure 1. Structure of levitation frame

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电磁铁控制电路如图2所示，图中：L为电感；R为电磁铁电阻；IGBT为绝缘栅双极型晶体管. 由控制器产生的脉冲宽度调制波形（PWM）控制通断，驱动电压为DC 330 V.

图 2 悬浮电磁铁控制电路

Figure 2. Control circuit of levitation electromagnet

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对于电磁力的计算^[18]有

$F = \frac{{{\mu _0}{N^2}S}}{4}{\left( {\frac{i}{x}} \right)^2} ，$

(1)

式中：N为电磁铁线圈的匝数；S为电磁铁极板正对面积；µ₀为真空磁导率；x为极板与F轨的距离.

磁悬浮系统的非线性控制模型为

$m\ddot x = - F(x,i) + mg + f，$

(2)

式中：g为重力加速度；m为一个悬浮控制点承担的等效质量；f为轨道不平顺及传感器噪声带来的干扰力.

电感量L随间隙的变化为

$L = \frac{{{\mu _0}{N^2}S}}{{2x}}.$

(3)

电磁铁两端的电压u与电流i的关系为

${u} = Ri + \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {Li} \right) = Ri + \frac{{{\mu _0}{N^2}S}}{{2x}}\dot i - \frac{{{\mu _0}{N^2}Si}}{{2{x^2}}}\dot x .$

(4)

为了简化控制问题，目前稳定控制器经典的设计方法是将系统视为基于给定名义工作点（x₀,i₀）附近的小扰动线性模型^[6]，其泰勒级数展开式为

$\begin{split} & F(x,i) = F({x_0},{i_0}) + {\left. {\frac{{\partial F(x,i)}}{{\partial i}}} \right|_{\left( {{x_0},{i_0}} \right)}}(i - {i_0}) +\\ &\quad {\left. {\frac{{\partial F(x,i)}}{{\partial x}}} \right|_{\left( {{x_0},{i_0}} \right)}}(x - {x_0}) + o = F({x_0},{i_0}) + \\ &\quad \frac{{{\mu _0}{N^2}{i_0}S}}{{2x_0^2}}(i - {i_0}) - \frac{{{\mu _0}{N^2}i_0^2S}}{{2x_0^3}}(x - {x_0}) + o = mg + \\ &\quad\frac{{{\mu _0}{N^2}{i_0}S}}{{2x_0^2}}i - \frac{{{\mu _0}{N^2}i_0^2S}}{{2x_0^3}}x + o ，\\[-20pt] \end{split}$

(5)

式中：o为 $F(x,i)$ 的高阶项.

将式（5）代入式（2），有

$m \ddot{x}=\frac{\mu_0 N^2 i_0^2 S}{2 x_0^3} x-\frac{\mu_0 N^2 i_0 S}{2 x_0^2} i + f + o.$

(6)

进而得到电磁铁的状态方程^[19]如式（7）. 实际控制系统中，加速度中的干扰力和高阶项在仿真时用噪声信号代替.

$\left\{ \begin{gathered} {{\dot x}_1} = {x_2} , \\ {{\dot x}_2} = - \frac{{{\mu _0}{N^2}S}}{{4m}}{\left( {\frac{{{x_3}}}{{{x_1}}}} \right)^2} + g, \\ {{\dot x}_3} = \frac{{{x_2}{x_3}}}{{{x_1}}} + \frac{{2{x_1}}}{{{\mu _0}{N^2}S}}\left( {u - {x_3}R} ,\right) \\ y = {x_1} , \\ \end{gathered} \right.$

(7)

式中：x₁=x；x₂=v（速度）；x₃=i.

2. 模型参考自适应控制器

2.1 模型参考自适应控制

被控对象状态方程可以简化为

$\left\{ \begin{array}{l} {\boldsymbol{\dot x}} = {\boldsymbol{Ax}} + {\boldsymbol{B}}u,\\ y = {\boldsymbol{Cx}} + {\boldsymbol{D}}u, \end{array} \right.$

(8)

式中： ${\boldsymbol{A}}{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0&1&0\\{\dfrac{{{\mu _0}{N^2}Si_0^2}}{{2mx_0^3}}}&0&{ - \dfrac{{{\mu _0}{N^2}S{i_0}}}{{2mx_0^2}}}\\0&{\dfrac{{{i_0}}}{{x_0^{}}}}&{ - \dfrac{{2Rx_0^{}}}{{{\mu _0}{N^2}S}}}\end{array}} \right]$ ； ${\boldsymbol{B}}{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}0\\0\\{\dfrac{{2x_0^{}}}{{{\mu _0}{N^2}S}}}\end{array}} \right]$ ； ${\boldsymbol{C}} = [ {\begin{array}{*{20}{c}}1&0&0\end{array}} ]$ ； ${\boldsymbol{D}} = [ 0 ]$ ；x = [x₁ x₂ x₃]^T.

