不动点演化算法

苏清华; 洪楠; 胡中波

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20220079

不动点演化算法

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20220079

长江大学信息与数学学院，湖北荆州 434023

基金项目: 国家自然科学基金项目（61972136）

详细信息

作者简介:
苏清华（1977—），女，副教授，博士，研究方向为智能计算、图像处理，E-mail：suqhdd@126.com

通讯作者:
胡中波（1977—），男，教授，博士，研究方向为智能计算、数据挖掘和统计计算，E-mail：huzbdd@126.com

中图分类号: TP301.6
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出版历程
- 收稿日期: 2022-01-26
- 修回日期: 2022-06-25
- 网络出版日期: 2024-10-23
- 刊出日期: 2022-06-30

Fixed Point Evolution Algorithm

School of Information and Mathematics, Yangtze University, Jingzhou 434023, China

摘要

摘要:
为设计高效稳定的演化算法，将方程求根的不动点迭代思想引入到优化领域，通过将演化算法的寻优过程看作为在迭代框架下方程不动点的逐步显示化过程，设计出一种基于数学模型的演化新算法，即不动点演化算法（fixed point evolution algorithm，FPEA）. 该算法的繁殖算子是由Aitken加速的不动点迭代模型导出的二次多项式，其整体框架继承传统演化算法（如差分演化算法）基于种群的迭代模式. 试验结果表明：在基准函数集 CEC2014、CEC2019上，本文算法的最优值平均排名在所有比较算法中排名第1；在4个工程约束设计问题上，FPEA与CSA、GPE等多个算法相比，能以较少的计算开销获得最高的求解精度.
- 演化算法 /
- 全局优化 /
- 不动点迭代法 /
- Aitken加速法 /
- 工程约束设计问题
Abstract:
In order to design an efficient and robust evolution algorithm, the fixed point iteration idea in solving equations was first introduced into the optimization field. The optimization process of an evolution algorithm was regarded as the gradual display process of the fixed point of an equation in an iterative framework. On this basis, a novel evolution algorithm based on a mathematical model was developed, named fixed point evolution algorithm (FPEA). The reproduction operator of FPEA is a quadratic polynomial which is derived from a fixed point iteration model with the Aitken method. The overall framework of FPEA inherits the population-based iterative model of traditional evolution algorithms such as differential evolution algorithm. The experimental results show that the average ranking of the optimal value of FPEA ranks first among all the compared algorithms on benchmark functions CEC2014 and CEC2019. The proposed algorithm can achieve the highest solution accuracy with a low computational overhead on four engineering constraint design problems among the compared algorithms including CSA and GPE.
- evolution algorithms /
- global optimization /
- fixed point iteration method /
- Aitken method /
- engineering constraint design problem

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五螺箍是一种新型组合式螺旋箍筋，其构造方式为中间一个大螺箍，四角为四个小螺箍. 相比传统的单螺箍圆形柱，四个小螺箍可以约束四个角落的混凝土，使得螺旋箍筋可以适用于矩形截面. 五螺箍为机械自动化生产，相对于传统箍筋有更高的效率^[1]. 目前，五螺箍的应用与研究主要在中国台湾，且设计与研究参照了文献[2].

国内外学者对单螺箍约束混凝土开展了大量的理论与试验研究，而多螺箍约束混凝土的研究较少. Mohamed等^[3]通过试验对复合箍筋柱进行了参数分析，主要研究了配箍形式和体积配箍率对试件力学性能的影响. Mander等^[4]通过对大量约束混凝土柱试件进行轴心受压试验，得到一套约束混凝土的本构模型. Assa等^[5-6]对一系列螺旋箍筋柱试件进行实验，得到螺旋箍筋约束混凝土的本构关系. 过镇海等^[7-8]进行方形箍约束混凝土在反复荷载下的应力-应变全曲线试验研究，试验得出试件强度和延性与体积配箍率呈正相关关系. 唐琼等^[9]基于多螺箍筋试验数据建立有限元模型，分析受力机理提出轴压承载力计算公式. 史庆轩等^[10]通过多根不同配箍形式的方形截面柱进行轴压试验，并对其延性与强度进行影响因素分析. 翁正强等^[11]对多个五螺箍短柱进行了轴压试验，研究了三个不同系列小螺箍直径对柱整体力学性能的影响. 郑亮^[12]通过试验研究了方钢管混凝土和配螺旋箍筋方钢管混凝土短柱的力学性能，并且对短柱承载力计算方法进行理论研究. 傅明月^[13]对五螺箍混凝土柱进行了轴心受压与偏心受压试验，发现螺旋箍筋能明显地提高柱的承载能力和延性性能. Liang等^[14]进行9根足尺多螺旋箍筋约束方形短柱的试验，发现减小螺旋间距可以明显提高柱的轴压承载力和延性.

