Restrained Torsion Analysis of Box Girders with Corrugated Steel Webs Based on Reissner’s Principle
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摘要:
为更加合理地分析波形钢腹板箱梁约束扭转效应，考虑波形钢腹板的褶皱效应推演了翘曲正应力和剪应力计算式，应用Reissner原理建立了波形钢腹板箱梁约束扭转控制微分方程，给出了不同于乌曼斯基第二理论的翘曲系数公式. 通过简支梁数值算例验证了所推导公式的正确性，并分析了腹板厚度和悬臂板宽度变化对箱梁横截面应力的影响. 研究结果表明：相对于乌曼斯基第二理论，基于Reissner原理计算的应力与有限元解吻合更好；按乌曼斯基第二理论与按Reissner原理计算的翘曲系数的比值可达到4.70；波形钢腹板主要承担剪应力，几乎不承担翘曲正应力，而顶底板既承担翘曲正应力也承担剪应力，应对顶底板予以重视，防止斜裂缝的产生；腹板厚度增大能减小翘曲正应力；随着悬臂板宽度的增大，当悬臂板宽度比大于0.10时，翘曲正应力减小，而当悬臂板宽度比大于0.30时，总剪应力几乎无变化.
Abstract:To analyze the restrained torsion effect of the box girder with corrugated steel webs (CSWs) more reasonably, the calculation formulas of warping normal stress and shear stress were deduced considering the accordion effect of CSWs. Moreover, the governing differential equation for analyzing the restrained torsion was established using Reissner’s principle, and the warping coefficient formula differing from Umanskii’s second theory was presented. The calculation formulas were then verified through a numerical simulation of a simply supported box girder, and the influence of web thickness and cantilever slab width on cross-section stresses of the box girder was analyzed. The results show that the stresses calculated based on Reissner’s principle are in better agreement with the finite element solution than those based on Umanskii’s second theory. The ratio of warping coefficient calculated by Umanskii’s second theory to that calculated by Reissner’s principle can reach 4.70. CSWs mainly bear shear stress and almost no warping normal stress, while top and bottom slabs bear both warping normal stress and shear stress. Therefore, more attention should be paid to top and bottom slabs to prevent oblique cracks. In addition, growing web thickness can reduce warping normal stress. With the increase of the cantilever slab width, warping normal stress decreases when the cantilever slab width ratio is above 0.10, while the total shear stress hardly changes when the cantilever slab width ratio is above 0.30.
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随着我国轨道交通的快速发展，轨道交通接触网的规模不断扩大，对接触网运行安全性的要求不断提高，接触网检修作业的任务日渐加重. 科学合理地安排接触网的检修计划，可以有效利用现有检修资源、提高检修作业的效率、节省检修费用，有效保障接触网系统的安全可靠.
现阶段接触网检修计划基本依靠人工编制，由于接触网设备类型多、数量大，设备间关联关系复杂，人工编制检修计划不仅效率低下，而且较难对检修任务做全面考虑，编制的检修计划经济性与可行性较差，容易出现漏修、过修与失修等问题，严重影响了接触网的安全运行. 近年随着信息技术的发展，自动编制技术在铁路行业各领域得到广泛研究与应用，如列车运行图计划编制、线路维修计划编制、编组站计划编制、列车解体计划编制、乘务计划编制、调车作业计划编制等[1-6]，极大提高了作业任务的合理性与经济性，也为接触网检修任务的自动编制提供了有益的参考.
目前，接触网检修理念研究主要有两类，一是以状态为中心，以设备监测数据为基础，建立劣化模型预测设备状态变化，并据此安排检修任务，文献[7-8]提出将故障预测与健康管理（prognostics health management, PHM）以及主动维护应用于高速铁路牵引供电系统中，实现策略的决策与优化，可根据设备状态按需检修，有效解决了过修或者欠修的不足. 但依据该理念编制检修计划需要大量状态检测与监测数据，同时需要较强的数据实时分析与处理能力，较难直接应用到实际中. 二是以可靠性为中心，通过建立设备寿命分布模型，以此为基础优化检修计划编制，如文献[9-10]针对现有的接触网预防性维修模式，推导了系统可靠性与维修费用的数学关系；文献[11]运用ID3 （iterative dichotmizer 3）决策树算法构建出接触网维修决策树模型，通过决策树发掘影响接触网主要设备异常或故障的主要因素，从而获得相对科学合理的检修方案；文献[12]开发了接触网设备管理子系统以及检修沙盘模型、手持终端子系统，实现了图表可视化、生产作战指挥图和报表定制等功能，但该系统的检修计划依赖人工编制；文献[13-14]获得了各设备的最优维修间隔，并以设备类别为最小单位编制检修计划，但编制结果没考虑接触网设备的位置分布，无法在实际中得到应用.
