Multidimensional Gross Error Separability Analysis in CPⅢ Network Considering Observation Space Information
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摘要:
高铁轨道控制网(CPⅢ网)是一个自由测站、自动观测的边角同测后方交会测量网,其观测值间的粗差可区分性除了与控制网设计空间有关外,还会受到全站仪自动观测等观测空间因素的影响. 为此,在由粗差判断方程得到CPⅢ网多维观测值粗差可区分能力的设计空间相关关系基础上,考虑CPⅢ网数据采集中全站仪自动观测特点,引入观测值时序相关性,将观测值间的可靠性关系由传统只考虑设计空间影响扩展到综合评价设计空间和观测空间影响,挖掘得到符合CPⅢ网测量实际的多维粗差可区分能力的规律;然后,采用蒙特卡罗方法验证顾及观测空间信息的CPⅢ网多维粗差可区分能力的正确性. 研究结果表明:CPⅢ网观测值可靠性会受到观测空间的影响,在粗差探测实践中应予以考虑;CPⅢ网中每个测量边观测值均有粗差发现与定位能力;观测同一个目标点的3个测量边中最多可发现并定位1个测量边中的2个粗差;当测站点无错误时,1个测站观测
n 个目标点的n 个测量边中,最多可以发现并定位⌊n /2⌋个测量边中的2⌊n /2⌋个粗差.Abstract:The CPⅢ network of high-speed railways is a resection surveying network with free station observation and automatic observation, enabling simultaneous edge and angle measurements. The separability of gross errors between observations is not only related to the design space of the control network but also affected by observation space factors such as automatic observation of the total station. Therefore, the gross error judgment equation (GEJE) was used to obtain the design space correlation of the separability of multidimensional gross errors of observations in the CPⅢ network. By considering the characteristics of automatic observation of total station during data acquisition in the CPⅢ network, the temporal correlation of observations was introduced. The reliability relationship between observations was extended from the traditional consideration of design space effects to the comprehensive evaluation of both design space and observation space effects. The law of multidimensional gross error separability in accordance with the actual measurement of the CPⅢ network was obtained. Then, the Monte Carlo method was used to demonstrate the correctness of the separability of multidimensional gross errors in the CPⅢ network considering the observation space information. The results show that the reliability of CPⅢ observations will be affected by the observation space, which should be considered in the practice of gross error detection. The observations of each edge in the CPⅢ network have gross error detectability and identifiability. At most two gross errors in one edge can be detected and located in the three edges of the same target. If there is no error in the observation station, at most 2⌊
n /2⌋ gross errors in ⌊n /2⌋ edges can be detected and located amongn edges of one observation station observingn targets. -
观测值具有粗差发现与定位能力,是其粗差能够被准确发现和定位的前提[1-2],因此,想要得到准确、可靠的粗差探测结果,在进行粗差探测分析前,应首先了解测量系统观测值发现和定位粗差的能力. 高铁CPⅢ网是随着我国高速铁路建设从国外引进的,其包括边角后方交会测量的平面控制网和中视法测量的高程控制网,是施工建设和运营管理的重要位置基准[3-5]. 这一新型测量网,已被广泛用于快速和普速铁路、中低速磁浮铁路、地铁、有轨电车等大型工程的精密控制,已发展成为现代精密工程测量的一种重要技术方法. 其中,中视法或矩形法测量的CPⅢ高程网为经典的水准控制网,观测值间的数据结构关系简单,采用几何方法容易得到其观测值粗差发现与定位能力. 但对边角后方交会测量的CPⅢ平面网,其在非控制点设站、自动观测、结构复杂、呈狭长带状,如何准确得到其多维粗差的可区分能力,是高铁工程精密测量基础研究领域多年未解的难题.
