基于多节拍组合的城际铁路列车运行图优化

周文梁; 李鹏; 田俊丽; 邓连波

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20170153

摘要: 为了使得城际铁路列车车站到发时刻既能具有严格等时间间隔的周期性规律，又能灵活适应城际铁路客流需求的时间分布，首先提出了列车多节拍组合运行组织模式，并将其与单节拍、非节拍运行组织模式进行特征对比分析. 进而基于列车多节拍组合运行模式，以最小化所有节拍单元列车总旅行时间为优化目标，以同节拍单元列车等时间间隔运行、各类作业安全时间间隔要求等为约束，构建了城际铁路列车多节拍协同运行图优化模型. 在通过确定模型中复杂约束、引入拉格朗日乘子将其松弛的基础上，结合次梯度法设计基于拉格朗日松弛的优化算法求解模型. 以京津城际为背景的算例优化获得由4个节拍列车组合的列车运行图，其中各节拍列车分别以17、34、34、35 min等时间间隔周期性运行，该方案目标函数与其最优下界的相对差距仅为2.55%.

关键词:

Abstract: To ensure regularity of train arrival and departure times at stations operating with strict train periodicity and timing schedules, a novel methodology for coordinated operation of multi-periodic trains is proposed. The proposed method aims to ensure a better fit for the time distribution of passenger demands in the intercity railway system and is further compared with the existing aperiodic and single periodic train operation patterns to analyze their characteristic differences. On this basis, an optimisation model aimed at minimising the total travel times of all periodical operating trains is built to solve the train scheduling problem; this involves the coordinated operation of multi-periodic trains with identical time interval constraints for each period type of trains and all safety intervals. An algorithm based on Lagrangian relaxation framework is designed and combined with the gradient method by relaxing the complex constraints via Lagrangian multiples. The proposed model is implemented numerically for Beijing-Tianjin intercity railway using its operating timetable for four periodical operating trains with intervals of 17 min, 34 min, 34 min, and 35 min. The analysis shows that their objective values differ from the optimised lower boundary by 2.55%.

Key words:

高速铁路基础设施在服役期限内不断面临着冻融循环、极低温和强暴雨等恶劣环境因素的挑战，尤其是在高寒区和季冻区等特殊气候区^[1]. 这易造成高铁路基的含水率在短时间内剧烈波动，引发路基沉降和翻浆等病害，进而影响高速铁路的服役安全性和高铁列车的行驶安全性^[2-3]. 因此，在我国高速铁路设计服役寿命长达60年的情况下，如何保证高铁路基的服役耐久性成为了一个重要课题.

不少学者对此开展了研究，并提出多种应对策略. 其中一个措施便是在高铁基床表层和底座板之间铺筑一层防水封闭层，以有效阻断路基渗水侵蚀^[4-5]. 目前，已有多项研究提出了包括全断面型和自密实型在内的2类沥青混凝土防水封闭层^[6-9]. 该种新型沥青混凝土防水封闭层兼具优良的防水封闭性、低温韧性和施工便捷性，应用优势显著，并且已在哈齐客专、武广高铁和京张高铁等多条线路中实现了初步应用^[10-12].

相较于传统的水泥混凝土防水封闭层，沥青混凝土防水封闭层已展现出优越的工程性能，但恶劣的气候条件仍对其服役耐久性构成极大挑战，尤其是冻融循环的重复交替作用^[13-17]. 然而，现有研究对高速铁路防水封闭层用沥青混凝土（简称铁路混凝土）在长服役期限内的冻融损伤演化行为关注较少，同时，缺乏对于重复冻融循环过程中铁路沥青混凝土力学性能劣化规律的研究. 本文针对以上问题开展研究，重点分析在冻融循环作用下铁路沥青混凝土的力学性能劣化规律，研究其在服役寿命周期内的冻融损伤演化特性，并进行损伤演化建模分析，以更科学地指导铁路沥青混凝土的材料设计及其在冻融循环作用下的服役耐久性验证.

1. 原材料与试验方法

1.1 原材料

为保证铁路沥青混凝土的服役耐久性，实际工程中通常选用聚合物改性沥青胶结料. 本文选用具有代表性的2种高性能聚合物复合改性沥青：SBS （styrene-butadiene-styrene）/高黏剂复合改性沥青（沥青A）、SBS/预处理胶粉复合改性沥青（沥青B），选用玄武岩和石灰岩分别作为粗集料和细集料.