本文在满足检修作业特性的基础上，针对接触网设备沿线分布、点状与条状设备并存等特性，考虑检修作业的连续性，利用整数规划方法，提出基于弹性周期区间的接触网检修计划自动编制模型，设计相应的启发式求解算法，通过实际算例验证模型和算法的有效性，为铁路接触网检修计划的自动编制提供一种有效方法.
1. 模型构建
1.1 模型相关定义与假设
定义1 接触网检修涉及的所有设备集合称为检修任务集，根据设备在接触网中的位置可划分为线条状全面检修类子集合与点状单项设备类子集合.
定义2 检修任务指接触网设备周期性人工检修，对于设备发生故障或病害后所采取的事后修理（又称为纠错性维修）不属于本文定义的检修任务.
定义3 接触网检修工作量以设备检修次数定义，不考虑不同设备检修时间的差异性问题.
模型假设如下：
1） 区域路网中接触网检修设备已确定，模型只需考虑如何安排任务使目标费用最小.
2） 所有检修任务集合中的元素在计划时间范围内按照检修周期执行.
3） 运营过程中的纠错性维修，不影响计划中检修任务的安排.
1.2 模型框架构建
目前的计划检修体制要求设备到期必修，一般不允许超周期运行. 这样特定的检修方式极大限制了各设备检修过程中实现时空配合的可能性，考虑设备本身具有一定的过载能力，提出一种弹性周期区间的方法，如图1所示.
图1中：T为《普速铁路接触网运行维修规则》[15]规定的标准检修周期；
$ {T_{\rm{D}}} $ 为允许过修的编制时间下限；$ {T_{\rm{U}}} $ 为允许迟修的编制时间上限. 弹性周期在确保设备可靠性满足要求的情况下，允许一定的过修率和迟检率，从而将设备的检修周期由一个固定的时刻拓展至一个区间，增加了不同设备在时间和空间上配合的可能性. 从而使设备检修计划更加灵活，编制结果更加优化.接触网检修计划的编制是在给定的任务检修时间内，将需要进行检修的设备进行排列组合，确保检修任务顺利开展，主要目的是通过数学方法解决预防性检修计划编制问题. 检修计划可分解为年度、月度、天窗日计划等，其本质差异仅在于考虑的编制时间段不同，其中年度检修计划是分解编制的基础.
以接触网年度检修计划自动编制为例，模型输入包括设备所处的位置、检修周期等基本信息，模型约束主要包括设备检修优先级约束、线条状设备检修连续性约束等. 基于弹性周期区间的接触网年度检修计划自动编制模型（automatically compilingmodel for overhaul plan of catenary based on elastic period interval，ACM-OPC-EPI）框架如图2所示.
1.3 接触网检修计划优化模型
接触网检修计划编制的目的是在满足设备运行可靠性约束的基础上，希望以最小的检修成本，按要求完成所有接触网设备的检修作业任务.
1） ACM-OPC-EPI目标函数
设备超周期惩罚费用目标F1和额外检修路径代价目标F2如式（1）和式（2）所示.
