中低速磁浮列车速度对悬浮力影响分析

王滢; 刘方麟; 刘世杰; 罗成; 吴谦

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20210913

中低速磁浮列车速度对悬浮力影响分析

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20210913

王滢^{1, 2,},
刘方麟^{1, 2},
刘世杰^{1, 2},
罗成^{1, 2},
吴谦^{1, 2}

1.
西南交通大学电气工程学院，四川成都 610097
2.
西南交通大学磁浮技术与磁浮列车教育部重点实验室，四川成都 611756

基金项目: 四川省自然科学基金（2022NSFSC0473）

详细信息

作者简介:
王滢（1972—），女，副教授，研究方向为电力电子技术，E-mail：wangying0303@swjtu.edu.cn

中图分类号: U237
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出版历程
- 收稿日期: 2021-11-15
- 修回日期: 2022-05-05
- 网络出版日期: 2023-04-01
- 刊出日期: 2022-06-02

Influence of Speed on Levitation Force of Medium−Low-Speed Maglev Train

WANG Ying^{1, 2
,},
LIU Fanglin^{1, 2},
LIU Shijie^{1, 2},
LUO Cheng^{1, 2},
WU Qian^{1, 2}

1.
School of Electrical Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610097, China
2.
Key Laboratory of Magnetic Suspension Technology and Maglev Vehicle of the Ministry of Education, Southwest Jiaotong University, Chengdu 611756, China

摘要

摘要:
电磁铁为中低速磁浮列车提供悬浮力，其与轨道发生相对运动时，在轨道上产生涡流，同时，轨道涡流产生的外加磁场抵消了部分电磁铁产生的原磁场，进而使得电磁铁提供的悬浮力下降. 为此，首先分析轨道涡流的形成规律，以及列车不同速度时涡流对气隙磁场的影响，进一步研究了列车速度对悬浮力的影响；其次，采用叠片F轨的方法来抑制涡流效应，结合叠片F轨提升悬浮力的机理，分析F轨不同叠片层数结构下轨道涡流对悬浮力的影响；最后，以长沙磁浮快线电磁铁结构为例，使用有限元软件进行仿真分析. 结果表明：使用叠片F轨后可以降低轨道中的涡流，随着叠片数量的增加，气隙磁场逐渐逼近静态条件下的气隙磁场；悬浮电磁铁模块的端部线圈以120 km/h的速度运动时，得到轨道为无叠片F轨时悬浮力为5.7 kN，轨道为两层叠片F轨时悬浮力为7.5 kN，相比较无叠片F轨悬浮力增长30%.
- 磁悬浮车辆 /
- 电磁铁 /
- 电磁力 /
- 涡流
Abstract:
Electromagnet provides suspension force for medium−low-speed maglev train. When the electromagnet moves relatively to a rail, eddy current is generated on the rail. The external magnetic field generated by the track eddy current offsets part of the original magnetic field generated by the electromagnet, causing the decrease of the suspension force provided by the electromagnet. Firstly, the formation of rail eddy current and its effects on air gap magnetic field are analyzed at different vehicle speeds. The influence of train speeds on the suspension force is further studied. Secondly, the laminated F-rail is used to suppress eddy current effect. Combined with the mechanism of the laminated F-rail lifting suspension force, the influence of rail eddy current on the suspension force is analyzed with the F-rails of different laminated layers. Finally, the electromagnet structure of Changsha Maglev Fast Line is simulated by using finite element software. The results show that the laminated F-rail can reduce the rail eddy current, and the air gap magnetic field gradually approaches the one under static conditions. When the coil at the end of the electromagnet model moves at the speed of 120 km/h, the suspension force is 5.7 kN without the non-laminated F-rail and 7.5 kN with the laminated F-rail of two layers, increasing by 30% compared with the case of the non-laminated F-rail.
- magnetic levitation vehicle /
- electromagnet /
- electromagnetic force /
- eddy current

