Density-Reducing Monte Carlo Method for 7 Degrees of Freedom Humanoid Robot Arm Workspace Solution
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摘要:
针对蒙特卡洛法和改进蒙特卡洛法在求解机械臂工作空间时存在精度不够准确和加密点云浪费的问题，提出一种降密蒙特卡洛法. 首先，基于蒙特卡洛法中随机点分布不均的特性，对机械臂初始工作空间进行均匀加密，使空间的内部与边界区域分明；然后，采用扩展关节角度和循环加密随机点的方式，只对边界区域进行加密，达到降低工作空间随机点云密度的目的；同时，还研究了该方法中初始点云数量、各轴向分割体素数量、精度阈值、扩展关节角度和循环次数等参数对工作空间精度的影响；最后，通过仿真分析对降密蒙特卡洛法的有效性进行验证. 结果表明：相比于蒙特卡洛法，降密蒙特卡洛法在工作空间平均误差率为0.02242%时，总随机点云数量降幅为93.89%；相比于改进蒙特卡洛法，在循环次数为2次和4次时，降密蒙特卡洛法工作空间的平均误差率分别降低0.13853%和0.11329%，总随机点云数量降幅分别为44.83%和64.52%.
Abstract:A density-reducing Monte Carlo method was proposed to address the problems of inaccurate precision and waste of encrypted point cloud in the Monte Carlo method and the improved Monte Carlo method for solving robot arm workspace. Firstly, based on the characteristic of uneven distribution of random points in the Monte Carlo method, the initial workspace of the robot arm was uniformly densified to make the inner and boundary regions of the space clear. Then, only the boundary region was encrypted by adopting the extended joint angle and the cyclic encryption of random points, so as to reduce the density of the random point cloud in the workspace. Meanwhile, the influence of initial point cloud quantity, axial segmentation voxel quantity, precision threshold, extended joint angle, and cycle number on the precision of the workspace was studied. Finally, the effectiveness of the density-reducing Monte Carlo method was verified by simulation analysis. The results show that compared with the Monte Carlo method, the total number of random point clouds of the density-reducing Monte Carlo method decreases by 93.89% when the average error rate of the workspace is 0.022 42%. In addition, compared with the improved Monte Carlo method, the density-reducing Monte Carlo method reduces the average error rate of the workspace by 0.138 53% and 0.113 29% when the number of cycles is 2 and 4, and the total number of random point clouds decreases by 44.83% and 64.52%.
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螺栓连接因其具有结构简单、拆卸方便、成本低等优点，得到了广泛应用，尤其是螺栓连接在现代许多工程结构中发挥了重要作用[1-3]. 然而，由于螺栓连接的结构特点，普遍存在应力集中和螺纹牙间承载分布不均匀等问题，从而在一定程度上影响了螺栓连接的强度和可靠性[4-5]. 当螺栓连接组合结构在高温环境下工作时，温度和其他环境的波动可能会影响其结构强度和可靠性，导致螺栓松动和过早疲劳失效[6-7].
对于发动机气缸盖螺栓连接而言，发动机气缸盖螺栓的材料为钢，连接件常使用铝合金材料. 由于铝合金材料的蠕变温度较低，因此铝合金材料的使用使螺栓连接组合结构更容易发生蠕变松弛，从而导致螺栓连接过早失效[8-9].
螺栓连接组合结构在实际使用中受到各种各样的环境影响，特别是在高温环境下，所用金属固件的材料特性和力学性能会随温度的变化而变化，从而影响螺栓连接组合结构性能. 实际中气缸盖螺栓所遭受的最高温度约为200～250 ℃，气缸盖所遭受的最高温度约为200～350 ℃，而发动机缸盖螺栓所采用的钢材料在400～450 ℃以上时才会发生蠕变，因此，在计算中可以不考虑气缸盖螺栓的蠕变，而气缸盖采用的铝合金材料的蠕变必须考虑 [10-13]. 本文主要研究250、300、350 ℃下由铝合金材料所制的被连接件的蠕变对螺纹副承载分布规律的影响. 研究弹性黏塑性对螺纹副承载的分布规律对设计高温环境用螺栓连接具有重大意义.
1. 螺栓连接组合结构
螺栓连接组合结构如图1所示，1号螺纹牙已在图中标明，螺纹牙序号依次往下递增，在各扣螺纹牙所受载荷中，1号螺纹牙所受的载荷最大，并且载荷主要集中在前三扣螺纹牙上；受材料和螺栓结构的影响，螺纹牙牙根处常常发生严重的应力集中，并且最大应力往往出现在1号螺纹牙牙根处[14-15].
