基于CDEM的砂卵石地层盾构开挖面稳定性分析

薛亚东; 张森; 李兴; 葛嘉诚

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20170406

摘要: 为探究砂卵石地层中盾构开挖工作面失稳现象的机理，采用CDEM （continuum-based discrete element method）可变形块体离散元方法，建立准连续介质模型，对砂卵石土三轴压缩试验开展数值模拟，以分析其细观力学特性；基于“颗粒流动”、“土拱效应”、“超挖出土”等特点，通过平面三角块体离散元建立模拟砂卵石地层盾构开挖面超挖出土的二维动态离散元模型，研究土拱效应、空洞区发展等开挖面失稳的渐进演化机制. 研究结果表明：砂卵石土三轴压缩试验宏观应力应变曲线可分为线弹性阶段、弹塑性阶段、理想塑性阶段；卵石作为粗粒相颗粒存在骨架增强作用，砂卵石接触界面对宏观强度具有弱化作用；通过以土拱效应为标定准则的Hopper Flow标定试验可有效得到不同尺度平面三角形离散单元摩擦角的转换关系；土拱效应显著存在于开挖面前方并随着开挖面超挖出土渐进发展，达到极限状态后逐渐破坏消散；空洞区始于螺旋输送机底部，随超挖出土逐步向上方和前方扩展，最终在击穿承载土拱后到达地表，形成“水滴状”空洞区；从不同角度提出了三类超挖量的控制标准.

关键词:

Abstract: The instability mechanism of shield tunnel excavation working face in a sandy cobble stratum was explored, and the CDEM (continuum-based discrete element method) was adopted to establish a quasi-continuous numerical model. Triaxial compression tests of sand-cobble soil were carried out numerically to analyse its macro–mesoscopic mechanical characteristics. Based on the features of " particle flow”, " soil arch effect”, and " over-excavation”, a 2D dynamic discrete element model was established to simulate the tunnel working face over-excavation with plane triangular blocks. The progressive instability mechanisms of the tunnel face (such as soil arch effect and cavity zone) were studied. The results show that the macroscopic stress-strain curve of the sandy cobble soil triaxial compression test can be divided into linear elastic, elastoplastic, and ideal plastic stages. The cobble enhances the soil structure as coarse granular particles. The contact surface of the cobble and sand weakens the macroscopic strength. The Hopper flow calibration test with the soil arching effect as the calibration criterion can effectively obtain the friction angle transformation relationships of discrete plane triangles of different scales. The arching effect is notably ahead of the face, develops gradually with over-excavation, and finally dissipates gradually after reaching the limit state. Void regions start from the bottom of the screw conveyor, develop forward and upward gradually with over-excavation and finally cut through the load-bearing arch, reaching the ground surface and forming water-drop shaped void regions. Three types of control standards for over-excavation are proposed based on different strategies.

Key words:

tunnel engineering /
numerical simulation /
sandy cobble stratum /
stability of shield tunnel excavation face /
soil arching effect

随着我国交通行业和互联网信息技术的快速发展，物流服务信息化水平和专业能力得到了大幅度提高. 物流服务行业的迅速发展，有助于提升产品的运输效率，降低企业物流成本，提升企业自身的核心竞争力. 在激烈的竞争中，物流服务需求方的目标是用最低的成本获得最满意的物流服务，而物流服务供给方要在物流需求方满意的同时追求较高的利润，供需双方的交易是典型的不交叉关系，两者的匹配决策为自主自愿的市场化运作，其合作特征符合双边匹配理论基本要求，适用双边匹配理论和匹配决策方法进行研究分析.

