波形钢腹板PC组合箱梁纯扭全过程分析模型

周聪; 李立峰

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20200201

波形钢腹板PC组合箱梁纯扭全过程分析模型

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20200201

周聪^{1, 2, 3,},
李立峰^1, ,

1.
湖南大学土木工程学院，湖南长沙 410082
2.
湖南科技大学土木工程学院，湖南湘潭 411201
3.
湖南科技大学结构抗风与振动控制湖南省重点实验室，湖南湘潭 411201

基金项目: 国家自然科学基金(52108140，51978257)；湖南省自然科学基金(2021JJ40213)；湖南省教育厅科学研究项目（21B0497）；湖南省交通厅科技项目(201914)

详细信息

作者简介:
周聪(1990—)，男，讲师，博士，研究方向为波形钢腹板组合箱梁、UHPC高性能结构，E-mail：congzhou1990@163.com

通讯作者:
李立峰(1971—)，男，教授，博士，博导，研究方向为UHPC预制装配结构、钢-混组合结构、桥梁抗震，E-mail：lilifeng@hnu.edu.cn

中图分类号: U448.21.3
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出版历程
- 收稿日期: 2020-04-15
- 修回日期: 2020-09-22
- 刊出日期: 2020-09-30

Full-Range Analytical Model for Prestressed Concrete Composite Box Girders with Corrugated Steel Webs Under Pure Torsion

ZHOU Cong^{1, 2, 3
,},
LI Lifeng^{1
, ,}

1.
College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China
2.
School of Civil Engineering, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China
3.
Hunan Provincial Key Laboratory of Structures for Wind Resistance and Vibration Control, Hunan University of Science and Technology, Xiangtan 411201, China

摘要

摘要:
为准确预测波形钢腹板PC组合箱梁（PCCBGCSWs）在纯扭作用下的全过程受力行为，基于软化薄膜元理论提出了改进软化薄膜元模型（ISMMT）. 首先，对ISMMT的平衡、变形协调和材料本构方程以及通用求解程序进行了简要介绍；在此基础上，提出了当波形钢腹板、预应力及普通钢筋均处于弹性阶段时的简化求解程序框图，该简化程序仅有一层迭代循环；最后，完成了一根PCCBGCSWs试件的纯扭模型试验，通过试验得到了试件的扭矩-扭率曲线、波形钢腹板和混凝土翼缘板剪应变、预应力和普通钢筋应变等结果，将试验结果与ISMMT预测的理论结果进行了对比，同时将简化求解程序和通用求解程序的求解效率进行了比较. 结果表明： ISMMT不仅能准确预测PCCBGCSWs在纯扭作用下的全过程扭矩-扭率曲线，还能模拟各构件的应变发展历程，包括混凝土翼缘板、波形钢腹板、预应力和普通钢筋等；运用ISMMT预测本文模型梁的纯扭全过程受力行为时，若采用通用求解程序进行计算，所需的总迭代次数可高达7.9 × 10⁶次，采用简化求解程序最少为5次，最多也仅为193次，可极大提高求解效率；本文ISMMT为PCCBGCSWs的纯扭全过程分析提供了一种有效途径.
- 桥梁工程 /
- 波形钢腹板PC组合箱梁 /
- 纯扭 /
- 改进软化薄膜元模型 /
- 模型试验
Abstract:
To accurately predict the full-range mechanical behavior of prestressed concrete composite box girders with corrugated steel webs (PCCBGCSWs) subjected to pure torsion, a theoretical model called “the improved softened membrane model for torsion (ISMMT)” was proposed based on the softened membrane theory. First, the equilibrium equations, compatibility equations, constitutive laws of materials and general solution algorithm of the ISMMT were briefly introduced. On this basis, a simplified solution algorithm was additionally presented for the stage when both steel bars, the prestressing steel and the corrugated steel webs (CSWs) are in the elastic state, which contains only one iteration loop. To validate the feasibility and accuracy of the ISMMT, a PCCBGCSW specimen was tested under pure torsion. The results, including the overall torque-twist curve, shear strains in the CSWs and concrete flanges, and strains in the prestressing steels and steel bars, were obtained from the test. Then, the experimental results were compared with the theoretical results calculated by the ISMMT. The comparison of solving efficiency between the general computer program and the simplified one was also conducted. Results show that the ISMMT not only can provide accurate prediction for the full-range torque-twist curve of PCCBGCSWs under pure torsion, but also can make precise predictions for the entire stress evolution in components of the PCCBGCSWs during loading, including the concrete flanges, CSWs, prestressing steels, and steel bars. When using the ISMMT to predict the full-range behavior of the PCCBGCSW specimen under pure torsion in this study, the number of iterations could be as high as 7.9 × 10⁶ if the general computer program was used. However, if the simplified computer program was employed, the number of iterations could be significantly reduced (5 times at least and 193 times at most), which is a great improvement in solving efficiency in comparison with the general computer program. Therefore, the ISMMT provides an effective way to analyse the full torsional behaviour of PCCBGCSWs under pure torsion.
- bridge engineering /
- prestressed concrete composite box girders with corrugated steel webs /
- pure torsion /
- improved softened membrane model /
- model test

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伴随着城市发展，城市聚集效应进一步加强，许多地方出现了土地资源短缺、建筑空间拥挤等问题^[1]. 城市地下空间开发和利用已成为我国城市建设的热点关注领域. “十三五”规划时期，地下空间开发投资规模达到8万亿人民币^[2]，“十四五规划”更是对地下空间开发和利用提出了新的要求. “长、深、大”基坑施工是大型城市综合体和城市地下轨道交通工程的重要环节，不可避免地会造成周围土体变形，使地面产生沉降^[3-4]. 城市道路错综复杂，若基坑控制变形措施不到位，会引起邻近路面沉降、开裂，甚至坍塌^[5-6]. 因此，在基坑开挖之前对邻近道路的变形进行计算预测，对道路保护具有重要的意义.