设定参考模型的状态方程为

$\left\{ \begin{gathered} {{{\boldsymbol{\dot x}}}} = {{\boldsymbol{A}}_{\rm{m}}}{{\boldsymbol{x}}} + {{\boldsymbol{B}}_{\rm{m}}}{y_{\rm{r}}}, \\ {{{y}}} = {{\boldsymbol{C}}_{\rm{m}}}{{\boldsymbol{x}}} + {{\boldsymbol{D}}_{\rm{m}}}{y_{\rm{r}}}, \\ \end{gathered} \right.$

(9)

式中： ${{\boldsymbol{A}}_m} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&0 \\ { - 1}&0&1 \\ { - \omega _{\rm{m}}^2{s_0}}&{ - \omega _{\rm{m}}^2 - 2{\zeta _{\rm{m}}}{\omega _{\rm{m}}}{s_0}}&{ - {s_0} - 2{\zeta _{\rm{m}}}{\omega _{\rm{m}}}} \end{array}} \right]$ ， ${\omega _{\rm{m}}}$ 为参考模型的自然角频率， ${\zeta _{\rm{m}}}$ 为阻尼比（取 ${\zeta _{\rm{m}}} \geqslant 1$ 以保证系统稳定）， ${s_0}$ 为参考模型的实数极点； ${{\boldsymbol{B}}_{\rm{m}}} = {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{0}&{\omega _{\rm{m}}^2{s_0}} \end{array}} \right]^{\rm{T}}}$ ； ${{\boldsymbol{C}}_{\rm{m}}} = [ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0&0 \end{array}} ]$ ； ${{\boldsymbol{D}}_{\rm{m}}} = [0]$ ；y_r为参考输入；x_m为参考模型.

转化为具体的传递函数后，整个系统连接如所示^[6]，中： ${{\boldsymbol{K}}_{\boldsymbol{x}}}$ 为对应被控对象x的可调参数；k_r为对应参考输入y_r的可调参数.

图 3 模型参考自适应控制器结构

Figure 3. Structure of model reference adaptive controller

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控制器的输出可表示为

$u = {{\boldsymbol{K}}_{\boldsymbol{x}}}{\boldsymbol{x}} + {k_{\rm{r}}}{y_{\rm{r}}} .$

(10)

控制器与被控对象组成的闭环系统最终应当与参考模型一致，设定可调参数的误差值 ${{\boldsymbol{\tilde K}}_{\boldsymbol{x}}}(t){\rm{ = }} {{\boldsymbol{K}}_{\boldsymbol{x}}}(t) - {\boldsymbol{K}}_{\boldsymbol{x}}^*$ ， ${\tilde k_{\rm{r}}}(t) = {k_{\rm{r}}}(t) -$ $k_{\rm{r}}^*$ . 其中： ${{\boldsymbol{\tilde K}}_{\boldsymbol{x}}}$ 为 ${{\boldsymbol{K}}_{\boldsymbol{x}}}$ 的误差值； ${\tilde k_{\rm{r}}}$ 为 ${k_{\rm{r}}}$ 的误差值；t为时间； ${\boldsymbol{K}}_{\boldsymbol{x}}^*$ 和 $k_r^*$ 分别为 ${{\boldsymbol{K}}_{\boldsymbol{x}}}(t)$ 和 ${k_r}(t)$ 稳定后的数值， ${\boldsymbol{K}}_{\boldsymbol{x}}^*{\rm{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{k_{x1}^*}&{k_{x2}^*}&{k_{x3}^*}\end{array}} \right]$ ；K_x = [k_x1 k_x2 k_x3]. 当参数达到稳定时，有 ${\boldsymbol{A}} + {\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{K}}_{\boldsymbol{x}}^*{\text{ = }}{{\boldsymbol{A}}_{\rm{m}}}$ ， ${\boldsymbol{B}}k_{\rm{r}}^*{\text{ = }}{{\boldsymbol{B}}_{\rm{m}}}$ .

对于控制器和被控对象组成的状态方程有

$\begin{split} &\dot {\boldsymbol{x}} = {\boldsymbol{A}}{\boldsymbol{x}} + {\boldsymbol{B}}u = \left( {{\boldsymbol{A}} + {\boldsymbol{B}}{{\boldsymbol{K}}_{{{\boldsymbol{x}}}}}} \right){\boldsymbol{x}} + {\boldsymbol{B}}{k_{\rm{r}}}{y_{\rm{r}}} =\\ &\quad\left( {{\boldsymbol{A}} + {\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{K}}_{\boldsymbol{x}}^* + {\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{\tilde K}}_{\boldsymbol{x}}^{}} \right){\boldsymbol{x}} + {\boldsymbol{B}}\left( {k_{\rm{r}}^* + \tilde k_{\rm{r}}^{}} \right){y_{\rm{r}}}= \\ &\quad\left( {{{\boldsymbol{A}}_{\rm{m}}} + {\boldsymbol{B}}{\boldsymbol{\tilde K}}_{\boldsymbol{x}}^{}} \right){\boldsymbol{x}} + {{\boldsymbol{B}}_{\rm{m}}}{y_{\rm{r}}} + {\boldsymbol{B}}\tilde k_{\rm{r}}^{}{y_{\rm{r}}}. \\ \end{split}$

(11)

设定参考模型和被控对象的误差为

${\boldsymbol{e}} = {{\boldsymbol{x}}_{\rm{m}}} - {\boldsymbol{x}} .$

(12)