minF1=∑l∈LC∑e∈D(l)C∑t∈TSP(el)FX(el)t, (1) minF2=∑l∈LC∑e∈D(l)C∑t∈TSP(el)CtX(el)t, (2) 式中：LC为工区股道集合，；
$ {D_{\rm{C}}^{(l)}} $ 为股道l计划内需要安排的设备集合；TS为计划编制时间区段元素集合，$ {T}_{{\rm{S}}}=\left\{1,2,\cdots ,T_{\rm {max}}\right\} $ ，其中，$ T_{\rm {max}}$ 为最大编制时间区段数，年度计划中Tmax = 12；$ {P_{\rm{F}}^{(el)}} $ 为股道l设备e计划内检修超周期惩罚费用；${P_{{\rm{C}}_t}^{(el)}}$ 为编制时间区段t内股道l设备e因任务分散导致的一次出行额外检修路径代价，即：编制时间区段内单项设备与计划内区域连续性设备的最小杆号差，以此量化单项设备与连续设备的距离；$ X_t^{(el)} $ 为作业任务0-1决策变量集，X(el)t={1,股道l设备e被安排在第t个时间编制区段,0,股道l设备e未被安排在第t个时间编制区段. 上述目标中，式（1）表示设备检修间隔偏离标准检修周期最小，以保证标准周期内检修率最大化. 当设备修安排未超周期时，将
$P_{\rm F}^{(el)} $ 置0处理；当设备检修安排超周期时，惩罚费用如下式所示：P(el)F={0,DLE(el)C⩽t(el)−t(el)p<E(el)C,t(el)−t(el)p−E(el)CE(el)C,E(el)C⩽t(el)−t(el)p<ULE(el)C, 式中：
$ {t^{(el)}} $ 为股道l设备e在本次检修时间范围的自身周期内设备编制执行的时间点；$ {t_{\rm{p}}^{(el)}} $ 为股道l设备e在上一计划编制时间范围内最后一次检修执行时间点以及本次编制时间范围内上一设备编制周期的检修执行时间点；$ {E_{\rm{C}}^{(el)}} $ 为股道l设备e检修标准周期；$ {U_{ \rm{L}}} $ 为弹性编制周期上限因子；$ {D_{\rm{L}}} $ 为弹性编制周期下限因子.式（2）描述了各时间编制区段检修任务编制的集中性.
2） ACM-OPC-EPI约束条件
设备弹性周期编制区间约束如式（3）所示.
t(el)p+ULE(el)C∑t(el)=t(el)p+DLE(el)CX(el)t=1, (3) 式中：
$ {t \in {T_{\rm{S}}}}； e \in {D_{\rm{C}}^{(l)} }$ ；$ {U_{\rm{L}}}{E^{(el)}_{\rm{C}}} $ 对应图1中的编制时间上限TU；$ {D_{\rm{L}}}{E_{\rm{C}}^{(el)} }$ 对应图1中的编制时间下限TD.检修工作量约束如式（4）和式（5）所示.
∑l∈LC∑e∈D(l)C∑t∈TSX(el)t⩽1.05Nt, (4) ∑l∈LC∑e∈D(l)C∑t∈TSX(el)t⩾0.95Nt, (5) 式中：
$ {N_t} $ 为第$ t $ 个时间编制区段计划编制工作量，具体描述为各时间编制区段检修能力由于天气、温度，以及客流量（春运、暑运）等外部条件影响，造成在各个时间编制区段具有差异性，通过此约束可确定每个检修区段的检修工作量上下限约束.设备编制优先级约束如式（6）所示.
{F(el)R>F((e+1)l)R,P(el)F>P((e+1)l)F,F(el)R<F((e+1)l)R,P(el)F<P((e+1)l)F, (6) 式中：
$ {\text{ }}l \in {L_{\rm{C}}}；\;e,(e + 1) \in {L_{\rm{D}}^{(l)}} $ ，$ {L_{\rm{D}}^{(l)}} $ 为股道l计划内需要安排的线条状全面检修类设备集合；${F_{\rm{R}}^{(el)}}$ 为股道l设备e检修首次周期内编制优先级标号，依据接触网检修规程，漏修失修设备大于正常设备、单项设备优先级大于线索类设备，如下式所示.F(el)R={2,tLs−t(el)p>ULE(el)C, e∈P(l)D,1,tLs−t(el)p>ULE(el)C, e∈L(l)D,0,tLs−t(el)p⩽ULE(el)C, e∈D(l)C, 式中：
$ {t_{\rm{L}}}_{\rm{s}} $ 为计划编制起始时间点；$ {P_{\rm{D}}^{(l)}} $ 为股道l计划内需要安排的点状单项设备类设备集合.线条状设备杆号区域连续性约束和连续区间设备数量的最小值约束分别如式（7）和式（8）所示.
P((e+1)l)tX((e+1)l)t−P(el)tX(el)t⩽2, (7) max {P(el)tX(el)t}−min {P(el)tX(el)t}>RC, (8) 式中：
$ l \in {L_{\rm{C}}}；\,e,(e + 1) \in {L^{(el)}_{{\rm X}t}} $ ，$ {L^{(el)}_{{\rm{X}}t}} $ 为编制时间区段t内设备集合股道l中线条状设备子集；$ P_t^{(el)} $ 为编制时间区段t内股道l设备e杆号标识；$ {R_{\rm{C}}} $ 为区域最小连续杆号检修工作量.计划编制时间范围内设备是按频次的周期检修如式（9）所示.
