传统优化方法通常不能有效解决具有非线性、不可微或目标函数非凸等特点的复杂优化问题. 而元启发式算法^[1]在这类优化问题中却表现出优越性能. 因此，元启发式算法受到学界和工程应用界学者们广泛关注，现已成为当前解决复杂优化问题的主流方法. 近40年来，元启发式算法的设计研究得到了迅猛发展，特别是本世纪初的20年，几乎平均每月会有一个“新”的元启发式算法被提出. 然而，这一时期呈现出一个令人担忧的不良现象：大量“新”算法的启发源虽然不同，操作算子的数学表达式相似度却较高. 本文认为这一重复研究现象得以持续泛滥的根本原因在于大量元启发式算法与其启发源之间松散的关系，即两者之间没有一一对应的严密理论逻辑. 与这种松散联系截然不同的是一类基于数学模型的演化算法（EAM），其繁殖算子是由某个数学模型经过严密的理论推导出的结果，在作为启发源的数学模型与优化算法之间存在一一对应的紧密联系.

EAM算法的计算流程遵循经典演化算法框架，即在种群初始化后，通过迭代繁殖和选择操作来达到寻优目的. 该类算法的标志性特征是基于某数学模型的推理得到繁殖算子. 目前，已提出EAM算法共分为6类：Larranaga等^[2]1996年提出了分布估计算法（EDA），采用统计学习手段从群体宏观角度建立一个描述解分布的概率模型，然后对概率模型随机采样，产生新的种群，以此实现种群进化；Hansen等^[3]提出协方差矩阵自适应进化策略（CMA-ES），采用多维正态分布中的协方差矩阵来表示群体变异的方向和强度，依据当前代最优个体与前一代种群均值之间的关系更新协方差矩阵，来调整整个种群变异方向；Mirjalili^[4]2016年提出了正弦余弦算法（SCA），利用正弦余弦函数的周期性质，使得解震荡性趋于全局最优，通过自适应参数和随机性参数较好地平衡了算法的探索和开发能力；Hu等^[5] 2020年提出了灰色预测演化算法（GPE），该算法把种群演化过程看作一个时间序列，将无序的原始数据转化为具有近似指数函数性质的序列，通过构造一个指数函数来预测后代. 目前被用于导出繁殖算子的灰色预测模型有均值灰色模型、多变量灰色模型^[6]、加速均值灰色模型^[7]和均值差分模型^[8]，该类算法已被改进，并应用于求解环境工程调度和多模态多目标等复杂优化问题^[9-11]. Ahmadianfar等^[12]提出了梯度优化算法（GBO），其设计灵感来源于基于梯度的牛顿搜索方法，使用梯度搜索规则（GSR）和局部逃逸算子（LEO）分别达到加快收敛速度和逃脱局部最优的目的；Gao等^[13]2021年提出了线性预测演化算法（LPE），利用线性最小二乘拟合模型，对3个连续种群中随机选取的3个个体分别在每个维度上进行线性拟合.

与上述算法启发源所使用的数学模型不同，本文首次将方程求根的迭代思想引入优化领域. 将启发式算法演化寻优过程看作是方程迭代求解的逐步显示化过程，即把不动点作为优化问题的最优值点，方程近似解作为种群个体，并提出一种新的演化算法，即不动点演化算法（FPEA）. FPEA繁殖算子是由Aitken加速的不动点迭代模型导出的二次多项式.

仅考虑算法一次迭代过程中模型本身计算复杂度，已有的前5类EAM算法分别涉及概率模型、协方差矩阵、三角函数、指数函数和Hessian矩阵求逆的运算，其运算均需花费较大计算开销. 而FPEA的每次迭代是计算一个二次函数，其计算开销比以上5种模型都小. 此外，LPE算法的每次迭代是线性函数计算，收敛速度较快，但易陷入局部最优. 虽然，FPEA二次函数运算的计算开销大于线性函数，却在一定程度上平衡了算法的勘探和开发能力. 为验证FPEA的可行性，本文在CEC2014、CEC2019测试集和4个工程约束设计问题上分别对FPEA进行对比实验.

