Dynamic Response of Cable-Stayed Bridge and Trains on Bridge Under Cable Breaking Conditions
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摘要:
为研究大跨度公铁两用斜拉桥断索状态下，风、列车动力作用时的动力响应特性，以实际斜拉桥为研究对象建立全桥3维计算模型. 使用非线性隐式动力时程算法，分析突然断索时全桥结构的动力响应；研究列车-桥梁耦合作用下，不同突然断索工况发生时，桥梁结构与桥上行驶列车的动力响应；讨论在少量拉索断索后，结构处于静力平衡状态时，风-列车-桥梁耦合动力作用下，桥梁结构与桥上行驶列车的动力响应；使用非线性显式有限元动力时程算法，研究拉索在横向风作用下的断裂下坠状态. 研究结果表明：大跨度公铁两用斜拉桥具有较高的安全冗余，跨中双侧较长拉索超过12根断裂后才可能导致连续断索垮塌；单根拉索断裂时其余拉索最大动应力增幅约为100 MPa，对桥梁结构安全性影响较小；列车在桥上行驶时，若发生突然断索，会导致列车加速度响应发生较为明显变化，各个工况计算结果中，最大约为1.5 m/s2；单根最长拉索断裂后，列车过桥竖向位移响应增加小于0.01 m，对桥梁刚度影响较小，可保持列车通行；当最长拉索发生断裂时，若横向风速达到30 m/s，可能使断裂拉索坠落在主梁上层车道内，入侵距离约为5 m，影响上层车道的通行安全.
Abstract:In order to study the dynamic response characteristics of long-span highway-railway cable-stayed bridges with broken cables under the dynamic actions of wind and train, an actual cable-stayed bridge was taken as the research object, and a 3D computational model of the whole bridge was established. The nonlinear implicit dynamic time history algorithm was used to analyze the dynamic response of the whole bridge in the case of sudden cable breaking. The dynamic response of the bridge structure and the train running on the bridge under different sudden cable breaking conditions was studied under the coupling effect of the train and bridge. In addition, the dynamic response of the bridge structure and the train running on the bridge under the coupling effect of wind, train, and bridge was discussed when the structure was in a static equilibrium state after a few cables were broken. The nonlinear explicit dynamic time history algorithm was used to study the cable breaking and falling state under the action of lateral wind. The results show that long-span highway-railway cable-stayed bridges have high safety redundancy, and it is only possible for continuous cable breaking and collapse to occur when more than 12 longer cables of the mid-span break. When a single cable breaks, the maximum increase in dynamic stress for the remaining cables is approximately 100 MPa, which has a minor impact on the safety of the bridge structure. When a sudden cable breaking occurs while a train is running on the bridge, it will cause a noticeable change in the acceleration response of the train, or in other words, the calculated maximum acceleration under various conditions is approximately 1.5 m/s2. After the breaking of a single longest cable, the vertical displacement response of the train running on the bridge increases by less than 0.01 m, resulting in a small impact on the stiffness of the bridge, and the bridge can still accommodate train traffic. When the longest cable breaks, if the lateral wind speed reaches 30 m/s, it may cause the broken cable to fall into the upper deck lane of the girder, invading a distance of approximately 5 m, which affects the safety of traffic on the upper deck lane.
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Key words:
- bridge engineering /
- cable-stayed bridge /
- cable breaking /
- finite element method /
- dynamic response
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斜拉索为斜拉桥的核心受力结构，主梁上的恒载与活载通过斜拉索传递到桥塔上，在长期运营过程中由于腐蚀[1]、疲劳[2]、火灾[3]、爆炸[4]、车船冲撞[5]等原因，拉索可能发生断裂破坏失效. 2014年10月29日，湖南赤石大桥斜拉桥索塔上游锚固区内发生火灾，导致多根拉索发生断裂破坏. 2022年1月18日，重庆鹅公岩轨道桥悬索桥上游LM2吊索突然发生断裂. 美国后张法协会[6]在其规范中给出了2种断索模拟方法：一种为直接使用瞬态动力分析方法；另一种为通过动力放大系数（DAF，规范中建议取2.0）法.