选用AC13和AC10 2种级配作为铁路沥青混凝土的目标级配. 公路工程设计要求沥青混合料的目标空隙率在4%左右，渗透系数一般在10⁻³～10⁻⁴，对其防水性能要求不高. 考虑到高速铁路防水封闭层更注重沥青混凝土的防水性能，要求其渗透系数一般不大于 5×10⁻⁵，因此，将铁路沥青混凝土的目标空隙率选定为2%，并以此为主要控制指标确定最佳沥青用量，以实现优异的防水封闭性能^{[16 -17]}. 最终AC13和AC10 2种级配的最佳沥青用量分别确定为5.5%和5.8%. 制备得到4种选用不同沥青和不同目标级配的铁路沥青混凝土试件，分别命名为A-AC13、A-AC10、B-AC13和B-AC10. 其中，A-AC13表示选用沥青A和级配AC13制备的铁路沥青混凝土，其余类推.

1.2 试验方法

本研究的整体试验方案如图1所示.

图 1 试验方案

Figure 1. Experimental design

下载: 全尺寸图片幻灯片

采用重复冻融循环试验模拟高铁沥青混凝土防水封闭层在服役期间所受到的冻融循环作用. 将铁路沥青混凝土试件放入常温（25 ℃）水槽中恒温水浴24 h，模拟高速铁路防水封闭层服役过程中的潮湿环境. 在每次冻融循环中，先将水浴完的铁路沥青混凝土试件放入低温 −20 ℃的冰柜中冷冻16 h，再置于高温60 ℃的水槽中解融8 h，分别模拟高速铁路沥青混凝土防水封闭层在冬季平均极端低温下的冷冻过程和在夏季太阳辐射下极端高温作用下的解融过程. 每个铁路沥青混凝土试件均进行20次冻融循环处理，且分别在第5、10、15、20次冻融循环后取出试件，进行多项力学性能测试（每个试件至少进行4次重复试验）.

采用X射线CT扫描系统. 观测重复冻融循环前后铁路沥青混凝土试件的内部结构变化. 测试过程中，电压为205 kV, X射线管电流为35 mA，垂直间距为0.09 mm，水平分辨率为0.002 mm/像素.

采用马歇尔稳定度试验测试铁路沥青混凝土的高温力学性能. 首先，将马歇尔试件置于温度60 ℃的恒温水槽中保温30 min，同时，将马歇尔试验仪的上下压头放入烘箱中，以达到与试件相同的温度. 然后，启动加载设备，加载速度为50 mm/min. 试验结束后，读取马歇尔稳定度.

采用劈裂试验评价铁路沥青混凝土的中温力学性能. 将马歇尔试件置于温度25 ℃的恒温水槽中保温30 min，随后，取出试件，迅速置于试验台的夹具中安放稳定. 试验过程中采用50 mm/min的加载速率向试件加载至破坏，读取试验荷载的最大值，并计算劈裂强度.

采用低温半圆弯拉试验研究铁路沥青混凝土的低温力学性能. 制备直径150 mm，厚度50 mm，底部中间带有深度10 mm开口的半圆形沥青混凝土试样. 采用MTS-810材料试验系统，半圆形试样受三点弯曲载荷结构，加载速率为5 mm/min，试验温度为 −10 ℃，测定并自动记录荷载-位移曲线. 同时，选用断裂能和断裂韧性作为低温力学性能评价指标.

断裂能G_f表示铁路沥青混凝土低温断裂过程中所需的总能量，如式（1）所示.

，

${G_{\rm{f}}} = \frac{{{W_{\rm{f}}}}}{{{A_{{\rm{lig}}}}}} = \frac{{\int {{P_{\rm{u}}}{\rm{d}}u} }}{{\left( {r - a} \right)T}}，$

(1)

式中：$ {W_{\rm{f}}} $为断裂功，$ {A_{{\rm{lig}}}} $为断裂面的截面积，$ {P_{\rm{u}}} $为所施加的荷载，$ u $为施加荷载位置处的位移，$ r $为半圆试件的半径，$ a $为开口深度，$ T $为半圆试件的厚度.

断裂韧性K_IC表征铁路沥青混凝土在低温断裂过程中吸收能量的内在固有能力，如式（2）所示.