1.   基础知识

迭代法是一种求解非线性方程基础且实用的方法，利用迭代公式反复校正方程的近似解，以此逐步逼近方程的根. 本节将介绍Aitken加速法^[14]. 非线性方程如式（1）所示.

将式（1）改写成等价形式$x = \varphi \left( x \right)$，$\varphi\left(x\right)$为等价变换的辅助函数，其迭代式为${x_k} = \varphi \left( {{x_{k - 1}}} \right)$，x_k为第k次迭代结果，k=1,2,…. 若产生的序列$\left\{ {{x_k}} \right\}$收敛，设其极限为${x_{\mathrm{o}}}$，即$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_k} = {x_{\mathrm{o}}}$，则称${x_{\mathrm{o}}}$为$\varphi (x)$的不动点，也是式（1）的根. 采用Aitken加速法对以上不动点基本迭代过程进行加速. 由微分中值定理，可得式（2）、（3）.

式中：${\xi _1}$为介于${x_k}$与${x_{\mathrm{o}} }$之间的不确定数，${\xi _2}$为介于${x_{k + 1}}$与${x_{\mathrm{o}} }$之间的不确定数.

假定$\varphi'\left(\xi_1\right)$、$\varphi'\left(\xi_2\right)$相差不大，令$\varphi '\left( {{\xi _1}} \right) \approx \varphi '\left( {{\xi _2}} \right)$，记为L，可得式（4）、（5）.

联立式（4）、（5），可得式（6）.

由此可得式（7）.

记

式中：${{{\bar x}_k}}$作为不动点${x_{\mathrm{o}}}$的新近似值序列.

一般情况下，序列${{{\bar x}_k}}$比$\left\{x_k\right\}$以更快的速度收敛于${x_{\mathrm{o}}}$. 式（8）为Aitken加速法的数学表达式.

2.   不动点演化算法的步骤与分析

2.1   算法步骤

2.1.1   种群初始化

FPEA在可行域内初始化3代种群，每代种群有N个个体. 第i个个体表示为${\boldsymbol{x}}_{G,i} = ( x_{G,i,1},\;x_{G,i,2},\; \cdots, \; x_{G,i,D} )$，其中，G为当前种群代数，G=0,1,2；i=1,2,$\cdots$, N，N为种群规模；D为个体维度. 第G代种群表示为${{\boldsymbol{X}}_{{G}}} = \left( {{\boldsymbol{x}}_{G,1},\;{\boldsymbol{x}}_{G,2},\; \cdots ,\;{\boldsymbol{x}}_{G,N}} \right)$. 随后根据适应度值对3N个个体进行排序，适应度值最小的N个个体组成第1代种群${{\boldsymbol{X}}_0}$，适应度值最大的N个个体组成第3代种群${{\boldsymbol{X}}_2}$，剩余N个个体组成第2代种群${{\boldsymbol{X}}_1}$.

初始化过程使用均匀分布随机生成可行域内潜在个体，如式（9）所示.

式中：r为服从均匀分布U[0,1]的随机数；U_m、L_m分别为第m维元素的上边界和下边界，m=1, 2, $\cdots$, D.

2.1.2   繁殖操作

FPEA利用基于Aitken加速的不动点迭代模型构造繁殖算子，从而产生候选解集. 将${{\boldsymbol{X}}_{\boldsymbol{G}}}$视为目标种群，3个相邻种群${{\boldsymbol{X}}_{G - 2}}$、${{\boldsymbol{X}}_{G - 1}}$、${{\boldsymbol{X}}_{G}}$（G≥2）构成一个种群序列. 从种群${{\boldsymbol{X}}_{G - 2}}$、${{\boldsymbol{X}}_{G - 1}}$、${{\boldsymbol{X}}_{G}}$（G≥2）中依次随机选取一个个体，分别记为${\boldsymbol{x}}_{{{{G - 2}}},{{r1}}}$、${\boldsymbol{x}}_{{{{G - 1}}},{{r2}}}$、${\boldsymbol{x}}_{{{G}},{{r3}}}$. 所选3个个体作为目标种群${{\boldsymbol{X}}_{{G}}}$中${\boldsymbol{x}}_{G,i}$的父代，其第m维分别表示为$x_{G-2,r1,m}$、$x_{G-2,r1,m}$、$x_{G-2,r1,m}$. 令${x_k} = x_{{G - 2},r1,m}$，${x_{k + 1}} = x_{{G - 1},r2,m}$，${x_{k + 2}} = x_{G,r3,m}$，并引入松弛因子$\lambda$，从而得到FPEA繁殖算子$v_{G,i,m}$，如式（10）所示.