吕文高[7]对斜拉桥拉索锈蚀、疲劳等极端条件下全桥结构破坏概率与倒塌场景的评估. Wolff等 [8]研究表明，斜拉桥某根拉索断索后主梁最不利位置的弯矩DAF一般小于2.0，拉索索力、索塔弯矩最不利位置处DAF高于2.0. Mozos等[9-10]研究表明，斜拉桥DAF会随着主梁刚度和拉索布置形式的不同而发生变化. Cai等[11]研究认为，越靠近桥塔的短索断裂后对全桥的动力响应较小. Zhou等[12-13]研究了在风场、汽车作用下，不同位置拉索发生断裂时桥梁的动力响应. Hoang等[14]通过简化的拉索模型实验与全桥2维有限元模型，研究了大跨度斜拉桥不同位置拉索断裂时的动力响应，讨论了断索DAF取值的合理范围. 颜东煌等[15]研究对比了拉索断裂产生的静力与动力效应，基于钢丝的疲劳试验结果评估了斜拉桥的时变体系可靠度. 张羽等[16]以湖南赤石大桥为研究对象，对斜拉桥结构在实际情况中9根拉索依次断裂过程进行了分析，结果表明，斜拉桥为高安全冗余度结构，少量拉索断裂对桥梁结构安全性影响较小. 前期研究大多基于商业有限元软件，侧重分析拉索断裂失效冲击荷载对桥梁结构安全性的影响，以及断索DAF取值合理性的讨论，主要研究结论是针对公路斜拉桥，没有评估运营状态下，各种复杂断索工况发生时，桥上车辆行驶的动力响应.
本文在已有研究成果的基础上，使用开发的隐式-显式统一非线性动力时程计算方法，构建实际大跨度公铁两用斜拉桥全桥模型，通过计算分析，初步研究探讨了大跨度公铁两用斜拉桥以及桥上列车在断索状态下的动力响应.
1. 计算方法
1.1 隐式与显式非线性有限元动力时程算法
桥梁结构在风、车辆作用下的有限元动力时程计算一般采用Newmark-β法[17-18]，该方法为隐式方法，在每个时间增量步中须求解总体刚度矩阵，为无条件稳定，可以使用较大时间积分步长，适用于大跨度斜拉桥等自振频率较低的工程结构.
本文研究中，对于拉索断裂后斜拉桥全桥的振动响应，使用文献[19]中开发的基于共旋坐标系CR列式（co-rotational formulation）的隐式非线性有限元Newmark-β动力时程算法. 在计算程序中，设置当拉索到达断裂时间点时，将拉索单元刚度矩阵、单元阻尼矩阵、单元内力向量置为0，达到拆除构件瞬时卸载的效果. 隐式有限元计算中，拉索使用一根带张力直杆单元模拟，单元各个矩阵置0后重新组集总体刚度矩阵，单元在桥塔与主梁上的节点仍与其他单元连接，不会出现无约束状态，总体刚度矩阵不会奇异. 隐式有限元无法直接计算拉索分段模型断裂后发生的下坠、碰撞、摩擦等导致总体刚度矩阵奇异的结构无约束非线性动力状态.
对于3维杆、梁单元采用显式有限元方法进行非线性动力时程计算，文献[20]中称之为“向量式有限元”. 显式（向量式）有限元法中，有限元模型节点视为单个质点，单元视为质点间相互作用的依据，根据牛顿第二定律，质点i运动公式为
mi¨xi+Fi=Pi， (1) 式中：xi为有限元模型质点（节点）i的位移向量；mi为节点（质点）i的集成质量与惯性矩；Fi为节点i的内力向量；Pi为作用力在节点i的外力向量，可根据CR列式规则使用单元坐标转换矩阵考虑几何非线性的影响.
