Bending Capacity Calculation Method for Corroded Reinforced Concrete Beams
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摘要: 工程中钢筋混凝土梁纵向受力钢筋锈蚀情况复杂，梁上作用荷载形式多变. 为获取锈蚀RC （reinforced concrete）梁的抗弯承载能力，以锈蚀钢筋混凝土简支梁为研究对象，将锈蚀RC梁视为由混凝土和锈蚀底部纵筋组成的存在粘结-滑移的组合梁，依据混凝土与锈蚀钢筋之间的变形协调条件，给出了以挠度表达的锈蚀RC简支梁平衡微分方程；将平衡微分方程的齐次解作为单元形函数，推导出了锈蚀钢筋混凝土梁的单元刚度矩阵、等效节点荷载列阵以及每一荷载步锈蚀梁的内力计算公式；建立了能准确反应简支梁上荷载作用形式以及钢筋锈蚀状况的锈蚀RC梁抗弯承载力计算模型；最后通过17根锈蚀RC简支梁的试验数据对建议计算方法进行验证. 验证结果表明，抗弯承载力试验值与计算值之比的平均值为1.06，方差为0.012，二者吻合良好，该计算方法准确.Abstract: The corrosion state of longitudinally stressed steel bars in corroded reinforced concrete beams is very complicated. Moreover, the form of the load applied to beams is variable. In order to obtain the bending capacity of corroded RC (reinforced concrete) beams, the corroded RC beam with simple support is taken as the object, which is regarded as a composite beam composed of steel bars and concrete with bond and slip. Based on the deformation coordination conditions between corroded steel bars and concrete, the equilibrium differential equation of corroded reinforced concrete beam is expressed by deflection. By the homogeneous solution of the differential equilibrium equation that is used as the unit shape function, the element stiffness matrix, the equivalent node load matrix, and the internal force calculation formula of the corroded reinforced concrete beam is derived under each load step. The calculation method for the bending capacity of corroded reinforced concrete beams which can reflect the corrosion condition of the steel and the load form is established. The analytical method is validated with the test data of 17 corroded reinforced concrete beams. The average ratio of test results to predicted results is 1.06 and the variance is 0.012, which shows good agreement between test and prediction results, and desirable accuracy of the calculation method.
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Key words:
- reinforced concrete /
- simple supported beam /
- corrosion /
- stiffness matrix /
- bending capacity /
- calculation method
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机车车辆的曲线通过问题是车辆动力学系统研究课题中的一个重要领域，深入探究和理解车辆曲线通过行为及其机理是合理设计车辆及其轨道参数，提高车辆曲线通过性能的理论基础. 对车辆曲线通过理论及计算模型的研究经历了早期的经典曲线通过理论、线性稳态曲线通过、非线性稳态曲线通过和现阶段的非线性动态曲线通过理论4个阶段[1-2]，反映了对车辆曲线通过机理由定性到定量、由个体到整体、从局部到全面的系统认识过程，研究更趋实际和完善. 但动态曲线通过理论分析也更为复杂，不仅要考虑线路参数、轮轨接触关系变化，还要考虑车辆悬挂及其动态响应，即准确求解出车辆悬挂变化成为了车辆动态曲线通过计算的前提. 但查阅一般车辆悬挂计算的相关文献[1-14]发现，对车辆系统悬挂装置相对位移及悬挂力的计算并不多见，也不统一. 在常见车辆动态曲线通过计算中，大多仅列出各刚体的运动方程，而对车辆悬挂相对位移及悬挂力的具体计算却未给出详细的推导[1-3]；翟婉明[4]在《车辆-轨道耦合动力学》中对我国铁路机、客、货等基本车型的悬挂力进行了推导，并给出了相应计算公式，但书中货车模型采用的转向架为传统的轴箱导框式结构，与现有重载货车一系悬挂结构存在较大差异，在悬挂力计算公式中，仅考虑了线路曲率和超高影响，而忽略了悬挂点刚体间的侧滚角差和顺坡角差；王开云等[5-6]通过坐标变换方法分析了车辆在曲线轨道上的悬挂相对位移及其对轮重特性的影响，并给出了车辆在不同曲线段（缓和曲线、圆曲线）上悬挂点相对平移和转角的变化表，但为简化计算，忽略了悬挂点不同刚体间的顺坡角差；多数使用的SIMPACK、UM等动力学仿真软件往往是直接利用软件自带的曲线模块进行参数化建模及计算，对于软件如何处理悬挂相对位移及如何计算悬挂力的内核却难以知晓[7-14].