2. 蠕变损伤模型和参数的确定
金属材料在高温条件下受到一定载荷，造成长时间的塑形变形现象称为金属蠕变. 金属材料蠕变一般可以分为3个阶段：第一阶段，蠕变速率很高，并且蠕变速率随着时间增加而减少；第二阶段，蠕变速率会保持在一个稳定的值，在较低温度情况下会持续很长一段时间，第二阶段很大比例上决定了蠕变的寿命期；第三阶段，蠕变速率急剧增加，直到材料断裂[16-17].
2.1 蠕变模型
本文主要针对蠕变的第一阶段和第二阶段进行研究，为了能够更好模拟金属材料蠕变的第一阶段和第二阶段，本文研究使用应用最广泛的Time-Hardening蠕变模型，如式（1）.
˙εc=Aσntm， (1) 式中：
˙εc 为等效蠕变应变率；σ 为等效偏应力；t为蠕变时间；A、n、m为蠕变试验材料常数；A、n均大于0，−1＜m＜0.对式（1）两边进行取对数可得到
ln˙εc=lnA+nlnσ+mlnt. (2) n跟蠕变第二阶段速率有关，通过蠕变试验可确定.
由于蠕变试验得到的是蠕变应变与时间和等效应力的关系，因此需对式（1）进行积分，如式（3）.
εc=Am+1σntm+1， (3) 式中：
εc 为试验得到的蠕变应变.利用式（3）对试验得到的蠕变应变曲线进行拟合即可得到A、m、n.
2.2 蠕变拉伸试验
本次采用单向加载试样的单轴蠕变试验，蠕变材料使用的是某发动机气缸盖用铝合金，试验试样制备与试验方法均按GB/T 2039—1997（金属拉伸蠕变及持久试验方法）进行，试样几何尺寸如图2（a）所示，实际试件如图2（b）所示.
为了探索铝合金在高温状态下的蠕变性能指标，试验温度设置为250、300、350 ℃. 在试验温度达到设定的温度后保温2 h，然后分别施加恒定的载荷至断裂或者达到200 h蠕变，实时记录蠕变应变数据. 图3为250、300、350 ℃下蠕变试验曲线与拟合曲线对比.
2.3 蠕变参数拟合结果
使用式（3）对蠕变试验得到的不同温度下的蠕变曲线进行拟合，得到不同温度下蠕变损伤公式的参数，见表1.
表 1 Time-hardening蠕变模型材料参数Table 1. Material parameters of time-hardening creep model温度/℃ A m n 250 1.935 × 10−9 −5.380 × 10−14 0.962 300 1.714 × 10−8 −2.617 × 10−15 0.034 350 3.884 × 10−6 −0.628 2.593 × 10−8 3. 螺栓连接组合有限元计算
3.1 有限元模型建立
根据Zhao等[18-19]对螺纹副承载分布进行的研究，考虑到螺栓连接组合结构的对称性，螺栓连接组合结构2D、3D模型仿真分析结果基本吻合，证明了2D轴对称模型可用于螺纹承载计算，因此本文采用M8的螺栓并将螺栓连接组合结构简化为2D轴对称模型，因主要对螺纹牙承载进行研究，故对螺牙部分进行网格细化，如图4.
3.2 材料特性
本文通过ABAQUS软件进行有限元分析，基于已建立好的螺栓连接组合结构模型分别考虑了材料线弹性、塑性、蠕变特性等因素对螺纹牙承载分布的影响. 由于铝合金材料蠕变特性受温度变化影响较大，所以在有限元计算过程中加入随温度变化的铝合金材料蠕变属性，可更为准确地模拟螺栓连接组合结构在不同温度下的承载情况.
螺栓采用钢制材料，弹性模量为210 GPa；泊松比为0.30；线膨胀系数为1.2 × 10−5 ℃−1. 被连接件采用铝合金材料，材料属性如表2. 根据胡昌明等[20]对45号钢在不同环境温度、应变率下的应力-应变关系研究，得到了一种适当的本构模型，根据该模型推算出钢的应力应变曲线，如图5（a），铝合金材料应力-应变曲线如图5（b）.
