Compaction Characteristics of Paver Tamper to Mixture Considering Shock Load
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摘要:
为了提高沥青摊铺机对铺层混合料的初始密实度，针对振捣机构动力学特征，考虑振捣冲击载荷对混合料的影响，建立了铺层材料密实度与振动参数、系统参数之间关系仿真模型，剖析振捣机构对混合料密实度与动态响应关系，揭示振捣压实特性机理. 进行振捣机构对混合料摊铺密实效果的试验研究，得到振捣频率对材料密实度的影响特性曲线，通过不同阻尼参数下的模型分析，确定了振捣峰值密实度出现时的最佳振捣频率，同时对振捣密实度随各谐波频率的变化规律进行仿真计算和试验验证. 研究结果表明：当频率比小于最佳振捣频率比时，密实度对振捣频率变化敏感，随着频率的增加，铺层密实度变化平缓，仿真与试验结果变化规律基本一致；当振捣频率接近最佳振捣频率时，除了与激励频率相同的稳态响应外，还存在频率为2倍激励频率的振动成分；当匹配振捣频率比大于0.45时，会产生高效密实效果. 研究结果可为摊铺机实现对铺层混合料的高效压实提供依据.
Abstract:To improve the initial density of a paving mixture behind the paver, the research of the dynamic characteristics of tamper is needed. In the impact compaction, the vibration shock force will impact mixture. A simulation model reflecting the relationship between paving material compactness and vibration parameters, system parameters was established to analyze the relationship between the compactness and dynamic response of the tamper, and reveal compaction mechanism of tamper. By testing the paving compaction effect of the tamper on the mixture, the paving compactness-frequency curve was obtained. Through analysis of the model with different damping coefficients, the best vibration frequency corresponding to maximum density peak could be determined. Meanwhile the influence of vibration frequency on paving density was analyzed through simulation and experiment. The results show that, when the frequency ratio is less than the best vibration frequency ratio, mixture compactness is sensitive to vibration frequency, and the compactness changes gently with increasing frequency when vibration frequency is larger than the best vibration frequency ratio, so the simulation results are basically consistent with the experimental results. When the vibrating frequency is close to the best vibrating frequency, besides the steady-state response with the same excitation frequency, there is a harmonic vibration component whose frequency is equal to 2 times the excitation frequency. When the frequency ratio is greater than 0.45, the high compacting effect would be obtained for the paving mixture. The research results provide the basis for pavement effective compaction.
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Key words:
- paver /
- tamper mechanism /
- impact compaction /
- harmonic resonance /
- best vibration frequency
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随着现代工业的不断发展，磁轴承因高转速和无摩擦等优点被广泛应用于航空航天、高速机床等领域. 在实际运行中，转子不平衡、弯曲和转子不对中等最为常见，是机器振幅增加的主要来源，严重影响系统的安全稳定运转. 为使高速转子能够平稳高效运行，研究和识别轴承转子系统不对中非常重要，以便于纠正和消除转子轴承系统中不对中故障.
旋转机械转子不对中可分为2种情况，即2个耦合转子的轴线彼此不对中和转子轴线和支撑转子的轴承不对中，这种轴承不对中故障的原因可能是由于安装或组装不当，传感器测量误差以及涡流效应导致膨胀和热变形引起的轴承和转子轴线失准. 陈宏等[1]提出一种联轴器处不对中定量分析方法，该方法通过安装在转子系统上的电涡流传感器获得转子运动的轴心位置信息，进而得到转子耦合处平行不对中量以及角度不对中量. 甄满等[2]研究了在弹性联轴器连接下含有不对中故障的转子系统，发现不对中会使系统的非线性特征更加复杂. 当膜盘联轴器径向刚度增大后会出现偶数倍频分量. Shari等[3]通过多通道振动数据采集系统监测系统振动，并将快速傅里叶变换（FFT）技术和独立分量分析（ICA）相结合来检测旋转机械中发生的不平衡和不对中故障. Kuppa等[4]提出一种基于最小二乘的识别算法，应用动态降阶方法估计转子-磁轴承-联轴器系统中不平衡、联轴器不对中和磁轴承的动态参数，并针对测量误差测试了所提出方法的有效性和鲁棒性. Lees等[5]提出一种利用转子静态和动态响应特性变化的诊断方法检测联轴器不对中故障，并发现，随着不对中程度的增加，转子轨道随不对中量的增加而趋于平坦.
对于轴承不对中故障，Kumar等[6]发现磁轴承不对中会导致转子振动幅值增大，但对于转子系统仅考虑了平行不对中，实际中每个支撑转子的磁轴承不对中量并不是完全相同的. Kärkkäinen等[7]研究磁轴承-转子系统轴承不对中产生的动力学特性，并给出了水平和垂直方向上的不对中量，发现水平方向的不对中严重影响转子系统稳定性. Kumar等[8]研究了磁轴承-转子系统不同偏心距和不对中量大小对转子系统的影响，发现磁轴承不对中和圆盘不平衡会产生更高的电流和位移幅值. Kumar等[9]还提出了一种利用FFT将磁轴承处的位移和电流时域响应转变为频域来估计不平衡故障参数和磁轴承不对中量，发现该算法在多个转子转速下，对噪声信号和建模误差具有鲁棒性和有效性，但未考虑陀螺效应影响下转子的轴向振动. Tiwari等[10]分析磁轴承不对中以及传感器不对中所引起的振动特性，并使用陀螺动态降阶方法简化柔性转子-磁轴承不对中系统的数学模型.