目前，针对基坑开挖对邻近既有道路影响的问题，大多是采用数值模拟方法进行研究，理论研究尚不完善. 闫周福^[7]运用有限差分软件建立同时考虑土体、基坑支护结构和邻近既有铁路路堤模型，分析了基坑开挖过程中地下连续墙水平位移、基坑周边地表沉降和路堤水平位移和沉降变化规律. 方浩^[8]采用三维弹塑性数值分析方法，研究某软土地区高铁路基在基坑开挖过程中的变形规律，对高铁路基变形的7个影响因素进行敏感性分析，提出了路基最大水平位移和沉降的预测方法. 雷华阳等^[9]利用有限元方法分析了基坑开挖对既有铁路路基的影响，并提出相应安全措施. 储成伍^[10]通过建立三维有限元模型评估了基坑方案对邻近铁路路基变形的影响，根据实测数据分析路基变形规律，并提出施工注意事项. 合理的数值模拟可以较为准确地得到基坑开挖过程中邻近既有道路变形情况，但建模过程复杂，模型计算时间长，对计算能力要求高.

两阶段分析法^[11]将结构变形计算分为2个阶段：第1阶段假设土体中不存在结构，通过经验公式或数值模拟方法得到由开挖引起的土体位移场；第2阶段将第1阶段得到的位移场直接作用在结构上，此时的结构变形就可认为是由开挖引起的. 与直接采用数值模拟方法进行计算相比，两阶段分析法计算更为简便，可通过编写计算程序进行求解. 本文基于Winkler地基理论^[12]，采用两阶段分析法建立道路与土变形协调关系，推导出可以考虑基坑开挖引起沉降场下的道路挠曲微分方程，并进行求解，最后根据实际基坑工程案例，验证本文解答的准确性. 目前，该方法多运用于开挖引起邻近一维结构变形的计算，Poulos等^[13]采用两阶段分析法，先通过有限元模拟方法得到基坑开挖引起的土体自由位移场，然后将桩体视为一个Winkler地基梁，并把位移场作为已知条件作用于桩身，计算得到桩身变形. Klar等^[14-15]在研究隧道开挖对既有管道影响的问题时采用了两阶段分析法，利用修正Peck曲线^[16]拟合得到隧道开挖引起的土体自由场，然后再将土体自由场施加到管道上，并根据弹性理论法进行求解. 张坤勇等^[17]基于Winkler地基模型，广泛应用于地基工程，并给出了任意位移荷载作用下管线的解析解，且在解决实际问题的过程中验证了其合理性. 本文在此基础上，给出开挖引起邻近二维结构变形的计算方法.

1. 开挖场下道路与土的相互作用

位于土层上的道路在基坑开挖的作用下发生挠曲变形，根据Winkler地基理论，可把道路下土体看作许多独立且互不影响的弹簧，土体表面任一点的压力与该点沉降成正比，基坑与道路的位置如图1（a）所示，简化模型如（b）所示. 该模型假设道路为各向同性的弹性矩形板，道路与土体始终保持接触且变形协调. 根据两阶段分析法，先假设该处的道路不存在，此时地表沉降场为s，如（c）所示. 将该沉降场施加于道路上，道路的挠曲变形（即为后文的薄板挠度）为 $\omega$ ，如图1（d）所示. 因此，道路与土相互作用产生的地基反力p为

图 1 基坑开挖下道路-土相互作用模型

Figure 1. Road-soil interaction model under foundation pit excavation

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$p = k\left( {s - \omega } \right) ,$

(1)

式中：k为地基反力系数（kPa/m）.

2. 道路挠曲变形控制方程推导

道路厚度 $\delta$ 远小于长度a和宽度b，在开挖和路面荷载作用下发生的变形 $\omega$ 远小于厚度 $\delta$ . 因此，本文问题简化为弹性薄板的小挠度弯曲问题.

2.1 计算假定

在弹性薄板弯曲的理论中，根据克希霍夫假定^[18]对空间问题的基本方程进行简化. 以发生弯曲变形前板的中面作为xy面，薄板长边中点为坐标原点，z轴垂直向下，如图2所示.

图 2 弹性薄板示意

Figure 2. Elastic sheet

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计算假定如下：

1）薄板弯曲前后厚度保持不变，取沿z轴方向的正应变 ${\varepsilon _{\textit{z}}} = 0$ . 由空间问题的几何方程可得

$\varepsilon\mathit{_{\textit{z}}}=\frac{\partial\omega}{\partial{\textit{z}}}=0,$

(2)

式中： ${\varepsilon _{\textit{z}}} = 0$ ； $\omega$ 为关于x、y的函数，不随z改变.

2）变形前中面的法线在薄板弯曲后仍然与弯曲后的中面保持垂直. 作用于垂直于x轴的平面上且方向平行于z轴的剪应力 ${\tau _{x{\textit{z}}}}$ 、作用于垂直于y轴的平面上且方向平行于z轴的剪应力 $\tau_{y{\textit{z}}}$ 和沿z轴方向的正应力 ${\sigma _{\textit{z}}}$ 引起的变形可以忽略不计. 即有xz平面剪应变 ${\gamma _{x{\textit{z}}}} = 0$ ，y与z两正方向的线段之间直角的改变量 ${\gamma _{y{\textit{z}}}} = 0$ 和 ${\varepsilon _{\textit{z}}} = 0$ ，且因为不计 ${\sigma _{\textit{z}}}$ 所引起的变形，所以薄板的物理方程可以写成

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\varepsilon _x} = \displaystyle\frac{1}{E}\left( {{\sigma _x} - \mu {\sigma _y}} \right),} \\ {{\varepsilon _y} = \displaystyle\frac{1}{E}\left( {{\sigma _y} - \mu {\sigma _x}} \right),} \\ {{\gamma _{xy}} = \displaystyle\frac{{2\left( {1 + \mu } \right)}}{E}{\tau _{xy}},} \end{array} } \right.$

(3)

式中： ${\sigma _x}$ 、 ${\sigma _y}$ 、 ${\tau _{xy}}$ 分别为物体沿x、y方向上的应力分量及xy平面的剪应力， ${\varepsilon _x}$ 、 ${\varepsilon _y}$ 分别为物体沿x、y方向上的应变分量， $\mu$ 为泊松比，E为弹性模量.