在物流服务供需双边匹配决策问题中，通常物流服务供需匹配的供方或需方需要对对方做出一定的偏好排序，即供给方或需求方需要具备对对方的“敏感性偏好”，在该问题的研究中，根据供需双方各自的评价指标给出完全偏好序信息是常见的研究方法. 因此，基于完全偏好序的双边匹配问题研究备受关注，樊治平等^[1]在基于完全偏好序信息的一对一双边匹配问题中,以双边主体的匹配满意度最大构建了多目标优化模型，利用双边主体的最高可接受偏好序算法进行求解获得匹配结果. 孔德财等^[2]针对一对一双边匹配问题，考虑匹配的稳定性、公平性和满意性，以匹配主体的满意度最大及匹配主体间的满意度绝对差异最小建立了多目标优化模型. 姜艳萍等^[3]针对基于偏好序的双边匹配问题,提出了具有抗操作和抗自亏性的匹配方法. 张笛等^[4]在考虑匹配特征基础上，提出了多重偏好下的一对一多阶段双边匹配方法. Dalzell等^[5]认为当用于匹配的分类变量有误差时，可以同时估计回归模型和匹配记录，提出了一种贝叶斯匹配方法. Li等^[6]提出了一种基于双重犹豫模糊偏好信息的一对一双边匹配方法，在稳定匹配约束下，以双方的满意度最大、差异度最小建立多目标优化模型. Yu等^[7]针对人事岗位匹配问题提出了新的直觉模糊Choquet积分聚2集算子，构建了一个直观的模糊一对一双边匹配模型. 李铭洋等^[8]针对基于序值偏好信息的一对多双边匹配问題构建了以匹配主体序值之和最小为目标的多目标优化模型. Zhang等^[9]对多对多双边匹配的匹配因素进行了研究，构建了一种顺序联结反应模型. Chen等^[10]研究了弱偏好序的多对多双边匹配问题，提出了一种新的Pareto稳定匹配算法. Klaus等^[11]利用两阶段非揭示机制研究了多对多匹配问题. Zhang等^[12]提出了一种基于失望理论的不完全模糊偏好序一对一双边匹配决策理论，构建了确定最佳匹配解的双目标优化模型. Jiao等^[13]考虑了多对多双边匹配中的激励相容性问题. Fan等^[14]考虑心理因素将预期的各代理对相对代理的偏好序数基于不确定偏好序数计算，根据失望理论得到可能的匹配结果. Chen等^[15]提出了一种根据参与者的主观偏好修正一些关键目标，有效地提高了双边参与者的满意度. 林杨等^[16-19]也进行了相应的研究.

既有文献对一对一、多对多双边匹配问题进行了一定的研究，主要从整体满意度角度考虑匹配主体进行匹配，而对匹配主体中个体的满意度及其均衡性较少涉及，个体满意度未得到充分满足，很难保证匹配的公平性. 在保证整体满意度前提下，考虑双边匹配主体中个体在匹配中的满意度，主体中个体的匹配满意度较均衡时才能达到公平的双边匹配. 鉴于此，本文充分考虑整体满意度和个体满意度，构建基于完全偏好序物流服务供需多对多双边匹配两阶段优化模型，并基于NSGA-Ⅱ（non-dominated sorting genetic algorithm-Ⅱ）和线性规划方法设计模型求解算法.

1. 问题描述

假设所有物流服务供需双方都要接受决策者的指令，决策者给出多种匹配方案后，物流服务供需方根据各自不同的偏好选择匹配方案. 假设在物流服务供需双方数量充足的情况下，物流服务需求方其集合为 $A = \left\{ {{A_1},{A_2}, \cdots ,{A_m}} \right\}$ $（m\geqslant 2）$ ， ${A_i}$ 表示第 $i$ 个物流服务需求方， $i{\text{ = 1}},2, \cdots ,m$ ；物流服务供给方其集合为 $B = \left\{ {{B_1},{B_2}, \cdots ,{B_n}} \right\}$ $（n\geqslant 2)$ ， ${B_j}$ 表示第 $j$ 个物流服务供给方， $j{\text{ = }}1,2, \cdots ,n$ . 则 $I{\text{ = }}\left\{ {{\text{1}},2, \cdots ,m} \right\}$ ， $J = \{ {{\text{1}},2, \cdots ,n} \}$ . 设 ${{\boldsymbol{R}}_i}{\text{ = }}( {{r_{i1}},{r_{i2}}, \cdots ,{r_{in}}} )$ 为需求方 ${A_i}$ 给出的关于供应方 $B$ 的偏好序向量，其中 ${r_{ij}}$ 为需求方 ${A_i}$ 把供应方 ${B_j}$ 排在第 ${r_{ij}}$ 位. 设 ${{\boldsymbol{T}}_j}{\text{ = }}( {{t_{1j}},{t_{2j}}, \cdots ,{t_{mj}}} )$ 为供应方 ${B_j}$ 给出的关于需求方 $A$ 偏好序向量，其中 ${t_{ij}}$ 为需求方 ${B_j}$ 把供给方 ${A_i}$ 排在第 ${t_{ij}}$ 位.

1.1 参数和变量定义

基于完全偏好序的物流服务供需双边匹配模型中的相关参数与变量定义如下：

${\alpha _{ij}}$ ——第 $i$ 个物流服务需求方 ${A_i}$ 对第 $j$ 个物流服务供应方 ${B_j}$ 的满意度；

${\beta _{ij}}$ ——第 $j$ 个物流服务供应方 ${B_j}$ 对第 $i$ 个物流服务需求方 ${A_i}$ 的满意度；

${p_i}$ ——与第i个物流服务需求方匹配的供应方最大个数；

${q_j}$ ——与第 $j$ 个物流服务供应方匹配的需求方最大个数；

${h_i}$ ——与第 $i$ 个物流服务需求方匹配的供应方个数；

${l_j}$ ——与第 $j$ 个物流服务供应方匹配的需求方个数；

${x_{ij}}$ ——第 $i$ 个物流服务需求方 ${A_i}$ 与第 $j$ 个物流服务供应方 ${B_j}$ 匹配，0-1变量，其中 ${x_{ij}}$ = 0表示 ${A_i}$ 与 ${B_j}$ 不匹配， ${x_{ij}}$ = 1表示 ${A_i}$ 与 ${B_j}$ 匹配.