随着转子转速的增加，磁轴承系统的陀螺效应更加明显. 实际工程中发生过多起汽轮发电机组轴向振动偏大的问题，影响机组的安全运行. 因此，在高速转动条件下，轴径向耦合问题不容忽视. 汤华涛等[11]分析了不平衡转子会发生轴向振动的来源，利用多体系统传递矩阵法得到转子轴向力的推导方法，并搭载实验平台验证了转子的横向运动效应. 为防止轴向振动过高，朱熀秋等[12]提出了三自由度混合磁轴承来抑制转子轴向传动. 汪希平等[13]对五自由度电磁轴承转子系统进行分析，并搭建试验平台验证所提出转子系统动力学分析方法的可行性. Darpe等[14]研究周期冲击载荷作用下裂纹转子引起的轴径向耦合振动，从径向振动的频谱中发现，裂纹会引起轴径向耦合振动. 但在工程实际中，转子-轴承系统往往会存在随机扰动. 为保证转子受到扰动情况下可以稳定运行，邹博等[15]分析不同冲击激励下磁悬浮转子系统的响应，发现冲击时间和转速对转子振动具有显著影响. 此外，在相同冲击幅值下，矩形冲击相对于半正弦冲击，会使转子产生更明显的幅值响应. 陈伟等[16]研究航空发动机转子系统受到冲击激励下的振动特性，并进行试验研究，发现转子系统瞬态振动响应加剧并会激起转子的正反进动和横向振动模态. 因此，需要感知机器的动态特性并识别故障，以便安全、平稳和有效地运行机器.
基于以上分析，冲击扰动下磁轴承固有不对中故障对转子系统的影响不可忽视. 本文研究对象为径向磁轴承和混合磁轴承支撑的五自由度转子系统，考虑冲击激励下和轴径向耦合作用下平行角度混合不对中对转子系统的影响，并利用频域下的最小二乘法计算转子-磁轴承系统的不对中量，使用冲击扰动和噪声验证该算法的鲁棒性，为该类转子的故障诊断和处理提供了参考.
1. 五自由度轴承-转子系统模型
1.1 系统模型
本文以刚性双偏置圆盘转子-磁轴承系统为分析对象，该旋转部件由转轴和圆盘组成，左右两端分别由径向磁轴承和混合磁轴承所支承，具体结构和参数如图1所示. 其中，$ {A_1}{A_1} $，$ {A_2}{A_2} $分别为径向磁轴承和混合磁轴承径向中心轴；$ {\delta _{x1}} $、$ {\delta _{x2}} $分别为两磁轴承与转子旋转轴$ {\textit{z}} $的不对中量；$ {A_3}{A_3} $为混合磁轴承轴向方向中心轴，其不对中量为$ {\delta _{{\textit{z}}2}} $；$ G $为转子重心；$ {a_1} $、$ {a_2} $分别为径向磁轴承和混合磁轴承距转子重心的距离；$ {b_1} $、$ {b_2} $分别为圆盘1、2距转子重心的距离.
图 1 刚性双偏置圆盘转子-磁轴承系统模型Figure 1. Model of a rigid double offset disc rotor-magnetic bearing system根据几何关系有
{ux=ux2+(ux1−ux2)a2/l=(a2ux1+a1ux2)/l,uy=uy2+(uy1−uy2)a2/l=(a2uy1+a1uy2)/l, (1) {φy=(ux2−ux1)/l,φx=(uy1−uy2)/l, (2) 式中：$ l $为转子长度，$ {u_x} $、$ {u_y} $分别为转子重心处在x、y向的平动位移，$ {\varphi _y} $、$ {\varphi _x} $分别为转轴在xOz平面和yOz平面内的横向角位移， $ {u_{x1}} $（$ {u_{y1}} $）、$ {u_{x2}} $（$ {u_{y2}} $）分别为转子在径向磁轴承和混合磁轴承处x（y）方向的平动位移.
1.2 转子受力分析
假设转子在圆盘1处x、y方向分别受到加速度幅值为$ R{{g}} $，持续时间为$ t $的半正弦冲击激励和矩形脉冲激励[15]. 其中，R为幅值系数. 以半正弦冲击为例，转子在x、y方向受到的冲击力为
{fx=mρ1¨u(t),fy=mρ2¨u(t), (3) 式中：$ {\rho _1} $、$ {\rho _2} $为衰减系数，$ {\rho _1} = 0.6 $，$ {\rho _2} = 0.3 $；$ m $为转子的质量；$ \ddot u(t) $为半正弦加速度激励信号，如式（4）.
¨u(t)={RgsinΩ1t, t0⩽t⩽t1,0, t<t0或t>t1, (4) 式中：$ {\varOmega _1} $为冲击激励信号的角频率，$ {t_0} $及$ {t_1} $分别为冲击开始、冲击结束时间.
当转子以角速度$ \omega $旋转时，x、y、z方向产生的不平衡力组成的矩阵为
{{\boldsymbol{f}}_{{\mathrm{unb}}}}=\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_{{\mathrm{unb}}xk}}} \\ {{f_{{\mathrm{unb}}yk}}} \\ {{f_{{\mathrm{unb}}{\textit{z}}k}}} \end{array}} \right] = {m_{{\mathrm{d}}k}}{\omega ^2}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{e_k}\cos(\omega t + {\beta _k})} \\ {{e_k}\sin(\omega t + {\beta _k})} \\ {{e_{{\text{z}}k}}} \end{array}} \right] ， (5) 式中：${m_{{\mathrm{d}k}}}$为圆盘质量，$ \;{\beta _k} $为圆盘不平衡对应相位，$ {e_k} $和$ {e_{{\text{z}}k}} $分别为径向和轴向偏心距，下标$ k = 1, 2 $分别为圆盘1和圆盘2.