HTML全文

气动特性作为列车高速运行时不可忽略的部分，其多目标优化已成为提高列车运行安全性及乘坐舒适性的关键途径. 但高速列车几何模型尺度大、结构复杂，数值模拟计算成本巨大，使得优化周期较长，同时，多目标优化中全局最优解的搜寻难度大. 因此，基于代理模型的气动多目标优化应运而生，成为缩短优化设计周期、提高寻优效率的关键. 代理模型最初应用于结构优化设计，采用的多为响应面模型，在多学科设计优化发展起来后进入气动优化设计领域^[1]. 目前，应用较为广泛的主要是径向基模型、Kriging模型、神经网络和支持向量回归等^[2-4].

采用代理模型开展气动优化设计，优化结果很大程度上取决于代理模型的预测精度，合理的加点准则可提高模型精度，有利于多目标优化计算收敛^[5]. 无加点准则的传统代理模型已在高速列车外形气动优化领域广泛应用，早期的研究主要针对列车的二维纵向中心截面或简单列车模型开展无约束的单目标气动优化. Sun等^[6]提取CRH3头部流线型的4个设计参数，建立Kriging代理模型，再利用遗传算法进行气动减阻的优化设计，得到优化目标与设计变量间的非线性关系. Lee和Kim^[7]利用支持向量机方法对列车纵向剖面二维线性进行优化设计，采用9个设计变量，共100个设计样本点，以减小微气压波为优化目标，得到优化效果较好的模型. 随着计算机计算效率的提升及优化算法的进步，三维头型多目标优化的研究逐渐展开. Yao等^[8-9]以三车编组的CRH380A列车为研究对象，基于参数化建模方法选取优化设计变量，建立Kriging模型，对高速列车的整车气动阻力及尾车气动升力进行多目标优化，采用多目标优化算法NSGA-Ⅱ（non-dominated sorting genetic algorithm Ⅱ）进行寻优，减小气动阻力约3.2%，减小尾车气动升力约8.2%. Zhang等^[10-11]采用自由变形参数化等方法选取设计变量，建立代理模型，同样以整车气动阻力及尾车气动升力最小为优化目标，对列车流线型头部进行优化设计，优化后，整车气动阻力及尾车气动升力均有所减小. 代理模型的引入缩短了高速列车气动性能优化的时间成本，是列车外形优化的新途径，但上述方法主要是基于二维或单目标寻优，忽略了高速列车运行时的三维流场特性，或无法兼顾多种气动特性.

数值计算技术的发展催生了对多设计变量、多优化目标的追求，但同时也使建立高精度代理模型所需的样本点数量急剧攀升. 因此，国内外学者提出多种加点策略应用于高速列车多目标优化，以使模型更快收敛至最优解，提高优化效率. Muñoz-Paniagua等^[12]根据优化结果，采用实验设计方法扩展样本设计空间，得到并集集合后加入原始训练集，更新代理模型. Yao等^[13]以整车气动阻力及尾车气动升力等目标开展头型多目标优化时，将Pareto前沿解集中的点作为验证点，根据数值模拟计算结果判断代理模型精度是否达到要求，若不满足，则将其添加至训练集，更新代理模型. Zhang等^[14]进一步提出了添加Pareto前沿解集中特殊点的方法，即选取解集中每个优化目标的最优点进行验证，不满足误差标准则将其添加至训练集，更新代理模型. 添加Pareto前沿解集中的点是目前应用较多且效果较好的一种方式^[13-14]，但该加点方法须建立在代理模型全局精度较高的基础上. 高速列车多目标优化是需要大规模数值计算的问题，在代理模型建立初期可能无法获得较多的初始样本点构建精度较高的代理模型. 若代理模型精度较低，就存在搜寻到的Pareto前沿不准确甚至是错误的可能，又因在该前沿位置添加点较多，使得代理模型在该前沿附近的预测精度较高. 因此，基于Sekishiro等^[15]提出的将加点准则搜索得到的样本点与寻优得到的样本点同时加入样本集的思想，本文融合改善期望加点准则（EIC）及Pareto前沿解加点准则（PIC），提出混合加点准则（HIC），并基于优化偏好提出Pareto前沿点选取方法. 以Branin单目标测试函数和Poloni多目标测试函数为例，对比研究EIC、PIC和HIC 3种代理模型的收敛速度，最后，基于混合加点Kriging代理模型开展高速列车头型多目标气动优化研究.