1.2 物流服务供需方满意度

${\alpha _{ij}}$ 和 ${\beta _{ij}}$ 的表达式如下：

${\alpha _{ij}} = l({r_{ij}}),$

${\beta _{ij}} = g({t_{ij}}),$

式中： $l( {\text{•}} )$ 和 $g({\text{•}} )$ 均为单调递减函数.

按照完全偏好序的物流服务供需方双边匹配问题的描述，本文规定物流服务供需双方偏好序的倒数即为物流服务供需双方对对方的满意度，则满意度 ${\alpha _{ij}}$ 和 ${\beta _{ij}}$ 可分别表示为

${\alpha _{ij}} = \frac{1}{{{r_{ij}}}},$

(1)

${\beta _{ij}} = \frac{1}{{{t_{ij}}}}.$

(2)

基于完全偏好序向量 ${{\boldsymbol{R}}_i}$ 和 ${{\boldsymbol{T}}_j}$ ，分别建立完全偏好序矩阵 ${\boldsymbol{R}} = {\left( {{r_{ij}}} \right)_{m \times n}}$ 与 ${\boldsymbol{T}} = {\left( {{t_{ij}}} \right)_{m \times n}}$ . 依据式（1）和式（2），完全偏好序矩阵R与T分别转化为完全满意度值矩阵 ${{\boldsymbol{S}}_A} = {\left( {{\alpha _{ij}}} \right)_{m \times n}}$ 与 ${{\boldsymbol{S}}_B} = {\left( {{\beta _{ij}}} \right)_{m \times n}}$ .

2. 模型构建

本文构建多对多物流服务供需双边匹配两阶段优化模型，第1阶段以物流服务需求方的整体满意度最大及物流服务需求方个体满意度的方差最小构建匹配模型（同理建立物流服务供给方匹配模型），利用遗传算法进行模型求解得到物流服务供需方理想点的双边匹配Pareto解集；第2阶段构建以供需双方满意度与理想点满意度差最小的多目标优化模型，利用遗传算法进行模型求解得到双边匹配Pareto解集.

2.1 第1阶段优化模型

1）针对物流服务需求方 ${A}$ ，依据满意度值矩阵 ${{\boldsymbol{S}}_A} = {\left( {{\alpha _{ij}}} \right)_{m \times n}}$ ，以物流需求方整体满意度及个体满意度为优化目标，令 ${f_A} = \left({{\displaystyle\sum\limits_i {\sum\limits_j {{\alpha _{ij}}{x_{ij}}} } }}\right)\bigg/{m}$ 为物流服务需求方的个体满意度平均值.

构建第1阶段物流服务需求方优化模型1：

$\max \;{{\textit{Z}}_1} = \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^n {{\alpha _{ij}}{x_{ij}}} } ,$

(3)

$\min \;{{\textit{Z}}_2} = \frac{{\displaystyle \sum\limits_i {{{\left( {\displaystyle\sum\limits_j {{\alpha _{ij}}{x_{ij}} - {f_A}} } \right)}^2}} }}{{\displaystyle\sum\limits_i {\displaystyle\sum\limits_j {{x_{ij}}} } }};$

(4)

s.t.

$\quad\displaystyle\sum\limits_{j = 1}^n {{x_{ij}} \leqslant {p_i}},$

(5)

$\quad\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{x_{ij}} \leqslant {q_j}},$

(6)

$\quad\sum\limits_{j = 1}^n {{\alpha _{ij}}{x_{ij}}} > \sum\limits_{k = 1}^{{h_i}} {\frac{1}{{n - (k - 1)}}},$

(7)

$\quad\sum\limits_{i = 1}^m {{\beta _{ij}}{x_{ij}}} > \sum\limits_{\lambda = 1}^{{t_j}} {\frac{1}{{m - (\lambda - 1)}}}.$

(8)

