Calculation Method of Hertz Normal Contact Stiffness

索穹顶结构是由美国工程师Geiger^[1]提出的一种连续拉、间断压的柔性张力结构体系，具有极高的结构效率，目前已成功应用于众多大型体育场馆中^[2-4]. 索穹顶结构的施工张拉是其成型的关键所在，施工方法决定了索穹顶结构的成型模式及施工难度. 因此，探寻合适的施工方法，并对施工全过程进行数值模拟，以此得到每一施工步的控制指标，有着十分重要的科学意义^[5].

国内外学者对索穹顶结构的施工方法进行了大量的研究. 文献[6]提出一种由外至内逐圈伸长撑杆从而使结构成型的施工方案. 文献[7]分别对逐圈张拉斜索、仅张拉最外圈斜索、逐圈张拉环索、仅张拉最外圈环索等7种不同的施工张拉方法进行了全过程跟踪，得到各控制步骤的位移和内力. 内蒙古伊金霍洛旗索穹顶结构采用了地面拼装、整体吊升的方法使结构安装到位，然后通过一次张拉外斜索完成预应力的施加^[8-9]. 文献[10]分别对高空组装和整体吊装2种施工方法进行试验，验证了整体吊装施工方法的合理性. 文献[11]提出一种塔架提升索杆累积安装施工方法，通过设置中心提升塔架，有效减小了安装时脊索牵引的距离和难度，提高了施工过程的安全性. 在此基础上，文献[12]提出一种无支架的提升牵引施工技术，以外压环为支座，通过工装索对内拉环进行提升，减少了搭设支架的工序，提高了张拉效率^[13]. 成都凤凰山大开口索穹顶结构采用了交替提升内环桁架与张拉最外圈斜索的施工成型方法^[14]，完成了国内外首例索穹顶结构内环桁架的整体提升.

综上所述，近年来的研究与工程实践多采用交替提升内拉环与张拉最外圈斜索的施工方法，在牵引与张拉最外圈斜索的过程中，通过连接提升架或外压环的工装索对内拉环进行同步提升，以减小牵引与张拉的难度. 其中，内拉环每一步的提升高度，是该施工方法的关键控制指标，会直接影响施工过程中索杆的内力，但在相关文献中该控制指标多由人为给定，缺乏理论依据. 鉴于此，本文在交替提升内拉环与张拉最外圈斜索施工方法的基础上，对内拉环的逐级提升高度进行优化，采用优化后的提升高度对索穹顶结构进行施工仿真分析，并与仅张拉最外圈斜索的施工方法进行对比，以探讨该施工优化方法的合理性.

1.   施工过程模拟方法

施工张拉可使索穹顶结构产生预应力，通过应力刚化效应为结构提供刚度，以承受外荷载. 索穹顶结构从无应力状态张拉至初始平衡态的过程较复杂，往往伴随有刚体转动、结构的大位移及边界条件变化等，具有强几何非线性的特征，从而使其在施工过程中不断发生内力重分布，且结构无法一步张拉成型，通常需分级逐步张拉索段以施加预应力. 因此在计算中，可将整个施工张拉过程分解为多个施工步，在每个施工步中，按一定顺序缩短拉索以施加预应力，由此便可实现对施工全过程的模拟.

1.1   反分析法

本文采用反分析法对索穹顶结构的施工过程进行模拟，即从索穹顶结构的设计理想成型态出发，以张拉完成时的杆件内力作为初值，按与实际张拉顺序相反的顺序，依次放松拉索，从而确定各施工步的构件内力及节点位移. 上述方法的力学概念较清晰，与正分析法相比，计算更简便，在诸多理论研究及工程实践中均得到了验证^[15].

1.2   索长变化的模拟

可通过改变拉索长度来模拟施工张拉的过程，拉索长度的变化可采用施加单元温度作用的方法来实现^[15]. 通过在ANSYS软件中设置拉索的线膨胀系数，并对拉索施加单元温度作用（降温使拉索缩短），即可模拟拉索长度的变化. 拉索长度变化量Δl与温度变化量ΔT的关系为

式中：$\alpha$为线膨胀系数，$l$为拉索长度.

