基于GNSS/INS的列车定位风险评估方法

吴波前; 蔡伯根; 陆德彪; 王剑

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20190981

摘要: 全球卫星导航系统（global navigation satellite system，GNSS）应用于列车运行控制系统位置服务时，需对其进行风险评估，以确保其满足安全相关的需求. 为此，首先建立一种基于卫星导航系统与惯导系统（inertial navigation system，INS）融合的列车定位单元结构，通过分析传感器融合数据对故障进行检测及识别，并计算水平保护距离，结合水平位置误差、水平告警门限、告警时间等指标参数，对列车定位单元的工作状态进行识别；其次在此基础上分析由危险状态生成的风险事件，并计算列车定位单元危险侧失效率及故障概率；最后结合现场试验数据对所提出的风险评估方法进行测试验证. 验证结果表明：若误警率、漏检率均为1 × 10⁻⁷/h，水平告警门限为20 m，定位单元在相对开阔环境下的故障率为9.14 × 10⁻⁷/h，受限环境下的故障率为1.52 × 10⁻⁴/h；若运行线路对风险指标参数需求降低，则误警率、漏检率及水平告警门限也会增大，受限环境下的定位单元故障率也随之降低，在误警率、漏检率均为1 × 10⁻⁵/h，水平告警门限为100 m时，计算获得的受限环境下定位单元故障率为0. 因此，在对定位单元进行风险评估时需考虑不同线路对指标参数的需求.

关键词:

Abstract: Risk assessment of global navigation satellite system (GNSS) used in train localization services is essential to fulfilling safety requirements. In this work, GNSS and inertial navigation system (INS) are integrated to build train localization units. The fault detection and identification is realized by the analysis of sensor fusion data, and the horizontal protect level (HPL) is calculated. According to horizontal position error (HPE), horizontal alert limit (HAL) and time to alert (TTA), the states of a train localization unit can be identified. Then the hazardous events caused by risky states are analyzed, the probability of wrong-side failure and the hazard rate are calculated. Finally, the risk assessment method is tested with field data. It is shown that when the false alarm rate and miss detection rate are 1 × 10⁻⁷/h, and the HAL is 20 m, the hazard rate of the train localization unit are calculated as 9.14 × 10⁻⁷/h in open area and 1.52 × 10⁻⁴ /h in constrained environment, respectively. When the railway line requirements on the risk indexes become low, i.e., the false alarm rate, miss detection rate and HAL are all increased, the hazard rate will be reduced. As a result, the hazard rate will be 0 in constrained environment when the false alarm rate and miss detection rate are all 1 × 10⁻⁵/h, and HAL is 100 m. Therefore, it is necessary to cosider requirement difference for railway lines when implementing the risk assessment.

Key words:

train localization /
global navigation satellite system (GNSS) /
multi-sensor fusion /
risk assessment /
integrity

有轨电车作为城市公共交通的有效补充^[1]，运量较公共汽车优势明显，造价仅为地铁1/3、能耗低、污染小、具有良好的经济性. 采用嵌入式轨道的有轨电车系统其钢轨由高分子材料连续支承，具有受力合理、噪声小与养护维修少等优点^[2-3]，应用前景广阔.

嵌入式轨道作为无砟轨道的一种特殊型式，对线下基础不均匀沉降适应能力较差，由此导致的轨道结构伤损将直接影响有轨电车运行的安全性、平稳性，维修难度较大，因此对线下基础提出了更高要求. 由松散土工材料构筑而成的路基结构，变异性较大且易受环境因素及动荷载影响. 路基结构直接承受经轨道结构传递的有轨电车动力荷载，具有良好强度和长期稳定性是保障有轨电车安全平稳运行的前提. 因此，准确掌握路基承受的荷载动应力特性是开展路基结构分析的重要基础.

有轨电车交通荷载引起的动力作用问题是车辆-轨道耦合动力学研究的典型范畴，国内外许多学者对此进行了研究：冯建龙^[4]针对浮车铰接五模块有轨电车建立了有轨电车-无砟轨道耦合动力学垂向模型，分析了焊缝不平顺引起的系统动力响应；Guo等^[5]建立嵌入式轨道-路基模型有限元模型，研究了路基不均匀沉降对路基面接触应力的影响规律，并以不均匀沉降产生的轨道不平顺为车辆-轨道模型的输入，讨论了由此引起的车辆与轨道动力响应；Shan等^[6]采用二节点Euler梁单元模拟钢轨与轨道板，建立了有轨电车-板式轨道二维分析模型，分析了胶垫失效、路基脱空等轨道缺陷对有轨电车-板式轨道动态响应的影响. 上述模型中，钢轨离散支承直接应用于钢轨连续支承的嵌入式轨道结构中存在困难；同时，模型中路基结构考虑为黏弹性边界，难以分析路基内部动力响应分布. 以路基面的动态响应为输入，Real等^[7]与Kouroussis等^[8]分别从理论分析与数值计算角度研究了有轨电车在板式轨道行驶而产生的环境振动问题；邓永权^[9]基于多刚体动力学、Timoshenko梁理论与模态叠加法，建立了有轨电车-嵌入式轨道空间耦合模型，分析了有轨电车与嵌入式轨道的动力学性能； Shamalta和Metrikine^[10]针对嵌入式轨道连续支承特点，建立了考虑轨道板横向弹性嵌入式轨道二维理论分析模型，分析了单轴移动荷载作用下嵌入式轨道的稳态响应；Sun等^[11]采用耦合波数有限元和边界元模型，研究了嵌入式轨道的振动和声辐射特性；Ling等^[1]针对嵌入式轨道与扣件板式无砟轨道开展了现场实测，同时基于多体动力学方法和有限元方法，建立了有轨电车-嵌入式轨道耦合三维动力学模型，综合分析了嵌入式轨道时域动力特性，并与扣件板式无砟轨道进行了对比.

