轴-径向混合磁轴承动态特性及控制研究

肖玲; 赵晨曦; 窦经纬; 程文杰; 郑善栋

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20210883

摘要:

为了减小三自由度轴-径向混合磁轴承（ARHMB）的涡流损耗并增加轴向磁力，提出轴向采用软磁复合材料（SMCs）制备的推力轴承，在推力盘与转子的气隙处引入Halbach阵列以增强轴向气隙磁密，径向采用叠片结构. 首先，基于动态磁通分布及等效磁路法，建立综合考虑涡流、漏磁及交叉耦合效应的等效磁阻模型；其次，对比分析了材料类型及交叉耦合效应对等效磁阻频率响应、动态刚度的影响；最后，采用计及涡流、漏磁及交叉耦合效应不完全微分PID控制对ARHMB进行研究. 研究结果表明：SMCs制备的ARHMB相比碳钢材料可以提供更大、更稳定的磁力以及更大的工作带宽，在高频条件下具有更好的动态特性；考虑交叉耦合效应时，SMCs制备的ARHMB动态特性在高频时变化率较大，不可忽略；对于低带宽工作的碳钢轴承，交叉耦合效应不明显；电磁轴承系统响应速度很快、超调量小、稳态误差近似为0，具有良好的控制特性.

关键词:

Abstract:

In order to reduce the eddy current loss and increase the axial magnetic force for three degrees of freedom axial-radial hybrid magnetic bearings (ARHMB), a thrust bearing made of soft magnetic composite materials (SMCs) in the axial direction was proposed. The Halbach array was introduced at the air gap between the thrust plate and the rotor to enhance the magnetic density of the axial air gap. In the radial direction, the laminated structure was used for the radial bearing. Firstly, based on the dynamic magnetic flux distribution and the equivalent magnetic circuit method, the equivalent reluctance model considering eddy current, magnetic leakage and cross-coupling effects was established. Then, the influence of material types and cross-coupling effect on the equivalent reluctance frequency response and dynamic stiffness was analyzed. Finally, ARHMB was studied by incomplete derivative PID control considering the effect of eddy current, magnetic leakage and cross-coupling. The results show that ARHMB prepared by SMCs can provide greater and more stable magnetic force and larger bandwidth than that made of carbon steel, and has better dynamic characteristics under high-frequency conditions. When considering the cross-coupling effect, the dynamic characteristics of ARHMB made of SMCs have a large change rate at high frequency and cannot be ignored. For low-bandwidth carbon steel bearings, the cross-coupling effect is not obvious. The system of magnetic bearing has a fast response speed, small overshoot, and approximately zero steady-state error, which has good control characteristics.

Key words:

近年来，传感器有限的能量遏制着无线传感器网络（wireless sensor networks, WSN）的永续发展. 且当传感器节点的电池寿命即将结束时，常常会发生传感错误和链路故障. 因此，延长传感器节点的生命周期并维持其感知性能是WSN中的一个主要问题^[1-2].

随着射频能量收集（radio frequency energy harvesting, RF-EH）技术^[3]的不断发展，使得受限于能量的WSN可以实现自持作业. 然而，传感器节点与目的节点之间常常由于地形地貌、建筑物、距离等原因以及受路径衰落的影响，导致无线链路被阻塞或不存在直达路径，影响系统覆盖范围^[4].于是，基于无线携能通信（simultaneous wireless information and powertransfer, SWIPT）的中继协作系统备受关注. 文献[5]随机地在蜂窝网络中部署能量站（power beacon, PB），建立随机几何模型，并研究数据链路中断约束下的混合网络部署问题. 文献[6]研究了双向能量收集（energy harvesting, EH）中继网络中联合波束赋形设计与时隙切换（time switching, TS）策略问题. 文献[7]将解码转发全双工中继网络中的中继能量建模为二级马尔可夫链，获得贪婪切换策略下的最优功率分配（power splitting, PS）因子，并以精确积分的形式推导相应的中断概率. 文献[8]研究了多径瑞利衰落信道下基于缓冲器辅助差分混沌移位键控的SWIPT中继系统，通过采用Meijer G函数和Gauss-Hermite算法，得到误码率和平均延迟的闭式表达式. 文献[9]针对基于SWIPT的全双工中继网络的最优中继选择问题，利用Karush-Kuhn-Tucker （KKT）条件和拉格朗日函数分别对最优中继选择及发射功率控制进行优化. 文献[10]考虑一种联合直连链路与中继链路的数据传输系统，推导选择式合并（selection combining, SC）策略下的系统中断概率表达式. 文献[11]针对多天线目的节点的中继通信网络提出4种协议，即静态TS因子下的SC、静态TS因子下的最大比合并（maximal ratio- combining, MRC）、最佳动态TS因子下的SC和最佳动态TS因子下的MRC，较为全面地研究系统的中断性能.

值得注意的是，以上文献研究的场景较为理想化，假设所有节点均能获得足够的初始能量，从而保持系统始终处于激活状态；在SWIPT多中继协作系统中^[12-13]，并未对目的节点采用多天线时的吞吐量（throughput, TH）性能进行优化分析. 鉴于此，本文针对EH-WSN系统提出基于PS策略的SWIPT多中继通信模型，研究联合优化TS因子与PS因子的吞吐量最大化中继选择算法，评估系统的中断性能.

