基于非线性电感的混合电磁铁磁力计算方法

申璐; 张立伟; 修三木; 张孟磊; 杨长青; 吕尚阳

doi:10.3969/j.issn.0258-2724.20230551

基于非线性电感的混合电磁铁磁力计算方法

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20230551

北京交通大学电气工程学院，北京 100044

基金项目: 中央高校基本科研业务费专项资金（2022YJS153）

详细信息

作者简介:
申璐（1997—），女，博士研究生，研究方向为磁悬浮系统控制，E-mail：19117017@bjtu.edu.cn

通讯作者:
张立伟（1977—），男，教授，研究方向为载运工具运用工程，E-mail：lwzhang@bjtu.edu.cn

中图分类号: U266.4
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出版历程
- 收稿日期: 2023-10-18
- 修回日期: 2024-03-25
- 网络出版日期: 2024-04-28
- 刊出日期: 2024-04-02

Calculation Method of Magnetic Force of Hybrid Electromagnets Based on Nonlinear Inductance

School of Electrical Engineering, Beijing Jiaotong University, Beijing 100044, China

摘要

摘要:
为提高混合电磁铁磁力计算的准确性和效率，综合考虑解析法计算速度快和有限元法计算精度高的优势，提出一种基于非线性电感的混合电磁铁磁力计算方法. 首先，分析混合电磁铁电感与电流的关系，建立考虑磁饱和的非线性电感模型；然后，采用等效面电流法，将 2 种典型的混合电磁铁结构（结构a、结构b）等效为多电磁线圈的纯电磁铁结构，进而利用能量平衡法推导出通用于串联磁路型混合电磁铁磁力表达式，其中非线性电感的参数变量由有限元仿真法拟合得到. 研究结果表明：结构 a 和结构 b 利用本文所述方法得到的电磁力计算结果与传统有限元仿真结果的平均偏差为2.54%和2.37%，结构a与实验测量的平均偏差为2.63%，且与传统有限元法相比，计算效率极大提升，即本文所述方法通过较少任务的有限元仿真得到远高于现有解析公式准确性的电磁力计算结果.
- 混合电磁铁 /
- 非线性电感 /
- 能量平衡法 /
- 有限元法 /
- 磁力计算
Abstract:
In order to improve the accuracy and efficiency of the magnetic force calculation of hybrid electromagnets, this paper took into account the advantages of fast calculation speed of the analytical method and high calculation accuracy of the finite element method and proposed a calculation method of the magnetic force of hybrid electromagnets based on the nonlinear inductance. The paper first analyzed the relationship between the inductance and current of the hybrid electromagnet and established a nonlinear inductance model considering magnetic saturation. Then, the equivalent surface current method was used to equate two typical hybrid electromagnet structures (structure a, structure b) into pure electromagnet structures with multi-electromagnetic coils. The magnetic force expression of the series magnetic circuit type hybrid electromagnet was derived by using the energy balance method, in which the parameter variables of the nonlinear inductance model were fitted by the finite element simulation method. The research results show that the average deviations between the electromagnetic force calculation results of structures a and b obtained by the proposed method and the traditional finite element simulation are 2.54% and 2.37%, and the average deviation between structure a and experimental measurement is 2.63%. Compared with the traditional finite element method, the calculation efficiency is greatly improved. In other words, the proposed method obtains electromagnetic force calculation results that are much more accurate than the existing analytical formulas through finite element simulation with fewer tasks.
- hybrid electromagnet /
- nonlinear inductance /
- energy balance method /
- finite element method /
- magnetic force calculation

HTML全文

随着轨道交通领域对列车运行高速、节能的要求越来越高，磁悬浮技术凭借其振动小、无摩擦、长寿命等特点逐渐引起国内外学者的关注^[1]. 目前常见的2种悬浮方式为超导磁斥式-电动悬浮（EDS）和常导磁吸式-电磁悬浮（EMS），其中， EDS 型磁浮系统运行稳定性差且带有磁场污染，EMS 型磁浮系统运行损耗大^[2-3]. 针对现有磁浮方式存在的问题，Tzeny等^[4]提出永磁体与电磁线圈结合的混合电磁铁结构. 该结构利用永磁体具有磁力的特性，将其加入电磁悬浮系统补偿部分电磁力，可以显著降低系统的能耗. 近年来，众多国内外学者对混合电磁铁的结构和控制等方面展开了多方面的研究.

为维持系统的稳定，混合悬浮系统在起浮、受外界干扰以及负载发生变化的过程中仍然需要对电磁线圈电流进行调节，因此，相关的控制技术一直是混合悬浮系统的研究热点^[5-7]. 目前，混合悬浮系统的控制策略可以分为线性控制、非线性控制和智能控制3种. 零功率悬浮控制的理念被提出后，混合悬浮系统得到了进一步推广和应用. 为提高系统的控制性能，除了悬浮控制，精确的电磁力计算方法也是至关重要的. 目前，针对电磁系统所受电磁力的分析主要有：解析法和有限元仿真法. 其中，解析法在混合悬浮系统中应用最多的为通过磁路法计算得到的理想公式^[8-10]. 但是，理想公式只在均匀分布的磁场中成立，未考虑磁饱和、漏磁效应和边端效应等实际问题，在大气隙电磁系统中，依据理想公式计算得到的电磁力与实际值相比误差较大. 理想公式只在理想均匀分布的磁场中成立，除此之外，为获得更为精确的电磁力计算值，国内外学者提出了多种基于磁路分析^[11]、永磁体分割^[12]等计算混合悬浮系统电磁力的解析优化方法，理想公式的计算准确性有了一定的提高. 但相比于有限元法，计算精度仍然不高且推导过程复杂^[13-16].