3）薄板中面内各点均不存在沿x、y方向上的侧向位移，即 ${ u |_{{\textit{z}} = 0}} = 0$ ， ${ v |_{{\textit{z}} = 0}} = 0$ ，其中，u，v分别为物体沿x、y方向的位移分量. 结合几何方程，可得出中面内的形变分量均为0，即

$\left\{ \begin{gathered} { {{\varepsilon _x}} |_{{\textit{z}} = 0}} = 0, \\ { {{\varepsilon _y}} |_{{\textit{z}} = 0}} = 0, \\ { {{\varepsilon _{\textit{z}}}} |_{{\textit{z}} = 0}} = 0. \\ \end{gathered} \right.$

(4)

2.2 控制方程推导

薄板小挠度弯曲问题按位移求解，取 $\omega$ 作为唯一基本未知函数，根据空间问题的基本方程、边界条件以及相关计算假定，可以将位移分量、应变分量以及应力分量等物理量都分别用只含有挠度 $\omega$ 的式子来表示，建立关于 $\omega$ 的挠曲微分方程，即可得到主要应变分量 ${\varepsilon _x}$ 、 ${\varepsilon _y}$ 、 ${\gamma _{xy}}$ 为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\varepsilon _x} = \displaystyle\frac{{\partial u}}{{\partial x}} = - \displaystyle\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {x^2}}}{\textit{z}},} \\ {{\varepsilon _y} = \displaystyle\frac{{\partial v}}{{\partial y}} = - \displaystyle\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {y^2}}}{\textit{z}},} \\ {{\gamma _{xy}} = \displaystyle\frac{{\partial v}}{{\partial x}} + \displaystyle\frac{{\partial u}}{{\partial y}} = - 2\displaystyle\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial x\partial y}}{\textit{z}}.} \end{array}} \right.$

(5)

将式（5）代入式（3）可得到主要应力分量 ${\sigma _x}$ 、 ${\sigma _y}$ 、 ${\tau _{xy}}$ 为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{\sigma _x} = - \displaystyle\frac{{E{\textit{z}}}}{{1 - {\mu ^2}}}\left( {\displaystyle\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {x^2}}} + \mu \displaystyle\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {y^2}}}} \right),} \\ {{\sigma _y} = - \displaystyle\frac{{E{\textit{z}}}}{{1 - {\mu ^2}}}\left( {\displaystyle\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {y^2}}} + \mu \displaystyle\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {x^2}}}} \right),} \\ {{\tau _{xy}} = - \displaystyle\frac{{E{\textit{z}}}}{{1 + \mu }}\displaystyle\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial x\partial y}}.} \end{array}} \right.$

(6)

次要应力分量 ${\tau _{{\textit{z}}x}}$ 、 ${\tau _{{\textit{z}}y}}$ 为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\tau _{{\textit{z}}x}} = \displaystyle\frac{E}{{2\left( {1 - {\mu ^2}} \right)}}\left( {{{\textit{z}}^2} - \frac{{{\delta ^2}}}{4}} \right)\displaystyle\frac{\partial }{{\partial x}}{\nabla ^2}\omega ,} \\ {{\tau _{{\textit{z}}y}} = \displaystyle\frac{E}{{2\left( {1 - {\mu ^2}} \right)}}\left( {{{\textit{z}}^2} - \frac{{{\delta ^2}}}{4}} \right)\displaystyle\frac{\partial }{{\partial y}}{\nabla ^2}\omega ,} \end{array}} \right.$

(7)

式中： ${\nabla ^2}$ 为拉普拉斯算子， $\tau_{{\textit{z}}x}$ 为作用于z轴的平面上且方向平行于x轴的剪应力， $\tau_{{\textit{z}}y}$ 为作用于垂直于z轴的平面上且方向平行于y轴的剪应力.

由上可知，平行于板中面的应力分量 ${\sigma _x}$ 、 ${\sigma _y}$ 、 ${\tau _{xy}}$ 与z成正比，且在中面上为0，剪应力 ${\tau _{{\textit{z}}x}}$ 与 ${\tau _{{\textit{z}}y}}$ 沿板厚度呈抛物线分布. 在板内任取一个长度和宽度分别为dx、dy，厚度为 $\delta$ 的微小六面体，其侧面所作用的应力分量如图3所示.

图 3 板的应力

Figure 3. Stress of plate

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在x为常量的横截面上，应力分量 ${\sigma _x}$ 与作用于垂直于x轴的平面上且方向平行于y轴的剪应力 ${\tau _{xy}}$ 在薄板的整个厚度上的矢量和等于0，只能分别合成弯矩和扭矩，并且应力分量 ${\tau _{{\textit{z}}x}}$ 只能合成剪力；在y为常量的横截面上， ${\sigma _y}$ 、作用于垂直于y轴的平面上且方向平行于x轴的剪应力 ${\tau _{yx}}$ 以及 ${\tau _{{\textit{z}}y}}$ 也是如此. 于是可以得到

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{M_x} = \displaystyle\int_{ - \tfrac{\delta }{2}}^{\tfrac{\delta }{2}} {{\textit{z}}{\sigma _x}{\mathrm{d}}{\textit{z}},}\; {M_y} = \displaystyle\int_{ - \tfrac{\delta }{2}}^{\tfrac{\delta }{2}} {{\textit{z}}{\sigma _y}{\mathrm{d}}{\textit{z}},} } \\ {{M_{xy}} = \displaystyle\int_{ - \tfrac{\delta }{2}}^{\tfrac{\delta }{2}} {{\textit{z}}{\tau _{xy}}{\mathrm{d}}{\textit{z}},}\; {M_{yx}} = \displaystyle\int_{ - \tfrac{\delta }{2}}^{\tfrac{\delta }{2}} {{\textit{z}}{\tau _{yx}}{\mathrm{d}}{\textit{z}},} } \\ {{Q_x} = \displaystyle\int_{ - \tfrac{\delta }{2}}^{\tfrac{\delta }{2}} {{\tau _{x{\textit{z}}}}{\mathrm{d}}{\textit{z}},\; {Q_y} = \displaystyle\int_{ - \tfrac{\delta }{2}}^{\tfrac{\delta }{2}} {{\tau _{y{\textit{z}}}}{\mathrm{d}}{\textit{z}},} } } \end{array}} \right.$

(8)

式中：M_x和M_y分别为在x和y为常量的对应横截面上，应力分量 ${\sigma _x}$ 和 ${\sigma _y}$ 在中面合成的弯矩；M_xy和M_yx为 ${\tau _{xy}}$ 和 ${\tau _{yx}}$ 在对应截面上合成的扭矩；Q_x和Q_y分别为 ${\tau _{x{\textit{z}}}}$ 、 ${\tau _{y{\textit{z}}}}$ 在对应截面上合成的横向剪力.

