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高承载能力和低固有频率之间的矛盾是低频隔振技术发展的瓶颈[1-3]. 具有高静-低动刚度特性的非线性隔振系统可以很好地解决上述问题. Carrella等[4-5]将一个垂直弹簧与2个倾斜弹簧并联,当承载质量偏离平衡位置时,倾斜弹簧产生的负刚度与垂直弹簧的正刚度抵消,构建了具有高静-低动刚度特性的隔振系统;周加喜等[6]采用滚轮-凸轮结构设计了一种非线性隔振系统,当凸轮离开平衡位置,带有滚轮的水平弹簧与凸轮组成的机构在竖直方向产生负刚度,从而抵消竖直弹簧的正刚度. 上述方式往往存在布局、结构相对较大,一旦结构尺寸固定,起始隔振频率也就固定,无法对不同振源做出适应性调整的问题[7-10]. 除此之外,目前还有采用欧拉梁或气动弹簧产生负刚度来构建非线性隔振系统[7-8].
近年来,随着永磁材料性能的提升,采用永磁材料间的非线性力学特性构建具有高静-低动刚度特性的隔振系统,受到越来越多的重视. 李爽等[11]利用双环永磁体结构提出一种具有高静-低动刚度特性的隔振器,双环永磁体提供负刚度,与机械弹簧产生的正刚度抵消. Zhou等[12-13]使用2块电磁铁与一块永磁铁设计了一种磁力弹簧机构,通过调节电磁铁的电流大小与方向实现了磁力弹簧负刚度可调节.
借鉴上述方式的优点,本文提出一种利用永磁体结合空心电磁线圈,构建具有高静-低动刚度特性的非线性隔振系统,采用永磁体直接构建正负刚度,且提供轴向的承载力,通过改变电磁线圈中的电流大小、方向来改变结构中的电磁磁通,从而调节系统轴向刚度,以达到改变起始隔振频率的目的,且该系统结构更紧凑. 采用增量谐波平衡法求解该系统的位移传递率,考虑了传统方法分析二次非线性项较困难的问题[14],并分析了线圈电流变化对系统位移传递率的影响.
提出了一种具有高静-低动刚度特性的非线性隔振系统,由3个环形永磁体和2个空心线圈构成,如图1(a). 3个永磁体同轴排列,两端电磁线圈分别与对应永磁体同中心同轴布置,且两端永磁体和线圈通过连接件刚性连接在框架的特定位置,框架刚性连接在基座上. 中间永磁体固定在轴上,随轴进行轴向的往复移动,中间永磁体通过轴与质量块连接. 所有永磁体都是轴向磁化的,相邻的永磁体磁化方向相反. 2个线圈中的电流极性始终相同,永磁体的磁化方向和线圈中的电流极性如图1(b)所示,图中绿色箭头为永磁体磁化方向,红色箭头为电流极性.
永磁体嵌套在电磁线圈中,减小了整体结构的尺寸. 如图1(b)所示,底部磁环厚度大于上部和中部磁环,会在平衡位置产生一个向上的磁力差. 如图2所示,当隔振器承载与差值相等的隔振质量m时,中间磁环刚好回归平衡位置. 图中:F为轴向力,Δz为在平衡位置处的微小位移,z为轴向位移.
永磁环间磁力差与隔振质量的重力保持平衡,使中间磁环保持在平衡位置. 未加载电流时,依靠永磁环间非线性斥力实现被动隔振,此时系统刚度为永磁体间磁力刚度. 当线圈加载额定的正向激励电流时,线圈与磁环耦合将产生排斥的电磁力,与两端磁环产生的斥力叠加,施加在中间磁环上的合力和系统的等效刚度都将增加,如图3(a),图中绿色箭头为斥力,红色箭头为吸引力. 当线圈加载额定的反向激励电流时,线圈与磁环耦合将产生吸引的电磁力,与两端磁环产生的斥力抵消,施加在中间磁环上的合力和系统的等效刚度都将减小,如图3(b).