使用显式有限元不需要组集总体刚度矩阵，通过结构模型单元连接信息，每个时间步直接集成总体内力向量F、外力向量P、质量对角矩阵m、位移向量x. 通常使用中心差分法直接求解显式有限元，当考虑阻尼时，由中心差分公式得到
x(n)=C1h2m−1(P−F)+2C1x(n−1)−C2x(n−2), (2) 式中：C1=1/(1+0.5ξh)，C2=C2/(1−0.5ξh)，ξ为阻尼比，h为积分时间步长；x(n)为第n积分时间步有限元模型节点的总体位移向量.
非线性显式有限元动力计算方法直接建立了结构的外力向量、内力向量、加速度力向量的对应关系，不存在隐式有限元法中的矩阵奇异问题，求解规模与节点数量相关，与节点排序无关. 可以计算拉索断裂后的下坠、碰撞、摩擦等非线性动力响应，计算结构局部高频率响应，但无法进行直接静力计算、结构模态计算. 显式方法为条件稳定，时间积分步长通常比隐式方法小2个数量级，总体计算成本较隐式方法更大.
1.2 风-列车-桥梁耦合动力系统
本文关于风-列车-桥耦合动力作用计算使用的技术方法与文献[17-18，21]中相同.
本文使用的斜拉桥全桥3维风场模拟算法具体可参见文献[21]. 使用CHR2和谐号动车组4轴3维列车模型，动力刚度矩阵与阻尼矩阵为经典的23自由度模型. 本文计算使用文献[22]研究中构建的非线性有限元隐式-显式统一算法框架，克服了桥梁断索动力计算中隐式、显式方法的缺点.
使用统一的节点、单元、实常数、边界条件描述建立斜拉桥全桥有限元计算模型. 利用非线性隐式有限元法计算桥梁结构的静力状态、动力特性、长时间振动响应. 调用显式非线性有限元求解程序，模拟计算拉索的断裂、下坠、碰撞.
1.3 全桥3维空间有限元模型
在文献[21]中以平潭海峡大桥主桥典型的大跨度公铁两用斜拉桥为对象，研究斜拉桥在风、列车作用下拉索的非线性振动. 本文同样以平潭海峡大桥主桥为研究对象构建计算模型，研究斜拉桥断索时桥梁结构与列车的动力响应.
使用本文计算程序构建平潭大桥全桥3维有限元全桥模型，如图1所示. 其中，拉索使用考虑几何非线性与初始张力的杆单元模拟. 为了满足不同的计算需求，分别构建不使用分段拉索的全桥计算模型和使用分段拉索的全桥模型. 拉索不分段模型中，使用Ernst 公式修正拉索弹性模量[16].
图 1 平潭大桥3维有限元模型（拉索使用分段模型）Figure 1. 3D finite element model of Pingtan Bridge （segmented cable model was used）图1中O-XYZ为总体坐标系，桥塔两侧每侧17对拉索，沿X轴从左到右为1#～68# 拉索，其中，1#、34#、35#、68# 拉索分别为边跨、中跨最长拉索，Z轴正方向为右侧拉索，负方向为左侧拉索，主梁下层中间第1个节点位置为全桥坐标原点.
主梁、桥塔使用3维梁单元，拉索使用分段3维杆单元. 重力加速度g=9.8 m/s2. 主梁与塔柱使用刚性梁单元由塔柱节点延伸至主梁节点处，根据设计约束条件耦合主梁上连接节点自由度.
2. 斜拉桥突然断索时的动力响应
为研究斜拉桥在断索状态下桥梁结构的动力响应. 使用拉索不分段的斜拉桥模型计算. 首先，考虑几何非线性计算结构在自重作用下的静力构型，得到结构内力与自重的平衡状态；然后，在动力时程计算中移除单元构件，得到断索后的结构动力响应.
假设断裂拉索为图1中所示跨中Z轴正方向34# 右侧拉索（跨中最长拉索），拉索锚固点X位置处，斜拉桥主梁上层左侧、中间、右侧节点，在突然断索后的动力响应如图2所示.