路基动态响应相关研究的重点为交通荷载引起的动应力在路基中分布形态及衰减规律. 冯青松等^[12]建立嵌入式轨道路基三维动力有限元模型，分析了路基竖动应力分布规律，认为路基面动应力横向呈驼峰分布、纵向的峰值与转向架对应，且动应力沿深度衰减. 何雨等^[13-14]通过现场测试也发现了类似规律. 受轨面不平顺影响，路基动应力存在随机性，未考虑不平顺影响或仅采用少量典型断面的分析结果无法全面反映路基动应力的概率分布特征. 现有路基结构设计方法是采用Boussinesq弹性理论计算路基动应力的衰减规律，通过经验公式确定的动力系数反映动力作用影响，且不同深度动力系数相同. 由于土体阻尼效应影响，路基中动应力的衰减速率^[13]较弹性理论更快，动力系数随深度衰减，路基深度较大位置的动应力小于弹性理论计算值，但相关文献讨论较少. 采用考虑材料阻尼影响的动力系数能够完善现有路基结构设计体系，优化路基结构设计.

针对上述问题，为掌握动应力在路基中的空间分布特点、概率特征及衰减规律. 考虑浮车多铰接有轨电车车体间不同连接方式，建立共22自由度有轨电车多刚体模型，运用Hamilton变分原理推导车辆系统运动方程. 考虑嵌入式轨道中轨道板、调整层、底座之间接触特性，按抗弯刚度等效原则将三者简化为叠合梁，针对钢轨与叠合梁支承特点，采用连续支承Euler梁模拟. 建立设置材料阻尼与人工黏弹性边界的路基三维动力有限元模型. 轮轨接触关系采用Hertz非线性模型描述，底座与路基按力学平衡原理顺序耦合，构建五车三架六轴有轨电车-嵌入式轨道-路基动力学模型. 以中国普通干线铁路轨道谱生成轨面高低不平顺，基于MATLAB平台编写程序进行动力学仿真，分析有轨电车嵌入式轨道路基动力作用特性.

1. 模型建立与验证

考虑有轨电车结构型式及嵌入式轨道支承特点，建立了如图1所示的有轨电车-嵌入式轨道-路基动力学模型. 有轨电车为典型浮车多铰接五车六轴制式，其中：1号车与5号车为动车；2号车与4号车为浮车；3号车为拖车，均考虑为刚体；v为速度；l_i为i号车的半车长；l_co为1、5号车的车辆质心与对应转向架质心在X方向上的偏移量绝对值；l_tj为第j转向架轴距的一半；h_u与h_d分别为车辆质心到上铰与下铰的垂向距离；P_k为k轮对所受的轮轨接触力，向下为正. 车辆模型考虑了：各车体质量（m_i，i=1～5）与点头惯量（J_i）、各转向架质量（m_tj，j=1～3）与点头惯量（J_tj）、各轮对质量（m_wk，k=1～6）、一系悬挂刚度（K_pz）与阻尼（C_pz）、二系悬挂刚度（K_sz）与阻尼（C_sz）、车体间上铰刚度（K_uxi）与阻尼（C_uxi）、下铰刚度（纵向K_dxi，垂向K_dzi）与阻尼（纵向C_dxi，垂向C_dzi）. 嵌入式轨道板及底座按叠合梁考虑，钢轨与叠合梁采用连续支撑Euler梁模型，钢轨支撑线刚度与线阻尼分别为k_p、c_p，叠合梁支撑线刚度与线阻尼分别为k_f、c_f，路基采用8节点三维实体单元有限元模型，考虑材料阻尼特性并设置人工黏弹性边界.

图 1 有轨电车-嵌入式轨道-土质路基动力学模型

Figure 1. Tram-embedded rail track-subgrade dynamic model

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1.1 有轨电车模型

受车体间连接方式影响，浮车多铰接有轨电车动力响应特性与普通列车明显不同. 铰接车体间下部连接均为限制X、Y、Z方向相对运行的固定铰，3号车与4号车上部连接为限制车体间侧滚运动而允许点头运动的自由铰，其他车之间上部连接采用限制车体间侧滚、点头运动的转动铰，如图1所示. 对于垂向模型，各车体在平面内仅存在沉浮与点头运动，故采用大刚度弹簧与阻尼模拟固定铰与转动铰，采用较小刚度弹簧与阻尼模拟自由铰.

车辆系统共22个自由度，分别为5个车体沉浮（z_i）与点头（β_i）运动、3个转向架沉浮（z_tj）与点头（β_tj）运动、6个轮对沉浮（z_wk）运动.

根据Hamilton原理，动力学问题可采用如式（1）所示变分表述，即任意时间间隔t₁～t₂的Hamilton作用量变分为0. 运用分部积分方法，结合变分性质，式（1）化为式（2）. 因位移变分δq_h具有任意性，故式（2）中被积函数分离变量δq_h后的结果恒为0，如式（3）所示，由此可得车辆系统22个自由度对应的运动方程.