${K_{{\rm{IC}}}} = {Y_{{\rm{I}}\left( {0.8} \right)}}{\sigma _0}\sqrt {{\text{π}} a},$

(2)

${Y_{{\rm{I}}\left( {0.8} \right)}} = 4.782 - 1.219\left( {\frac{a}{r}} \right) + 0.063{{\rm{e}}^{7.045\tfrac{a}{r}}},$

(3)

${\sigma _0}{\text{ = }}\frac{{{P_{\rm{c}}}}}{{2rT}},$

(4)

式中：$ {Y_{{\rm{I}}\left( {0.8} \right)}} $为标准模式Ⅰ断裂的应力强度因子，$ {\sigma _0} $为最大荷载对应的应力值，${P_{\rm{c}}}$为试验过程中的最大荷载值.

2. 试验结果与分析

2.1 冻融损伤演化行为

使用4种铁路沥青混凝土，研究在高、中、低3个不同温度范围内冻融循环中的力学性能劣化规律，以表征其冻融损伤演化行为. 所测得的各力学性能指标及其在冻融循环后的残留率分别如表1和图2所示. 图2阴影区域的2条边线分别代表对应的80%和85%的残留率阈值.

表 1 铁路沥青混凝土在冻融循环作用下的多温域力学性能劣化规律

Table 1. Deterioration of mechanical properties of railway asphalt concrete in multiple temperature domains under freeze-thaw cycles

铁路沥青混凝土类型	冻融循环次数/次	高温马歇尔稳定度/kN	中温劈裂强度/MPa	低温
铁路沥青混凝土类型	冻融循环次数/次	高温马歇尔稳定度/kN	中温劈裂强度/MPa	断裂能/（J·m⁻²）	断裂韧性/（N·mm⁻¹）
A-AC13	0	15.17	1.332	1613.31	45.04
	5	14.53	1.286	1544.35	43.83
	10	12.42	1.204	1425.63	41.79
	15	11.41	1.235	1387.06	41.49
	20	11.52	1.246	1283.29	41.35
A-AC10	0	16.96	1.370	1775.90	47.77
	5	15.23	1.357	1550.55	46.19
	10	13.85	1.282	1457.35	46.28
	15	13.95	1.317	1300.80	45.26
	20	11.95	1.350	1190.75	44.56
B-AC13	0	13.64	1.100	1816.15	50.20
	5	12.97	1.020	1624.46	49.80
	10	10.36	0.957	1561.45	47.02
	15	9.99	0.997	1466.08	47.70
	20	9.79	1.021	1362.22	45.66
B-AC10	0	14.76	1.118	2017.68	52.17
	5	13.28	1.063	1898.64	48.68
	10	11.50	0.986	1691.99	47.22
	15	10.76	1.030	1572.85	46.91
	20	10.76	1.079	1498.54	48.04

下载: 导出CSV

| 显示表格

图 2 铁路沥青混凝土在冻融循环下多温域力学性能残留率

Figure 2. Retained rate of mechanical properties of railway asphalt concrete in multiple temperature domains under freeze-thaw cycles

下载: 全尺寸图片幻灯片

1）高温力学性能劣化规律：各种铁路沥青混凝土的马歇尔稳定度均与冻融循环次数负相关. 由于冻融循环作用降低了沥青与集料的界面黏结强度，并导致沥青胶结料的内部损伤，从而在高温（60 ℃）条件下表现为马歇尔稳定度降低.

2）中温力学性能劣化规律：4种铁路沥青混凝土的中温（25 ℃）劈裂强度在前10 次重复冻融循环作用下显著下降. 而当冻融循环次数继续增加时，其劈裂强度却反向增加. 在冻融循环过程中，沥青-集料黏结作用在水分渗透作用下发生弱化（即湿度弱化效应），同时，沥青也受到高温处理过程中的温度硬化作用^[18]. 因此，当冻融循环次数增加，沥青的温度硬化效应对铁路沥青混凝土的影响可能逐步大于沥青-集料界面黏结破坏的影响. 这在宏观上表现出中温测试条件下劈裂强度先下降后上升^[18]. 这种性能反弹现象也可能是冻融循环次数不够或劈裂强度测试值离散度过高所导致的.

3）低温力学性能劣化规律：受到重复冻融循环作用的影响，其低温（−10 ℃）断裂能和断裂韧性均显著降低. 这是由于重复冻融循环作用时，水分侵入铁路沥青混凝土内部，随后发生重复的体积膨胀和收缩，使得铁路沥青混凝土内部结构损伤（见图3），沥青-集料界面黏结性能削弱，并使沥青胶结料发生内聚力损失，从而宏观上表现为低温抗裂性能随着冻融循环次数增加而不断下降.