针对CPⅢ平面网粗差可区分性问题,文献[6-7]从理论上推演了粗差判断方程(GEJE)法[1,8]与普遍认同的相关系数法[9-10]之间的等价关系,又基于提取的启发信息,用GEJE法挖掘分析了CPⅢ观测值的粗差可区分能力. 其实质是以控制网结构决定的观测值间数据结构关系为研究对象,即探究的是粗差可区分性的设计空间相关关系. 然而,高铁CPⅢ网为一个自由测站、自动观测的边角同测后方交会测量网,多维粗差的可区分性除了与控制网网形设计有关外,还会受到全站仪自动观测等观测空间因素的影响. 现场进行边角测量时,实际上全站仪光线所经过地区的植被、地表热效应、光照和风对其的影响几乎完全相同,这些因素与距离和方向观测值是强相关的[11],若存在对观测值可靠性不利的因素,其影响必然会同时涉及方向和距离观测值(当然影响的大小可能会不完全相等). 由此可见,要得到符合CPⅢ网测量实际的多维粗差可区分能力,全站仪自动边角测量的影响不容忽视. 为此,本文在由GEJE法得到CPⅢ网多维粗差可区分能力的设计空间相关关系基础上,进一步考虑数据采集中全站仪自动观测特点,探索挖掘更符合测量实际的CPⅢ多维粗差可区分能力.
1. CPⅢ网粗差可区分能力的设计空间相关性
CPⅢ平面网建网测量大多采用自由测站,观测网形如图1所示.
分析CPⅢ网形结构可以发现,尽管其控制点数量多、外业观测数据量大、结构复杂且每段控制网长度由几公里至几十公里不等,但其网形规则对称且结构规律性很强,使得挖掘分析它的观测值粗差可区分能力规律性成为可能.
由CPⅢ平面网观测方程,采用L1范数估计方法[12-13]求得其粗差判断方程,结合控制网结构特点及粗差判断方程的函数模型特点,运用矩阵初等变换方法深度挖掘观测值间的数据结构特征,分析得到多维粗差情形下每个观测值发现和定位粗差的能力、观测同一目标点的6个观测值间以及同一测站观测值间发现和定位粗差的能力[6-7].
1) 判断矩阵J中无0列向量,每个观测值作为必要观测值时,对应列向量非零元素个数均大于2. 由此可推断,控制网中的每个观测值均具有发现和定位粗差的能力.
2) 观测同一目标点,有3个方向观测值和3个距离观测值. 分析判断矩阵J可以发现,6个观测值经过矩阵初等变换后,可得4 × 2阶分块矩阵,在2个必要观测对应的列向量中,除4个多余观测值所在行元素不为0外,其余元素全部为0. 判断矩阵J可参考文献[6-7]. 且6个观测值中的每个观测值作为必要观测和多余观测的机会相等. 据此可得,观测同一目标点的6个观测值为粗差发现与定位相关观测值,最小必要观测数为2个,最大相关数为4. 6个观测值中,最大能发现粗差数nf如式(1),最大能定位粗差数nr如式(2).
nf=min{r,⌊m2⌋}=min{4,⌊62⌋}=3, (1) nr=min{r−1,⌊m−12⌋}=min{3,⌊52⌋}=2, (2) 式中:m为粗差发现与定位相关的观测值个数,r为多余观测值个数,“⌊•⌋”表示向下取整.
3) 一个测站观测n个目标点,有2n个观测值. 分析判断矩阵J可以发现,2n个观测值经过矩阵初等变换后,可得(2n−3) × 3阶分块矩阵,在3个必要观测对应的列向量中,除2n−3个多余观测值所在行元素不为0外,其余元素全部为0. 且2n个观测值中的每个观测值作为必要观测和多余观测的机会相等. 由此可得,单个测站观测n个目标点的2n个观测值为粗差发现与定位相关观测值,最小必要观测数为3个,最大相关数为2n−3. 2n个观测值中,最大能发现粗差个数nf1如式(3),最大能定位粗差个数ne1如式(4).
nf1=min{r,⌊m2⌋}=min{2n−3,n}. (3) ne1=min{r−1,⌊m−12⌋}=min{2n−4,⌊2n−12⌋}. (4) 又因CPⅢ网每测站的目标点个数不小于4个,由此可得,2n−3>n,2n−4>(2n−1)/2. 因此,式(3)、(4)可化为
nf1=n, (5) ne1=n−1. (6) 文献[6-7]采用蒙特卡罗模拟法开展实验分析,证实了以上GEJE法挖掘得到的CPⅢ网观测值粗差可区分能力的正确性. 然而,结合CPⅢ网的建网测量特点不难发现,其多维粗差的可区分性除了与网形结构设计有关外,还会受到全站仪自动观测等观测空间因素的影响. 因此,要得到符合CPⅢ网测量实际情况的粗差可区分能力,有必要结合CPⅢ网测量特点开展进一步研究.