伴随着计算机技术的发展和电磁场仿真软件的开发应用，基于COMSOL^[17]和ANSYS^[18-19]等软件的有限元仿真法成为求解高精度磁悬浮系统电磁力的有效方法. 传统有限元法能够得到比较准确的电磁力计算结果，但是，混合电磁铁为多变量输入系统，相比于单变量系统仿真，其计算任务量和计算成本将成倍增加，且将更受限于设备的计算能力^[20-23].

本文针对现有混合电磁铁磁力解析式计算准确性低和传统有限元法计算任务量多的问题，综合解析法计算速度快和有限元法计算精度高的优势，提出一种基于电感参数的混合电磁铁磁力计算方法. 本文首先分析混合电磁铁电感与电流的关系，建立考虑磁饱和的非线性电感模型；然后，采用等效面电流法，将2种典型的混合电磁铁结构等效为多电磁线圈的纯电磁铁结构；最后，利用能量平衡法推导出通用于串联磁路型混合电磁铁磁力表达式. 非线性电感模型的参数变量由有限元仿真法拟合得到，参数变量的拟合结果反映了系统的漏磁和边端效应等问题.

1. 混合电磁铁模型

1.1 电磁悬浮系统模型

图1所示为纯电磁铁模型，该系统主要由轨道、铁芯和电磁线圈组成.

图 1 纯电磁铁模型

Figure 1. Pure electromagnet model

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当电磁悬浮系统处于静止状态时，电源向悬浮系统供电，线圈电压如式（1）所示.

$u(t)=i(t) R + \frac{\mathrm{d} \psi (i)}{\mathrm{d} t},$

(1)

式中： $i(t)$ 为线圈电流，t为时间， $R$ 为线圈电阻， $\psi(i)$ 为线圈磁链.

在时间t内，有

$\int_{0}^{t} u(t) {i}(t) \mathrm{d} \tau =\int_{0}^{t} i^{2}(t) R \mathrm{d} \tau + \int i(t) \mathrm{d} \psi(i).$

(2)

根据式（2）可知，当系统气隙不变时，0～t时间内电源输出的能量全部转换为电阻消耗的能量 $\displaystyle\int_0^t {i^2{{(t)}}R{\text{d}}\tau}$ 和储存在磁场中的能量 $\displaystyle\int_0^\psi {i(t){\text{d}}\psi (i)}$ .

当电磁悬浮系统气隙从A₁变化到 ${A_2}$ 时，其能量平衡关系如所示. 图中： ${\psi _1}({\psi _2} )、$ ${I_1} ({I_2})$ 为系统电磁线圈在A₁（A₂）处的磁链和电流.

图 2 纯电磁铁能量平衡关系

Figure 2. Balance relationship of pure electromagnet energy

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根据式（2）和可以推导出电磁悬浮系统在A₁处时，气隙磁场能量 ${W_{A_1}} \propto {S_{OA_1{\psi _{\text{1}}}}}$ ，在 ${A_2}$ 处时，气隙磁场能量 ${W_{{A_2}}} \propto {S_{O{A_2}{\psi _2}}}$ ，气隙从A₁变化到 ${A_2}$ 时，线圈电流和磁链都发生变化，磁场又从电源内吸收一部分能量 ${W_{A_1{A_2}}} \propto {S_{{\psi _1}A_1{A_2}{\psi _2}}}$ . 其中： ${S_{OA_1{\psi _1}}}$ 为点O、A₁、 ${\psi _1}$ 围起来的面积，其余及后文类推. 在由A₁到 ${A_2}$ 的过程中，有能量做了机械功 $\Delta W$ ，即有电磁能量转换为机械能，其能量平衡关系如式（3）所示.

$\Delta W = {W_{A_1}} + {W_{A_1{A_2}}} - {W_{{A_2}}} .$

(3)

在电磁悬浮系统移动的过程中，电磁力为

$F = - \frac{{{\text{d}}W}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}} \text{，}$

(4)

式中： $W$ 为系统机械能，z为系统气隙高度.

1.2 混合电磁铁模型

图3所示为2种常见的混合电磁铁模型，结构 a 的永磁体位于U型铁芯两端，结构 b 的永磁体位于U型铁芯中间，2种结构永磁体的厚度相同，且U型铁芯的截面积与轨道的截面积相同.

图 3 混合电磁铁模型

Figure 3. Hybrid electromagnet model

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结构a和结构b的电磁力一般采用如式（5）所示的理想公式进行计算.