$\int_{{t_1}}^{{t_2}}\delta {\left( T - V \right){\text{d}}t} +\int_{{t_1}}^{{t_2}}\delta {W_{\rm{nc}}}{\text{d}}t = 0 ,$

(1)

$\int_{{t_1}}^{{t_2}} {\sum\limits_{h = 1}^{22} {\left[ {\frac{{\partial T}}{{\partial {q_h}}} - \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}} \left( {\frac{{\partial T}}{{\partial {{\dot q}_h}}}} \right) - \frac{{\partial V}}{{\partial {q_h}}}{\text{+}}\frac{{\partial \text{δ} {W_{{\rm{nc}}}}}}{{\partial \text{δ} {q_h}}}} \right]\text{δ} {q_h}} } {\text{d}}t = 0,$

(2)

$\frac{{\text{d}}}{{{\text{d}}t}}\left( {\frac{{\partial T}}{{\partial {{\dot q}_h}}}} \right) - \frac{{\partial T}}{{\partial {q_h}}} + \frac{{\partial V}}{{\partial {q_h}}} - \frac{{\partial \delta {W_{{\rm{nc}}}}}}{{\partial \delta {q_h}}} = 0,$

(3)

式中：t为时间；T为系统动能，如式（4）；V为系统势能，如式（5）；δW_nc为非保守力虚功，如式（6）；q_h为广义坐标，与车辆系统22个自由度对应.

$\qquad\qquad\qquad\qquad\quad T = \frac{1}{2}\left[ {\sum\limits_{i = 1}^5 {\left( {{m_i}{{\dot {\textit{z}}}_i}^2 + {J_i}{{\dot \beta }_i}^2} \right)} + \sum\limits_{j = 1}^3 {\left( {{m_{{\text{t}}j}}{{\dot {\textit{z}}}_{{\text{t}}j}}^2 + {J_{{\text{t}}j}}{{\dot \beta }_{{\text{t}}j}}^2} \right)} + \sum\limits_{k = 1}^6 {{m_{\text{w}}}{{\dot {\textit{z}}}_{{\text{w}}k}}^2} } \right],$

(4)

$\quad\begin{split} & V = \frac{1}{2}\sum\limits_{i = 1}^4 {\left[ {\left( {{K_{{\rm{ux}}i}}{h_{\rm{u}}}^2 + {K_{{\rm{dx}}i}}{h_d}^2} \right){{\left( {{\beta _i} - {\beta _{i + 1}}} \right)}^2} + {K_{{\rm{dz}}i}}{{\left( {{{\textit{z}}_i} - {{\textit{z}}_{i + 1}} + {l_i}{\beta _i} + {l_{i + 1}}{\beta _{i + 1}}} \right)}^2}} \right]} {\text{ + }} \\ & \quad\frac{1}{2}{K_{{\rm{sz}}}}\left[ {{{\left( {{{\textit{z}}_1} + {l_{{\rm{co}}}}{\beta _1} - {{\textit{z}}_{{\rm{t}}1}}} \right)}^2} + {{\left( {{{\textit{z}}_3} - {{\textit{z}}_{{\rm{t}}2}}} \right)}^2} + {{\left( {{{\textit{z}}_5} - {l_{{\rm{co}}}}{\beta _5} - {{\textit{z}}_{{\rm{t}}3}}} \right)}^2}} \right] + \\ &\quad\frac{1}{2}{K_{{\rm{pz}}}}\sum\limits_{j = 1}^3\sum\limits_{n = 1}^2 {\Big[ {{{\textit{z}}_{{\rm{t}}j}} + {{\left( { - 1} \right)}^n}{l_{{\rm{t}}j}}{\beta _{{\rm{t}}j}} - {{\textit{z}}_{{\rm{w}}(2j-2+n)}}} \Big]} - \left( {\sum\limits_{i = 1}^5 {{m_i}{{\textit{z}}_i}} - {m_1}{l_{{\rm{co}}}}{\beta _1} + {m_5}{l_{{\rm{co}}}}{\beta _5} + \sum\limits_{j = 1}^3 {{m_{{\rm{t}}j}}{{\textit{z}}_{{\rm{t}}j}}} + \sum\limits_{k = 1}^6 {{m_{\rm{w}}}{{\textit{z}}_{{\rm{w}}k}}} } \right)g, \\[-18pt] \end{split}$

(5)

$\begin{split} & - {\text{δ}} {W_{{\rm{nc}}}} = \sum\limits_{i = 1}^4 {\left( {{C_{{\rm{ux}}i}}{h_{\rm{u}}}^2 + {C_{{\rm{dx}}i}}{h_{\rm{d}}}^2} \right)} \left( {{{\dot \beta }_i} - {{\dot \beta }_{i + 1}}} \right)\left( {{\text{δ}} {\beta _i} - {\text{δ}} {\beta _{i + 1}}} \right){\text{+}} \sum\limits_{i = 1}^4 {{C_{{\rm{dz}}i}}\left( {{{\dot {\textit{z}}}_i} - {{\dot {\textit{z}}}_{i + 1}} + {l_i}{{\dot \beta }_i} + {l_{i + 1}}{{\dot \beta }_{i + 1}}} \right)\left( {{\text{δ}} {{\textit{z}}_i} - {\text{δ}} {{\textit{z}}_{i + 1}} + {l_i}{\text{δ}} {\beta _i} + {l_{i + 1}}{\text{δ}} {\beta _{i + 1}}} \right)} + \\ & \quad{C_{{\rm{sz}}}}\left[ { \left( {{{\dot {\textit{z}}}_1} + {l_{{\rm{co}}}}{{\dot \beta }_1} - {{\dot {\textit{z}}}_{{\rm{t}}1}}} \right)\left( {{\text{δ}} {{\textit{z}}_1} + {l_{{\rm{co}}}}{\text{δ}} {\beta _1} - {\text{δ}} {{\textit{z}}_{{\rm{t}}1}}} \right) + \left( {{{\dot {\textit{z}}}_3} - {{\dot {\textit{z}}}_{{\rm{t}}2}}} \right)\left( {{\text{δ}} {{\textit{z}}_3} - {\text{δ}} {{\textit{z}}_{{\rm{t}}2}}} \right) + \left( {{{\dot {\textit{z}}}_5} - {l_{{\rm{co}}}}{{\dot \beta }_5} - {{\dot {\textit{z}}}_{{\rm{t}}3}}} \right)\left( {{\text{δ}} {{\textit{z}}_5} - {l_{{\rm{co}}}}{\text{δ}} {\beta _5} - {\text{δ}} {{\textit{z}}_{{\rm{t}}3}}} \right)} \right] {\text{ + }}\\ &\quad C_{\mathrm{pz}} \sum_{j=1}^3 \sum_{n=1}^2\left\{\left[\dot{{\textit{z}}}_{\mathrm{t} j}+(-1)^n l_{\mathrm{t} j} \dot{\beta}_{\mathrm{t}j}-\dot{{\textit{z}}}_{\mathrm{w}(2 j-2+n)}\right] \Big[\delta {\textit{z}}_{\mathrm{t}j}+(-1)^n l_{\mathrm{t}j} {\text{δ}} \beta_{\mathrm{t}j}-{\text{δ}} {\textit{z}}_{\mathrm{w}(2 j-2+n)}\Big]\right\} {\text{ + }}\sum\limits_{k = 1}^6 {{P_k}{\text{δ}} {{\textit{z}}_{{\rm{w}}k}}} . \\[-22pt] \end{split}$