1. 系统模型

本文考虑一种基于PS-SWIPT的EH-WSN系统模型，如所示. 该系统包括1个射频PB、N个传感器节点（1,2, $\cdots$ ,j, $\cdots$ ,N）、K个中继节点R_i （i = 1,2, $\cdots$ ,K）和1个目的节点D. 每个传感器节点安设单天线，中继节点安设2根天线、目的节点安设M根天线. 假设传感器节点在半双工（half-duplex, HD）模式下工作，中继节点在全双工模式下工作^[14]. 图中：h_j为PB与传感器节点j之间的链路信道系数， $h_{{{S}},{{R}}_i}$ 、 $h_{{{R}}_i,{{D}}_m}$ 分别为源节点S到中继节点R_i、R_i到目的节点D第m根天线的链路信道系数.

图 1 基于PS-SWIPT的EH-WSN系统模型

Figure 1. EH-WSN system model based on PS-SWIPT

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PB周期性地广播射频（radio frequency，RF）波，系统模型所有传感器节点和中继节点都从该RF信号中获取能量. 传感器节点j作为源节点S，经由中继节点R_i将传感信息传输到目的节点D. 假设无线信道为多径独立的Rayleigh衰落信道，且令信道系数在一个通信周期T内保持不变，而在不同时隙间独立变化^[15]. $|{h_j}{|^2}$ 、 $|{h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{|^2}$ 、 $|{h_{{{{R}}_i},{{{D}}_m}}}{|^2}$ 服从均值分别为λ_j、 ${\lambda _{{{S}},{{{R}}_i}}}$ 、 ${\lambda _{{{{R}}_i},{{{D}}_m}}}$ 的指数分布，例如 ${\lambda _j} = {d_j}^{ - \xi }$ . 其中， ${d_j}$ 为PB与传感器节点j之间的距离， $\xi$ 为路径损耗指数.

基于PS-SWIPT的EH-WSN系统模型采用时分广播（time division broadcasting, TDBC）协议. 1个通信周期T分为2个时隙. 第1个时隙(1−θ)T内 (0<θ<1)，传感器节点和中继节点同时从PB发出的RF信号中收集能量；第2个时隙θT为传感器节点的协作传输阶段，传感器节点j作为源节点S以SWIPT方式将信息和能量同时传输至中继节点，中继节点再以解码转发方式将信息传输至目的节点D.TS因子θ控制着能量接收时隙长度和信息接收时隙长度，是重要的动态优化参数.

第1个时隙(1−θ)T：单天线传感器节点j 收集到的能量为^[16]

$E_j^{{\rm{har}}} = \eta |{h_j}{|^2}P\left( {1 - \theta } \right)T,$

(1)

式中：η为能量转化效率（0<η<1），P为PB的发射功率.

第2个时隙θT：传感器节点j作为源节点S的发射功率为

${P_{{S}}} = \frac{{E_j^{{\rm{har}}}}}{{\theta T}} = \frac{{\eta |{h_j}{|^2}P\left( {1 - \theta } \right)}}{\theta } = k|{h_j}{|^2}P \text{，}$

(2)

式中： $k = \displaystyle{{\eta (1 - \theta )}}/{\theta }$ .

中继节点R_i接收来自源节点S的信号为

${y_{{{\rm{R}}_i}}} = \sqrt {{P_{{S}}}} {h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{x_{{S}}} + \sqrt {{P_{{{{R}}_i}}}} {h_{{{{R}}_i},{{{R}}_i}}}{x_{{{{R}}_i}}} + {n_{{{{R}}_i},{\rm{a}}}} \text{，}$

(3)

式中： ${x_{{S}}} \in C$ ，C为满足 ${{E}}\left\{ {|{x_{{S}}}{|^2}} \right\} = 1$ 的源节点S发送信号； ${P_{{{{R}}_i}}}$ 是R_i的发射功率； ${x_{{{{R}}_i}}} \in C$ ，为R_i发送的信号； ${n_{{{{R}}_i},{\rm{a}}}}$ 为R_i处的加性高斯白噪声，服从独立同分布的复高斯随机变量， ${n_{{{{R}}_i},{\rm{a}}}}$ ～ $CN(0,\sigma _{{n_{{{{R}}_i},{\rm{a}}}}}^2)$ ； $h_{{{R}}_i,{{R}}_i}$ 为中继节点R_i的环回链路信道系数； $\sqrt {{P_{{{{R}}_i}}}} {h_{{{{R}}_i},{{{R}}_i}}}{x_{{{{R}}_i}}}$ 为R_i的环回自干扰信号.

基于PS因子 ${\rho _i} \in (0,1)$ ，R_i的接收信号 ${y_{{{{R}}_i}}}$ 分为两部分： ${\rho _i}$ 部分用于信息传输，1− ${\rho _i}$ 部分用于能量收集. 信息传输信号 $y_{{{R}}_i}^{{\rm{ID}}}$ 和能量收集信号 $y_{{{R}}_i}^{{\rm{EH}}}$ 分别为

$\begin{split} & y_{{{{R}}_i}}^{{\rm{ID}}} = \sqrt {{\rho _i}} {y_{{{{R}}_i}}} + {n_{{{{R}}_i},{\rm{P}}}} = \sqrt {{\rho _i}} \left( \sqrt {{P_{{S}}}} {h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{x_{{S}}} +\right. \\& \left. \quad \sqrt {{P_{{{{R}}_i}}}} {h_{{{{R}}_i},{{{R}}_i}}}{x_{{{{R}}_i}}} + {n_{{{{R}}_i},{\rm{a}}}} \right) + {n_{{{{R}}_i},{\rm{P}}}}, \end{split}$

(4)

$\begin{split} & y_{{{{R}}_i}}^{{\rm{EH}}} = \sqrt {1 - {\rho _i}} {y_{{{{R}}_i}}}= \sqrt {1 - {\rho _i}} \left( \sqrt {{P_{{S}}}} {h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{x_{{S}}} + \right.\\ &\quad \left. \sqrt {{P_{{{{R}}_i}}}} {h_{{{{R}}_i},{{{R}}_i}}}{x_{{{{R}}_i}}} + {n_{{{{R}}_i},{\rm{a}}}} \right) , \end{split}$

(5)

式中： ${n_{{{{R}}_i},{\rm{P}}}}$ 为R_i发射产生的人为噪声，且 ${n_{{{{R}}_i},{\rm{P}}}}$ ～ $CN(0,\sigma _{{n_{{{{R}}_i},{\rm{P}}}}}^2)$ .