该隔振系统涉及的结构参数主要包括磁环的内(外)半径Rm(rm)和轴向厚度Lm,线圈的内(外)半径Rc(rc ,匝数决定)和轴向厚度Lc. 考虑到磁环需要连接轴,中间需要设计圆孔,永磁铁嵌套在线圈中,所以磁环内径rm,线圈内径rc值固定,不再多做讨论. 所以最终优化设计参数为Rm、Lm、Rc、Lc. 以Lm为基准定义优化变量, 磁环径厚比A=Rm/Lm,变化范围为[1.0,4.0]时,系统刚度变化曲线如图4.
系统刚度随着动磁环位移增加呈非线性规律增加,位移较小时,系统刚度较小;随着A的增大,系统的等效刚度整体增大,刚度变化平稳区域减小,非线性变化规律逐渐增强.
由工作原理可知,当通入负电流时可降低系统的等效刚度,所以,在线圈与磁环的厚度比变化和线圈径厚比变化的仿真时给定电流−8 A,观察系统刚度降低的变化.
线圈与磁环的厚度比B=Lc/Lm,变化范围为[1.0,4.0]. 线圈匝数不变,电流一定时,系统刚度的变化如图5所示. 起初系统起始刚度随着B增大而减小,但当B增加到一定值时,系统的起始刚度会增加. 然而,系统的刚度变化平稳区域却始终减小,非线性变化趋势增强, 且随着位移增加,B=3.5和B=4.0的最大刚度会超过B=1.0.
影响系统刚度变化的另一指标就是线圈的匝数,将匝数与线圈的半径关联,定义优化变量X=Rc/Lc,取值范围为[1.5,4.0],以线圈厚度Lc为基准,则X增加,线圈的匝数增加. 如图6所示,随着X增大,系统刚度降低,刚度变化平稳区域减小,随着X继续增大,X对系统刚度的影响逐渐减小,当X增加到一定值时,其对系统刚度影响作用趋于饱和.
通过仿真计算并结合工程实际情况,选取表1中的参数作为非线性隔振系统的结构尺寸.
参数 | 数值 |
磁环内径 | 5 |
磁环外径 | 12 |
磁环厚度 | 8(上、中),12(下) |
线圈内径 | 15 |
线圈外径 | 30 |
线圈厚度 | 16 |
工作气隙 Z | 15 |
线径 s | 1 |
根据分子电流法,假设永磁环由2组电流大小相等、方向相反的等效表面电流构成[15-16]. 图7(a)为一对永磁环的分子电流模型,图中:“1”和“2”分别为永磁环1的内外表面,“3”和“4”分别为永磁环2的内外表面;Lg为两磁环间的气隙;Lm1、Lm2分别为磁环1、2的厚度. R1、R2、R3、R4分别为面1、2、3、4的半径,h1、h2分别为面“2”“3”上分子电流环的轴向位置.
以磁环1的“2”面和磁环2的“3”面为例,计算其作用力F23. 图7(b)为“2”面上任意环电流对“3”面上任意环电流之间的作用力示意. 图中:P、Q为在“2”面和“3”面电流环上任意取的电流微元,θP、θQ分别为P、Q点在O-xy坐标平面上相对于x的夹角,i1、i2分别为“2”面、“3”面的等效电流强度,r为点P到点Q的标量距离.
根据毕奥-萨瓦尔-拉普拉斯定律可以得到载流环上点P在点Q处产生的磁感应强度为
dB=μ0i14πr3•[dl1×r]•dh1, | (1) |
式中:dl1、dh1为“2”面上假想电流微元的长度和厚度,μ0为真空磁导率,r为Q点相对于P点的矢量位置.