1.3 轴承电磁力计算
当转子受到外界干扰发生微小振动时，导致一边磁极与转子的间隙为$ {s_0} + {u_{nq}} $，另一边磁极与转子的间隙为$ {s_0} - {u_{nq}} $（其中：${s_0}$为气隙；$ q = 1, 2 $，分别代表径向磁轴承和混合磁轴承；n=x, y, z）. 为使转子系统平稳运行，磁轴承控制系统会输出动态控制电流$ {i_{nq}} $，并与偏置电流$ {i_0} $共同作用. 对转子产生的电磁力为
{F_{nq}} = {k_q}\left\{ {\dfrac{{{{\left( {{i_0} + {i_{nq}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{s_0} - {u_{nq}}} \right)}^2}}} - \dfrac{{{{\left( {{i_0} - {i_{nq}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{s_0} + {u_{nq}}} \right)}^2}}}} \right\}， (6) 式中：$ {{{k_q} = {\mu _0}N_q^2{S_q}\cos \;\alpha } \mathord{\left/ {\vphantom {{{k_q} = {\mu _0}N_q^2{S_q}\cos \alpha } 4}} \right. } 4} $，$ {\mu _0} $为磁导率，$ N_q $为线圈匝数，$ {S_q} $为磁极的面积，$ \alpha $为相邻磁极的夹角.
由于$ {u_{nq}} \ll {s_0} $，对式（6）进行一阶泰勒展开：
{F_{nq}} = {K_{{\mathrm{a}}nq}}{u_{nq}} + {K_{{\mathrm{i}}nq}}{i_{nq}}， (7) 式中：${K_{{\rm{a}}nq}} = 4{k_q}{{i_0^2} \mathord{\left/ {\vphantom {{i_0^2} {s_0^3}}} \right. } {s_0^3}}$；$K_{{\mathrm{i}}nq} $为力位移刚度，${K_{{\text{i}}nq}} =$ $ 4{k_q}{{{i_0}} \mathord{\left/ {\vphantom {{{i_0}} {s_0^2}}} \right. } {s_0^2}} $，为力电流刚度.
转子和磁轴承轴线不对中侧视图如图1所示. 径向和混合磁轴承中轴线偏离刚性转子的不对中量为${\delta _{nq}}$. 导致磁轴承与转子的初始气隙变为${s_0} + {\delta _{nq}}$和${s_0} - {\delta _{nq}}$，则
{F_{nq}} = {k_q}\left( {\dfrac{{{{\left( {{i_0} + {i_{nq}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{s_0} - {\delta _{nq}} + {u_{nq}}} \right)}^2}}} - \dfrac{{{{\left( {{i_0} - {i_{nq}}} \right)}^2}}}{{{{\left( {{s_0} + {\delta _{nq}} - {u_{nq}}} \right)}^2}}}} \right) . (8) 由于${u_{nq}} \ll ({s_0} - {\delta _{nq}}) < ({s_0} + {\delta _{nq}})$，忽略高阶小项${u_{nq}}$、$i_{nq}^2$、${i_{nq}}{u_{nq}}$、$i_{nq}^2{u_{nq}}$，电磁力可写成式（9）形式.
{F_{nq}} = {k_q}\left( {\dfrac{{4{s_0}i_0^2{u_{nq}} + 4{i_0}{i_{nq}}\left( {s_0^2 + \delta _{nq}^2} \right) + 4{s_0}{\delta _{nq}}i_0^2}}{{{{\left( {{s_0} - {\delta _{nq}}} \right)}^2}{{\left( {{s_0} + {\delta _{nq}}} \right)}^2}}}{\text{ }}} \right). (9) 所以，当转子不对中时，磁轴承对刚性转子的电磁力可表示为
{F_{{\mathrm{m}}1nq}} = {k_{{\mathrm{m1a}}nq}}{u_{nq}} + {k_{{\mathrm{m1i}}nq}}{i_{nq}} + {f_{{\mathrm{m1c}}nq}}， (10) 式中：${k_{{\mathrm{m1a}}nq}} = {{{K_{{\mathrm{a}}nq}}}}/{{{{\left( {1 - \zeta _{nq}^2} \right)}^2}}}$，为位移刚度；${k_{{\mathrm{m1i}}nq}} = {{{K_{{\mathrm{i}}nq}}\left( {1 + \zeta _{nq}^2} \right)}}/{{{{\left( {1 - \zeta _{nq}^2} \right)}^2}}}$，为电流刚度；$ {\zeta _{nq}} = {{{\delta _{nq}}}}/{{{s_0}}} $；$ {f_{{\mathrm{m1c}}nq}} $$={{4{k_q}i_0^2{\zeta _{nq}}}}/{\left({s_0^2{{\left( {1 - \zeta _{nq}^2} \right)}^2}}\right)} $，为径向常力.
因此，转子左右磁轴承的电磁力可以表示为
\begin{split} &\left[\begin{gathered} {F_{n1}} \\ {F_{n2}} \\ \end{gathered} \right]= \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{{\mathrm{m1a}}n1}}}&&0 \\ 0&&{{k_{{\mathrm{m1a}}n2}}} \end{array}} \right]\left[ \begin{gathered} {u_{n1}} \\ {u_{n2}} \\ \end{gathered} \right] + \\ &\quad{\text{ }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{k_{{\mathrm{m1i}}n1}}}&&0 \\ 0&&{{k_{{\mathrm{m1i}}n2}}} \end{array}} \right]\left[ \begin{gathered} {i_{n1}} \\ {i_{n2}} \\ \end{gathered} \right] + \left[ \begin{gathered} {f_{{\mathrm{m1c}}n1}} \\ {f_{{\mathrm{m1c}}n2}} \\ \end{gathered} \right]. \\ \end{split} (11) 为能够准确定量计算系统固有不对中量大小，需要引入一个额外偏差条件下的不对中量${{\varDelta}}$，可以通过改变电磁轴承作动器的高度等方法实现. 引入该量后，转子的轴线与磁轴承之间不对中量变为${\delta _{nq}} + {\varDelta _{nq}}$，${\varDelta _{nq}}$为径向磁轴承和混合磁轴承各个方向的额外不对中量. 那么，额外偏差条件下轴承在刚性转子上的电磁力可以表示为
{F_{{\mathrm{m2}}nq}} = {k_{{\mathrm{m2a}}nq}}{u_{nq}} + {k_{{\mathrm{m2i}}nq}}{i_{nq}} + {f_{{\mathrm{m2c}}nq}}, (12) 式中：${k_{{\mathrm{m2a}}nq}} = {{{K_{{\mathrm{a}}nq}}}}/{{{{\left( {1 - p_{nq}^2} \right)}^2}}}$；${k_{{\mathrm{m2i}}nq}} = {{{K_{{\mathrm{i}}nq}}\left( {1 + p_{nq}^2} \right)}}/ {{{{\left( {1 - p_{nq}^2} \right)}^2}}}$，$ {p_{nq}} = {\zeta _{nq}} + {\varDelta _{{\mathrm{a}}nq}} $，$ {\varDelta _{{\mathrm{a}}nq}} = \dfrac{{{\varDelta _{nq}}}}{{{s_0}}}$；$ {f_{{\mathrm{m2c}}nq}} = {{4{k_q}i_0^2{p_{nq}}}}/ {\left({s_0^2{{\left( {1 - p_{nq}^2} \right)}^2}}\right)} $.