将式（6）、（7）代入式（8），即可得用挠度 $\omega$ 表示的弯矩、扭矩和剪力表达式为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{M_x} = - {K_{\text{d}}}\left( {\displaystyle\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {x^2}}} + \mu \frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {y^2}}}} \right),} \\ {{M_y} = - {K_{\mathrm{d}}}\left( {\displaystyle\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {y^2}}} + \mu \frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {x^2}}}} \right),} \\ {{M_{xy}} = {M_{yx}} = - {K_{\mathrm{d}}}\left( {1 - \mu } \right)\displaystyle\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial x\partial y}},} \\ \begin{gathered} {Q_x} = - {K_{\mathrm{d}}}\frac{\partial }{{\partial x}}{\nabla ^2}\omega , \\ {Q_y} = - {K_{\mathrm{d}}}\frac{\partial }{{\partial y}}{\nabla ^2}\omega , \\ \end{gathered} \end{array}} \right.$

(9)

式中： ${K_{\mathrm{d}}} = \displaystyle\frac{{E{\delta ^3}}}{{12\left( {1 - {\mu ^2}} \right)}}$ ，为板的抗弯刚度.

在薄板中面取出长度为dx，宽度为dy的矩形单元，并将薄板的内力、垂直于板面的分布荷载q以及地基反力p均表示在单元上，如图4所示.

图 4 板的内力

Figure 4. Internal force of plate

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将绕板单元的中心面与y轴平行，直线的力矩平衡条件 $\displaystyle\sum {{{M }_x} = 0}$ ；绕板单元的中心面与x轴平行，直线的力矩平衡条件 $\displaystyle\sum {{{M }_y} = 0}$ ；z方向上力的平衡条件 $\displaystyle\sum {{F_{\textit{z}}} = 0}$ 联立求解并化简后即可得到薄板的控制方程为

$K_{\mathrm{d}}{\nabla ^4}\omega - k\left( {s - \omega } \right) - q = 0 ,$

(10)

式中： ${\nabla ^4} = \displaystyle\frac{{{\partial ^4}}}{{\partial {x^4}}} + 2\displaystyle\frac{{{\partial ^4}}}{{\partial {x^2}\partial {y^2}}} + \displaystyle\frac{{{\partial ^4}}}{{\partial {y^4}}}$ ，为双重拉普拉斯算子.

3. 道路挠曲变形控制方程求解

3.1 道路边界条件

薄板的上、下板面为主要边界，四周的板边为次要边界，即小边界. 在薄板的小边界上，可根据圣维南原理，用剪力与弯矩表示的内力边界条件把相应的应力边界条件替换. 同时，板边的位移边界条件也可以用中面的挠度和转角的条件替换.

对于由实际道路模型简化的薄板，如图5所示. 边AD与边BC是自由边. 当薄板的长度足够大时，可认为边AB与边CD不受基坑开挖影响. 因此，可以假定该薄板的边AB与边CD是固定边.

图 5 道路简化模型边界条件

Figure 5. Boundary conditions of simplified road model

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在固定边AB及固定边CD上，薄板的挠度等于0，弹性曲面的斜率（即转角）也等于0. 在自由边AD上，薄板的弯矩M_y、扭矩M_yx和剪力Q_y都为0. 又因为在薄板的任一边界上，可将其扭矩等效转化为剪力，并与原有的剪力合并，所以上述边界条件可用挠度 $\omega$ 表示为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left.{\left( {\displaystyle\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {y^2}}} + \mu \frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {x^2}}}} \right)}\right|_{y = 0}} = 0, \\ {\left.{\left[ {\displaystyle\frac{{{\partial ^3}\omega }}{{\partial {y^3}}} + \left( {2 - \mu } \right)\frac{{{\partial ^3}\omega }}{{\partial {x^2}\partial y}}} \right]}\right|_{y = 0}} = 0. \end{array}} \right.$

(11)

同理，自由边BC的边界条件也可表示为

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left.{\left( {\displaystyle\frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {y^2}}} + \mu \frac{{{\partial ^2}\omega }}{{\partial {x^2}}}} \right)}\right|_{y = b}} = 0, \\ {\left.{\left[ {\displaystyle\frac{{{\partial ^3}\omega }}{{\partial {y^3}}} + \left( {2 - \mu } \right)\frac{{{\partial ^3}\omega }}{{\partial {x^2}\partial y}}} \right]}\right|_{y = b}} = 0. \end{array}} \right.$

(12)

3.2 基坑开挖引起的沉降场

1）沉降场确定方法

道路下土体沉降场由基坑开挖产生，通常采用2种方法得到土体沉降场：第1种方法是通过数值模拟，建立与实际基坑工程相一致的模型，模型中不考虑道路的作用，即在实际道路所在的区域仍用原始土层代替. 然后提取道路位置处的地表土体沉降，并进行拟合，即可得到计算所需的由基坑开挖引起坑外地表沉降场表达式. 第2种方法是直接根据现有经验公式，把相关的基坑参数代入式（13）中，即可得到地表土体的沉降场. 张陈蓉等^[19-20]根据唐孟雄等^[21]研究的地表横向沉降预测曲线以及Hsieh等^[22]运用实测数据总结得出的沉降曲线，提出式（13）来预测基坑外地表土体沉降的曲线.