由几何关系可以推出
r=(−R2cosθP+R3cosθQ)i+(−R2sinθP+R3sinθQ)j+(Lm1−h1+Lg+h2)k, | (2) |
dl1=−R2sinθPdθPi+R2cosθPdθPj+0k, | (3) |
r=[(−R2cosθP+R3cosθQ)2+(−R2sinθP+R3sinθQ)2+(Lm1−h1+Lg+h2)2]1/2, | (4) |
式中:i、j、k分别为x轴、y轴、z轴的正向单位矢量.
对dB积分,可以得到磁环1环面“2”上的分子电流在点Q处的磁感应强度为
B=μ0i1R24π∫2π0∫Lm10(Lm1+Lg−h1+h2)cosθPr3i+(Lm1+Lg−h1+h2)sinθPr3j+R2−R3(sinθPsinθQ+cosθPcosθQ)r3kdθPdh1. | (5) |
由电磁场理论可知,点Q处电流微元所受到的作用力为
dF23=[dl2×B]i2dh2, | (6) |
式中:dl2=−R3sinθQdθQi+R3cosθQdθQj+0k,dl2、dh2分别为“3”面上假想电流微元的长度和厚度.
对dF23进行积分,得到“2”面和“3”面之间的磁力为
F23=μ0i1i2R2R34π∫2π0∫2π0∫Lm10∫Lm20cosβ(R2−R3cos(θP−θQ))r3i+sinβ(R2−R3cos(θP−θQ))r3j+(Lm1+Lg−h1+h2)cos(θP−θQ)r3kdθPdθQdh1dh2. | (7) |
该隔振系统只有轴向磁力起作用,所以式(7)中只需要保留k项,“2”面和“3”面之间的轴向磁力为
Fm23=μ0i1i2R2R34π∫2π0∫2π0∫Lm10∫Lm20(Lm1+Lg−h1+h2)cos(θP−θQ)r3dθPdθQdh1dh2. | (8) |
同理可分别推导出“1”“3”面、“1”“4”面和“2”“4”面之间的轴向磁力Fm13、Fm14、Fm24,可得两磁环间轴向磁力为
Fm1=Fm13+Fm14+Fm23+Fm24. | (9) |
同理可求另一侧永磁环间的轴向磁力Fm2,系统中永磁环产生的总轴向磁力为
Fm=Fm1+Fm2. | (10) |
将线圈等效为多层同向表面电流叠加,永磁环依然等效为2组电流大小相等但方向相反的等效表面电流.
如图8所示,为线圈-磁环分子电流模型示意,图中:“1”和“2”分别为磁环的内、外表面,h为磁环面“1”上分子电流环轴向位置,b、v分别为线圈上分子电流环的轴向与径向位置,Lcg为磁环与线圈间的气隙.
通过模型可知,线圈等效电流i3为
i3=NcILc(Rc−rc), | (11) |
式中:Nc为线圈匝数,I为实际通入电流.
同永磁环分子电流模型推导步骤相同,线圈与永磁环“1”面之间的轴向磁力为
Fc1=μ0i3i2rm4π∫2π0∫2π0∫Lc0∫Lm0∫Rcrcv(Lc+Lcg−b+h)cos(θP−θQ)rcm3dθPdθQdbdhdv, | (12) |
rcm=[(−vcosθP+R2cosθQ)2+(−vsinθP+R2sinθQ)2+(Lc−b+Lcg+h)2]1/2, | (13) |
式中:rcm为线圈上分子电流环与磁环上分子电流环的标量距离;db、dv分别为线圈上假想电流微元的厚度和径向厚度,dh为永磁体“1”面上假想电流微元的长度.
同理可求得线圈与面“2”之间的轴向磁力Fc2,因此,系统中单个线圈与永磁环间的轴向磁力为
Fc12=Fc1+Fc2. | (14) |
同理可得另一线圈对永磁环的轴向磁力Fc21,线圈对磁环的总轴向磁力为
Fc=Fc12+Fc21. | (15) |
通过3.1、3.2节的推导,系统的总轴向磁力为
Fz=Fm+Fc. | (16) |
为得到显式表达式用于刚度建模和动力学方程求解,需要对式(16)进行近似处理. 式(16)在零刚度点z0附近是连续的,可以对式(16)在z0进行关于轴向位移z的三阶泰勒展开,如式(17).