1.4 考虑轴向径向耦合的转子轴向力
由于偏置圆盘的作用会使得转子旋转时产生轴向运动，当转速上升，即使刚度很大的转子也会由于离心力的作用发生微弹性变形，$ {\rho _{\mathrm{w}}} = e{\mu ^2}/\left( {1 - } \right. $$ \left. {{\mu ^2}} \right) $，其中：$\mu = {\omega / {{\omega _0}}}$，${\omega _0}$为系统固有频率，$ e $为偏心距（e1、e2）. 如图2所示，图中：($ {x_w} $，$ {y_w} $)、($ {x_s} $，$ {y_s} $)分别为形心w和重心s坐标. 以圆盘1为例，由于圆盘的自重影响，会产生$ x $方向的静挠度，$ {\rho _{\mathrm{G}}} = {m_{{\mathrm{d}}1}}g({a_1} - {b_1})({b_1} + {a_2}) [{l^2} - {({a_1} - {b_1})^2} - {({b_1} + {a_2})^2}] /(6EIl)$，其中：$E$为弹性模量，$I$为惯性矩.
图 2 圆盘1形心和重心位置关系Figure 2. Relationship between shape center and gravity center for disc 1建立轴截面形心运动微分方程为
\left\{ \begin{gathered} {{\ddot x}_w} + \omega _0^2{x_w} = {e_1}{\omega ^2}\cos(\omega t + {\beta _1}) ，\\ {{\ddot y}_w} + \omega _0^2{y_w} = {e_1}{\omega ^2}\sin(\omega t + {\beta _1}). \\ \end{gathered}\right. (13) 求解微分方程，并根据形心和重心坐标关系可得圆盘重心的运动方程为
\left\{\begin{array}{l} {x_s} = {{{e_1}} / {(1 - {\mu ^2})}}\cos(\omega t + {\beta _1}) - {\rho _{\mathrm{G}}} = \\ \quad{\rho _{\mathrm{s}}}\cos(\omega t + {\beta _1}) - {\rho _{\mathrm{G}}}， \\ {y_s} = {{{e_1}} / {(1 - {\mu ^2})}}\sin(\omega t + {\beta _1}) = \\ \quad{\rho _{\mathrm{s}}}\sin(\omega t + {\beta _1}), \end{array}\right. (14) 式中：${\rho _{\mathrm{s}}} = {{{e_1}} / {(1 - {\mu ^2})}}$.
根据动量矩定理得到空间坐标系中x、y方向的分力为
\left\{ \begin{gathered} {F_{{\mathrm{l}}x}} = \dfrac{{{M_{{\mathrm{l}}x}}}}{{{a_1} - {b_1}}} = \dfrac{{{J_{{\mathrm{l}}1}}{{\ddot \theta }_x}}}{{{a_1} - {b_1}}} ， \\ {F_{{\mathrm{l}}y}} = \dfrac{{{M_{{\mathrm{l}}y}}}}{{{a_1} - {b_1}}} = \dfrac{{{J_{{\mathrm{l}}1}}{{\ddot \theta }_y}}}{{{a_1} - {b_1}}} ， \\ \end{gathered} \right. (15) 式中：Mlx、Mly分别为x、y方向的力矩；$ {\theta _x} $、$ {\theta _y} $分别为圆盘重心和左支撑点的连线与轴向方向的夹角在zOx平面和zOy平面的投影, $ {{{\theta _x} = {y_s}} / {\left( {{a_1} - {b_1}} \right)}} $，$ {\theta _y} = {{x_s}} / {\left( {{a_1} - {b_1}} \right)} $；${J_{{\mathrm{l}}1}}$为圆盘1绕左支撑点的转动惯量；$ {\ddot \theta _x} $、$ {\ddot \theta _y} $分别为$ {\theta _x} $和$ {\theta _y} $对时间的二次导数.
将各方向的分力投影到z轴可得圆盘1绕左支撑点转动产生的轴向力为
\begin{split}&{F_{{\mathrm{l}}{\textit{z}}1}} = \dfrac{{{J_{{\mathrm{l}}1}}{\rho _s}{\rho _{\mathrm{G}}}{\omega ^2}}}{{{{({a_1} - {b_1})}^3}}}\cos(\omega t + {\beta _1}) -\\ & \quad\dfrac{{{J_{{\mathrm{l}}1}}\rho _s^2{\omega ^2}}}{{{{({a_1} - {b_1})}^3}}}\cos(2\omega t + {\beta _1}).\end{split} (16) 同理可得圆盘1绕右支撑点转动产生的轴向力为
\begin{split}&{F_{{\mathrm{r}}{\textit{z}}1}} = \dfrac{{{J_{{\mathrm{r}}1}}{\rho _s}{\rho _{\mathrm{G}}}{\omega ^2}}}{{{{({a_2} + {b_1})}^3}}} \cos (\omega t + {\beta _1}) - \\&\quad\dfrac{{{J_{{\mathrm{r}}1}}\rho _s^2{\omega ^2}}}{{{{({a_2} + {b_1})}^3}}}\cos (2\omega t + {\beta _1})， \end{split} (17) 式中：${J_{r1}}$为圆盘1绕右支撑点的转动惯量.