$F=\mu_{0} A\left(\frac{H_{{\mathrm{c}}} h_{{\mathrm{p m}}} + N i}{2 \textit{z} + h_{{\mathrm{p m}}} / \mu_{{\mathrm{r}}}}\right)^{2},$

(5)

式中： $\mu_{0}$ 为真空磁导率， $N$ 为电磁线圈匝数， $A$ 为铁芯截面积， $H_{{\mathrm{c}}}$ 为永磁体矫顽力， ${h}_{{\mathrm{p m}}}$ 为永磁体厚度， $\mu_{{\mathrm{r}}}$ 为永磁体相对磁导率.

根据1.1节，相比于电磁悬浮系统，混合电磁铁的磁场能量由电源和永磁体共同提供，由于永磁体提供的能量无法直接用磁链-电流曲线计算，因此，可以根据等效面电流法将永磁体等效为线圈后，推导永磁体的磁链-电流曲线，进而计算混合电磁铁的电磁力. 等效后混合电磁铁模型如图4所示，永磁体等效线圈的电流可以根据等效前后磁势相等的原则进行计算.

图 4 等效后混合电磁铁模型

Figure 4. Equivalent hybrid electromagnet model

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在电磁线圈电感电流较小时，磁路中磁场强度较小，磁感应强度随磁场强度的增加线性增加，电磁线圈未饱和时的电感值（ ${L_0}$ ）不发生变化；当电感电流达到一定值后，磁感应强度增加的趋势会慢慢减小，即此时电感值随着电流的增加慢慢减小；当磁路完全饱和后，电磁线圈电感变为空心电感，电感值变为最小（ ${L_\infty }$ ）. 由于混合电磁铁存在永磁体，电磁线圈电感随着电流变化的曲线不是沿y轴对称的，存在电流负方向的偏移. 混合电磁铁电感-电流曲线如图5所示.

图 5 混合电磁铁电感-电流曲线

Figure 5. Inductance-current curve of hybrid electromagnet

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根据电感-电流曲线，电磁线圈电感表达式可用广义钟形函数表示.

根据增量电感和磁链的关系 $L(i) = {{{\text{d}}\psi (i)} \mathord{\left/ {\vphantom {{{\text{d}}\psi (i)} {{\text{d}}i}}} \right. } {{\text{d}}i}}$ 及式（6），可以推导出混合电磁铁磁链-电流表达式，如式（7）所示.

$L(i) = \frac{a}{{{\text{1}} + {{\left(\dfrac{{i - b}}{c}\right)}^2}}} + d ，$

(6)

$\psi (i) = ac\arctan \frac{{i - b}}{c} + di + e ,$

(7)

式（6）、（7）中：a、b、c、d和e为与z相关的参数变量.

2. 混合电磁铁电磁力计算

2.1 结构a电磁力计算

由于结构a的铁芯两端均存在永磁体，因此，将两端的永磁体等效为线圈后，结构a共有3个线圈，分别为等效线圈a₁、等效线圈a₂和电磁线圈a₃ . 在任意气隙 ${\textit{z}}$ 下，将结构a从电源和永磁体中获取磁场能量的过程分为3部分，即依次由0开始增加3个线圈的电流至最终值，其中 $\psi$ -i曲线如所示. 图中： ${A_{{\mathrm{a_1}}}}、$ ${A_{{\mathrm{a_2}}}} 、$ ${B_{{\mathrm{a_1}}}}、$ ${B_{{\mathrm{a_2}}}} 、$ ${A_{{\mathrm{a_3}}}}$ 分别为气隙高度z处几个关键点， ${\psi _{{\mathrm{a_3}}}}$ 为电磁线圈a₃磁链， ${I_{\mathrm{a}}}$ 为流过电磁线圈a电流， ${\psi _{{\mathrm{ma}}_1}}$ 为等效线圈a₁磁链， ${I_{{\mathrm{ma}}_1}}$ 为流过等效线圈a₁电流， ${\psi _{{\mathrm{ma}}_2}}$ 为等效线圈a₂磁链， ${I_{{\mathrm{ma}}_2}}$ 为流过等效线圈a₂电流， ${L_{{\mathrm{ma}}_1}} （{L_{{\mathrm{ma}}_2}}）$ 为等效线圈a₁（a₂）的自感， ${M_{{\mathrm{a_1}}}}$ 为电磁线圈a和等效线圈a₁间的互感， ${M_{{\mathrm{a_2}}}}$ 为电磁线圈a和等效线圈a₂间的互感， ${M_{{\mathrm{a_{12}}}}}$ 为等效线圈a₁与a₂间的互感. 后文中，下标取b时，对应为结构b.

图 6 线圈磁链-电流曲线

Figure 6. Flux–current curves of coil

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由于结构a与结构b的永磁体总厚度相等，均为 ${h_{{\mathrm{pm}}}}$ ，因此，结构a中等效线圈a₁和等效线圈a₂的电流 ${I_{{\mathrm{ma}}_1}} = {I_{{\mathrm{ma}}_2}} = {H_{\mathrm{c}}}{h_{{\mathrm{pm}}}}/2$ .

