为缓解日益严峻的能源短缺和环境污染问题，中国提出“2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和”的目标^[1]. 大力发展清洁能源是实现碳中和目标的重要途径之一，可再生能源因其优越的环境友好特性，已成为传统化石燃料的重要替代能源^[2-4]，利用可再生能源发电的分布式发电机也得到了越来越广泛的使用. 然而，分布式电源（distributed generation，DG）的大量增加改变了配电网的潮流方向，其输出功率的波动性与随机性也给配电网运行带来新的挑战. 在降低配网损耗的各种措施中，配电网重构得到了广泛关注，因其只需改变分段开关和联络开关的投切状态，而无需增加外部投资^[5].

针对配电网优化重构问题的求解方法，国内外专家学者进行了大量研究工作. 文献[6]解决了遗传算法容易收敛于局部最优解的问题，将DG等效为“负”的负荷接入配电网，并基于改进双种群遗传算法求解含DG的多目标配电网重构问题. 文献[7]利用改进萤火虫算法求解含DG的配电网重构问题，提高了优化算法的收敛速度. 文献[8]将蚁群算法和粒子群算法相结合，对含DG的配电网进行优化重构，并通过算例验证了算法能有效提升收敛速度和全局收敛能力. 文献[9]基于网络损耗和电压偏差考虑，提出一种多目标配电网重构规划模型，并基于带精英策略的非支配排序遗传算法Ⅱ（non-dominated sorting genetic algorithms Ⅱ, NSGA-Ⅱ）对多目标优化问题进行求解. 上述文献均对基本的启发式优化算法进行了改进，以提高算法收敛速度和全局搜索能力. 然而，在考虑DG接入时，并没有考虑其输出功率的不确定性.

风机、光伏等分布式电源的输出功率具有间歇性、随机性特点，其大量接入配电网会改变系统中潮流流向，降低电能质量，影响系统安全稳定运行. 如何有效应对DG发电带来的不确定性，成为配电网重构问题的研究重点. 文献[10]用概率密度函数描述风电、光伏、电动汽车和负荷的不确定性，建立配电系统机会约束优化重构模型. 文献[11]以包含电动汽车和风力发电机的智能配电系统为研究对象，建立两阶段模型，实现电动汽车的无功优化和配电网重构，并利用遗传算法对所述目标函数进行优化求解. 文献[12]考虑风机和光伏输出功率的时变特性，利用多场景技术处理其不确定性，并用改进教学优化算法求解配电网重构模型. 文献[13]提出一种同时考虑分布式光伏输出功率和电动汽车充电负荷随机特性的配电系统场景概率潮流分析方法，利用K-means聚类和前推回代法得到概率潮流结果. 文献[14]以减小配电网系统电压波动为基础，建立配电网优化重构模型，并利用Benders分解法解决高可再生能源渗透率下的配电网电压调节问题. 以上用于描述DG和负荷等不确定性的方法主要是通过建立概率分布模型、应用场景分析法将不确定性问题转化为确定性问题进行求解，然而，这类方法需要大量的数据样本，计算量大. 鲁棒优化方法则是利用不确定变量的不确定区间进行优化研究，相较而言，该方法计算过程更为简洁.

针对以上问题，本文采用非合作博弈理论，在求解鲁棒优化问题过程中引入反馈机制，使策略的保守型不致太大. 基于此，提出一种考虑DG输出功率不确定性的配电网优化重构方法. 考虑配电网与“大自然”的非合作博弈关系，将光伏发电（photovoltaic，PV）的不确定性视为“大自然”博弈方，综合考虑含PV配电网有功网损、负荷均衡度、电压偏差3个指标，建立多目标优化重构模型，并采用回溯搜索算法（backtracking search algorithm，BSA）对模型进行优化求解，得到最优重构方案. 最后，在IEEE33节点系统中进行仿真分析，验证模型的正确性及求解算法的有效性.

1.   配电网重构问题的非合作博弈模型

近年来，博弈论被越来越多地用于研究含有多个利益相关方的最优决策问题. 而工程系统的优化决策问题往往包含多方决策主体和不确定性. 对于配电网这一人工系统，其运行过程中不可避免地受到人工决策和自然环境的影响. 其中，DG输出功率的不确定性会导致实际重构策略对提高配电网安全性的效果变差，这与重构目标相违背. 在这种情况下，博弈论提供了合理框架，用于解决配电网调度人员与“大自然”带来的不确定性之间形成的一种对立的博弈关系. 其中，配电网调度人员必须在没有得到不确定因素确切信息的情况下确定其策略，根据最坏情况谨慎决策，从而尽可能保证该策略能够应对所有可能发生的情况. 随着时间的推移，不确定性不断增加或变化，调度人员一方需要进一步采取补偿决策，以尽可能抵消不确定性带来的不利影响. 对于这种只考虑单一参与者的特殊博弈情况，文献[15]将工程博弈论的思想应用于不确定性优化问题中，提出鲁棒优化问题的一般博弈模型，更具有工程实用性. 基于工程博弈思想，本文将配电网接入DG带来的不确定性视为虚拟博弈者，可以认为考虑DG输出功率不确定性的配电网优化重构问题是一个特殊的非合作博弈问题^[16].