$s\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {s_{\max }}\left( {\displaystyle\frac{x}{H} + 0.5} \right){{\mathrm{e}}^{ - {\text{π}} {{\left( {\tfrac{y}{R}} \right)}^2}}},\\ \quad 0 \leqslant x \leqslant 0.5H, \\ {s_{\max }}\left( { - 0.6\displaystyle\frac{x}{H} + 1.3} \right){{\mathrm{e}}^{ - {\text{π}} {{\left( {\tfrac{y}{R}} \right)}^2}}},\\ \quad 0.5H < x \leqslant 2.0H, \\ {s_{\max }}\left( { - 0.05\displaystyle\frac{x}{H} + 0.2} \right){{\mathrm{e}}^{ - {\text{π}} {{\left( {\tfrac{y}{R}} \right)}^2}}},\\ \quad 2.0H < x \leqslant 4.0H, \end{array}} \right.$

(13)

式中：s_max为坑外地表最大沉降量（mm）；H为基坑开挖深度（m）；R为变形影响半径（m），与基坑的开挖深度及基坑长度有关， $R = \displaystyle\frac{L}{2}\left( {0.069\ln \frac{H}{L} + 1.03} \right)$ ，L为基坑长度.

2）经验公式修正

从式（13）可知，在沿垂直于基坑长边的方向上，地表沉降呈现出先增大后减小的变化趋势. 在沿平行于基坑长边的方向上，地表沉降关于基坑中轴线对称，且整体上呈现正态分布的形状. 从南京市的实际基坑工程情况来看，地表沉降整体上的分布形态与式（13）是一致的，但部分位置的沉降值存在较大的差异. 如式（13）认为：紧靠墙后处的地表沉降为最大沉降的一半，但实际情况中，因为第1道支撑的及时架设，墙后并不会产生如此大的沉降；基坑开挖时的地表沉降只发生在基坑开挖边界范围内，但实际情况也并非如此. 因此，为了使沉降场表达式更准确，需要对式（13）进行修正.

根据南京市典型地层分布情况和建筑基坑平面形状，建立长为100 m，宽为50 m，深为20 m的基坑有限元模型. 基坑支护结构如图6所示.

图 6 基本模型基坑支护结构剖面图（单位：m）

Figure 6. Sectional drawing of foundation pit support structure of basic model （unit: m）

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本文数值模拟中的土体本构采用修正莫尔-库伦（MMC）模型，各土层的相关计算参数如所示. 从数值模拟结果分析，对于沿着基坑长边方向的沉降 $s_1\left( y \right) = {{\mathrm{exp}}\left({ - {\text{π}} {{\left( {\dfrac{y}{R}} \right)}^2}}\right)}$ 的形式来表示. 因此，利用该公式对固定基坑长度、不同开挖深度下的沉降曲线进行拟合，拟合结果如图7所示.

表 1 修正莫尔-库伦模型参数

Table 1. Modified Mohr-Coulomb model parameters

土层名称	γ/（kN•m⁻³）	φ/（°）	c/kPa	$\mu$	e₀	E_s/MPa	E_oed/MPa	E₅₀/MPa	E_ur/MPa
素填土	18.4	13.6	11.1	0.33	0.914	4.41	4.41	4.41	22.05
淤泥质粉质黏土	17.7	11.8	8.4	0.40	1.100	3.37	3.37	6.74	33.70
粉质黏土夹粉土	17.8	16.4	10.4	0.35	0.953	4.20	4.20	8.20	41.00
粉土夹粉砂	18.5	23.3	8.5	0.31	0.812	6.56	6.56	6.56	32.80
粉细砂	18.5	32.3	2.0	0.27	0.745	10.05	10.05	10.05	50.25
卵石	20.0	35.0	30.0	0.25	0.650	15.00	15.00	15.00	75.00
风化岩	21.0	35.0	30.0	0.25	0.600	30.00	30.00	20.00	100.00
注：γ为土体重度，φ为土体内摩擦角，c为土体黏聚力，e₀为初始孔隙比，E_s为土体压缩模量，E_oed为固结试验的参考切线模量，E₅₀为三轴排水剪切试验的参考割线模量，E_ur为三轴排水剪切试验的参考加卸载模量；E_s、E_oed、E₅₀、E_ur之间存在经验关系^[23-24].

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图 7 地表沉降沿基坑长度方向的沉降分布曲线

Figure 7. Distribution curves of surface settlement along length of foundation pit

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从拟合结果来看，各深度下的变形影响半径R拟合值分别为120.020、103.273、91.968、86.829 m. 各沉降曲线的拟合相关系数均大于0.97，说明拟合结果具有较高的精度. 由原经验公式中的 $R = {L}\left( {0.069\ln ({H}/{L}) + 1.03} \right)/2$ 可知，R与ln (H/L)成线性关系. 因此，对R与ln H/L重新进行线性拟合，拟合结果如所示，可以得到变形影响半径与基坑开挖深度ln H/L的关系为 $R = L\left( { - 0.284\ln ({H}/{L}) + 0.396} \right)$ .

图 8 拟合系数与基坑开挖深度关系

Figure 8. Relationship between fitting coefficient and excavation depth of foundation pit

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对于沿着与基坑长边垂直方向的沉降变化规律，也仍采用与经验公式相同的三段线性关系来表示，但需要对各个转折点的位置进行修正，使其与实际基坑开挖产生的沉降场更吻合. 修正后的沿垂直基坑长边方向的沉降变化规律可用式（14）表示.

$s_2\left(x\right)=\left\{ \begin{array}{l} {s}_{\mathrm{max}}\left(\displaystyle\frac{7x}{6H} + 0.3\right)\text{，}\quad0\leqslant x\leqslant 0.6H, \\ {s}_{\mathrm{max}}\left(-0.5\displaystyle\frac{x}{H} + 1.3\right)\text{，}\quad0.6H < x\leqslant 2.0H, \\ {s}_{\mathrm{max}}\left(-0.15\displaystyle\frac{x}{H} + 0.6\right)\text{，}\quad2.0H < x\leqslant 4.0H. \end{array}\right.$

(14)