X(el)t=X(el)t+zE(el)C, (9) 式中：
$ l \in {L_{\rm{C}}}； e \in {D_{\rm{C}}^{(l)}} ；{\text{1}} \leqslant t{\text{ < }}{T_{\rm{max}}}；{\textit{z}} \in \{{{\text{0,1,}} \cdots, } {F^{(el)}}-1\}$ ，$ {F^{(el)}} $ 为股道l设备e计划内检修的执行频次，F(el)={⌈TLE(el)C⌉,DLE(el)C⩽t(el)−t(el)p<E(el)C,0,E(el)C⩽t(el)−t(el)p<ULE(el)C, 式中：
$ {\text{ }}l \in {T_{\rm{C}}}； e \in {D_{\rm{C}}^{(l)}} $ ；$ {T_{\rm{L}}} $ 为计划编制时间范围，$ {T_{\rm{L}}} = {t_{\rm{L}}}_{\rm{e}} - {t_{\rm{L}}}_{\rm{s}} $ ，$ {t_{\rm{L}}}_{\text{e}} $ 为计划编制结束时间点.2. 启发式求解算法
接触网检修计划需同时满足超周期惩罚费用最小与检修路径代价最小两个目标，结合多目标规划中的分层序列法思想，提出了求解ACM-OPC-EPI模型的启发式算法，算法流程如图3所示.
求解ACM-OPC-EPI模型的启发式算法原则如下：
1） 接触网检修计划的编制应优先考虑检修周期问题，设备检修必须处于弹性检修周期之内，以确保接触网运行的安全性.
2） 其次考虑接触网线条状设备与点状设备并存的情况，在编制过程中考虑点状设备与线条状设备之间的空间距离问题，使计划编制结果在空间上尽量集中，以节省检修时间与出行费用，确保检修计划编制的经济性.
3. 算例验证分析
3.1 算例描述
某供电工区所辖设备情况如表1所示，其中线条状连续设备包括接触悬挂、附加悬挂、所亭供电线，点状单项设备包括分段绝缘器、关节式分相/分相绝缘器、远动隔离开关及操作机构、避雷器及接地装置，合计作业任务检修6333台次. 各设备标准检修周期参考《普速铁路接触网运行维修规则》[15].
表 1 检修设备细目表Table 1. Detailed maintenance equipment information设备类型 设备名称 标号 单位 周期 线条状设备全面
检修接触悬挂 A 条•km 36 月 附加悬挂 回流线 条•km 36 月 架空地线 条•km 36 月 加强线 条•km 36 月 所亭供电线 供电线 条•km 36 月 架空地线 条•km 36 月 点状单项设备
检修分段绝缘器 B1 组 6 月 关节式分相、分相绝缘器 B2 组 6 月 远动隔离开关及操作机构 B3 台 6 月 避雷器及接地装置 B4 台 12 月 设置区域最小连续杆号检修工作量
$ {R_{\rm{C}}} $ 为80，弹性编制周期上、下限因子分别取1.2与0.8，考虑不同月份环境的影响，各月可完成的工作量不同，各月可完成的检修工作量比率设置如表2所示. 可从设备检修管理信息系统数据库查询得到设备历史检修信息.表 2 月检修工作量编制比率Table 2. Monthly maintenance workload ratioTS 1 月 2 月 3 月 4 月 5 月 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 比率/% 5 5 15 8 8 15 6 6 10 10 6 6 3.2 模型求解结果
求解结果以平铺计划表形式展示如表3，表中垂直方向表示编制区间的计划时段（1月—12月），水平方向上分为线条状设备以及单项设备（其中，A、B1 ~ B4表示设备编号），线条状以连续杆号区间形式进行平铺展示（例：892 ~ 946），单项设备以设备类别进行杆号单独显示（例：266，268，…），其中线条状设备的检修台次以设备履历表中杆号区间包含的设备进行统计（即“/”后的数字，例：/91）. 由结果可以看出：各编制区间检修工作计划符合各约束条件，线条状设备与单项设备在空间位置上普遍集中，符合实际需求.