(6)

典型“五车三架六轴”有轨电车模型的几何、质量/惯量、连接件参数见表1，其中， R 为车轮半径，最大轴重约为11 t.

表 1 有轨电车模型参数

Table 1. Parameters of modern tram

类别	参数	数值
几何	l₁，l₅/m	3.728
	l₂，l₄/m	3.282
	l₃/m	2.289
	l_co/m	1.436
	h_u/m	2.0
	h_d/m	1.5
	l_t/m	0.8
	R/m	0.31
质量/惯量	m₁，m₅/kg	11106
	m₂，m₄/kg	11979
	m₃/kg	7691
	m_t1，m_t3/kg	2231
	m_t2/kg	1291
	m_w/kg	933
	J₁，J₅/（kg·m²）	35773
	J₂，J₄/（kg·m²）	42097
	J₃/（kg·m²）	13530
	J_t1，J_t3/（kg·m²）	500
	J_t2/（kg·m²）	230
连接件	K_ux1，K_ux2，K_ux4/（N·m⁻¹）	5 × 10⁸
	K_ux3/（N·m⁻¹）	1 × 10⁵
	K_dxi/（N·m⁻¹）	5 × 10⁸
	K_dzi/（N·m⁻¹）	5 × 10⁸
	K_sz/（N·m⁻¹）	2 × 10⁶
	K_pz/（N·m⁻¹）	4 × 10⁶
	C_ux1，C_ux2，C_ux4/（N·s·m⁻¹）	3000
	C_ux3/（N·s·m⁻¹）	3000
	C_dxi/（N·s·m⁻¹）	3000
	C_dzi/（N·s·m⁻¹）	3000
	C_sz/（N·s·m⁻¹）	6 × 10⁴
	C_pz/（N·s·m⁻¹）	1.872 × 10⁴

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1.2 嵌入式轨道模型

嵌入式轨道结构由钢轨、弹性约束结构、嵌入式轨道板、调整层、隔离层、混凝土底座等组成，如图2所示. 有别于传统轨道中钢轨由扣件系统离散支承，嵌入式轨道中钢轨由弹性约束结构连续支承于轨道板承轨槽内，两者动力特性存在差异^[1].

图 2 嵌入式轨道

Figure 2. Embed rail track

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混凝土底座、调整层与轨道板为层状结构，垂向顺次叠合，受力与变形相协同，简化为叠合梁. 钢轨与叠合梁按简支Euler梁考虑，并通过线分布的弹簧（k_p、k_f）与阻尼（c_p、c_f）反映钢轨与底座连续支承特点. 采用Ritz法^[12]降阶得钢轨与叠合梁的二阶弯曲振动微分方程，分别如式（7）与式（8）所示.

$\qquad\qquad\begin{split} & {{\ddot q}_{{\rm{r}}m}} + \frac{{{E_{\rm{r}}}{I_{\rm{r}}}{{\left( {\dfrac{{m{\text{π}} }}{l}} \right)}^4}}}{{{m_{\rm{r}}}}}{{\dot q}_{{\rm{r}}m}} = \sum\limits_{k = 1}^6 {{P_k}\left( t \right){Z_{\rm{m}}}\left( {{x_k}} \right)} - \int_0^l {{Z_{\rm{m}}}\left( x \right){\rm{d}}x} \sum\limits_{m = 1}^{N_{\rm{M}}} {\int_0^l {{Z_m}\left( x \right){\rm{d}}x} \left( {{k_{\rm{p}}}{q_{{\rm{r}}m}} + {c_{\rm{p}}}{{\dot q}_{{\rm{r}}m}}} \right)} {\text{ + }} \\ & \quad \int_0^l {{Z_m}\left( x \right){\rm{d}}x} \sum\limits_{n = 1}^{N_{\rm{MB}}} {\int_0^l {{Z_n}\left( x \right){\rm{d}}x} \left( {{k_{\rm{p}}}{q_{{\rm{b}}n}} + {c_{\rm{p}}}{{\dot q}_{{\rm{b}}n}}} \right)} , \end{split}$

(7)