第1阶段物流服务需求方优化模型1，只考虑物流服务需求方主体A总体满意度和物流服务需求方 ${A_i}$ 个体满意度方差. 式（3）、（4）为目标函数；式（3）表示在严格双边匹配意义下最大化物流服务需求方主体A关于物流服务供给方主体匹配的总体满意度，式（4）表示在严格双边匹配意义下物流服务需求方个体 ${A_i}$ 与供给方个体 ${B_j}$ 匹配， ${A_i}$ 的个体满意度方差最小；式（5）表示每个物流服务需求方主体可以与多个物流服务供应方主体匹配；式（6）表示每个物流服务供给方主体可以与多个物流服务需求方主体匹配；式（7）保证物流服务需求方个体 ${A_i}$ 匹配的供应方不是最差匹配（例如，与需求方 ${A_1}$ 匹配的供应方数量是2个，这2个供应方不能是需求方 ${A_1}$ 在满意度排序中最后两位的供应方），其中 ${h_i} = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^n {{x_{ij}}}$ ；式（8）保证物流服务供给方个体 ${B_j}$ 匹配的需求方不是最差匹配，其中 ${t_j} = \displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {{x_{ij}}} .$

2）针对物流服务供给方B，依据满意度值矩阵 ${{\boldsymbol{S}}_B} = {\left[ {{\beta _{ij}}} \right]_{m \times n}}$ ，以物流供给方整体满意度及个体满意度为优化目标，令 ${f_B} = \left({{\displaystyle\sum\limits_i {\sum\limits_j {{\beta _{ij}}{x_{ij}}} } }}\right)\bigg/{n}$ 为物流服务供给方的满意度平均值.

构建第1阶段物流服务供给方优化模型2，模型2只考虑物流服务供给方主体B总体满意度和物流服务需求方 ${B_j}$ 个体满意度方差，与模型1类似，这里不再赘述.

2.2 第2阶段优化模型

第2阶段模型中，考虑物流服务供需主体的整体满意度与供需双方在匹配时理想值的差值最小. 构建第2阶段优化模型3：

$\min\; {{\textit{Z}}_5} = Z_1^* - \displaystyle\sum\limits_i {\sum\limits_j {{\alpha _{ij}}{x_{ij}}} },$

(10)

$\min \; {{\textit{Z}}_6} = Z_3^* - \displaystyle\sum\limits_i {\sum\limits_j {{\beta _{ij}}{x_{ij}}} };$

(11)

s.t.

$\quad\sum\limits_{j = 1}^n {{x_{ij}} \leqslant {p_i}} ,$

(12)

$\quad\sum\limits_{i = 1}^m {{x_{ij}} \leqslant {q_j}}.$

(13)

优化模型3中： $Z_1^*$ 为优化模型1中只考虑物流服务需求方主体A总体满意度的理想值； $Z_3^*$ 为优化模型2中只考虑物流服务供给方主体B总体满意度的理想值；式（9）、（10）为目标函数，式（9）表示在严格双边匹配意义下最小化物流服务需求方主体A关于物流服务供给方主体匹配的整体满意度与理想值之间的差值，式（10）表示在严格双边匹配意义下最小化物流服务供给方主体B关于物流服务需求方主体匹配的整体满意度与理想值之间的差值；式（11）表示每个物流服务需求方主体可以与多个物流服务供应方主体匹配；式（12）表示每个物流服务供给方主体可以与多个物流服务需求方主体匹配.

3. 模型求解

3.1 第1阶段模型求解

模型1为双目标非线性0-1规划问题，优化目标分别为整体满意度 ${Z_1}$ 和个体满意度 ${Z_2}$ ，由于 ${Z_2}$ 为非线性表达式，因此，该问题没有精确算法. 解决此类问题的最好方法是基于NSGA-Ⅱ的多目标优化算法^[20]. 本文将从以下3个方面进行算法设计.

1）个体编码

如图1所示，个体采用多层0-1编码，总长度为 $m \times n$ ，第 $i$ 行第 $j$ 列的编码值如果为1表示需求方 $i$ 和供应方 $j$ 匹配，否则为两者不匹配. 对于第 $i$ 行编码，其和必须小于等于 ${p_i}$ ，表示与物流服务需求方 ${A_i}$ 匹配的供给方个数最多不超 ${p_i}$ ；同理，对于第 $j$ 列编码，其和必须小于等于 ${q_j}$ .

图 1 个体编码

Figure 1. Individual encoding

下载: 全尺寸图片幻灯片

2）适应度函数

针对物流服务需求方， ${Z_{\text{1}}}$ 为整体满意度，优化目标为整体满意度最大，可采用 $1/{Z_1}$ 作为该目标的适应度函数， ${Z_2}$ 为个体满意度，优化目标为个体满意度差异最小，可采用 ${Z_2}$ 直接作为该目标的适应度函数.