自干扰消除后^[17]，R_i的接收信号更替为

$y_{{{{R}}_i}}^{{\rm{ID}}-{\text{SIC}}} = \sqrt {{\rho _i}} \left( {\sqrt {{P_{{S}}}} {h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{x_{{S}}} + {n_{{{{R}}_i},{\rm{a}}}}} \right) + {n_{{{{R}}_i},{\rm{P}}}}.$

(6)

由式（2）、（6），R_i的接收信噪比（signal-to-noise ratio, SNR）为

$\begin{split} & {\gamma _{{{R}_i}}} = \frac{{{\rho _i}{P_{{S}}}|{h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{|^2}}}{{{\rho _i}\sigma _{{n_{{{{R}}_i}}},{\rm{a}}}^2 + \sigma _{{n_{{{{R}}_i},{\rm{P}}}}}^2}}= \frac{{{\rho _i}k|{h_j}{|^2}P|{h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{|^2}}}{{{\rho _i}{N_0} + {N_0}}} = \\ &\quad \frac{{{\rho _i}k|{h_j}{|^2}|{h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{|^2}\varPhi }}{{{\rho _i} + 1}}, \end{split}$

(7)

式中： $\sigma ^2_{{n_{{{\rm{R}}_i},{\rm{a}}}}} = \sigma ^2_{{n_{{{\rm{R}}_i},{\rm{P}}}}} = {N_0}$ （常数）， $\varPhi \triangleq \displaystyle{P}/{{{N_0}}}$ .

因能量部署站PB和中继节点的位置是固定的，单位发射功率下，假设每个中继节点在T内接收到的平均能量是Q_avg，则在PB发射功率为P且能量收集时间为(1−θ)T时，中继节点R_i收集到的能量为Q_avgP(1−θ)T. 忽略中继节点R_i收集过程中噪声产生的微弱能量^[8]，则R_i收集了PB的能量，接收了源节点S发射信号的能量，并对自干扰信号进行能量自回收，最终收集的总能量为

${E_{{{{R}}_i}}} = E_{{{{R}}_i}}^{{\text{SWIPT}}} + \eta {Q_{{\rm{avg}}}}P(1 - \theta )T \text{，}$

(8)

式中： $E_{{{{R}}_i}}^{{\text{SWIPT}}} = \eta \left( {1 - {\rho _i}} \right)\left( {k|{h_j}{|^2}P|{h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{|^2} + {P_{{{{R}}_i}}}|{h_{{{{R}}_i},{{{R}}_i}}}{|^2}} \right)\theta T$ ，为从源节点处收集到的能量.

当中继节点R_i将最终收集的能量 $E_{R_i}$ 均用于发射，发射功率 ${P_{{{{R}}_i}}} = \dfrac{{{E_{{{{R}}_i}}}}}{{\theta T}}$ . 假设T = 1，化简得到

${P_{{{{R}}_i}}} = \frac{{\eta \left( {1 - {\rho _i}} \right) {k|{h_j}{|^2}P|{h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{|^2}} \theta + \eta {Q_{{\rm{avg}}}}P(1 - \theta )}}{{\theta - \eta \left( {1 - {\rho _i}} \right)|{h_{{{{R}}_i},{{{R}}_i}}}{|^2}\theta }} .$

(9)

1.1 目的节点D采用SC策略

目的节点D采用SC策略时，节点D处第m根天线的接收信号为

$y_{{{{R}}_{i,}}{{{D}}_m}}^{{\text{SC}}} = \sqrt {{P_{{{{R}}_i}}}} {h_{{{{R}}_i},{{{D}}_m}}}{x_{{{\rm{R}}_i}}} + {n_{{{{D}}_m}}} \text{，}$

(10)

式中： ${n_{{{{D}}_m}}}$ 为加性高斯白噪声，且 $n _{{{{{D}}_m}}}～N(0,{\sigma _{{n_{{{{D}}_m}}}}^2})$ .

令 $\sigma _{{n_{{{{D}}_m}}}}^2 = {N_0}$ ，则节点D第m根天线处的SNR为

$\qquad\qquad\quad \gamma _{{{{D}}_m}}^{{\text{SC}}} = \frac{{{P_{{{{R}}_i}}}\max\; |{h_{{{{R}}_i},{{{D}}_m}}}{|^2}}}{{\sigma _{{n_{{{{D}}_m}}}}^2}} = \frac{{\left[ {\eta \left( {1 - {\rho _i}} \right) {k|{h_j}{|^2}P|{h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{|^2}} \theta + \eta {Q_{{\rm{avg}}}}P(1 - \theta )} \right]\max \;|{h_{{{{R}}_i},{{{D}}_m}}}{|^2}}}{{{N_0}\theta \left[ {1- \eta \left( {1 - {\rho _i}} \right)|{h_{{{{R}}_i},{{{R}}_i}}}{|^2} } \right]}} .$

(11)

目的节点D采用SC策略时，选取最佳天线数为

${m^*} = \mathop {\arg \max }\limits_{1 \leqslant m \leqslant M} |{h_{{{{R}}_i},{{{D}}_m}}}{|^2}.$

(12)