对误差求导得到：

$\begin{split} &\dot {\boldsymbol{e}} = {{\dot {\boldsymbol{x}}}_{\rm{m}}} - \dot {\boldsymbol{x}} ={{\boldsymbol{A}}_{\rm{m}}}\left( {{{\boldsymbol{x}}_{\rm{m}}} - {\boldsymbol{x}}} \right) +\\ &\quad{{\boldsymbol{B}}_{\rm{m}}}{y_{\rm{r}}} +{{\boldsymbol{A}}_{\rm{m}}}{\boldsymbol{x}} - \left( {{\boldsymbol{A}} + {\boldsymbol{B}}{{\boldsymbol{K}}_{\boldsymbol{x}}}} \right){\boldsymbol{x}} - {\boldsymbol{B}}{k_{\rm{r}}}{y_{\rm{r}}} = \\ &\quad{{\boldsymbol{A}}_{\rm{m}}}{\boldsymbol{e}} - {\boldsymbol{B}}{{{{\tilde {\boldsymbol{K}}}}}_{\boldsymbol{x}}}{\boldsymbol{x}} - {\boldsymbol{B}}{{\tilde k}_{\rm{r}}}{y_{\rm{r}}} .\\ \end{split}$

(13)

设定一个满足李雅普诺夫函数的方程为

$V\left( {{\boldsymbol{e}},{{{\boldsymbol{\tilde K}}}_{\boldsymbol{x}}},{{\tilde k}_{\rm{r}}}} \right) = {{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{Pe}} + {{\boldsymbol{\tilde K}}_{\boldsymbol{x}}}{{\boldsymbol{\varGamma }}^{ - 1}_{ \boldsymbol{x}}}{\boldsymbol{\tilde K}}_{\boldsymbol{x}}^{\text{T}} + \frac{{\tilde k_{\rm{r}}^2}}{{{\gamma _{\rm{r}}}}}，$

(14)

式中： ${\boldsymbol{\varGamma }}_{ \boldsymbol{x}}$ 为矩阵 ${{{\tilde {\boldsymbol{K}}}}_{\boldsymbol{x}}}$ 的学习率；P为待求矩阵； ${\gamma _{\rm{r}}}$ 为 ${\tilde k_{\rm{r}}}$ 的学习率.

为求解李雅普诺夫方程，引入对称矩阵P=P^T，并且有

${\boldsymbol{A}}_{\rm{m}}^{\text{T}}{\boldsymbol{P + P}}{{\boldsymbol{A}}_{\rm{m}}} = - {\boldsymbol{Q}} ，$

(15)

式中：Q为正定矩阵.

对式（14）求导，代入式（13）可得：

$\begin{split} &\dot V\left( {{\boldsymbol{e}},{{{\boldsymbol{\tilde K}}}_{\boldsymbol{x}}},{{\tilde k}_{\rm{r}}}} \right) = - {{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{Qe}} + 2{{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{P}}\left( { - {\boldsymbol{B}}{{{{\tilde {\boldsymbol{K}}}}}_{\boldsymbol{x}}}{\boldsymbol{x}} - {\boldsymbol{B}}{{\tilde k}_{\rm{r}}}{y_{\rm{r}}}} \right) {\text{ + }} \\ &\quad2{{{{\tilde {\boldsymbol{K}}}}}_{\boldsymbol{x}}}{\boldsymbol{\varGamma }}_x^{ - 1}{{\dot {\tilde {\boldsymbol{K}}}}}_{\boldsymbol{x}}^{\text{T}}{\text{ + }}\frac{{2{{\tilde k}_{\rm{r}}}{{\dot {\tilde k}}_{\rm{r}}}}}{{{\gamma _{\rm{r}}}}} . \end{split}$

(16)

因为 ${{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{PB}}$ 的计算结果为标量，有 $2{{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{PB}}{{{\tilde {\boldsymbol{K}}}}_{\boldsymbol{x}}}{\boldsymbol{x}}{\text{ = }}$ $2{{{\tilde {\boldsymbol{K}}}}_{\boldsymbol{x}}}{\boldsymbol{x}}{{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{PB}}$ ，则式（16）可以改写为

$\begin{split} &\dot V\left( {{\boldsymbol{e}},{{{{\tilde {\boldsymbol{K}}}}}_{\boldsymbol{x}}},{{\tilde k}_{\rm{r}}}} \right) = - {{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{Qe}} + 2{{{{\tilde {\boldsymbol{K}}}}}_{\boldsymbol{x}}}\left( - {\boldsymbol{x}}{{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{PB}}\right. +\left.{\boldsymbol{\varGamma }}_{ \boldsymbol{x}}^{ - 1}{{\dot {\tilde {\boldsymbol{K}}}}}_{\boldsymbol{x}}^{\text{T}} \right) +\\ &\quad2{k_{\rm{r}}}\left( { - {{\boldsymbol{e}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{PB}}{y_{\rm{r}}} + \frac{{{{\dot {\tilde k}}_{\rm{r}}}}}{{{\gamma _{\rm{r}}}}}}\right). \\[-20pt] \end{split}$

(17)

为了使 $\dot V\left( {{\boldsymbol{e}},{{{{\tilde {\boldsymbol{K}}}}}_{\boldsymbol{x}}},{{\tilde k}_{\rm{r}}}} \right) \leqslant 0$ ，对于自适应律应当满足

