Fixed Point Evolution Algorithm
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摘要:
为设计高效稳定的演化算法，将方程求根的不动点迭代思想引入到优化领域，通过将演化算法的寻优过程看作为在迭代框架下方程不动点的逐步显示化过程，设计出一种基于数学模型的演化新算法，即不动点演化算法 （fixed point evolution algorithm，FPEA）. 该算法的繁殖算子是由Aitken加速的不动点迭代模型导出的二次多项式，其整体框架继承传统演化算法（如差分演化算法）基于种群的迭代模式. 试验结果表明：在基准函数集 CEC2014、CEC2019上，本文算法的最优值平均排名在所有比较算法中排名第1；在4个工程约束设计问题上，FPEA与CSA、GPE等多个算法相比，能以较少的计算开销获得最高的求解精度.
Abstract:In order to design an efficient and robust evolution algorithm, the fixed point iteration idea in solving equations was first introduced into the optimization field. The optimization process of an evolution algorithm was regarded as the gradual display process of the fixed point of an equation in an iterative framework. On this basis, a novel evolution algorithm based on a mathematical model was developed, named fixed point evolution algorithm (FPEA). The reproduction operator of FPEA is a quadratic polynomial which is derived from a fixed point iteration model with the Aitken method. The overall framework of FPEA inherits the population-based iterative model of traditional evolution algorithms such as differential evolution algorithm. The experimental results show that the average ranking of the optimal value of FPEA ranks first among all the compared algorithms on benchmark functions CEC2014 and CEC2019. The proposed algorithm can achieve the highest solution accuracy with a low computational overhead on four engineering constraint design problems among the compared algorithms including CSA and GPE.
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高速磁浮列车速度快、安全舒适、维保成本低，可实现大城市之间和综合经济区之间的快速通勤[1]. 高速磁浮通过电磁力约束实现无接触运行，摆脱了传统轨道交通的弓网关系与轮轨关系，有潜力成为陆地交通系统中速度最快的运输方式[2-3].
常导高速磁浮列车采用电励磁长定子直线同步电机（LSM）实现推力输出[3]. 磁浮列车高速时，采用基于反电动势的无传感器控制策略，实现电流与速度闭环控制[5]；零速与低速时，采用齿槽检测与标志板结合的定位测速系统检测磁极相角（PRW）[1]，此时动子磁链的变化率小，且反馈电流信噪比低，通过反电动势难以估计电角度信息；当零速与低速时定位测速传感器失效，列车丢失电角度无法实现电流与速度闭环. 因此，研究磁浮列车零速与低速无传感器（以下统称零低速无传感）控制方法具有一定的实用意义.
传统的零低速无传感技术利用动子凸极性，通过增加外部激励信号跟踪动子位置，即脉冲宽度调制（pulse width modulation, PWM）激励法和高频信号注入法. 注入信号类型多样，有正弦信号、脉振信号以及随机信号（变频率、变幅值、变相位），按注入轴系主要有高频旋转电压和高频脉振电压注入[6]. 旋转电压法注入到α、β轴，通过提取高频响应电流信号负序分量，再采用跟踪观测器、同步轴系滤波器等方法解调[7]，得到动子位置信息. 脉振电压法分为脉振正弦和脉振方波2类信号[8]，信号从d轴注入，通过解调高频响应信号得到基波分量和高频分量，分别实现闭环控制和角度信息估算. 脉振正弦信号分离需要多个滤波器，应用受限于系统带宽；脉振方波注入频率可接近开关频率，且信号分离可以忽略滤波器的影响. 然而，面向高速磁浮与轨道交通等大功率电传动系统，传统高频注入方法往往忽略控制与采样电路延时问题，尤其是在低开关频率下[9]，若不对延时引起的相移补偿[10-11]，位置估计累积误差将导致闭环控制失步或错步等故障.