图 2 右侧34# 拉索断裂后各个节点振动时程Figure 2. Vibration time history diagram of each node after the right-side cable 34# was broken由图2可看出，由于突然断索，跨中主梁右侧失去34# 拉索的支撑力，主梁在自重作用下沉，发生了明显的振动. 静力平衡位置为0，右侧节点在自重作用下发生竖向振动的平衡位置约为 −0.15 m，左侧节点在振动初期的位移为正，整个振动时程的平衡位置约为 −0.01 m，中间节点振动平衡位置约为 −0.06 m，判断主梁发生了竖向 + 扭转振动.
如图3所示，在断索后第11 s，由于右侧单侧拉索发生断裂，主梁发生了明显的扭转振动.
图 3 右侧拉索34# 断索后第11 s全桥振动形状（主梁位移放大200倍）Figure 3. Vibration shape of the whole bridge after the right-side cable 34# was broken at 11 s (main girder displacement amplification of 200 times)选取断裂后右侧、左侧各个拉索，计算提取得到断索后拉索应力变化时程如图4（a）与图4（b）所示. 可以看出：34# 右侧拉索断裂后，增加的动力荷载主要被斜拉桥右侧拉索分散承担；左侧拉索增加动力荷载相对较小，离断索位置越近的右侧拉索荷载增加越大，断索冲击对靠近桥塔位置拉索影响较小.
图 4 斜拉桥右侧34# 拉索断索作用下各个拉索的应力变化Figure 4. Stress variation of each cable of cable-stayed bridge under the action of broken right-side cable 34#图4（c）对比了不同编号的右侧拉索断裂后，右侧拉索的应力增量与右侧34# 拉索断裂的差别. 可以发现：中跨最长34# 拉索断裂导致的应力增量最大；右侧34# 拉索断裂后，全桥左半跨右侧拉索受到的影响较大，离断裂的34# 拉索越远的拉索受到影响越小，拉索动态应力最大增量约为100 MPa；33# 拉索在自重静力状态下为590 MPa，增加的应力加自重静力状态应力远小于拉索的设计极限强度1860 MPa.
假设斜拉桥跨中32#～37# 双侧共12根拉索都突然断裂，计算得到断索后剩余拉索动态应力的最大值如图5所示. 由于双侧为对称布置，所以只给出右侧拉索计算结果，由图5可以看出，假定跨中两侧对称12根拉索断裂后，剩余拉索中拉索31# 的应力由约600 MPa最大增加至约1200 MPa，但仍然小于拉索的设计极限强度1860 MPa，全桥需要12根拉索以上断裂才可能达到引起连续断索的极限状态. 每根拉索相对断索前的索力都有增加.
图 5 右侧32#～37# 拉索断裂后剩余各个拉索最大应力Figure 5. Maximum stress of each cable after right-side cables 32#–37# were broken斜拉桥为高安全冗余结构，断索后其余拉索能有效地分担增加的荷载. 对于钢桁架斜拉桥，较多拉索断裂，全桥整体结构不会发生连续垮塌，与文献[16]得到的结果类似.
3. 列车作用下斜拉桥断索时动力响应
为了进一步研究断索状态下桥上列车的动力响应. 与文献[17-18，21]相同，本文计算中使用的车辆为CRH2动车组，列车编组共8节. 设置平潭桥最高列车设计速度200 km/h为列车模型速度.
列车在桥上位置与断索时刻必然有着复杂的工况组合，经过试算，本文选取的工况组合如下：
工况1：单车通过桥梁，列车靠右行驶，主梁位移最大时，右侧34# 拉索断裂.
工况2：单车通过桥梁，列车靠右行驶，第一轮对到达34# 拉索处时，右侧34# 拉索断裂.
工况3：单车通过桥梁，列车靠右行驶，第一轮对到达34# 拉索处时，左、右侧34# 拉索断裂.
工况 4：单车通过桥梁，列车靠右行驶，第一轮对达到34# 拉索处时，右侧33#、34# 拉索断裂.
工况5：双车同时对向行驶，右侧列车第一轮对到达34# 拉索处时，单侧34# 拉索发生断裂.
