基于机电液耦合的钢轨打磨模型

曾鲁庆; 崔大宾; 李立

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20220577

基于机电液耦合的钢轨打磨模型

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20220577

曾鲁庆^{1, 2,},
崔大宾¹,
李立^1, ,

1.
西南交通大学机械工程学院，四川成都 610031
2.
成都工业学院智能制造学院，四川成都 610031

基金项目: 四川省科技计划（2021YJ0026）

详细信息

作者简介:
曾鲁庆（1981—），男，博士研究生，研究方向为钢轨打磨，E-mail：51642328@qq.com

通讯作者:
李立(1966—) ，女，教授，博士，研究方向为钢轨打磨、轮轨关系，E-mail：lili@swjtu.edu.cn

中图分类号: U216.65
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出版历程
- 收稿日期: 2022-09-20
- 修回日期: 2024-01-18
- 网络出版日期: 2024-07-25
- 刊出日期: 2024-01-30

Rail Grinding Model Based on Mechanical-Electric-Hydraulic Coupling

ZENG Luqing^{1, 2
,},
CUI Dabin¹,
LI Li^{1
, ,}

1.
School of Mechanical Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China
2.
School of Intelligent Manufacturing, Chengdu Technological University, Chengdu 610031, China

摘要

摘要:
钢轨打磨发生在钢轨打磨车行驶过程中，会受到钢轨打磨车动力学性能的影响. 钢轨打磨一般设置为恒功率打磨，涉及砂轮钢轨接触关系、砂轮钢轨磨削关系、液压系统、控制系统等，是一个机电液耦合过程. 在考虑机电液耦合的钢轨打磨过程中，基于车辆轨道耦合动力学，建立机电液耦合的钢轨打磨整体模型，包含车辆轨道耦合动力学子模型、砂轮钢轨接触子模型、磨削子模型、液压系统子模型；通过与已有的实验数据对比，对该钢轨打磨模型进行验证. 研究结果表明：车辆轨道动力学模型验证时，脱轨系数最大误差为11.11%，轮重减载率最大误差为7.69%，轮轴横向力最大误差为11.68%；液压控制模型验证时，在0.7 Hz与1.7 Hz波磨下，无杆腔压力偏差率分别为−2.96%～2.92%、−0.32%～1.38%，无杆腔流量偏差率为−24.11%～0、−48.72%～0；磨削模型验证时，整体趋势一致，最大偏差点处偏差量为0.036 mm；以上偏差均在可接受范围内，此模型能应用于实际的钢轨打磨研究中.
- 钢轨打磨 /
- 动力学性能 /
- 机电液耦合 /
- PID控制 /
- 赫兹接触
Abstract:
Rail grinding occurs when the rail grinder is in traveling status, which is affected by the dynamic performance of the vehicle. Rail grinding is generally set as constant power grinding, involving a wheel-track contact relationship, wheel-track grinding relationship, hydraulic system, and control system. It is a mechanical-electric-hydraulic coupling process. The whole model of rail grinding based on mechanical-electric-hydraulic coupling was formed by considering the mechanical-electric-hydraulic coupling of the rail grinding process on the basis of vehicle-track coupling dynamics. This model included a vehicle-track coupling dynamics submodel, wheel-track contact submodel, grinding submodel, and hydraulic system submodel. This rail grinding model was validated by comparing it with experimental data. The results show that in vehicle-track dynamics model verification, the maximum deviation of derailment coefficient is 11.11%, and the maximum deviation of wheel unloading rate is 7.69%. The maximum deviation of the lateral force of the wheel is 11.68%. In hydraulic and control model verification, under 0.7 Hz and 1.7 Hz rail corrugation, the deviation range of pressure in the rodless cavity are between (−2.96%–2.92%) and (−0.32%–1.38%), and the deviation range of flow in the rodless cavity are between (−24.11%–0) and (−48.72%–0). In grinding model verification, the trend is generally consistent, with a deviation of 0.036 mm at the point of maximum deviation. The above deviations are all within the acceptable range, proving that this model can be applied to practical rail grinding study.
- rail grinding /
- dynamic performance /
- mechanical-electric-hydraulic coupling /
- PID control /
- Hertz contact