1. Kriging代理模型及加点准则

1.1 Kriging代理模型与EIC

Kriging代理模型的基函数^[16]为

$\psi =\mathrm{exp}\left(-{{\displaystyle \sum _{j=1}^{J}{\theta }_{j}\left|{x}_{i,j}-{x}_{l,j}\right|^{2}}}\right),\quad l\ne i,$

(1)

式中：x_i,j为第i个样本中第j个设计变量，J为设计变量个数，θ_j为第j个权重系数.

假设响应Y_i(x_i) （x_i为第i个样本）来自随机过程^[16]，利用基函数相互关联得到随机变量之间的相关性，如式（2）所示.

${\text{cor}}\left[ {{Y_i}({x_i}),{Y_l}({x_l})} \right] = \exp \left( { - {{\sum\limits_{j = 1}^J {{\theta _j}\left| {{x_{i,j}} - {x_{l,j}}} \right|^2} }}} \right) .$

(2)

对于未知的向量x_um，其响应值 $\hat y({{{\boldsymbol{x}}}_{{\text{um}}}})$ 可表示为

$\hat y({{{\boldsymbol{x}}}_{{\text{um}}}}) = \hat \mu + {{{\boldsymbol{\varphi}} }^{\text{T}}}{{{\boldsymbol{\varPsi}} }^{ - 1}}({{\boldsymbol{y}}} - {{\boldsymbol{I}}}\hat \mu ) ,$

(3)

式中： ${{\boldsymbol{\varphi}} }$ 为样本数据响应与预测响应之间的相关性向量，y为未知向量的真实响应， $\hat \mu$ 为随机过程的均值， ${{\boldsymbol{\varPsi}} }$ 为根据变量之间相关性关系建立所有观测点的相关矩阵，I为单位矩阵.

Kriging模型预测值的均方差^[16]为

$\hat s = \sigma \left( {1 - {{{\boldsymbol{\varphi}} }^{\text{T}}}{{{\boldsymbol{\varPsi}} }^{ - 1}}{{\boldsymbol{\varphi}} } + \frac{{1 - {{{\boldsymbol{I}}}^{\text{T}}}{{{\boldsymbol{\varPsi}} }^{ - 1}}{{\boldsymbol{\varphi}} }}}{{{{{\boldsymbol{I}}}^{\text{T}}}{{{\boldsymbol{\varPsi}} }^{ - 1}}{{\boldsymbol{I}}}}}} \right) ,$

(4)

式中： $\sigma$ 为标准差；括号中第3项为均值的不确定性估计，其值很小，一般忽略不计.

计算待添加点x_ad的改善期望值时，将改善最优解y_min视为概率最大的点，将 $\hat y({{{\boldsymbol{x}}}_{{\text{ad}}}})$ 视为随机过程，可计算出大于y_min的改善值 $I({{{\boldsymbol{x}}}_{{\text{ad}}}})$ 存在的概率为

$P[I({{{\boldsymbol{x}}}_{{\text{ad}}}})] = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}{\text{erf}}\frac{{({y_{\min }} - \hat y({{{\boldsymbol{x}}}_{{\text{ad}}}}))}}{{\sqrt 2 \hat s}} .$

(5)

在确定均值和均方差前提下，可计算改善期望值 $E[I({{{\boldsymbol{x}}}_{{\text{ad}}}})]$ ^[16]（式（6）），改善期望值最大的点即为所需的改善期望添加点.