最后，将s₁(x)和s₂(y)整合，即可得到由基坑开挖引起的任意一点的坑外地表沉降的修正式为

$s_3 \left(x,y\right) = \left\{ \begin{array}{*{20}{l}} s_{\max}\left(\displaystyle\frac{7x}{6H} + 0.3\right)\mathrm{e}^{-\text{π}\left(\frac{y}{R}\right)^2},\\ \quad0 \leqslant x \leqslant0.6H, \\ s_{\max}\left(-0.5\displaystyle\frac{x}{H} + 1.3\right)\mathrm{e}^{-\text{π}\left(\frac{y}{R}\right)^2}, \\ \quad0.6H < x \leqslant2.0H, \\ s_{\max}\left( -0.15\displaystyle\frac{x}{H} + 0.6\right)\mathrm{e}^{-\text{π}\left(\frac{y}{R}\right)^2}, \\ \quad2.0H < x \leqslant4.0H.\end{array}\right.$

(15)

3）地表最大沉降预测方法

式（15）中，坑外地表最大沉降s_max与诸多因素相关，本文主要考虑2方面：

① 基坑参数，主要包括开挖深度H、宽长比B/L以及支护刚度K，K是用来表示基坑围护的无量纲综合刚度，可用 $K = EI/\left( {{\gamma _{\text{w}}}h_{{\text{ave}}}^4} \right)$ . 其中：I为围护墙惯性矩（m³），I=t³/12；t为围护墙的厚度（m）；γ_w为水的重度（kN/m³）；h_ave为支撑竖向平均间距（m）.

K的取值如表2所示.

表 2 支护刚度取值

Table 2. Values of support stiffness

t/m	EI/kPa	h_ave/m	支撑层数/层	K
0.6	540	6.0	3	40
0.8	1280	6.0	3	100
0.8	1280	4.5	4	310
0.8	1280	4.0	5	500
1.0	2500	4.0	5	975

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② 土层参数，主要为坑底以上软土层的厚度D. 运用控制变量的方法，通过大量的模型计算得到各个影响因素下地表沉降的最大值. 影响因素的取值如表3所示.

表 3 影响因素值

Table 3. Values of influencing factors

K （log K）	B/L	D/m	H/m
40 （1.60）	0.3	0	1.5
100 （2.00）	0.5	4	6.0
310 （2.49）	0.7	8	10.5
500 （2.70）	0.9	12	15.0
975 （2.99）		16	20.0

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通过线性拟合可知，s_max与H²呈线性正相关. 因此，以s_max为纵坐标，H²为横坐标，可拟合得到s_max-H²的关系如图9所示.

图 9 坑外地表最大沉降预测曲线

Figure 9. Prediction curves of maximum settlement outside pit

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通过以上的预测曲线，可以在K、B/L、H以及D给定的情况下，对其可能产生的s_max进行预测. 在适用性上，当开挖深度大于5 m时，能对s_max进行较好的预测. 将s_max代入修正后的公式，即可得到由基坑开挖引起的开挖地表任意点的沉降表达式.

3.3 道路挠曲变形控制方程求解

将式（11）中含有基本未知函数 $\omega$ 的项移到等式的一边，可以得到

$\left( {\frac{{{\partial ^4}}}{{\partial {x^4}}} + 2\frac{{{\partial ^4}}}{{\partial {x^2}\partial {y^2}}} + \frac{{{\partial ^4}}}{{\partial {y^4}}}} \right)\omega + \frac{k}{D}\omega = \frac{{q + ks}}{D} .$

(16)

式（16）为四阶非线性偏微分方程，无法直接求出该方程的解析解，但可以通过有限差分法求得该方程的近似解. 用有限差分法求解偏微分方程，首先，将求解区域用等间距的平行线划分成网格，网格的交点称为节点，网格的间距为步长；然后，对各个节点的挠度函数进行泰勒展开，消除高阶项，构造基本差分方程，把偏微分方程的求解问题转化为代数方程组的求解问题；最后，编写计算程序，对代数方程组进行求解，就可以得到道路内各个节点挠度的近似解答. 理论上步长划分的越短得到的解答就越精确，同时认为挠度在道路体内是连续的，且只随x、y坐标的变化而变化，因此，可以对各个节点的挠度函数进行泰勒展开，消除高阶项，构造基本差分方程，此时偏微分方程的求解问题转化为代数方程组的求解问题.

1）基本差分方程构造

将道路划分成如图10所示的m × n个节点，编号为（i，j），（i=1，2，3，…，m；j=1，2，3，…，n），每个节点的步长为h，同时在道路固定边界外每排节点上设置一个虚段0、m + 1，在自由边界外的每排节点上设置一个虚段−1、0、n + 1、n + 2，每个节点的挠度 ${\omega _{\left( {i,j} \right)}}$ 都是一个未知量，因此总共有(m + 2) × (n + 4)个未知量，若要求解挠度，也需要相应数量的方程个数.

图 10 限差分法道路节点划分示意

Figure 10. Schematic diagram of road node division by limited difference method

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根据泰勒级数展开节点（i−1，j）和（i + 1，j）的挠度如下：

$\begin{split} & {\omega _{\left( {i - 1,j} \right)}} = {\omega _{\left( {i,j} \right)}} - h\frac{{\partial {\omega _{\left( {i,j} \right)}}}}{{\partial x}} + \frac{h}{{2!}}\frac{{{\partial ^2}{\omega _{\left( {i,j} \right)}}}}{{\partial {x^2}}} - \\& \quad\frac{h}{{3!}}\frac{{{\partial ^3}{\omega _{\left( {i,j} \right)}}}}{{\partial {x^3}}} + \cdots , \end{split}$

(17)

$\begin{split} & {\omega _{\left( {i + 1,j} \right)}} = {\omega _{\left( {i,j} \right)}} + h{ {\frac{{\partial \omega }_{\left( {i,j} \right)}}{{\partial x}}}} + \frac{h}{{2!}}{ {\frac{{{\partial ^2}\omega }_{\left( {i,j} \right)}}{{\partial {x^2}}}}} + \\& \quad\frac{h}{{3!}}{ {\frac{{{\partial ^3}\omega }_{\left( {i,j} \right)}}{{\partial {x^3}}}}} + \cdots . \end{split}$

(18)

