Coefficient Matrix Properties of Downward Continuation for Potential Fields and Barzilai-Borwein Downward Continuation Method
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摘要: 位场的向下延拓不仅仅能够提高地球物理数据解释的可靠性,在导航方面也有着重要的作用. 为了进一步提高计算精度和速度,提出了位场向下延拓的Barzilai-Borwein (BB)法. 首先证明了位场向下延拓的系数矩阵为对称的双重Toeplitz系统矩阵(block-Toeplitz-Toeplitz-block,BTTB);其次,假定该系数矩阵为正定的条件下,采用BB法迭代求解下延方程组,并约束其迭代步长确保算法收敛;最后,分别通过理论模型无噪声数据和实际资料对BB法进行检验,并与积分迭代法进行对比. 结果表明:理论模型验证时,同一收敛精度条件下,BB法的计算速度是积分迭代法的2倍以上;实际资料检验时,在相同计算次数下,BB法与积分迭代法的平均相对误差分别为6.1%与7.7%.
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关键词:
- 向下延拓 /
- 系数矩阵 /
- Barzilai-Borwein法 /
- 收敛性
Abstract: Downward continuation of potential fields can not only improve the reliability of geophysical data interpretation, but also plays an important role in navigation. In order to further enhance the calculation accuracy and speed of downward continuation, the Barzilai-Borwein (BB) downward continuation method is proposed. First, the coefficient matrix of downward continuation for potential fields is proved to be a symmetric block-Toeplitz-Toeplitz-block matrix (BTTB). Next, assuming that the coefficient matrix is positive definite, the BB method is used to solve the equations of downward continuation, and the iterative step is limited to ensure the convergence of the algorithm. Finally, the BB method is validated by noise-free data of the theoretical model and practical data, and compared with the integral iterative method. The results show that under the same convergence accuracy, in the case of the theoretical model, the calculation speed of BB method is more than 2 times that of integral iteration method. In the case of practical data, the average relative errors of BB method and integral iteration method are 6.1% and 7.7%, respectively.-
Key words:
- downward continuation /
- coefficient matrix /
- Barzilai-Borwein method /
- convergence
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在大功率高转速旋转机械系统中,主动磁悬浮轴承(AMBs)具有无摩擦、无润滑等优点,使得其得到了广泛的应用[1-4]. 然而,如何控制AMBs转子稳定悬浮于期望位置一直以来是一个重要问题. AMBs是一个典型的非线性系统,一般采用局部线性化的方法进行建模[5],进而应用线性控制或非线性控制对其进行精确控制[6]. 工程上一般采用PID控制[7-8],但AMBs在运行中会受到一些扰动,同时工况的改变会使得PID控制的鲁棒性大幅减弱. 因此,需要控制器自身具有较强的鲁棒性以克服AMBs系统的内扰和外扰,从而有效地提高其可靠性.
众多鲁棒控制算法中,滑模控制(SMC)具有适应性强、鲁棒性好、对未知参数和干扰不敏感、易于实现等优点,被广泛应用于包括AMBs在内的各种非线性系统. 然而,简单的滑模控制采用线性滑模函数,系统误差通常只能缓慢地渐近收敛,进而有学者采用基于动态非线性滑模函数的终端滑模控制方法,可以使得系统误差在有限的时间内实现快速收敛[9]. 文献[10]中提出的双滑模控制器用于对开关磁阻电机进行调速;文献[11]针对伺服电机系统设计了一种新的连续终端滑模控制器,能够有效提高系统的鲁棒性;文献[12]针对永磁直线同步电动机位置控制问题,采用非奇异快速终端滑模,从而使系统获得快速、精确的跟踪性能;文献[13]设计了滑模自抗扰控制器,实现了对AMBs的各自由度的解耦,减小了AMBs在高速运转下锥动对控制效果的影响;文献[14]在磁悬浮球系统中将自适应控制与终端滑模控制结合,以此来减小系统抖振,改善悬浮系统的动态性能;文献[15]在磁悬浮球系统中将广义比例积分观测器与终端滑模控制结合,避免切换函数增益过大,有效地减小了系统抖振.
除了对滑模函数的设计,趋近律也需要进行优化,传统趋近律的切换增益为常数,系统抖振的大小与切换增益的大小有关. 超螺旋趋近律把切换增益改为与系统状态有关的幂函数,同时还利用积分函数对切换函数进行处理. 因此,超螺旋趋近律能够使系统状态在滑模面附近平滑且切换增益较小,减小系统抖振[16-17]. WANG等[18]将超螺旋趋近律与非奇异快速终端滑模相结合(SNFTSMC),以实现减小抖振并加快系统误差收敛.
在AMBs系统中,传感器跳动、电磁场波动等外部因素经常会导致AMBs转子位置控制的精度受到影响,而且AMBs系统在建模过程中对系统做了线性化,也导致AMBs数学模型含有未建模部分. 虽然采用SNFTSMC能够抑制未建模部分和外部扰动带来的影响,但这需要增大切换增益,又会造成系统抖振. 因此,SNFTSMC在抑制抖振和扰动之间存在一定的矛盾. 此时,将未建模部分与外部扰动看作一个集总干扰,利用扩张状态感测器(ESO)对集总干扰进行观测,然后补偿给系统,这种方法在伺服系统中已经得到了广泛的应用[19-20]. 通常,线性ESO(LESO)参数易于整定,而非线性ESO(NESO)收敛精度高、鲁棒性强 [21-22].