设变量Z的累积分布函数（cumulative distribution function, CDF）函数和概率密度函数（probability density function, PDF）分别为F_Z(z)和f_Z(z) ，令 $Z = \mathop {\max }\limits_{m = 1,2, \cdots ,M} {\text{\{ }}|{h_{{{{R}}_i},{{{D}}_m}}}{|^2}{\text{\} }}$ ，则

${F}_{Z}({\textit{z}})=1+{\displaystyle \sum _{m=1}^{M}{\left(-1\right)}^{m}}{\text{C}}_{M}^{m}{\text{e}}^{-m{\textit{z}}{\lambda }_{{{R}}_{i},{{D}}_m}}\text{，}$

(13)

${f_Z}({\textit{z}}) = {\lambda _{{{{R}}_i},{{{D}}_m}}}\sum\limits_{m = 1}^{M - 1} {{{\left( { - 1} \right)}^m}} {\text{C}}_{M - 1}^m{{\text{e}}^{ - (m + 1){\textit{z}}{\lambda _{{{{R}}_i},{{D}}_m}}}},$

(14)

式中： ${\text{C}}_M^m = \displaystyle\frac{{M!}}{{m!(M - m)!}}$ .

1.2 目的节点D采用MRC策略

目的节点D采用MRC策略时，可合并来自M根天线的信号，其接收信号为

$y_{{{{R}}_{i},}{{D}}}^{{\text{MRC}}} = \sum\limits_{m = 1}^M {\sqrt {{P_{{{{R}}_i}}}} {h_{{{{R}}_i},{{{D}}_m}}}{x_{{{{R}}_i}}}} + {n_{{D}}},$

(15)

式中： ${n_{{D}}}$ 为加性高斯白噪声，且 ${n_{{D}}}～N(0,{\sigma _{{n_{{D}}}}^2})$ .

根据式（9）、（15），并令 $\sigma _{{n_{{D}}}}^2 = {N_0}$ ，得到节点D的SNR为

$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\gamma _{{D}}^{{\text{MRC}}} = \frac{{\displaystyle\sum\limits_{m = 1}^M {{P_{{{{R}}_i}}}|{h_{{{{R}}_i},{{{D}}_m}}}{|^2}} }}{{\sigma _{{n_{{D}}}}^2}} = \frac{{\left[ {\eta \left( {1 - {\rho _i}} \right) {k|{h_j}{|^2}P|{h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{|^2}} \theta + \eta {Q_{{\rm{avg}}}}P(1 - \theta )} \right]\displaystyle\sum\limits_{m = 1}^M {|{h_{{{{R}}_i},{{{D}}_m}}}{|^2}} }}{{{N_0}\left[ {\theta - \eta \left( {1 - {\rho _i}} \right)|{h_{{{{R}}_i},{{{R}}_i}}}{|^2}\theta } \right]}} \text{.}$

(16)

令 $W = \displaystyle\sum\limits_{m = 1}^M {|{h_{{R_i},{D_m}}}{|^2}}$ ，其PDF为

${f_W}(w) = \frac{{{{\lambda^M _{{{{R}}_i},{{D}}}}}}}{{(M - 1)!}}{w^{M - 1}}{{\rm{e}}^{ - w{\lambda _{{{{R}}_i},{{D}}}}}} .$

(17)

2. 中断概率与吞吐量分析

2.1 目的节点D采用SC策略

在基于PS-SWIPT的EH-WSN系统中，目的节点D采用SC策略的中断概率可表示为^[18]

$\; \; \; \; \;\; \; \; \;\; \; \; \; \; \;\; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \;\begin{split} &{P_{{\rm{out}}}}{,_{{\text{SC}}}} \triangleq P_{\rm{r}} (\gamma _{{\rm{e2e}}}^{{\text{SC}}} < {\gamma _{{\rm{th}}}}) = {P_{\rm{r}}}\left(\mathrm{min}\left\{\frac{{\rho }_{i}{P}_{{{S}}}|{h}_{{{S}},{{{R}}}_{i}}{|}^{2}}{{\rho }_{i}{\sigma }_{{n}_{{{{R}}}_{i}}}^{2} + {\sigma }_{{n}_{{{{R}}}_{i},{\rm{P}}}}^{2}},\frac{{P}_{{{{R}}}_{i}}\mathrm{max}\;|{h}_{{{{R}}}_{i},{{{D}}}_{m}}{|}^{2}}{{\sigma }_{{n}_{{{{D}}}_{m}}}^{2}}\right\} < {\gamma }_{{\rm{th}}}\right)=\\ & \quad 1-{P_{\rm{r}}}\left(\frac{{\rho }_{i}{P}_{{{S}}}|{h}_{{{S}},{{{R}}}_{i}}{|}^{2}}{{\rho }_{i}{N}_{0} + {N}_{0}}\geqslant {\gamma }_{{\rm{th}}}\text{，}\frac{{P}_{{{{R}}}_{i}}\mathrm{max}\;|{h}_{{{{R}}}_{i},{{{D}}}_{m}}{|}^{2}}{{N}_{0}}\geqslant {\gamma }_{{\rm{th}}}\right)=1-{P_{\rm{r}}}\left(\frac{{\rho }_{i}k\left|{h}_{j}{|}^{2}\right|{h}_{{{S}},{{{R}}}_{i}}{|}^{2}\varPhi }{{\rho }_{i} + 1}\geqslant {\gamma }_{{\rm{th}}}\text{，}\right.\\ &\quad \left.\frac{\left[\eta \left(1-{\rho }_{i}\right)k\left|{h}_{j}{|}^{2}\right|{h}_{{{S}},{{{R}}}_{i}}{|}^{2}\theta + \eta {Q}_{{\rm{avg}}}(1-\theta )\right]\varPhi\; \mathrm{max}\;|{h}_{{{{R}}}_{i},{{{D}}}_{m}}{|}^{2}}{\theta -\eta \left(1-{\rho }_{i}\right)|{h}_{{{{R}}}_{i},{{{R}}}_{i}}{|}^{2} \theta } \geqslant {\gamma }_{{\rm{th}}}\right),\end{split}$

(18)

式中：P_r(·)为概率， $\gamma _{{\rm{e2e}}}^{{\text{SC}}} \triangleq \min \{{\gamma _{{{{R}}_i}}},\gamma _{{{{D}}_m}}^{{\text{SC}}}\}$ ， ${\gamma _{{\rm{th}}}}$ 为预设SNR阈值.