工况1计算结果如图6所示. 由于列车运行位置为主梁钢桁架下层，所以提取主梁跨中1/2点下层左侧、中间、右侧（列车运行侧）节点的位移响应如图6（a）所示. 可以看出，当列车运行至使主梁跨中产生最大位移时，发生断索后，由于列车靠右，且右侧34# 拉索发生断裂，主梁发生了扭转振动.
图 6 工况1中拉索发生断裂时主梁与列车1、4、8车厢动力响应Figure 6. Dynamic responses of main girder and carriages 1, 4, and 8 of train when cable breaks under condition 1由图6（b）可以看出，34# 拉索断裂后附近的右侧33# 拉索应力在断索冲击作用下发生剧烈变化，由约580 MPa达到了约690 MPa.
图6（c）中可以看出，列车车厢随主梁发生突然断索后的竖向位移响应. 由于运行位置差别，不同车厢的竖向响应有所差别. 图6（d）中可以看出，由于断索，列车的加速度发生了变化，第1节车厢竖向加速度绝对值突然变化至接近0.8 m/s2. 对比图6（e）与6（f）可知，断索导致的列车横向位移与加速度响应都相对较小.
工况2、3、4、5计算结果如图7所示，结果表明，工况4单侧断索2根的状态下，桥梁具有最大的竖向振动位移响应. 所有工况中，列车的最大竖向加速度响应约为1.5 m/s2.
图 7 工况2、3、4、5中列车1、4、8车厢动力响应以及各个拉索最大应力Figure 7. Dynamic responses of carriages 1, 4, and 8 of train under working conditions 2, 3, 4, and 5 and the maximum cable stress根据计算结果提取得到工况2、3、4、5下斜拉桥右侧拉索的最大应力如图7（i）所示. 由图7（i）可知，工况4中当右侧33#、34# 拉索同时断裂时，右侧剩余拉索在断索冲击以及列车作用下有最大的应力增量，但显然这在实际情况中发生概率极小.
如文献[23]中所述，原铁道部TB/T-2360-93关于我国铁路机车的车体振动加速度的评定标准，车体竖向加速度应当小于2.45 m/s2，横向加速度应小于1.47 m/s2. 因此，依据上述列车动力响应计算结果，断索导致的加速度突然变化可能引起列车乘客的恐慌，但桥梁上列车车厢的动力响应符合标准要求.
依据工况2计算结果，得到右侧34# 拉索断索时，主梁下层右侧34# 拉索锚固位置节点，以及列车轮对与转向架动力响应如图8所示.
图 8 工况2中断索位置主梁下层右侧节点与列车动力响应Figure 8. Dynamic responses of lower deck right node of the main girder and train at cable breaking position under working condition 2如图8（a）所示，可以发现，右侧34# 拉索断裂瞬间桥主梁上右侧轨道附近处节点的加速度相对不断索时计算结果较大，绝对值达到了约30 m/s2，传递到第1转向架上的加速度响应也大于第1节车厢的竖向加速度响应.
当拉索断裂瞬间，断索造成的冲击荷载作用导致桥梁断索位置局部发生了较高频率的微小振动. 基于现有列车模型[17-18，21]，桥梁的位移响应通过轮上减震弹簧传递到转向架再传递到车体上，结果是较为合理的. 但桥梁局部较大的加速度响应与列车高速行驶时的轮轨接触是否可能造成列车轮对与轨道在极短时间内脱离，轮轨接触的非线性作用是否可能会造成列车脱轨的危险性，需要更详细的研究.
基于以上结果，现有计算模型可能无法完全地反映拉索断裂时冲击荷载下的高速列车运行真实情况. 有必要如文献[23]使用更精细的专业列车计算模型，如：与SIMPACK软件进行联合分析或开展实验，详细研究断索脱离瞬间，高速列车通过时列车轮对与轨道接触的响应数据，以此分析断索状态下列车通过桥梁时的行驶安全性.