图 3 冻融循环前后铁路沥青混凝土内部空隙结构的变化

Figure 3. Changes in internal voids structure of railway asphalt concrete before and after freeze-thaw cycles

下载: 全尺寸图片幻灯片

总体而言，虽然铁路沥青混凝土力学性能出现一定的劣化，但是在10次重复冻融循环之后，各项性能指标的残留率基本均能维持在80%以上. 同时，根据《公路工程沥青及沥青混合料试验规程》（JTG E20—2011）^[19]，沥青混合料在仅1次冻融循环后，力学性能损失率在20%（15%）以内，即可认为其抗冻融损伤能力满足要求. 因此，凭借所采用的高性能聚合物复合改性沥青胶结料和低空隙率设计方法，铁路沥青混凝土表现出优异的抗冻融损伤能力. 其中，低温断裂能指标对冻融循环最为敏感，即更能及时反映出重复冻融循环过程中铁路沥青混凝土力学性能的劣化程度. 在冻融循环次数提高的过程中，中温劈裂强度、低温断裂韧性均有降低的趋势，在达到一定程度之后基本保持稳定，甚至略有反升.

另外，铁路沥青混凝土在重复冻融循环作用下各项力学性能指标之间的统计相关性矩阵（相关性系数与显著性）如图4所示. 可以看出，高温马歇尔稳定度与中温劈裂强度、低温断裂能之间均具有显著的相关性. 同样，低温断裂韧性也与这两项性能指标显著相关，尤其是低温断裂韧性与低温断裂能之间存在极强的相关性.

图 4 铁路沥青混凝土各项力学性能指标的相关性矩阵

Figure 4. Correlation matrix of mechanical property indexes of railway asphalt concrete

下载: 全尺寸图片幻灯片

2.2 冻融损伤演化模型

受到诸多外部因素的影响，沥青混凝土将出现一定的损伤，该过程实质上均可视为材料劣化的过程. 尽管在不同环境因素影响下，沥青混凝土所呈现的损伤特征存在一定的差异性，然而，各种材料在劣化时均存在损伤的共性，据此可以对损伤演化模型进行设计，使其保持良好的通用性. 基于上述分析，可以直接在宏观表象层次构建损伤演化模型. 本文基于统计可靠度理论，从力学性能测试数据出发，构建铁路沥青混凝土的冻融损伤演化模型^[20-23].

2.2.1 模型假设

一般而言，冻融循环过程中铁路沥青混凝土试件在水溶液内完全浸入之后，试件在各个方向会受到冻融作用（边界条件一致）. 所以，在研究冻融循环对于铁路沥青混凝土的影响时，可以构建对应的立方体模型（六面等损伤梯度G）. 假设条件如下所示^[20-23]：

假设Ⅰ：铁路沥青混凝土在宏观上可视为连续的均匀体.

假设Ⅱ：各个边界的冻融侵蚀条件是一致的，与冻融有关的等损伤梯度G自各个面朝着内部发展，所以，内部到边界最短距离一致的微元体始终服从同一损伤演化规律.

假设Ⅲ：铁路沥青混凝土内部各微元件的冻融损伤程度F(t)与冻融循环时间t （可换算为冻融循环次数）之间的关系均服从Weibull分布，如式（5）所示.

$F\left( t \right) = 1 - {{\rm{e}}^{ - {{\left( {\lambda t} \right)}^\alpha }}} ,$

(5)

式中：$ \lambda $为尺度因子，$ \alpha $为Weibull分布的形状因子.

显然，当$ t $=0时，$ F\left( t \right) $=0，表示铁路沥青混凝土尚未受到损伤；当$ t \to \infty $时，$ F\left( t \right) $=1，表示铁路沥青混凝土已被完全损坏.

假设Ⅳ：结合Weibull分布特征可知，当内部各点受到相同不利损伤条件的影响时，对应的失效曲线形状也是相同的，即形状因子$ \alpha $是相同的.

2.2.2 模型推导

已知$ \left( {x,y,{\textit{z}}} \right) $为混凝土内部的某坐标点，在该位置取微元体，$ f\left( {x,y,{\textit{z}};t} \right) $为点元件在时刻t出现损伤破坏的概率密度函数. 而在时刻t微元体破坏的体积为$ V\left( {x,y,{\textit{z}};t} \right) $，由于其符合空间Poisson分布，即可确定微单元和点元件的相关性.