由于目前对五螺箍柱轴压承载力计算式的研究鲜有报道，因此，有必要对其力学性能进行进一步研究，以提出适用于五螺箍柱的轴压承载力计算式. 本文利用ABAQUS软件，首先，基于试验模型建立有限元模型，并将有限元分析结果与已有的试验结果进行对比分析，以验证有限元模型分析结果的准确性. 接着，基于材料用量相等的原则，创建4种不同配箍形式的矩形截面柱，并进行力学性能对比分析. 最后，对五螺箍柱轴压承载力进行影响因素分析，提出基于体积配箍率的轴压承载力计算式.

1. 有限元分析模型

1.1 混凝土的本构关系

混凝土本构模型采用有限元软件ABAQUS中内置的塑性损伤模型，损伤因子按文献[15]公式计算. 因Mander模型^[14]对不同箍筋的作用形式有不同的计算式，故本构关系采用Mander模型^[14]，模型的具体表达如下：

$f_{\mathrm{cc}}=\dfrac{f_{\mathrm{cc1}} x r}{r-1+x^{r}},$

(1)

$x=\dfrac{\varepsilon_{\mathrm{c}}}{\varepsilon_{\mathrm{cc}}},$

(2)

$\varepsilon_{\mathrm{cc}}=\varepsilon_{\mathrm{c} 0}\left[1 + 5\left(\dfrac{f_{\mathrm{cc1}}}{f_{\mathrm{c} 0}}-1\right)\right],$

(3)

$r=\dfrac{E_{\mathrm{c}}}{E_{\mathrm{c}}-E_{\mathrm{sec}}},$

(4)

$E_{\mathrm{c}}=5\;000 \sqrt{f_{\mathrm{cc}}},$

(5)

$E_{\mathrm{sec}}=\dfrac{f_{\mathrm{cc1}}}{\varepsilon_{\mathrm{cc}}},$

(6)

$f_{\mathrm{cc1}}=f_{\mathrm{c} 0}\left(-1.254 + 2.254 \sqrt{1 + \dfrac{7.94 f_{11}}{f_{\mathrm{c} 0}}}-2 \dfrac{f_{11}}{f_{\mathrm{c} 0}}\right),$

(7)

$f_{11}=\dfrac{1}{2} K_{\mathrm{e}} \rho_{\mathrm{s}} f_{\mathrm{yh}},$

(8)

$K_{\mathrm{e}}=\dfrac{1-\dfrac{s}{2 d_{\mathrm{s}}}}{1-\rho_{\mathrm{cc}}},$

(9)

式（1） ~ （9）中：${f_{\text{cc}}}$为混凝土应力；$ {\varepsilon _{\text{c}}} $为混凝土应变；${f_{\text{cc1}}}$为约束混凝土的峰值应力；$ {\varepsilon _{{\text{cc}}}} $为约束混凝土的峰值应变；$ {f_{{\text{yh}}}} $为箍筋屈服强度；$ {s } $为箍筋间净间距；$ {d_{\text{s}}} $为约束箍筋的直径；$ {f_{{\text{c0}}}} $为混凝土轴心抗压强度标准值；$ {\varepsilon _{{\text{c0}}}} $为非约束混凝土的峰值应变，通常取0.002；$ {E_{\text{c}}} $为非约束混凝土弹性模型；${E_{{\text{sec}}}}$为约束混凝土割线模量；${f_{{{11}}}}$为侧向约束力，对于未约束混凝土${f_{11}}$= 0；${K_{{\text{e}}}}$为有效约束系数；${\rho_{{\text{s}}}}$为体积配箍率；${\rho_{\text{cc}}}$为纵筋配筋率.

1.2 采用的钢筋本构

钢筋采用理想弹塑性模型，具体表达形式为

$\begin{cases}\sigma_{\mathrm{s}}=E_{\mathrm{s}} \varepsilon_{\mathrm{s}}, & \varepsilon_{\mathrm{s}} \leqslant \varepsilon_{\mathrm{y}}, \\ \sigma_{\mathrm{s}}=F_{\mathrm{y}}, & \varepsilon_{\mathrm{s}}>\varepsilon_{\mathrm{y}},\end{cases}$

(10)

式中：${E_{{\text{s}}}}$、${F_{\text{y}}}$分别为钢筋的弹性模量和屈服强度；$ {\varepsilon _{\text{s}}} $为钢筋应变；$ {\varepsilon _{\text{y}}} $为钢筋屈服应变；$ {\sigma _{\text{s}}} $为钢筋应力.

1.3 有限元模型验证

采用位移协调分离式来分析模型. 混凝土采用C3D8R单元，钢筋采用T3D2单元. 对钢筋和混凝土之间的连接，采用Embedded region进行两者的自由度耦合，不考虑钢筋和混凝土之间的连接滑移. 为了使柱体的边界约束条件接近实际受力情况，在柱体上、下两端采用铰接连接方式，并在柱顶进行位移加载. 本文选取文献[16]中的试件C2-1、C2-3、C2-4和C2-5，用有限元软件ABAQUS建模进行分析. 4根短柱的试验设计参数以及试验和有限元分析结果如表1所示. 图1为各试件试验和有限元分析的应力-应变曲线图.