针对上述基于延时的相移滞后问题，国内外学者展开了大量研究工作. 如：针对大功率电机驱动系统低采样、低开关频率导致的延时及交叉耦合增大和系统稳定性与动态性降低，采用复矢量设计电流控制器[12]；考虑控制延时与PWM生成延时导致的比例积分（PI）控制器参数失配，通过重新设计参数区间，提升驱动系统的相位裕度和带宽[13]；考虑开关管开关延时，采用在dq控制回路中增加前馈扰动观测器来实现补偿，提高位置估计精度[13,15]. 为补偿位置滞后，通过计算q轴电流误差来设计位置估计算法[16-17]，通过欧拉预测计算q轴电压误差来估计开关管工作时间[18]；为抑制控制延时对磁浮列车电流控制性能的影响，一种预测电流控制器被提出[19-20]，为逆变器提供弱化延时影响的开关信号；为抑制低开关频率下控制延时对轨道交通列车无传感控制精度的影响，一种基于梯度下降法的高频注入延时补偿方法被提出[21]. 然而，针对磁浮列车零低速无传感控制，考虑延时导致的相移补偿研究较少.
本文针对磁浮列车零低速高频信号注入无传感控制忽略大功率驱动系统控制延时和采样电路延时的影响，导致高频响应电流电角度相位滞后与速度跟踪误差累积的问题，提出考虑相位滞后补偿的高频信号注入无传感器控制方法. 通过搭建短行程磁浮电机试验平台，验证所提控制方法的正确性.
1. 长定子同步直线电机高频模型
1.1 高频基波模型
常导高速磁浮列车运行推力和悬浮力都与悬浮磁场相关，该磁场大小由悬浮间隙与励磁电流决定，悬浮电磁铁既是悬浮力输出来源，也是LSM的动子部分. LSM定子部分由长1 032 mm的定子模块与三相电枢波绕组构成；动子模块由10个整磁极和2个半磁极总长3 096 mm电磁铁构成，其中头尾车厢每侧包含7.5个标准悬浮电磁铁模块，中间车厢为8个，如图1所示.
列车零低速采用高频信号注入无传感器控制方式，高频电流响应信号中包含有动子位置信息，由于高频段的电流信号幅值较小，频率高，则高频段的阻抗压降与速度反电势项可忽略不计，电压方程中仅考虑电流导数项，此时电机可简化为纯电感，电机高频数学模型可表示为
[udhuqh]=[Ldh00Lqh]ddt[idhiqh], (1) 式中：udh和uqh分别为d、q轴的高频电压分量，idh和iqh分别为d、q轴高频电流分量，Ldh和Lqh分别为d、q轴的高频电感分量，t为运行时间.
高频电压信号注入在观测轴系，即de、qe轴系，d、q为实际轴系，含延时相移. 区别于以往的高频电压注入角度估计方法，增加不含延时相移的实际轴系dr、qr与估计轴系der、qer，用于补偿角度参考计算，如图2所示. 图中：α、β为静止轴系；θe为含延时的实际电角度；ˆθe为未补偿的估计电角度；θr为不含延时的实际电角度；ˆθer为补偿后的估计电角度；Δθ为补偿前θe与ˆθe误差；Δθr为θr与ˆθe误差；Δθcmp为补偿后的实际角度（θe + ˆφ）与估计角度ˆθe误差，即Δθ + ˆφ；φ为实际延时电角度；ˆφ为估计补偿延时电角度；Δφ为φ与ˆφ误差，当Δφ= 0时，补偿后的实际电角度等于θr.
图 2 考虑相移滞后影响的高频响应各坐标系Figure 2. Coordinate system of high-frequency response considering effect of phase shift lag1.2 高频方波注入模型与响应电流模型
高频方波电压信号注入在deqe轴系，注入信号的表达式为
uedh={Uh,t∈(T0,T0+Th/2]−Uh,t∈(T0+Th/2,T0+Th] (2) ueqh=0 (3) 式中：uedh、ueqh分别为观测轴系高频电压分量，Uh为注入的电压幅值，T0为周期的初始时刻，Th为高频方波电压周期.
基于图2所示轴系关系，deqe轴系经Park变换可得到dq轴系电压方程，即式（1）左侧可写为
[udhuqh]=[cosΔθsinΔθ−sinΔθcosΔθ][uedhueqh]. (4) 考虑Clarke变换不需反馈电角度，因此，在αβ轴系下对高频电流信号中的位置信息进行解调角度信息，建立起dq轴系与αβ轴系电流方程的关系，具体可表示为
[idhiqh]=[cosθesinθe−sinθecosθe][iαhiβh], (5) 式中：idh和iqh分别为d、q轴的高频电流分量，iαh、iβh分别为α、β轴的高频电流分量.