2. 顾及观测空间信息的粗差可区分性
2.1 观测空间对观测值可靠性的影响
通过全站仪自动观测采集得到的观测值(如观测同一目标的距离和方向观测值)受观测条件的影响是相同的,无论是自然因素(光照、温度、风、震动等),仪器故障(仪器某部件偶然失效、未锁定棱镜中心等)还是人为因素(照准目标错误、棱镜安装错误等),导致1个观测值含有粗差,则产生粗差的原因也会影响到同时采集的相同观测目标的其他观测值. 若某种原因导致测站点出现错误(如仪器未严格整平、气象数据或棱镜常数未录入或录入错误、三脚架稳定性差等)则必然会影响到测站所有观测值的可靠性.
为表述方便,引入观测值时序相关性,即同一台测量仪器自动观测获得的观测值序列中,若观测的方向(或距离)观测值不可靠,则相同观测目标的距离(或方向)观测值也不可靠;若测站点存在错误,则测站中的每个观测值都不可靠. 观测值的时序相关性是除了控制网的设计空间外,描述全站仪自动观测时观测值间可靠性的一种新关系,简称观测空间关系,是对当前观测值可靠性研究主要考虑设计空间相关性的进一步拓展补充,使得研究结果更符合全站仪自动观测的测量实际.
为检验CPⅢ网测量实践中观测值间是否存在上述粗差可区分性的观测空间关系,对某高速铁路客运专线全线长约310 km的CPⅢ建网测量原始数据进行粗差检验,并对结果进行统计分析. 粗差检验时,采用改进目标函数的单纯形法求得平差系统的GEJE,并用判断方程法进行粗差检核和探测[7],其中,极限误差取2倍验前中误差,显著水平α0取4.55%,结果如表1所示.
表 1 CPⅢ网粗差检验结果Table 1. Gross error test results of CPⅢ network参数 观测值总数/个 粗差观测值数/个 粗差测量边数/个 粗差测站数/个 污染率/% 相关粗差比例/% 取值 70918 2724 557 5 3.8 40.9 表1中:“观测值总数”表示整条线路CPⅢ网包含的观测值总个数,“粗差观测值数”表示整个区段CPⅢ网观测值中所含粗差总数,“粗差测量边数”表示方向、距离观测值均含粗差的测量边个数,“粗差测站数”表示单个测站超过一半的观测值含有粗差的测站个数,“污染率”表示整个区段CPⅢ网中粗差观测值个数与观测值总数的百分比,“相关粗差比例”表示所有的粗差测量边含有的粗差总数与整个区段CPⅢ网粗差总数的百分比.
从表1可以看出:310 km长的CPⅢ网建网观测数据中定位到了2724个粗差,粗差污染率为3.8%;有557个测量边的方向、距离观测值同时含粗差,占整个区段控制网全部粗差个数的40.9%;有5个测站中超过一半的观测值含粗差. 进一步地分析557个粗差测量边所含粗差的特点. 为此,对粗差测量边进行编号,并以编号为横坐标,分别以粗差测量边的方向、距离观测值粗差估值绝对值为纵坐标,绘制图2、3.
对比图2、3可以发现:同一测量边的方向、距离2种类型观测值均含粗差时,粗差大小不一定相等,即引起粗差的原因对2类观测值可靠性的影响程度不同;编号118粗差测量边,其方向、距离观测值粗差估值的绝对值分别为8.7″和1.9 mm,前者为量级较大的粗差,而后者为小粗差;编号169粗差测量边,方向、距离观测值粗差估值的绝对值分别为1.9″ 和7.4 mm,前者为小粗差,而后者为量级较大粗差. 此外,就粗差分布的整体情况来看,方向观测值较距离观测值更易出现大粗差.