表 1 试验和有限元计算结果对比

Table 1. Comparison of experiment and finite element calculation results

试件编号	材料强度/MPa				钢筋配置/mm			轴压承载力/kN
试件编号	混凝土	纵筋	大螺箍	小螺箍	纵筋	大螺箍	小螺箍	试验值	模拟值	误差/%
C2-1	39.4	420	280	280	D25	D13@50	D13@50	21670	22378	3.26
C2-3	40.3					D16@70	D13@70	20411	22109	8.32
C2-4	40.3					D13@60	D13@60	19336	21749	12.47
C2-5	39.4					D10@50	D10@50	18181	20128	10.70

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图 1 应力-应变曲线

Figure 1. Stress-strain curves

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从表1可以看出：轴压承载力的模拟结果稍微高于试验结果，轴压承载力最大误差为12.47%，最小误差为3.26%，平均误差仅为8.68%，可以说明有限元模拟得到的轴压承载力与试验结果比较接近. 从图1可以看出：有限元模拟结果和试验结果吻合较好.

2. 配箍形式对峰值荷载和延性的影响分析

基于材料用量相等的原则，考虑混凝土强度等级和配箍形式对钢筋混凝土柱受压性能的影响，设计了混凝土强度等级从C25 ~ C50的6组钢筋混凝土柱分析模型，每组都包括五螺箍、五环箍、矩形箍、矩形螺旋箍4种配箍形式，各配箍形式模型的几何参数和材料构成如图2所示. 为尽可能符合实际情况，柱高取1.5 m，即反弯点处截取一半楼层高度. 五螺箍、五环箍、矩形箍、矩形螺旋箍配箍形式的钢筋混凝土柱模型用钢量分别为1.10 × 10⁷ 、1.09 × 10⁷ 、 1.10 × 10⁷、1.10 × 10⁷ mm³，最大相差为0.5%，可视为材料用量相等. 4种配箍形式模型的纵筋配筋率为1.82%，满足轴心受压构件纵筋最小配筋率0.5%、最大配筋率5.0%的要求，箍筋强度均为280 MPa，纵筋强度均为400 MPa.

图 2 4种不同配箍形式矩形截面柱

Figure 2. Four types of rectangular columns with different stirrup configurations

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有限元分析结果如图3、4所示. 从图3中可以看出：五螺箍柱的峰值承载力较其他3种柱都高. 为反映短柱的延性性能，采用已有的对延性定义的指标延性系数D_I^[17]来表示，如式（11）所示.

图 3 混凝土强度等级-峰值荷载

Figure 3. Concrete strength grade-peak load

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图 4 混凝土强度等级-延性系数

Figure 4. Concrete strength grade-ductility coefficient

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$D_{{{\rm{I}}}} = {u_{85 }}/{u_{11 }},$

(11)

式中：$ {u_{11 }} $为峰值荷载时的位移；$ {u_{85 }} $为峰值荷载下降到85%时的位移.

从图4可以看出：五螺箍的延性优于其他3种柱，五螺箍较五环箍、矩形箍和矩形螺旋箍柱构件峰值承载力均值分别提高0.78%、6.70%和13.73%，延性系数均值分别提高2.00%、10.32%和10.41%，表明五螺箍柱具有较优的承载力及延性，这与文献[11]中的试验结论相符.

由于五螺箍柱的各性能指标均较优，有必要对五螺箍轴压承载力及延性进行影响因素分析，为提出五螺箍轴压承载力的计算式奠定基础. 本文按照《混凝土结构设计规范》（GB 50010—2010）^[18] （以下均简称《混规》）的要求，设计了9个螺旋箍筋间距为40 ~ 80 mm （或${d_{{\text{cor}}}}/5$，其中，$ {d_{{\text{cor}}}} $为核心区混凝土的直径，可按螺旋箍筋内表面直径取值）的模型，其中，体积配箍率的计算式^[11]为

$\rho_{\rm{v}} = \dfrac{{{\text{π}} D{A_{{\text{sp}}1}} + 4{\text{π}} d{A_{{\text{sp}}2}}}}{{{s_{{\text{5 }}}}{A_{{\text{ch}}}}}},$

(12)

式中：$ D、d $分别为大螺箍和小螺箍的直径；$ {A}_{\text{sp1}}、 {A}_{\text{sp2}} $分别为大螺箍和小螺箍单根钢筋的截面面积；${A_{{\text{ch}}}}$为五螺箍所约束的混凝土面积；${s_{{\text{5 }}}}$为五螺箍的间距.