1.1   博弈参与者

根据上述分析，考虑DG输出功率不确定性的优化重构问题中，配电网中接入DG带来的不确定性与配电网调度人员之间构成一种博弈关系. 因此，所述博弈参与者为配电网调度人员和大自然，分别记为p₁和p₂.

1.2   博弈策略

配电网调度人员的策略是优化配电网拓扑结构，即闭合或断开配电网各个支路上联络开关和分段开关. 配电网调度人员采取的策略集合为

式中：${D_{k,{\text{ }}{{\text{p}}_{\text{1}}}}}$为博弈参与者p₁可采取的第k种博弈策略，包括所有支路开关的开断状态，如式（2）所示.

式中：N_S为配电网系统中的支路开关总数；${C_{s,k}}$为0-1变量，表示第k种策略下支路开关s的状态，C_s,k= 0时断开，C_s,k=1时闭合.

配电网调度人员根据DG单元的历史出力情况和历史预测值，用DG可能出力区间表示其输出功率的不确定性. 在博弈过程中，DG输出功率的波动代表“大自然”带来的不确定性. “大自然”的策略集合为

式中：${D_{k,{\text{ }}{{\text{p}}_2}}}$为博弈参与者p₂可采取的第k种博弈策略，包含DG的出力情况，如式（4）所示.

式中：N_T为总时段数，取值为24；${P_{k,{\rm{DG}}}}(t)$为第k种博弈策略下DG在第t时段可能的输出功率，在历史预测功率P的基础上，其值在预测精度范围内波动.

当博弈的任意参与者都不会轻易改变自身策略，否则其“收益”减少时，达到的均衡状态被称为Nash均衡，对于本文所述有源配电网优化重构问题，其Nash均衡的存在性在文献[16]中已证明.

1.3   支付函数

配电网优化重构的目标包括减小配电网有功损耗、减小电压偏差、均衡负荷、减小配电网运行成本等.

1.3.1   目标函数

本文综合考虑配电网的有功损耗、负荷均衡度以及电压偏差，并将其归一化为一个可以衡量配电网运行可靠性的指标.

1） 有功网损

配电网的有功网损P_Loss是配电网运行情况的重要评价指标之一，有功损耗越小，配电网系统运行经济性越高，对应的可靠性指标为

式中：P_g−h和Q_g−h分别为节点g、h间支路g—h的有功功率和无功功率，R_g−h为配电网支路g—h的电阻，N_b为配电网系统总支路数，U_g为节点g的实际电压.

2） 负荷均衡度

为避免馈线过载，以均衡负荷为目标，负荷均衡度的表达式为

式中：S_g−h和S_g−h,max分别为支路g—h视在功率的实际值和允许的最大值.

3） 节点电压偏差

电压偏移量是实际电压与额定电压U_r的差值，所有节点的电压总偏差越小，表明供电电能质量越高，对应的可靠性指标为

式中：N_n为配电网系统总节点数.

4） 归一化

将上述3个评价配电网运行可靠性的指标进行归一化，归一化后的各子目标函数值依次记为$f_1^*$、$f_2^*$、$f_3^*$，进一步转化为单一的评价指标${f_{{\rm{obj}}}}$（式（8）所示）. 参与者p₁的目标是使f_obj最小化，参与者p₂的目标是使f_obj最大化.

式中：w₁～w₃为权重系数，且满足${w_1} + {w _2} + {w_3} = 1$.

1.3.2   约束条件

含DG配电网优化重构的过程中需要满足潮流约束、节点电压约束、支路功率约束、分布式电源运行约束、注入功率约束、拓扑结构约束.

1） 潮流约束

潮流计算需要满足节点功率平衡约束条件：

式中：P_g和Q_g分别为注入节点g的有功功率和无功功率，G_g−h、B_g−h和${\theta _{g - h}}$分别为支路g—h的电导、电纳和电压相角差.