通过式（10）可得中间种群${{\boldsymbol{V}}_{{G}}}$，第i个个体可表示为$\boldsymbol{v}_{G,i}=\left(v_{G,i,1},\; v_{G,i,2},\; \cdots,\; v_{G,i,D}\right)$，${\boldsymbol{v}}_{G,i,D}$为V_G的第i个个体第D个维度的值. 若${{\boldsymbol{V}}_{{G}}}$中有个体超出可行域，则超出可行域的个体将根据式（9）重新赋值. 值得一提的是，所有对繁殖算子的计算都是在种群中个体的元素水平上进行. 为增加种群多样性，${{\boldsymbol{V}}_{{G}}}$和${{\boldsymbol{X}}_{{G}}}$根据式（11）进行交叉操作，得到试验种群$\boldsymbol{U}_G= (\boldsymbol{u}_{G,1},\; \boldsymbol{u}_{G,2},\; \cdots,\; \boldsymbol{u}_{G,N})$.

式中：$\boldsymbol{u}_{G,i}$为种群${\boldsymbol{U}}_G$的第i个个体；$C_{\mathrm{R}}$为交叉概率，$C_{\mathrm{R}} \in [0,1]$；randn(i)为第i个随机整数，取值范围为[1, N].

2.1.3   选择操作

FPEA采用贪婪算法选择算子作为更新机制. 对最小化问题而言，如果试验个体${\boldsymbol{u}}_{{{G}},{i}}$的目标函数值$f({\boldsymbol{u}}_{G,i})$小于目标个体${\boldsymbol{x}}_{{{G}},{{i}}}$的目标函数值$f({\boldsymbol{x}}_{G,i})$，则选择试验个体${\boldsymbol{u}}_{{{G}},{i}}$进入下一代，从而产生新种群$\boldsymbol{X}_{G+1}$，如式（12）所示.

2.2   分析与讨论

2.2.1   FPEA繁殖算子

FPEA繁殖算子可作为一个由Aitken加速的不动点迭代模型导出的二次多项式. 图1展示了二维决策变量空间下FPEA的繁殖过程. 设FPEA的种群仅由1个2维个体组成，横轴${x_{i,1}}$与纵轴${x_{i,2}}$表示种群中个体的2个维度，并分别建立基于Aitken加速的不动点迭代模型. 函数$y = f(x)$在2个维度上的不动点分别为$x_{{\mathrm{o}},i,1}$、$x_{{\mathrm{o}},i,2}$，取值均为0. 因此，将优化问题的最优值点表示为${x_{\mathrm{o}}}(0,0)$. 从种群序列${{\boldsymbol{X}}_{{{G}} - 2}}$、${{\boldsymbol{X}}_{{{G}} - 1}}$、${{\boldsymbol{X}}_{{G}}}$（G≥2）中依次随机选取1个个体，分别表示为点$x_{{G - 2},r1}（x_{{G - 2},r1,1},x_{{G - 2},r1,2}）$、$x_{{G - 1},r2}（x_{{G - 1},r2,1}, x_{{G - 1},r2,2}）$、$x_{G,r3}（x_{G,r3,1},x_{G,r3,2}）$，将其第1维和第2维的值分别进行式（10）的繁殖算子的计算，得到试验个体2个维度的值分别为$v_{G,i,1}$和$v_{G,i,2}$，即试验个体可表示为点$v_{G,i}（ {v_{G,i,1},v_{G,i,2}} ）$.