根据磁场能量计算式 $\int_0^\psi {i(t){\text{d}}\psi (i)}$ 及图6，气隙磁场通过等效线圈a₁、等效线圈a₂和电磁线圈a₃获得的能量 ${W_{{\mathrm{ma_1}}}} 、$ ${W_{{{\mathrm{ma_2}}}}}$ 和 ${W_{{\mathrm{a_3}}}}$ 分别正比于 ${S_{O{A_{{\mathrm{a_1}}}}{B_{{\mathrm{a_1}}}}{\psi _{{{\mathrm{ma_1}}}}}}}$ 、 ${S_{({M_{{\rm{a_{12}}}}}{I_{{\mathrm{{ma_1}}}}}){A_{{\mathrm{a_2}}}}{B_{\mathrm{{a_2}}}}{\psi _{{{\mathrm{ma}}_2}}}}}$ 和 ${S_{({M_{{\mathrm{{a_2}}}}}{I_{{\mathrm{{ma_2}}}}} + {M_{\mathrm{{a_1}}}}{I_{{{\mathrm{ma}}_1}}}){A_{\mathrm{a}}}{\psi _{\mathrm{{a_{3}}}}}}}$ .

即气隙磁场的总能量为

$\begin{split} &{W_{{\mathrm{a}}}} = {W_{{\mathrm{{ma_1}}}}} + {W_{{\mathrm{{ma_2}}}}} + {W_{{\mathrm{a_3}} }} = \frac{1}{2}{I_{{{\mathrm{ma_1}}}}}(2{\psi _{{{\mathrm{ma_1}}}}} - \\ &\quad {L_{{{\mathrm{ma_1}}}}}{I_{{{\mathrm{ma_1}}}}}) {\text{ + }} \frac{1}{2}{I_{{{\mathrm{ma_2}}}}}(2{\psi _{{{\mathrm{ma_2}}}}} - 2{M_{a_{12}}}{I_{{{\mathrm{ma_1}}}}} - {L_{{{\mathrm{ma_2}}}}}{I_{{{\mathrm{ma_2}}}}}) {\text{ + }} \\ &\quad\left(abc\arctan \frac{{{I_{\mathrm{a}}} - b}}{c} - \frac{{a{c^2}}}{2}\ln \frac{{{c^2}}}{{{{({I_{\mathrm{a}}} - b)}^2} + {c^2}}} + \frac{{dI_{\mathrm{a}}^2}}{2}\right) . \\ \end{split}$

(8)

当混合电磁铁气隙变化为 $\Delta{\textit{z}}$ ，即从固定气隙z运动到z₁处时，可得等效线圈a₁、等效线圈a₂和电磁线圈a₃的 $\psi$ -i曲线如所示. 图中， $\psi _{\text{ma}_1}^{'}$ 为等效线圈a₁在气隙高度z₁处的磁链，其余变量同理.

图 7 气隙z运动到z₁时线圈磁链-电流曲线

Figure 7. Flux-current curves of coil when the air gap z moves to z₁

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对上述曲线分析可知，系统从气隙 ${\textit{z}}$ 运动到 ${\textit{z}}_1$ 时，气隙磁场通过等效线圈a₁、等效线圈a₂和电磁线圈a₃获得的能量 ${W_{{\mathrm{{ma_1}}}{\textit{z}}}}$ 、 ${W_{{\mathrm{{ma_2}}}{\textit{z}}}}$ 和 ${W_{{\mathrm{a_3}}{{\textit{z}}}}}$ 分别正比于 ${S_{{\psi _{{\mathrm{{ma_1}}}}}{B_{{\mathrm{a_1}}}}B_{{\mathrm{a_1}}}{\psi^{'} _{{\mathrm{{ma_1}}}}}}}$ 、 ${S_{{\psi _{{\mathrm{{ma_2}}}}}{B_{{\mathrm{a_2}}}}B_{{\mathrm{a_2}}}^{'}{\psi^{'} _{{\mathrm{{ma_2}}}}}}}$ 和 ${S_{{\psi _{{\mathrm{a_2}}}}{A_{\mathrm{a}}}A_{\mathrm{a}}^{'}\psi _{{\mathrm{a_2}}}^{'}}}$ .

在气隙变化过程中，悬浮系统从电源中获得的总能量为

$\begin{split} &{W_{{\mathrm{a}}{\textit{z}}}} = {W_{{\mathrm{{ma_1{\textit{z}}}}}}} + {{W_{\mathrm{{ma_2{\textit{z}}}}}}} + {W_{{\mathrm{a_3{\textit{z}}}} }}= \\ &\quad\psi _{\mathrm{{ma_1}}}^{'} - {\psi _{{\mathrm{ma}}_1}}){I_{\mathrm{{ma_1}}}} + (\psi _{\mathrm{{ma_2}}}^{'} - {\psi _{\mathrm{{ma_2}}}}){I_{\mathrm{{ma_2}}}} {\text{ + }} \\ &\quad\frac{1}{2}(I_{\mathrm{a}}^{'} + {I_{\mathrm{a}}})(\psi _{{\mathrm{a}}_3}^{'} - {\psi _{{\mathrm{a}}_3}}) . \end{split}$

(9)