$E[I({{{\boldsymbol{x}}}_{{\text{ad}}}})]{\text{ = }}\left\{ \begin{gathered} ({y_{\min }} - \hat y({{{\boldsymbol{x}}}_{{\text{ad}}}})){{{\varPhi}} }\left( {\boldsymbol{\xi}} \right) + \hat s\phi \left( {\boldsymbol{\xi}} \right),\;\;\hat s > 0, \\ 0,\begin{array}{*{20}{c}} {} \end{array} \hat s = 0, \\ \end{gathered} \right.$

(6)

式中： ${{{\varPhi}} }\left({\boldsymbol{ \xi}} \right)$ 和 $\phi \left( {\boldsymbol{\xi}} \right)$ 分别为标准正态累计分布函数和标准正态概率密度函数， ${\boldsymbol{\xi}} {\text{ = }}\dfrac{{{y_{\min }} - \hat y({{\boldsymbol{x}}_{\rm{ad}}})}}{{{{\hat s}^2}}}$ .

改善期望加点准则适用于单目标和多目标优化问题，对于多目标问题，改善概率 $P[I({{{\boldsymbol{x}}}_{{\text{ad}}}})]{\text{ = }} P[({Y_1}({x_1}) < {y_1}) \cap ({Y_2}({x_2}) < {y_2}) \cdots \cap ({Y_i}({x_i}) - {y_i})]$ 与式（5）等价，其中，y_i为样本x_i的响应. 于是，多目标优化问题的改善期望^[16]为

$\begin{split} &E[I({{{\boldsymbol{x}}}_{{\text{ad}}}})]{\text{ = }}P[I({{{\boldsymbol{x}}}_{{\text{ad}}}})]\;\times\\ &\quad \sqrt {{{({Y_1}({x_1}) - {y_1})}^2} + {{({Y_2}({x_2}) - {y_2})}^2} + \cdots + {{({Y_i}({x_i}) - {y_i})}^2}} \end{split}.$

1.2 Pareto前沿添加点选取及HIC

Pareto前沿解集是一系列非支配解的集合，本文提出一种从前沿解集中选取特定样本点的方法. 假设所有的优化目标都是搜寻最小值，定义Pareto前沿解集中第n个点的综合优化率为

${T_n} = - \sum\limits_{m{\text{ = 1}}}^g {{w_m}{t_{m,n}}} ,$

(7)

式中：g为优化目标的个数；t_m,n为点n在优化目标m上相对初始值的变化率（对各目标采用归一化数值计算变化率）；w_m为优化目标m的权重，根据对优化目标的偏好程度取值，且 $\displaystyle\sum\limits_{m{\text{ = 1}}}^g {{w_m}} {\text{ = }}1$ .

计算Pareto前沿解集中所有点的综合优化率，取综合优化率最大的点作为Pareto前沿添加点. 该选点方法可使代理模型在偏好目标最优位置的精度较高，更有利于寻找期望的最优解.

HIC代理模型的构建步骤如下：

步骤1　采用最优拉丁超立方抽样得到初始样本集，建立第1代代理模型.

步骤2　通过多目标优化算法NSGA-Ⅱ计算得到Pareto前沿解集，计算解集中所有点的综合优化率，确定前沿添加点P₁或P_r（P_r为建立第r代代理模型寻优得到的Pareto前沿添加点），并数值模拟计算前沿添加点P₁、P_r的真实值.

步骤3　将前沿添加点P₁、P_r的真实值与代理模型预测值进行对比，若代理模型的预测误差（误差标准根据具体优化目标设定）满足要求，则认为代理模型及多目标优化计算精确度较高，结束加点，优化计算结束；若误差不满足要求，则将前沿添加点P₁、P_r加入样本集，利用改善期望方法计算得到所需的改善期望添加点A₁、A_r，将改善期望添加点A₁、A_r加入样本集，建立下一代代理模型，返回步骤2.

2. 加点准则对比验证

采用单目标及多目标测试函数对比研究EIC、PIC及HIC 3种代理模型的构建及优化效率.