$\quad\begin{split} & {{\ddot q}_{{\rm{b}}n}} + \frac{{{E_{\rm{b}}}{I_{\rm{b}}}{{\left( {\dfrac{{n{\text{π}} }}{l}} \right)}^4}}}{{{m_{\rm{b}}}}}{{\dot q}_{{\rm{b}}n}} = - \int_0^l {{Z_n}\left( x \right){\rm{d}}x} \sum\limits_{n = 1}^{{N_{{\text{MB}}}}} {\int_0^l {{Z_n}\left( x \right){\rm{d}}x} \left( {{k_{\rm{p}}} + {k_{\rm{f}}}} \right){q_{{\rm{b}}n}} } - \int_0^l {{Z_n}\left( x \right){\rm{d}}x} \sum\limits_{n = 1}^{{N_{{\text{MB}}}}} {\int_0^l {{Z_n}\left( x \right){\rm{d}}x} } \left( {{c_{\rm{p}}} + {c_{\rm{f}}}} \right){{\dot q}_{{\rm{b}}n}} +\\ & \quad \int_0^l {{Z_n}\left( x \right){\rm{d}}x} \sum\limits_{m = 1}^{{N_{\text{M}}}} {\int_0^l {{Z_m}\left( x \right){\rm{d}}x} \left( {{k_{\rm{p}}}{q_{{\rm{r}}m}} + {c_{\rm{p}}}{{\dot q}_{{\rm{r}}m}}} \right)}, \end{split}$

(8)

式中：m_r与m_b分别为钢轨与叠合梁单位长度质量，l为轨道结构长度； Z_m与Z_n分别钢轨与叠合梁为正则振型函数，N_M与N_MB分别为钢轨与叠合梁的截止模态阶数；q_rm为钢轨第m阶振型对应的广义坐标；q_bn为叠合梁第n阶振型对应的广义坐标；E_rI_r与E_bI_b分别为钢轨与叠合梁抗弯刚度；x_k为第k个轮轨接触点坐标.

叠合梁的整体抗弯刚度E_bI_b由各结构层的抗弯刚度与层间接触条件共同决定：若层间光滑接触，E_bI_b等于各层抗弯刚度E_sI_s之和（E_s、I_s分别为第s层弹性模量、截面惯性矩）；当层间完全连续，根据平行移轴定理，E_bI_b等于各层结构层自身抗弯刚度E_sI_s与移轴项E_sA_sd_s²之和（A_s为第s层截面面积；d_s为第s层中性轴到整体中性轴的距离）. 实际情况中，叠合梁的层间接触状态往往介于光滑与连续之间，定义接触影响系数η反映层间接触状态；η=0表示光滑接触；η=1表示连续接触；0<η<1表示介于光滑与连续之间. 考虑接触状态影响的叠合梁抗弯刚度E_bI_b按式（9）计算.

${E_{\rm{b}}}{I_{\rm{b}}} = \sum\limits_{s = 1}^3 {\left( {{E_s}{I_s} + \eta {E_s}{A_s}d_s^2} \right)} .$

(9)

文献[15]指出无砟轨道路基动应力纵向分布长度L可由双轴荷载作用下Winkler弹簧地基上叠合梁中两个反弯点的距离得出，如式（10）所示. 在光滑与连续条件下，计算CRTS II型板式轨道结构的路基动应力纵向分布长度分别为9.01、11.78 m，实测值约为9.5 m，反推得出轨道板与底座之间的接触系数η ≈ 0.108，以此按式（9）计算嵌入式轨道在实际接触条件下叠合梁抗弯刚度为343 MN·m².

$L = \frac{{3{\text{π}} }}{2}\sqrt[\uproot{10}{{4 }}]{{\frac{{4{E_{\rm{b}}}{I_{\rm{b}}}}}{{{k^*}b}}}} + {L_{\rm{t}}},$

(10)

式中：${k^*} $为基床结构地基系数；b为无砟轨道支承层底面的横向宽度；L_t为转向架轴距.

黄晶等^[16]通过有限元及弹性地基梁理论分析认为，无砟轨道下路基面地基系数为80～100 MPa/m. 实测CRH380B动车组作用下无砟轨道路基面动力应力约15～18 kPa^[17]，《TB 10001—2016铁路路基设计规范》要求路基变形不超过0.22 mm，实测无砟轨道路基面位移约为0.1 mm^[18-19]，考虑基床结构变形占路基总变形90%，可得基床地基系数为167～200 MPa/m. 嵌入式轨道与板式无砟轨道下路基的受力模式类似，有轨电车运行速度较慢，路基要求较高速铁路低，故地基系数取90 MPa/m，底座板宽度为2.5 m，则单侧支承线刚度k_f为113 MN·m⁻¹·m⁻¹. 线路结构主要参数见表2.

表 2 线路结构参数

Table 2. Parameters of track

层位	参数	数值
60R2 钢轨	m_r/（kg·m⁻¹）	59.75
60R2 钢轨	E_rI_r/（N·m²）	6.93 × 10⁶
弹性垫板	k_p/（N·m⁻¹·m⁻¹）	1.10 × 10⁷
弹性垫板	c_p/（N·s·m⁻¹·m⁻¹）	6.12 × 10⁴
叠合梁	m_b/（kg·m⁻¹）	3316
叠合梁	E_bI_b/（ N·m²）	3.43 × 10⁶
路基	k_f/（ N·m⁻¹·m⁻¹）	1.13 × 10⁸
路基	c_f/（ N·s·m⁻¹·m⁻¹）	6.00 × 10⁴

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1.3 轮轨耦合关系

轮轨接触关系采用Hertz接触模型，k号轮下竖向轮轨接触力P_k与轮轨间竖向弹性压缩量Δz_k之间的非线性关系如式（11）所示. 其中：G为轮轨接触常数；轮轨间弹性压缩量Δz由轮对位移z_w_k与相应轮轨接触点x_k处的钢轨位移z_r(x_k)确定，如式（12）所示.