将式（4）、（5）代入式（1），考虑到电流导数项远大于速度项与反电动势项，因此，仅保留导数项，转换为电流状态方程，得到
ddt[iαhiβh]=[cosθe−sinθesinθecosθe][Ldh00Lqh]−1[cosΔθsinΔθ−sinΔθcosΔθ][uedhueqh]=uedhL2avg\_h−L2dif\_h[Lavg\_hcosˆθe−Ldif\_hcos(θe+Δθ)Lavg\_hsinˆθe−Ldif\_hsin(θe+Δθ)]=uedhLdhLqhΛ (6) 式中：Λ = [cosθecosΔθ/Ldh+sinθesinΔθ/LqhsinθecosΔθ/Ldh−cosθesinΔθ/Lqh]，Ldh、Lqh分别为d、q轴的电感常数，Lavg\_h与Ldif\_h分别为高频均值电感与高频偏差电感.
对式（6）左右积分，得到
[iαhiβh]=Λ∫uedhdt. (7) 根据傅里叶变换分解，注入高频方波信号为
uedh(t)=4Vinπ∞∑k=0sin[(2k+1)ωint]2k+1， (8) 式中：ωin为注入频率.
将（8）代入（7）可得
[iαhiβh]=Λ−4Vinπωin∞∑k=0cos(2k+1)ωint2k+1， (9) 式中：Vin为注入高频方波信号幅值.
从式（9）可以看出，向电流调节器输出的d轴注入高频电压，在α、β轴高频响应电流中含有动子位置信息，通过解调α、β轴响应电流的估计误差，经锁相环可实现角度位置估计. 由于Λ中含延时的电角度θe与Δθ会导致估计角度ˆθe相移，因此，需要对估计角度补偿.
2. 延时对角度估计相移偏差影响分析
2.1 延时分析与无传感控制结构
在高速磁浮交通大功率电传动控制系统中，受到开关损耗与散热的限制，高频电压注入信号的频率受到了限制，同时位置控制系统的固有延时，严重影响着位置估计精度与动态性能. 高频注入无传感控制系统中的延时问题分为控制延时与采样电路延时，控制延时会导致PWM输出电压相移与幅值误差；采样电路延时会引起注入电压偏差，导致高频响应电流劣化与相移误差，且电流控制回路动态性能下降，因此，需要对由延时引起的估计角度偏差补偿，保证无位置传感器控制系统的动态性能.
当采用单载波周期双采样实现PWM输出调制，前半周期和后半周期的脉冲分别由两个采样值计算得出. 首先，控制系统在时刻n采样相电流，通过Clarke变换转至αβ轴；其次，经信号解调与误差锁相得到电角度，结合Park将电流转换至dq轴；最后，经d、q轴电流调节器与Clarke逆变换得到静止坐标系下的α、β轴参考电压，计算出新的PWM调制信号用于时刻n + 1的调制输出，此过程存在一个采样周期Ts/2的控制延时. 考虑PWM调制占空比信号至逆变器开关管输出延时约半个采样周期Ts/4，则从总延时约3Ts/4时长.
如图3所示，根据时刻tn的高频响应电流估计出电角度θe，由于控制延时，在时刻tn + td将θe反馈闭环计算的PWM调制输出，此时动子已移动至θr，高频响应电流和估计的动子位置都有滞后相移，根据式（8）保留ωin，补偿一般取基波分量，即k=0，考虑延时的高频响应电流为
[iαh\_diβh\_d]=[cosθecosΔθωinLdh+sinθesinΔθωinLqhsinθecosΔθωinLdh−cosθesinΔθωinLqh]4Vinπ⋅sin(ωint−φ), (10) 式中：φ=ωetd，为延时滞后角度.