图  1  FPEA的繁殖过程

Figure  1.  Reproductive process of FPEA

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如图1所示，个体第1维的值为$x_{{G - 2},r1,1} = 0.70$，$x_{{G - 1},r2,1} = - 0.75$，$x_{G,r3,1} = 0.50$，第2维的值为$x_{{G - 2},r1,2} = 0.90$，$x_{{G - 1},r2,2} = - 0.70$，$x_{G,r3,2} = 0.50$，通过式（10）计算得到$v_{G,i,1} = - 0.39$，$v_{G,i,2} = - 0.38$. 结合图1中Lyapunov函数的等值线可以看出，点$v_{G,i}$比点$x_{{G - 2},r1}$、$x_{{G - 1},r2}$、$x_{G,r3}$更靠近最优值点.

2.2.2   对应关系

从整体来看，方程求根的迭代过程（即不动点的逐步显示化）与FPEA的种群迭代寻优过程相对应，也就是说，方程的近似解、不动点分别对应FPEA中种群的个体、最优值点，对应关系如图2所示.

图  2  基于Aitken加速的不动点迭代模型与FPEA的对应关系

Figure  2.  Corresponding relation between the fixed point iteration model based on Aitken method and FPEA

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2.2.3   松弛因子$\lambda$

松弛技术是算法设计中控制收敛速度和改善收敛条件一种简单有效的方法，合理使用可得到更高精度的优化结果. 该技术在传统优化方法和启发式优化算法的设计中已经得到广泛应用. 例如：求解非线性方程组的牛顿下山法中的下山因子和求解线性方程组的逐次超松弛迭代法（SOR）^[15]中的松弛因子；又如，回溯搜索优化算法（BSA）^[16]和差分演化算法（DE）^[17]的变异操作中的变异系数等. 松弛因子的作用是控制变量的变化范围，即松弛因子的取值不同，变化量也会随之改变.

在FPEA繁殖算子中，松弛因子$\lambda$的引入可以调节变量的变化范围，从而获得变化范围内效果较好的值，达到一定的松弛效果. 通过试验验证，建议FPEA中松弛因子$\lambda$的取值范围为$\left[2/3,3/2\right]$，$\lambda$为1.4时达到最好的收敛效果.

3.   实验结果与分析

为验证FPEA的有效性，本文在2组基准测试函数上（CEC2014和CEC2019测试集）对FPEA的性能进行测试，将所得结果与2个应用广泛的经典启发式算法（差分进化算法（DE）^[17]和粒子群优化算法（PSO）^[18]）、2个同是基于数学模型的启发式算法（灰色预测算法（GPE）^[5]和基于加速均值灰色模型的灰色预测演化算法（GPEae）^[7]）和2个最新的启发式算法（人工水母搜索优化算法（JS）^[19]和天鹰优化算法（AO）^[20]）进行比较. 此外，在4个工程约束设计问题中，FPEA与近年来达到较高性能的算法优化结果作对比，以评估FPEA解决实际优化问题的能力. 以下将对实验结果进行详细地对比和分析.

本文实验环境. 所有程序均在CPU为AMD Ryzen 5 3500U Radeon Vega Mobile Gfx （2.10 GHz）和8 GB RAM的计算机上实现. 在Windows 10操作系统下采用MATLAB 2016a编程语言.

3.1   实验设置

3.1.1   基准测试函数

CEC2014测试集由F1～F30共30个不同特点的函数组成. 本文针对该测试集测试10维和50维2个维度，并将最大函数评估次数F_ES分别设置为100000次和500000次. CEC2019测试集包含F31～F40共10个函数，其中，F31、F32、F33测试的维度分别为9、16、18维，F34～F40测试的维度均为10维. 为了实验的公平性，2组测试集的种群总体规模均设置为50. 根据这2个测试集的实验设置要求，本文主要采用误差值（F（x*）−F（x_o））的最优值、平均值和标准差3个指标衡量算法的寻优能力，其中：F（x*）是由最优解x*求得的函数值，F（x_o）是全局最优的函数值，且每个算法的独立运行次数分别设置为51次和50次. 与此同时，采用显著性水平为5%的Wilcoxon秩和检验来判断算法间的差异.