3）种群进化策略

一般情况下，通过交叉获得新个体的方法来保证在进化过程中群体多样性. 由于本模型中个体的行和列均有约束，个体的合法性采用惯常的交叉方法无法得到保证，基于上述考虑，设计一种能够满足模型中约束条件的行（列）交叉算子，计算步骤如下：

步骤1　随机选中两个父个体，交换其奇数行（列）生成两个子个体；

步骤2　针对每一个子个体，从0到 $n$ （ $m$ ）循环检查其第 $j$ 列（第 $i$ 行）是否满足条件　　 $\displaystyle\sum\limits_{i = 1}^m {x_{ij}} \leqslant$ ${q_j} \left ( \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^n {{x_{ij}} \leqslant {p_i}}\right )$ ，如果全部满足，则所有子个体均为合法个体；

步骤3　对于非法个体，选择不满足步骤2中条件的列（行），定位其奇数行中第1 次出现元素1的行列值，尝试与本行（列）第1个元素0交换位置，交换后分别检查交换列（行）是否满足步骤2中条件，如果满足，则修正后的子个体合法，如果不满足，重新尝试与本行（列）其他元素0交换位置，再次检查，直到条件满足.

以某物流供需服务为例，共有4个物流服务需求方和6个物流服务供给方，4个物流服务方可匹配的供给方个数分别不超过2、3、2、2，6个物流服务供给方可匹配的需求方个数分别不超过2、2、2、2、2、1. 以如图2所示两个父个体的行交叉为例，首先将父个体1和父个体2的第1、3行交换，生成子个体1和子个体2，下一步分别检查子个体1和子个体2的合法性.

图 2 行交叉示例

Figure 2. Example of row-cross operator

下载: 全尺寸图片幻灯片

对于子个体1，第6列的元素和为2，不满足可匹配的需求方个数约束，需要进行修正，第6列第1个元素1出现在第1行，首先与第1行第2列的元素0交换，交换后分别检查第2列和第6列，第6列元素和为1，满足要求，但第2列元素和为3，不满足可匹配的需求方个数约束，再次尝试第1行第3列的元素0交换，交换后分别检查第3列和第6列，均满足可匹配的需求方个数约束，子个体1合法. 同理，对于子个体2，行交叉后也不满足可匹配的需求方个数约束，将第3列第3行的元素1和第1列第3行的元素0交换后，个体合法.

为防止早熟收敛，在交叉的基础上引入适度的变异. 变异操作采用行（列）交换变异法得到新个体，核心思想是随机选择个体，同时基于随机方法选择两行（列），将被选个体的选中行进行交换，生成一个新个体，并检查个体的合法性. 如果个体非法，从导致个体非法的行中找到第1个元素1，与被交换行中的相同位置元素交换位置，交换后分别检查交换列（行）是否满足步骤2中条件，如果满足，则修正后的子个体合法，如果不满足，继续在导致个体非法的行中查找元素1，与被交换行中的相同位置元素交换位置，再次检查，直到条件满足.

以图3所示个体为例，选中个体的2、3行，进行交换，交换后第2行满足可匹配的需求方个数约束，但第3行元素之和为3，不满足可匹配的需求方个数约束，在第3行中查找第1个元素1，其位于第3行第1列，与第2行第1列元素进行交换，交换后2、3行同时满足可匹配的需求方个数约束，个体合法.

3.2 第2阶段模型求解

针对第1阶段优化得到的Pareto最优解中，根据对整体满意度和个体满意度的偏好，供需双方决策者分别选择合理的整体满意度作为第2阶段模型的理想点 $Z_1^*$ 和 $Z_3^*$ ，多目标函数的最优值与理想点的距离越接近越好，利用线性规划方法求解.

加权将多目标优化模型转化为单目标优化模型4：

图 3 行变异示例

Figure 3. Example of row variation operator

下载: 全尺寸图片幻灯片

$\begin{split} &\min \;F = \varepsilon \left(Z_1^* - \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^m {{\alpha _{ij}}{x_{ij}}} } \right) + \hfill \\ &{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} (1 - \varepsilon )\left(Z_3^* - \sum\limits_{i = 1}^m {\sum\limits_{j = 1}^m {{\beta _{ij}}{x_{ij}}} } \right); \end{split}$

(15)

s.t.

$\quad \sum\limits_{j = 1}^n {{x_{ij}} \leqslant {p_i}} ,$

(16)

$\quad \sum\limits_{i = 1}^m {{x_{ij}} \leqslant {q_j}}.$

(17)

在现实的物流服务双边匹配问题中, $\varepsilon$ 和1− $\varepsilon$ 可被分别视为物流供需双方主体的重要程度，通常由中介依据物流供需双边主体的地位来考虑如何确定权重. 若认为物流供需双边主体在匹配过程中处于平等地位，则有 $\varepsilon$ = 0.5. 若认为物流供需双边主体在匹配过程中的地位不同，即一方主体与另一方主体相比在匹配过程中显得更重要，则有 $0 \leqslant \varepsilon \leqslant 1$ ， $\varepsilon$ 取值从0.0001～1.0000，以步长0.0001循环，通过线性规划方法进行求解，可获得多对多物流服务供需双边匹配的Pareto解集.