根据假设Ⅱ，尺度因子为

$\lambda \left( {x,y,{\textit{z}}} \right) = \lambda \left( {\left| x \right|,\left| y \right|,\left| {\textit{z}} \right|} \right).$

(6)

同时，以Poisson 分布的平均发生率$ P $表示点元件在时刻$ t $破坏的概率，如式（7）所示.

$P = f\left( {x,y,{\textit{z}};t} \right){\rm{d}}\zeta {\rm{d}}\eta {\rm{d}}\sigma,$

(7)

式中：${\rm{d}}\zeta$、${\rm{d}}\eta$和${\rm{d}}\sigma$分别为图5中微元体内部任意部位的点元件（为一空间片段）在不同空间尺度上微分.

图 5 冻融损伤演化模型示意

Figure 5. Illustration of freeze-thaw damage evolution model

下载: 全尺寸图片幻灯片

由于$ V\left( {x,y,{\textit{z}};t} \right) $服从空间Poisson分布，其数学期望为

$\begin{split} &E\left( V(x,y,{\textit{z}};t) \right) = nP = {\rm{d}}x{\rm{d}}y{\rm{d}}{\textit{z}}{\rm{d}}{\zeta ^{ - 1}}{\rm{d}}{\eta ^{ - 1}}{\rm{d}}{\sigma ^{ - 1}} \times\\ &\quad f\left( {x,y,{\textit{z}};t} \right){\rm{d}}\zeta {\rm{d}}\eta {\rm{d}}\sigma = f\left( {x,y,{\textit{z}};t} \right){\rm{d}}x{\rm{d}}y{\rm{d}}{\textit{z}}, \end{split}$

(8)

式中：$ n $为空间区域中样本点的总个数.

整个区域的受损体积$ V $如式（9）所示，进而定义损伤度D如式（10）所示.

$V{\text{ = }}\iiint\limits_{{V_0}} {E\left( V\right) {\rm{d}}x{\rm{d}}y{\rm{d}}{\textit{z}} },$

(9)

$D{\text{ = }}\frac{V}{{{V_0}}},$

(10)

式中：$ {V_0} $为原单元区域体积.

根据式（5）～（10），可得出铁路沥青混凝土的损伤演化方程为

$D = \frac{{\displaystyle\iiint\limits_{{V_0}} {\alpha {{\left( {\lambda t} \right)}^{\alpha - 1}}{{\rm{e}}^{ - {{\left( {\lambda t} \right)}^\alpha }}}{\rm{d}}x{\rm{d}}y{\rm{d}}}}{\textit{z}}}{{{V_0}}}.$

(11)

2.2.3 数值算法

在计算之前需要先进行空间离散化处理的过程. 对于三轴等损伤梯度的体模型（见图5），针对每个边进行$ N $（偶数）等划分. $ {N_i} $为距离模型边缘最小距离一致的第i层单元数，如式（12）所示.

${N_i}{\text{ = }}6{N^2} - 24iN + 24{i^2} - 12N + 24i + 8，$

(12)

式中：$i{\text{ = }}0,1, \cdots , {N / 2} - 1$.

按类似推导，设第i层单元在时刻t发生破坏的分布函数为$ {F_i}\left( t \right) $. 另外，样本点不多的情况下，即可实现Poisson分布到Bernoulli分布的转换. 在t时第i层破坏的单元数目为$ {N_i} $，这一事件$ {\varphi _i} $的期望为

$E\left( {{\varphi _i}} \right) = {N_i}{F_i}\left( t \right).$

(13)

根据假设Ⅲ可得

${F_i}\left( t \right) = 1 - {{\rm{e}}^{ - {{\left( {{\lambda _i}t} \right)}^\alpha }}}，$

(14)

式中：$ {\lambda _i} $为第i层单元的尺度因子，可采用线性或非线性公式来模拟.

在网络划分比较精细，并通过线性公式对$ {\lambda _i} $进行模拟时，则可以不考虑微单元尺寸的影响，此时，

${\lambda _i}{\text{ = }}{\lambda _0}-\frac{{2i\nu }}{{N - 2}},$

(15)

式中：$ {\lambda _0} $为均匀尺度因子；$ \nu $为梯度因子；当$i = 0 $时，最外层$ {\lambda _i} = {\lambda _0} $，当$i = {N / 2} - 1$时，最内层$ {\lambda _i} = {\lambda _0}-\nu $.