有限元分析结果如图5和表2所示. 图5（a）中模型M-1、M-2、M-3分别对应的箍筋间距为45、50、55 mm，可以看出：随着箍筋间距的减小，五螺箍柱的峰值荷载和延性系数都有提高，曲线下降段也更为平缓，延性更好. 图5（b）中模型M-4、M-2、M-5分别对应的混凝土强度为23.4、26.8、29.6 MPa，可以看出：随着混凝土强度的提高，五螺箍柱的峰值荷载有明显的提高，但延性系数减小，延性不能得到改善. 图5（c）中模型M-2、M-6、M-7对应的箍筋强度分别为335、400、500 MPa，可以看出：提高螺旋箍筋的强度，五螺箍柱的峰值承载力和延性系数有所提高，主要表现为箍筋的约束应力提高，约束效果更好，下降段曲线也更为平缓，延性得到了较大改善. 图5（d）中模型M-2、M-8、M-9对应的大（小）螺箍直径分别为10（6）、10（8）、12（8） mm，可以看出：随螺旋箍筋截面直径的增大，峰值荷载和延性系数随之提升，曲线下降段也更为平缓，五螺箍柱的轴压承载力和延性都有很大改善. 对比图5（a）和图5（d），箍筋间距的减小和箍筋直径的增大都是提高体积配箍率的方式，对五螺箍柱的影响结果相似，均能提高构件的峰值承载力和延性，有利于提高构件在考虑近场地震^[19]等不利作用下结构构件极限变形能力. 故下文将基于体积配箍率研究五螺箍柱的轴压承载力计算式.

图 5 分析结果荷载-位移曲线

Figure 5. Load-displacement curves of analysis results

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表 2 有限元模型主要参数

Table 2. Main parameters of finite element models

编号	螺旋箍筋间距/mm	螺旋箍筋强度/MPa	混凝土强度/MPa	大（小）螺箍直径/mm	体积配箍率/%	峰值荷载/kN	D_I
M-1	45	335	26.8	10(6)	2.15	11020.60	1.84
M-2	50	335	26.8	10(6)	1.93	10779.40	1.78
M-3	55	335	26.8	10(6)	1.76	10613.50	1.76
M-4	50	335	23.4	10(6)	1.93	9979.90	1.97
M-5	50	335	29.6	10(6)	1.93	11472.50	1.75
M-6	50	400	26.8	10(6)	1.93	11163.90	1.94
M-7	50	500	26.8	10(6)	1.93	11744.80	2.16
M-8	50	335	26.8	10(8)	2.45	11078.90	2.13
M-9	50	335	26.8	12(8)	3.01	11756.80	2.27

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3. 轴压承载力计算

五螺箍柱的轴压承载力主要由以下4部分组成：混凝土抗压承载力、纵筋抗压承载力、大螺箍和小螺箍分别对核心区混凝土的约束效应而产生的承载力. 本文主要研究大、小螺箍通过对混凝土约束产生的承载力. 不同的配箍形式产生的约束效果不同，相对于矩形箍，圆形箍具有整体变形小，应力分布均匀及有效约束面积大等优点. 五螺箍柱中，大螺旋箍筋主要约束了柱中部的混凝土，小螺旋箍筋主要约束了柱四个角落的混凝土，二者相互弥补各自的弱约束区，较好地约束了整个截面. 螺旋箍筋有效约束区如图6所示，其中阴影部分表示有效约束区.

图 6 有效约束区

Figure 6. Effective restraint zones

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由于大、小螺箍的约束部位不同，故计算时应分别计算两者提供的约束作用力. 螺旋箍筋的有效约束面积^[4]为

${A_{\text{c}}} = \dfrac{{{\text{π}} d_{{\text{cor}}}^2}}{4}{\left(1 - \dfrac{s}{{2{d_{{\text{cor}}}}}}\right)^2},$

(13)

式中：$s$为螺旋箍筋的间距.

《混规》^[18]关于约束混凝土的轴心抗压强度为

${f_{\text{c}}}^{\text{*}} = {f_{\text{c}}} + \beta {\sigma _{\text{r}}}，$

(14)

式中：${\sigma _{\text{r}}}$为核心混凝土受到的径向压应力值，如式（15）；${f_{\text{c}}}$为混凝土抗压强度设计值；对于约束混凝土，取$\beta {\text{ = }}4$.

${\sigma _{\text{r}}} = \dfrac{{{\text{2}}{f_{\text{y}}}{A_{{\text{ss}}}}}}{{s{d_{{\text{cor}}}}}},$

(15)

式中：${f_{\text{y}}}$为螺旋箍筋的抗拉屈服强度；${A_{{\text{ss}}}}$为单根螺旋箍筋的截面面积.