表 2 铝合金材料属性Table 2. Material properties of aluminum alloy温度/℃ 弹性模量/GPa 泊松比 线膨胀系数/（× 10−5 ℃−1） 常温 73 0.31 2.05 250 65 0.29 2.25 300 62 0.29 2.55 350 59 0.29 2.85 3.3 接触面设置
首先定义螺纹副接触属性（包括法向接触属性和切向摩擦属性），螺纹牙的上下接触面都设置接触，根据Housari等[21]研究螺纹和接触面摩擦系数对螺栓连接在横向载荷作用下松动的影响，将螺栓连接组合结构各接触面之间的摩擦系数设为0.15. 接触对选择刚度较大的面作为主面，刚度较小的面作为从面，并且都采用小滑移接触.
3.4 边界条件和预紧力施加
对螺栓轴线施加边界条件，约束轴线上所有节点横向的位移；对被连接件螺纹底部施加固定约束，约束其底部所有节点轴向位移. 螺栓轴向力分3步施加：在第一个分析步对螺栓施加10 N轴向力；第二个分析步对螺栓施加100 N轴向力；第三个分析步对螺栓施加9 700 N轴向力. 设置蠕变时长为60 h.
4. 有限元计算结果分析
4.1 应力、应变结果分析
常温下螺栓连接组合结构Mises应力云图如图6（a）所示. 由图6（a）可以看出：1） 弹性阶段螺栓第一扣螺纹牙上最大等效应力为771.7 MPa，第二扣螺纹牙上最大等效应力为619.5 MPa，第三扣螺纹牙上最大等效应力为484.7 MPa. 2） 塑性阶段螺栓第一扣螺纹牙上最大等效应力为647.9 MPa，第二扣螺纹牙上最大等效应力为575.9 MPa，第三扣螺纹牙上最大等效应力为502.1 MPa. 螺纹牙牙根处存在严重的应力集中，最大应力出现在第一扣螺纹牙牙根处. 由于应力分布存在不均匀性，导致每一扣螺牙承受载荷不同，载荷主要集中在前三扣螺牙上.
图6（b）为250 ℃下螺栓连接组合结构弹性、塑性、蠕变阶段的Mises应力云图. 由图6（b）可以看出：1） 弹性阶段最大等效应力值为764.0 MPa，塑性阶段最大等效应力值为647.5 MPa，蠕变阶段最大等效应力值为509.9 MPa，对比弹性阶段当材料处于塑性阶段、蠕变阶段时，螺栓连接组合结构的最大等效应力值有所减小. 2） 弹性阶段螺栓第一扣螺纹牙上最大等效应力为764.0 MPa，第二扣螺纹牙上最大等效应力为619.1 MPa，第三扣螺纹牙上最大等效应力为487.4 MPa. 塑性阶段螺栓前三扣螺纹牙上最大等效应力分别为647.5、576.0、503.0 MPa. 蠕变阶段螺栓前三扣螺纹牙上最大等效应力分别为509.9、455.3、401.1 MPa. 3） 3个阶段中最大等效应力值都出现在第一扣螺纹牙根处，并且塑性阶段和蠕变阶段前几扣螺纹牙根处应力集中程度有所降低. 由此说明材料的塑性和蠕变特性对螺纹连接部分螺栓的承载以及螺纹牙接触部分应力集中有轻微改善作用.
图7为250 ℃下螺栓连接组合结构应变云图.
图 7 250 ℃下螺栓连接组合结构应变云图Figure 7. Strain nephogram of bolted connection structure at 250 ℃从图7中可以看出：最大弹性应变为0.005208，最大等效塑性应变为0.027760，最大等效蠕变应变为0.001 598；弹性阶段，被连接件螺纹第一扣螺纹牙上最大弹性应变为0.005208，第二扣螺纹牙上最大弹性应变为0.003928，第三扣螺纹牙上最大弹性应变为0.003218；塑性阶段，被连接件螺纹第一扣螺纹牙上最大等效塑性应变为0.027764，第二扣螺纹牙上最大等效塑性应变为0.0141504，第三扣螺纹牙上最大等效塑性应变为0.007601；蠕变阶段，被连接件螺纹第一扣螺纹牙上最大等效蠕变应变为0.001598，第二扣螺纹牙上最大等效蠕变应变为0.001472，第三扣螺纹牙上最大等效蠕变应变为0.001347. 应变主要发生在前几扣螺纹牙根处，从而证明螺纹副的承载主要集中在前几扣螺牙上.