${P_k} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{{\left( {\dfrac{{\text{1}}}{G}\Delta {{\textit{z}}}} \right)}^{2/3}}},\quad{\Delta {{\textit{z}}} > 0}, \\ 0 , \quad{\Delta {{\textit{z}}} \leqslant 0} , \end{array}} \right.$

(11)

$\Delta {{\textit{z}}_k} = {{\textit{z}}_{{\rm{w}}k}} - {{\textit{z}}_{\rm{r}}}({x_k}).$

(12)

1.4 不平顺激励

仿真分析中的轨道随机不平顺可采用实测不平顺，也可由轨道谱生成不平顺样本. 目前，嵌入式轨道不平顺谱相关研究未见报道，故采用式（13）所示的中国普通干线铁路（速度≤160 km/h）轨道谱^[12]模拟时域轨道不平顺，高低不平顺特征参数见表3.

表 3 轨道谱高低不平顺特征参数

Table 3. Vertical parameters of CR track spectrum

轨道	A₁	A₂	A₃	A₄	A₅	A₆	A₇
左轨	1.1029	−1.4709	0.5941	0.8480	3.8016	−0.2500	0.0112
右轨	0.8581	−1.4607	0.5848	0.0407	2.8428	−0.1989	0.0094

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$S(f) = \frac{{A_1\left( {{f^2} + A_2f + A_3} \right)}}{{{f^4} + A_4{f^3} + A_5{f^2} + A_6f + A_7}},$

(13)

式中：S(f)为功率密度谱幅值函数，mm²·m；f为空间频率，m⁻¹；A₁、A₂、A₃、A₄、A₅、A₆、A₇为轨道谱参数.

普通干线铁路与有轨电车嵌入式轨道结构型式不同，直接采用干线谱表征嵌入式轨道平顺性不合理. 大量实测数据分析表明，不平顺数据统计回归得出的轨道谱近似服从自由为2的χ²分布^[20]，以表3参数对应为63.2%百分位数谱，考虑有轨电车设计速度较慢，对线路平顺性要求较低，按干线谱中平顺性较差的90%分位数谱取用，波长范围取1～30 m，通过随机相位-逆傅里叶变换方法，最高运行速度为100 km/h，得图3所示高低不平顺时域模拟结果，不平顺幅值总体为−6～6 mm，与Ling等^[1]实测嵌入式轨道不平顺相近，能够反映嵌入式轨道真实轨道不平顺状态.

图 3 高低不平顺模拟结果

Figure 3. Vertical rail irregularity sample

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1.5 路基有限元模型

将路基等线下结构纳入动力学分析模型，通常采用等效集总质量法^[16]、模态叠加法^[17-18]、Green函数法^[19]、有限元法^[5]等. 路基结构天然具有复杂性，等效集总质量模型简化为质量点，刻画路基振动特性精度有限，无法细致研究路基内部的动力响应. 模态叠加方法计算精度受模态基函数与模态截取阶数影响，一般精度有限. Green函数法^[19]极大提高了动力学计算的效率，但一般适用于线下结构不随线路变化的情况；而路基结构采用有限元模型，具有较强的通用性.

嵌入式轨道底座宽2.5 m，路基面宽度为3.3 m，路基边坡坡度为1∶1，路基结构由上至下分别为0.4 m碎石类基床表层、1.1 m砾石类基床底层、3.5 m黏土地基. 建立路基三维有限元模型，利用线路纵剖面的对称性，取半模型进行计算分析，考虑轨道结构长度与主要研究区域，路基模型长宽高为200 m × 10 m × 5.7 m，采用三维8节点实体单元，模型网格划分如图4所示，共34600个单元，图中：p_s(t)为动荷载.

图 4 路基结构三维有限元模型（单位：m）

Figure 4. Subgrade 3D FE model （unit：m）

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根据力学平衡原理，车辆荷载引起的路基动应力应与嵌入式轨道底座支承总力动态平衡，由此确定作用在路基面上的动荷载p_s(t).

路基表层、底层的地基系数K₃₀分别为140、120 MPa/m. 考虑振动能量在路基结构内传播的过程中因材料阻尼作用而逐渐耗散，路基材料设置为Rayleigh阻尼，阻尼比在交通荷载作用产生小应变水平下取为0.04^[21]，各层材料参数见表4.

表 4 路基材料参数

Table 4. Material Parameters of Subgrade

结构层位	密度/ （kg·m⁻³）	弹性模量/ MPa	泊松比	阻尼比	自振频率/Hz
碎石类	2000	140	0.30	0.04	29.8
砾石类	1900	120	0.30	0.04	24.2
黏土	1890	40	0.35	0.04	20.4

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路基对称面处设置对称边界. 在模型端面、侧面与底面设置人工黏弹性边界^[22]，防止弹性波在边界处的反射，模拟实际地基无穷域特点.

1.6 模型验证

文献[14]实测结果表明，在空载车辆轴重8 t且速度为60 km/h条件下，路基面动应力幅值约为8.86～10.56 kPa. 采用所建立的有轨电车-嵌入式轨道-路基耦合模型在相同条件下进行仿真计算，所得典型断面路基面动应力时程曲线如图5所示，动应力幅值为10.72～11.06 kPa，最大误差小于2 kPa，曲线形态与实测结果较好吻合，验证了模型的可靠性.

图 5 路基面动应力时程曲线

Figure 5. Vertical dynamic stress on the top of subgrade

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2. 路基动应力分析

在有轨电车设计速度100 km/h条件下，采用所建立的耦合动力学模型进行仿真分析，仿真时长为3.864 s，车辆走行距离为107.3 m.