在时刻t单元发生破坏事件$ \omega $的数学期望为

$E\left( \omega \right){\text{ = }}\sum\limits_{i = 0}^{\tfrac{N}{2} - 1} {E\left( {{\varphi _i}} \right)} = \sum\limits_{i = 0}^{\tfrac{N}{2} - 1} {{N_i}{F_i}\left( t \right)}.$

(16)

相应的区域冻融损伤期望为

$\begin{split} & E\left( D \right){\text{ = }}\frac{{E\left( \omega \right)}}{{{V_0}}} = \\ &\quad {N^{ - 3}}\sum\limits_{i = 0}^{\tfrac{N}{2} - 1} {{N_i}} \left[ 1 - {\rm{exp}}\left( - {{\left( {\lambda _0}t - \dfrac{{ivt}} {N/2 - 1} \right)}^\alpha }\right) \right]. \end{split}$

(17)

$ n $次冻融循环之后的试件损伤度为

${D_n}{\text{ = }}\frac{{{E_0} - {E_n}}}{{{E_0}}},$

(18)

式中：$ {E_0} $为冻融前铁路沥青混凝土试件的初始力学性能指标值，$ {E_n} $为第$ n $次冻融循环后铁路沥青混凝土试件的残留力学性能指标值.

2.2.4 模型构建

在模型构建过程中需要先结合宏观力学性能测试结果，并根据式（18）计算得到不同冻融循环次数后的损伤度$ {D_n} $；随后，将$ t $和$ {D_n} $同时代入式（17）中，结合最小二乘法，推导出冻融损伤演化模型的3个参数（$\alpha 、{\lambda _0}、v $），进而确定模型.

值得一提的是，$ N \gt 10 $时，便能较好地满足模型精度要求，同时不会导致迭代次数过多^[19-20]. 取$ N{\text{ = 64}} $，选取对冻融损伤敏感性最高的低温断裂能指标计算损伤度，对其20次冻融循环过程中的各数据点进行拟合，利用MATLAB确定各模型参数并计算判定系数（即拟合优度），以评价冻融损伤模型精度，结果见表2和图6.

表 2 铁路沥青混凝土冻融损伤演化模型参数拟合结果

Table 2. Fitted parameters of freeze-thaw damage evolution model of railway asphalt concrete

沥青混凝土类型	$ \alpha $	$ {\lambda _0} $	$ \nu $/×10⁻⁷	判定系数
A-AC13	1.0327	0.01151	0.1	0.9841
A-AC10	0.7311	0.01359	0.1	0.9859
B-AC13	0.7541	0.00915	0.1	0.9888
B-AC10	0.9902	0.01290	0.1	0.9827

下载: 导出CSV

| 显示表格

图 6 铁路沥青混凝土在重复冻融循环作用下试验测定和模型预估的损伤度

Figure 6. Measured and predicted damage degree of railway asphalt concrete under freeze-thaw cycles

下载: 全尺寸图片幻灯片

根据得到的结果可知，4种铁路沥青混凝土的冻融损伤演化模型的预测值与实测值之间的判定系数均接近0.99，表明模型精度高. 3个模型参数具有较显著的规律性，并随着铁路沥青混凝土类型的不同表现出一定差异性，能较好地区分不同类型铁路沥青混凝土的内部冻融损伤演化行为.

首先，形状因子$ \alpha $决定Weibull分布曲线的形状，表征铁路沥青混凝土内部的各点位随冻融循环的损伤特性. 不同类型铁路沥青混凝土的$ \alpha $值存在一定的差异性，意味着其在经受同种不利冻融循环作用时，同种力学性能的劣化特性也表现出一定的差异性.

其次，均匀尺度因子$ {\lambda _0} $可以描述不同点位对于冻融循环作用的抵抗能力大小，且其值与铁路沥青混凝土的冻融损伤抵抗能力呈负相关. 根据表2中的信息，从低温力学性能指标的角度而言，选用聚合物复合改性沥青B （即SBS/胶粉复合改性沥青）或选用级配AC-13的铁路沥青混凝土通常具备较强的抗冻融损伤能力.