气隙变为 ${\textit{z}}_1$ 后，结构a在 ${\textit{z}}_1$ 处的磁场能量为

$\begin{split} &{W_{{\mathrm{a}}{{\textit{z}}}_1}} = {W_{{\mathrm{{ma_1}{\textit{z}}_1}}}} + {W_{{\mathrm{{ma_2}{\textit{z}}_1}}}} + {W_{\mathrm{{a_3}{\textit{z}}_1}}} = \\ &\quad\frac{1}{2}I_{{{\mathrm{ma}}_1}}^{'}(2\psi _{{{{\mathrm{ma}}_1}}}^{'} - L_{{{\mathrm{ma}}_1}}^{'}I_{{{{\mathrm{ma}}_1}}}^{'}) {\text{ + }} \\ &\quad\frac{1}{2}I_{{{{\mathrm{ma}}_2}}}^{'}(2\psi _{{{\mathrm{ma}}_2}}^{'} - 2M_{{{\mathrm{a}}_{12}}}^{'}I_{{{{\mathrm{ma}}_1}}}^{'} - L_{{{\mathrm{ma}}_2}}^{'}I_{{{{\mathrm{ma}}_2}}}^{'}) {\text{ + }} \\ &\quad\left((I_{\mathrm{a}}^{'}{a'}{c'} - I_{\mathrm{a}}^{'} + {b^{'}})\arctan \frac{{I_{\mathrm{a}}^{'} - {b^{'}}}}{{{c'}}} - \right. \\ &\quad\left.\frac{{{c'}}}{2}\ln \frac{{{c'}^2}}{{{{(I_{\mathrm{a}}^{'} - {b^{'}})}^2} + {c'^2}}} + \frac{{{d^{'}}I{{_{\mathrm{a}}^{'}}^2}}}{2}\right). \end{split}$

(10)

在由气隙 ${\textit{z}}$ 运动到 ${\textit{z}}_1$ 过程中，有部分能量做了机械功，其能量平衡关系式如（11）所示.

$\begin{split} &\Delta {W_{{\mathrm{aF}}}} = {W_{{\mathrm{a}}}} + {W_{{\mathrm{a}}{{\textit{z}}}}} - {W_{{\mathrm{a}}{\textit{z}}_1}} {\text{ }} = \\ &\quad\frac{1}{2}({I_{\mathrm{a}}} - I_{\mathrm{a}}')({\psi _{{\mathrm{a_3}}}} + \psi _{{{\mathrm{a_3}}}}') + \frac{1}{2}(L_{{\mathrm{{ma_1}}}}' - {L_{{\mathrm{{ma_1}}}}}){I^2 _{{\mathrm{{ma_1}}}}} {\text{ }} + \\ &\quad(M_{{\mathrm{a}}_{12}}' - {M_{{\mathrm{a}}_{12}}}){I_{{\mathrm{am}}_1}}{I_{{\mathrm{am}}_2}} + \frac{1}{2}(L_{{\mathrm{am}}_2}' - {L_{{\mathrm{{{\mathrm{ma}}_2}}}}}){I^2_{{\mathrm{{ma_2}}}}}{\text{ }} {\text{ + }} \\ &\quad\left((I_{\mathrm{a}}' - {b'})\arctan \frac{{I_{\mathrm{a}}' - {b'}}}{{{c'}}} + \frac{{{c'}}}{2}\ln \frac{{{c'}^2}}{{{{(I_{\mathrm{a}}' - {b'})}^2} + {c^{'2}}}} {\text{ +}}\right. \\ &\quad\left.\frac{{{d'}I{{_{\mathrm{a}}'}^2}}}{2} + {e'}I_{\mathrm{a}}'\right){\text{ }} - \left(({I_{\mathrm{a}}} - b)\arctan \frac{{{I_{\mathrm{a}}} - b}}{c}{\text{+ }}\right. \\ &\quad\frac{c}{2}\ln\left. \frac{{{c^2}}}{{{{({I_{\mathrm{a}}} - b)}^2} {c^2}}} + \frac{{dI_{\mathrm{a}}^2}}{2} + e{I_{\mathrm{a}}}\right) , \end{split}$

(11)

式中： $\Delta {W_{{\mathrm{aF}}}}$ 为结构a的机械能变化.

混合电磁铁结构a电磁力解析式为

$\begin{split} &{F_{\mathrm{a}}} = - \frac{{{\text{d}}{W_{{\mathrm{aF}}}}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}} {\text{ }} = - \frac{1}{2}\frac{{{\text{d}}{L_{{\mathrm{ma_1}}}}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}{I_{{\mathrm{ma_1}}}} - \frac{{{\text{d}}{M_{{\mathrm{a}}_{12}}}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}{I_{{\mathrm{ma}}_1}}{I_{{\mathrm{ma}}_2}} - \\ &\quad\frac{1}{2}\frac{{{\text{d}}{L_{{\mathrm{ma_1}}}}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}{I^2_{{\mathrm{ma_1}}}} - \frac{{{\text{d}}g({\textit{z}},{I_{\mathrm{a}}})}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}, \end{split}$

(12)