双偏置圆盘转动产生的轴向合力为
{F_{\textit{z}}} = ({F_{{\mathrm{l}}{\textit{z}}1}} - {F_{{\mathrm{r}}{\textit{z}}1}}) - ({F_{{\mathrm{l}}{\textit{z}}2}} - {F_{{\mathrm{r}}{\textit{z}}2}})， (18) 式中：$ {F_{{\mathrm{l}}{\textit{z}}2}} $、$ {F_{{\mathrm{r}}{\textit{z}}2}} $分别为圆盘2绕左、右支撑点转动产生的轴向力.
2. 耦合效应下磁轴承转子系统动力学建模及固有不对中量推导
2.1 动力学建模
以刚性双偏置圆盘转子-磁轴承系统模型为分析对象，建立考虑旋转机械系统的惯性力、不平衡力、陀螺力矩、冲击力等因素下不对中转子-磁轴承系统平衡方程为
\qquad\quad\;\; \left\{ \begin{array}{l} m{a_2}{{\ddot u}_x} = {I_{\rm{d}}}{{\ddot \varphi }_y} - ({I_{{\rm{p}}1}} + {I_{{\rm{p}}2}}){{\ddot \varphi }_x}\omega + \left\{ {{f_{{\rm{unb}}x1}}({a_{\text{2}}} + {b_1}) + {f_{{\rm{unb}}x2}}({a_{\text{2}}} - {b_2})} \right\} + {F_{{\rm{m1}}x1}}l + {f_x}({a_{\text{2}}} + {b_1}), \\ m{a_2}{{\ddot u}_y} = - {I_{\rm{d}}}{{\ddot \varphi }_x} + ({I_{{\rm{p}}1}} + {I_{{\rm{p}}2}}){{\ddot \varphi }_y}\omega + \left\{ {{f_{{\rm{unb}}y1}}({a_{\text{2}}} + {b_1}) + {f_{{\rm{unb}}y2}}({a_{\text{2}}} - {b_2})} \right\} + {F_{{\rm{m1}}y1}}l + {f_y}({a_{\text{2}}} + {b_1}), \\ m{a_1}{{\ddot u}_x} = - {I_{\rm{d}}}{{\ddot \varphi }_y} + ({I_{{\rm{p}}1}} + {I_{{\rm{p}}2}}){{\ddot \varphi }_x}\omega + \left\{ {{f_{{\rm{unb}}x1}}({a_{\text{1}}} - {b_1}) + {f_{{\rm{unb}}x2}}({a_{\text{1}}} + {b_2})} \right\} + {F_{{\rm{m1}}x2}}l + {f_x}({a_{\text{1}}} - {b_1}), \\ m{a_1}{{\ddot u}_y} = {I_{\rm{d}}}{{\ddot \varphi }_x} - ({I_{{\rm{p}}1}} + {I_{{\rm{p}}2}}){{\ddot \varphi }_y}\omega + \left\{ {{f_{{\rm{unb}}y1}}({a_{\text{1}}} - {b_1}) + {f_{{\rm{unb}}y2}}({a_{\text{1}}} + {b_2})} \right\} + {F_{{\rm{m1}}y2}}l + {f_y}({a_{\text{1}}} - {b_1}), \\ m{{\ddot u}_{{\textit{z}}{\text{2}}}} = {m_{{\mathrm{d}}1}}{\omega ^2}{e_{{\textit{z}}1}} + {m_{{\mathrm{d}}2}}{\omega ^2}{e_{\textit{z}}}_2 + {F_{{\rm{m1}}{\textit{z}}2}} + {F_{\textit{z}}}， \end{array} \right. (19) 式中：$ {I_{{\mathrm{p}}1}} $、$ {I_{{\mathrm{p}}2}} $分别为圆盘1、2的惯性矩，$ {I_{\mathrm{d}}} $为转子惯性矩，$u_{{\textit{z}}2} $为轴向位移，$F_{{\mathrm{m}}1{\textit{z}}2} $为混合磁铁z方向的电磁，同样可通过式（10）得到.
将平衡方程写成矩阵形式，如式（20）.
{\boldsymbol{M}}{\ddot {\boldsymbol{u}}_{nq}} - \omega {\boldsymbol{G}}{\dot {\boldsymbol{u}}_{nq}} = {{\boldsymbol{f}}_{{\mathrm{unb}}}} + {{\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{m1}}nq}}， (20) 式中：${\boldsymbol{M}}$、${\boldsymbol{G}}$为转子系统的质量矩阵、陀螺矩阵，${{\boldsymbol{f}}_{{\mathrm{unb}}}}$为圆盘不平衡力向量，$ {{\boldsymbol{F}}_{{\mathrm{m1}}nq}} $为不对中条件下磁轴承电磁力向量，${{\boldsymbol{u}}_{nq}}$为刚性转子振动位移向量.
2.2 固有不对中量推导
本文采用FFT算法将时域响应转换为频域响应，该算法可以高效分析信号频域特征，频域信号中的主要频率成分是机械设备故障特征提取的主要依据. 由于对时域信号的随机采样而导致相位会发生改变，因此，使用正交参考相位信号[17]来获得位移和电流响应的正确相位.
转子的时域位移响应和磁轴承的时域电流响应以及圆盘的离心力可以在频域中表示，如式（21）[6].