因此,针对主动磁悬浮轴承转子位置控制中存在响应速度慢、抗干扰能力弱2个问题,本文采用SNFTSMC作为控制算法,并通过ESO对集总干扰观测并补偿到系统中. 由于LESO对于AMBs非线性系统观测效果较差,因此,本文采用了NESO观测器. 根据李雅普诺夫稳定理论证明了所提方法的稳定性,并通过仿真和实验验证了系统具有强的鲁棒性以及低抖振性能.
1. 单自由度AMBs系统模型
以径向单自由度的AMBs为研究对象,研究转子起浮运动. 单自由度AMBs系统通过传感器获得转子实际位移y;实际位移y与期望位置yr的误差e1输入到控制器中,控制器进行运算得到控制信号;之后,在与偏置信号进行差分;最后,将差分后的信号输送到功放器中产生相应的电流,电流被送到电磁铁线圈中,电磁铁产生吸力将转子吸引到期望位置. 具体工作原理如图1.
AMBs采用8级C型结构,根据麦克斯韦公式,2个磁极作用在转子上的电磁力为
f=μ0n2i2Acosα/l2, (1) 式中:i为线圈通入的电流,l为气隙长度,A为单个磁极截面积,μ0为真空磁导率,α为磁极之间夹角的一半,n为线圈匝数.
电磁铁对转子的控制方式为差动控制,在垂直方向上以(i0,y0)作为参考点,如图2. 当转子向上运动的位移为y时,转子与上方电磁铁之间的气隙间距变成y0−y,则上方电磁铁线圈输入的工作电流为i0−i;转子与下方电磁铁之间的气隙间距变成y0+y,下方电磁铁线圈输入的工作电流为i0+i,此时,在垂直方向上的合力为
f(i,y)=μ0An2[(i0−iy0−y)2−(i0+iy0+y)2]cosα. (2) 式(2)中将y、i作为参考点(i0,y0)的邻域,在参考点(i0,y0)处对f(i,y)进行泰勒展开,如式(3).
f(i,y)=kii+ksy+fR, (3) 式中:fR为高次项部分(也称未建模部分);ki、ks分别为电流刚度系数和位移刚度系数,如式(4)、(5).
ki=4μ0N2i0Acosα/y20,ks=4μ0N2i20Acosα/y30. (4) 将重力mg、未知扰动fd都考虑到系统中,则系统的状态方程为
{y=y1,˙y1=y2,˙y2=b0i+a0y1+d, (5) 式中: a0为位移增益,a0=ki/m;b0为位移增益,b0=ks/m;d为集总干扰,d=(fR + fd−mg)/m.
2. SNFTSMC设计
2.1 SNFTSMC设计
基于磁悬浮转子系统的数学模型,设计了非奇异快速终端滑模函数结构,具体表达式如式(6),相应结构如图3.
s=e1+k1|e1|asign(e1)+k2|e2|bsign(e2), (6) 式中:k1、k2、a、b为调节系数,k1>0,k2>0,1<b<2,a>b;e1=y1−yr,e2=˙y1−˙yr.
滑模面为滑模函数s=0,令式(6)为0,得到
0=e1+k1|e1|asign(e1)+k2|e2|bsign(e2). (7) 设误差e1从初始值e1(0)收敛到0所用的时间为tf,对式(7)进行求解,得到tf的解为[11]
tf=∫|e1(0)|0k1/b2(e1+k1xa)1/bde1=b|e1(0)|1−1/bk1(b−1)×F(1b,b−1(a−1)b;1 + b−1(a−1)b;−k1|e1(0)|a−1), (8) 式中:F(·)为高斯几何函数.
对式(6)求导为
˙s=e2+ak1|e1|a−1e2+bk2|e2|b−1˙e2. (9) 忽略式(5)中集总干扰d,˙s=0,可以得到等效控制器为
ieq=1b0(¨yr−a0y1−1bk2|e2|2−b(1+ak1|e1|a−1)sign(e2)). (10) 为了加快趋近速度和减小控制过程中出现的抖 振,采用超螺旋趋近律,具体表达式如式(11),其结构如图4.
超螺旋趋近律的具体表达式为
˙s=−k3|s|csign(s)−k4∫sign(s)dt, (11) 式中:k3、k4、c为调节系数,k3>0,k4>0,0<c<1.
滑模函数s距离滑模面s=0较远时,−k3|s|c值较大,滑模函数s以较大的速度靠近滑模面s=0;滑模函数s距离滑模面s=0较小时,−k3|s|csign(s)值较小,滑模函数s以较小的速度靠近滑模面s=0. 滑模函数中sign函数的切换增益(−k3|s|c)的大小决定抖振剧烈程度,采用超螺旋趋近律既能削弱抖振又能加快系统收敛.
为了能够进一步加快滑模函数s到达滑模面s=0的速度及削弱抖振,可采用式(12)所示的趋近律.