在Hobbs^[20]的研究中有

$f_{\mathrm{c}}^{*}=f_{\mathrm{c}}+3.7\left(\dfrac{\sigma_{\mathrm{r}}}{f_{\mathrm{c}}}\right)^{0.86} f_{\mathrm{c}} .$

(16)

根据叠加理论，基于《混规》^[18]的五螺箍轴压承载力为

$\begin{split} \begin{aligned} &N_{\mathrm{u} 1}=0.9\left[f_{\mathrm{c}} A_{\mathrm{cor}}+\dfrac{8 A_{\mathrm{ss} 1}}{s_{1} d_{\mathrm{cor} 1}} f_{\mathrm{y} 1} A_{\mathrm{c} 1}\right.+ \\ &\quad\left.4 \times \dfrac{8 A_{\mathrm{ss} 2}}{S_{2} d_{\mathrm{cor} 2}} f_{\mathrm{y} 2} A_{\mathrm{c} 2}+{f}_{\mathrm{y3}} A_{\mathrm{s1}}\right], \end{aligned} \end{split}$

(17)

式中：${A_{{\text{ss1}}}}$和${A_{{\text{ss2}}}}$分别为单根大、小螺旋箍筋的截面面积；${f_{{\text{y1}}}}$和${f_{{\text{y2}}}}$分别为大、小螺旋箍筋的屈服强度；${s_{\text{1}}}$与${s_2}$分别为大、小螺旋箍筋的间距；${d_{{\text{cor1}}}}$和${d_{{\text{cor2}}}}$分别为大、小螺旋箍筋包围的核心区混凝土直径；${A_{{\text{cor}}}}$为混凝土核心区面积；${f_{\text{y3}}}$为纵筋抗压强度；${A_{\text{s1}}}$为纵筋面积；$ {A}_{\text{c1}}、{A}_{\text{c2}} $分别为大、小螺旋箍筋的有效约束面积.

根据叠加理论，基于Hobbs^[20]修正后的五螺箍轴压承载力为

$\begin{split} \begin{aligned} &N_{\mathrm{u2}}=0.9\left[f_{\mathrm{c}} A_{\mathrm{cor}}+3.7 f_{\mathrm{c}} A_{\mathrm{c} 1}\left(\dfrac{2 f_{\mathrm{y} 1} A_{\mathrm{ss} 1}}{s_{1} d_{\mathrm{cor} 1} f_{\mathrm{c}}}\right)^{0.86}\right.+ \\ &\quad \left.3.7 f_{\mathrm{c}} A_{\mathrm{c} 2}\left(\dfrac{2 f_{\mathrm{y} 2} A_{\mathrm{ss} 2}}{s_{2} d_{\mathrm{cor} 2} f_{\mathrm{c}}}\right)^{0.86} \times 4+f_{\mathrm{y3}} A_{\mathrm{s1}}\right]. \end{aligned} \end{split}$

(18)

文献[11]提出的五螺箍轴压承载力为

${N_{\text{u3}}} = 0.85{f_{\text{c0}}}{A_{{\text{cc}}}} + {f_{\text{y3}}}{A_{\text{s1}}}\text{，}$

(19)

式中：${A_{{\text{cc}}}}$为五螺箍所约束的混凝土面积.

美国ACI规范^[2]规定的短柱受压承载力为

${N_{\text{u4}}} = 0.85\left[ {{\text{0}}{\text{.85}}{{f}_{\text{c0}}}({A_{\text{c}}} - {{A}_{\text{s1}}}) + {{f}_{\text{y3}}}{{A}_{\text{s1}}}} \right]\text{，}$

(20)

式中：${A_{\text{c}}}$为混凝土柱全断面积；方括号外的“0.85”表示结构抗力折减系数，方括号内的“0.85”表示尺寸效应对受压承载力的影响系数.

由上文轴压承载力影响因素分析可知，材料的强度、箍筋的间距、箍筋的面积等都对五螺箍柱的承载力有影响，为简便起见，本文将这些因素统一考虑为体积配箍率${\rho _{\text{v}}}$，这样就可以很大程度上减小承载力计算的复杂程度. 由于混凝土及纵筋所提供的竖向承载力计算较为明确，无需修正，本文重点修正螺旋箍筋对混凝土的约束作用. 将每个构件的轴压承载力减去混凝土和纵筋提供的竖向承载力，得到螺旋箍筋提供的竖向承载力${N}_{1}$，由此可以推出约束作用系数为

$\xi ={N}_{1}\text{/}[{f}_{\text{c}}{f}_{\text{y}}({A}_{\text{c1}} + \text{4}{A}_{\text{c2}})].$

(21)

$\xi $随${\rho _{\text{v}}}$的变化关系如图7所示，对两者进行线性关系拟合，结果可以看出两者大致成线性分布. 根据$\xi $与${\rho _{\text{v}}}$的关系，参考《混规》^[18]和Hobbs^[20]修正按叠加理论计算的公式，本文提出五螺箍柱的轴压承载力为

图 7 约束作用系数-体积配箍率关系

Figure 7. Relationship between confinement coefficients and volume-stirrup ratios