HTML全文

近年来，随着城市轨道交通急速发展，钢轨的维护量也快速增长. 钢轨打磨是轨道的主要维护手段^[1-2]，能有效消除城市轨道交通中普遍存在的钢轨波磨缺陷^[3-5]，从人工打磨发展到主动砂轮打磨、被动砂轮打磨、高速打磨、砂带打磨、铣磨等，但主动砂轮打磨依然不可或缺^[6-7]. 车辆动力学理论是轨道交通中重要理论，相关的理论研究模型经历了从简单车轮模型发展到轮对、转向架、整车车辆模型、编组列车模型及列车与轨道（或轨下基础）的耦合模型，“翟孙模型”^[8-9]是其中的代表. 钢轨打磨过程从微观上来看，包括切割、耕犁、划擦^[10], Marinescu等^[11]为了方便计算，对打磨过程总结，从能量角度提出了 ${e_{\mathrm{c}}} = {E_1}/{V_{\mathrm{W}}}$ 来解释磨削关系（e_c为磨削比能，E₁为打磨消耗能量，V_W为去除体积）. 金学松等^[12]对钢轨打磨技术进行了全面总结，论述了现有钢轨打磨技术与轮轨接触疲劳、磨耗、噪声、润滑之间的关系和相互作用模型，并分析钢轨打磨的经济成本.

Zhou等^[13-14]分析打磨压力与打磨效果之间的关系，在考虑砂轮摆动角度对打磨区域位置的影响的基础上建立钢轨打磨过程中打磨力的数值模型；Zhi等^[15-16]从磨粒与钢轨的接触关系出发，用接触长度表征打磨效果，分析砂轮转速、列车运行速度对打磨效果的影响；Lin等 ^[17]、Gu等^[18]、Wang等^[19]分别研究了打磨温度、打磨转速、砂轮磨粒大小与打磨效果的关系；以上文章均未考虑打磨车自身动力学特征. 张科元等^[20]在考虑加载机构的运动行为及砂轮-钢轨接触行为的基础上，建立打磨小车动力学分析模型，研究了钢轨高低不平顺、打磨速度、钢轨波磨、打磨小车结构参数等因素对钢轨打磨压力波动的影响，但该模型没有考虑打磨作业车对打磨小车的影响，也未将控制系统纳入考虑. 王璐颖等^[21]利用SIMPACK动力学软件建立PGM-48钢轨打磨车（既有铁路使用打磨车类型）的多刚体动力学模型，分析打磨小车一系定位刚度对自身动力学性能的影响，未考虑打磨过程. Fan 等^[22]建立砂带打磨的动力学模型，通过研究直线段和曲线段下高速砂带打磨动力学特征，分析高速砂带打磨的可行性，未考虑控制系统的影响. Du等^[23]建立考虑气动系统和磨削行为的钢轨打磨列车系统动力学模型，该模型将打磨小车中液压缸系统考虑为弹簧阻尼结构，但未考虑控制系统对钢轨打磨的影响. 付青云等^[24]通过实测打磨前、后钢轨焊接不平顺，借助动力学软件分析了打磨前、后焊接不平顺处动力学特征的差异. 汤万文等^[25]模拟三通比例减压阀的压力控制，仿真了钢轨波磨对打磨压力输出波动的影响，未考虑机械系统、控制系统的影响. 聂蒙等^[26]以气动加载方式的钢轨打磨列车为研究对象，建立钢轨打磨功率波动模型，未考虑钢轨打磨车动力学特征对打磨作用的影响.

钢轨打磨是建立在钢轨打磨车行驶前提下的，车辆动力学性能会与打磨过程相互影响. 打磨过程涉及砂轮钢轨接触磨削的机械系统、液压系统、控制系统等，是一个复杂的综合过程. 之前的研究成果及模型将钢轨打磨过程与车辆行驶过程分割开来. 对于钢轨打磨过程，又将机械系统、液压系统、控制系统分割开来. 并未全面反应钢轨打磨的整体过程，使用这些模型对钢轨打磨过程进行分析将产生或多或少的偏差，不能得到较为系统的联系. 本文将包括机电液耦合的钢轨打磨过程建立在车辆轨道耦合动力学基础上，形成了较为完整的基于机电液耦合的钢轨打磨模型.

1. 作用原理

机械系统包括打磨作业车、牵引杆、打磨小车、电机、砂轮等，是钢轨打磨的执行部件；液压系统包括液压缸、液压泵、蓄能器、先导式比例减压阀、单向阀、换向阀等，为钢轨打磨提供压力；控制系统包括电流检测、信号处理、误差修正、信号输出等，是保持恒压打磨的关键部件. 以上系统相互关联，形成了钢轨打磨车的机电液耦合系统，共同影响打磨车（图1）的动力学特性.