由于DE的原始参数在CEC2014和CEC2019上的实验结果都不理想，本文通过正交实验优化DE的2个参数. 为保证实验的公平性，采用与DE相同的方法选择FPEA的最优参数对. 具体的方法如下：首先，测试算法对其2个参数的敏感度；其次，固定敏感度较低的参数，并选取最优值平均排名最高的该参数值；最后，将未固定参数的待取值与已固定的参数值一一组合成不同的参数对，通过实验选择最优值平均排名最高的参数对. PSO、GPE、GPEae、AO参数设置与其原始文章一致. JS除种群大小和迭代次数外，没有其他参数，其他算法的参数设置如表1所示.

表  1  算法的参数设置

Table  1.  Parameter settings of algorithms

算法	参数
DE	缩放因子 F 为 0.6，交叉概率 CR 为 0.8
PSO	学习因子 c1 、 c2 均为 2.0，惯性因子 w 为 1.0
GPE	发展系数 th 为 0.01
GPEae	发展系数 th 为 0.01
AO	开发调整参数 α 、 δ 均为 0.1
FPEA	松弛因子 λ 为 1.4，交叉概率 CR 为 0.8

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3.1.2   工程约束设计问题

本文应用FPEA解决三杆桁架、焊接梁、齿轮组以及管形柱4个具有不等式约束或等式约束的工程约束设计问题. 每个算法独立运行50次得到FPEA的实验数据，包括最优值、平均值、最差值、标准差和最大函数评估次数. 4个工程约束设计问题的参数设置如表2所示.

表  2  FPEA关于4个工程约束设计问题的参数设置

Table  2.  Parameter setting of FPEA on four engineering constraint design problems

工程约束 设计问题	种群 大小/个	最大迭代 次数/次	优化参数 数量/个
三杆桁架	20	500	2
焊接梁	20	2000	4
齿轮组	20	500	4
管形柱	20	2000	2

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3.1.3   评价标准

通常从算法的求解精度、收敛速度和鲁棒性3个方面评价算法的综合性^[21-22]. 因此，本文将以上3个方面作为评价标准. 误差的最小值（即最优值）反映算法的求解精度. 算法的收敛速度可以直接从收敛图中观察得到，也可以反映在迭代结束时得到的FEs值中. 最差值、平均值和标准差反映算法的鲁棒性. 对于最小化问题而言，算法所得的最优值、FEs值、最差值、平均值和标准差越小，求解精度越高，收敛速度越快，鲁棒性越强.

3.2   基准测试函数实验结果分析

3.2.1   CEC2014统计结果

表3及表4分别记录最优值、平均值、标准差3个指标下FPEA与其他6个比较算法分别在CEC2014的10维（D=10，D为函数集的维度）和50维（D=50）的平均排名，并使用粗体突出显示各项指标的最优结果（表5～10同理）. 完整的实验数据展示在附加材料中. 为更直观地显示不同算法的收敛速度，图3提供了6个有代表性函数的收敛曲线. 图中，CEC2014-10D-F7表示在基准函数集CEC2014中第10维上的第7个函数，其余释义类似.

表  3  在CEC2014的10维上，DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA的比较

Table  3.  Comparison of average rankings of DE, PSO, GPE, GPEae, AO, JS, and FPEA on 10-dimensional CEC2014 benchmark functions

算法	最优值	平均值	标准差
DE	2.93	2.60	2.10
PSO	5.57	5.63	5.47
GPE	4.27	4.40	4.30
GPEae	3.53	3.80	4.33
AO	5.63	5.57	5.07
JS	3.37	3.17	3.70
FPEA	2.20	2.33	2.83
注：D=10，FES=100000.

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表  6  Wilcoxon秩和检验结果

Table  6.  Wilcoxon rank sum test results

算法	正秩和	负秩和	显著性水平	是否接受假设
DE	1013	1198	5.55×10−1	否
PSO	2139	346	1.55×10−7	是
GPE	1847	568	1.32×10−4	是
GPEae	1939	476	1.20×10−5	是
AO	1884	601	1.74×10−4	是
JS	1597	888	3.80×10−2	是