4. 断索后风-列车-桥梁耦合动力作用下桥梁与车辆的动力响应
由于中跨最长拉索断裂对其他拉索影响最大，本文只讨论右侧34# 拉索断裂后，桥梁处于换索维修状态时，单列列车行驶过桥的动力响应.
在图2模型中拆除34# 拉索的各个单元，使用风-车-桥耦合振动算法，桥梁各个计算参数取值与文献[17-18，21]相同. 不考虑风场作用，计算右侧34# 拉索断索、不断索列车过桥的斜拉桥动力响应，如图9所示. 图9 表明，当斜拉桥断索后处于平衡状态，列车经过时，跨中的位移响应相对不断索状态最大位移响应小于1.0 cm. 这说明大跨度斜拉桥单根拉索断裂后对全桥刚度影响较小，结构具有较高的安全冗余.
图 9 右侧34# 拉索断裂、不断裂列车过桥主梁跨中1/2点动力响应Figure 9. Dynamic responses of 1/2 point of main girder of train running on bridge under the condition of normal and broken right side cable 34#平潭桥铁路轨面设计风速为48.8 m/s，公路桥面设计风速为49.8 m/s . 文献[18]中建议大跨度公铁两用斜拉桥列车运行最大风速为25.0 m/s，所以，分别计算横向风平均风速为0、10.0、20.0、30.0 m/s作用下，斜拉桥断索后静力平衡状态下的列车过桥时，结构与列车的动力响应，如图10所示. 由图10可以看出，斜拉桥横向自振频率较低，在风场作用下，列车随主梁横向摆动，但横向加速度仍然在安全标准范围内. 右侧34# 拉索断裂后桥梁处于断索维修状态时，列车可以安全通行.
图 10 右侧34# 拉索断裂后，风-车桥耦合动力作用下，斜拉桥主梁与列车动力响应Figure 10. After cable 34# on the right side was broken, the dynamic responses of main girder and train of cable-stayed bridge under wind-vehicle-bridge coupling dynamic action5. 拉索断裂下坠计算分析
使用作者在文献[22]中开发的显式非线性有限元算法计算拉索断裂下坠轨迹. 假定右侧34# 拉索在主梁上的端部发生断裂，拉索分为80段. 拉索各个计算参数依据文献[21]设置，先使用隐式非线性有限元法计算斜拉桥与拉索自重静力状态，然后假定拉索在主梁上的端部断裂，使用显式非线性有限元法计算拉索的下坠状态.
计算得到拉索横向自振频率为0.4975 Hz，拉索在横向风荷载作用下，约1 s时达到最大振幅. 分别假定拉索在10.0、20.0、30.0 m/s横向风作用下，第1 s振幅达到最大值时端部发生断裂，风场作用方向为Z轴负方向. 使用显式有限元法计算时长6 s，时间步长取为0.000 1 s.
如图11，基于计算结果分析断索后拉索下坠运动轨迹可以发现：当风速为10.0 m/s的时候，断索后横向风不会使下坠拉索进入上层桥面边界；当风速达到20.0 m/s以上时，断索的运行轨迹进入了上层桥面边界. 所以，当考虑拉索上作用的风荷载时，拉索发生断裂后下坠的运动轨迹可能侵入上层车道，上层为汽车车道，若发生侵入可能导致事故发生.
图 11 横向风场作用下右侧34# 拉索断裂下坠运动轨迹Figure 11. Breaking and falling motion trajectory of right-side cable 34# under lateral wind field设定横向风速为30.0 m/s，与图11中计算假定相同，使用显式有限元法并打开碰撞侦测算法[20，22]，考虑断裂拉索的质点与斜拉桥主梁上层桥面发生碰撞、摩擦，计算结果如图12所示，图中红色加粗部分为断裂拉索. 由图12可知：当横向风速为30.0 m/s时，拉索断裂后，在横向风作用下坠落到桥面上，与桥面发生了碰撞，横向入侵桥面距离约为5 m. 这表明，在横向风作用下，端部断裂的拉索可能对上层车道车辆安全造成威胁，实际桥梁设计中应适当考虑防护措施.