综合以上分析可以得出:尽管CPⅢ网的外业观测有严格的观测流程和技术要求,但其观测值中仍会出现粗差;一个测量边的方向、距离观测值的可靠性存在观测空间相关性,1个含有粗差,另1个在较大的概率上也不可靠,但2类观测值中的粗差大小各异;测量实践中,确实存在测站所有观测值均不可靠的情况.
结合CPⅢ网测量实践分析CPⅢ网粗差的产生原因:方向、距离观测值产生粗差的原因可能在于目标照准错误(如目标棱镜方向附近有强反光物)、测区周边施工影响、湿度较大、强风、未锁定目标棱镜中心、棱镜安装不规范等;测站点出现错误的原因可能有仪器未严格整平、气象数据未录入或录入有误、棱镜常数未录入或录入错误、脚架不稳定等.
2.2 顾及观测空间影响的CPⅢ网粗差可区分能力
结合2.1,综合考虑CPⅢ观测值设计和观测空间的相关性,可得其粗差发现与定位能力:
1) 每个观测值都有粗差发现和定位能力,1个测量边的2个(1个距离和1个方向)观测值间的粗差分布具有观测空间相关性,1个判定为含粗差时,另1个也不可靠.
2) 1个目标点,来自3个测量边(3个不同测站)的6个(3个距离和3个方向)观测值为粗差发现与定位相关观测值,最多能发现并定位1个测量边的2个观测值粗差(1个方向和1个距离).
3) 1个测站,观测n个目标点,通常情况下,最多可发现并定位⌊n/2⌋个测量边中的2⌊n/2⌋个观测值粗差,只有定位结果中粗差测量边数小于等于⌊n/2⌋,测站点才是无误的;若定位结果中有大于⌊n/2⌋个测量边粗差,那么测站点存在错误,测站的所有观测值均含有粗差.
3. 算例分析
虽然已经有不少优秀的方法对多维粗差进行探测[14-18],然而,由于观测值间粗差发现与定位相关性以及粗差个数、分布、大小的随机性,如何有效探测多维粗差仍然是测量上存在的棘手问题之一,而对多维粗差探测算法有效性的评价也不应仅凭某一固定算例的一次或几次试验进行说明. 由此可见,蒙特卡罗方法将是检验观测值粗差发现与定位能力及粗差探测算法的可靠性和有效性的重要手段. 为此,实验基于蒙特卡罗法,并围绕验证每个测量边的粗差发现与定位能力、每个目标点的3个测量边最大发现与定位粗差个数以及单个测站最大可发现与定位粗差个数开展.
3.1 数据仿真
利用文献[6]中CPⅢ网仿真数据开展实验. 控制网长1.5 km,包含CPⅢ点52个,测站15个,联测CPⅡ点3个(每个CPⅡ点被相邻3个测站观测),相邻CPⅢ点对间距60 m,共计方向和距离观测值各165个. 观测值误差由随机数发生器生成,方向观测值的先验观测精度为 ±1.0″,距离观测值的先验观测精度为固定误差 ±1 mm、比例误差 ±1.5 mm/km,各测站测量3测回.
3.2 实验方案
设计3个实验方案:
1) 方案1 在全网165个测量边中随机选取1个加入粗差. 旨在验证每个测量边观测值的粗差发现与定位能力,并探讨粗差探测分析时考虑观测空间信息影响的重要性和必要性.
2) 方案2 在观测同一目标点的3个测量边中随机选取1个或2个加入粗差,目标点在全网随机选取. 旨在验证每一个目标点的来自3个不同测站测量边之间粗差发现与定位关系,添加粗差时同一测量边的2个观测值同时添加粗差或不添加粗差.
3) 方案3 随机选取添加粗差的测站,粗差测量边个数取[1, n]的整数. 旨在验证同一测站的测量边之间粗差发现与定位关系,添加粗差时同一测量边的2个观测值同时添加粗差或不添加粗差.