图 1 钢轨打磨车

Figure 1. Rail grinder

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打磨作业车通过转向架、悬挂、车轮与钢轨发生作用，打磨过程中产生振动. 打磨小车通过悬挂、导向轮与钢轨发生作用，打磨过程中也会产生振动. 两者结构参数不一致，在牵引杆的作用下相互影响. 打磨小车通过液压缸与打磨砂轮连接，小车的振动会对打磨砂轮的坐标造成影响. 在液压缸作用下，打磨砂轮对钢轨施加压力，砂轮旋转，压力转变为磨削力，对钢轨材料进行切除. 压力可以近似看作赫兹力，其大小由打磨砂轮与钢轨压缩量决定. 钢轨打磨是一个滑动摩擦过程，动力学分析时可以将近似为摩擦力，服从库伦摩擦定理. 摩擦力与砂轮中心点间存在力臂，产生摩擦力矩. 根据反作用原理，钢轨对砂轮产生压力、磨削力、摩擦力矩，对打磨小车来说就是垂向力、横向力、转矩，其中横向力近似平衡，对打磨小车和打磨作业车振动状态产生影响，打磨小车和打磨作业车的动力学性能变化又会影响到打磨压力.

为保证打磨作用的稳定，需要对打磨过程进行控制，一般采用恒功率打磨，由液压系统和控制系统配合完成；液压系统设置先导式比例减压阀，在先导式比例减压阀作用下液压系统的压力与控制电压成正比关系；控制系统通过检测打磨电机电流大小，得到实际打磨功率，通过闭环反馈环节实时调整比例减压阀的控制电压来控制液压系统压力. 打磨功率过小时，控制液压缸无杆腔压力大于有杆腔，推动液压缸伸出，伸出的液压缸将产生更大的赫兹接触力，增大打磨功率，反之减小. 打磨功率的稳定过程是一个动态过程，但并不是绝对恒定的.

2. 钢轨打磨的建模方法

2.1 车辆轨道耦合动力学子模型

打磨模式下，打磨作业车与打磨小车通过牵引杆连接，悬挂液压缸此时不受力，打磨砂轮与钢轨接触，整车匀速运行. 不同的钢轨打磨车其结构有一定差异，但均由打磨作业车和打磨小车组成，打磨作业车与打磨小车均适用翟孙模型即车辆-轨道动力学耦合模型. 打磨小车中有多个方向、压力调整液压缸，在充满压力的情况下，液压缸可以等效于弹簧阻尼结构，牵引杆也可以等效于弹簧阻尼结构. 打磨车整体的车辆-轨道空间耦合模型如图2所示，图中：O点为摇篮在打磨小车上的旋转中心，Y、Z、 $\phi$ 、ψ、β分别为打磨车横移、沉浮、侧滚、摇头、点头自由度， M为质量，下标c、w、t、b、d、g、wb分别代表打磨作业车车体、作业车车轮、作业车构架、小车框架、小车摇篮、打磨砂轮、小车轮对；K_p、K_s （C_p、C_s）分别为打磨作业车一系、二系悬挂刚度（阻尼），K_pb、C_pb分别为打磨小车一系悬挂刚度和阻尼，K_sb、C_sb （K_sh、C_sh）分别为牵引杆（液压缸）刚度和阻尼，下标x、y、z为对应方向的分量；v_w为打磨速度.

图 2 打磨车车辆-轨道空间耦合模型

Figure 2. Vehicle-track spatial coupling model of rail grinder

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加压液压缸等效刚度标量值^[27]为

${C_{\text{T}}} = E\left(\frac{{A_{\text{a}}^2}}{{{V_{\text{a}}} + {V_{{\text{La}}}}}} + \frac{{A_{\text{b}}^2}}{{{V_{\text{b}}} + {V_{{\text{Lb}}}}}}\right) ,$

(1)

式中：E为液压油体积模量，A_a、V_a、V_La （A_b、V_b、V_Lb）分别为液压缸无杆腔（有杆腔）的液压作用面积、体积、涉及的管道体积.

旋转中心为刚性连接，但两者接触也可以视为刚度很大的弹簧阻尼结构^[28-29]，其刚度与阻尼系数可以通过弹性半空间弹性接触理论^[30]求出，同理可得到液压缸另外2个方向的刚度与阻尼系数.

牵引杆处打磨作业车车体、小车框架两刚体的3个方向位移为

${{\boldsymbol{s}}_{{\text{c}}i}} = \left[ \begin{gathered} {X_{\text{c}}}(t) \\ {Y_{\text{c}}}(t) \\ {Z_{\text{c}}}(t) \\ \end{gathered} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {\psi _{\text{c}}}(t)}&{ - {\beta _{\text{c}}}(t)} \\ {{\psi _{\text{c}}}(t)}&0&{ - {\phi _{\text{c}}}(t)} \\ {{\beta _{\text{c}}}(t)}&{{\phi _{\text{c}}}(t)}&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{l_{{\text{c2}}xi}}} \\ {{l_{{\text{c2}}yi}}} \\ {{l_{{\text{c2}}{\textit{z}}i}}} \end{array}} \right] \text{，}$

(2)