{˙s=−k3|s|gsign(s)−k4∫sign(s)dt,g=γ−λe−η|e1|, (12) 式中:γ、λ、η均为可调系数,g为关于γ、λ、η的指数函数,γ>1,0<λ,η>0.
由式(12)可知,随着e1从初值e1(0)衰减到0,g从最初的较大值γ−λe−η|e1(0)|衰减到γ−λ,在这个过程中−k3|s|g能够以更快的速度从较大值衰减到0,从而加快滑模函数s到达滑模面s=0的速度和减小抖振.
因此,定义AMBs转子系统的切换控制器为
isw=1b0[−k3|s|gsign(s)−k4∫sign(s)dt]. (13) 考虑到系统存在集总干扰,总的控制器为
ic=ieq+isw−1b0Msign(s), (14) 式中:M为集总干扰d的上界,即d⩽|M|.
2.2 稳定性分析
为了证明SNFTSMC控制器的稳定性,构造李雅普诺夫函数为
V(s)=12s2, (15) ˙V(s)=s˙s=s[e2+ak1|e1|a−1e2+bk2|e2|b−1˙e2]=s[e2+ak1|e1|a−1e2+bk2|e2|b−1(b0ic+a0y1+d−¨yr)]=s[e2+ak1|e1|a−1e2+bk2|e2|b−1(b0isw−Msign(s)+d−1bk2|e2|2−b(1+ak1|e1|a−1)×sign(e2))]=s[bk2|e2|b−1(d−Msign(s)+b0isw)]=bk2|e2|b−1(ds−M|s|−k3|s|g+1−k4∫|s|dt). (16) 当e2≠0时,已知k2、k3、k4、b均大于0,且|d|≤M,那么此时有
˙V(s)<bk2|e2|b−1(−k3|s|g+1−k4∫|s|dt)<0. (17) 此时,滑模函数s将在有限时间内到达滑模面s=0.
当e2=0时,联立式(14)与式(5)中,有
˙e2=−k3|s|gsign(s)−k4∫sign(s)dt+d−Msign(s). (18) 根据式(18),当滑模函数s>0时,˙e2<0;当滑模函数s<0时,˙e2<0. 图5为该控制器下的系统相轨迹,以滑模函数s2为例,e2=0、˙e2<0时,e2必然会在某个邻域(0, + δ)内减小,此时滑模函数s2会必然会向下运动;当滑模函数s2到达邻域(0, + δ)时,e2≠0,滑模函数s2将会根据式(17)得出的结论到达滑模面s=0,滑模函数s4同理.
3. 考虑NESO的SNFTSMC设计
3.1 ESO设计
集总干扰d是未知的,很难确定其具体的上界,而为了保证系统的稳定,一般上界M取值较大,将会加剧系统抖振. 为避免这种情况,本文通过设计ESO,并利用ESO对集总干扰d进行观测,得到较精确的观测值,然后将观测值补偿到控制器中. 本节先后分别对LESO与NESO进行研究与分析.
对于二阶的AMBs转子系统,将集总干扰d扩张为新的状态变量y3,式(5)可以改写为
{˙y1=y2,˙y2=b0i+a0y1+y3,˙y3=h, (19) 式中:h为集总干扰d的变化率.
根据式(19)可以写出LESO表达式为
{˙z1=z2−L1θ1,˙z2=b0i+a0z1+z3−L2θ1,˙z3=−L3θ1, (20) 式中:L1、L2、L3为LESO增益,z1、z2、z3分别为y1、y2、y3的观测值,θ1=z1−y1为观测误差.
式(20)减去式(19)得到误差状态方程为
{˙θ1=θ2−L1θ1,˙θ2=a0θ1+θ3−L2θ1,˙θ3=−h−L3θ1, (21) 式中:θ2=z2−y2,θ3=z3−y3.
式(21)经过拉普拉斯变换后,有
{θ2(s)=(s+L1)θ1(s),θ3(s)=sθ2(s)+(L2−a0)θ1(s),h(s)=sy3(s)=−sθ3(s)−L3θ1(s). (22) 整理式(22),得到θ3与−y3之间的传递函数为
θ3−y3=s3+L1s2+(L2−a0)ss3+L1s2+(L2−a0)s+L3. (23) 为了使系统能够稳定,假设式(23)有3个极点(s1、s2、s3)都位于左半平面,p1=−ω0、p2=−0.5ω0 + j0.5ω0、p3=−0.5ω0−j0.5ω0,ω0为带宽并大于0,那么有
s3+L1s2+(L2−a0)s+L3=(s−p1)(s−p2)(s−p3). (24) 可以解得
[L1L2L3]=[2ω01.5ω20+a00.5ω30]. (25) 将式(25)带到式(23)中可得
θ3−y3=s3+2ω0s2+1.5ω20ss3+2ω0s2+1.5ω20s+0.5ω30. (26) 根据式(26)做出不同带宽下的Bode图,如图6. 图6中:y3频率较低时,z3对y3的跟踪效果较好;随着y3频率的增大,z3对y3的跟踪性能逐渐变差;带宽增大后,z3对y3跟踪效果逐渐变好,但带宽太大容易对系统中其他噪声敏感.