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$\begin{split} &{N_{\text{u5}}} = 0.9[{f_{\text{c}}}{A_{{\text{cor}}}} + {{f}_{\text{y3}}}{{A}_{\text{s1}}} + \\ &\quad{f_{\text{c}}}{f_{\text{y}}}({A_{{\text{c1}}}} + {\text{4}}{A_{{\text{c2}}}})({\text{0}}{{.001\;9}} + {\text{0}}{\text{.076}}{\rho _{\text{v}}})]. \end{split}$

(22)

采用上述5个承载力计算式（即式（17）~（20）和式（22）），不考虑安全储备及折减系数，混凝土强度统一采用轴心抗压强度标准值，得到上述9个模型和4个试验^[16]构件的轴压承载力，分别如表3和表4所示. 表中：${\delta _{\text{1}}}$、$ {\delta _{\text{2}}} $、${\delta _{\text{3}}}$、${\delta _{\text{4}}}$和 ${\delta _{\text{5}}}$为5个承载力对应的相对误差.

表 3 9个模型的轴压承载力计算

Table 3. Axial compression bearing capacity calculation of nine models

编号	模拟值 N_ue/kN	计算值/kN					相对误差/%
编号	模拟值 N_ue/kN	${N_{{\text{u1}}}}$	${N_{{\text{u2}}}}$	${N_{{\text{u3}}}}$	${N_{{\text{u4}}}}$	${N_{{\text{u5}}}}$	${\delta _{\text{1}}}$	$ {\delta _{\text{2}}} $	${\delta _{\text{3}}}$	${\delta _{\text{4}}}$	${\delta _{\text{5}}}$
M-1	11020.60	10024.25	10459.24	6543.56	7871.88	11039.23	−9.04	−5.09	−40.62	−28.57	0.17
M-2	10779.40	9601.01	10019.12	6543.56	7871.88	10675.10	−10.93	−7.05	−39.30	−26.97	−0.97
M-3	10613.50	9258.53	9656.58	6543.56	7871.88	10373.72	−12.77	−9.02	−38.35	−25.83	−2.26
M-4	9979.90	9001.25	9362.72	6002.76	7162.57	9610.15	−9.81	−6.18	−39.85	−28.23	−3.70
M-5	11472.50	10094.93	10555.22	6988.93	8456.03	11552.11	−12.01	−8.00	−39.08	−26.29	0.69
M-6	11163.90	10104.07	10515.16	6543.56	7871.88	11386.56	−9.49	−5.81	−41.39	−29.49	1.99
M-7	11744.80	10878.01	11257.04	6543.56	7871.88	12481.12	−7.38	−4.15	−44.29	−32.98	6.27
M-8	11078.90	10056.88	10453.68	6543.56	7871.88	11110.52	−9.22	−5.64	−40.94	−28.95	0.29
M-9	11756.80	10962.58	11334.17	6543.56	7871.88	11579.44	−6.76	−3.59	−44.34	−33.04	−1.51
	绝对值均值						9.71	6.06	40.91	28.93	1.98
	标准差						0.0197	0.0175	0.0215	0.0261	0.0195

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由表3数据可知：计算值${N_{{\text{u3}}}}$远远小于模拟值和试验值，原因是该式中混凝土的计算面积是五螺箍约束混凝土的面积，且混凝土抗压强度取的是轴心抗压强度标准值，而不是约束后的混凝土抗压强度值；计算值${N_{{\text{u4}}}}$相比模拟值和试验值误差较大，原因是计算式仅考虑了纵筋和混凝土提供的竖向抗压承载力，而忽略了螺旋箍筋对混凝土的约束作用；计算值${N_{{\text{u1}}}}$和${N_{{\text{u2}}}}$比较接近模拟值和试验值，两个计算式既考虑了混凝土和纵筋所提供的竖向抗压承载力，又考虑了箍筋对混凝土的约束效应；在分析范围内，本文提出的修正式的计算值${N_{{\text{u5}}}}$更加接近模拟值和试验值，与模拟值的误差均值为1.98%，与试验值的误差均值为2.83%，且标准差分别为0.0195和0.0216，总体上偏于安全. 用体积配箍率考虑箍筋的间距、箍筋的面积、螺箍直径等多因素使得承载力计算更加简便与精确，且具有很好的实用性.