${{\boldsymbol{s}}_{{\text{b}}i}} = \left[ \begin{gathered} {X_{\text{b}}}(t) \\ {Y_{\text{b}}}(t) \\ {Z_{\text{b}}}(t) \\ \end{gathered} \right] + \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&{ - {\psi _{\text{b}}}(t)}&{ - {\beta _{\text{b}}}(t)} \\ {{\psi _{\text{b}}}(t)}&0&{ - {\phi _{\text{b}}}(t)} \\ {{\beta _{\text{b}}}(t)}&{{\phi _{\text{b}}}(t)}&0 \end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{l_{{\text{b2}}xi}}} \\ {{l_{{\text{b2}}yi}}} \\ {{l_{{\text{b2}}{\textit{z}}i}}} \end{array}} \right] \text{，}$

(3)

式中：（l_c2xi，l_c2yi，l_c2zi）为第i个牵引杆在打磨作业车车体上的相对坐标，（l_b2xi，l_b2yi，l_b2zi）为第i个牵引杆在小车框架上的相对坐标，X为打磨车纵向位移.

第i个牵引杆的作用力为

$\boldsymbol{F}_{\text{sb}i}=\boldsymbol{\mathit{K}}_{\text{sb}}(\boldsymbol{s}_{\text{c}i}-\boldsymbol{s}_{\text{b}i})+\boldsymbol{\mathit{C}}_{\text{sb}}(\dot{\boldsymbol{s}}_{\text{c}i}-\dot{\boldsymbol{s}}_{\text{b}i}).$

(4)

将式（2）～（4）中刚度、阻尼、接触点相对坐标进行代换，可以分别求出旋转中心、角度调节液压缸及压力调节液压缸的受力.

其他部分受力情况可参照参考文献[8]，通过牛顿定理或达朗伯定理可以求出所有部分的运动方程. 此时，钢轨打磨车包含1个打磨作业车车体、1个小车框架、2个转向架、6个轮对、4个摇篮、8个打磨砂轮共22个刚体，摇篮考虑侧滚1个自由度，打磨砂轮考虑伸缩1个自由度，其他刚体考虑横向、垂向、侧滚、点头、摇头共5个自由度，共有62个自由度.

2.2 砂轮钢轨接触子模型

计算砂轮钢轨接触力时，砂轮可视为平面，钢轨可视为曲面，砂轮钢轨接触关系近似为Hertz接触，如图3所示. 图中：ω为砂轮转速，p为压应力，F_h为打磨压力

图 3 砂轮钢轨接触图

Figure 3. Wheel-track contact

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根据Hertz理论^[31]可知，压缩量δ与接触力的关系为

$\delta = \frac{{K(e)}}{{{\text{π}}m}}{\left[ {\frac{9}{2}(A + B){G^{*2}}{P^2}} \right]^{1/3}} \text{，}$

(5)

式中：P为接触力，A、B为曲率相关参数，G^*为接触相关参数，K(e)、m、e为中间参数，推导过程参见参考文献[31].

变换后接触力为

$P = \frac{{\sqrt 2 {{\text{π}}^{3/2}}{m^{3/2}}}}{{3K{{(e)}^{3/2}}{{(A + B)}^{1/2}}{G^*}}}{\delta ^{3/2}} .$

(6)

压缩量为

$\delta = {Z_{\text{g}}}(t) - {Z_0}(t) \text{，}$

(7)

式中：Z_g(t)为砂轮垂向坐标，Z₀(t)钢轨不平顺垂向坐标.

由此可以得到打磨压力F_h与打磨力矩T_h为

$\left\{ \begin{gathered} {F_{\text{h}}} = \frac{{\sqrt 2 {{\text{π}}^{3/2}}{m^{3/2}}}}{{3K{{(e)}^{3/2}}{{(A + B)}^{1/2}}{G^*}}}{\delta ^{3/2}}， \\ {T_{\text{h}}} = \mu {F_{\text{h}}}{r_1}， \\ \end{gathered} \right.$

(8)

式中：μ为摩擦系数，r₁为名义打磨半径.

砂轮钢轨接触力可以等效为弹簧，加压液压缸也可以等效为弹簧，考虑到砂轮质量及运行中的速度、加速度有限，砂轮钢轨接触关系可以近似等效为一个大的弹簧，如图4所示，图中：K₁为加压液压缸等效弹簧刚度，K₂为砂轮钢轨接触等效弹簧刚度，当K₂远大于K₁时，总刚度可近似为K₁.

图 4 等效弹簧

Figure 4. Equivalent spring

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等效刚度系数为

${K_{{\text{total}}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{1}{{{K_{\text{1}}}}} + \dfrac{1}{{{K_{\text{2}}}}}}} .$

(9)

打磨压力变换为

${F_{\text{h}}} = {K_{{\text{total}}}}\delta = {K_{{\text{total}}}}({L_{\text{g}}} - {l_{\text{g}}}) \text{，}$

(10)

式中：L_g为打磨液压缸实际长度，l_g为打磨液压缸名义长度.