令 $X=\left|h_{j}\right|^{2}\left|h_{{{S}},{{R}}_{i}}\right|^{2}$ ，则其CDF为

$\begin{split} & {F_X}(x) = {P_{\rm{r}}}\left( {X < x} \right) = {P_{\rm{r}}}\left( {|{h_j}{|^2} < \frac{x}{{|{h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{|^2}}}} \right) =\\ &\quad\displaystyle\int_0^\infty {{F_{|{h_j}{|^2}}}} \left( {\frac{x}{{|{h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{|^2}}}} \right) {f_{|{h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{|^2}}}(|{h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{|^2}){\rm{d}}|{h_{{{S}},{{{R}}_i}}}{|^2} =\\ & \quad1 - 2\sqrt {{\lambda _j}{\lambda _{{{S}},{{{R}}_i}}}x} {K_1}\left( {2\sqrt {{\lambda _j}{\lambda _{{{S}},{{{R}}_i}}}x} } \right) \text{，} \end{split}$

(19)

式中： ${K_v}$ (·)为第二类v阶修正贝塞尔函数.

令 $t = {\rho _i} + 1$ ， $d = {\rho _i}k\varPhi$ ， $a = \eta (1 - {\rho _i})k\theta$ ， $b = \eta {Q_{{\rm{avg}}}}\times (1 - \theta )$ ， $c = \theta - \eta (1 - {\rho _i})|{h_{{R_i},{R_i}}}{|^2}\theta$ ，则式（18）可以等价转化为

$\begin{split} &{P}_{{\rm{out}}\text{,SC}}=1-{P_{\rm{r}}}\left(\frac{d\left|{h}_{j}{|}^{2}\right|{h}_{{{S}},{{{R}}}_{i}}{|}^{2}}{t}\geqslant {\gamma }_{{\rm{th}}}\text{，}\right.\\ &\quad\left.\frac{ \left(a\left|{h}_{j}{|}^{2}\right|{h}_{{{S}},{{{R}}}_{i}}{|}^{2} + b\right) \varPhi\;\mathrm{max}\;|{h}_{{{{R}}}_{i},{{{D}}}_{m}}{|}^{2} }{c}\geqslant {\gamma }_{{\rm{th}}}\right) =\\ &\quad 1-{P_{\rm{r}}}\left(X\geqslant \frac{{t\gamma }_{{\rm{th}}} }{d}\text{，}Z\geqslant \frac{{\gamma }_{{\rm{th}}} c}{(ax + b)\varPhi }\right)=\\ &\quad1-{\displaystyle {\int }_{\frac{{t\gamma }_{{\rm{th}}} }{d}}^{\infty }\left({\displaystyle {\int }_{\frac{{c\gamma }_{{\rm{th}}} }{(ax + b)\varPhi }}^{\infty }{f}_{Z}({\textit{z}})}{\rm{d}}{\textit{z}}\right)} {f}_{X}(x){\rm{d}}x =\\ &\quad1 - \int_{\frac{{{t\gamma _{{\rm{th}}}} }}{d}}^\infty {\left( {\sum\limits_{m = 1}^M {{{\left( { - 1} \right)}^{m + 1}}{\rm{C}}_M^m} {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{{{{R}}_{i,}}{{D}}_m}}\frac{{{\gamma _{{\rm{th}}}} cm}}{{(ax + b) \varPhi}}}}} \right)} {f_X}(x){\rm{d}}x{\text{ }} . \end{split}$

(20)

通过使用文献[19]中的等式(8.486,18)，可以计算得

${f_X}(x) = \frac{{{\rm{d}} {{F_X}(x)} }}{{{\rm{d}}x}} = 2{\lambda _j}{\lambda _{{{S}},{{{R}}_i}}}{K_0}\left( {2\sqrt {{\lambda _j}{\lambda _{{{S}},{{{R}}_i}}}x} } \right) .$

(21)

将式（21）代入式（20），得到

$\begin{split} & {P_{{\rm{out}}{\text{,SC}}}} = 1 - \displaystyle\int_{\frac{{{t\gamma _{{\rm{th}}}} }}{d}}^\infty {\left( {\sum\limits_{m = 1}^M {{{\left( { - 1} \right)}^{m + 1}}{\rm{C}}_M^m} {{\rm{e}}^{ - {\lambda _{{{{R}}_{i,}}{{D}}_m}}\frac{{{\gamma _{{\rm{th}}}} cm }}{{(ax + b)\varPhi }}}}} \right)} \times \\ &\quad \left[ {2{\lambda _j}{\lambda _{{{S}},{{{R}}_i}}}{K_0}\left( {2\sqrt {{\lambda _j}{\lambda _{{{S}},{{{R}}_i}}}x} } \right)} \right]{\rm{d}}x . \end{split}$

(22)

根据解码转发协议，目的节点采取SC接收策略下的吞吐量为

$T_{{{\text{H,SC}}}} = \theta {\log _2}(1 + \min \{{\gamma _{{{{R}}_i}}},\gamma _{D_m}^{{\text{SC}}}\}) \text{.}$