考虑相位补偿的高频方波注入无传感控制框图如图4所示. 图中：vref为给定的控制速度，即设置的目标速度；ˆve为观测速度，由算法计算出的观测角频率ˆωe乘以系统运行时间t得到的；ˆωe为观测角频率，由估计电角度ˆθe求导得到的；i∗q为经过速度控制器ASR（automatic speed regulator）计算后得到的q轴控制电流；i∗d为d轴控制电流，是一个常值0；u∗d、u∗q分别为经过电流控制器ACR （automatic current regulator）计算后，得到的dq轴控制电压；u∗α、u∗β为u∗d、u∗q经过Clarke反变换计算得到的αβ轴调制控制电压. Clarke反变换需要用到角度ˆθer；ia、ib与ic为ABC三相电流；iαβ为αβ轴反馈电流，包含iα与iβ；idq为dq轴反馈电流，包含id与iq；iαβ与idq中都包含基频部分与高频部分；iαβh为αβ轴高频部分，iαβh分为iαh与iβh，用于角度估计计算；idqf表示dq轴基频部分，idqf分为idf、iqf为dq轴基波电流，用于电流闭环控制. 电角度估算过程主要包括高频信号解调、包络处理与锁相、相移计算、相移补偿等4个阶段，其中，相移计算与相移补偿分别实现了相移角的计算与补偿实施.
图 4 考虑相位补偿的高频方波注入无传感控制框图Figure 4. Sensorless control for HFSI considering phase shift lag compensation由式（10）可以看出，若能确定延时时间td，通过角度计算可消除延时引起的相移滞后. 为消除估计角度变量，保留滞后角度，对式（10）变换处理分析如下：1）式（10）包含θe、φ、t与iαh、iβh等变量；2）ωin与Vin为高频注入信号，Δθ经锁相环输出确定，即ˆθe确定；3）若t已知，对φ估计补偿，则应先建立只含φ的成本函数，再最小化误差目标函数，最终得到延时td. 变换处理：itd为电流成本函数，通过左右两侧乘以含观测电角度ˆθe的矩阵，实现θe消除，得到itd幅值与2Δθ相关，itd相移与φ相关，即
itd=[sinˆθe−cosˆθe][iαhiβh]=(−cosΔθsinΔθωinLdh+sinΔθcosΔθωinLqh)4Vinπ⋅sin(ωint−φ). (11) itd的估计值
ˆitd=(Ldh−Lqh)/2ωinLdhLqh4Vinπsin2(Δθcmp)sin(ωint−ˆφ). (12) 根据延时误差机理，不考虑延时，Δθ = θe−ˆθe，θe等于θr−φ；考虑延时有
Δθr = θr−ˆθe=θe+φ−ˆθe=Δθ+φ. (13) 为使Δθcmp逼近Δθr，考虑延时，补偿后角度误差表示为Δθcmp=Δθ+ˆφ. 因此，ˆitd表达式为
ˆitd=(Ldh−Lqh)/2ωinLdhLqh⋅sin[2(Δθ+ˆφ)]⋅4Vinπ⋅sin(ωint−ˆφ). (14) 电流误差定义为
Δitd=itd−ˆitd = itd−(Ldh−Lqh)/2ωinLdhLqh×sin[2(Δθ+ˆφ)]⋅4Vinπ⋅sin(ωint−ˆφ). (15) 式（15）对时刻n进行离散化处理得
Δitd[n] = itd[n]−(Ldh−Lqh)/2ωinLdhLqhsin[2(Δθ+ˆφ)]4Vinπsin[nωinTs−ωintc(n)]. (16) 由式（15）误差函数，设计目标函数为
L(n,tc(n))=12Δi2td. (17) 则提出的二分法延时计算结构如图5. 图中：tmid为二分法中间值.
图 5 考虑梯度变化的二分法延时计算结构Figure 5. Bisection delay computational structure considering gradient change2.2 考虑梯度变化的二分法寻优算法
准确估计td等于找到使L值最小的tc值，二分法被引入解决最小值问题，是一种高效的逐次逼近算法，这里将tc当作索引，将L(n,tc(n))当作评价指标，即索引对应的数值. 以[a，b]=[Ts/2，3Ts/2]为边界，待求参数tc的初始值设置为Ts/2以接近实际值td，减少迭代总次数.