当确认拉索长度变化量$\Delta l$后，即可得到拉索的预应力P，如式（2）.

式中：$E$为拉索的弹性模量，$A$为拉索截面面积.

当采用反分析法对索穹顶结构进行施工仿真分析时，施加预应力的过程即伸长拉索的过程. 当拉索伸长至一定程度时发生松弛，则此时拉索伸长量，即为施工安装时拉索的预留张拉长度.

2.   交替提升与张拉的施工优化方法

索穹顶结构的施工步骤一般分为牵引阶段与张拉阶段： 牵引时一般在地面或高空进行构件的组装，并通过辅助索将最外圈脊索与斜索牵引至外压环；张拉阶段则是在牵引到位后，对索段进行张拉. 为更直接地对比不同施工方法的差异，在此暂不对结构的牵引阶段进行探讨，仅考虑张拉阶段的施工.

对于交替提升与张拉的施工方法，可通过分级交替提升内拉环与张拉最外圈斜索的工序，对结构施加预应力，并使其最终成型. 该方法相当于在结构的跨中设置临时支座，可减小施工时的结构跨度，从而减小索杆在施工过程中的内力^[16]. 其中，内拉环每一级的提升高度，是该施工方法的关键控制指标，会影响施工过程中索杆的内力，但在相关文献中该控制指标多由人为给定.

鉴于此，本文提出交替提升内拉环与张拉最外圈斜索的施工优化方法，对内拉环的逐级提升高度进行优化分析.

2.1   施工方法

交替提升内拉环与张拉最外圈斜索的施工过程如图1所示. 具体步骤如下：1） 当结构完成组装、最外圈斜索与脊索牵引至外压环、内拉环标高与设计标高间距为H时（图1（a），由提升装置将内拉环牵引到一定高度），进入交替提升与张拉（先提升）的施工阶段；2） 内拉环的提升分为3级，每一级的提升高度以${h_i}（{i = 1,2,3} ）$表示，且满足$H{\text{ = }}{h_1}{\text{ + }}{h_2}{\text{ + }}{h_3}$；3） 张拉过程同样分为3级，最外圈斜索的预留张拉长度由计算确定，在第三级张拉后达到设计长度.

图  1  交替提升与张拉施工过程

Figure  1.  Construction process of alternately lifting and tensioning

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采用反分析法模拟施工过程，以支座强迫位移模拟内拉环的提升，并通过温度作用模拟最外圈斜索的张拉.

2.2   优化方法

2.2.1   优化变量

以内拉环的逐级提升高度${h_i}$为优化变量，如式（3）所示，精度取0.01 m.

式中：$h_{{\mathrm{d}}}$为仅张拉最外圈斜索的施工方法中，未张拉最外圈斜索时内拉环的最大竖向位移.

2.2.2   约束条件

1） 张拉成型前内圈斜索松弛

仅当内拉环提升后的高度不低于${h_{\rm{d}}}$时，提升装置方可起到支承作用，此时内圈斜索应处于松弛状态. 因此，为确保提升装置在施工过程中持续起到支承作用，需使张拉成型前内圈斜索的内力保持为0.

2） 整体可行性

在施工过程中结构应满足索受拉、撑杆受压的整体可行性.

2.2.3   目标函数

索穹顶结构在预应力施加过程中，结构的应变能由张拉设备所提供，在满足上述约束条件下，结构的平均应变能越低，张拉设备所做的功越少，索杆内力变化越平稳，其经济效益也越好. 因此，在确定内拉环逐级提升高度时，以平均结构应变能最小为优化目标，即

式中：${F_k}$为第$k$类杆件施工过程中所有施工步的平均内力，$n$为结构的杆件类别数（同一圈同类杆件的编号数），${E_k}$、${A_k}$、${l_k}$分别为第$k$类杆件的弹性模量、截面面积及长度，${n_k}$为第$k$类杆件的同类杆件数量.