为了保证良好的受力条件，砂轮 $XOZ$ 面一般与摇篮 $XOZ$ 面重合，此时，实际等效长度可以转化为摇篮转动中心垂向坐标Z_do（t）到钢轨的距离，如式（11）.

${L_{\text{g}}}{\text{ = }}{Z_{{\text{do}}}}(t) - {Z_0}(t){\text{ + }}{L_{\text{h}}} \text{，}$

(11)

式中：L_h为液压缸伸长量.

如此，改变打磨车动力学性能、钢轨不平顺、液压缸伸缩量均会对打磨力造成影响.

2.3 磨削子模型

根据经典磨削理论^[32]，磨削比能e_c指单位时间去除单位体积工件材料所消耗的能量，如式（12）.

${e_{\text{c}}} = \frac{{{E_1}}}{{{V_{\text{W}}}}} = \frac{{\mu p\omega r{\text{d}}t}}{{2{v_{\text{w}}}{a_{\text{0}}}{\text{d}}{\textit{z}}{\text{d}}t}} \text{，}$

(12)

式中： E₁为打磨消耗能量，t为时间，V_W为去除体积，r为打磨半径，a₀为打磨宽度的一半，z为打磨深度，dz为去除深度，如式（13） .

${\text{d}}{\textit{z}} = \frac{{\mu p\omega r}}{{2{v_{\text{w}}}{a_0}{e_{\text{c}}}}} .$

(13)

钢轨打磨车作业时为匀速行驶，打磨时一般采用恒功率打磨，此时磨削比能可近似为定值.

2.4 液压系统子模型

图5为液压模型，根据液压油流量连续性方程^[33]，液压油流量、体积、压力关系如式（14）所示，通过计算液压油流量、体积变化，可以得到各部分压力变化. 图中：m_g为液压缸活塞质量，m_p为先导阀阀芯质量，P₁为加压泵出口压力，P₂为主阀内部压力，P₃为先导阀入口液压压力，P₄为主阀出口节流阀后液压压力，P₅为稳压泵出口压力，P_a、P_b分别是液压缸无杆腔、有杆腔的液压压力.

图 5 液压模型

Figure 5. Hydraulic submodel

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${Q_{{\text{in}}}} - {Q_{{\text{out}}}} = \frac{{{\text{d}}V}}{{{\text{d}}t}} + \frac{V}{E}\frac{{{\text{d}}{P_{\text{o}}}}}{{{\text{d}}t}} \text{，}$

(14)

式中：Q_in、Q_out分别为流入、流出的液压油流量，V容积体积，P_o为液压压力.

2.4.1 先导阀

先导阀的阀芯运动方程为

${P}_{3}{A}_{\text{P}}={m}_{\text{p}}{\ddot{x}_{\text{p}}} + c{\dot{x}_{\text{p}}}\text{ + }{F}_{\text{e}} \text{，}$

(15)

式中：A_p为先导阀液压作用面积， x_p为先导阀阀芯位移，c为阻尼系数，F_e为先导阀电磁力.

先导阀液压通过面积A₀为

${A_0} = {\text{π}}{x_{\text{p}}}\sin \;{\alpha _{\text{p}}}\left({D_{\text{p}}} - \frac{1}{2}{x_{\text{p}}}\sin \;2{\alpha _{\text{p}}}\right) \text{，}$

(16)

式中：α_p为先导阀阀芯半锥角，D_p为先导阀内腔直径.

控制系统作用下电磁力近似计算式为

${F_{\text{e}}}{\text{ = }}\frac{{{K_{\text{u}}}{K_{{\text{i0}}}}}}{{{R_0}}}u = {F_0} + e \text{，}$

(17)

式中：K_u为电压放大系数，K_i0为电流放大系数，R₀为线圈电阻，u为控制电压，F₀为设定电磁力，e为电磁力补偿值.

先导阀流量压力关系如式（18）.

$\left\{ \begin{gathered} {Q_{{\text{3in}}}} = {c_{\text{r}}}\frac{{{\text{π}}D_{\text{r}}^{\text{2}}}}{4}\sqrt {\frac{{2({P_1} - {P_3})}}{\rho }} \text{，} \\ {Q_{{\text{3out}}}} = {c_{\text{p}}}{A_0}\sqrt {\frac{{2{P_3}}}{\rho }} \text{，} \\ \end{gathered} \right.$

(18)

式中：Q_3in、Q_3out为流入、流出先导阀的液压油流量，之间差如式（19）；c_r为节流阀的流量系数；c_p为先导阀流量系数；D_r为节流阀孔直径；ρ为液压油密度.