2.1 单目标Branin函数

Branin函数是全局优化算法的经典算例，优化问题的数学模型^[16]为

$\begin{split} &f({x_1},{x_2}) = {\left( {{x_2} - \frac{{5.1}}{{4{{\text{π}}^2}}}x_1^2 + \frac{5}{{\text{π}}}{x_1} - 6} \right)^2} + \\ &\quad 10\left( {\frac{{8{\text{π}} - 1}}{{8{\text{π}}}}\cos {x_1} + 1} \right) + 5{x_1} , \end{split}$

(8)

式中：自变量x₁∈[−5, 10]，x₂∈[0, 15].

该优化问题在经典Branin函数中增加一项，使其具有2个局部最优解和1个全局最优解（即函数的最小值），函数在点（0.0874，0.9086）位置取得全局最优解−16.6440. 将Branin函数的2个自变量区间均缩放至 [0, 1]，以便于进行抽样及后续代理模型的建立和优化计算. 为对比较少初始样本点情况下各加点准则的性能，用最优拉丁超立方抽样方法^[17]仅抽取6个样本点，分别采用3种加点准则构建代理模型，并进行更新与优化计算. Branin函数为单目标函数，因此，设置的误差标准要求较高，要求代理模型最优解与真实最优解误差小于0.5%. 在进行PIC综合优化率计算时，目标的权重设为1.0. 3种加点方法建立代理模型的单目标Braniun函数最优解误差收敛历程如图1所示.

图 1 单目标Branin函数最优解误差收敛历程

Figure 1. Error convergence process of optimal solution for single-objective Branin function

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由图1可知：第4代HIC模型优化计算得到的最优解满足误差标准，EIC与PIC代理模型迭代至第8代才能够满足误差标准，寻优效率与HIC代理模型相比低50.0%. 此外，在初始样本点较少时，代理模型精度较低，PIC代理模型的收敛历程振荡性较强，对应的误差波动也较大. 对于单目标测试函数，3种加点准则代理模型最终都能收敛至最优解，达到误差标准时，HIC共添加了6个样本点，包括3个改善期望点和3个Pareto前沿点，进行了6次仿真计算. 另外2种加点准则代理模型都添加了7个样本点，进行了7次仿真计算. HIC代理模型以较少次更新代理便可收敛至最优解，同时所需的真实仿真次数也较少，优化效率提高.

2.2 多目标Poloni函数

Poloni函数具有多峰特性，代理模型的建立难度较大，且在优化过程中易陷入局部最优，常被用作为检验代理模型寻优质量的测试函数. Poloni函数的方程f₁、方程f₂的表达式^[18]为

${f}_{\text{1}}({x}_{1},{x}_{2})=-[1 + {({{A}}_{1}-{B}_{1})}^{2} + {({{A}}_{2}-{B}_{2})}^{2}],$

(9)

${f}_{2}({x}_{1},{x}_{2})=-[{({x}_{1} + 3)}^{2} + {({x}_{2} + 1)}^{2}],$

(10)

式中： $x_1, x_2 \in(-\text{π}, \text{π})$ ，

${{{A}}_1} = 0.5\sin\; 1 - 2\cos\; 1 + \sin\; 2 - 1.5\cos\; 2,$

${{{A}}_2} = 1.5\sin\; 1 - \cos\; 1 + 2\sin\; 2 - 0.5\cos\; 2,$

${B_1} = 0.5\sin\; {x_1} - 2\cos\; {x_1} + \sin\; {x_2} - 1.5\cos\; {x_2},$

${B_2} = 1.5\sin\; {x_1} - \cos\; {x_1} + 2\sin\; {x_2} - 0.5\cos\; {x_2}.$

采用最优拉丁超立方设计方法抽取10个样本点作为初始样本集，对比EIC、PIC及HIC构建代理模型的优化效率. 进行PIC的综合优化率计算时，两目标的权重都设置为0.5. Poloni多目标测试函数的误差标准为优化计算得到的Pareto前沿解集所有点与真实值的平均差值小于0.2 （f₁、 f₂函数值在 [0，70)内，不可用相对误差作为标准），同时，满足优化计算得到的Pareto前沿与真实前沿误差在5.0%以内，该误差通过Pareto前沿与x轴之间的积分面积差异表征. 3种加点方法建立代理模型的多目标Poloni函数误差收敛历程如图2所示.