$\left\{ \begin{gathered} {{\dot {\tilde {\boldsymbol{K}}}}}_{\boldsymbol{x}}^{\text{T}}{\text{ = }}{\boldsymbol{\varGamma }}_{ \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}}{{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{PB}}, \\ {{\dot {\tilde k}_{\rm{r}}}}{\text{ = }}{\gamma _{\rm{r}}}{{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{PB}}{y_{\rm{r}}}. \\ \end{gathered} \right.$

(18)

可调参数学习率矩阵展开为

${\boldsymbol{\varGamma }} _x^{}{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\gamma _{x1}}}&0&0 \\ 0&{{\gamma _{x2}}}&0 \\ 0&0&{{\gamma _{x3}}} \end{array}} \right].$

(19)

则式（17）可以写为

$\dot V\left( {{\boldsymbol{e}},{{{{\tilde {\boldsymbol{K}}}}}_{\boldsymbol{x}}},{{\tilde k}_{\rm{r}}}} \right) = - {{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{Qe}} \leqslant - {\lambda _{\min }}\left( {\boldsymbol{Q}} \right){\left\| {\boldsymbol{e}} \right\|^2} \leqslant 0 .$

(20)

因为 $\dot V\left( {{\boldsymbol{e}},{{{{\tilde {\boldsymbol{K}}}}}_{\boldsymbol{x}}},{{\tilde k}_{\rm{r}}}} \right) \leqslant 0$ ，所以 ${\boldsymbol{e}}\left(t\right)、{{\boldsymbol{K}}}_{{\boldsymbol{x}}}\left(t\right)和{k}_{{\rm{r}}}\left(t\right)$ 是有界的.

对李雅普诺夫函数求2阶导可得

$\begin{split} &\ddot V\left( {{\boldsymbol{e}},{{{{\tilde {\boldsymbol{K}}}}}_{\boldsymbol{x}}},{{\tilde k}_{\rm{r}}}} \right) = - {{{\boldsymbol{\dot e}}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{Qe}} - {{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{Q\dot e}} =- {{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}\left( {{\boldsymbol{Q}}{{\boldsymbol{A}}_m} + {\boldsymbol{A}}_m^{\text{T}}{\boldsymbol{Q}}} \right){\boldsymbol{e}} - \\ &\quad2{{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{Q}}\left( {{{\boldsymbol{A}}_m}{\boldsymbol{e}} - {\boldsymbol{B}}{{{{\tilde {\boldsymbol{K}}}}}_{\boldsymbol{x}}}x - {\boldsymbol{B}}{{\tilde k}_{\rm{r}}}{y_{\rm{r}}}} \right). \\[-16pt] \end{split}$

(21)

根据Barbalat引理， $\dot V\left( {{\boldsymbol{e}},{{{{\tilde {\boldsymbol{K}}}}}_{\boldsymbol{x}}},{{\tilde k}_r}} \right) \to 0$ ，误差矩阵e渐进稳定，所以该算法控制器和被控对象组成的整体结构最终会与参考模型一致.

2.2 自学习模型参考自适应控制

学习率越大，可调参数每次的变化量越小，跟踪速度越快，迭代越精确，越有利于提高响应速度，适合稳定悬浮时应对轨道不平顺及上下坡造成的干扰. 初始悬浮时，因为悬浮间隙有较大变化，应当降低学习率以提升响应速度. 为此，提出根据参数的最终稳定值动态调整学习率的方案，如式（22）.

$\left\{ \begin{gathered} {{\dot {\tilde {\boldsymbol{K}}}}}_{\boldsymbol{x}}^{\text{T}} = {\boldsymbol{\varGamma }} _x^{}{\boldsymbol{x}}{{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{PB}}{({{y_{\rm{m}}} - y})^{ - l\left| {{y_{\rm{m}}} - y} \right|}}, \\ {{\dot {\tilde k}}_{\rm{r}}} = {\gamma _{\rm{r}}}{{\boldsymbol{e}}^{\text{T}}}{\boldsymbol{PB}}{y_{\rm{r}}}{({{y_{\rm{m}}} - y})^{ - l\left| {{y_{\rm{m}}} - y} \right|}}, \\ \end{gathered} \right.$

(22)

式中：l为学习率的下降速率.

为对比模型参考自适应控制和自学习模型参考自适应控制效果，引入PID控制和LQR控制.

2.3 PID控制

PID控制的输出可以表示为^[20]

$u = {k_{\rm{p}}}(g_{\rm{ap}} - {y_m}) + {k_{\rm{i}}}\int {(g_{\rm{ap}} - {y_m})}{\rm{d}}t + {k_{\rm{d}}}\int {a_{\rm{cc}}}{\rm{d}}t + {k_{\rm{a}}}a_{\rm{cc}} ，$

(23)

式中：k_p、k_i、k_d分别为误差的比例、积分和微分项系数；k_a为误差的高阶影响系数；g_ap为间隙传感器检测值，具有较好的低频性能；a_cc为加速度传感器检测值，具有较好的高频性能，g_ap和a_cc综合作用可互补控制器的频率特性.

2.4 LQR控制

LQR控制器具有较强的鲁棒性和动态特性，计算后的控制参数能使系统达到预想状态^[21].