(23)

2.2 目的节点D采用MRC策略

目的节点D采用MRC策略的中断概率为

$\begin{split} & {P_{{\rm{out}}{\text{,MRC}}}} \triangleq P_{\rm{r}} (\gamma _{{\rm{e2e}}}^{{\text{MRC}}} < {\gamma _{{\rm{th}}}}) =1 - \displaystyle\int_{\frac{{{t\gamma _{{\rm{th}}}} }}{d}}^\infty 2{\lambda _j}{\lambda _{{{S}},{{{R}}_i}}}\times \\ &{K_0}\left( {2 \sqrt {{\lambda _j}{\lambda _{{{S}},{{{R}}_i}}}x} } \right) \Biggl({30} \frac{{ \Gamma (M)}}{{(M - 1)!}} -\frac{1}{{(M - 1)!}} \times \Biggl.{30}\\ & \left.{{\rm{e}}^{ - \tfrac{{{\gamma _{{\rm{th}}}} c {\lambda _{{{{R}}_i},{{D}}}}}}{{(ax + b)\varPhi }}}}\sum\limits_{q = 0}^N {\frac{{{{\left( {\dfrac{{{\gamma _{{\rm{th}}}} c {\lambda _{{{{R}}_i},{{D}}}}}}{{(ax + b)\varPhi }}} \right)}^{M + q}}}}{{M(M + 1) \cdots (M + q)}}} \right){\rm{d}}x{\text{ }} , \end{split}$

(24)

式中： $\gamma _{{\rm{e2e}}}^{{\text{MRC}}} \triangleq \min \{{\gamma _{{{{R}}_i}}},\gamma _{{D}}^{{\text{MRC}}}\}$ ，Γ(M)为伽马函数.

目的节点D采用MRC策略时系统吞吐量为

$T_{{{\text{H,MRC}}}} = \theta {\log _2}(1 + \min \{{\gamma _{{{{R}}_i}}},\gamma _{{D}}^{{\text{MRC}}}\}) \text{.}$

(25)

3. 问题描述与优化求解

在保证通信服务质量（quality of service, QoS）和PB发射功率P、能量转化效率η等约束条件下，本文提出一种以吞吐量最大化为优化目标的最优中继选择算法. 通过联合优化TS因子θ与PS因子 ${\rho _i}$ ，使得吞吐量T_H最大，然后选择最佳中继，实现基于SWIPT的EH-WSN中继系统的吞吐量最大化.

TH性能优化问题（P1）建模为式（26）～（31）（以目的节点D采用SC策略为例）.

$\mathop {\max }\limits_{i ,{\rho _{i}},\theta } \;T_{{{\text{H,SC}}}} = \theta {\log _2}(1 + \min \{{\gamma _{{{{R}}_i}}},\gamma _{{{{D}}_m}}^{{\text{SC}}}\}),$

(26)

${{\rm{s}}} .{\rm{t}}：\mathop {\min\limits_{i,{\rho _{i}},\theta } \{{\gamma _{{{{R}}_i}}},\gamma _{{{{D}}_m}}^{{\text{SC}}}\} \geqslant {\gamma _{{\rm{th}}}}} ,$

(27)

$\quad\;\; {Q_{{\rm{avg}}}} \geqslant e ,$

(28)

$\quad\;\;\; {\text{0 < }}P \leqslant {P_{\rm{m}}} ,$

(29)

$\quad\;\;\; 0 < \theta < 1 ,$

(30)

$\quad\;\;\; 0 < {\rho _i} < 1,$

(31)

式中：e为中继节点捕获的平均能量阈值，P_m为PB发射功率限制.

P1是一个复杂的0-1 NP-hard问题，涉及中继选择以及参数θ与 ${\rho _i}$ 的优化. 因此，本文将P1优化重新定义为一对耦合优化问题，分解为关于θ与 ${\rho _i}$ 的内部优化问题（P2）以及选择最优中继节点的外部优化问题2个子问题.

内部优化问题P2的解决方案是：在假定中继节点R_i活跃状态的情况下，针对EH-WSN中的每个中继节点，搜寻最佳的θ与 ${\rho _i}$ ，使其对应的系统TH值最大. 内部优化问题P2表示为式（27）～（32）.

$\mathop {\max }\limits_{{\rho _{i}},\theta } T{_{{\text{H,SC}}}} = \theta {\text{lo}}{{\text{g}}_2}(1 + \min \{{\gamma _{{{{R}}_i}}},\gamma _{{{{D}}_m}}^{{\text{SC}}}\}) \text{.}$

(32)

通过分析函数T_H,SC与θ、 ${\rho _i}$ 的关系，可以得知这是一个拟凸函数，在区间（0,1）上具有最优值θ^*、 $\rho _{i}^{*}$ 使系统TH值最大，可采用斐波那契（黄金分割法）查找算法^[20]搜索到θ^*与 $\rho _{i}^{*}$ 。

然而，本文考虑基于θ与 ${\rho _i}$ 联合优化下的中继选择算法，通过参数的动态调整，使系统的TH值最大，提高系统的整体性能. 根据式（7），计算中继节点R_i的接收信噪比 ${\gamma _{{{{R}}_i}}}$ 对 ${\rho _i}$ 的一阶偏导数，其值大于0，说明 ${\gamma _{{{{R}}_i}}}$ 沿着 ${\rho _i}$ 方向为单调递增函数；同理，由式（11）知，目的节点D的接收信噪比 $\gamma _{{{{D}}_m}}^{{\text{SC}}}$ 对 ${\rho _i}$ 的一阶偏导数小于0，说明 $\gamma _{{{{D}}_m}}^{{\rm{SC}}}$ 沿着 ${\rho _i}$ 方向为单调递减函数. 由此得出，当 ${\gamma _{{{{R}}_i}}}(\rho_i ) = \gamma _{{{{D}}_m}}^{{\text{SC}}}(\rho_i )$ 时，存在唯一的 $\rho _{i}^{*}$ 使系统TH值最大. 进而，将 $\rho _{i}^{*}$ 代入式（23），通过设置不同的θ值提升系统性能. 当每个中继节点对应最优值θ^*与 $\rho _i^*$ 获得最大TH值后，即可进行最佳中继节点的一维搜索. 最佳中继节点索引为