由于LESO对集总扰动观测精度有限,现采用NESO对集总干扰进行观测,将式(20)改写为
{˙z1=z2−β1u1(θ1),˙z2=b0i+a0z1+z3−β2u2(θ1),˙z3=−β3u3(θ1), (27) 式中:β1、β2、β3为待设计的观测器增益,均大于0;u1(θ1)、u2(θ1)、u3(θ1)为关于θ1的非线性函数,如式(28).
{u1(θ1)=θ1,u2(θ1)=|θ1|12sign(θ1),u3(θ1)=|θ1|14sign(θ1). (28) NESO的参数一般很难通过理论去整定,通常根据经验来进行设计. 选择合适的β1、β2、β3,能够使得观测误差θ1、θ2、θ3在有限时间内收敛到0.
NESO的结构框图如7.
3.2 含NESO的SNFTSMC稳定性分析
式(14)中所提到的sign函数切换增益为−(k3|s|g+M)/b0,其中−k3|s|g/b0的大小与系统状态有关,产生的抖振很小,而−M/b0为常值,会导致系统产生较大抖振. 因此,需要通过NESO对系统抖振进行补偿,进一步将控制器设计为
ic∗=ieq+isw−1b0z3. (29) 接着,为了验证所提方法对系统稳定性产生的影响,对式(29)进行李亚普诺夫稳定性分析,即
˙V(s)=s˙s=s[bk2|e2|b−1(d+b0isw−z3)]=bk2|e2|b−1(ds−z3s−k3|s|g+1−k4∫|s|dt)<bk2|e2|b−1(−k3|s|g+1+|θ3||s|−k4∫|s|dt). (30) 根据对NESO的设计,θ3会收敛到0,可得到:
˙V(s)<bk2|e2|b−1(−k3|s|c+1−k4∫|s|dt)<0. (31) 通过分析得知,滑模函数s能够在有限时间内到达滑模面s=0,有效证明了所提方法的稳定性,进而搭建如图8所示的AMBs系统整体控制结构.
4. 仿真分析
表1为AMBs具体参数.
表 1 AMBs参数Table 1. Parameters of AMBs参数 值 磁极面积/mm2 720 匝数/圈 150 气隙长度/mm 0.4 偏置电流/A 2 转子质量/kg 15 电流刚度系数/(N·A−1) 939.5 位移刚度系数/(N·mm−1) 4697.5 为了能够对比出SNFTSMC的优越性能,在验证中加入传统SMC,表2为各个控制器参数.
表 2 控制器参数Table 2. Parameters of controller控制器 值 SNFTSMC k1=1、k2=0.1、k3=80、k4=50、a=2.5、b=1.5、γ=1.5、λ=1、η=0.5、M=15 SMC k1=30、k2=50、c=10、M=15 忽略集总扰动时SNFTSMC、SMC分别为
{iSNFTSMC=ieq+isw,iSMC =1b0[¨yr−ce2−a0y1−k1s−k2sign(s)]. (32) 定义控制电流平均值为
iavg=∑Nj=1|ij|N, (33) 式中:ij为第j个采样点的电流值,1≤j≤N ,N为采样点数.
根据式(32)中的控制器进行仿真,图9为起浮测试下的位移与控制电流. SNFTSMC、SMC到达目标位置的时间分别为0.38、0.62 s,SNFTSMC、SMC的最大控制电流分别为3.14、4.56 A. 根据式(33)得到SNFTSMC与SMC的电流平均值为分别为0.24、0.89 A.
为探究控制器的追踪性能,对正弦波、方波进行追踪. 图10为正弦追踪下的结果,SNFTSMC、SMC追踪到正弦波的时间分别为0.41、0.62 s,控制电流最大值分别为3.60、6.17 A,电流平均值分别为1.04、1.16 A. 图11为方波追踪下的仿真结果,将方波追踪中4个阶段的稳定时间间隔累加起来,SNFTSMC、SMC所用时间分别为1.24、2.36 s;控制电流最大值分别为3.12、4.56 A;电流平均值分别为0.24、0.89 A.
为对比LESO与NESO的观测性能,对正弦扰动sin(2πfot)进行观测,其频率fo从0增加到300 Hz. LESO带宽为500,NESO的观测增益β1、β2、β3分别为
15000 、3000 、50000 . 图12为2种ESO对正弦信号的观测结果. 随着频率增大,2种ESO的观测性能均随之下降;在低频段中NESO观测器性能较好,其观测误差很小,而LESO在低频段中其观测误差依然很大,并且此时还是在LESO带宽取值较大的情况下. 因此,LESO观测性能不如NESO. 所以选用NESO对集总干扰进行观测.将外部扰动与未建模部分对考虑到系统中,SNFTSMC的控制器设计为式(14),SMC设计为
iSMC=1b0[¨yr−ce2−a0y1−k1s−(k2+M)sign(s)]. (34) 假设集总干扰d=−12.5 + 2.5sin(20πt),采用考虑到集总干扰而设计的控制器进行仿真,图13为抗干扰测试下的转子位移波形与控制电流波形. 由图13可知:SNFTSMC、SMC到达目标位置的时间分别为0.45、0.63 s,相较于没有集总干扰的情况下系统收敛时间增加;控制电流最大值分别为3.38、4.80 A,控制电流平均值分别为0.43、1.18 A;考虑到扰动后控制电流最大值与控制电流平均值都略微增大,并且SMC抖振加剧、SNFTSMC产生了小幅度抖振.