图 2 Poloni函数Pareto前沿误差

Figure 2. Pareto frontier error of Poloni function

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由图2可知：第3代HIC代理模型优化计算得到的Pareto前沿能够同时满足2种误差标准，达到误差标准时，共添加了4个样本点，包括2个改善期望点和2个Pareto前沿点，进行了4次仿真计算. EIC代理模型更新至第10代仍无法满足任一误差标准. PIC代理模型更新至第8代，满足优化计算得到的Pareto前沿与真实前沿误差在5.0%以内，寻优效率与HIC代理模型相比低62.5%，此时添加了8个样本点，进行了8次仿真计算. 但PIC代理模型更新至第10代仍无法满足优化计算得到的Pareto前沿解集所有点与真实值的平均差值小于0.2，同时寻优过程中仍然存在振荡性较强的特点. 对于多目标测试函数，3种加点准则代理模型的对比说明，HIC性能较优，能够较快且准确地获得Pareto前沿，EIC在3种加点方法中效果最差.

3. 高速列车头型多目标优化

基于对3种加点准则代理模型的对比，选取性能较优的HIC建立代理模型，以高速列车头车气动阻力、尾车气动阻力及气动升力最小为优化目标，开展列车头型多目标优化.

3.1 列车空气动力学数值计算模型

考虑流体满足连续性假设，并且满足能量守恒、动量守恒，三者对应的方程分别为质量、能量、动量守恒方程，3个方程在数学形式上存在相似性，将相似变量用W代替，可得到通用的控制方程^[19]：

$\frac{{\partial ({{\rho}} {W})}}{{\partial t}} + {\text{div}}(\rho {{u}}{W}) = {\text{div}}(\varGamma {\text{grad}}\;{W}) + S ,$

(15)

式中： $\rho$ 为空气密度，u为流场速度矢量，W为流场通量， $\varGamma$ 为扩散系数，S为源项，t为时间.

列车高速行驶时引起周围空气的流动是可压缩的三维湍流流动，但列车运行速度低于360 km/h时简化为不可压缩流动，采用三维不可压缩的雷诺平均方法和k-ω SST （shear stress transport，其中，k为湍流动能，ω为湍流耗散率）的两方程湍流模型进行全湍流模式求解^[20]，压力速度耦合采用半隐式SIMPLE （semi-implicit method for pressure linked equations）求解算法.

为验证数值计算方法的准确性，采用上述湍流模型及求解方法对已开展过风洞试验（采用自然转捩方式）的高速列车进行空气动力学计算，来流风速及边界条件等与风洞试验相同，列车为1∶8缩比模型. 数值模拟得到的各节车厢及整车气动阻力系数与风洞试验结果误差均在3%以内^[19]，表明包括湍流模型、求解方法及网格划分等在内的高速列车数值计算方法具有较高的可信度.

高速列车头型多目标优化采用全尺寸三车编组模型，包含头车、一节中间车和尾车，保留转向架区域及转向架. 主要研究头型对列车气动力的影响，因此，对高速列车进行光顺，并进行简化，模型与风洞试验模型存在差异，如：风洞试验中车端连接处风挡留有间隙，避免各车气动力测量的相互干扰^[21]，简化模型采用的非断开式的内风挡. 列车底部建立轨道及路基，模拟列车运行时的真实地面条件. 取路基与高速列车车顶之间的距离H作为列车的特征高度，头尾车长度为6.2H，中间车长度为6H. 列车计算模型及地面条件设置如图3所示.