考虑到L(n,tc(n))非单调变化，采用经典二分法无法实现最优值搜索，因此，在增加二分法梯度判断条件的基础上，对搜索路径优化，计算流程如图6所示. 设置判断误差ε = 10−3，计算最优补偿指标L(tmid)， tmid=(a+b)/2. 当L(tmid)>ε时：
图 6 基于二分法的延时与角度相移滞后计算流程Figure 6. Flowchart of delay and angular phase shift lag based on bisection method1） 若目标函数在tmid的梯度值pL（tmid）<0，则梯度计算后选定的二分边界tbetter=b，[a, b]=[tmid, tbetter]；
2） 若pL（tmid）>0，则tbetter=a，[a, b]=[tbetter, tmid]；
3） 若pL（tmid）=0，pL（a）<0且pL（b）<0，则tbetter=min{a, b}，[a, b]=[tbetter, tmid]（tbetter< tmid）或[a, b]=[tmid, tbetter]（tbetter>tmid）；
（4） 若pL（tmid）=0，pL（a）>0且pL（b）>0，则完成迭代tc=tmid，即当L(tmid)>ε时，重复上述迭代计算过程.
当L(tmid)<ε时，完成迭代tc=（a + b）/2，然后再增加一步迭代，确认最优补偿时间.
3. 试验验证与分析
3.1 试验验证
在实验室中搭建了高速磁浮长定子直线同步电机低速试验平台，如图7所示. 实际磁浮列车中，动子布置在长定子下方，动子励磁后与长定子铁芯产生吸引力克服列车重力实现悬浮. 为简化电机设计与安装难度，采用动子在上定子在下的布置方法. 其中：动子由1个整磁极与2个半磁极构成；受限于变流器容量，定子绕组采用集中式绕法；中性点采用星型连接方式；实际测速采用磁栅传感器. 驱动器试验平台，包括上位机、示波器、实时数字控制器、直流电源、三电平电压型逆变器，实时数字控制器采用RTU-Box控制器，试验逆变器开关频率2 k，注入方波频率1 k，注入电压20 V，试验平台关键参数如表1所示.
表 1 磁浮电机试验平台主要参数Table 1. Main parameters of maglev motor test platform参数 数值 直流侧电压/V 220 定子相电阻/Ω 0.12 d轴电感/mH 1.8 q轴电感/mH 1.4 定子极距/mm 2.58 动子极距/mm 266.5 励磁电流/A 20～23 动子励磁磁链/Wb 0.324 7 3.2 电流环试验结果
补偿前、后，当q轴控制电流设置为20、21、22 A时，实际电角度θe、估计电角度ˆθe、角度误差Δθe与q轴电流误差Δiq的变化分别如图8、9所示. 从图8可以看出，角度误差分别在−0.52～0.86 rad、−0.41～0.71 rad、−0.32～0.68 rad；从图9可以看出，对应的估计角度误差分别降至了−0.22～0.23 rad、−0.20～0.21 rad、−0.18～0.19 rad；根据两图电流误差显示，由于长定子定位力，反馈电流有一定的周期波动，补偿前后电流波动强度几乎保持一致.
图 8 补偿前不同给定电流控制效果Figure 8. Control effect of different set currents before compensation
图 9 补偿后不同给定电流控制效果Figure 9. Control effect of different set currents after compensation3.3 速度环试验结果
该补偿算法在速度闭环中的控制效果图10、11所示. 图10显示了补偿前，当给定速度为0.8、0.9、1.0 m/s时， θe、ˆθe、Δθe与跟踪速度误差Δv的变化，可以看出，角度误差分别在−0.23～0.53、−0.18～0.51、−0.17～0.49 rad，稳态速度最大跟踪误差为0.36 m/s左右. 图11显示了补偿后，对应的角度误差分别降至了−0.21～0.17 rad，−0.17～0.15 rad，−0.15～0.12 rad，稳态速度最大跟踪误差降至0.21 m/s左右. 可以发现，补偿后最大角度误差分别减小约67.9%、70.5%和75.5%，平均约70%左右，速度跟踪误差减小50%左右.