\left\{ \begin{array}{l} {u_{xq}}\left( t \right) + {\mathrm{j}}{u_{yq}}\left( t \right) = \left( {{R_{{\mathrm{i}}xq{\text{,}}{\mathrm{Re}}}}\left( \omega \right) + {\mathrm{j}}{R_{{\mathrm{i}}yq{\text{,}}{\mathrm{Im}}}}\left( \omega \right)} \right){{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}i\omega t}}, \\ {i_{xq}}\left( t \right) + {\mathrm{j}}{{{i}}_{yq}}\left( t \right) = \left( {{I_{{\mathrm{i}}xq{\text{,}}{\mathrm{Re}}}}\left( \omega \right) + {\mathrm{j}}{I_{{\text{i}}yq{\text{,}}{\mathrm{Im}}}}\left( \omega \right)} \right){{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}i\omega t}},\\ {m_{\mathrm{d}}}_k{e_k}{\omega ^2}{{\mathrm{e}}^{{\mathrm{j}}{\beta _k}}} = {m_{\mathrm{d}}}_k{\omega ^2}\left( {{e_k}\cos\; {\beta _k} + {\mathrm{j}}{e_k}\sin \;{\beta _k}} \right) =\\ \quad{m_{\mathrm{d}}}_k{\omega ^2}\left( {{e_{k,{\mathrm{Re}}}} + {\mathrm{j}}{e_{k,{\mathrm{Im}}}}} \right) \text{} ，\end{array}\right. (21) 式中：$ {R_{{\mathrm{i}}xq{\text{,}}{\mathrm{Re}}}}\left( \omega \right) $、$ {R_{{\mathrm{i}}yq{\text{,}}{\mathrm{Im}}}}\left( \omega \right) $、$ {I_{{\mathrm{i}}xq{\text{,}}{\mathrm{Re}}}}\left( \omega \right) $、$ {I_{{\text{i}}yq{\text{,}}{\mathrm{Im}}}}\left( \omega \right) $分别为时域位移响应$ {u_{xq}}\left( t \right) $、$ {u_{yq}}\left( t \right) $和电流响应$ {i_{xq}}\left( t \right) $、$ {i_{yq}}\left( t \right) $在x、y方向下的频域表示形式；$ {e_{k,{\mathrm{Re}}}} $、$ {e_{k,{\mathrm{Im}}}} $为圆盘偏心距在频域下的表示形式；$ i = 0 $和$ i = 1 $，即对应系统方程的直流形式和基波形式，方程的实、虚部分别对应.
2.2.1 径向方向不对中量δx1、δy1、δx2、δy2求解推导
为求解系统不对中量的大小，将式（21）代入式（20）中. 频域下的式（21）可以重新排列成矩阵形式，令圆盘偏心距为$ {e}_{1,{\rm{Re}}}、{e}_{2,{\rm{Re}}}、{e}_{1,{\rm{Im}}}、\text{ }{e}_{2,{\rm{Im}}} $，不对中情况下力位移刚度$ {{k_{{\rm{m1a}}nq}}} $、力电流刚度$ {{k_{{\rm{m1i}}nq}}} $、磁轴承的径向常力$ {{f_{{\rm{m1c}}nq}}} $作为未知量，其他作为已知量，建立矩阵方程：
{\boldsymbol{Kx_1 = J }}, (22) 式中：K、J为矩阵的系数矩阵与常数矩阵，${\boldsymbol{x}}_1 = ({{e_{1,{\mathrm{Re}}}}} , $$ {e_{2,{\mathrm{Re}}}},\;{e_{1,{\mathrm{Im}}}},\;{e_{2,{\mathrm{Im}}}},\;{k_{{\text{m}}{\mathrm{1a}}x1}},\;{k_{{\mathrm{m1a}}y1}},\;{k_{{\mathrm{m1a}}x2}},\;{k_{{\mathrm{m1a}}y2}}{k_{{\mathrm{m1i}}x1}}, \;{k_{{\mathrm{m1i}}y1}}, $ $ {k_{{\mathrm{m1i}}x2}},\;{k_{{\mathrm{m1i}}y2}},\;{f_{{\mathrm{m1c}}x1}},\;{f_{{\mathrm{m1c}}y1}},\;{f_{{\mathrm{m1c}}x2}},\;{ {{f_{{\mathrm{m1c}}y2}}} )^{\mathrm{T}}} $.
未知数有16个，但是方程仅有8个，选择远离临界转速的2种转速${\omega _1}$、${\omega _2}$运行. 不对中条件下和额外偏差条件下的回归矩阵均可以表示为
\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{K}}({\omega _1})} \\ {{\boldsymbol{K}}({\omega _2})} \end{array}} \right]{\boldsymbol{x}} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\boldsymbol{J}}({\omega _1})} \\ {{\boldsymbol{J}}({\omega _2})} \end{array}} \right] . (23) 利用最小二乘法求解式（23），得到
{\boldsymbol{x}} = {({{\boldsymbol{K}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{K}})^{ - 1}}{{\boldsymbol{K}}^{\rm{T}}}{\boldsymbol{J}}. (24) 对于回归矩阵（23）的求解，至少需要2种转速. 可以通过采取多种转速以实现对未知量x更全面估计. 得到未知量矩阵${\boldsymbol{x}}$后，提取不同情形下力位移刚度为
\dfrac{{{k_{{\rm{m1a}}nq}}}}{{{k_{{\mathrm{m2a}}nq}}}} = \dfrac{{{{\left( {1 - p_{nq}^2} \right)}^2}}}{{{{\left( {1 - \zeta _{nq}^2} \right)}^2}}} . (25) 通过以上推导，可得到
\begin{split} {\delta _{nq}} = \dfrac{{2{\varDelta _{nq}} + \sqrt {4\varDelta _{nq}^2 - 4\left( {\sqrt {\dfrac{{{k_{{\rm{m1a}}nq}}}}{{{k_{{\rm{m2a}}nq}}}}} - 1} \right)\left( {1 - \sqrt {\dfrac{{{k_{{\rm{m1a}}nq}}}}{{{k_{{\rm{m2a}}nq}}}}} - \varDelta _{nq}^2} \right)} }}{{2\left( {\sqrt {\dfrac{{{k_{{\rm{m1a}}nq}}}}{{{k_{{\rm{m2a}}nq}}}}} - 1} \right)}}{s_0}. \end{split} (26) 2.2.2 轴向方向不对中量$ {\delta _{{\textit{z}}2}} $求解推导
同理，为求解轴向方向的不对中量，将轴向时域位移和电流响应与径向$ x $方向的位移和电流响应分别组成复数形式，并在频域中表示为
\left\{ \begin{gathered} {u_{xq}}\left( t \right) + {\rm{j}}{u_{{\textit{z}}q}}\left( t \right) = \left( {{R_{{\rm{i}}xq{\text{,}}{\rm{Re}}}}\left( \omega \right) + {\mathrm{j}}{R_{{\text{i}}{\textit{z}}q{\text{,}}{\rm{Im}}}}\left( \omega \right)} \right){{\mathrm{e}}^{{\rm{j}}i\omega t}}，\\ {i_{xq}}\left( t \right) + {\rm{j}}{i_{{\textit{z}}q}}\left( t \right) = \left( {{I_{{\rm{i}}xq{\text{,}}{\rm{Re}}}}\left( \omega \right) + {\mathrm{j}}{I_{i{\textit{z}}q{\text{,}}{\rm{Im}}}}\left( \omega \right)} \right){{\mathrm{e}}^{{\rm{j}}i\omega t}}， \end{gathered}\right. (27) 式中：$ {R_{{\text{i}}{\textit{z}}q{\text{,}}{\rm{Im}}}}\left( \omega \right) $、$ {I_{{\rm{i}}{\textit{z}}q{\text{,}}{\rm{Im}}}}\left( \omega \right) $分别为轴向时域位移响应$ {u_{{\textit{z}}q}}\left( t \right) $和电流响应$ {i_{{\textit{z}}q}}\left( t \right) $在频域下的表示形式.