$\begin{split} &式中： {W_{{\mathrm{aF}}}}\; 为机械能， \dfrac{{{\text{d}}g({\textit{z}},{I_{\mathrm{a}}})}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}} = c\left(({I_{\mathrm{a}}} - b){\mathrm{arc}}\tan \frac{{{I_{\mathrm{a}}} - b}}{c} + \right. \\ &\quad{\text{ }}\frac{c}{{\text{2}}}\times \left.\ln \frac{{{c^2}}}{{{{({I_{\mathrm{a}}} - b)}^2}+ {c^2}}}\right)\frac{{{\text{d}}a}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}-a\left(\frac{{{c^2}}}{{{{({I_{\mathrm{a}}} - b)}^2} + {c^2}}}+ \right. \\ &\quad{\text{ }} \left.c\arctan \frac{{{I_{\mathrm{a}}} - b}}{c} \right) \frac{{{\text{d}b}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}} + a\left( ({I_{\mathrm{a}}} - b)\arctan \frac{{{I_{\mathrm{a}}} - b}}{c} \right.+ \\ &\quad \Bigg. c\ln ({({I_{\mathrm{a}}} - b)^2} + {c^2})\Bigg)\frac{{{\text{d}c}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}} + I_{\mathrm{a}}^2\frac{{{\text{d}}d}}{{{\text{2d}}{\textit{z}}}} + {I_{\mathrm{a}}}\frac{{{\text{d}}e}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}. \\ \end{split}$

2.2 结构b电磁力计算

由于结构b的永磁体存在于铁芯中间，因此，结构b仅有2个线圈（等效线圈b₁和电磁线圈b₂），同结构a分析过程相同，等效线圈b₁和电磁线圈b₂的磁链-电流关系变化过程如图8所示.

图 8 线圈b₁、b₂磁链-电流曲线

Figure 8. Flux-current curves of coil b₁ and b₂

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根据2.1节中结构a电磁力推理得到结构b气隙变化过程的机械能变化为

$\begin{split} & \Delta {W_{{\mathrm{bF}}}} ={W_{{\mathrm{b}}}} + {W_{{\mathrm{b}{\textit{z}}}}} - {W_{{\mathrm{b}}{{\textit{z}}_1}}} {\text{ }} = \\ &\quad\frac{1}{2}(L_{{{\mathrm{{mb_1}}}}}' - {L_{{{\mathrm{{mb_1}}}}}}){I^2_{{{\mathrm{{mb_1}}}}}}{\text{ }} {\text{ + }} \\ &\quad\left((I_{\mathrm{b}}' - {b'})\arctan \frac{{I_{\mathrm{b}}' - {b'}}}{{{c'}}} + \frac{{{c'}}}{2}\ln \left(\frac{{{c'}^2}}{{{{(I_{\mathrm{b}}' - {b'})}^2} + {c^{'2}}}}\right. + \right. \\ &\quad\frac{{{d'}I{{_{\mathrm{b}}'}^2}}}{2}+ {e'}I_{\mathrm{b}}')-(({I_{\mathrm{b}}} - b)\arctan \frac{{{I_{\mathrm{b}}} - b}}{c}+ \\ & \quad\left.\frac{c}{2}\ln \frac{{{c^2}}}{{{{({I_{\mathrm{b}}} - b)}^2} + {c^2}}}+ \frac{{dI_{\mathrm{b}}^2}}{2} + e{I_{\mathrm{b}}}\right). \end{split}$

(13)

即混合电磁铁结构b电磁力解析式为

$\begin{split} \quad{F_{\mathrm{b}}} = - \frac{{{\text{d}}{W_{{\mathrm{bF}}}}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}} {\text{ }} =- \frac{1}{2}\frac{{{\text{d}}{L_{{\mathrm{mb}}_1}}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}{I^2_{{\mathrm{mb_1}}}} - \frac{{{\text{d}}g({\textit{z}},{I_{\mathrm{b}}})}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}, \end{split}$

(14)

$\begin{split} &式中：\frac{{{\text{d}}g({\textit{z}},{I_{\mathrm{b}}})}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}} = c\left(\left({I_{\mathrm{b}}} - b\right){\mathrm{arc}}\tan \frac{{{I_{\mathrm{b}}} - b}}{c} {\text{ }} +\right. \\ &\quad\left.\frac{c}{{\text{2}}}\ln \frac{{{c^2}}}{{{{({I_{\mathrm{b}}} - b)}^2} + {c^2}}}\right)\frac{{{\text{d}}a}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}－a\left(\frac{{{c^2}}}{{{{({I_{\mathrm{b}}} - b)}^2} + {c^2}}} {\text{ }} +\right. \\ &\quad \left.c\arctan \frac{{{I_{\mathrm{b}}} - b}}{c}\right)\frac{{{\text{db}}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}+ a(({I_{\mathrm{b}}} - b)\arctan \frac{{{I_{\mathrm{b}}} - b}}{c} {\text{ }}+ \\ &\quad c\ln ({({I_{\mathrm{b}}} - b)^2} + {c^2}))\frac{{{\text{d}}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}+I_{\mathrm{b}}^2\frac{{{\text{d}}d}}{{{\text{2d}}{\textit{z}}}} + {I_{\mathrm{b}}}\frac{{{\text{d}}e}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}} . \end{split}$

对比式（12）和式（14），式（14）为式（12）第2个等效线圈电流为0时的特殊情况，这是因为结构b只有一个等效线圈，因此，可以对多永磁电磁悬浮系统电磁力表达式进行推理：