设定系统的性能指标函数为

$J = \frac{1}{2}\int_0^t {\left( {{{\boldsymbol{x}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{Q}}_{\rm{L}}}{\boldsymbol{x}} + {{\boldsymbol{u}}_{\rm{L}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{Ru}}_{\rm{L}}} \right)} {\rm{d}}t ，$

(24)

式中：Q_L为半正定矩阵；R为正定矩阵；u_L为控制器的输出函数，如式（25）.

${\boldsymbol{u}}_{{\rm{L}}} = - {{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{\boldsymbol{B}}{{\boldsymbol{P}}_{\rm{L}}}{\boldsymbol{x}}，$

(25)

式中：P_L为正定矩阵，且P_L满足黎卡提矩阵代数方程

$- {{\boldsymbol{P}}_{\rm{L}}}{\boldsymbol{A}} + {{\boldsymbol{A}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{P}}_{\rm{L}}} + {{\boldsymbol{P}}_{\rm{L}}}{\boldsymbol{B}}{{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{{\boldsymbol{B}}^{\text{T}}}{{\boldsymbol{P}}_{\rm{L}}} - {{\boldsymbol{Q}}_{\rm{L}}} = 0.$

(26)

最优反馈增益k为

${\boldsymbol{k}} = - {{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{\boldsymbol{B}}{{\boldsymbol{P}}_{\rm{L}}}.$

(27)

3. 仿真结果与分析

通过在实验基地对悬浮架进行调试实验得到以下仿真、测试结果，为更好地了解SMRAC算法的优越性，加入了PID、LQR、MRAC算法作为对比.

3.1 仿真参数设定

表1为悬浮架主要参数，为尽可能与实际情况相符，需要代入到电磁悬浮模型中.

表 1 悬浮架参数

Table 1. Parameters of levitation frame

参数	数值
等效质量/kg	510
电磁铁等效内阻/Ω	0.98
电磁铁等效电感/mH	36
电磁铁匝数 N	640
正对横截面积/m²	0.078 4
真空磁导率/（H·m⁻¹）	4π × 10⁻⁷

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为衡量各算法控制效果，引入E_ITAE(t)用于描述误差积分的时间历程，如式（28）.

${{E_{\rm{ITAE}}}}\left( t \right) = \int_0^t {\tau \left| {e(\tau )} \right|} {\rm{d}}\tau ，$

(28)

式中： ${e(\tau )}$ 为时刻τ目标值与当前值的误差.

为衡量全局误差大小，引入E_IAE(t)，如式（29）.

${{E_{\rm{IAE}}}}\left( t \right) = \int_0^t {\left| {e(\tau )} \right|} {\rm{d}}\tau .$

(29)

用E_RMSE(t)衡量全程算法的波动，波动越小最终计算值越小，计算方式为

${{E_{\rm{RMSE}}}}\left( t \right) = \sqrt {\frac{1}{t}{{\int_0^t { {e^2(\tau )} } }}{\rm{d}}\tau } .$

(30)

对于误差的计算，为能准确衡量算法性能，没有将起浮和降落阶段纳入计算范围，悬浮指标应当满足超调量 $\sigma \leqslant 5{\text{%}}$ ， ${t_{\rm{s}}} \leqslant$ 1 s（t_s为调节时间，表示间隙到达并保持在目标间隙5%误差带内所需时间）. 所以，设计的参考模型参数为 ${\omega _{\rm{m}}} = 31.62$ ， ${\xi _{\rm{m}}} = 11.06$ ， ${s_0}$ =100. 为了简化运算，Q设定为单位矩阵I，代入式（15）可求得

${\boldsymbol{P}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \dfrac{{250\;621\;051}}{{100\;100}}} & { - \dfrac{{4\;005\;009}}{{2\;002}}} & {\dfrac{{400\;601}}{{200\;200}}} \\ { - \dfrac{{4\;005\;009}}{{2\;002}}} & { - \dfrac{{160\;610\;951}}{{100\;100}}} & { - \dfrac{{500\;501}}{{200\;200}}} \\ {\dfrac{{400\;601}}{{200\;200}}} & { - \dfrac{{500\;501}}{{200\;200}}} & { - \dfrac{{400\;401}}{{200\;200}}} \end{array}} \right].$

(31)

将式（31）代入式（18）中，得到迭代公式为

$\left\{ \begin{gathered} \dot {\tilde k}_{x1}^{} = \left( {0.84{e_1} - 1.05{e_2} - 0.84{e_3}} \right){x_1}, \\ \dot {\tilde k}_{x2}^{} = \left( {0.84{e_1} - 1.05{e_2} - 0.84{e_3}} \right){x_2}, \\ \dot {\tilde k}_{x3}^{} = \left( {0.84{e_1} - 1.05{e_2} - 0.84{e_3}} \right){x_3}, \\ {{\dot {\tilde k}}_{\rm{r}}} = \left( {0.84{e_1} - 1.05{e_2} - 0.84{e_3}} \right){y_{\rm{r}}}. \\ \end{gathered} \right.$

(32)

根据计算出可调参数矩阵代入方程（18）得到理想值为 $k_{x1}^* = - 0.16$ ， $k_{x2}^* = 0.2$ ， $k_{x3}^* = 0.2$ ， $k_r^*{\rm{ = }} {\mu _0}{N^2}S\omega _{\rm{m}}^2{s_0}/\left( {2x_0^{}} \right){\rm{ = }}0.125$ .