同样，将圆盘偏心距$\left( {{e_{{{{\textit{z}}}}1}},{e_{{{{\textit{z}}}}2}}} \right)$，固有不对中情况下的力位移刚度$ {k_{{\rm{m1a}}{\textit{z}}2}} $、力电流刚度$ {k_{{\rm{m1i}}{\textit{z}}2}} $、电磁力常力项$ {f_{{\rm{m1c}}{\textit{z}}2}} $以及额外偏差条件下的力位移刚度$ {k_{{\rm{m2a}}{\textit{z}}2}} $、力电流刚度$ {k_{{\rm{m2i}}{\textit{z}}2}} $、电磁力常力项$ {f_{{\rm{m2c}}{\textit{z}}2}} $作为未知量，其他作为已知量，建立矩阵方程：
{\boldsymbol{K}}{\boldsymbol{x}}_2 = {\boldsymbol{J}} ， (28) 式中：${\boldsymbol{x }}_2 = {\left( {{e_{{{\textit{z}}}1}},{e_{{{{\textit{z}}}}2}},{k_{{\rm{m1a}}{\textit{z}}2}},{k_{{\rm{m1i}}{\textit{z}}2}},{f_{{\rm{m1c}}{\textit{z}}2}},{k_{{\rm{m2a}}{\textit{z}}2}},{k_{{\rm{m2i}}{\textit{z}}2}},{f_{{\rm{m2c}}{\textit{z}}2}}} \right)^{\rm{T}}} $.
为求解该矩阵未知量，以2种转速运行，并利用最小二乘法求得轴向力位移刚度，进一步得到轴向不对中量大小.
3. 系统动力学特性分析
3.1 SIMULINK仿真模型
为获得系统的时域位移和电流响应，使用比例-积分-微分（PID）方法控制轴承线圈电流，比例因子KP=5 500 A/m，积分因子KI=8 000 A/（m·s），微分因子KD=3 A·s/m. 建立不对中条件下SIMULINK模型，如图3所示. 图中：u1、u2为simulink中函数常量，fc为磁轴承常力，F1、F2分别为不平衡力和冲击力，Ki、Ka分别为力电流、力位移刚度矩阵. 表1为系统结构参数与仿真参数. 使用定步长0.0001的四阶龙格库塔（ode4）微分方程求解器求解动力学方程.
表 1 系统结构参数与仿真参数Table 1. System structure parameters and simulation parameters参数 数值 参数 数值 m/kg
l/m3.910
0.400s0/mm 0.400 md1/kg 1.065 δx1，δx2/mm 0.140，0.150 md2/kg 2.081 δy1，δy2/mm 0.160，0.145 e1，e2/μm 80，100 δz2，Δx1/mm 0.130，0.100 $ {e_{{\textit{z}}1}}，{e_{{\textit{z}}2}} $/μm 8，10 Δy1，Δx2/mm 0.130，0.120 β1，β2/（°） 20，30 Δy2，Δz2/mm 0.110，0.150 Id/（kg·m2） 0.0455 KP/（A·m−1） 5500 a1/mm 0.226 KI/（A·（m·s）−1） 8000 a2/mm 0.174 KD/（A·s·m−1） 3 b1/mm 0.126 R
t/ms20
6Ip1/（kg·m2） 0.0019 b2/mm 0.074 Ip2/（kg·m2） 0.0059 3.2 转子时域位移和电流响应
转子在工作过程中，难免会受到各种扰动冲击作用. 因此，考虑冲击作用下轴承转子系统不对中量的精确求解非常必要. 图4为转子受半正弦冲击激励和矩形脉冲激励后位移响应，将矩形脉冲激励幅值设置为半正弦冲击幅值的一半，用于判断冲击幅值对不对中量识别算法准确性的影响. 可以看出，转子受到冲击后位移幅值非常大，对矩形冲击，即使冲击幅值减小了一半，但转子运动状态仍然会发生较大变化，在不同冲击激励下，转子最终达到稳态后的轴心轨迹几乎一致.
根据表1所示的转子系统结构参数，计算得到系统前两阶临界转速分别为250.08、508.91 rad/s，假设考虑转子为刚性，故选择低于临界转速的2种转速进行不对中量计算，分别为188.40、219.80 rad/s，其对应转速频率为30、35 Hz.