在曲线轨道，因外轨超高及曲率变化，内外钢轨形成的轨道面实际为曲面，在该轨道面上运行的车辆将产生动态扭曲，使得车辆悬挂点各刚体间的参考坐标系不再平行，须将不同坐标系变换到同一坐标系下才可进行相应计算[5]. 而重载货车及其转向架在沿用传统的两级刚度弹簧 + 摩擦斜楔减振的基础上，又增加了一系轴箱橡胶垫和常接触弹性滚子旁承等弹性支撑悬挂，悬挂点更多，悬挂计算也更为复杂[15-18]. 但无论车辆系统各刚体如何变化，悬挂点不同刚体坐标系（即质心坐标系）间的关系都可认为是某一坐标系（OB-XBYBZB）是另一坐标系（OA-XAYAZA）经平动（a，b，c）和转动（α，θ，γ）后形成的新坐标系，其中：α为侧滚角；θ为顺坡角；γ为中心角. 则两坐标系的相互变化关系为
[XBYBZB]=[1γ−θ−γ1αθ−α1][XA−aYA−bZA−c]=ArA−Ar0， (1) [XAYAZA]=A−1[XBYBZB]+[abc]=A−1rB+r0， (2) 式中：
${\boldsymbol{A}}= \left[1γ−θ−γ1αθ−α1 ；\right] ； {\boldsymbol{r}}_{\mathrm{A}}=\left[XAYAZA\right] $rB=[XBYBZB]；r0=[abc]. 所以，只要知道车辆悬挂点刚体间的相对平动（a，b，c）和转动（α，θ，γ）大小，通过式（1）或式（2）将不同刚体的坐标转换到同一参考坐标系下，即可进行车辆悬挂点相对位移及速度的计算.
1. 曲线轨道参数模型
铁路曲线一般包括水平曲线和竖曲线，本文只涉及水平曲线分析. 典型的曲线轨道如图1所示，由圆曲线连接前、后缓和曲线组成. 从直线经前缓和曲线到圆曲线时，线路曲率k和超高h由0分别增至1/R0（R0为圆曲线半径）和h0；圆曲线处，超高和曲率保持不变；从圆曲线经后缓和曲线到直线时，线路曲率k和超高h则分别由1/R0和h0减至0. 图1中坐标系定义如下（坐标轴符合右手法则）：
1） O-XYZ绝对坐标系，固结于水平面轨道中心处. X轴沿行车方向水平向前，Y轴方向水平向内，Z轴方向垂直向下；
2） O1-X1Y1Z1质点运动坐标系，固结在轨道曲面上运动的刚体质心，相对绝对坐标系X、Y和Z轴的转角分别为（α，θ，γ）.