$\begin{split} &F = - \frac{{{\text{d}}{W_{\mathrm{F}}}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}} {\text{ }} = - \frac{1}{2}\frac{{{\text{d}}{L_{{\mathrm{m}}1}}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}{I^2_{{\mathrm{m}}1}} - \frac{1}{2}\frac{{{\text{d}}{L_{{\mathrm{m}}2}}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}{I^2_{{\mathrm{m}}2}} - \cdots - \\ &\quad\frac{1}{2}\frac{{{\text{d}}{L_{{\mathrm{m}}n}}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}{I^2_{{\mathrm{m}}n}} {\text{ }} - \frac{{{\text{d}}{M_{12}}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}{I_{{\mathrm{m}}1}}{I_{{\mathrm{m}}2}} - \cdots - \frac{{{\text{d}}{M_{1n}}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}{I_{{\mathrm{m}}1}}{I_{{\mathrm{m}}n}} - \cdots - \\ &\quad\frac{{{\text{d}}{M_{(n - 1)n}}}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}}\times {\text{ }}{I_{{\mathrm{m}}(n - 1)}}{I_{{\mathrm{m}}n}} - \frac{{{\text{d}}g({\textit{z}},{I_1})}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}} - \frac{{{\text{d}}g({\textit{z}},{I_2})}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}} - \cdots - \\ &\quad \frac{{{\text{d}}g({\textit{z}},{I_{{n}}})}}{{{\text{d}}{\textit{z}}}} ， \end{split}$

(15)

式中： ${L_{{\mathrm{m}n}}}$ 为等效线圈n的自感， ${I_{{\mathrm{m}n}}}$ 为流过等效线圈n的电流， ${M_{(n － 1)n}}$ 为等效线圈n−1和等效线圈n间的互感， ${I_n}$ 为流过电磁线圈的电流.

3. 仿真验证

根据式（15），电磁力表达式需要确定等效线圈自感、等效线圈间互感和磁链-电流表达式中各参数变量与气隙相关的方程. 本文利用有限元仿真计算精度高的优势，仿真得到各变量的拟合曲线，将拟合方程代入式（15）即可得到系统在任意气隙下、电磁线圈电流为任意值时系统的电磁力. ANSYS/MAXWELL有限元软件中搭建的混合电磁铁结构a和结构b的三维仿真模型分别如图9.

图 9 电磁铁三维仿真模型

Figure 9. 3D simulation model of electromagnet

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有限元仿真部分求解参数如表1所示.

表 1 仿真参数

Table 1. Simulation parameters

参数	数值
h_pm/mm	6
N/匝	550
H_c/（A·m⁻¹）	5.8 × 10⁵
额定电磁线圈电流 I/A	2
等效线圈a（b）电流/A	2.67
额定气隙/mm	10

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得到a、b、c、d、e与磁链、电感相关的部分方程，如式（16）所示.

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\psi ( + \infty ) + \psi ( - \infty ) = 2e}， \\ {L(0) = a + d} ，\\ {L( \pm \infty ) = d} ，\\ {L(I) = \dfrac{a}{{{\text{1}} + {{\left(\dfrac{{I - b}}{c}\right)}^2}}} + d}， \\ {\psi (I) = ac\arctan \dfrac{{I - b}}{c} + dI + e} . \end{array}} \right.$

(16)

根据式（16）可知，通过设置电磁线圈电流值为0、趋于无穷大和另一任意值即可确定各参数变量分别与气隙z的关系，进而代入式（15）得到混合电磁铁电磁力表达式.

图10为有限元仿真的网格剖分结果. 图11为混合电磁铁2种结构仿真所用3D有限元模型电磁线圈电流为0时xOz平面上的磁感应强度B分布图. 可以看出，由于结构a的永磁体靠近工作气隙，其漏磁相比于结构b更小.

图 10 网格剖分

Figure 10. Mesh generation

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图 11 系统xOz平面磁感应强度分布

Figure 11. Magnetic induction intensity distribution of system on xOz plane

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设置混合电磁铁电磁线圈额定电流为2 A，工作气隙为5～15 mm，对比式（15）、现有解析计算式（1）和传统有限元仿真法计算得到的电磁力，计算结果如图12所示.

图 12 工作气隙为5～15 mm时电磁力随气隙高度的变化曲线

Figure 12. Variation curves of electromagnetic force with air gap height at working air gap of 5–15 mm

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由图12及相关数据可知：混合电磁铁结构a和结构b通过现有解析计算式（1）得到的电磁力计算结果与传统有限元仿真结果的平均偏差分别为20.02%和49.68%；本文所述方法即式（16）得到的电磁力计算结果与传统有限元仿真结果的平均偏差为2.54%和2.37%. 相比于现有解析计算式，本文所述方法极大提高了电磁力计算的准确性.

由于本文所述方法的推导过程中利用了有限元仿真法得到系统变量与气隙方程，当气隙变量的仿真步长设置为0.1 mm时，本文所述方法需要进行404个任务的有限元仿真，之后按照式（15）所示的表达式代入不同的电磁线圈电流，即可得到上文所需的在气隙高度为5～15 mm时，流过电磁线圈电流为2 A条件下的电磁力. 此外，若需要计算在5～15 mm气隙高度内，任意气隙值下任意电流值的电磁力，在保证相同精度的情况下，本方法仍需要404个任务，传统有限元法则需要任意电流值数乘以101个仿真任务才可以得到相同的电磁力结果.