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表  7  三杆桁架设计问题统计结果比较

Table  7.  Comparison of results on the three-bar truss design problem

算法	最优值	平均值	最差值	标准差	最大函数评估次数/次
CSA	263.895843	263.895843	263.895843	1.01×10−10	25000
BSA	263.895843	263.895843	263.895845	2.64×10−7	13720
SAR	263.895843	263.895843	263.895843	2.68×10−14	7000
BSAISA	263.895843	263.895843	263.895843	5.75×10−13	8400
GPE	263.895713	263.897016	263.907528	2.20×10−3	10000
GPEae	263.895712	263.896676	263.901731	1.40×10−3	7700
FPEA	263.895711	263.895711	263.895711	1.22×10−11	6520

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表  8  焊接梁设计问题统计结果比较

Table  8.  Comparison of results on the welded beam design problem

算法	最优值	平均值	最差值	标准差	最大函数评估次数/次
TEO	1.725284	1.768040	1.931161	5.82×10−2	20000
IAFOA	1.724856	1.724856	1.724856	8.99×10−7	240000
DDB-BC	1.724852	1.724855	1.724890	6.97×10−6	18000
CSA	1.724852	1.724852	1.724852	1.19×10−15	100000
GPE	1.724851	1.725037	1.732281	1.10×10−3	36100
GPEae	1.724851	1.724914	1.727964	4.40×10−4	35860
FPEA	1.724851	1.871685	3.062050	2.70×10−1	17780

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表  9  齿轮组设计问题统计结果比较

Table  9.  Comparison of results on the gear train design problem

算法	最优值	平均值	最差值	标准差	最大函数评估次数/次
ALO	2.70×10−12				120
ABC	2.70×10−12	3.60×10−10		5.52×10−10	60
CSA	2.70×10−12	2.06×10−9	3.20×10−8	5.10×10−9	100000
GPE	2.70×10−12	6.88×10−10	3.45×10−9	8.76×10−10	900
GPEae	2.70×10−12	1.17×10−9	1.12×10−8	1.77×10−9	1060
FPEA	2.70×10−12	1.71×10−9	1.83×10−8	3.53×10−9	640

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表3统计结果显示，FPEA的最优值为2.20，排在第1位，随后依次是DE （2.93）、JS （3.37）、GPEae （3.53）、GPE （4.27）、PSO （5.57）和AO （5.63）. 从表4可以看出，最优值表现最好的仍然是FPEA （2.80）. 因此，FPEA在7个对比算法中求解精度最高. 与此同时，FPEA的平均值在10维和50维均第1，可见FPEA的稳健性在测试的2个维度上均优于其余6个比较算法. 对于标准差而言，FPEA在10维和50维的排名均仅次于DE，排名第2. 即使维度由10维变为50维，待优化函数的难度增大，求解更困难，但FPEA仍然具有显著的性能优势.

表  4  在CEC2014的50维上，DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA的比较

Table  4.  Comparison of average rankings of DE, PSO, GPE, GPEae, AO, JS, and FPEA on 50-dimensional CEC2014 benchmark functions

算法	最优值	平均值	标准差
DE	3.33	2.97	2.20
PSO	5.00	5.00	4.93
GPE	4.20	4.40	5.23
GPEae	4.73	5.10	5.03
AO	4.43	4.27	4.27
JS	3.30	3.20	3.33
FPEA	2.80	2.87	3.00
注：D=50，FES=500000.

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图3直观地显示了FPEA在求解精度上的优势. 特别地，图3中（b）、（e）所示的收敛过程表明DE、PSO、GPE、GPEae、AO和JS在CEC2014-10D-F13和CEC2014-50D-F15易陷入局部最优，而FPEA具有更强的跳出局部最优的能力，获得更好的最优值. 与此同时，从图3（c）、（f）可以看出，与其他6个算法相比，FPEA能够以更快的收敛速度得到更好的最优值. 基于以上分析得出，FPEA并不是在所有性能指标上都表现最好，在CEC2014中其综合性能优于DE、PSO、GPE、GPEae、AO和JS.

图  3  在CEC2014上，DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA的收敛曲线

Figure  3.  Convergence curves of DE, PSO, GPE, GPEae, AO, JS, and FPEA on CEC2014 benchmark functions

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3.2.2   CEC2019统计结果

表5给出DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA在CEC2019上各项指标的平均排名. 完整的统计结果展示在补充材料中. 图4显示3个代表性函数的收敛曲线图，能够更直观地看出算法的收敛速度.