根据经验，PID控制方法的系数取值k_i=300，k_p=300，k_d=20，k_a=2，LQR的参数取值为

${{\boldsymbol{Q}}_{\rm{L}}}{\text{ = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {10}&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&{0.5} \end{array}} \right] \text{，}{\boldsymbol{R}}={\boldsymbol{I}}.$

3.2 4种算法仿真结果分析

采用前述4种控制算法对一个包含起浮、悬浮和降落3个阶段的完整悬浮过程进行仿真计算，结果如图4所示. 其中，SMRAC 2采用SMRAC算法，但是可调参数设定为最终的稳定值. 计算中，设置t=1 s时发送起浮指令，t=25 s时发送降落指令，起浮和降落阶段的间隙变化采用过阻尼. 计算结果取悬浮阶段的数据进行分析.

图 4 正常悬浮仿真

Figure 4. Normal levitation in simulation

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图4显示：从起浮到降落的全过程中，4种控制算法都能很好地跟踪参考信号. 各种算法性能对比如表2中“正常悬浮”一栏所示；不同算法上升时间和调节时间对比如表3所示，上升时间t_r表示调节量从10%到90%所用的时间.

表 2 仿真中不同参考信号算法误差的对比

Table 2. Comparison of reference signal errors of different algorithms in simulation

参考信号控制器	正常悬浮			方波信号			正弦信号
参考信号控制器	E_ITAE	E_IAE	E_RMSE	E_ITAE	E_I_AE	E_RMSE	E_ITAE	E_IAE	E_RMSE
PID	38.67	3.82	0.24	38.68	3.82	0.24	38.68	3.82	0.24
LQR	51.20	5.10	0.28	51.44	5.12	0.28	51.43	5.11	0.28
MRAC	16.72	1.69	0.11	34.34	3.3	0.22	164.78	16.44	0.92
SMRAC	19.51	1.97	0.12	43.23	4.28	0.27	128.23	13.37	0.76

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由图4和表2可知：t=5～25 s范围，PID算法能很好地跟踪参考信号，但间隙波动最大，对噪声抑制能力差；LQR算法波动较小，但是稳态误差最大；MRAC算法能完全跟踪参考输入，对噪声抑制性能好；SMRAC算法通过调整学习率，增大了上升时间和调节时间，但是提升了舒适度和系统的鲁棒性.

表 3 仿真中不同算法上升时间和调节时间对比

Table 3. Comparison of rising time and adjustment time of different algorithms in simulation s

控制算法	上升时间	调节时间
PID	1.57	2.03
LQR	1.40	1.71
MRAC	1.57	2.03
SMRAC	1.02	1.41

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MRAC和SMRAC的k_x1、k_x2、k_x3和k_r变化如图5（a）所示. 由图5（a）可知：由于干扰很强，误差的微分很难收敛，需要对k_x2限幅才会使系统稳定，k_x1和k_r能最终收敛；由于SMRAC的k_x2能更快达到收敛，所以SMRAC控制能更快实现稳定悬浮.

图 5 仿真中可调参数的比较

Figure 5. Comparison of tunable parameters in simulation

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SMRAC不同初值可调参数变化对比如图5（b）所示，实线表示未设定初值的可调参数变化，虚线表示在正常悬浮时设定合适初值的可调参数变化. 由图5（b）可知，设定合适初值后，k_x1、k_x2、k_x3和k_r变化可以忽略，系统一直处于稳定状态直至降落.

4种算法的仿真跟踪误差变化如图6所示. 由图6可知：在悬浮阶段，MRAC和SMRAC算法误差最小；但在起浮和降落阶段，MRAC和SMRAC算法因为有学习过程，误差较其他算法明显增大.

图 6 仿真跟踪误差

Figure 6. Tracking error in simulation

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在运营线路中，轨道紧固件可能出现松动，低速跨越不同轨道时间隙会有突变，为了模拟该工况，在悬浮阶段加入0.125 Hz的方波激励，幅度变化为3 mm，目标间隙（REF）在8 mm和10 mm间交替变化. 4种算法得到的间隙变化如图7所示，性能对比如表2中“方波信号”一栏所示. 由图7和表2可知：t=5～25 s范围，MRAC、SMRAC需要0.50 s的调节时间才能跟踪参考输入信号，这导致与参考间隙有很大的误差；PID和LQR跟随性能较好，但是PID算法间隙波动较大，LQR算法稳态误差较大.

图 7 输入方波时4种算法跟踪性能的对比

Figure 7. Comparison of tracking performance of four algorithms after square wave input

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为了测试不同算法的动态跟踪性能，在悬浮阶段加入 ${y_{\rm{r}}}(t) = 8.5 + 2\sin (3{\text{π}}t)$ 的正弦激励，4种算法得到的间隙变化如图8所示，性能对比如表2中“正弦信号”一栏所示. 由图8和表2可知：t=5～25 s范围，MRAC、SMRAC在可调参数收敛后与参考间隙有一定的相位差，这是由参考模型的传递函数决定的；PID和LQR没有学习过程，但是PID算法稳定时间隙波动较大，LQR算法的稳态误差较大.