集总干扰的存在会增大抖振,将SNFTSMC与NESO相结合,以此来减小由集总扰动引起的系统抖振. 图14为SNFTSMC+NESO、SMC+NESO这2种控制方法的仿真结果. 由图14可知:SNFTSMC+NESO、SMC+NESO到达目标位置的时间分别为0.40 s、0.62 s,与没有集总干扰的情况下系统收敛时间相近,即NESO能够消除集总干扰带来的影响;SNFTSMC+NESO、SMC+NESO在稳定时位移误差均为0,控制电流最大值分别为3.14、4.56 A,控制电流平均值分别为0.44、0.90 A.
5. 实验验证
为验证所提方法的正确性和有效性,搭建了基于RT-Lab的磁悬浮轴承转子系统实验平台. 实验装置由磁悬浮电机性能测试平台、功放测试平台、径向磁悬浮轴承和轴向磁悬浮轴承等组成,如图15所示.
首先,通过采用SNFTSMC、SMC 2种控制器进行转子起伏测试,转子起浮位移和电流信号如图16所示. 可以得知,采用SNFTSMC、SMC转子从底端上升到目标位置所用的时间分别为0.41、0.94 s,并且SMC的控制电流存在剧烈的抖振,SNFTSMC、SMC的电流平均值分别为0.53、1.68 A.
其次,为验证控制器的抗干扰性能,对转子施加正弦扰动进行起浮测试,转子起浮位移和电流信号如图17所示. 图17中SNFTSMC、SMC到达目标位置所用的时间分别为0.43、0.98 s,SNFTSMC、SMC的电流平均值分别为0.84、2.00 A,并且SNFTSMC也产生了抖振.
最后,引入NESO来对干扰进行补偿,转子位移和控制电流如图18所示. 图18中SNFTSMC+NESO和SMC+NESO到达目标位置所用的时间分别为0.42、0.95 s,其电流平均值分别为1.65、0.66 A,2种控制器下的电流抖振得到了有效减小.
6. 结 论
1) 工程设计中由于考虑算法的简明性,通常会采用传统滑模控制器,若要提高主动磁悬浮轴承转子位置的动态控制性能,可将传统滑模控制率改进为本文所提出超螺旋趋近律.
2) 非奇异快速终端滑模函数的设计能够使系统误差得到快速收敛,而超螺旋趋近律利用幂函数以及对滑模函数的积分使得切换增益在滑模面s=0处较小,实际工况中可根据快速性和鲁棒性要求进行选择滑模函数和趋近律的设计.
3) 引入的NESO能够对系统内外扰动进行观测并补偿到系统中,有效减小扰动对控制结果的影响,但实际工况下观测值补偿可能是离线的,在线补偿对控制器设计要求较高. 特别是要考虑观测器引起的相位滞后,在控制器设计过程中选择合适的前馈补偿将相位进行补偿.
致谢:感谢陕西省教育厅一般专项(青年)23JK0339资助;海洋工程全国重点实验室(上海交通大学)专项经费号GKZD010089.
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表 1 三维组合圆球型磁异常体参数
Table 1. Magnetic anomaly parameters of 3D combination sphere
模型编号 x0/km y0/km h0/km r0/km M0/(A•m−1) I0/(°) A0/(°) I′/(°) A′/(°) 1 13.5 6.5 2.5 0.5 1.0 50 60 30 60 2 6.5 6.5 2.5 0.5 1.2 50 60 30 60 3 10.0 10.0 2.5 0.5 1.0 50 60 30 60 4 13.5 13.5 2.5 0.5 1.0 50 60 30 60 -
徐世浙,曹洛华,姚敬金. 重力异常三维反演-视密度成像方法技术的应用[J]. 物探与化探,2007,31(1): 25-28.XU Shizhe, CAO Luohua, YAO Jingjin. 3D inversion of gravity anomaly:an application of the apparent density imagery technology[J]. Geophysical & Geochemical Exploration, 2007, 31(1): 25-28. 徐世浙,余海龙,李海霞,等. 基于位场分离与延拓的视密度反演[J]. 地球物理学报,2009,52(6): 1592-1598. doi: 10.3969/j.issn.0001-5733.2009.06.021XU Shizhe, YU Hailong, LI Haixia, et al. The inversion of apparent density based on the separation and continuation of potential field[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2009, 52(6): 1592-1598. doi: 10.3969/j.issn.0001-5733.2009.06.021 徐世浙,王华军,余海龙,等. 普光气田重力异常的视密度反演[J]. 地球物理学报,2009,52(9): 2357-2363. doi: 10.3969/j.issn.0001-5733.2009.09.021XU Shizhe, WANG Huajun, YU Hailong, et al. Apparent density inversion of gravity anomalies of Puguang gas field[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2009, 52(9): 2357-2363. doi: 10.3969/j.issn.0001-5733.2009.09.021 杨金玉,徐世浙,余海龙,等. 视密度反演在东海及邻区重力异常解释中的应用[J]. 地球物理学报,2008,51(6): 1909-1916. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2008.06.034YANG Jinyu, XU Shizhe, YU Hailong, et al. Application of apparent density inversion method in the east China sea and its adjacent area[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2008, 51(6): 1909-1916. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2008.06.034 徐世浙,张秀达,张昌达. 水下磁定位的若干问题[J]. 海军大连舰艇学院学报,2007,30(3): 4-6.XU Shizhe, ZHANG Xiuda, ZHANG Changda. Several problems of underwater magnetic location[J]. Journal of Dalian Naval Academy, 2007, 30(3): 4-6. 许大欣. 利用重力异常匹配技术实现潜艇导航[J]. 地球物理学报,2005,48(4): 812-816. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2005.04.012XU Daxin. Using gravity anomaly matching techniques to implement submarine navigation[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2005, 48(4): 812-816. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2005.04.012 杨昆,康戈文,李洪. 重力场和地磁场综合匹配在导航中的应用[J]. 航海工程,2010,39(1): 129-816.YANG Kun, KANG Gewen, LI Hong. Application of gravity and geomagnetism matching in navigation[J]. Ship & Ocean Engineering, 2010, 39(1): 129-816. 彭富清. 地磁模型与地磁导航[J]. 