表  5  在CEC2019上，DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA的平均排名比较

Table  5.  Comparison of average rankings of DE, PSO, GPE, GPEae, AO, JS, and FPEA on CEC2019 benchmark functions

算法	最优值	平均值	标准差
DE	5.30	4.10	2.40
PSO	5.60	6.10	5.70
GPE	3.60	4.10	4.60
GPEae	3.20	4.30	5.10
AO	4.80	4.40	3.90
JS	2.50	2.10	3.10
FPEA	2.30	2.30	3.20

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观察表5可知，FPEA最优值的平均排名在7个比较算法中排名第1. 此优势表明，FPEA的求解精度在这10个函数上明显优于另外6个算法. 此外，FPEA平均值和标准差的平均排名分别排在第2和第3，可见在CEC2019上FPEA的鲁棒性具有较强的竞争力. 由图4（a）可知，与其他6个算法相比，FPEA求解精度和收敛速度方面表现出竞争优势. 图4（b）、（c）可以看出FPEA在CEC2019-F39和CEC2019-F39上具有跳出局部最优的能力. 以上实验结果表明，FPEA在CEC2019上具有优良的综合性能.

3.2.3   Wilcoxon秩和检验

为判断算法间的差异是否足够显著，本文采用Wilcoxon秩和检验的方法. 首先设置一个假设，即FPEA和与之比较的算法之间无显著差异，当p值小于0.05时拒绝零假设. 选择FPEA和另外6个比较算法在70个函数（包括CEC2014的10维和50维各30个函数以及CEC2019的10个函数）上的平均值作为评估数据. 由表6可知，在5%的显著性水平上（$\alpha = 0.05$），FPEA的性能明显优于PSO、GPEae、GPE、AO和JS，但和DE无显著差异.

3.3   工程约束设计问题结果分析

1） 三杆桁架设计问题

目前已有多种方法用于解决三杆桁架设计问题，如CSA^[23]、MBSA^[24]、SAR^[25]、BSAISA^[24]、GPE和GPEae. 该问题的详细描述见文献[8]. FPEA和以上6个算法的统计结果如表7所示. 该问题的最优值由FPEA得出，为263.895711，可见FPEA对于其他6个比较算法而言，具有更高的求解精度. 由表7可知，FPEA的平均值和最差值均优于其他算法. CSA、SAR、BSAISA和FPEA的标准差较其他3个算法表现更好，其中FPEA所需的最大函数评估次数最少. 可见FPEA无论是求解精度、收敛速度和鲁棒性都有令人满意的表现.

图  4  在CEC2019上，DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA的收敛曲线

Figure  4.  Convergence curves of DE, PSO, GPE, GPEae, AO, JS, and FPEA on CEC2019 benchmark functions

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2） 焊接梁设计问题

表8显示了由FPEA和其他6个算法解决焊接梁设计问题所得的统计结果，包括TEO^[26]、CSA、IAFOA^[27]、DDB-BC^[28]、GPE、GPEae. 该问题的详细描述见文献[8]. 由表8可知，只有GPE、GPEae和FPEA能找到这个问题的最优值，虽然FPEA的平均值、最差值和标准差均略差于GPE和GPEae，但FPEA要求的最大函数评估次数优于GPE和GPEae. 根据上述比较结果可以看出，在7个比较算法中，FPEA与同是基于数学模型的演化算法GPE和GPEae的求解精度最高，但FPEA的收敛速度比GPE和GPEae更快.

3） 齿轮组设计问题

将ALO^[29]、ABC^[10]、CSA、GPE和GPEae 5个算法的结果与FPEA的进行比较，以解决齿轮组设计问题，相应的统计结果见表9. 该问题的详细描述见文献[8]. 观察表9发现，所有算法都能找到最优函数值，即2.70×10⁻¹². 对于平均值和标准差而言，FPEA表现一般，优于ALO和CSA，略差于ABC、GPE和GPEae. 除ALO和ABC外，FPEA的最大函数评估次数显著优于其余3个算法. 在同是基于数学模型的演化算法比较中，虽然FPEA的鲁棒性不及GPE和GPEae，但FPEA能以更快的收敛速度达到与GPE和GPEae相同的求解精度.