2.2.4   优化算法

在限定范围内，内拉环的逐级提升高度对索杆内力的影响是连续的，可采用序列二次规划算法进行搜索. 其相比于全局优化算法，可更快地找到最优解，且具有较好的稳定性. 下文采用该算法，对内拉环的逐级提升高度进行优化分析，其计算原理详见文献[17]，限于篇幅，在此不再赘述.

2.2.5   收敛条件

迭代过程中，以平均结构应变能为收敛控制参数，收敛准则如式（5）所示.

式中：${f_j}$为第$j$次迭代求得的平均结构应变能；$\varepsilon$为控制精度，取$1 \times {10^{ - 6}}$.

交替提升内拉环与张拉最外圈斜索的施工优化方法如图2所示.

图  2  施工优化流程

Figure  2.  Flowchart of construction optimization

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3.   算例验证

以复合型索穹顶结构为研究对象，采用交替提升内拉环与张拉最外圈斜索的施工优化方法，通过优化得到内拉环的逐级提升高度，以此进行施工仿真分析，与仅张拉最外圈斜索的施工方法进行对比，探讨本文提出的施工优化方法在索穹顶结构中的适用性.

3.1   分析模型

以某实际工程为背景，构建图3所示的复合型索穹顶结构，各编号对应的构件截面面积及初始预应力见表1 （$n$=18 类）. 结构跨度为100 m，矢高为7.5 m，设有内拉环及2道环索，周边固定铰支座. 拉索采用弹性模量为195 kN/mm²的平行钢丝束，撑杆及内拉环均采用Q355B钢材，弹性模量为206 kN/mm²，结构的初始预应力确定详见文献[16，18]，拉索采用LINK10单元模拟，撑杆与内拉环采用LINK8单元模拟，通过Isight软件调用ANSYS进行计算.

图  3  分析模型

Figure  3.  Analytical model

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表  1  构件截面面积及初始预应力

Table  1.  Section areas and initial prestresses of members

杆件 编号	截面面 积/mm2	初始预应 力/kN		杆件 编号	截面面 积/mm2	初始预应 力/kN
JS1	7260	1551.73		XS3B	9310	1636.83
JS2A	8370	521.39		HS1	10050	1294.26
JS2B	8370	1134.31		HS2	15080	3005.37
JS3A	9310	1829.04		SLH	9896	1551.55
JS3B	9310	1962.96		XLH	8262	171.97
XS1	7260	174.38		NCG	7383	−29.02
XS2A	8370	455.77		CG1	8262	−307.07
XS2B	8370	786.26		CG2A	9896	−509.03
XS3A	9310	1636.76		CG2B	9896	−509.05

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3.2   施工步骤

由计算可知，本算例最外圈斜索的预留张拉长度为索原长的3%. 将每一级的张拉长度定为最外圈斜索设计长度的1%，在第三级张拉后达到设计长度. 将交替提升内拉环与张拉最外圈斜索的施工方法分为7个施工步，记为方案一；仅张拉最外圈斜索的施工方法分为4个施工步，记为方案二. 由于方案二与方案一的张拉步相同，仅缺少提升内拉环的工序，为方便对比，将两者的张拉步列为同一施工步，并统一以7个施工步的形式来表示，如表2所示（两方案均以最外圈斜索XS3安装完毕为初始态）.

表  2  不同方案的施工步骤

Table  2.  Construction procedures of different schemes

施工 步骤	方案一 （交替提升与张拉）	方案二 （仅张拉最外圈斜索）
1	XS3 预留3% 张拉长度安装，内拉环与设计标高间距为h1+ h2 + h3	XS3 预留 3% 张拉长度安装
2	内拉环提升 h1
3	张拉 1% 索长	张拉 1% 索长
4	内拉环提升 h2
5	张拉 1% 索长	张拉 1% 索长
6	内拉环提升 h3，达到设计标高
7	XS3 张拉至设计长度	XS3 张拉至设计长度

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3.3   计算结果

查询计算结果，在仅张拉最外圈斜索的施工方案二中，当最外圈斜索未张拉时，自重作用下内拉环的最大竖向位移为 −6.97 m. 为约束优化搜索范围，限制施工方案一中的内拉环逐级提升高度不超过7 m，即$0<{h}_{i}<7\;\text{m }$.