${Q}_{\text{3in}}-{Q}_{\text{3out}}=\frac{{\dot{x}}_{\text{p}}\text{π}{D}_{\text{p}}^{\text{2}}/4}{\text{d}t} + \frac{{V}_{3}}{E}\frac{\text{d}{P}_{3}}{\text{d}t}\text{ + }\frac{{\dot{x}}_{\text{m}}{A}_{\text{m1}}}{\text{d}t} \text{，}$

(19)

式中：V₃为P₃的容腔体积，x_m为主阀阀芯位移，A_m1为P₃的作用面积.

2.4.2 主　阀

主阀阀芯运动方程为

$\begin{split} &{P_3}{A_{{\text{m1}}}} - {\text{2}}{c_{\text{m}}}{c_{\text{v}}}{\text{π}} {D_{\text{m}}}\cos\; {\alpha _{\text{m}}}{x_{\text{m}}}({P_1} - {P_2}) =\\&\quad {m}_{\text{m}}{\ddot{x}}_{\text{m}} + c{\dot{x}}_{\text{m}}\text{ + }{k}_{\text{m}}{x}_{\text{m}} + {P}_{\text{2}}{A}_{\text{m2}} \text{，} \end{split}$

(20)

式中：c_m为液流通过主阀阀口收缩系数，c_v为液流通过主阀阀口速度系数，D_m为主阀内腔直径，α_m为主阀液流角，k_m为主阀弹簧刚度，A_m2为主阀内部液压作用面积.

主阀流量压力关系为

${Q}_{\text{1in}}=\left\{\begin{array}{l}{c}_{\text{m1}}\text{π}{D}_{\text{m}}{x}_{\text{m}}\sqrt{\dfrac{2({P}_{1}-{P}_{2})}{\rho }}\text{，}\quad 注油，\\ {c}_{\text{m1}}\text{π}{D}_{\text{m}}{l}_{\text{m}}\sqrt{\dfrac{2({P}_{4}-{P}_{2})}{\rho }}\text{，}\quad 回油， \end{array}\right.$

(21)

${Q}_{\text{1out}}=\left\{\begin{array}{l}{c}_{\text{m2}}\text{π}{D}_{\text{m}}{l}_{\text{m}}\sqrt{\dfrac{2({P}_{2}-{P}_{4})}{\rho }}\text{，}\quad 注油，\\ {c}_{\text{m2}}\text{π}{D}_{\text{m}}{x}_{\text{m}}\sqrt{\dfrac{2{P}_{2}}{\rho }}\text{，}\quad 回油， \end{array}\right.$

(22)

${Q_{{\text{1in}}}} - {Q_{{\text{1out}}}} = \frac{{{V_{\text{m}}}}}{E}\frac{{{\text{d}}{P_2}}}{{{\text{d}}t}} \text{，}$

(23)

式中：Q_1in、Q_1out分别为流入、流出主阀的液压油流量，c_m1、c_m2分别为主阀进油口、出油口的流量系数，l_m为主阀出口宽度.

2.4.3 液压缸

液压缸活塞运动方程为

${P}_{\text{a}}{A}_{\text{a}}={m}_{\text{g}}{\ddot{{\textit{z}}}}_{\text{g}} + c{\dot{{\textit{z}}}}_{\text{g}} + {P}_{\text{b}}{A}_{\text{b}}\text{ + }{F}_{\text{h}} \text{，}$

(24)

式中： z_g为液压缸活塞位移.

液压缸伸出、缩回时的流量压力关系为

${Q}_{\text{a}} = \left\{ \begin{array}{l} {c}_{\text{g}}{A}_{\text{g}}\sqrt{\dfrac{2({P}_{4}-{P}_{a})}{\rho }}={A}_{\text{a}}{\dot{{\textit{z}}}}_{\text{g}} + \dfrac{{V}_{\text{a}}}{E}\dfrac{\text{d}{P}_{\text{a}}}{\text{d}t}\text{，}\quad 伸出，\\ {c}_{\text{g}}{A}_{\text{g}}\sqrt{\dfrac{2({P}_{\text{a}}-{P}_{4})}{\rho }}={A}_{\text{a}}{\dot{{\textit{z}}}}_{\text{g}}-\dfrac{{V}_{\text{a}}}{E}\dfrac{\text{d}{P}_{\text{a}}}{\text{d}t}\text{，}\quad 缩回， \end{array}\right.$

(25)