图 3 数值模拟计算几何模型

Figure 3. Geometry model of numerical simulation

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图4为数值模拟计算区域，计算区域的高度、宽度分别为12H、26H，头车鼻尖、尾车鼻尖与计算区域边界间的距离分别为14H、25H，满足《铁路应用 · 空气动力学 · 第4部分：列车空气动力学性能数值仿真规范》（TB/T 3503.4—2018）^[22]要求. 坐标原点位于中间车中部车底，同时位于车体及计算区域的纵向中心截面. 在列车周围设置加密区（Refinebox）加密网格，以便更准确求解列车周围流场，提高气动力计算精度. 计算区域的入口边界（Inlet）设置为速度入口，97.22 m/s；出口边界设置（Outlet）为压力出口，出口压力为0；根据标准TB/T 3503.4—2018要求，计算区域的顶部及两侧（Sym）设置为对称边界条件；地面（Ground）设置为滑移壁面，与来流速度相同. 原始高速列车模型的头车气动阻力、尾车气动阻力、尾车气动升力分别为6.98、4.68、3.65 kN.

图 4 计算区域

Figure 4. Computational domain

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3.2 列车头型多目标优化设计变量

高速列车头型的5条控制线分别为鼻尖高度控制线C₁、车钩区域高度控制线C₂、司机室视窗高度控制线C₃、横向轮廓控制线C₄和横向轮廓控制线C₅. 5条控制线对应5个设计变量v₁～v₅，v₁表示原始曲线的变形比例，v₂～v₅表示曲线变形的最大距离，各设计变量及其变化区间如图5所示. 列车头型的所有曲线都为多个设计点生成的B样条曲线，曲面都为样条曲线生成的B样条曲面.

图 5 设计变量及其变化区间

Figure 5. Design variables and its variation intervals

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3.3 混合加点代理模型的构建及优化计算

采用最优拉丁超立方抽样设计方法，以v₁～v₅为设计变量，抽取35个初始样本点，建立混合加点代理模型，采用NSGA-Ⅱ算法进行寻优计算，得到优化设计的Pareto前沿解集. 计算解集中所有点的综合优化率时，头车气动阻力（DH）、尾车气动阻力（DT）和尾车气动升力（LT）的权重都为1/3，综合优化率最大的作为Pareto前沿添加点. 以DH、DT和LT的预测误差同时小于1%为误差标准. HIC代理模型的优化收敛历程如图6所示.

图 6 列车头型多目标优化收敛历程

Figure 6. Convergence process of multi-objective optimization of high-speed train head shape

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由图6可以得到：35个样本点建立的第1代代理模型对头车气动阻力、尾车气动阻力及气动升力的预测误差分别为10.5%、11.6%和10.9%；代理模型更新至第7代后满足误差标准，3个优化目标的预测误差都小1.0%. 尾车阻力收敛较快，头车阻力及尾车升力收敛速度略慢，初始样本中，尾车气动阻力的标准差为57.8，而头车气动阻力及尾车气动升力的标准差分别为156.6和161.4，目标空间的分布差异性导致不同目标的收敛速度出现差异. 因此，在代理模型的构建过程中将误差标准设置得相对严苛，须三者均满足误差小于1.0%. 采用NSGA-Ⅱ算法对第7代代理模型进行寻优计算，得到优化设计的Pareto前沿解集，如图7所示.

图 7 优化设计的Pareto前沿解集

Figure 7. Pareto frontier solution of optimization design

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最优解模型的头车气动阻力、尾车气动阻力及尾车气动升力分别为6.87、4.59、3.54 kN，与原始模型相比，分别降低1.6%、1.7%、3.0%. 最优解模型各优化目标的性能提升2.0%～3.0%，尾车气动升力的性能提升最大.

将Pareto前沿解集选取的验证点作为高速列车头型多目标优化计算的最优解，模型如图8所示. 最优解的设计变量v₁～v₅的取值分别为0.95、−27.36、−51.24、−25.17和−29.07，原始模型对应的取值分别为1.00、0、0、0和0，鼻尖高度、车钩区域高度及司机室视窗高度都有所降低，同时v₄和v₅也为负值，表明2条横向轮廓线内缩，整个头型呈现更“尖”的形态.