经优化分析得到内拉环的逐级提升高度最优解为${h_1} = 1.43\;{\text{m}}$，${h_2} = 1.02\;{\text{m}}$，${h_3} = 0.40\;{\text{m}}$. 对于上述2种施工方案，各类索杆在施工过程中的内力与其成型态内力的最大比值μ及平均结构应变能对比如表3所示，施工过程中各圈撑杆上端节点的竖向位移（以结构成型态标高为基点）如图4所示，最外圈及中圈索杆（径向）内力分别如图5、 6所示.

表  3  不同方案的结果对比

Table  3.  Comparison of results between different schemes

方案	μ/%				平均结构 应变能/（kN·m）
	脊索	斜索	环索	撑杆
一	16.47	38.04	37.88	15.99	230.66
二	43.15	64.29	48.01	35.80	419.18

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图  4  施工过程中撑杆上端节点的竖向位移

Figure  4.  Vertical displacements of upper nodes on struts during construction

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图  5  施工过程中的最外圈索杆内力

Figure  5.  Internal forces of outermost ring members during construction

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图  6  施工过程中的中圈索杆内力

Figure  6.  Internal forces of middle ring members during construction

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表3张拉成型前内圈斜索XS1的内力均为0，且其余拉索的强度、撑杆的强度及稳定性验算，均满足规范要求.

由图4可见：方案一的内圈撑杆NCG上端节点（即上拉环）分3次逐级提升至设计标高，在交替提升内拉环与张拉最外圈斜索XS3的过程中，中圈撑杆CG1及最外圈撑杆CG2B上端节点高度随之上升；相比于方案二，由于设置提升装置，方案一在张拉阶段的起始高度较接近于设计标高，且张拉过程中结构的位形变化较平缓，相邻施工步的竖向位移差最大为1.43 m，远小于方案二的相应数值（3.04 m）.

由图5 、6可见：相比于方案二，方案一在施工过程中各类索杆的内力较小，且施工成型前其内力变化较平稳. 主要是由于该方案中内拉环受到提升作用，相当于在结构的跨中设置临时支座，减小了施工时的结构跨度，从而有效减小了施工过程中的索杆内力. 结合表3可见：方案一的各类索杆在施工过程中的内力与其成型态内力的最大比值为38.04%（斜索），小于方案二的相应数值（64.29%），且相比于方案二，降幅最大达61.83%（脊索），降幅明显，同时平均结构应变能亦较低，仅为方案二的55.03%，优化效果显著. 既方便施工，又确保结构安全，从而验证了本文提出的交替提升内拉环与张拉最外圈斜索的施工优化方法对索穹顶结构施工模拟的适用性，为类似结构的施工仿真分析提供了新思路.

4.   结　论

本文提出了交替提升内拉环与张拉最外圈斜索的施工优化方法，以施工过程中的平均结构应变能最小为优化目标，并以张拉成型前内圈斜索松弛及整体可行性为约束条件，对内拉环的逐级提升高度进行优化，在此基础上，以算例进行验证.

1） 该优化方法在索穹顶结构的施工模拟中具有较好的适用性，避免了施工成型前索杆内力的大幅波动，方便施工.

2） 与仅张拉最外圈斜索的施工方法相比，交替提升内拉环与张拉最外圈斜索的施工优化方法，可有效减小施工过程中的索杆内力，且结构位形变化较平缓，平均结构应变能较低，优化效果显著. 类似结构的工程实践中，建议采用交替提升内拉环与张拉最外圈斜索的施工方法，并优化确定内拉环的逐级提升高度.

致谢：广东省现代土木工程技术重点实验室课题（2021B1212040003）.