2） 节点电压约束

为保证配电网的安全可靠运行，重构后各节点电压幅值应保持在可接受的范围内：

式中：U_g,max和U_g,min分别为节点g的节点电压上、下限.

3） 支路功率约束

为保证配电网的安全可靠运行，重构后支路功率需要满足相应的约束：

式中：S_g−h为支路g—h的视在功率，S_g−h,max为支路g—h所允许的最大功率.

4） 分布式电源运行约束

DG在第x时段输出功率P_DG(x)需满足式（12）所示约束.

式中：$P_{{{\rm{DG}}},{\max }}$、$P_{{{\rm{DG}}},{\min }}$分别为DG可调节功率的上、下限.

5） 注入功率约束

为确保电网中连续潮流的方向仍然是从主电源流向整个含DG配电网，注入电网的功率需要满足式（13）所示约束^[17].

式中：P_DG,x为第x个DG的输出功率，N_DG为DG的数量，P_Load为含DG配电网中总有功负荷.

6） 拓扑结构约束

配电网运行需要满足“闭环设计，开环运行”要求. 配电网正常运行时，联络开关保持断开状态，分段开关处在闭合状态. 在辐射状配电网中每有一个联络开关闭合，就会形成一个环路l. 在优化重构过程中，在所形成的环路中必须选择一条支路上的开关断开，以满足配电网的辐射状拓扑，防止系统内出现环路或孤岛.

2.   基于回溯搜索算法的模型求解

BSA是一种新型进化算法，由Civicioglu于2013年提出^[18]. BSA拥有记忆历史种群的功能，有利于寻找全局最优解. 此外，BSA的结构简单，很容易适应不同的优化问题. 因此，本文使用BSA求解考虑DG输出功率不确定性的配电网多目标优化重构问题.

2.1   回溯搜索算法

基本的BSA共包含5个步骤：种群初始化、选择Ⅰ、变异、交叉以及选择Ⅱ.

2.1.1   种群初始化

BSA随机产生均匀分布的当前种群${\boldsymbol{\rho}}=(\rho_{i,j})$和历史种群${{\boldsymbol{\rho}} _{{\rm{old}}}}=(\rho_{{\rm{old}},i,j})$，根据式（14）初始化种群.

式中：$i = 1,2, \cdots ,{N_{{\rm{pop}}}}$，N_pop为种群个体数，$j =1, 2, \cdots , {N_{\rm{D}}}$，N_D为种群维数，L_low,j、L_up,j分别为种群个体第j维的下限、上限.

在基于BSA的配电网重构过程中，将每种辐射状网络拓扑结构视为种群中的一个个体. 配电网重构过程包括系统中初始的联络开关闭合，重新选择的分段开关断开. 为保证配电网的辐射状拓扑结构，每次断开的支路数量应该等于系统中的联络开关数量，即系统中环路数量. 因此，每次迭代的重构策略可表示为配网系统中需要断开的开关位置X. 第i个个体向量为

式中：N_TS为配电网系统中保持断开的联络开关数量.

该问题的种群中各个体${{{\rho}} _{i,j}}$和${{{\rho}} _{{\rm{old}},i,j}}$可分别根据式（16）、（17）进行初始化^[19].

式中：${X_{i,l,\max }}$和${X_{i,l,\min }}$分别为环路l中最大和最小的开关位置，r₁、r₂为（0,1）上服从均匀分布的随机数，round(•)为四舍五入取整函数，以保证在优化过程中代表开关位置的变量X始终为整数值.

2.1.2   选择Ⅰ

迭代开始，BSA通过比较2个在（0,1）内均匀分布的随机数r₃、r₄的大小来更新历史种群${{\boldsymbol{\rho}} _{{\rm{old}}}}$. 并根据相应策略随机从以往的历史种群和当前种群${\boldsymbol{\rho}}$中选择新的${{\boldsymbol{\rho}} _{{\rm{old}}}}$，如式（18）所示.

历史种群确定后，再进一步随机改变种群中个体的位置.

2.1.3   变异

BSA根据式（19）获得变异种群.

式中：${{\boldsymbol{\rho}} _{{\rm{mutation}}}}$为变异种群；F为变异控制参数，用来控制当代种群向前代种群学习的程度，本文选取$F = 3 {r_5}$，其中，r₅为在区间（0,1）上服从标准正态分布的随机数.