4. 算例分析

某地区的中介公司收到( ${A_1},{A_2},{A_3},{A_4},{A_5},{A_6}$ )6个物流服务外包公司的相关需求信息，而中介公司里有( ${B_1},{B_2},{B_3},{B_4},{B_5}$ ) 5个物流企业的信息. 相关供需双方的满意度排序见表1和2.

表 1 需求方A对供给方B的排序

Table 1. Preference list of demand A versus supply B

需求方	B₁	B₂	B₃	B₄	B₅
A₁	2	1	3	4	5
A₂	1	5	4	3	2
A₃	4	2	5	1	3
A₄	2	4	1	5	3
A₅	4	1	5	2	3
A₆	3	1	5	2	4

下载: 导出CSV

| 显示表格

表 2 供给方B对需求方A的排序

Table 2. Preference list of supply B versus demand A

供给方	A₁	A₂	A₃	A₄	A₅	A₆
B₁	3	1	2	5	4	6
B₂	6	4	1	5	2	3
B₃	4	3	2	5	6	1
B₄	5	4	1	3	6	2
B₅	1	3	4	6	5	2

下载: 导出CSV

| 显示表格

针对表1和表2的排序信息，假设每个物流服务需求方A可选择服务供应方最大数量分别为2、3、2、4、2、1，而物流服务供应方B可向需求方提供匹配的最大数量为3、2、2、2、1. 根据求解方法，在第1阶段考虑个体满意度，分别针对需求方A和供给方B进行优化，可分别获得供需双方的整体满意度和个体满意度Pareto前沿（如图4、5所示）.

图 4 需求方A的整体满意度与个体满意度Pareto最优前沿

Figure 4. Pareto optimal front of overall satisfaction and individual satisfaction of demand A

下载: 全尺寸图片幻灯片

假设需求方A和供给方B可接受的个体满意度阈值均为0.22，则供需双方可选择的方案如图4、5所示，供需双方整体满意度的理想点为5.98和5.23，在此理想点下，根据基于理想点的模型求解方法，可获得如图6所示的整体满意度Pareto最优前沿.

对于图6中整体满意度Pareto最优解，可获得需求方A对供给方B间的匹配关系，假设供需双方可接受的整体满意度值为(5.93,5.20)，则匹配关系如图7所示.

图 5 供应方B的整体满意度与个体满意度Pareto最优前沿

Figure 5. Pareto optimal front of overall satisfaction and individual satisfaction of supply B

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 6 供需双方个体满意度限制下的整体满意度Pareto前沿

Figure 6. Pareto optimal front of overall satisfaction constrained by individual satisfactions of supply and demand sides

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 7 供需双方整体满意度为(5.93,5.20)下的匹配关系

Figure 7. Matching results of supply and demand sides with overall satisfaction (5.93,5.20)

下载: 全尺寸图片幻灯片

当不考虑个体满意度时，可以构建多对多物流服务供需双边匹配整体满意度优化模型，以供需双方匹配满意度最大为目标函数的多目标优化模型，求解中先求出物流服务供需双方不考虑对方满意度的情况下自身的理想点满意度，再通过物流服务供需双方实际最大满意度与理想点满意度的差距最小建立多目标优化模型，利用线性规划方法进行模型求解得到双边匹配Pareto解集. 基于NSGA-Ⅱ的多目标优化算法获得整体满意度和个体满意度的Pareto解，为决策者提供了体现整体和个体满意度不同偏好的决策方案，指导决策者获得供需双方满意的匹配关系.

根据基于理想点法对算例求解，其理想点为(7.33,6.75)，可获得如图8所示的整体满意度Pareto最优前沿.

图 8 供需双方整体满意度Pareto前沿

Figure 8. Pareto optimal front of overall satisfaction of supply and demand sides

下载: 全尺寸图片幻灯片

从图8中可以看出：需求方A对供给方B的整体满意度和B对需求方A的整体满意度是此消彼长的关系，即需求方A对供给方B取最大整体满意度时，供给方B对需求方A的整体满意度最低，因此，在决策过程中，需要供需双方谈判以获得彼此可接受的满意度.

对于图8中任意解，可获得需求方A对供给方B间的匹配关系，如供需双方可接受的满意度值为(5.10,6.75)，则匹配关系如图9所示. 在此匹配关系下，需求方A和供给方B的个体满意度方差分别0.57和0.22，个体满意度越小，表示个体之间的差异越小，对于本方案，需求方A的个体满意度差异较大，选择此方案导致需求方之间满意度不公平，容易导致矛盾产生.