为缓和因超高和曲率突变引起的冲击，在直线和圆曲线间需设置一条曲率和超高均连续变化的缓和曲线. 我国一般采用直线超高顺坡三次抛物线型缓和曲线[8]，即外轨超高h和曲率k都随缓和曲线长度线性变化. 根据图1所示和三次抛物线型的特性，则某一质点沿曲线轨道中心线运行时的超高h和转角（α，θ，γ）与各曲线段走行距离l的关系为
h={l2lh1h0，前缓和曲线,l=0∼lh1，h02，圆曲线,l=0∼ly，lh2−l2lh2h0，后缓和曲线,l=0∼lh2. (3) α={l2lh1a0h0，前缓和曲线,l=0∼lh1，h02a0，圆曲线,l=0∼ly，lh2−l2lh2a0h0,后缓和曲线,l=0∼lh2, (4) 式中：
$ {a}_{0} $ 为内外钢轨中心间距的一半.θ={h02lh1，前缓和曲线,l=0∼lh1，0，圆曲线,l=0∼ly，−h02lh2，后缓和曲线,l=0∼lh2. (5) γ={l22R0lh1，前缓和曲线,l=0∼lh1，lh12R0+lR0，圆曲线,l=0∼ly，lh12R0+lyR0+l22R0lh2，后缓和曲线,l=0∼lh2. (6) 2. 悬挂点超高差和转角差的求解
重载货车基本采用一系和二系两系悬挂，主要悬挂点有轮对与侧架间的轴箱悬挂、侧架与摇枕间的中央悬挂以及车体与摇枕间的弹性旁承支撑悬挂及心盘支撑等. 图2是重载货车进入曲线轨道后，各刚体部件的位置关系示意，图中：lt为转向架固定轴距的一半；lc为车辆定距的一半；ds为二系悬挂横向跨距的一半；dw为一系悬挂横向跨距的一半；R为线路曲线半径；X、Y、Z分别为纵向、横向和垂向位移自由度，ψ为摇头自由度，下标w、B分别表示轮对、摇枕，下标tL、tR分别表示左、右侧转向架. 假定轮对、摇枕和车体中心均沿曲线轨道中心向前运动，并以车辆1位轮对作为起始参考点，根据式（3） ~ （6）和车辆各刚体前、后和左、右位置距离关系，可确定出车辆各悬挂点刚体部件对应的超高和转角.
图 2 重载货车各刚体部件在曲线轨道上的位置关系Figure 2. Position relationships of the freight car rigid bodies on a curved track2.1 轮 对
假定车辆沿曲线轨道纯滚动时，可认为轮对中心与轨道中心重合，则轮对的超高和相应转角可直接利用式（3） ~ （6）进行计算，但需将式中l换成lwi，lwi为1 ~ 4位轮对在不同曲线段的走行距离，其中i = 1, 2, 3, 4；若以1位轮对lw1作为起始点，则lw2 = lw1－2lt，lw3 = lw1－2lc，lw4 = lw1－2（lc + lt）.
2.2 摇 枕
根据图2，可认为摇枕质心与曲线轨道中心线重合. 则相应的超高和转角也可直接按轨道曲线中心公式计算，只需将式中l换成lbj即可，lbj为前后摇枕在不同曲线段的走行距离，j = 1，2，分别表示前、后摇枕；若以1位轮对lw1作为起始点，则lb1 = lw1−lt，lb2 = lw1−lt−2lc.
2.3 侧 架
由于同一转向架的摇枕和左、右侧架的质心在横向共线，若忽略两者对应的曲率差异，则侧架的侧滚角和中心角与摇枕一致. 而左、右侧架与摇枕因横向位置差异，其超高和顺坡角与摇枕不同，但可根据几何位置关系推导，如式（7）、（8）.
超高：
htLj=hbj+dsαbj. (7) 顺坡角：
θtLj={h02lh1+dsh02a0lh1，前缓和曲线，0，圆曲线，−(h02lh2+dsh02a0lh2)，后缓和曲线， (8) 式中：
$ {h}_{\mathrm{b}j} $ 和$ {\alpha }_{\mathrm{b}j} $ （j = 1，2）分别为前、后摇枕的超高和中心角；下标L表示左侧架，当其改为R表示右侧架时，则式（7）、（8）右边的 + 号改为$ -\mathrm{号} $ .2.4 车 体
车体质心与曲线轨道中心线重合，则车体超高、曲率和各转角可直接利用式（3） ~ （6）计算，但需将式中l换成车体在各曲线段的走行距离lC，仍以1位轮对作为起始点，则lC = lw1−lt−lc.
计算出车辆各刚体的具体超高和转角后，即可计算出各悬挂点刚体间的相对超高差及转角差.
3. 悬挂点相对位移求解
计算车辆系统各悬挂点的相对位移必须要在同一参考坐标系下进行. 先需对车辆系统各刚体定义本体坐标系，如图1中质点坐标系O1-X1Y1Z1所示，坐标原点固结于各刚体质心；横向定义为刚体所在曲线位置的径向方向，即指向曲率中心；纵向为各刚体所在曲线位置的切向方向；而垂向定义为竖直向下方向.