图 8 最优解与原始模型对比

Figure 8. Comparison between optimal solution and original model

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为进一步对比最优解模型与原始高速列车模型气动性能的差异，提取2种模型头车的表面压力及列车纵向中心截面压力系数分布，如图9所示.

图 9 列车表面压力及压力系数分布

Figure 9. Distribution of surface pressure and pressure coefficient of train

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压力系数为

${C_{\text{p}}}{\text{ = }}\frac{{{P_{\text{t}}}}}{{0.5\rho {v^2}}} ,$

(16)

式中：P_t为列车表面压力； $\rho$ =1.225 kg/m³；v为列车运行速度，取97.22 m/s.

头车表面压力对比可以看出，头车流线型位置主要在鼻尖和司机室视窗处，有2个正压区域. 2种模型在鼻尖位置的压力差异不明显，在司机室视窗处的压力存在差异，最优解模型正压面积明显小于原始模型，与图9（c）中区域 ① 位置相对应，因此头车气动阻力较小. 此外，优化模型区域 ② 处的压力幅值低于原始模型，中截面的压力分布基本可以表征该区域附近的压力分布特性，表明优化模型尾车流线型区域的压力低于原始模型，使得尾车气动升力及气动阻力都有所降低.

4. 结　论

通过单目标及多目标测试函数对比了改善期望加点准则、Pareto前沿加点准则及混合加点准则所构建代理模型的精度及寻优效率，验证了基于混合加点准则建立代理模型的可行性，最后采用混合加点代理模型开展高速列车头型多目标优化，得到以下主要结论：

1）对于单目标测试函数，混合加点代理模型更新至第4代后搜索得到的最优解满足误差标准，另外2种加点准则代理模型都需更新至第8代，混合加点代理模型优化效率提高50.0%. 与此同时，混合加点准则收敛至最优解时所需的样本点也较少. 对于多目标测试函数，第3代混合加点代理模型优化计算得到的Pareto前沿能够满足误差标准，Pareto前沿加点代理模型需迭代至第8代才可满足标准，混合加点代理模型的优化效率提升了62.5%；改善期望加点代理模型更新至第10代仍未满足误差标准. 3种加点准则代理模型的对比说明混合加点准则性能较优.

2）建立混合加点代理模型对高速列车开展气动性能多目标优化，得到的最优解模型与原始模型相比头车气动阻力、尾车气动阻力及尾车气动升力分别降低1.6%、1.7%和3.0%. 最优解的鼻尖高度、车钩区域高度及司机室视窗高度都有所降低，同时2条横向轮廓线内缩，整个头型呈现更“尖”的形态. 最优解模型司机室视窗位置的正压明显降低，尾车流线型部位的表面压力幅值也减小，列车的气动力与原始模型相比有所降低.

致谢：轨道交通运载系统全国重点实验室自主课题（2023TPL-T06）的资助.

图 1 钢轨-电磁铁模型

Figure 1. Rail-electromagnet model

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图 2 积分路径

Figure 2. Integral path

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图 3 4层叠片F轨示意

Figure 3. Laminated F-rail of four rails

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图 4 电磁铁气隙磁通密度

Figure 4. Air gap flux density of electromagnet

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图 5 悬浮力比值变化

Figure 5. Variations of levitation force ratio

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图 6 参考线位置

Figure 6. Position of reference lines

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图 7 轨道涡流密度云图

Figure 7. Nephogram of eddy current density in rail

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图 8 轨道涡流密度

Figure 8. Eddy current density in rail

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图 9 气隙磁通密度仿真

Figure 9. Simulation of air-gap magnetic flux density

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图 10 电磁铁模块悬浮力

Figure 10. Levitation force of electromagnet module

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表 1 电磁铁主要参数

Table 1. Main parameters of electromagnet

参数取值

极板、轨道厚度/mm 28
铁芯长度/mm 400
极板长度/mm 2 720
线圈匝数/匝 360
线圈电流/A 35
气隙/mm 10

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施引文献

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