从图7（b）可以看出：由于钢制螺栓屈服应力较大，所以螺栓基本上不发生塑性应变，塑性应变常出现在被连接件螺纹前几扣螺牙牙根处，这对设计螺纹牙类型具有重要意义.
4.2 螺纹牙承载分布规律
将材料的线弹性、塑性、蠕变特性应用到不同温度下螺栓连接组合结构的有限元分析中，得到螺纹副在不同温度下的轴向承载规律，如图8所示. 结果表明，材料的变形程度是影响螺纹牙受力的主要因素.
同时从图8（a）可以看出：在常温条件下，弹性阶段前两扣螺纹牙承载比例分别为23.58%和20.89%，塑性阶段前两扣螺纹牙承载比例分别为21.24%和20.34%；对比弹性阶段，塑性阶段1号螺纹牙承载比例大幅减小，减少了2.34%，2号螺纹牙减少了0.55%.
从图8（b）、（c）、（d）还可以看出：在250 ℃条件下，对比弹性阶段，塑性阶段和蠕变阶段1号螺纹牙承载比例分别减少了2.20%和2.50%，2号螺纹牙分别减少了0.51%和0.85%；在300 ℃条件下，对比弹性阶段，塑性阶段和蠕变阶段1号螺纹牙承载比例分别减少了2.16%和2.09%，2号螺纹牙分别减少了0.48%和0.40%；在350 ℃条件下，对比弹性阶段，塑性阶段和蠕变阶段1号螺纹牙承载比例分别减少了2.08%和1.86%，2号螺纹牙分别减少了0.44%和0.21%；对比弹性阶段，在塑性阶段和蠕变阶段1号螺纹牙承载比例会大幅减小；2号螺纹牙承载比例也略微减小. 更多的载荷传递到后面各扣螺纹牙上，后4扣螺纹牙的承载比例有所提高，同时1～6号螺纹牙承载力减小的幅度趋于平缓. 由此可见，材料的塑性和蠕变特性使螺纹副承载分布更加均匀.
在统计分析推断中常用方差来观测变量值之间差异程度. 运用方差思想分析不同温度下螺纹牙承载比例.
各螺纹牙承载比例平均为
ˉx=N∑i=1xiN， (4) 式中：N为螺纹牙总数；i为螺纹牙序号；xi为第i号牙承载比例.
则方差为
S2=(ˉx−x1)2+(ˉx−x2)2+(ˉx−x3)2+⋯+(ˉx−xi)2N. (5) 引入极差公式
X=xmax−xmin 进行分析，其中：xmax为所有螺纹牙中最大承载比例；xmin为所有螺纹牙中最小承载比例. 将不同温度下的螺纹副承载代入计算，结果如表3.表 3 方差和极差分析结果Table 3. Results of variance and range analysis温度/℃ 阶段 方差 极差 常温 弹性 0.001 847 0.120 5 塑性 0.001 092 0.090 1 弹性 0.001 682 0.114 5 250 塑性 0.001 011 0.085 9 蠕变 0.000 740 0.070 3 弹性 0.001 625 0.112 2 300 塑性 0.000 981 0.084 1 蠕变 0.001 017 0.085 1 弹性 0.001 557 0.109 7 350 塑性 0.000 952 0.082 5 蠕变 0.001 053 0.085 7 通过表3可以看出：同一温度下弹性阶段、塑性阶段和蠕变阶段的方差和极差都在大幅减少，基本上都在0.001 2以下；弹性阶段方差较大，各温度下的方差都在0.015 0以上，说明各螺纹牙承载比例分布较分散，即数据上下波动较大，各螺纹牙承载分布不均匀；反之，塑性阶段和蠕变阶段方差较小，说明各螺纹牙承载比例较集中，即数据上下波动较小且极差较小，说明各螺纹牙承载比例数据离散程度较小，各螺纹牙承载分布更加均匀.
5. 结 论
1） 弹性阶段、塑性阶段和蠕变阶段螺纹副的承载都主要集中在前三扣，且1号螺纹牙占比最大. 弹性阶段螺纹副前三扣承载占比60%以上，1号螺牙占23%左右.
2） 材料的塑性和蠕变特性对螺纹连接部分螺栓的承载以及螺栓与螺母接触部分应力集中有轻微改善作用.
3） 对比弹性阶段，塑性阶段和蠕变阶段1号螺纹牙承载比例会大幅减小，更多的载荷传递到后面各扣螺纹牙上，后四扣螺纹牙的承载比例有所提高，同时1~6号螺纹牙承载比例减小的幅度趋于平缓.