随后，根据有限差分法的计算方法，即可得到式（17）在节点（i，j）的差分形式为

$\begin{split}& \frac{1}{{{h^4}}}\left[ {20{\omega _{\left( {i,j} \right)}} - 8\left( {{\omega _{\left( {i + 1,j} \right)}} + {\omega _{\left( {i,j + 1} \right)}} + {\omega _{\left( {i - 1,j} \right)}} + {\omega _{\left( {i,j - 1} \right)}}} \right)} \right. + \\&\quad 2\left( {{\omega _{\left( {i + 1,j - 1} \right)}} + {\omega _{\left( {i + 1,j + 1} \right)}} + {\omega _{\left( {i - 1,j + 1} \right)}} + {\omega _{\left( {i - 1,j - 1} \right)}}} \right) + \\&\quad \left( {{\omega _{\left( {i + 2,j} \right)}}} \right. + \left. {\left. {{\omega _{\left( {i,j + 2} \right)}} + {\omega _{\left( {i - 2,j} \right)}} + {\omega _{\left( {i,j + 2} \right)}}} \right)} \right] + \\&\quad\frac{k}{D}{\omega _{\left( {i,j} \right)}} = \frac{{q + ks}}{D}. \end{split}$

(19)

因此，对于道路体内的每一个节点（i，j），（i=2，3，…，m−1；j=1，2，3，…，n），都能以挠度 ${\omega _{\left( {i,j} \right)}}$ 为基本未知量，建立一个如式（19）的基本差分方程，总共可建立起（m−2） × n个方程，其余方程将根据边界条件构建.

2）边界条件的差分方程

道路固定边界上任意点的挠度和转角都等于0，对于道路固定边界上的每一个节点（i，j），（i=1，2，…，m；j=−1，0，1，…，n+2），总共可建立起4(n+4)个方程，同时道路自由边界上任意点的弯矩和剪力都等于0，通过有限差分法的计算方法可得到自由边界上各个节点的差分形式为

$\begin{split}& \left( {{\omega _{\left( {i,j + 1} \right)}} + {\omega _{\left( {i,j - 1} \right)}}} \right) + \mu \left( {{\omega _{\left( {i + 1,j} \right)}} + {\omega _{\left( {i - 1,j} \right)}}} \right) - \\& \quad 2\left( {1 + \mu } \right){\omega _{\left( {i,j} \right)}} = 0 , \end{split}$

(20)

$\begin{split} & {\omega _{\left( {i,j + 2} \right)}} - {\omega _{\left( {i,j - 2} \right)}} + \left( {2\mu - 6} \right)\left( {{\omega _{\left( {i,j + 1} \right)}} - } \right.\left. {{\omega _{\left( {i,j - 1} \right)}}} \right) + \\ &\quad \left( {2 - \mu } \right) \left( {{\omega _{\left( {i + 1,j + 1} \right)}} - } \right.{\omega _{\left( {i + 1,j - 1} \right)}} + {\omega _{\left( {i - 1,j + 1} \right)}} - \\ &\quad \left. {{\omega _{\left( {i - 1,j - 1} \right)}}} \right) = 0 . \end{split}$

(21)

对于道路自由边界上的每一个节点（i，j），（i=2，3，…，m−1；j=1，2，…，n），都能建立起一组如式（20）、（21）的差分方程，总共可建立起4(m−2)个方程.

方程总数与未知量的个数均为(mn + 4m + 2n + 8)个，根据这些方程组，采用MATLAB编程进行计算，即可求得在基坑开挖引起的沉降场下，邻近既有道路挠度的解答. 再将所求得的挠度代入式（6）和式（9），可分别求得道路的应力、剪力以及弯矩.

4. 工程实例计算

4.1 工程概况

工程场地北侧、西侧以及东侧均邻近道路，平面位置如图11所示. 本文选取Ⅲ-1区基坑开挖，其长边邻近道路（道路3）作为案例验证. Ⅲ-1区基坑靠近道路一侧的长度为130 m，宽度为75 m，基坑边缘与道路的距离为12 m. 道路宽度为20 m，厚度为0.6 m. 该区域为地下室4层，基坑开挖深度为19.75 m.

图 11 工程现场平面示意

Figure 11. Project site

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基坑支护方案采用地下连续墙 + 4道钢筋混凝土支撑，地连墙总深度为38.4 m，厚度为1.0 m，内支撑为桁架形式，第1道支撑的截面尺寸为1 000 mm × 1 000 mm，第2道支撑的截面尺寸为950 mm × 950 mm，第3、4道支撑的截面尺寸均为1 050 mm × 1050 mm，基坑支护结构剖面如图12所示.

图 12 基坑支护结构剖面图（单位：m）

Figure 12. Sectional drawing of foundation pit support structure （unit: m）

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4.2 有限元模型

土体本构采用修正摩尔-库伦模型，地连墙、内支撑以及立柱采用线弹性本构模拟，土体主要计算参数如表1所示. 地基垂直基床系数根据项目勘查报告中给出的值确定，取k=8 × 10³ kPa/m. 模型尺寸为310 m × 250 m，其中有道路一侧的模型边界到基坑边缘的距离为100 m，其余3侧边界到基坑边缘的距离为80 m，模型的深度为60 m，道路荷载取24.5 kPa，计算模型如图13所示.

图 13 工程实例模型示意

Figure 13. Engineering example model

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4.3 计算结果分析

地表土体沉降场采用本文修正后的公式表示，其中，s_max可查本文提出的地表最大沉降预测曲线得到，各影响因素取值如表4所示. 根据表中的值及图9可得到地表最大沉降为s_max=73.13 mm. R=121 m，本工程基坑开挖所引起的地表沉降场表达式为

表 4 地表最大沉降预测参数

Table 4. Prediction parameters of maximum surface settlement

名称	H/m	D/m	B/L	K
取值	19.75	6.9	0.6	370

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$s\left(x,y\right)=\left\{ \begin{array}{*{20}{l}}0.073\; 13\left(\displaystyle\frac{7x}{6\times19.75}+0.3\right)\mathrm{e}^{-\text{π}\left(\frac{y}{121}\right)^2},\quad \\ \quad0\leqslant x\leqslant0.6H, \\ 0.073\; 13\left(-\displaystyle\frac{0.5x}{19.75}+1.3\right)\mathrm{e}^{-\text{π}\left(\frac{y}{121}\right)^2},\quad \\ \quad0.6H < x\leqslant2.0H, \\ 0.073\; 13\left(-\displaystyle\frac{0.15x}{19.75}+0.6\right)\mathrm{e}^{-\text{π}\left(\frac{y}{121}\right)^2},\quad \\ \quad2.0H < x\leqslant4.0H.\end{array}\right.$

(22)

本案例划分道路节点时的计算步长为1 m，道路节点个数为301 × 21个. 道路的短边视为固定边界，两长边视为自由边界. 将上述相关工程参数代入差分方程，得到本工程道路在基坑开挖影响下的理论解答.