由图6与图8的Pareto前沿对比可以看出：考虑个体满意度差异的情况下得到的整体满意度明显劣于未考虑个体满意度的情况，相对未考虑个体满意度情况，引入个体满意度时会导致双方整体满意度下降，即为使每个个体能够得到满意、公平的匹配结果，需要牺牲双方的整体的满意度. 表明考虑个体满意度最优时，整体满意度会受到一定的影响，但其结果更贴近现实情况，并能得到公平的匹配结果，因为个体满意度离理想点越近，匹配结果越接近个体对匹配结果的期望.

图 9 供需双方整体满意度为(5.10,6.75)下的匹配关系

Figure 9. Matching results of supply and demand sides with overall satisfaction (5.10, 6.75)

下载: 全尺寸图片幻灯片

5. 结　论

本文中同时考虑整体满意度和个体满意度均衡性的供需双方多对多双边匹配两阶段优化模型，能够刻画物流服务中供需双方的利益关系，既能考虑物流服务供需方整体满意度，又兼顾供需方匹配个体满意度的均衡性. 后续研究将考虑物流服务供需方个体差异化和优先级的稳定匹配问题，以提高实用性和适应性.

图 1 数值计算模型

Figure 1. Numerical model

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 2 典型偏应力-轴应变关系曲线

Figure 2. Typical deviation of stress–strain curve

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 3 不同围压下偏应力-轴应变关系曲线

Figure 3. Deviation curves of stress versus strain under different confining pressures

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 4 不同含石率条件下偏应力-轴应变关系

Figure 4. Deviation curves of stress versus strain for different cobble content rates

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 5 盾构开挖面超挖失稳模型

Figure 5. Failure model of tunnel face

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 6 不同开挖阶段最小主应力云图

Figure 6. Minimum principal stress contours in different excavation stages

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 7 不同开挖阶段单元接触状态云图

Figure 7. Contact condition contours in different excavation stages

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 8 地表沉降-超挖量时程曲线

Figure 8. Curves of ground settlements versus over-excavation volumes

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 9 关键超挖节点汇总

Figure 9. Significant over-excavation stages

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 1 单元力学参数

Table 1. Mechanical parameters of elements

位置	单元模型	密度/（kg•m^–3）	弹性模量/MPa	泊松比	摩擦角/（°）	法向刚度/GPa	切向刚度/GPa
砂土层	M-C弹塑性	1 950	20	0.35	35
卵石层	线弹性	2 800	40 000	0.20
接触界面	脆断弹簧				11	400	40

下载: 导出CSV

表 2 不同模型试验结果

Table 2. Results of different models

试样	弹性力/kPa	极限应变/%	初始切线模量/MPa	峰值应力/kPa	最终状态
砂卵石（考虑界面接触）	744	3.0	24.5	1185	理想塑性
砂卵石（无界面接触）	737	2.9	25.4	1419	弹塑性
均质砂土	738	3.8	20.0	1035	理想塑性
注：单元尺寸为0.03 m，围压为300 kPa.

下载: 导出CSV

表 3 模型基本参数

Table 3. Basic parameters of the model

项目	数值
盾构直径/m	5.7
出土口高度/m	1.0
开挖面顶部埋深/m	3.0
模型尺寸（B × H）/m	12 × 12
开挖面距左侧边界距离/m	3.0
划分单元总数（W_V = 40%）	33 720
界面接触弹簧总数（W_V = 40%）	155 843
最小单元尺寸/m	0.080

下载: 导出CSV

表 4 材料基本参数

Table 4. Basic parameters of the materials

单元	密度/（kg•m^–3）	弹性模量/MPa	泊松比
砂土	1 950	20	0.35
卵石	2 800	400	0.20
挡板	7 850	1 000	0.20
衬砌	2 500	320	0.20

下载: 导出CSV

表 5 界面接触单元基本参数

Table 5. Basic parameters of the jointed elements

界面材料	法向与切向接触刚度/MPa	摩擦角/（°）
砂土-砂土	800	11
砂土-卵石	800	6
砂土-挡板	4 000	6
卵石-挡板	4 000	6

下载: 导出CSV

吴坚. 岩堆体力学特性试验及其颗粒流离散元模拟研究[D]. 上海: 同济大学, 2011

范祚文,张子新. 砂卵石地层土压力平衡盾构施工开挖面稳定及邻近建筑物影响模型试验研究[J]. 岩石力学与工程学报,2013,32(12): 2506-2512.