表 4 4个试验构件的轴压承载力

Table 4. Axial compression bearing capacity calculation of four test members

编号	试验值^[16]/kN	计算值/kN					相对误差/%
编号	试验值^[16]/kN	${N_{{\text{u1}}}} $	${N_{{\text{u2}}}} $	${N_{{\text{u3}}}} $	${N_{{\text{u4}}}} $	${N_{{\text{u5}}}} $	${\delta _{\text{1}}} $	${\delta _{\text{2}}} $	${\delta _{\text{3}}} $	${\delta _{\text{4}}} $	${\delta _{\text{5}}} $
C2-1	21672.00	20569.22	21094.45	12090.38	11518.40	22156.09	−5.09	−2.66	−44.21	−46.85	2.23
C2-2	20412.00	19005.14	19508.17	12291.21	11706.16	20390.35	−6.89	−4.43	−39.78	−42.65	−0.11
C2-4	19332.00	19334.76	19871.39	12291.21	11706.16	20319.01	0.01	2.79	−36.42	−39.45	5.11
C2-5	18181.00	17305.58	17781.27	12090.38	11518.40	18883.65	−4.82	−2.20	−33.50	−36.65	3.86
	绝对值均值						4.20	3.02	38.48	41.40	2.83
	标准差						0.029 4	0.009 7	0.046 0	0.043 9	0.021 6

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4. 结　论

1）建立与参考文献中试验模型一致的五螺箍短柱有限元模型进行对比分析，分析结果显示有限元模拟结果与试验结果误差较小，在可接受范围内，从而验证了该有限元模型的正确性.

2）基于材料用量相等原则，对4种不同配箍形式的短柱进行对比分析，表明五螺箍柱承载力和延性均较优.

3）对五螺箍柱进行影响因素分析，改变材料强度、螺箍间距、箍筋面积等均能改变五螺箍柱性能，提高配箍率可以明显改善五螺箍柱的延性及峰值承载力.

4）在多个参数分析的基础上，提出了基于体积配箍率的五螺箍短柱轴压承载力计算方法，与各国规范式对比，该式更为简便且较为精确.

图 1 FPEA的繁殖过程

Figure 1. Reproductive process of FPEA

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图 2 基于Aitken加速的不动点迭代模型与FPEA的对应关系

Figure 2. Corresponding relation between the fixed point iteration model based on Aitken method and FPEA

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图 3 在CEC2014上，DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA的收敛曲线

Figure 3. Convergence curves of DE, PSO, GPE, GPEae, AO, JS, and FPEA on CEC2014 benchmark functions

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图 4 在CEC2019上，DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA的收敛曲线

Figure 4. Convergence curves of DE, PSO, GPE, GPEae, AO, JS, and FPEA on CEC2019 benchmark functions

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表 1 算法的参数设置

Table 1. Parameter settings of algorithms

算法	参数
DE	缩放因子 F 为 0.6，交叉概率 C_R为 0.8
PSO	学习因子 c₁ 、 c₂ 均为 2.0，惯性因子 w 为 1.0
GPE	发展系数 t_h 为 0.01
GPEae	发展系数 t_h 为 0.01
AO	开发调整参数 α 、 δ 均为 0.1
FPEA	松弛因子 λ 为 1.4，交叉概率 C_R为 0.8

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表 2 FPEA关于4个工程约束设计问题的参数设置

Table 2. Parameter setting of FPEA on four engineering constraint design problems

工程约束设计问题	种群大小/个	最大迭代次数/次	优化参数数量/个
三杆桁架	20	500	2
焊接梁	20	2000	4
齿轮组	20	500	4
管形柱	20	2000	2

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表 3 在CEC2014的10维上，DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA的比较

Table 3. Comparison of average rankings of DE, PSO, GPE, GPEae, AO, JS, and FPEA on 10-dimensional CEC2014 benchmark functions

算法	最优值	平均值	标准差
DE	2.93	2.60	2.10
PSO	5.57	5.63	5.47
GPE	4.27	4.40	4.30
GPEae	3.53	3.80	4.33
AO	5.63	5.57	5.07
JS	3.37	3.17	3.70
FPEA	2.20	2.33	2.83
注：D=10，F_ES=100000.

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表 6 Wilcoxon秩和检验结果

Table 6. Wilcoxon rank sum test results

算法	正秩和	负秩和	显著性水平	是否接受假设
DE	1013	1198	5.55×10⁻¹	否
PSO	2139	346	1.55×10⁻⁷	是
GPE	1847	568	1.32×10⁻⁴	是
GPEae	1939	476	1.20×10⁻⁵	是
AO	1884	601	1.74×10⁻⁴	是
JS	1597	888	3.80×10⁻²	是

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表 7 三杆桁架设计问题统计结果比较

Table 7. Comparison of results on the three-bar truss design problem

算法	最优值	平均值	最差值	标准差	最大函数评估次数/次
CSA	263.895843	263.895843	263.895843	1.01×10⁻¹⁰	25000
BSA	263.895843	263.895843	263.895845	2.64×10⁻⁷	13720
SAR	263.895843	263.895843	263.895843	2.68×10⁻¹⁴	7000
BSAISA	263.895843	263.895843	263.895843	5.75×10⁻¹³	8400
GPE	263.895713	263.897016	263.907528	2.20×10⁻³	10000
GPEae	263.895712	263.896676	263.901731	1.40×10⁻³	7700
FPEA	263.895711	263.895711	263.895711	1.22×10⁻¹¹	6520