图 8 输入正弦波时4种算法跟踪性能的对比

Figure 8. Comparison of tracking performance of four algorithms after sinusoidal wave input

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为验证算法的鲁棒性，将被控对象质量增大为原来的3倍^[18]，控制器的其余参数保持不变，得到的波形如图9所示. 由图9可知：悬浮架质量变为3倍后，MRAC 和 SMRAC波动变大，但LQR 和 PID波动更为明显；MRAC 和 SMRAC 算法产生的间隙波动范围显著小于 LQR 和 PID 算法的间隙变化，说明 MRAC和 SMRAC 算法具有良好的鲁棒性.

图 9 悬浮架质量变为 3 倍后不修改参数时的4 种算法间隙对比

Figure 9. Comparison of four algorithms without modifying parameters after mass increase by three times

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质量变为3倍后不同算法性能对比如表4所示，上升时间和调节时间对比如表5所示. 由表4、5可知，MRAC和SMRAC的误差比PID和LQR更小，而SMRAC增加了上升时间和调节时间，即使在重载情况下也能提升舒适度.

表 4 悬浮架质量变为 3 倍后不同算法的误差对比

Table 4. Comparison of different algorithms after mass increase by three times

控制算法	PID	LQR	MRAC	SMRAC
E_ITAE	35.10	51.07	26.55	57.22
E_IAE	3.54	5.09	2.70	7.23
E_RMSE	0.22	0.28	0.17	0.45

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表 5 质量增加3倍后不同算法的上升时间和调节时间

Table 5. Rising time and adjustment time of different algorithms after mass increase by three times s

控制算法	上升时间	调节时间
PID	1.84	2.02
LQR	1.57	2.02
MRAC	1.37	1.74
SMRAC	1.57	1.78

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图10为悬浮架质量突变间隙仿真.

图 10 悬浮架质量突变间隙仿真

Figure 10. Simulation of mass change

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当正常悬浮时，在t=15 s时质量突然变为初始值的3倍，以此验证控制算法的鲁棒性，可以看出：PID算法和LQR算法在质量突变的时刻间隙有很大的跳变，出现打轨的现象；PID算法在稳定后依旧有很大的波动，LQR算法的稳态误差在质量变化后更大；MRAC算法在仿真时可调参数和微分后的信号未做限幅，在质量突变之后微分值很大，导致悬浮架无法稳定悬浮；相比之下SMRAC算法能够较好地跟踪输入信号，稳定时间隙波动也更小.

3.3 单悬浮架悬浮实测

对本文所提算法，利用如图11所示的单悬浮架实验平台开展实验验证. 控制系统采用基于TMS320F28379D和FPGA的自制板卡，上位机安装有MATLAB/Simulink，通过CAN网络解析控制器回传的传感器信息.

图 11 单悬浮架实验平台

Figure 11. Experimental platform of single levitation frame

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在单悬浮架台架实验中，MRAC和SMRAC引入的系统状态包括间隙和加速度，设

$\left\{ \begin{gathered} {x_1} = g_{\rm{ap}} , \\ {x_2} = \int {a_{\rm{cc}}}{\rm{d}}t , \\ {x_3} = c_{\rm{ur}} , \\ \end{gathered} \right.$

(33)

式中：c_ur为读取的电流数据，降落状态下的间隙为13.69 mm.

单悬浮架实测数据性能对比如表6所示，实测不同算法的上升时间和调节时间对比如表7所示，间隙变化如图12所示，电流变化如图13所示.

表 6 实测中不同算法的性能对比

Table 6. Comparison of performance indexes in experiment

控制算法	E_ITAE	E_IAE	E_RMSE
PID	57.57	3.38	0.16
LQR	83.72	4.82	0.19
MRAC	79.78	4.13	0.22
SMRAC	77.15	4.15	0.21

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表 7 实测中不同算法的上升时间和调节时间

Table 7. Rising time and adjustment time of different algorithms in experiment s

控制算法	上升时间	调节时间
PID	2.20	2.80
LQR	1.41	1.70
MRAC	1.47	2.06
SMRAC	1.21	2.04

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图 12 实测不同算法悬浮间隙变化

Figure 12. Gap variation during static levitation in experiment

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结果表明：SMRAC由于在输出时引入了加速度反馈，稳定时间有所增加，但是稳定时波动最小，没有超调，降落时跟踪性能也较好；4种算法电流值相差不大，说明控制算法并不能降低能耗，但是SMRAC在悬浮过程中能动态调整学习率，控制器性能更好.

图 13 实测不同算法悬浮电流变化

Figure 13. Current variation during static levitation in experiment

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4. 结　论

本文提出的自学习模型参考自适应控制器与其他控制算法相比，具有较短的调节时间，较小的波动，且正常悬浮时有较强的鲁棒性.

在设置合理学习率的前提下，所提算法可将基于运行状态可调参数向趋于稳定的状态调整，学习率过大，收敛时间长，学习率过小，达到平衡时的波动大. 由于本文提出的算法所需要的固定参数少，在实际调试中很快就能使系统稳定，提高了控制器的适用范围.