FAN Zuowen, ZHANG Zixin. Model test of excavation face stability of EPB shield in sandy cobble ground and adjacent building effect[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics & Engineering, 2013, 32(12): 2506-2512.

CHEN Renpeng, LI Jun, KONG Linggang, et al. Experimental study on face instability of shield tunnel in sand[J]. Tunnelling & Underground Space Technology, 2013, 33(1): 12-21.

胡雄玉,晏启祥,何川,等. 土压平衡盾构掘进对散粒体地层扰动和开挖面破坏特性研究[J]. 岩石力学与工程学报,2016,35(8): 1618-1627.

HU Xiongyu, YAN Qixiang, HE Chuan. Study on the disturbance and excavation face failure feature of granular mixtures stratum due to EPB shield tunneling[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics & Engineering, 2016, 35(8): 1618-1627.

WANG Yunnian, ZHAO Manhong, LI Shihai, et al. Stochastic structural model of rock and soil aggregates by continuum-based discrete element method[J]. Science in China Ser. E Engineering and Materials Science, 2005, 48(S1): 95-106.

白永学,漆泰岳,吴占瑞. 砂卵石地层盾构施工引发的滞后地面塌陷机理[J]. 土木建筑与环境工程,2013,35(1): 12-19.

BAI Yongxue, QI Taiyue, WU Zhanrui. Lagged surface collapse mechanism of shield construction in sandy pebble stratum[J]. Journal of Civil Architectural & Environmental Engineering, 2013, 35(1): 12-19.

江英超,方勇,何川,等. 砂卵石地层盾构施工滞后沉降形成的细观研究[J]. 地下空间与工程学报,2015,11(1): 171-177.

JIANG Yingchao, FANG Yong, HE Chuan, et al. Study on delayed settlement formation induced by shield tunneling in sandy cobble strata[J]. Chinese Journal of Underground Space & Engineering, 2015, 11(1): 171-177.

郑炳旭,冯春,宋锦泉,等. 炸药单耗对赤铁矿爆破块度的影响规律数值模拟研究[J]. 爆破,2015,32(3): 62-69. doi: 10.3963/j.issn.1001-487X.2015.03.011

ZHENG Bingxu, FENG Chun, SONG Jinquan, et al. Numerical study on relationship between specific charge and fragmentation distribution of hematite[J]. Blasting, 2015, 32(3): 62-69. doi: 10.3963/j.issn.1001-487X.2015.03.011

徐文杰,胡瑞林,岳中琦,等. 土石混合体细观结构及力学特性数值模拟研究[J]. 岩石力学与工程学报,2007,26(2): 300-311. doi: 10.3321/j.issn:1000-6915.2007.02.011

XU Wenjie, HU Ruilin, YUE Zhongqi, et al. Mesostructural character and numerical simulation of mechanical properties of soil-rock mixtures[J]. Chinese Journal of Rock Mechanics & Engineering, 2007, 26(2): 300-311. doi: 10.3321/j.issn:1000-6915.2007.02.011

简鹏,路军富,钟英哲. 基于不同密度与含水率下的砂卵石强度参数研究[J]. 科学技术与工程,2016,16(24): 257-261. doi: 10.3969/j.issn.1671-1815.2016.24.047

JIAN Peng, LU Junfu, ZHONG Yingzhe. Study on strength parameter of sandy pebble soil based on different density and moisture content[J]. Science Technology and Engineering, 2016, 16(24): 257-261. doi: 10.3969/j.issn.1671-1815.2016.24.047

薛亚东,刘忠强,吴坚. 崩积混合体直剪试验与PFC2D数值模拟分析[J]. 岩土力学,2014,16(24): 257-261.

XUE Yadong, LIU Zhongqiang, WU Jian. Direct shear tests and PFC2D numerical simulation of colluvial mixture[J]. Rock and Soil Mechanics, 2014, 16(24): 257-261.

XUE Y D, HUANG H W, GRIFFITHS D V. Specimen reconstitution and uniaxial compressive strength testing of rock-soil mixtures[C]//Advances in Ground Technology and Geo-Information. Singapore: Research Publishing, 2012: 289-299

南京水利科学研究院. 中华人民共和国行业标准: 土工试验规程: SL237—1999[S]. 北京: 中国水利水电出版社, 1999

常士骠. 工程地质手册[M]. 北京: 中国建筑工业出版社, 2007: 15-19

滕丽,张桓. 盾构穿越砂卵石地层地表沉降特征细宏观分析[J]. 岩土力学,2012,33(4): 186-195,205.

TENG Li, ZHANG Huan. Meso-macro analysis of surface settlement characteristics during shield tunneling in sandy cobble ground[J]. Rock & Soil Mechanics, 2012, 33(4): 186-195,205.