2.1.4   交叉

BSA的交叉阶段使用当前种群ρ和变异种群${{\boldsymbol{\rho}} _{{\rm{mutation}}}}$来生成试验种群T，主要可以分为2步：

步骤1　生成一个N_pop × N_D的二进制整形矩阵M，该矩阵中的初始元素值均为0，采用以下2种策略等概率更新矩阵M：

策略1：交叉长度n恒为1，在矩阵M中随机选定第i行第j维的1个元素M_i,j，令其值为1；

策略2：随机生成$n =d r_6 {N_{\rm{D}}}$，令矩阵M中第i行的n个元素值为1. 其中：d为交叉概率参数，本文设置为1；r₆为（0,1）上服从均匀分布的随机数.

步骤2　根据生成的矩阵M更新试验种群T. 如果${M_{i,j}} = 1$，则将当前种群中ρ_i,j与历史种群${{\boldsymbol{\rho}} _{{\rm{mutation}}}}$中元素互换，从而得到新个体${\boldsymbol{T}}$.

种群交叉变异过程中，种群T中的第i个个体T_i可能会超过所设置的种群上下限，对于此种情况，需要进行种群越界处理，具体操作方式如式（20）所示，其中，r₇为（0,1）上服从均匀分布的随机数.

2.1.5   选择Ⅱ

在选择Ⅱ阶段，选择出试验种群T中具有更优适应度值的对应个体，用来更新种群${\boldsymbol{\rho}}$. 当此时种群${\boldsymbol{\rho}}$中的最佳个体${{\boldsymbol{\rho}} _{{\rm{best}}}}$具有比目前的全局最小值更优的适应度值，则全局最小值被更新为${{\boldsymbol{\rho}} _{{\rm{best}}}}$的适应度值. 回到选择Ⅰ步骤进行下一次迭代，迭代次数N_iter=N_iter + 1，直到达到最大迭代次数N_iter,max，终止迭代. 最终得到所有个体中的全局最小值.

2.2   求解流程

DG输出功率的不确定性会影响配电网的运行稳定性，其出力区间可以由预测精度$\alpha$定义^[20]，则DG输出功率下限为$\alpha P$，输出功率上限为$(2 - \alpha ) P$.

利用BSA求解所述考虑DG输出功率不确定性的有源配电网多目标优化重构模型，其具体求解流程如图1所示.

图  1  有源配电网优化重构求解流程

Figure  1.  Flowchart of optimal reconfiguration for active distribution network

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当迭代达到收敛时，认为该博弈过程达到均衡，此时配电网调度员和“大自然”的策略分别记为ρ_Nash和P_Nash.

3.   算例分析

为验证所述基于非合作博弈的有源配电网多目标优化重构模型及相应求解算法的有效性，本文以含PV的IEEE33节点配电网系统为例进行仿真分析. 该配电网系统的额定电压为12.66 kV，包含33个节点，5个联络开关，每条支路上均有1个分段开关，并将1台PV接入30节点处. 系统的初始状态为所有分段开关都闭合，所有联络开关都断开. 具体系统结构如图2所示，图中，数字为节点序号，红色虚线为联络开关.

图  2  含光伏IEEE33节点配电网系统

Figure  2.  IEEE33-node distribution network system with PV

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3.1   算法性能对比

为验证BSA的性能，基于非合作博弈的配电网多目标优化模型，在同样的条件下利用粒子群优化算法（particle swarm optimization, PSO）进行对比求解，2种方法所得到的重构结果如表1所示，收敛情况如图3所示.

表  1  BSA和PSO各运行指标对比结果

Table  1.  Comparison results of operation indexes between BSA and PSO

算法	断开支路	目标值	求解时间/s	寻优 率/%
BSA	7—8, 9—10, 14—15, 17—18, 28—29	0.2760	272.189	100
PSO	7—8, 9—10, 14—15, 17—18, 28—29	0.2760	407.893	60

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从表1可以看出，与PSO算法相比，BSA兼顾了局部搜索能力与全局搜索能力，在收敛到相同的最小目标函数时，不容易陷入局部最优解，更容易找到最优的重构方案，并且达到收敛所用的寻优时间更短. 由图3可以看出，BSA迭代17次后，收敛到最小的目标函数值，而PSO迭代58次收敛到最小的目标函数值.

图  3  BSA和PSO的收敛情况比较

Figure  3.  Comparison of convergence between BSA and PSO

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3.2   重构前后结果对比

设置预测精度为85%，则PV的出力区间为[0.85P，1.15P]，所选仿真时段的出力区间具体为[1018.00，1377.29] kW. 基于非合作博弈的配电网多目标优化重构模型采用BSA进行求解，所得最优重构结果如图4所示.

图  4  重构后含光伏配电网系统

Figure  4.  Distribution network system with PV after reconfiguration

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从图4可以看出，重构后的网络仍然保持开环运行，本文方法能够在约束范围内完成配电网重构工作.