在实际控制过程中，任意气隙下的电流值是不确定的，可以为任意数，因此，若通过纯电磁仿真的方法对电磁力进行计算，任务量将远超计算机的计算能力. 根据上述分析可知，本文所述方法可以通过较少任务的有限元仿真得到精确性高的电磁力计算结果.

4. 实验验证

为进一步验证上述基于非线性电感的混合电磁铁电磁力计算方法的准确性，且由于实验装置的限制，本文将利用混合电磁铁结构a实验平台对电磁力计算结果进行实验验证. 实验所需的设备及器材有：结构a型混合电磁铁、气隙传感器、可编程直流电源和压力传感器等，实验平台如图13所示. 该平台将压力传感器放置于轨道和系统间，用来代替轨道对磁悬浮系统提供的垂直向上的支持力，对系统受力分析后，通过重力值和压力传感器测量得到的支持力的数值可以计算得到系统所受的电磁力. 利用可编程直流电源向电磁线圈通入一定数值的电流和通过气隙传感器调整磁悬浮系统的气隙.

图 13 混合电磁铁实验平台

Figure 13. Experimental platform of hybrid electromagnet

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利用上述平台得到流过电磁线圈电流为2 A，气隙高度为8～15 mm的系统电磁力，如图14所示. 将实验结果与计算结果对比可以看出，本文所述的电磁力计算方法与实验结果总体吻合较好，平均偏差为2.63%.

图 14 工作气隙为8～15 mm时电磁力随气隙高度的变化曲线

Figure 14. Variation curves of electromagnetic force with air gap height at working air gap of 8–15 mm

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5. 结　论

本文针对现有混合电磁铁磁力解析式准确性低和传统有限元法计算效率低的问题，提出一种基于非线性电感的混合电磁铁磁力计算方法，取得以下结论：

1）混合电磁铁磁力的传统计算方法未考虑漏磁和磁饱和等现象，计算准确性较低，通过完善混合电磁铁的电感模型及利用有限元仿真拟合参数变量，考虑磁场的非线性特性，得到较为准确的电磁力计算方法.

2）本文所述的电磁力计算方法通用于串联磁路型永磁电磁混合悬浮系统，可以根据永磁体和电磁铁的实际厚度、矫顽力和电流等参数代入电磁力表达式进行计算.

3）在线圈电流为2 A，气隙为5～5 mm的条件下，结构a和结构b利用本文所述方法得到的电磁力计算结果与传统有限元仿真结果的平均偏差为2.54%和2.37%，结构a与实验测量的平均偏差为2.63%. 本文所述方法在大幅降低计算任务量的同时极大提高了电磁力计算的准确性.

图 1 纯电磁铁模型

Figure 1. Pure electromagnet model

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图 2 纯电磁铁能量平衡关系

Figure 2. Balance relationship of pure electromagnet energy

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图 3 混合电磁铁模型

Figure 3. Hybrid electromagnet model

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图 4 等效后混合电磁铁模型

Figure 4. Equivalent hybrid electromagnet model

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图 5 混合电磁铁电感-电流曲线

Figure 5. Inductance-current curve of hybrid electromagnet

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图 6 线圈磁链-电流曲线

Figure 6. Flux–current curves of coil

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图 7 气隙z运动到z₁时线圈磁链-电流曲线

Figure 7. Flux-current curves of coil when the air gap z moves to z₁

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图 8 线圈b₁、b₂磁链-电流曲线

Figure 8. Flux-current curves of coil b₁ and b₂

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图 9 电磁铁三维仿真模型

Figure 9. 3D simulation model of electromagnet

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图 10 网格剖分

Figure 10. Mesh generation

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图 11 系统xOz平面磁感应强度分布

Figure 11. Magnetic induction intensity distribution of system on xOz plane

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图 12 工作气隙为5～15 mm时电磁力随气隙高度的变化曲线

Figure 12. Variation curves of electromagnetic force with air gap height at working air gap of 5–15 mm

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图 13 混合电磁铁实验平台

Figure 13. Experimental platform of hybrid electromagnet

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图 14 工作气隙为8～15 mm时电磁力随气隙高度的变化曲线

Figure 14. Variation curves of electromagnetic force with air gap height at working air gap of 8–15 mm

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表 1 仿真参数

Table 1. Simulation parameters

参数数值

h_pm/mm 6

N/匝 550

H_c/（A·m⁻¹） 5.8 × 10⁵

额定电磁线圈电流 I/A 2

等效线圈a（b）电流/A 2.67

额定气隙/mm 10

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参考文献(23)

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1. 混合电磁铁模型
1.1 电磁悬浮系统模型
1.2 混合电磁铁模型
2. 混合电磁铁电磁力计算
2.1 结构a电磁力计算
2.2 结构b电磁力计算
3. 仿真验证
4. 实验验证
5. 结　论

基于非线性电感的混合电磁铁磁力计算方法

doi: 10.3969/j.issn.0258-2724.20230551

作者简介: 申璐（1997—），女，博士研究生，研究方向为磁悬浮系统控制，E-mail：19117017@bjtu.edu.cn

通讯作者: 张立伟（1977—），男，教授，研究方向为载运工具运用工程，E-mail：lwzhang@bjtu.edu.cn

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