求解悬挂点相对位移步骤如下：
步骤1 先建立各刚体的本体坐标系，并根据各悬挂点的几何位置和刚体运动自由度分析确定悬挂点在各刚体本体坐标系的坐标表达式；
步骤2 计算或直接给出悬挂点两刚体在曲线某位置的相对平动（a，b，c）和转动（α，θ，γ）值；
步骤3 按式（1）或式（2）进行坐标变换，将悬挂点的本体坐标转换到同一坐标系下，两者相减得出各悬挂点相对位移的表达式；
步骤4 结合车辆动力学计算求出的各刚体运动自由度值，代入相对位移表达式即可求出车辆各悬挂点的相对位移. 本文以求解车辆1位轮对和前左侧架悬挂点的相对位移作为算例来介绍整个过程，其他悬挂点的计算可参照执行.
令1位轮对的纵向、横向、垂向位移分别为Xw1、Yw1、Zw1，侧滚、点头、摇头分别为ϕw1、βw1、Ψw1；前左侧架的纵向、横向、垂向位移分别为XtL1、YtL1、ZtL1，侧滚、点头和摇头分别为ϕtL1、βtL1、ΨtL1；轮对质心与侧架质心垂向距离为htw. 则悬挂点在1位轮对和前左侧架本体坐标系的坐标分别如式（9）~式（11）.
悬挂点在前左侧架本体坐标系的位置：
rtt=[XtYtZt]=[XtL1+htwβtL1+ltYtL1+ltψtL1ZtL1+htw−ltβtL1]. (9) 悬挂点在1位轮对本体坐标系的位置：
rww=[XwYwZw]=[Xw1+dwψw1Yw1−dwZw1−dwϕw1]. (10) 1位轮对质心相对前左侧架质心转动和平移为
{A=[1γ−θ−γ1αθ−α1]，r0=[abc]≈[ltdw+ltγ2htw−Δhw1tL1], (11) 式中：
$\Delta {h}_{\mathrm{w}1\mathrm{t}\mathrm{L}1}$ 为1位轮对和前左侧架的超高差.将1位轮对悬挂点本体坐标向左侧架本体坐标系进行转换并简化（忽略小变量间的乘积项）得到
rtw=A−1rww+r0=[Xw1+dw(ψw1+γ)+ltYw1+ltγ2Zw1−dw(ϕw1+α)+htw−Δhw1tL1]. (12) 悬挂点相对位移为
Δrtw=rtt−rtw=[XtL1+htwβtL1+ltYtL1+ltψtL1ZtL1+htw−ltβtL1]−[Xw1+dw(ψw1+γ)+ltYw1+ltγ2Zw1−dw(ϕw1+α)+htw−Δhw1tL1]=[XtL1+htwβtL1−dw(ψw1+γ)−Xw1YtL1+ltψtl1−Yw1−ltγ2ZtL1−ltβtL1−Zw1+dw(ϕw1+α)+Δhw1tL1]. (13) 4. 仿真算例及应用
以我国27 t轴重C80E货车为例[17-18]，基于交叉支撑转向架重载货车-轨道耦合模型[19]，采用该方法对车辆通过曲线时各悬挂点的相对转角和相对位移进行动力学仿真. 车辆主要结构参数为：lc=4605 mm，lt=930 mm，dw和ds均为1003 mm，a0=746.5 mm. 曲线参数为：曲线半径800 m，最大外轨超高95 mm，前、后缓和曲线长度75 m，圆曲线长度50 m，前、后直线长度25 m. 车辆运行速度为80 km/h，即车辆以平衡最大超高通过曲线，且不考虑线路轨道不平顺谱的激扰.
图3为车辆通过该曲线时，车辆系统各悬挂点刚体间超高差的变化，由图3可见：车辆各刚体部件都在直线上时，超高差为0；在缓和曲线上时，因外轨超高随缓和曲线长度线性变化，而轮对质心与左、右侧架质心横向间距为dw，纵向间距为lt，故轮对与侧架以及侧架与摇枕悬挂点的超高差值也呈线性变化，但在前、后缓和曲线上的变化方向相反，且轮对与左、右侧架以及摇枕与左、右侧架超高差也刚好相反；而摇枕质心和车体质心的横向距离为0，纵向间距为lc，超高差由两者进出曲线前后不同步引起，所以其超高差值在缓和曲线上保持不变，其值也明显比轮对与侧架以及侧架与摇枕的超高差小；在圆曲线上，因外轨超高保持最大超高不变，悬挂点的超高差也相应不变；在直缓点和缓圆点附近，因悬挂点刚体质心同时处在不同的曲线段，超高差则会发生明显的转折.