Fz=k0+k1(z−z0)+k2(z−z0)2+k3(z−z0)3+o(z), | (17) |
式中:k0=Fz|z=z0,k1=kz|z=z0,k2=12∂kz∂z|z=z0,k3=16∂2kz∂z2|z=z0,kz为轴向位移,o(z)是z大于3阶的高阶小项,在这里进行省略.
将理论解与−8 A电流时的三阶泰勒展开曲线求得的解进行比较,如图9所示,计算结果与三阶泰勒展开结果吻合较好,误差小于10%,可以基本满足隔振系统工程实际需求.
假设隔振系统承受额定隔振质量m时,支撑平台的静平衡位置为零刚度点z0. 此时,隔振器可以看作为单自由度系统,在平衡位置的静力学方程为
k0+k1(z−z0)+k2(z−z0)2+k3(z−z0)3−mg=0. | (18) |
为便于表达和计算,设置零刚度点z0为坐标原点0,式(18)可以简化为
k0+k1z+k2z2+k3z3−mg=0. | (19) |
当底座受到激励时,隔振系统的动力学简化模型,如图10所示,q为激励幅值,c为系统阻尼. 对其进行动力学分析,在激励频率ω的外部位移激励zq=qcos ωt作用下,隔振系统在基座处的动力学方程为
m¨z+c˙z+k0+k1z+k2z2+k3z3−mg=−m¨zq. | (20) |
由式(21)可知,系统为高阶非线性时变系统,通过四阶龙格库塔方法求得系统相平面图,如图11所示,随着时间t的不断增加,所有轨线最后都收敛于中间的一个极限环处,则该系统是稳定的.
在动力学求解中,以往的做法通常是省略k2项,只保留一次项和三次项系数,但本系统轴向力两侧不对称,二次项系数不能省略. 为更好地进行对比,引入一个线性弹簧刚度ks,所以线性弹簧的固有频率为ωn=√ks/m,将其引入到无量纲方程中. 因此,运动方程可以无量纲化为
ˆz″+2ζˆz′+ηˆz+αˆz2+γˆz3=β2cosβτ, | (21) |
式中:求导是对无量纲时间τ进行的,ˆz为无量纲相对位移幅值,ξ为无量纲阻尼比,β为无量纲频率比,η、α、γ为无量纲刚度系数.
ˆz=zq,ζ=c2mωn,β=ωωn,η=k1ks,α=k2qks,γ=k3q2ks, |
τ=ωnt.
通常谐波平衡法(HB)只考虑基波项进行求解,无法考虑二次非线性项,如果想要正确反映各刚度系数的影响,就需要取更多的谐波项,求解比较困难. 所以本文采用增量谐波平衡法(IHB)求解,考虑了二次和三次非线性项的影响[17-18].
设ˆz0、β0是式(21)的解,则其临近点可表示为ˆz=ˆz0+Δˆz,β=β0+Δβ,其中,Δˆz、Δβ为增量. 令βτ=ϕ,将ˆz、β代入式(21),并略去高阶小量后得到增量方程为
β20Δˆz″+2ξβ0Δˆz′+(η+2αˆz0+3γˆz20)Δˆz=R−(2β0ˆz″0+2ξˆz′0−2β0cosϕ)Δβ, | (22) |
式中:R=β20cosϕ−(β20ˆz″0+2ξβ0ˆz′0+ηˆz0+αˆz20+γˆz30).