2.1 概率分布特征

模型中线路长度为200 m，以线路中点断面钢轨下的路基面为观测位置，得典型路基面动应力时程曲线如图6所示. 由于嵌入式轨道结构的荷载均化效应，路基面动应力一次加卸载过程由同一转向架两轴共同作用完成，不同转向架之间叠加不显著.

图 6 路基面动应力时程曲线

Figure 6. Vertical dynamic stress on the top of subgrade

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受轨道不平顺引起的轮轨力随机波动影响，有轨电车通过不同线路位置的动力响应有所差异. 不同转向架路基面动应力幅值近似呈正态分布，如图7（a）所示，路基面动应力幅值整体与正态分布符合较好，均值为16.48 kPa，标准差为1.65 kPa，如图7（b）所示.

图 7 路基面动力应力直方图与Q-Q图

Figure 7. Histogram and Q-Q plot of dynamic stress on subgrade surface

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2.2 速度影响

为分析车辆运行速度对路基面动应力的影响规律，以车辆运行速度为5、60、120 km/h进行仿真分析，各速度等级下，路基面动应力统计值见图8.

图 8 速度对路基面动力应力影响

Figure 8. Influence of speed on subgrade dynamic stress

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由图8可知：随着车辆运行速度的提升，路基面动应力均值逐渐增大，动应力波动范围明显变大，路基荷载减载程度逐渐加重，动力作用明显增强；当速度小于60 km/h，路基面动应力增加不显著，而当运行速度由60 km/h提升至100 km/h，路基面动应力变化幅度较大.

2.3 动应力放大系数

动应力放大系数为

${\varphi _{\textit{z}}}{\text{ = }}\frac{{{\sigma _{{\rm{d}}{\textit{z}}}}}}{{{\sigma _0}_{\textit{z}}}} ,$

(14)

式中：σ_dz为动态轮轨接触力引起的路基动应力；σ_0z为车辆静轴重对应的静应力.

以运行速度5 km/h为准静应力状态，根据仿真计算结果，在设计速度100 km/h条件下，统计路基面动应力幅值放大系数φ₀，最大值为1.302，均值为1.008，标准差为0.100. 在显著性水平α=5%条件下，对φ₀进行K-S正态性检验，结果见表5，φ₀服从正态分布，即φ₀～N（1.008, 0.100²）.

表 5 φ₀的K-S检验

Table 5. K-S test for φ₀

样本数量	统计量 D	P 值	结论（α=5%）
1659	0.019	0.583	服从正态分布（P > α）

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路基结构在服役年限内，在特殊情况下可能的最大车辆荷载作用下应具有足够的结构强度，同时在发生概率较高的常遇车辆荷载作用下，变形应满足长期稳定性要求. 定义具有99.9%保证率的φ₀为极限动力系数$\varphi _0^{\rm{l}}$（即μ + 3σ），定义路基面动应力峰值放大系数φ₀超越概率30%的分位值为常遇动力系数$\varphi _0^{\rm{f}}$（即μ + 0.5σ），如表6所示.

表 6 φ₀特征值

Table 6. Characteristic value of φ₀

均值 μ	标准差 σ	$\varphi _0^{\rm{f}}$	$\varphi _0^{\rm{l}}$
1.008	0.100	1.058	1.308

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2.4 沿深度衰减规律

交通荷载作用下，路基应变水平较低，力学行为以黏弹性为主导. 路基动应力的空间衰减是波前在不断增大面积上的扩散（几何阻尼）与能量的耗散（材料阻尼）共同作用的结果^[23]. 其中：几何阻尼主要反映应力扩散导致的衰减效应；材料阻尼主要引起动应力放大系数的衰减.

图9所示路基动应力沿深度非线性衰减，波动范围逐渐收窄，速度为100 km/h的动应力均值总体小于速度为5 km/h的动应力. 准静态条件下应力波在路基中的传播处于稳态，土体骨架变形稳定，土体颗粒间摩擦耗能的材料阻尼影响可忽略，应力波波前上振动能量几乎没有衰减，随着波前远离荷载作用位置波前振动能量在更大的面积上分布，故应力值非线性衰减，即几何阻尼效应. 而在动力荷载作用条件下，路基动应力受几何阻尼与材料阻尼共同影响，衰减速率较5 km/h条件下更快. 由于路基土体材料阻尼作用影响，路基动应力均值在浅层略大于静应力，体现出动力作用增大效应，在大于约0.40 m的路基中动应力均值小于静应力，表现为动力作用减弱效应.

图 9 路基动应力沿深度的分布

Figure 9. Subgrade dynamical stress distribution along depth

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由式（14）所得的动应力放大系数在速度100 km/h条件下沿深度的变化如图10所示，动应力放大系数φ_z在不同深度均服从正态分布，动应力放大系数均值${\bar \varphi _{\textit{z}}}$、常遇值$\varphi _{\textit{z}}^{\rm{f}}$、极限值$\varphi _{\textit{z}}^{\rm{l}}$近似呈线性衰减. 当深度z≤0.5 m时，均值${\bar \varphi _{\textit{z}}}$>1，当深度z<0.5 m 时，均值${\bar \varphi _{\textit{z}}}$＜1.

图 10 φ_z沿深度衰减

Figure 10. Attenuation of φ_z along depth

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路基结构层阻尼比与土类、土体密度状态、应变水平有关^[21]，交通荷载作用下路基土体的阻尼比$ \zeta $约为0.04～0.15. $ \zeta $为0.04、0.08、0.12、0.15条件下的动应力放大系数${\bar \varphi _{{\textit{z}}}}$、$\varphi _{\textit{z}}^{\rm{f}}$、$\varphi _{\textit{z}}^{\rm{l}}$沿深度的衰减规律见表7.