4） 管形柱设计问题

应用于管形柱设计问题的算法包括CS^[30]、SAR、CSA、GPE、GPEae和FPEA，表10显示相应的统计结果. 该问题的详细描述见文献[30]. 由表10可知，GPE、GPEae和FPEA取得的最优值最小，即求解精度最高，说明基于数学模型的演化算法在求解该问题时优势明显. 其中，GPE和FPEA的平均值、最差值和标准差均优于GPEae，可见GPE和FPEA的搜索性能无明显差异. 但FPEA的最大函数评估次数为6360 次，远远优于GPE （20400 次）. 因此，FPEA在该问题上的综合性能优于其他2个基于数学模型的演化算法GPE、GPEae.

表  10  管形柱设计问题统计结果比较

Table  10.  Comparison of results on the tubular column design problem

算法	最优值	平均值	最差值	标准差	最大函数评估次数/次
CS	26.532170	26.535040	26.539720	1.93×10−3	15000
SAR	26.531328	26.531328	26.531328	1.51×10−7	4000
CSA	26.532170	26.535040	26.539720	1.93×10−3	15000
GPE	26.531312	26.531312	26.531312	3.59×10−15	20400
GPEae	26.531312	26.531330	26.532191	1.24×10−4	18300
FPEA	26.531312	26.531312	26.531312	3.59×10−15	6360

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3.4   实验结果讨论

综合考虑上述所有实验的结果，从求解精度、收敛速度和鲁棒性3个方面进一步分析FPEA的综合性能.

1） 求解精度. 如表3～5所示，FPEA在2组测试集上的最优值平均排名均为第1. 与此同时，FPEA可达到本文中4个工程约束设计问题的当前最优值（见表7～10）. 因此，FPEA在求解精度方面表现出明显的优势.

2） 收敛速度. 由图3和图4的算法收敛曲线可以看出，在2组测试集上FPEA较其余6个算法有较快的收敛速度. 由表7～10可知，FPEA在4个工程约束问题中的2个问题获得了最小的FEs值. 值得一提的是，FPEA的FEs值在4个工程约束问题中均比GPE、GPEae的小，可见FPEA的收敛速度比同是基于数学模型的演化算法GPE、GPEae快.

3） 鲁棒性. 综合表3～5的实验结果，在4个比较的算法中，FPEA平均值和标准差的平均排名在CEC2014上分别为第1和第2，在CEC2019上分别为第2和第3. 特别地，注意到DE在2个测试集中标准差的平均排名均为第1，可见其鲁棒性比FPEA强. 但是，FPEA平均值和标准差的平均排名均优于GPE和GPEae，可见FPEA的鲁棒性比同是基于数学模型的演化算法GPE和GPEae的强. 此外，FPEA在焊接梁和齿轮组设计问题上获得的最差值、平均值和标准差与其他算法相比表现一般，在其余2个问题上体现出较强的鲁棒性. 综上，FPEA的鲁棒性具有一定的竞争力.

以上分析表明，FPEA作为一种用于解决全局优化问题的启发式优化算法，在基准函数和实际应用方面均具有优良的性能.

4.   结　论

本文提出一种新的启发式优化算法——不动点演化算法（FPEA），该算法是方程求根的迭代思想应用到启发式优化算法设计的首例. FPEA将优化问题中的最优值点与方程不动点相对应，采用基于Aitken加速的不动点迭代模型导出的二次多项式作为繁殖算子来产生后代. 利用2组测试集和4个工程约束问题对FPEA的搜索性能进行测试. 实验结果表明，FPEA的求解精度、收敛速度和鲁棒性均有很强的竞争力. 可见FPEA是解决复杂优化问题的一种有潜力的基于数学模型的演化算法.

未来将探索FPEA更广泛的应用场景，可采用算子杂交、参数控制和自适应策略等有效方法来改进FPEA，从而不断地提高该算法的搜索性能. 此外，如何在保证求解精度的前提下，提高FPEA的鲁棒性，也是今后研究的一个重要方向.

备注 附加材料在西南交通大学学报官网或中国知网本文详情页中获取.

致谢：生物地质与环境地质国家重点实验室开放基金（GBL21801）.