为进一步验证优化重构效果，基于有功网损、负荷均衡度以及电压偏差3个优化目标，分别对比重构前、后配电网系统的各个指标变化情况，并将其与不含PV的标准IEEE33节点系统的各指标进行对比，结果如表2所示.

表  2  不同情形下配电网系统的各个指标变化情况

Table  2.  Index changes of the distribution network system in different situations

项目	断开支路	网损 /kW	负荷 均衡度	电压偏差标幺值
无 PV	8—21, 9—15, 12—22, 18—33, 25—29	208.46	0.758	1.661
重构前	8—21, 9—15, 12—22, 18—33, 25—29	132.98	0.476	1.197
重构后	7—8, 9—10, 14—15, 17—18, 28—29	90.26	0.334	0.826

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从表2可以看出，基于非合作博弈的配电网优化重构方法对含PV配电网进行优化重构能够降低系统的有功网损，均衡各支路负荷，减小系统电压偏差. 不同情形下配电网节点电压分布情况如图5所示.

图  5  不同情形下配电网节点电压分布情况

Figure  5.  Voltage profile under different situations

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从图5可以看出：在IEEE33节点系统中接入PV后，由于可再生能源向配电网系统中注入了有功功率，配电网的电压分布情况能够得到一定程度的改善；基于所述优化重构方法对含PV的IEEE33节点配电网系统进行优化重构，相较于优化重构前，配电网系统的节点电压分布情况得到了更明显的提升.

3.3   不确定因素影响分析

配电网在实际运行中面临许多随机因素的影响，分布式电源出力不确定性的存在会使得实际的重构策略对提高配电网安全性的效果趋于恶化，确定性模型得到的方案在工程实际中不够安全，因此，需要计及不确定性的影响. 为进一步分析不确定因素对重构结果的影响，将本文所提基于非合作博弈的配电网优化重构模型与确定性重构进行对比，结果如表3所示.

表  3  不同情况下的重构策略对比

Table  3.  Optimal reconfiguration results of different situations

方法	断开支路
非合作博弈	7—8，9—10，14—15，17—18，28—29
确定性优化	7—8，10—11，14—15，16—17，28—29

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根据表3中的优化重构策略，当最恶劣的情况发生时，即PV的输出功率波动到区间下限时，2种策略下配电网系统所求得的各项目标函数值如表4所示.

表  4  2种重构策略下各目标值

Table  4.  Objective functions for the two methods

方法	网损/ kW	负荷 均衡度	电压偏差标幺值	加权 目标值
非合作博弈	90.26	0.334	0.826	0.2760
确定性优化	90.54	0.336	0.830	0.2775

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从表4结果可知，考虑DG输出功率不确定性，基于所述非合作博弈模型所得的重构方案下配电网的有功网损、负荷均衡度以及电压偏差指标均略优于不考虑不确定性因素时所制定的优化重构方案，有功网损、负荷均衡度、电压偏差指标分别降低0.31%、0.59%、0.48%. 综合考虑，本文所选模型所得的重构方案中，能够衡量配电网安全稳定性的目标函数值也优于确定性模型的结果. 以上结果说明，基于非合作博弈模型进行配电网优化重构研究能够充分考虑DG输出功率的各种可能，在最恶劣的情况发生时，该模型仍然能够最大程度上保证配电网的安全稳定运行. 这进一步说明了在配电网优化重构过程中考虑不确定因素的重要性.

4.   结　论

为应对分布式电源大量接入配电网带来的随机性与波动性，本文提出一种基于非合作博弈的配电网多目标优化重构模型，将光伏出力视为自然决策者，考虑配电网与“大自然”的非合作博弈关系进行多目标优化重构研究，并采用BSA求得最优重构方案. 为验证所述方法的有效性，在IEEE33节点系统中进行了算例验证，所得结论总结如下：

1） 所采用的BSA能够有效求解考虑分布式电源不确定性的配电网优化重构问题，并且与PSO算法相比，求解速度更快且更容易找到全局最优解；

2） 所提出的配电网优化重构策略能够有效降低配电网有功网损，维持负荷均衡，减小系统各节点电压偏差；

3） 根据配电网与“大自然”非合作博弈的思想，充分考虑了PV输出功率的不确定性，建立了配电网优化重构模型. 所得的重构方案使得配电网在光伏输出功率波动最恶劣的情况下依然可以安全稳定运行.

本文研究含分布式电源的配电网优化重构问题，但仅考虑了包含单一能源形式分布式电源的配电网，未来可进一步研究包含电、气、热多种能源系统的重构问题.