4） 材料的蠕变特性对螺纹承载分布影响较大，能够使螺纹承载分布更加均匀.
致谢：汽车零部件先进制造技术教育部重点实验室开放课题（2019KLMT01）.
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图 5 扩展关节角度对工作空间精度的影响
Figure 5. Influence of extended joint angle on workspace precision
表 1 仿人机械臂关节限位
Table 1. Joint limit of humanoid robot arm
关节角度 最大值/（°） 最小值/（°） θ1 180 −90 θ2 10 −180 θ3 120 −90 θ4 130 −60 θ5 180 −180 θ6 80 −80 θ7 90 −90 
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表 2 仿人机械臂D-H参数
Table 2. D-H parameters for humanoid robot arm
i θi /（º） di /m ai /m αi / （º） 1 90 dbs 0 −90 2 0 0 0 90 3 0 dse 0 −90 4 0 0 0 90 5 0 dew 0 −90 6 −90 0 0 90 7 0 0 awt 0
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表 3 机械臂实际工作空间范围
Table 3. Actual workspace range of robot arm
m 轴向 最大值 最小值 x 0.63975 −0.63979 y 0.63982 −0.63978 z 0.76096 −0.31102
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表 4 初始点云数量对工作空间精度的影响
Table 4. Influence of initial point cloud quantity on workspace precision
Pinit/个 xmin/m xmax/m ymin/m ymax/m zmin/m zmax/m εa/% 5000 −0.63738 0.63639 −0.63458 0.63739 −0.29514 0.76061 1.20751 10000 −0.63909 0.63447 −0.63770 0.63850 −0.30532 0.76083 0.55259 50000 −0.63939 0.63772 −0.63644 0.63939 −0.30078 0.76069 0.71627 100000 −0.63960 0.63689 −0.63531 0.63619 −0.29769 0.76089 1.00622
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表 5 体素数量对工作空间精度的影响
Table 5. Influence of voxel quantity on workspace precision
各轴向体素数量/个 xmin/m xmax/m ymin/m ymax/m zmin/m zmax/m εa/% 6 −0.63730 0.63468 −0.63729 0.63618 −0.29272 0.76062 1.34452 10 −0.63939 0.63772 −0.63644 0.63939 −0.30078 0.76069 0.71627 14 −0.63781 0.63859 −0.63663 0.63872 −0.30624 0.76076 0.45310 18 −0.63839 0.63899 −0.63931 0.63895 −0.30600 0.76087 0.36249
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表 6 精度阈值对工作空间精度的影响
Table 6. Influence of precision threshold on workspace precision
Nε xmin/m xmax/m ymin/m ymax/m zmin/m zmax/m εa/% 300 −0.63789 0.63678 −0.63716 0.63912 −0.30574 0.76089 0.49774 600 −0.63839 0.63899 −0.63931 0.63895 −0.30600 0.76087 0.36249 900 −0.63864 0.63646 −0.63758 0.63900 −0.30816 0.76086 0.35013
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表 7 最大循环次数对工作空间精度的影响
Table 7. Influence of maximum cycle number on workspace precision
Cm/次 xmin/m xmax/m ymin/m ymax/m zmin/m zmax/m εa/% 5 −0.63839 0.63899 −0.63931 0.63895 −0.30600 0.76087 0.36249 8 −0.63940 0.63868 −0.63974 0.63907 −0.30554 0.76078 0.35615 16 −0.63945 0.63785 −0.63838 0.63973 −0.30664 0.76093 0.33245
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表 8 降密蒙特卡洛法中工作空间范围及其误差率
Table 8. Workspace range and error rate by density-reducing Monte Carlo method
项目 xmin/m xmax/m ymin/m ymax/m zmin/m zmax/m 极值 −0.63961 0.63937 −0.63900 0.63956 −0.31113 0.76091 误差率 0.00018 0.00038 −0.00078 0.00026 −0.00011 0.00005
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表 9 降密蒙特卡洛法与改进蒙特卡洛法对比
Table 9. Comparison between density-reducing Monte Carlo method and improved Monte Carlo method
方法 循环
次数/次总点云数/
（×105 个）εa/% 耗时/h 改进蒙特卡洛法 2 5.8 0.68532 4.591 4 9.3 0.55971 13.841 降密蒙特卡洛法 2 3.2 0.54679 0.997 4 3.3 0.44642 1.051
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