图 1 列车悬浮架结构

Figure 1. Structure of levitation frame

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图 2 悬浮电磁铁控制电路

Figure 2. Control circuit of levitation electromagnet

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图 3 模型参考自适应控制器结构

Figure 3. Structure of model reference adaptive controller

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图 4 正常悬浮仿真

Figure 4. Normal levitation in simulation

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图 5 仿真中可调参数的比较

Figure 5. Comparison of tunable parameters in simulation

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图 6 仿真跟踪误差

Figure 6. Tracking error in simulation

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图 7 输入方波时4种算法跟踪性能的对比

Figure 7. Comparison of tracking performance of four algorithms after square wave input

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图 8 输入正弦波时4种算法跟踪性能的对比

Figure 8. Comparison of tracking performance of four algorithms after sinusoidal wave input

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图 9 悬浮架质量变为 3 倍后不修改参数时的4 种算法间隙对比

Figure 9. Comparison of four algorithms without modifying parameters after mass increase by three times

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图 10 悬浮架质量突变间隙仿真

Figure 10. Simulation of mass change

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图 11 单悬浮架实验平台

Figure 11. Experimental platform of single levitation frame

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图 12 实测不同算法悬浮间隙变化

Figure 12. Gap variation during static levitation in experiment

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图 13 实测不同算法悬浮电流变化

Figure 13. Current variation during static levitation in experiment

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表 1 悬浮架参数

Table 1. Parameters of levitation frame

参数	数值
等效质量/kg	510
电磁铁等效内阻/Ω	0.98
电磁铁等效电感/mH	36
电磁铁匝数 N	640
正对横截面积/m²	0.078 4
真空磁导率/（H·m⁻¹）	4π × 10⁻⁷

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表 2 仿真中不同参考信号算法误差的对比

Table 2. Comparison of reference signal errors of different algorithms in simulation

参考信号控制器	正常悬浮			方波信号			正弦信号
参考信号控制器	E_ITAE	E_IAE	E_RMSE	E_ITAE	E_I_AE	E_RMSE	E_ITAE	E_IAE	E_RMSE
PID	38.67	3.82	0.24	38.68	3.82	0.24	38.68	3.82	0.24
LQR	51.20	5.10	0.28	51.44	5.12	0.28	51.43	5.11	0.28
MRAC	16.72	1.69	0.11	34.34	3.3	0.22	164.78	16.44	0.92
SMRAC	19.51	1.97	0.12	43.23	4.28	0.27	128.23	13.37	0.76

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表 3 仿真中不同算法上升时间和调节时间对比

Table 3. Comparison of rising time and adjustment time of different algorithms in simulation s

控制算法	上升时间	调节时间
PID	1.57	2.03
LQR	1.40	1.71
MRAC	1.57	2.03
SMRAC	1.02	1.41

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表 4 悬浮架质量变为 3 倍后不同算法的误差对比

Table 4. Comparison of different algorithms after mass increase by three times

控制算法	PID	LQR	MRAC	SMRAC
E_ITAE	35.10	51.07	26.55	57.22
E_IAE	3.54	5.09	2.70	7.23
E_RMSE	0.22	0.28	0.17	0.45

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表 5 质量增加3倍后不同算法的上升时间和调节时间

Table 5. Rising time and adjustment time of different algorithms after mass increase by three times s

控制算法	上升时间	调节时间
PID	1.84	2.02
LQR	1.57	2.02
MRAC	1.37	1.74
SMRAC	1.57	1.78

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表 6 实测中不同算法的性能对比

Table 6. Comparison of performance indexes in experiment

控制算法	E_ITAE	E_IAE	E_RMSE
PID	57.57	3.38	0.16
LQR	83.72	4.82	0.19
MRAC	79.78	4.13	0.22
SMRAC	77.15	4.15	0.21

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表 7 实测中不同算法的上升时间和调节时间

Table 7. Rising time and adjustment time of different algorithms in experiment s

控制算法	上升时间	调节时间
PID	2.20	2.80
LQR	1.41	1.70
MRAC	1.47	2.06
SMRAC	1.21	2.04

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参考文献(21)

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1. 列车电磁悬浮模型
2. 模型参考自适应控制器
2.1 模型参考自适应控制
2.2 自学习模型参考自适应控制
2.3 PID控制
2.4 LQR控制
3. 仿真结果与分析
3.1 仿真参数设定
3.2 4种算法仿真结果分析
3.3 单悬浮架悬浮实测
4. 结　论

基于模型参考自适应的自学习悬浮控制策略

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20220752

作者简介: 陈萍（1987—），女，讲师，博士，研究方向为磁浮列车控制技术等，E-mail：20160020@sau.edu.cn

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出版历程

Self-Learning Model Reference Adaptive Levitation Control Strategy

1. 列车电磁悬浮模型

2. 模型参考自适应控制器

2.1 模型参考自适应控制

2.2 自学习模型参考自适应控制

2.3 PID控制

2.4 LQR控制

3. 仿真结果与分析

3.1 仿真参数设定

3.2 4种算法仿真结果分析

3.3 单悬浮架悬浮实测

4. 结 论

计量

出版历程

目录

1. 列车电磁悬浮模型

2. 模型参考自适应控制器

2.1 模型参考自适应控制

2.2 自学习模型参考自适应控制

2.3 PID控制

2.4 LQR控制

3. 仿真结果与分析

3.1 仿真参数设定

3.2 4种算法仿真结果分析

3.3 单悬浮架悬浮实测

4. 结 论

作者简介:
陈萍（1987—），女，讲师，博士，研究方向为磁浮列车控制技术等，E-mail：20160020@sau.edu.cn

4. 结　论

4. 结　论