最后，梯度因子$ \nu $表征在冻融循环时不同点位损伤情况的差异性大小. 通常情况下，如果该指标的绝对值较低，则意味着这种差异性更小，即各个点位的损伤发展不存在显著的差异性. 而根据其值的正负情况可以对损伤发展的方向进行确定. 如果其值为正，表明冻融损伤是由外而内发展，反之，则是由内而外传播. 根据表2中的信息可知，对于4种不同类型的铁路沥青混凝土，该参数的绝对值均接近于0，且均为正值，因此，可认为铁路沥青混凝土在冻融循环过程中受到由外向内的均匀损伤，且内部各个点位的损伤发展基本保持同步.

3. 结　论

本研究采用低孔隙率配合比设计方法，制备了4种聚合物复合改性铁路沥青混凝土，并重点分析其受到冻融循环作用时的损伤演化特征. 总结如下：

1） 4种铁路沥青混凝土在10次冻融循环作用后，各力学性能的残留率基本均能维持在80%以上，表现出优异的抗冻融损伤能力.

2）低温断裂能指标对冻融循环最为敏感，更能及时反映重复冻融过程中铁路沥青混凝土力学性能的劣化程度. 而中温劈裂强度、低温断裂韧性在冻融循环过程中先表现为减小的趋势，在达到一定程度之后基本保持稳定，甚至略有反升.

3）构建冻融损伤演化模型将铁路沥青混凝土的宏观力学性能劣化与结构损伤扩展进行融合，模型拟合优度较高，均接近于0.99，因此，可实现对冻融损伤度的精准预测.

4）铁路沥青混凝土在冻融循环过程中受到由外向内的均匀同步损伤，选用SBS/胶粉改性沥青或级配AC13的铁路沥青混凝土通常具备较强的抗冻融损伤能力.

图 1 4种列车运行组织模式示意

Figure 1. Four organization modes for train operation

下载: 全尺寸图片幻灯片

图 2 目标函数上界与下界值随着迭代次数增加的变化关系

Figure 2. Variations of the lower and upper bounds of the objective function with the increase of iterations

下载: 全尺寸图片幻灯片

表 1 各节拍单元列车运行数量与停站信息

Table 1. Number and stops of each period-type train

节拍单元序号	运行数量	起点站	终点站	中途停站
1	11	北京南	天津	武清
2	6	北京南	天津	亦庄、永乐
3	6	北京南	天津	永乐、武清
4	5	北京南	天津	亦庄、武清

下载: 导出CSV

表 2 各节拍单元列车运行时间范围

Table 2. Operation time range of each period-type train

节拍单元序号	首班车的始发时间范围	运行时间间隔范围/min
1	[07:00，07:30]	[10，30]
2	[08:00，08:30]	[30，60]
3	[07:30，08:00]	[30，60]
4	[07:30，08:00]	[30，60]

下载: 导出CSV

表 3 各节拍单元首班车运行时刻与运行时间间隔

Table 3. Arrival and departure times of the first train and operation interval for each period-type

节拍单元序号	北京南站		亦庄站		永乐站		武清站		天津站		运行时间间隔/min
节拍单元序号	到时	发时	到时	发时	到时	发时	到时	发时	到时	发时	运行时间间隔/min
1		07:16	07:24	07:24	07:31	07:31	07:40	07:42	07:54		17
2		08:11	08:19	08:21	08:28	08:30	08:39	08:39	08:51		34
3		07:43	07:51	07:51	07:58	08:00	08:09	08:11	08:23		34
4		07:58	08:06	08:08	08:15	08:15	08:24	08:26	08:38		35

下载: 导出CSV

表 4 基于5、10 min等的整数倍为节拍单元列车运行时间间隔的计算指标

Table 4. Indexes of setting train operation intervals as the multiples of five or ten minutes

时间间隔的基数/min	上界值/min	下界值/min	相对差距/%	计算时间/s
5	1 098	1 075	2.09	654
10	1 098	1 073	2.27	452
15	1 108	1 071	3.34	384
20	1 114	1 071	3.86	356

下载: 导出CSV

ZHOU X, ZHONG M. Single-track train timetabling with guaranteed optimality:branch-and- bound algorithms with enhanced lower bounds[J]. Transportation Research Part B, 2007, 41(3): 320-341. doi: 10.1016/j.trb.2006.05.003

JONG J C, CHANG S, LAI Y C. Development of two-stage hybrid method to solve high-speed rail train scheduling problem[J]. Transportation Research Record, 2013, 11: 44-54.