图 12 横向风速30.0 m/s作用拉索断裂下坠第6 s位置（考虑拉索与主梁碰撞）Figure 12. Position of cable after breaking and falling at 6 s under the action of lateral wind speed of 30.0 m/s (considering the collision of cable with main girder)6. 结 论
1） 大跨度公铁两用斜拉桥由于其结构特性，通常具有较大的结构安全冗余，少量拉索断裂（2根左右）对结构的安全性影响较小. 较长且靠近跨中拉索突然断裂造成的冲击荷载较大，断索越靠近桥塔，对结构影响越小. 斜拉桥各个拉索能有效分担断索后增加的荷载，实际斜拉桥不容易出现断索极限状态导致在自重作用下的连续垮塌.
2） 对于实际大跨度公铁两用斜拉桥，在运营过程中，单根拉索突然断裂可能造成列车竖向加速度发生突变，引起乘客恐慌. 单根拉索断裂对正在桥上行驶的列车的运行安全性影响较小.
3） 大跨度公铁两用斜拉桥拉索断裂脱离瞬间，主梁受到断索冲击作用，断索处局部的振动效应会导致列车车道位置的主梁结构产生较大的加速度响应，对于刚运行至断索位置，正在桥上行驶的高速列车安全性是否会造成影响，本文认为需要使用更精细的列车计算模型或实验来开展详细研究.
4） 风-列车-桥梁耦合振动计算表明，单根拉索断裂后，对大跨度公铁两用斜拉桥的结构刚度影响较小，斜拉桥结构处于断索维修状态，可以保持列车运营.
5） 斜拉桥拉索端部发生断裂时，在较大横向风的作用下，拉索可能坠落进入主梁上层车道，需要在设计中考虑一定的安全措施 .
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图 1 平潭大桥3维有限元模型（拉索使用分段模型）
Figure 1. 3D finite element model of Pingtan Bridge （segmented cable model was used）
图 2 右侧34# 拉索断裂后各个节点振动时程
Figure 2. Vibration time history diagram of each node after the right-side cable 34# was broken
图 3 右侧拉索34# 断索后第11 s全桥振动形状（主梁位移放大200倍）
Figure 3. Vibration shape of the whole bridge after the right-side cable 34# was broken at 11 s (main girder displacement amplification of 200 times)
图 4 斜拉桥右侧34# 拉索断索作用下各个拉索的应力变化
Figure 4. Stress variation of each cable of cable-stayed bridge under the action of broken right-side cable 34#
图 5 右侧32#～37# 拉索断裂后剩余各个拉索最大应力
Figure 5. Maximum stress of each cable after right-side cables 32#–37# were broken
图 6 工况1中拉索发生断裂时主梁与列车1、4、8车厢动力响应
Figure 6. Dynamic responses of main girder and carriages 1, 4, and 8 of train when cable breaks under condition 1
图 7 工况2、3、4、5中列车1、4、8车厢动力响应以及各个拉索最大应力
Figure 7. Dynamic responses of carriages 1, 4, and 8 of train under working conditions 2, 3, 4, and 5 and the maximum cable stress
图 8 工况2中断索位置主梁下层右侧节点与列车动力响应
Figure 8. Dynamic responses of lower deck right node of the main girder and train at cable breaking position under working condition 2
图 9 右侧34# 拉索断裂、不断裂列车过桥主梁跨中1/2点动力响应
Figure 9. Dynamic responses of 1/2 point of main girder of train running on bridge under the condition of normal and broken right side cable 34#
图 10 右侧34# 拉索断裂后，风-车桥耦合动力作用下，斜拉桥主梁与列车动力响应
Figure 10. After cable 34# on the right side was broken, the dynamic responses of main girder and train of cable-stayed bridge under wind-vehicle-bridge coupling dynamic action
图 11 横向风场作用下右侧34# 拉索断裂下坠运动轨迹
Figure 11. Breaking and falling motion trajectory of right-side cable 34# under lateral wind field
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