通过有限元计算，得到基坑开挖到坑底时坑外地表以及路面沉降云图（图14）.

图 14 地表及路面沉降云图

Figure 14. Surface and pavement settlement cloud map

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图14所示截面P-P₁和截面Q-Q₁有监测点布置，这2个截面的理论解答与数值模拟结果沉降分布曲线以及监测结果如图15所示. 由图可知，监测数据所显示的沉降值最大，理论解答的结果最小，数值模拟结果位于两者之间. 在实际开挖过程中，路面荷载会对基坑开挖有影响，在路面荷载的作用下，土体会产生更大的沉降. 而采用两阶段分析法进行理论解答时，其第一阶段沉降确定时不考虑道路及路面荷载. 因此，所得沉降场比实际情况小，所以理论解答的值比数值模拟和实际监测结果均要小. 从道路横向沉降分布来看，理论解答最大沉降量为69.9 mm，数值模拟结果的最大沉降量为76.3 mm，与监测结果相比，两者的误差分别为15.0%和8.3%，均在合理范围内. 因此，可以用本文的理论解答来预测基坑开挖过程中邻近既有道路的沉降.

图 15 道路纵向沉降计算值与实际监测结果

Figure 15. Calculated value and actual monitoring result

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5. 结　论

本文针对基坑开挖引起邻近既有道路沉降问题，基于Winkler地基理论，建立基坑开挖条件下道路计算分析模型，推导得到道路挠曲变形控制方程. 建立有限元模型对基坑开挖过程进行计算，修正了既有基坑外地表土体沉降预测曲线. 考虑基坑开挖深度H、宽长比B/L、支护刚度K以及坑底以上软土层的厚度D，通过大量计算给出地表最大沉降的预测方法. 采用两阶段分析法，根据边界条件，利用有限差分法，得到道路在给定沉降场下挠度的理论解答. 最后结合实际工程案例，把理论解答、数值模拟结果、监测数据进行对比，发现变形规律较为吻合，数值上的误差在合理范围内，从而证明了本文理论解答的准确性.

在进行道路与土相互作用解答推导时，本文假设道路与土始终保持接触且变形协调，而实际情况中，由于两者之间存在着刚度差. 当土体发生较大变形时，刚度较大的道路和土体可能会出现脱离，此时，由于土体变形作用在道路上的荷载即不再增加，可以认为土与道路之间相互作用进入塑性阶段. 后续研究中将考虑这种可能，建立可以考虑道路与土体脱空的弹塑性相互作用模型.

图 1 纯扭作用下波形钢腹板PC组合箱梁

Figure 1. Prestressed concrete composite box girder with corrugated steel webs subjected to pure torsion

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图 2 ISMMT的求解程序框图

Figure 2. Program block diagram for solution algorithm of the ISMMT

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图 3 试件尺寸

Figure 3. Size of the specimen

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图 4 纯扭加载装置

Figure 4. Loading equipment for pure torsion test

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图 5 扭转角计算示意

Figure 5. Calculation diagram of torsional angle

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图 6 应变测点布置

Figure 6. Arrangement of strain measuring points

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图 7 ISMMT预测结果与试验结果对比

Figure 7. Comparison of the results obtained from the ISMMT and experiment

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表 1 试件材料参数

Table 1. Material properties of the test beam

混凝土棱柱体抗压强度/MPa	波形钢腹板		预应力钢筋初应力/MPa	普通钢筋
混凝土棱柱体抗压强度/MPa	厚度/mm	屈服强度/MPa	预应力钢筋初应力/MPa	直径/mm	屈服强度/MPa
24.9	3.7	235	800	10	357

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表 2 ISMMT预测结果与试验结果对比（开裂状态）

Table 2. Comparison of the predicted torques and twists from the ISMMT and the experiment (cracking state)

参数	${T_{11}}/$ (kN•m)	${T_{12} }/$ (kN•m)	$\dfrac{ { {T_{11} } } }{ { {T_{12} } } }$	${\theta _{ 11 } }/$ ((°)•m⁻¹)	${\theta _{ 12 } }/$ ((°)•m⁻¹)	$\dfrac{ { {\theta _{11} } } }{ { {\theta _{12 } } } }$
取值	160.6	174.5	0.92	0.073	0.161	0.45

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表 3 ISMMT预测结果与试验结果对比（屈服状态）

Table 3. Comparison of the predicted torques and twists from the ISMMT and the experiment (yield state)

参数	${T_{ 21 } }/$ (kN•m)	${T_{22 } }/$ (kN•m)	$\dfrac{ { {T_{21} } } }{ { {T_{22 } } } }$	${\theta _{ 21 } }/$ ((°)•m⁻¹)	${\theta _{ 22} }/$ ((°)•m⁻¹)	$\dfrac{ { {\theta _{ 21 } } } }{ { {\theta _{ 22 } } } }$
取值	351.9	337.9	1.04	1.043	0.973	1.07

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表 4 ISMMT预测结果与试验结果对比（极限状态）

Table 4. Comparison of the predicted torques and twists from the ISMMT and the experiment (limit state)

参数	${T_{ 31 } }/$ (kN•m)	${T_{32}} /$ (kN•m)	$\dfrac{ { {T_{ 31} } } }{ { {T_{ 32 } } } }$	${\theta _{31}} /$ ((°)•m⁻¹)	${\theta _{32 }} /$ ((°)•m⁻¹)	$\dfrac{ { {\theta _{31} } } }{ { {\theta _{32} } } }$
取值	354.9	339.5	1.04	1.547	1.590	0.97

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