图 10 补偿前不同给定速度控制效果Figure 10. Control effect of different set speeds before compensation综合上述，由于齿槽效应、端部效应以及长定子铁芯间气隙通断影响，当电机达到稳态时，电流环反馈电流与速度环反馈速度，在给定值上下存在一定波动，如表2、3所示. 当考虑延时对控制周期内电角度相移补偿后，电角度估计误差明显减小，且电流与速度跟踪性能也有一定的提升. 针对控制延时与采样延时导致的电角度观测误差问题，一方面可以进一步优化系统控制器性能，缩短采样周期；另一方面可以通过算法对控制系统总延时计算补偿.
表 2 不同电流下补偿前、后误差最大波动Table 2. Maximum fluctuation of error before and after compensation under different currents电流/A 补偿前误差 补偿后误差 波动变化 电角/
rad电流/
A电角/
rad电流/
A电角/
%电流/
%20 0.86 7.5 0.23 7.5 73.3 0 21 0.71 7.5 0.21 7.5 70.4 0 22 0.68 7.5 0.19 7.5 72.1 0 表 3 不同速度下补偿前、后误差最大波动Table 3. Maximum fluctuation of error before and after compensation under different speeds速度/（m·s−1） 补偿前误差 补偿后误差 波动变化 电角/
rad速度/
（m·s−1）电角/
rad速度/
（m·s−1）电角/
%速度/
%0.8 0.53 0.36 0.17 0.21 67.9 50 0.9 0.51 0.36 0.15 0.21 70.5 50 1.0 0.49 0.36 0.12 0.21 75.5 50 4. 结 论
针对磁浮列车零低速无传感控制高频响应电流电角度相位滞后与速度跟踪累积误差对列车控制精度的影响，提出一种考虑相移补偿的磁浮列车零低速高频信号注入无传感控制方法，得到以下结论：
1） 所提出的估计角度偏差最小化寻优方法能够准确计算控制周期内的控制延时，反映相移误差.
2） 补偿后的估计电角度误差减小，参与电流闭环对电流波动影响不大.
3） 补偿后的角速度参与速度闭环能够在一定程度上提升速度跟踪控制性能.
本文提出的考虑相移补偿高频注入无传感方法可以准确地计及延时导致的相移滞后的影响，有利于实现列车零低速速度跟踪误差的补偿，从而提高高速磁浮无传感控制性能.
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图 2 基于Aitken加速的不动点迭代模型与FPEA的对应关系
Figure 2. Corresponding relation between the fixed point iteration model based on Aitken method and FPEA
图 3 在CEC2014上，DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA的收敛曲线
Figure 3. Convergence curves of DE, PSO, GPE, GPEae, AO, JS, and FPEA on CEC2014 benchmark functions
图 4 在CEC2019上，DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA的收敛曲线
Figure 4. Convergence curves of DE, PSO, GPE, GPEae, AO, JS, and FPEA on CEC2019 benchmark functions
表 1 算法的参数设置
Table 1. Parameter settings of algorithms
算法 参数 DE 缩放因子 F 为 0.6，交叉概率 CR 为 0.8 PSO 学习因子 c1 、 c2 均为 2.0，惯性因子 w 为 1.0 GPE 发展系数 th 为 0.01 GPEae 发展系数 th 为 0.01 AO 开发调整参数 α 、 δ 均为 0.1 FPEA 松弛因子 λ 为 1.4，交叉概率 CR 为 0.8 
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表 2 FPEA关于4个工程约束设计问题的参数设置
Table 2. Parameter setting of FPEA on four engineering constraint design problems
工程约束
设计问题种群
大小/个最大迭代
次数/次优化参数
数量/个三杆桁架 20 500 2 焊接梁 20 2000 4 齿轮组 20 500 4 管形柱 20 2000 2
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表 3 在CEC2014的10维上，DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA的比较
Table 3. Comparison of average rankings of DE, PSO, GPE, GPEae, AO, JS, and FPEA on 10-dimensional CEC2014 benchmark functions
算法 最优值 平均值 标准差 DE 2.93 2.60 2.10 PSO 5.57 5.63 5.47 GPE 4.27 4.40 4.30 GPEae 3.53 3.80 4.33 AO 5.63 5.57 5.07 JS 3.37 3.17 3.70 FPEA 2.20 2.33 2.83 注：D=10，FES= 100000.