海洋测绘,2006,26(2): 73-75. doi: 10.3969/j.issn.1671-3044.2006.02.021PENG Fuqing. Geomagnetic model and geomagnetic navigation[J]. Hydrographic Surveying and Charting, 2006, 26(2): 73-75. doi: 10.3969/j.issn.1671-3044.2006.02.021 王向磊,田艳峰. 基于地磁场的自主导航研究[J]. 地球物理学报,2010,53(11): 2724-2731.WANG Xianglei, TIAN Yanfeng. Automous navigation based geomagnetic research[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2010, 53(11): 2724-2731. EVJEN H M. The place of the vertical gradient in gravitational interpretations[J]. Geophysics, 1936, 1: 127-136. doi: 10.1190/1.1437067 PETERS L J. The direct approach to magnetic interpretation and its practical application[J]. Geophysics, 1949, 14: 290-320. doi: 10.1190/1.1437537 FEDI M, FLORIO G. A stable downward continuation by using the ISVD method[J]. Geophysical Journal International, 2002, 151(1): 146-156. doi: 10.1046/j.1365-246X.2002.01767.x ZHOU Wenna, LI Jiyuan, YUAN Yuan. Downward continuation of potential field data based on Chebyshev-Pade approximation function[J]. Pure and Applied Geophysics, 2017, 175: 275-286. DAMPNEY C N G. The equivalent source technique[J]. Geophysics, 1969, 34(1): 39-53. doi: 10.1190/1.1439996 SYBERG F J R. Potential field continuation between general surfaces[J]. Geophysical Prospecting, 2010, 20(2): 267-282. doi: 10.1111/j.1365-2478.1972.tb00632.x EMILIA D A. Equivalent source used as an analytic base for processing total magnetic field profiles[J]. Geophysics, 1973, 38(2): 339-348. doi: 10.1190/1.1440344 侯重初,蔡宗熹,刘奎俊. 剖面曲线上的位场转换系统[J]. 地球物理学报,1984,27(6): 573-581. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.1984.06.007HOU Chongchu, CAI Zongxi, LIU Kuijun. Potential transformation techniques on an undulating observed profile[J]. Chinese Journal of Geophysics, 1984, 27(6): 573-581. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.1984.06.007 侯重初,蔡宗熹,刘奎俊. 从单层位出发建立曲面上的位场转换解释系统[J]. 物化探计算技术,1985,7(2): 99-107.HOU Chongchu, CAI Zongxi, LIU Kuijun. Establishing an interpretation system of potential field transformation on an uneven surface from the potential of a single layer[J]. Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration, 1985, 7(2): 99-107. 黄翼坚,王万银,于长春. 等效源法三维随机点位场数据处理和转化[J]. 地球物理学进展,2009,24(1): 95-101.HUANG Yijian, WANG Wanyin, YU Changchun. Processing and transform of 3D arbitrarily distributed potential filed data using an equivalent source approach[J]. Progress in Geophysics, 2009, 24(1): 95-101. 刘天佑,杨宇山,李媛媛,等. 大型积分方程降阶解法与重力资料曲面延拓[J]. 地球物理学报,2007,50(1): 290-296. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2007.01.036LIU Tianyou YANG Yushan, LI Yuanyuan, et al. The order depression solution for large scale integral equation and its application in the reduction of gravity data to a horizontal plane[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2007, 50(1): 290-296. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2007.01.036 徐世浙. 位场大深度向下延拓[J]. 物探化探计算技 术, 2006, 28(增): 29-31.XU Shizhe. Downward continuation for potential field to a deeper level[J]. Computing Techniques for Geophysical and Geochemical Exploration, 2006, 28(S): 29-31. 徐世浙. 迭代法与FFT法位场向下延拓效果的比较[J]. 地球物理学报,2007,50(1): 285-289. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2007.01.035XU Shizhe. A comparison of effects between the iteration method and FFT for downward continuation of potential fields[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2007, 50(1): 285-289. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2007.01.035 徐世浙,余海龙. 位场曲化平的插值-迭代法[J]. 地球物理学报,2007,50(6): 1811-1815. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2007.06.022XU Shizhe, YU Hailong. The interpolation-iteration method for potential field continuation from undulating surface to plane[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2007, 50(6): 1811-1815. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2007.06.022 陈生昌,肖鹏飞. 位场向下延拓的波数域广义逆算法[J]. 地球物理学报,2007,50(6): 1816-1822. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2007.06.023CHEN Shengchang, XIAO Pengfei. Wavenumber domain generalized inverse algorithm for potential field downward continuation[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2007, 50(6): 1816-1822. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2007.06.023 郝燕玲,成怡,孙枫,等. Tikhonov正则化向下延拓方法仿真实验研究[J]. 仪器仪表学报,2008,29(3): 605-609. doi: 10.3321/j.issn:0254-3087.2008.03.030HAO Yanling, CHENG Yi, SUN Feng, et al. Simulation research on Tikhonov regulation algorithm in downward continuation[J]. Chinese Journal of Scientific Instrument, 2008, 29(3): 605-609. doi: 10.3321/j.issn:0254-3087.2008.03.030 周军,施桂国,葛致磊. 地球物理导航中位场下延的迭代正则化方法研究[J]. 宇航学报,2011,32(4): 787-794. doi: 10.3873/j.issn.1000-1328.2011.04.013ZHOU Jun, SHI Guiguo, GE Zhilei. Study of iterative regularization methods for potential field downward continuation in geophysical navigation[J]. Journal of Astronautics, 2011, 32(4): 787-794. doi: 10.3873/j.issn.1000-1328.2011.04.013 高玉文,骆遥,文武. 补偿向下延拓方法研究及应用[J]. 地球物理学报,2012,55(8): 2747-2756. doi: 10.6038/j.issn.0001-5733.2012.08.026GAO Yuwen, LUO Yao, WEN Wu. The compensation method for downward continuation of potential field from horizontal plane and its application[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2012, 55(8): 2747-2756. doi: 10.6038/j.issn.0001-5733.2012.08.026 曾小牛,李夕海,韩绍卿,等. 位场向下延拓三种迭代方法之比较[J]. 地球物理学进展,2011,26(3): 908-915. doi: 10.3969/j.issn.1004-2903.2011.03.016ZENG Xiaoniu, LI Xihai, HAN Shaoqin, et al. A comparison of three iteration methods for downward continuation of potential fields[J]. Progress in Geophysics, 2011, 26(3): 908-915. doi: 10.3969/j.issn.1004-2903.2011.03.016 曾小牛,刘代志,牛超,等. 改进高斯-牛顿法的位场向下延拓[J]. 测绘学报,2014,43(1): 37-44.ZENG Xiaoniu, LIU Daizhi, NIU Chao, et al. A modified Gauss-Newton method for downward continuation of potential field[J]. Acta Geodaetica et Gartographica Sinica, 2014, 43(1): 37-44. 陈龙伟,张辉,郑志强,等. 水下地磁辅助导航中地磁场延拓方法[J]. 中国惯性技术学报,2007,15(6): 693-697. doi: 10.3969/j.issn.1005-6734.2007.06.013CHEN Longwei, ZHANG Hui, ZHENG Zhiqiang, et al. Technique of geomagnetic field continuation in underwater geomagnetic aided navigation[J]. Journal of Chinese Inertial Technology, 2007, 15(6): 693-697. doi: 10.3969/j.issn.1005-6734.2007.06.013 曾小牛,李夕海,贾维敏,等. 位场各阶垂向导数换算的新正则化方法[J]. 地球物理学报,2015,58(4): 1400-1410. doi: 10.6038/cjg20150426ZENG Xiaoniu, LI Xihai, JIA Weimin, et al. A new regularization method for calculating the vertical derivatives of the potential field[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2015, 58(4): 1400-1410. doi: 10.6038/cjg20150426 XU Shizhe, YANG Jinyu, YANG Changfu, et al. The iteration method for downward continuation of a potential field from a horizontal plane[J]. Geophysical Prospecting, 2007, 55: 883-890. doi: 10.1111/j.1365-2478.2007.00634.x 张辉,陈龙伟,任治新,等. 位场向下延拓迭代法收敛性分析及稳健向下延拓方法研究[J]. 地球物理学报,2009,52(4): 1107-1113. doi: 10.3969/j.issn.0001-5733.2009.04.028ZHANG Hui, CHEN Longwei, REN Zhixin, et al. Analysis on convergence of iteration method for potential fields downward continuation and research on robust downward continuation method[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2009, 52(4): 1107-1113. doi: 10.3969/j.issn.0001-5733.2009.04.028 刘东甲,洪天求,贾志海,等. 位场向下延拓的波数域迭代法及其收敛性[J]. 地球物理学报,2009,52(6): 1599-1605. doi: 10.3969/j.issn.0001-5733.2009.06.022LIU Dongjia, HONG Tianqiu, JIA Zhihai, et al. Wave number domain iteration method for downward continuation of potential fields and its convergence[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2009, 52(6): 1599-1605. doi: 10.3969/j.issn.0001-5733.2009.06.022 于波,翟国君,刘燕春,等. 