表 3 编制结果平铺计划Table 3. Schedule generated with compilation results编制
时间段股道 L1 股道 L2 月检/
台次A B1 B2 B3 B4 A B1 B2 B3 B4 1 月 892 ~ 946
/91
1052 ~ 1082
/96898，1004 553 ~ 635
/134561 324 2 月 260 ~ 360
/165266，268，
270，272，
274，276，
278，280264，268，
278，284262，284，
350259 ~ 353
/150265，267，
269，271，
273，275，
277，279263，267，277，281，
285261，283，
349346 3 月 362 ~ 474
/285
520 ~ 672
/273562 355 ~ 457
/260
877 ~ 945
/126897 946 4 月 674 ~ 816
/262770 459 ~ 501
/86
771 ~ 829
/150487，769 501 5 月 948 ~ 982
/82
818 ~ 890
/185947 ~ 1001
/122
831 ~ 875
/1151305 505 6 月 984 ~ 1050
/184
1084 ~ 1178
/2881494 1590 637 ~ 769
/201
1003 ~ 1089
/2641487 1003 941 7 月 1180 ~ 1212
/102503 ~ 551
/125
1155 ~ 1203
/150265，267，
269，271，
273，275，
277，279263，267，267，281，
285390 8 月 1214 ~ 1258
/1381205 ~ 1283
/240378 9 月 476 ~ 518
/86
1260 ~ 1320
/186266，268，
270，272，
274，276，
278，280264，268，
278，284488 1091 ~ 1153
/192
1285 ~ 1333
/150627 10 月 1372 ~ 1496
/3781335 ~ 1415
/2461305 625 11 月 1322 ~ 1370
/1501417 ~ 1491
/2221487 373 12 月 1498 ~ 1590
/1781494 1590 1488 1493 ~ 1589
/196377 年检/ 台次 3129 2 16 10 9 3129 2 16 12 8 6333 该部分计划采用人工编制时需要7 d左右，而采用本文方法后求解时间仅135 s，比原来方法节省99.98%，速度远高于人工编制；原来人工编制的检修计划检修路径总里程为858.0 km, 本文方法生成的检修计划检修路径总里程为573.5 km，检修路径比原来减少33.16%，在同样完成设备检修任务的情况下，降低了检修成本.
4. 结 论
1） 针对接触网检修作业设备多、地理位置分散、单项的点状设备与线索的条状设备并存的特点，提出一种接触网检修计划智能编制方法，可在给定接触网检修范围的基础上，实现接触网检修计划的自动编制，与现行的人工编制方法相比，速度快、效率高.
2） 接触网检修计划的智能编制方法，以弹性检修周期区间为基础，以检修作业出行路径和超周期检修时间总数最小为目标，可实现所辖接触网设备检修计划的自动编制，避免超修和漏修的情况.
3） 以某供电分区接触网设备检修计划为例，实现了该工区接触网设备检修计划的自动编制，得到了该工区接触网年度检修的平铺计划表. 计划编制用时短、覆盖设备全面，编制结果满足现场实际检修作业的需要.
致谢：广东省城市轨道交通工程建造新技术企业重点实验室资助（2017B030302009）.
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图 5 跨中左截面应力分布（单位：kPa）
Figure 5. Stress distribution at left section from mid-span （unit： kPa）
图 6 翘曲系数比值随腹板厚度和悬臂板宽度比的变化曲线
Figure 6. Variation of warping coefficient ratio with web thickness and cantilever slab width ratio
图 7 翘曲正应力随腹板厚度和悬臂板宽度比的变化曲线
Figure 7. Variation of warping normal stress with web thickness and cantilever slab width ratio
图 8 总剪应力随腹板厚度和悬臂板宽度比的变化曲线
Figure 8. Variation of total shear stress with web thickness and cantilever slab width ratio
表 1 距跨中1.6 m左截面应力比较
Table 1. Comparison of stresses at left section 1.6 m from mid-span
名称 计算点 有限元
解/kPa本文方
法/kPa乌-Ⅱ
理论/kPa相对误差/% 本文
方法乌-Ⅱ
理论${\sigma}$ Ⅰ 54.06 57.35 63.61 6.09 17.67 Ⅱ −27.83 −25.42 −28.18 −8.66 1.28 Ⅴ −75.83 −81.24 −90.10 7.13 18.82 $ {\tau _{\text{z}}} $ Ⅲ 82.37 84.59 77.37 2.70 −6.07 Ⅳ 1670.20 1480.32 1354.03 −11.37 −18.93 Ⅵ 154.55 154.50 176.98 −0.03 15.51 
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