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表 6 Wilcoxon秩和检验结果
Table 6. Wilcoxon rank sum test results
算法 正秩和 负秩和 显著性水平 是否接受假设 DE 1013 1198 5.55×10−1 否 PSO 2139 346 1.55×10−7 是 GPE 1847 568 1.32×10−4 是 GPEae 1939 476 1.20×10−5 是 AO 1884 601 1.74×10−4 是 JS 1597 888 3.80×10−2 是
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表 7 三杆桁架设计问题统计结果比较
Table 7. Comparison of results on the three-bar truss design problem
算法 最优值 平均值 最差值 标准差 最大函数评估次数/次 CSA 263.895843 263.895843 263.895843 1.01×10−10 25000 BSA 263.895843 263.895843 263.895845 2.64×10−7 13720 SAR 263.895843 263.895843 263.895843 2.68×10−14 7000 BSAISA 263.895843 263.895843 263.895843 5.75×10−13 8400 GPE 263.895713 263.897016 263.907528 2.20×10−3 10000 GPEae 263.895712 263.896676 263.901731 1.40×10−3 7700 FPEA 263.895711 263.895711 263.895711 1.22×10−11 6520
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表 8 焊接梁设计问题统计结果比较
Table 8. Comparison of results on the welded beam design problem
算法 最优值 平均值 最差值 标准差 最大函数评估次数/次 TEO 1.725284 1.768040 1.931161 5.82×10−2 20000 IAFOA 1.724856 1.724856 1.724856 8.99×10−7 240000 DDB-BC 1.724852 1.724855 1.724890 6.97×10−6 18000 CSA 1.724852 1.724852 1.724852 1.19×10−15 100000 GPE 1.724851 1.725037 1.732281 1.10×10−3 36100 GPEae 1.724851 1.724914 1.727964 4.40×10−4 35860 FPEA 1.724851 1.871685 3.062050 2.70×10−1 17780
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表 9 齿轮组设计问题统计结果比较
Table 9. Comparison of results on the gear train design problem
算法 最优值 平均值 最差值 标准差 最大函数评估次数/次 ALO 2.70×10−12 120 ABC 2.70×10−12 3.60×10−10 5.52×10−10 60 CSA 2.70×10−12 2.06×10−9 3.20×10−8 5.10×10−9 100000 GPE 2.70×10−12 6.88×10−10 3.45×10−9 8.76×10−10 900 GPEae 2.70×10−12 1.17×10−9 1.12×10−8 1.77×10−9 1060 FPEA 2.70×10−12 1.71×10−9 1.83×10−8 3.53×10−9 640
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表 4 在CEC2014的50维上，DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA的比较
Table 4. Comparison of average rankings of DE, PSO, GPE, GPEae, AO, JS, and FPEA on 50-dimensional CEC2014 benchmark functions
算法 最优值 平均值 标准差 DE 3.33 2.97 2.20 PSO 5.00 5.00 4.93 GPE 4.20 4.40 5.23 GPEae 4.73 5.10 5.03 AO 4.43 4.27 4.27 JS 3.30 3.20 3.33 FPEA 2.80 2.87 3.00 注：D=50，FES= 500000.
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表 5 在CEC2019上，DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA的平均排名比较
Table 5. Comparison of average rankings of DE, PSO, GPE, GPEae, AO, JS, and FPEA on CEC2019 benchmark functions
算法 最优值 平均值 标准差 DE 5.30 4.10 2.40 PSO 5.60 6.10 5.70 GPE 3.60 4.10 4.60 GPEae 3.20 4.30 5.10 AO 4.80 4.40 3.90 JS 2.50 2.10 3.10 FPEA 2.30 2.30 3.20
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表 10 管形柱设计问题统计结果比较
Table 10. Comparison of results on the tubular column design problem
算法 最优值 平均值 最差值 标准差 最大函数评估次数/次 CS 26.532170 26.535040 26.539720 1.93×10−3 15000 SAR 26.531328 26.531328 26.531328 1.51×10−7 4000 CSA 26.532170 26.535040 26.539720 1.93×10−3 15000 GPE 26.531312 26.531312 26.531312 3.59×10−15 20400 GPEae 26.531312 26.531330 26.532191 1.24×10−4 18300 FPEA 26.531312 26.531312 26.531312 3.59×10−15 6360
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