图 3 车辆系统悬挂点刚体间的超高差Figure 3. Superelevation height differences between the rigid bodies of vehicle system suspension points悬挂点侧滚角差值的变化如图4所示，因同一转向架的左、右侧架质心和摇枕质心在径向共线，即它们在同一时刻的侧滚角相同，故车辆悬挂点的侧滚角差只需考虑各轮对与前、后侧架以及前、后摇枕与车体间的侧滚角差. 由图4可见：在直线和圆曲线段，悬挂点的侧滚角差值均为0；在缓和曲线段，各侧滚角差值最大并保持不变，其中前、后轮对与侧架以及前、后摇枕与车体间的侧滚角差方向相反，在前、后缓和曲线上的方向也刚好相反；在直缓点和缓圆点附近，悬挂点的侧滚角差会出现明显的突变，特别是轮对与侧架间的悬挂点，几乎呈直角变化，摇枕与车体间的侧滚角差变化也很快，且差值较大，最大为3.907 mrad.
图 4 车辆系统悬挂点刚体间的侧滚角差Figure 4. Rolling angle differences between the rigid bodies of vehicle system suspension points图5为各悬挂点顺坡角差值的变化. 由图5可知：当车辆完全处于直线或圆曲线段时，各悬挂点顺坡角差值为0；在缓和曲线段时，轮对与侧架间、侧架与车体间的顺坡角差值最大并保持不变，且在前、后缓和曲线上的方向相反，而摇枕与车体因其质心在纵向共线，在缓和曲线段两者顺坡角相同，故顺坡角差值为0；在直缓点和缓圆点附近，因悬挂点两刚体质心处在不同的曲线段上，一个为0，一个为定值，所以会出现明显的跳跃现象，且左侧比右侧大（因左侧外轨超高大，故顺坡角更大）.
图 5 车辆系统悬挂点刚体间的顺坡角差Figure 5. Slope angle differences between the rigid bodies of vehicle system suspension points悬挂点中心角差（或称摇头角差）变化如图6所示. 同理，因左、右侧架和摇枕质心在径向共线，忽略内、外侧轨道的曲率差异，同一转向架的侧架和摇枕的中心角可认为是同步变化，则只需考虑轮对与侧架以及摇枕与车体间的悬挂点中心角差. 由图6可见：在直线段，中心角差均为0；在前缓和曲线段，中心角差随轨道长度线性增加，后缓和曲线段，则线性减小，且前、后轮对与侧架和前、后摇枕与车体间的中心角差的正负值刚好相反，前为正，后为负；在圆曲线，各悬挂点的中心角差达到最大且保持不变.
图 6 车辆系统悬挂点刚体间的中心角差Figure 6. Yawing angle differences between the rigid bodies of vehicle system suspension points求出各悬挂点刚体动态的相对平动和转动后，给定重载货车一二系悬挂刚度和阻尼参数，代入车辆系统运动微分方程，进行车辆曲线通过动力学仿真计算，即可求解出重载货车系统各悬挂点的相对位移. 图7是重载货车一系和二系悬挂点相对位移的计算结果（图中均是前项减后项）. 由图7可见：因曲线轨道的曲率和超高变化，重载货车通过曲线时，其一系和二系悬挂相对位移均不断变化，车辆的前、后悬挂和左、右悬挂均存在不同程度差异，且与曲线线路的超高、侧滚角、顺坡角和中心角差值的单个变化特性也存在较大差异. 仿真发现：当单独不计线路侧滚角差、顺坡角差或中心角差时，与考虑全部线路偏差角时悬挂相对位移极值的最大偏差率分别可达42.85%、24.03%和71.42%. 这说明重载货车通过曲线时的悬挂相对位移是线路参数和车辆参数综合作用的结果，仿真计算中要准确确定车辆悬挂的相对位移，需要全面考虑车辆结构参数和轨道几何参数，忽略其中某些参数，将影响车辆悬挂相对位移及悬挂力，进而影响车辆系统动力学仿真计算结果的准确性.