表 7 动应力放大系数φ_z沿深度衰减方程

Table 7. Attenuation equations of φ_z in depth

$ \zeta $	${\bar \varphi _{\textit{z}}}$	$\varphi _{\textit{z}}^{\rm{f}}$	$\varphi _{\textit{z}}^{\rm{l}}$
0.04	1.018−0.0258z	1.069−0.0258z	1.324−0.0257z
0.08	1.017−0.0260z	1.068−0.0263z	1.322−0.0279z
0.12	1.016−0.0262z	1.067−0.0269z	1.320−0.0300z
0.15	1.015−0.0265z	1.066−0.0273z	1.319−0.0315z

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由表7可知：随机路基材料阻尼的增加，φ_z衰减方程截距逐渐减小，斜率不断增大，衰减速率加快. 这是由于随着土体阻尼的增加，振动能量在路基土体中的衰减呈加剧趋势，并随深度的增加愈加显著.

3. 结　论

运用车辆-轨道耦合动力学理论，建立有轨电车-嵌入式轨道-路基动力学模型，分析五模块有轨电车路基的动力作用特性，得出如下结论：

1）针对浮车多铰接五模块有轨电车车体间的铰接特征，建立了五车三架六轴共22自由度的多刚体有轨电车垂向振动模型，运用Hamilton变分原理推导了车辆运动方程，将轨道板、调整层、底座视为叠合梁，考虑嵌入式轨道连续支承的特点，建立了双层连续支承Euler梁的嵌入式轨道模型；考虑路基结构的阻尼特性，建立了路基三维动力有限元模型，采用Hertz非线性接触模型描述轮轨关系，以力学平衡原理顺序耦合叠合梁与路基结构，组建了有轨电车-嵌入式轨道-路基耦合动力学模型，并通过实测数据验证了模型的可靠性.

2）嵌入式轨道的车辆荷载扩散特性良好，路基面动应力的一次加卸载过程由转向架两轴共同作用完成，受轨面随机不平顺影响，路基面动应力幅值服从正态分布，在设计速度100 km/h条件下，考虑中国铁路干线谱线路平顺性较差的90%分位谱不平顺，路基面动应力放大系数φ₀～N（1.008, 0.100²），超越概率30%的常遇动力系数为1.058，保证率为99.9%的极限动力系数为1.308.

3）车辆荷载作用下路基动应力除具有几何阻尼引起的应力扩散效应，还存在材料阻尼引起的能量耗散效应，体现为动应力放大系数$\varphi _{\textit{z}} $的衰减. 计算表明，$\varphi _{\textit{z}} $沿深度基本呈线性衰减规律，随着阻尼的增大，衰减呈加剧趋势. 受阻尼作用影响，动应力放大系数均值${\bar \varphi _{\textit{z}}}$在路基浅层略大于1，表现为动力作用增大效应，在较深层路基${\bar \varphi _{\textit{z}}}$＜1，体现为动力作用减弱效应.

图 1 基于EKF的GNSS/INS的紧耦合定位结构

Figure 1. GNSS/INS tight-coupled integration localization architecture based on EKF

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图 2 定位单元风险评估流程

Figure 2. Risk assessment process of localization unit

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图 3 定位单元状态示意

Figure 3. Schematic diagram of localization unit states

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图 4 告警时间设置

Figure 4. Setup of TTA

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图 5 测试线路

Figure 5. Test railway line

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图 6 测试线路可见卫星数

Figure 6. Number of visible satellites in test line

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图 7 区间①计算结果

Figure 7. Calculation results in section one

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图 8 区间②计算结果

Figure 8. Calculation results in section two

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表 1 精度及完好性分析相关指标

Table 1. Relevant indicators in analysis of accuracy and integrity

指标	缩写	量纲	符号
水平位置误差	HPE	距离	D_HPE
水平保护距离	HPL	距离	D_HPL
水平告警门限	HAL	距离	D_HAL
告警时间	TTA	时间	T_TTA

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表 2 试验数据参数设置

Table 2. Setting of parameters in test

指标	取值
P_fa/h⁻¹	1 × 10⁻⁷
P_md/h⁻¹	1 × 10⁻⁷
HAL/m	20

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表 3 测试数据统计

Table 3. Statistical results of test data

测试数据	区间①	区间②
单次平均时长/min	15.81	19.32
单次平均数据量/个	8996	11802
测试数/次	24	24
总时长/min	379.47	463.72
总数据量/个	215904	283248
检测故障数/次	152	178
状态NO数量/次	9262	1928

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表 4 不同区间的风险评估结果

Table 4. Risk assessment results in different sections

区间	r_t 发生数/次	N_A/次	p_wsf	故障率/h⁻¹
区间①	13235	207	9.59 × 10⁻⁴	1.52 × 10⁻⁴
区间②	2376	2	7.06 × 10⁻⁶	9.14 × 10⁻⁷

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表 5 不同参数下的风险评估结果

Table 5. Risk assessment results with different parameters

HAL/m	P_fa/h⁻¹	P_md/h⁻¹	故障率/h⁻¹	仅考虑状态DU的故障率/h⁻¹
20	1 × 10⁻⁷	1 × 10⁻⁷	1.52 × 10⁻⁴	9.01 × 10⁻⁵
25	1 × 10⁻⁷	1 × 10⁻⁷	1.11 × 10⁻⁴	7.10 × 10⁻⁵
50	1 × 10⁻⁶	1 × 10⁻⁶	1.53 × 10⁻⁵	5.12 × 10⁻⁶
100	1 × 10⁻⁵	1 × 10⁻⁵	0	0

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