根据以上3个实验方案的研究目标,对方案2、3,为了减少随机误差对粗差的抵消影响,模拟粗差应足够大,以避免实验中犯第Ⅰ和第Ⅱ类错误,在方向观测值中添加的粗差绝对值介于6″ 和12″ 之间(10倍~20倍中误差),距离观测值中添加的粗差绝对值介于6~12 mm(10倍~20倍中误差);对方案1,需模拟粗差分布的观测空间相关性,为此,随机选择粗差测量边的2个观测值中的1个 (方向观测值或距离观测值)加入大小为10倍~20倍中误差的粗差,另1个(距离观测值或方向观测值)加入大小为2倍~20倍中误差的粗差. 3个实验方案粗差大小在指定范围内随机,粗差的正负号随机. 为保证结果的统计意义,方案1进行5000次,使得每个测量边添加粗差的次数达到几十次;方案2、3均进行1000次,分别使得观测单个测点的测量边中添加粗差个数为1个和2个的次数均为几百次,单个测站不同粗差大小方案实验次数达到几十次或上百次. 每次实验,用改进单纯形法L1范数平差算法[7]求得平差系统的GEJE,并用判断方程法进行粗差检核和探测. 测量中常以2倍或3倍中误差作为极限误差,在此,极限误差取2倍验前中误差,显著水平α0取为4.55%.
3.3 结果与分析
针对方案1,每次实验对1个测量边的2个观测值添加粗差,为叙述方便,称其中绝对值较小的粗差为“小粗差”,统计5000次实验中,不同“小粗差”区间对应的实验次数、发现粗差次数、正确定位次数(漏判和错误判断均认为是错误定位)以及正确定位次数占实验次数的百分比(成功率)列于表2,表中:σ为观测值中误差.
表 2 方案1实验结果Table 2. Experimental results of scheme 1粗差大小 实验数/次 发现粗差/次 正确定位/次 成功率/% 2σ~4σ 803 462 462 57.5 4σ~6σ 452 327 327 72.3 6σ~8σ 480 385 385 80.2 8σ~10σ 486 410 410 84.4 10σ~12σ 364 325 325 89.3 12σ~14σ 630 605 605 96.0 14σ~16σ 606 600 600 99.0 16σ~18σ 499 492 492 98.6 18σ~20σ 680 677 677 99.6 从表2可以看出:在1个测量边对应的2个观测值中添加粗差,当有1个大粗差(10倍~20倍中误差)和1个小粗差(如2倍~4倍中误差)时,同时发现2个粗差的概率较低,但只要发现粗差就能准确定位粗差;当2个粗差都较大时,每次实验都可以发现并定位几乎所有的粗差. 进一步地,统计发现5000次实验中,每次实验都至少准确定位到了1个粗差观测值,而无法发现和定位的往往是2个粗差中较小的粗差. 由此可以知道,测量边不可靠,即同一测量边的2个观测值均含有粗差时,只要2个粗差均大到足以使检验量超限,就能发现并正确定位. 这也说明,阈值的设置是影响粗差发现的一个重要因素,阈值过大,不利于小粗差的探测. 注意到,由于相同观测条件影响,1个测量边中1个观测值含粗差时,另一个也往往会含有粗差,除2个均为大粗差的情况外,还会出现1个大粗差1个小粗差的情况,而小粗差很容易受到掩盖、不合理阈值等因素的影响而难以发现. 因此,对单个测量边,考虑测量边的不同观测值间粗差分布的观测空间相关性,有助于更加有效地定位小粗差,进而得到准确、可靠的粗差探测结果.
针对方案2,添加粗差测量边个数分别为1个和2个,2种情况下的实验次数、发现粗差次数、正确定位次数、错误定位次数(漏判和错误判断均认为是错误定位)及正确定位次数占总实验次数的百分比(成功率),列于表3.
表 3 方案2实验结果Table 3. Experimental results of scheme 2粗差测量
边/个实验
数/次发现粗
差/次正确
定位/次错误
定位/次成功
率/%1 494 491 491 0 99.4 2 506 499 162 344 32.0 从表3可以看出,1个测量边的2个观测值含粗差时,几乎所有的粗差可被发现并正确定位;2个测量边的4个观测值含粗差时,完全正确定位粗差的概率仅为32.0%. 由此可以知道,观测同一个目标点的3个测量边中有不超过2个含有粗差时,只要粗差大到足以使检验量超限,都能发现;发现粗差后,若只有1个测量边的观测值含有粗差,就能正确定位,若含有粗差的测量边超过1个,粗差不能正确定位.