图 7 悬挂点刚体间的相对位移Figure 7. Relative displacements between rigid bodies of the suspension points5. 结 论
1） 悬挂点相对位移与线路侧滚角、顺坡角和摇头角差的变化特性均存在差异，说明车辆通过曲线时的悬挂相对位移是车辆参数或曲线轨道参数综合作用的结果. 但从各悬挂点相对转角和相对位移随曲线线路变化看，悬挂点相对位移在缓和曲线上的变化更为明显，且在前、后缓和曲线上的变化趋势相反，而在圆曲线上相对位移变化不大，甚至无变化.
2） 通过先确定车辆在曲线轨道上悬挂点各刚体间的平动和转角差，再通过坐标变换计算车辆悬挂点相对位移的方法，可以准确计算出车辆各悬挂点的相对位移. 利用该方法进行计算机编程，可推广至空间任意两刚体间相对位移及速度的仿真计算.
3） 该方法考虑了车辆和轨道结构相关参数，无需简化处理，使车辆在曲线轨道上悬挂力的计算更为准确，一定程度上丰富和完善了车辆曲线通过仿真计算方法. 基于此方法开展车辆及轨道相关参数的优化分析，可为铁路车辆及线路工程设计、维修等实际应用提供一定指导.
致谢：牵引动力国家重点实验室开放课题资助项目（TPL2209）、高校博士科研启动基金资助项目（MY2015B009）.
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图 2 钢筋与混凝土间的粘结-滑移关系
Figure 2. Bond-slip relationship between uncorroded steel bars and concrete
图 3 锈蚀钢筋和混凝土的本构关系
Figure 3. The constitutive relation of corroded steel bars and concrete
表 1 锈蚀RC梁试验值与计算值对比表
Table 1. Comparison of flexural strength between test results and prediction results of corroded reinforced concrete beams
文献 编号 b/mm × h/mm l0/mm 锈蚀率ρw/% 受拉纵筋 fy/MPa fcMPa As′ /mm2 Msu Mju Msu /Mju [2] BT1-2-6 150 × 150 900 11.82 2 × 10 520 38.90 2 × 8 10.46 8.59 1.22 BT1-3-6 150 × 150 900 16.44 2 × 10 520 39.48 2 × 8 9.15 7.98 1.15 BT1-2-8 150 × 150 900 17.44 2 × 10 520 28.39 2 × 8 7.82 7.71 1.01 BT1-3-8 150 × 150 900 23.92 2 × 10 520 39.48 2 × 8 6.48 7.00 0.93 BT3-3-6 150 × 150 900 13.26 2 × 10 520 37.58 2 × 8 9.28 8.38 1.11 BT3-2-8 150 × 150 900 16.16 2 × 10 520 28.39 2 × 8 9.12 7.88 1.16 BT3-3-8 150 × 150 900 25.04 2 × 10 520 28.39 2 × 8 6.60 6.74 0.98 [9] BA I-5 150 × 200 1 200 7.39 216 425.47 25.93 212 21.37 22.13 0.97 BA I-6 150 × 200 1 200 8.37 216 425.47 25.93 212 20.00 21.82 0.92 BA I-7 150 × 200 1 200 9.91 216 425.47 25.93 212 20.84 21.33 0.98 BA I-8 150 × 200 1 200 10.08 216 425.47 25.93 212 19.22 21.28 0.90 BA I-9 150 × 200 1 200 11.55 216 425.47 25.93 212 18.34 20.82 0.88 BB II-5 150 × 200 1 200 6.60 216 574.56 35.55 212 35.88 30.29 1.18 BB II-6 150 × 200 1 200 7.16 216 574.56 35.55 212 33.08 30.05 1.10 BB II-7 150 × 200 1 200 8.65 216 574.56 35.55 212 34.39 29.42 1.17 BB II-8 150 × 200 1 200 9.03 216 574.56 35.55 212 34.48 29.25 1.18 BB II-9 150 × 200 1 200 10.21 216 574.56 35.55 212 32.13 28.75 1.12 
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