${i^*} = \arg {\max } \; T_{{\text{H,SC}}}({\rho _i^*},{\theta ^*}) .$

(33)

基于以上分析，在优化问题P1时，首先通过求解内部优化问题P2，提出一种动态联合优化方案，得到内层优化式的最优目标值；然后，根据θ^*和 $\rho _i^*$ 搜寻最佳中继节点，即可获得整体问题的最优解. 联合优化最优中继选择算法如所示. 其中： $\gamma _{{{{D}}_m},i}^{{\text{SC}}}$ 为SC策略下信息经第i个中继节点传输到目的节点D处的信噪比； $\gamma _{{\rm{e2e}},i}^{{\text{SC}}}$ 为SC策略下选取第i个中继节点时，中继节点R_i处和目的节点D处的信噪比最小值； ${T_{{\text{H,SC}},i}}$ 为选取第i个中继节点后，在SC策略下的系统吞吐量； $\mathop T\nolimits_{{\text{H,SC,}}i}^ *$ 为信息经最佳中继节点i^* 传输时，SC策略下的系统吞吐量.

图 2 联合优化最优中继选择算法

Figure 2. Optimal relay selection algorithm by joint optimization

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最优中继选择算法的计算复杂度为O(K² + K)，最优中继节点的选取是在联合优化θ和ρ_i的方案下提出的，相比在固定TS因子以及静态PS因子下的最优中继节点的选取^[21-22]，此算法可使系统变量间相互调节，提高EH-WSN系统性能.

4. 仿真结果与性能分析

为验证本文提出的基于PS-SWIPT的EH-WSN系统模型及中继选择算法的有效性，评估PB功率、时隙切换因子等参数对系统中断概率、吞吐量性能的影响，通过Monte Carlo仿真分析. 假设系统模型中有K = 6个可实现全双工的中继节点，η = 0.8，Q_avg =0.5 J. 令所有R_i的自干扰信道增益均相等， $|{h_{{{{R}}_i},{{{R}}_i}}}{|^2} = 0.1$ ；所有噪声的方差相等， $\sigma _{{n_{{{{R}}_{{i}}},{\rm{a}}}}}^2 = \sigma _{{n_{{{{R}}_{{i}}},{\rm{P}}}}}^2 = \sigma _{{n_{{{{D}}_m}}}}^2 = {N_0} = 1$ ；所有中继具有相同的PS因子、TS因子. 进行约10⁶次独立实验，使用瑞利衰落模型^[23]，采用正交幅度调制（QAM）.

理论上，式（24）中的N取无穷大，但经过数次仿真实验发现，N取到一定数值后，结果会趋于稳定. 图3显示了遍历总次数对MRC接收策略下中断概率的影响，可以看出，当N>7时，P_out,MRC已趋于收敛，因此，N = 50.

图 3 MRC接收策略下循环次数对中断概率的影响

Figure 3. Effect of loop number on outage probability under MRC strategy

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图4为SC、MRC接收策略下PS因子ρ_i对系统中断概率和吞吐量的影响. 其中， ${\gamma _{{\rm{th}}}}$ =1 dB，M =3根，θ = 0.8. 由图4可以看出：当ρ_i = 0时，源节点RF信号的所有功率都用于能量收集，此时，不论目的节点D采取何种接收策略，系统中断概率均为1.00，吞吐量为0；随ρ_i的增大，中断概率先减小后增大，吞吐量先增大后减小. SC接收策略在ρ_i =0.58时，对应中断概率最小，吞吐量最大；MRC接收策略在ρ_i = 0.71时，对应中断概率最小，吞吐量最大. 当P = 3 dBW时，SC、MRC策略下的最小中断概率分别为0.52、0.49；当P = 5 dBW时，SC、MRC策略下的最小中断概率分别为0.42、0.39. 当P = 3 dBW时，SC、MRC策略下的最大吞吐量分别为0.12、0.15 bit/（s·Hz）；当P = 5 dBW时，SC、MRC策略下的最大吞吐量分别为0.18、0.23 bit/（s·Hz）.

图 4 不同PS因子的中断概率与吞吐量

Figure 4. Outage probability and throughput under different PS factors

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和分别为不同接收策略下PB发射功率以及天线数目对系统中断概率的影响. 其中， ${\gamma _{{\rm{th}}}}$ =1 dB，θ = 0.8. 从图5可得，当PS因子ρ_i取值相同时，相同发射功率下，基于MRC策略的中断性能优于SC策略的性能. 这是因为，MRC策略可合并所有天线的接收信号，而SC策略仅选择了最佳通道接收信号. 从图6看出，当给定P值时，SC策略下的系统中断概率在M≥9根时基本保持不变，而MRC策略下的中断概率在M≥5根时趋于稳定. 在相同天线数目下，发射功率P对系统中断性能的影响远远大于接收策略对中断性能的影响.