许红,马建军,龙建成. 客运专线列车运行图编制模型及计算方法的研究[J]. 铁道学报,2007,29(2): 1-7. doi: 10.3321/j.issn:1001-8360.2007.02.001

XU Hong, MA Jianjun, LONG Jiancheng. Research on the model and algorithm of the train working diagram of dedicated passenger line[J]. Journal of the China Railway Society, 2007, 29(2): 1-7. doi: 10.3321/j.issn:1001-8360.2007.02.001

周文梁,史峰,陈彦. 基于定序优化的客运专线列车运行图铺划方法[J]. 铁道学报,2010,32(1): 1-7. doi: 10.3969/j.issn.1001-8360.2010.01.001

ZHOU Wenliang, SHI Feng, CHEN Yan. A method for drawing train diagram of dedicated passenger line based on fixed order optimization[J]. Journal of the China Railway Society, 2010, 32(1): 1-7. doi: 10.3969/j.issn.1001-8360.2010.01.001

CUCALA A P, FEMANDEZ A, SICRE C, et al. Fuzzy optimal schedule of high speed train operation to minimize energy consumption with uncertain delays and driver’s behavioral response[J]. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 2012, 25(8): 1548-1557. doi: 10.1016/j.engappai.2012.02.006

ALBRECHT A R, PANTON D M, LEE D H. Rescheduling rail networks with maintenance disruptions using Problem Space Search[J]. Computers & Operations Research, 2013, 40(3): 703-712.

CAREY M, CRAWFROD I. Scheduling trains on a network of busy complex stations[J]. Transportation Research Part B:Methodological, 2007, 41(2): 159-178. doi: 10.1016/j.trb.2006.02.002

唐金金,周磊山,冉锋,等. 基于牵引仿真的列车运行图软冲突疏解方法研究[J]. 铁道学报,2012,34(4): 1-8. doi: 10.3969/j.issn.1001-8360.2012.04.001

TANG Jinjin, ZHOU Leishan, RAN Feng, et al. Research on train scheduling for high-speed railway lines based on soft conflict adjustment[J]. Journal of the China railway Society, 2012, 34(4): 1-8. doi: 10.3969/j.issn.1001-8360.2012.04.001

WILLEM L, PEETERS P. Cyclic railway timetable optimization[D]. Netherlands: Erasmus University Rotterdam, 2003

CAIMI G, FUCHSBERGER M, MARCO L, et al. Periodic railway timetabling with event flexibility[J]. Special Issue:Optimization in Scheduled Transportation Networks, 2012, 57(1): 3-18.

CHRISTIAN L. Periodic timetable optimization in public transport[M]. Berlin: Winter Industries Gmbh, 2006: 102-125

汪波,杨浩,牛丰,等. 周期运行图编制模型与算法研究[J]. 铁道学报,2007,29(5): 1-7. doi: 10.3321/j.issn:1001-8360.2007.05.001

WANG Bo, YANG Hao, NIU Feng, et al. Study on model and algorithm of periodic train diagram generation[J]. Journal of the China railway Society, 2007, 29(5): 1-7. doi: 10.3321/j.issn:1001-8360.2007.05.001

汪波,韩宝明,战明辉. 城市轨道交通网络周期运行图编制研究[J]. 铁道学报,2013,35(4): 9-15. doi: 10.3969/j.issn.1001-8360.2013.04.002

WANG Bo, HAN Baoming, ZHAN Minghui. Study on formulation of periodic train diagram of urban rail transit network[J]. Journal of the China Railway Society, 2013, 35(4): 9-15. doi: 10.3969/j.issn.1001-8360.2013.04.002

谢美全,聂磊. 周期性列车运行图编制模型研究[J]. 铁道学报,2009,31(4): 7-13.

XIE Meiquan, NIE Lei. Model of cyclic train timetable[J]. Journal of the China Railway Society, 2009, 31(4): 7-13.

贾晓秋. 客运专线旅客列车周期运行图的优化理论与方法研究[D]. 成都: 西南交通大学, 2011

李传宾. 基于矩阵表示和极大代数法的高铁周期列车运行图编制方法研究[D]. 北京: 北京交通大学, 2012

基于多节拍组合的城际铁路列车运行图优化

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20170153

作者简介:
周文梁（1982—），男，副教授，博士，研究方向为轨道交通运营组织优化，E-mail：zwl_0631@csu.edu.cn

计量