针对方案3,以横坐标表示单个测站的污染率(粗差测量边个数与测站目标点个数的百分比),纵坐标表示污染率各区间内完全正确定位粗差次数占实验次数的百分比(成功率),如图4. 以横坐标表示单个测站污染率,纵坐标表示污染率各区间内正确定位粗差测量边个数之和与区间内添加粗差测量边个数之和的百分比(平均正确率),如图5.
从图4可以发现:对于一个含有多维粗差的测站,随着污染率的增大,粗差探测的成功率逐渐降低,当测站污染率小于55%时,粗差探测的成功率均大于50%. 对于粗差个数大于其可定位数的多维观测值,采用任何优秀的粗差探测算法成功定位所有粗差的概率不会超过50%[19-20],可以推断,当单测站污染率小于55%时,观测值具有同时定位粗差的能力. 若测站点无错误,即单测站污染率不大于50%时,从同测量边观测值间粗差分布的观测空间相关性可以得出,此时一个测站中最多可以发现并定位⌊n/2⌋个测量边中的2⌊n/2⌋个观测值粗差.
由图5可以看出:随着污染率增大,粗差探测平均正确率逐渐降低,但能够定位其中的大部分粗差,进一步地,统计污染率大于50%的各区间内一次实验准确定位粗差测量边平均数发现,其均大于测站测量边数的一半,由此可以知道,当测站点出现错误,即单测站的污染率大于50%,总可以定位到大于⌊n/2⌋个测量边粗差. 如果定位结果中的粗差测量边数大于⌊n/2⌋,测站点存在错误,所有观测值都含有粗差.
4. 结 论
通过对实际工程数据的统计分析和仿真实验验证,可以得到以下结论:
1) CPⅢ网中每个测量边观测值均具有粗差发现与定位能力;单个测量边的方向、距离观测值可靠性相关,1个观测值含有粗差,另1个也不可靠. 观测同一个目标点的3个测量边中,最多有1个测量边中的2个观测值含粗差时可以发现并定位. 1个测站,观测n个目标点的n个测量边中,若测站点无错误,最多可以发现并定位⌊n/2⌋个测量边中的2⌊n/2⌋个粗差,如果识别到大于⌊n/2⌋个测量边粗差,则测站点存在错误,所有观测值都含有粗差.
2) CPⅢ网观测值可靠性会受到观测空间的影响,在粗差探测实践中,顾及观测值可靠性的观测空间关系,更有助于确保粗差定位结果的准确性和可靠性.
致谢:中国铁路兰州局集团有限公司科技研究开发计划(LZJKY2023033-1)、内江师范学院科研资助项目(2021ZD01)、内江师范学院科研创新团队项目(2021TD01).
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表 1 CPⅢ网粗差检验结果
Table 1. Gross error test results of CPⅢ network
参数 观测值总数/个 粗差观测值数/个 粗差测量边数/个 粗差测站数/个 污染率/% 相关粗差比例/% 取值 70918 2724 557 5 3.8 40.9 表 2 方案1实验结果
Table 2. Experimental results of scheme 1
粗差大小 实验数/次 发现粗差/次 正确定位/次 成功率/% 2σ~4σ 803 462 462 57.5 4σ~6σ 452 327 327 72.3 6σ~8σ 480 385 385 80.2 8σ~10σ 486 410 410 84.4 10σ~12σ 364 325 325 89.3 12σ~14σ 630 605 605 96.0 14σ~16σ 606 600 600 99.0 16σ~18σ 499 492 492 98.6 18σ~20σ 680 677 677 99.6 表 3 方案2实验结果
Table 3. Experimental results of scheme 2
粗差测量
边/个实验
数/次发现粗
差/次正确
定位/次错误
定位/次成功
率/%1 494 491 491 0 99.4 2 506 499 162 344 32.0 -
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