$\begin{split} &{Q}_{\text{b}}=\\ &\quad\left\{ \begin{array}{l}{c}_{\text{g}}{A}_{\text{g}}\sqrt{\dfrac{2({P}_{b}-{P}_{5})}{\rho }}=-{A}_{\text{b}}{\dot{{\textit{z}}}}_{\text{g}}-\dfrac{{V}_{\text{b}}}{E}\dfrac{\text{d}{P}_{\text{b}}}{\text{d}t}\text{，}\quad 伸出，\\ {c}_{\text{g}}{A}_{\text{g}}\sqrt{\dfrac{2({P}_{5}-{P}_{\text{b}})}{\rho }}=-{A}_{\text{b}}{\dot{{\textit{z}}}}_{\text{g}}\text{ + }\dfrac{{V}_{\text{b}}}{E}\dfrac{\text{d}{P}_{\text{b}}}{\text{d}t}\text{，}\quad 缩回， \end{array}\right. \end{split}$

(26)

式中：Q_a、Q_b分别为液压缸无杆腔、有杆腔液压油流量，c_g为液压缸流量系数，A_g为液压缸进出油口面积.

2.5 控制系统子模型

打磨电机电压U、功率因素 $\cos \;\varphi$ 近似不变( $\varphi$ 为功率因数角)，设置一个闭环反馈环路对打磨功率进行补偿，现实中偏差补偿方式有多种，PID控制方法比较常用.

实际打磨功率为

${N_{\text{t}}} = \sqrt 3 UI\cos \;\varphi = \mu {F_{\text{h}}}\omega {r_1} \text{，}$

(27)

式中：I为实际打磨电流.

功率偏差量为

${u_{\text{t}}} = {N_0} - {N_{\text{t}}} \text{，}$

(28)

式中：N₀为设定打磨功率.

补偿量为

$e={K}_{\text{p}}{u}_{\text{t}} + {K}_{\text{i}}{\displaystyle \int {u}_{\text{t}}}\text{d}t + {K}_{\text{d}}{\dot{u}}_{\text{t}} \text{，}$

(29)

式中： K_p、K_i、K_d分别为控制系统的比例、积分、微分系数.

电磁力为

${F_{\text{e}}}{\text{ = }}{F_0} + e = \frac{{{K_{\text{u}}}{K_{{\text{i0}}}}}}{{{R_0}}}u .$

(30)

控制电压为

$u = \frac{{{R_0}({F_0} + e)}}{{{K_{\text{u}}}{K_{{\text{i0}}}}}} .$

(31)

3. 钢轨打磨的仿真

打磨耦合过程如下：

步骤1　打磨车在轨道上匀速运行，通过车辆轨道耦合动力学模型输出摇篮转动中心坐标.

步骤2　控制模型通过检测打磨电机电流的变化输出控制电压给液压模型.

步骤3　液压模型接收到控制电压，调整液压系统无杆腔压力，结果使得液压缸伸缩量发生变化，输出实际的液压缸伸缩量L_h.

步骤4　接收到坐标值Z_do、伸缩量，与钢轨不平顺进行比较，得到压缩量，通过砂轮钢轨接触模型可以计算打磨力，对车辆轨道耦合动力学模型输出打磨压力F_h、扭矩T_h，对液压模型输出打磨压力，对磨削模型输出压应力.

步骤5　磨削模型接收到打磨力，计算出钢轨打磨量. 如此迭代循环，能得到整个线路钢轨打磨车的动力学特征.

图6为基于机电液耦合的钢轨打磨模型.

图 6 基于机电液耦合钢轨打磨模型

Figure 6. Rail grinding model based on mechanical-electric-hydraulic coupling

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4. 钢轨打磨的建模方法

4.1 车辆轨道动力学模型验证

针对打磨车车辆轨道动力学的模型，本文采用与已发表实验数据对比的方式，施加垂向和水平方向的美国五级轨道谱钢轨不平顺来模拟实际钢轨不平顺，其对比数据包括脱轨系数、轮重减载率和轮轴横向力^[34]，如图7，具体工况见表1.

图 7 打磨作业车的动力学指标

Figure 7. Dynamic indicators of rail grinder

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表 1 曲线设置

Table 1. Curve parameters

曲线工况	曲线半径/m	缓和曲线/m	外轨超高值/m	圆曲线长/m	通过速度/（km·h⁻¹）
1	400	120	0.12	100	70
2	500	110	0.11	100	80
3	600	100	0.10	100	80
4	700	100	0.10	100	100
5	800	100	0.10	100	100
6	1000	90	0.09	100	100
7	1000	90	0.09	100	110
8	1200	80	0.08	100	120

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由图7可知：对于脱轨系数，曲线工况6下有最大误差，误差率为11.11%；对于轮重减载率，曲线工况3下有最大误差，误差率为7.69%；对于轮轴横向力，曲线工况4下有最大误差，误差率为11.68%. 产生误差的主要原因为仿真中采用美国五级轨道谱不平顺，与实际轨道不平顺激励存在差异，引发动力学性能差异；在建立打磨车车辆轨道耦合模型时，对部分结构做了简化处理，理想化的打磨车车辆轨道模型与实际的打磨车结构有一定差异，会影响打磨车运行时的动力学性能.