图 5 不同PB发射功率的中断概率

Figure 5. Outage probability for different PB transmit powers

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为不同接收策略下TS因子θ对系统中断概率和吞吐量的影响. 其中， ${\gamma _{{\rm{th}}}}$ = 1 dB，M = 3根，ρ_i=0.8. 图7（a）表明：当给定P、θ值时，MRC策略的中断性能始终优于SC策略的中断性能；若给定θ值，增大P，系统中断概率减小；此外，当θ逐渐增大，MRC策略在P = 3 dBW时的中断概率大于SC策略在P = 5 dBW时的中断概率. 这是由于当节点收集能量时间相同时，相比于发射功率，接收策略对中断概率的影响更小. 图7（b）表明：当θ取值逼近0时，因系统无法进行有效的信息传输，吞吐量较低；当θ持续增大，接近1.0时，传感器节点和中继节点因无法收集到足够能量，从而导致吞吐量趋于0.

图 6 不同天线数目的中断概率

Figure 6. Outage probability for different antenna numbers

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图 7 不同TS因子下的中断概率与吞吐量

Figure 7. Outage probability and throughput for different TS factors

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图8对比了采用随机中继选择算法（Random）、最大最小中继选择算法（Max-Min）和本文提出的联合优化最优中继选择算法在不同TS因子时的系统最优吞吐量. 假设P = 5 dBW，M = 3根，Random和Max-Min在采取SC接收策略时，ρ_i= 0.58，MRC接收策略时ρ_i= 0.71，而本文算法ρ_i在（0,1.00）内动态变化. 由图8 可以看出：随着θ的变化，3种中继选择算法均可达到最大吞吐量；在相同接收策略下，Random的吞吐量最小，Max-Min次之，本文算法的吞吐量最大. 以MRC策略为例：当θ^*= 0.21时，Random的最大吞吐量为0.54 bit/（s·Hz）；当θ^*= 0.23时，Max-Min的最大吞吐量为0.68 bit/（s·Hz）；当θ^*= 0.28时，本文算法的最大吞吐量为0.82 bit/（s·Hz）. 由此可知，本文提出的算法通过联合优化θ和ρ_i，较好地实现了系统吞吐量性能的整体提升.

图 8 不同TS因子时各算法的吞吐量对比

Figure 8. Throughput comparison of different algorithms with different TS factors

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M=3根，3种算法下系统最大吞吐量与PB发射功率P之间的关系如图9所示. 可以看出，当P = 6 dBW，采取SC策略时，相比Random、Max-Min，本文算法的系统吞吐量增益分别为0.29、0.15 bit/（s·Hz）；采取MRC策略时，相比Random、Max-Min，本文算法的系统吞吐量增益分别为0.32、0.16 bit/（s·Hz）. 由此可知，本文所提方案能达到更大的系统吞吐量.

图 9 不同PB发射功率时各算法的吞吐量对比

Figure 9. Throughput comparison of different algorithms with different PB transmit powers

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5. 结　论

本文基于PS-SWIPT技术，在PB辅助下构建了EH-WSN系统模型. 与其他WSN系统不同的是，所有节点先进行一段时间的能量收集，然后再用收集到的能量发射信息，且中继节点应用SWIPT技术还可得到源节点能量和自干扰信号自回收的能量补充. 在考虑目的节点D采用多天线的情况下，分别推导了SC和MRC接收策略下的中断概率、吞吐量的表达式. 在保证通信QoS等多约束条件下构建数学模型，将复杂的0-1 NP-hard问题拆分成2个子问题，并提出TS和PS因子联合优化下的最优中继选择算法. 仿真结果表明，各参数对EH-WSN中断性能影响明显，联合优化最优中继选择算法可使系统吞吐量性能得到优化. 未来可通过考虑非线性EH，将这项研究扩展到更广义的模型.

图 1 ARHMB三维结构

Figure 1. ARHMB 3D structure

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图 2 ARHMB轴径向剖面结构及参数

Figure 2. ARHMB axail radial section structure and parameters

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图 3 ARHMB磁通分布

Figure 3. ARHMB flux distribution

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图 4 偏置磁通磁路

Figure 4. Equivalent magnetic circuit of bias flux

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图 5 径向磁轴承

Figure 5. Radial magnetic bearing

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图 6 径向控制磁通等效磁路

Figure 6. Equivalent magnetic circuit of radial control flux path

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图 7 推力磁轴承

Figure 7. Thrust magnetic bearing

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图 8 轴向控制磁通等效磁路

Figure 8. Equivalent magnetic circuit of the axial control flux

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图 9 轴向等效磁阻频率响应

Figure 9. Frequency response of axial equivalent reluctance

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图 10 径向等效磁阻频率响应

Figure 10. Frequency response of radial equivalent reluctance

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图 11 轴向力-电流刚度频率响应

Figure 11. Frequency response of axial force-current stiffness

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图 12 轴向力-位移刚度频率响应

Figure 12. Frequency response of axial force-displacement stiffness

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图 13 径向刚度频率响应

Figure 13. Frequency response of radial stiffness

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图 14 不完全微分形式的PID控制

Figure 14. Non-differential PID control

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图 15 不完全微分PID控制阶跃响应

Figure 15. Step response of incomplete differential PID control

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图 16 不完全微分形式的PID控制误差变化曲线

Figure 16. Error curve of PID control in incomplete differential form

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表 1 ARHMB结构参数

Table 1. ARHMB structure parameters mm

参数	数值	参数	数值
轴向磁极宽度 x	6	转子外径宽度 y	6
轴向定子腔宽度 b	20	径向磁极轴向宽度 c	25
径向磁极径向宽度 l	9	气隙宽度 g	0.4
转子半径 d₁	15	轴向磁极内径 d₂	18
转子外径 d₃	24	径向磁极外径 d₄	28
轴向定子内径 d₅	58	轴向定子内外径间距 d₆	7
径向定子外径 d₇	58	导磁环厚度 d₈	6

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