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表 8 焊接梁设计问题统计结果比较

Table 8. Comparison of results on the welded beam design problem

算法	最优值	平均值	最差值	标准差	最大函数评估次数/次
TEO	1.725284	1.768040	1.931161	5.82×10⁻²	20000
IAFOA	1.724856	1.724856	1.724856	8.99×10⁻⁷	240000
DDB-BC	1.724852	1.724855	1.724890	6.97×10⁻⁶	18000
CSA	1.724852	1.724852	1.724852	1.19×10⁻¹⁵	100000
GPE	1.724851	1.725037	1.732281	1.10×10⁻³	36100
GPEae	1.724851	1.724914	1.727964	4.40×10⁻⁴	35860
FPEA	1.724851	1.871685	3.062050	2.70×10⁻¹	17780

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表 9 齿轮组设计问题统计结果比较

Table 9. Comparison of results on the gear train design problem

算法	最优值	平均值	最差值	标准差	最大函数评估次数/次
ALO	2.70×10⁻¹²				120
ABC	2.70×10⁻¹²	3.60×10⁻¹⁰		5.52×10⁻¹⁰	60
CSA	2.70×10⁻¹²	2.06×10⁻⁹	3.20×10⁻⁸	5.10×10⁻⁹	100000
GPE	2.70×10⁻¹²	6.88×10⁻¹⁰	3.45×10⁻⁹	8.76×10⁻¹⁰	900
GPEae	2.70×10⁻¹²	1.17×10⁻⁹	1.12×10⁻⁸	1.77×10⁻⁹	1060
FPEA	2.70×10⁻¹²	1.71×10⁻⁹	1.83×10⁻⁸	3.53×10⁻⁹	640

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表 4 在CEC2014的50维上，DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA的比较

Table 4. Comparison of average rankings of DE, PSO, GPE, GPEae, AO, JS, and FPEA on 50-dimensional CEC2014 benchmark functions

算法	最优值	平均值	标准差
DE	3.33	2.97	2.20
PSO	5.00	5.00	4.93
GPE	4.20	4.40	5.23
GPEae	4.73	5.10	5.03
AO	4.43	4.27	4.27
JS	3.30	3.20	3.33
FPEA	2.80	2.87	3.00
注：D=50，F_ES=500000.

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表 5 在CEC2019上，DE、PSO、GPE、GPEae、AO、JS和FPEA的平均排名比较

Table 5. Comparison of average rankings of DE, PSO, GPE, GPEae, AO, JS, and FPEA on CEC2019 benchmark functions

算法	最优值	平均值	标准差
DE	5.30	4.10	2.40
PSO	5.60	6.10	5.70
GPE	3.60	4.10	4.60
GPEae	3.20	4.30	5.10
AO	4.80	4.40	3.90
JS	2.50	2.10	3.10
FPEA	2.30	2.30	3.20

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表 10 管形柱设计问题统计结果比较

Table 10. Comparison of results on the tubular column design problem

算法	最优值	平均值	最差值	标准差	最大函数评估次数/次
CS	26.532170	26.535040	26.539720	1.93×10⁻³	15000
SAR	26.531328	26.531328	26.531328	1.51×10⁻⁷	4000
CSA	26.532170	26.535040	26.539720	1.93×10⁻³	15000
GPE	26.531312	26.531312	26.531312	3.59×10⁻¹⁵	20400
GPEae	26.531312	26.531330	26.532191	1.24×10⁻⁴	18300
FPEA	26.531312	26.531312	26.531312	3.59×10⁻¹⁵	6360

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参考文献(30)

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1. 有限元分析模型
1.1 混凝土的本构关系
1.2 采用的钢筋本构
1.3 有限元模型验证
2. 配箍形式对峰值荷载和延性的影响分析
3. 轴压承载力计算
4. 结　论

不动点演化算法

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20220079

作者简介: 苏清华（1977—），女，副教授，博士，研究方向为智能计算、图像处理，E-mail：suqhdd@126.com

通讯作者: 胡中波（1977—），男，教授，博士，研究方向为智能计算、数据挖掘和统计计算，E-mail：huzbdd@126.com

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出版历程

Fixed Point Evolution Algorithm

1. 有限元分析模型

1.1 混凝土的本构关系

1.2 采用的钢筋本构

1.3 有限元模型验证

2. 配箍形式对峰值荷载和延性的影响分析

3. 轴压承载力计算

4. 结 论

计量

出版历程

目录

1. 有限元分析模型

1.1 混凝土的本构关系

1.2 采用的钢筋本构

1.3 有限元模型验证

2. 配箍形式对峰值荷载和延性的影响分析

3. 轴压承载力计算

4. 结 论

作者简介:
苏清华（1977—），女，副教授，博士，研究方向为智能计算、图像处理，E-mail：suqhdd@126.com

通讯作者:
胡中波（1977—），男，教授，博士，研究方向为智能计算、数据挖掘和统计计算，E-mail：huzbdd@126.com

4. 结　论

4. 结　论