4.2 液压控制模型验证

针对液压控制模型，本文采用先验验证，其对比数据为三通比例加载系统的实验数据^[35]，分别分析了0.7 Hz和1.7 Hz频率下波磨不平顺对打磨压力与流量的影响，采用的打磨速度为7 km/h，打磨电机转速为3600 r/min，如图8.

图 8 波磨不平顺对打磨压力与流量的影响

Figure 8. Influence of rail irregularity on grinding pressure and flow

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由图8可知：0.7 Hz波磨影响下，本文数据中，打磨液压缸无杆腔压力偏差率在−2.96%～2.92%，流量偏差率在−24.11%～0；1.7 Hz波磨影响下，仿真条件打磨液压缸无杆腔压力偏差率在−0.32%～1.38%，打磨液压缸无杆腔流量偏差率在−48.72%～0；两者均实现了动态恒压力控制.

两者存在的偏差主要是由检测和信号处理手段的差异引起的. 同时，实验数据存在较多的高频波动、毛刺，仿真数据相对平滑，主要因为实验条件下存在多种外界干扰.

4.3 磨削模型验证

针对磨削模型，本文采用先验验证, 其对比的实验数据由钢轨打磨试验台产生^[36]. 该实验采用轨面打磨方式，钢轨采用标准60轨，打磨速度为5.4 km/h，打磨电机设计功率为7～21 kW，通过检测控制打磨电机波动范围≤5%，在此基础上测量钢轨磨削后的磨削深度，如图9.

图 9 磨削深度对比

Figure 9. Grinding depth comparison

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从图9中可知：实验台测试的16个数据与仿真数据变化趋势较为吻合，其中，偏差最大点为磨削功率7.6 kW处，此处实验磨削深度为0.013 mm，仿真数据为0.049 mm，偏差量为0.036 mm. 实验打磨车在运行过程中发生振动，带动砂轮振动，会给打磨深度造成影响. 实际打磨数据虽有一定波动，但整体趋势与仿真数据一致.

5. 结　论

1）建立了一个基于机电液耦合的钢轨打磨整体模型，为研究钢轨打磨提供了一种新的思路.

2）采用先验验证方式，对已建立的模型进行了验证. ① 车辆轨道动力学模型验证时，对于脱轨系数，曲线工况6下有最大误差，误差率为11.11%. 对于轮重减载率，曲线工况3下有最大误差，误差率为7.69%. 对于轮轴横向力，曲线工况4下有最大误差，误差率为11.68%. ② 液压控制模型验证时，0.7 Hz波磨下，无杆腔压力偏差率为−2.96%～2.92%，无杆腔流量偏差率为−24.11%～0. 在1.7 Hz波磨下，无杆腔压力偏差率为−0.32%～1.38%，无杆腔流量偏差率在−48.72%～0. ③ 磨削模型验证时，整体趋势一致，偏差最大点为磨削功率7.6 kW处，偏差量为0.036 mm. 相应差异在可接受范围，钢轨打磨模型能够反映实际的钢轨打磨过程，模型的准确性和可行性得到验证，可应用于钢轨打磨过程的研究.

图 1 钢轨打磨车

Figure 1. Rail grinder

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图 2 打磨车车辆-轨道空间耦合模型

Figure 2. Vehicle-track spatial coupling model of rail grinder

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图 3 砂轮钢轨接触图

Figure 3. Wheel-track contact

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图 4 等效弹簧

Figure 4. Equivalent spring

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图 5 液压模型

Figure 5. Hydraulic submodel

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图 6 基于机电液耦合钢轨打磨模型

Figure 6. Rail grinding model based on mechanical-electric-hydraulic coupling

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图 7 打磨作业车的动力学指标

Figure 7. Dynamic indicators of rail grinder

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图 8 波磨不平顺对打磨压力与流量的影响

Figure 8. Influence of rail irregularity on grinding pressure and flow

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图 9 磨削深度对比

Figure 9. Grinding depth comparison

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表 1 曲线设置

Table 1. Curve parameters

曲线工况	曲线半径/m	缓和曲线/m	外轨超高值/m	圆曲线长/m	通过速度/（km·h⁻¹）
1	400	120	0.12	100	70
2	500	110	0.11	100	80
3	600	100	0.10	100	80
4	700	100	0.10	100	100
5	800	100	0.10	100	100
6	1000	90	0.09	100	100
7	1000	90	0.09	100	110
8	1200	80	0.08	100	120

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