图5为30 Hz和35 Hz转速时，径向磁轴承处转子位移和控制电流系统响应. 可以看出：1） 转子由于存在不对中偏差，径向磁轴承处转子位移幅值高于对中时的转子位移幅值，且会产生更高的控制电流. 2） 随着系统转速的增加，转子不对中引起的高位移幅值和高电流消耗特征更加明显. 3） 完全对中情况下，转子位移和电流响应均在平衡位置处，不对中情况下，磁轴承电流偏离平衡位置处，这是由于电磁力常力项导致. 4） 这些常力项也会使位移响应偏离平衡位置，但由于PID控制的补偿作用，通过输出控制电流，使转子恢复至平衡位置.
图 5 不同转速下径向磁轴承处位移、电流稳态响应Figure 5. Steady-state response of displacement and current at radial magnetic bearing at different rotational speeds图6为30 Hz和35 Hz转速时，混合磁轴承处转子空间振动以及控制电流信号. 可以发现：不对中条件下，径向位移和控制电流均高于对中状态，随着转速的增加，转子位移和磁轴承控制电流均有增加；对于轴向方向，尽管轴向振动相比径向振动幅值较小，但会产生更高的控制电流，随着转速增加，这种轴向振动会愈加明显，因此，轴向振动同样不容忽视.
图 6 不同转速下混合磁轴承处位移、电流稳态响应Figure 6. Steady-state response of displacement and current at hybrid magnetic bearing at different rotational speeds3.3 转子频域位移和电流响应
利用FFT将SIMULINK模型中求解得到的时域下稳态位移响应和电流响应变换成频域位移响应和频域电流响应，这些响应的实部和虚部可由复位移和复相位计算得到，并用于回归矩阵式（23）的求解，其部分数值如表2所示.
表 2 频域下的径向磁轴承处转子位移和控制电流响应Table 2. Rotor displacement and control current response at radial magnetic bearing in frequency domain频率/
Hzi 位移 电流 幅值/A 相位/（°） 幅值/m 相位/（°） 30 0 3.69 × 10−9 −16.09 0.929 −132.73 1 1.36 × 10−4 −32.43 0.754 152.99 35 0 1.13 × 10−9 112.79 0.930 −133.20 1 1.83 × 10−4 −61.97 1.016 124.49 在30 Hz时，转子位移和电流响应的幅值分别为1.36 × 10−4 m和0.929 A. 同样，35 Hz的转速下，位移和电流响应的幅值分别为1.83 × 10−4 m和1.016 A. 可以发现：随着系统转速的增加，位移和电流的幅值均有不同程度增加. 并且从电流幅值可以看出，系统具有很高的电流直流谐波. 这是由于转子系统初始不对中导致电磁轴承对静态转子产生控制电流. 利用这些信号特征能够实时监测系统是否存在不对中故障，为系统故障诊断和安全高效运行提供了参考.
3.4 系统不对中量的计算
在实际工程中，转子系统的响应容易受到系统本身噪声和附近环境各种噪声影响. 为在仿真过程中模拟真实情况，将1% ～ 5%的噪声添加到位移和电流响应中，利用最小二乘法求解回归矩阵得到磁轴承动态参数，进而得到系统的不对中量误差，如图7所示. 可以看到，该算法在计算δx1时容易受到噪声的影响，最大误差为18.3%，其余不对量的计算误差随着噪声信号的增加均有不同程度的增加. 在无噪声影响条件下，半正弦冲击扰动和矩形冲击扰动下计算的不对中量大小均如表3所示，这是由于不同冲击扰动后转子稳态轨迹几乎一致，导致2种扰动下不对中量估计值接近相同. 对比实际设定的不对中量和估计值大小，最大误差均在5%以内，可能由频谱泄漏等原因造成，具有较好的准确性. 综合来看，识别系统不对中量大小将会为在线矫正转子轴线失准提供依据，并能指导实验中转子的精准组装.
图 7 不同噪声影响下计算的不对中量误差百分比Figure 7. Percentage of misalignment error calculated under different noise interferences表 3 无噪声影响下不对中量实际值和估计值比较Table 3. Comparison of actual and estimated values of misalignment without noise interference不对中量 实际值/mm 估计值/mm 误差/% δx1 0.140 0.1388 −0.857 δy1 0.160 0.1575 −1.563 δx2 0.150 0.1439 −4.067 δy2 0.145 0.1456 0.414 δz2 0.130 0.1285 −1.154 4. 结 论
本文对冲击激励下转子-磁轴承系统不对中条件下的系统动力学特性进行分析，同时利用FFT和最小二乘法对转子系统不对中量的大小进行计算. 主要结论如下：
1） 利用动量矩定理，将圆盘不平衡力对转轴的影响等效到转子轴向力上，推导转子横向运动产生的轴向力，并建立考虑轴径向耦合效应的刚性双偏置圆盘转子-磁轴承系统动力学模型.
2） 研究不同转速条件下磁轴承不对中对转子系统的影响，发现不对中会使得转子位移幅值变大，同时产生更高的控制电流，随着转速增加，不对中对转子系统的影响逐渐变高.
3） 利用FFT将系统时域下的位移和电流响应转换成频域形式，并将其应用于系统不对中参数的识别算法中，通过频域下最小二乘法来计算不对中量的大小，在无噪声影响条件下，对比实际设定的不对中量，计算误差均在5.0%以内，在转子受到外界冲击力的影响时，该算法对不对中量的估计非常有效.
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图 6 多级振捣幅值放大因子变化曲线
Figure 6. Amplitude amplification factor curves of multi-series tamper wave
表 1 密实度增长量
Table 1. Density increment
振捣频率/Hz 密实度/% 密实度增量/% 密实度增长系数 5 84.78 2.43 0.489 10 87.96 3.18 0.318 15 89.94 1.02 0.068 20 90.72 0.78 0.039 
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