噪声对磁场向下延拓迭代法的计算误差影响分析[J]. 地球物理学报,2009,52(8): 2182-2188. doi: 10.3969/j.issn.0001-5733.2009.08.029YU Bo, ZHAI Guojun, LIU Yanchun, et al. Analysis of noise effect on the calculation error of downward continuation with iteration method[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2009, 52(8): 2182-2188. doi: 10.3969/j.issn.0001-5733.2009.08.029 王顺杰,朱海,栾禄雨. 水下地磁导航中位场积分迭代法收敛性分析[J]. 地球物理学进展,2009,24(3): 1095-1097. doi: 10.3969/j.issn.1004-2903.2009.03.040WANG Shunjie, ZHU Hai, LUAN Luyu. Constringency analysis of the iteration method for continuation of potential fields in underwater geomagnetism navigation[J]. Progress in Geophysics, 2009, 24(3): 1095-1097. doi: 10.3969/j.issn.1004-2903.2009.03.040 李星. 积分方程[M]. 北京: 科学出版社, 2008: 37-39 BATEMAN H. Some integral equations of potential theory[J]. Journal of Applied Physics, 1946, 17(2): 91-102. doi: 10.1063/1.1707698 BARZILAI J, BORWEIN J M. Two-point step size gradient methods[J]. IMA Journal of Numerical Analysis, 1988, 8(1): 141-148. doi: 10.1093/imanum/8.1.141 曾祝明. 对称Toeplitz矩阵特征值的快速算法[J]. 福建工程学院学报,2009,7(3): 301-303. doi: 10.3969/j.issn.1672-4348.2009.03.024ZENG Zhuming. A fast eigenvalue algorithm for symmetric Toeplitz matrices[J]. Journal of Fujian University of Technology, 2009, 7(3): 301-303. doi: 10.3969/j.issn.1672-4348.2009.03.024 陈龙伟,胡小平,吴美平,等. 空间与位场延拓新方法研究[J]. 地球物理学进展,2012,27(4): 1509-1518.CHEN Longwei, HU Xiaoping, WU Meiping, et al. Research on spatial domain continuation method for potential field[J]. Progress in Geophysics, 2012, 27(4): 1509-1518. 张志厚,吴乐园. 位场向下延拓的相关系数法[J]. 吉林大学学报(地球科学版),2012,42(6): 1912-1919.ZHANG Zhihou, WU Leyuan. Correlation coefficient method for downward continuation of potential fields[J]. Journal of Jilin University (Earth Science Edition), 2012, 42(6): 1912-1919. 姚长利,郝天珧,管志宁,等. 重磁遗传算法三维反演中高速计算及有效存储方法技术[J]. 地球物理学报,2003,46(2): 252-258. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2003.02.020YAO Changli, HAO Tianyao GUAN Zhining, et al. High-speed computation and efficient storage in 3D gravity and magnetic inversion based on genetic algorithms[J]. Chinese Journal of Geophysics, 2003, 46(2): 252-258. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.2003.02.020 王彦飞. 反问题的计算方法及其应用[M]. 北京: 高等教育出版社, 2007: 45, 49-51. 张志厚,吴乐园,王瑞赛,等. 位场向下延拓的CGNR法[J]. 中南大学学报(自然科学版),2013,44(8): 3273-3281.ZHANG Zhihou, WU Leyuan, WANG Ruisai, et al. CGNR method for potential field downward continuation[J]. Journal of Central South University (Science and Technology), 2013, 44(8): 3273-3281. 张志厚,王瑞赛. 位场向下延拓的法方程Lanczos方法[J]. 地球物理学进展,2013,28(2): 1064-1072. doi: 10.6038/pg20130261ZHANG Zhihou, WANG Ruisai. Normal equation Lanczos method for downward continuation of potential fields[J]. Progress in Geophysics, 2013, 28(2): 1064-1072. doi: 10.6038/pg20130261 张志厚. 位场向下延拓的数值计算方法[D]. 杭州: 浙江大学, 2013. 管志宁. 地磁场与磁力勘探[M]. 北京: 地质出版社, 2005: 100-101. 杨文采. 地震道的非线性混沌反演——Ⅰ. 理论和数值试验[J]. 地球物理学报,1993,36(2): 222-232. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.1993.02.011YANG Wencai. Nonlinear chaotic inversion of seismic traces:(I) Theory and numerical experiments[J]. Chinese Journal of Geophysics, 1993, 36(2): 222-232. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.1993.02.011 杨文采. 非线性地震道的混沌反演——Ⅱ. 关于Lyapunov指数和吸引子[J]. 地球物理学报,1993,36(3): 376-387. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.1993.03.012YANG Wencai. Nonlinear chaotic inversion of seismic traces: (II) Lyapunov exponents and attractors[J]. Chinese Journal of Geophysics, 1993, 36(3): 376-387. doi: 10.3321/j.issn:0001-5733.1993.03.012 -