设式(22)的解为
ˆz=N∑n=0(ancosnϕ+bnsinnϕ), | (23) |
Δˆz=N∑n=0(Δancosnϕ+Δbnsinnϕ). | (24) |
将式(23)、(24)代入式(22)中,求得以Δan、Δbn的代数方程组,取项数N=5,求得a1,…,an、b1,…,bn的值.
一般计算位移传递率 T的方法是忽略高次谐波项的影响,只取基波项,由质量位移幅值与基座位移幅值之比计算,存在一定误差. 在实际测量质量加速度时,波形含有高次谐波项,系统在13.5 Hz下采集的加速度图像如图12所示,所以,使用隔振质量位移响应对外部激励的均方根比来定义位移传递率.
通过4.1节求解,幅值ˆz可表示为
ˆz=5∑n=0(ancosnϕ+bnsinnϕ)=Ancos(βτ+θn), | (25) |
式中:An=√an2+bn2,θn=arctan(−bnan).
基座无量纲位移为ˆzq=cos βτ,所以质量的无量纲位移ˆzm为ˆz和ˆzq的和,如式(26).
ˆzm=ˆzq+ˆz=cosβτ+Ancos(βτ+θn). | (26) |
故位移传递率T表示为
T=RMS(ˆzm(t))RMS(ˆzq(t)). | (27) |
由于存在二次项与三次项等非线性项,该隔振系统表现出较为明显的非线性. 为了进一步分析该系统的隔振特性,通过数值仿真对比了不同电流下激励幅值q=1 mm与q=2 mm时系统的传递率曲线,如图13.
在数值仿真过程中隔振质量m=0.4 kg,磁环在闭合线圈中运动将会产生涡流阻尼. 但在本文中,动磁环的运动在线圈的外部,产生涡流阻力与主动控制的电磁力不在一个数量级,建模计算时将其忽略不计. 系统阻尼主要为直线轴承摩擦阻尼与空气阻尼构成,采用自由振动法,将系统阻尼估算为常数c.
由图13中可以看出:当q=1 mm时系统固有频率与最大传递率均随着负电流的增大而减小,整个系统表现出较强的线性特征;当q=2 mm时,系统固有频率与最大传递率同样随着电流的增大而减小,传递率曲线向右弯曲,表现出典型的渐硬弹簧特性.
搭建隔振系统实验测量系统,如图14所示. 隔振系统刚性垂直连接在VT6300-40型振动平台上,振动台的外部激励信号由VCS振动控制器和SA3K型功率放大器控制. 在振动平台和承载质量块上分别布置型号为1A213E和1A113E的加速度传感器.
加载不同电流信号,测量所设计的非线性隔振系统的位移传递率. 隔振质量为0.4 kg,加载正弦激励信号,基座位移幅值为1 mm,进行线性扫频实验. 忽略其他部分的影响,系统阻尼近似为常数.
隔振器位移传递率实验测量结果如图15所示. 当电磁线圈通入负电流时,可以降低起始隔振频率,改善隔振性能,且随着负电流的增大,隔振性能改善越明显;当通入−8 A电流时,系统固有频率从10.62 Hz降低到8.64 Hz,起始隔振频率从14.86 Hz降低到12.00 Hz,传递率峰值从18.57 dB降到16.81 dB. 在此区间内可以通过改变电流值实现对不同振源的适应,实验测量结果与计算分析结果基本吻合.
本文基于电磁线圈嵌套永磁体的结构,提出一种高静-低动刚度的新型可变刚度隔振系统. 通过数值仿真和实验分析了激励、电流等因素对系统位移传递率的影响规律.
由仿真得到了系统参数对其刚度特性的影响规律,确定了结构的尺寸参数. 运用分子电流法构建了系统的力学模型及动力学模型. 采用增量谐波平衡法求解位移传递率,考虑了传统方法分析二次非线性项影响较困难的问题.
搭建了实验测试系统,由结果可知,当通入−8 A电流时,系统固有频率相对于未通入电流降低18.64%,起始隔振频率降低19.25%,且位移传递率的峰值降低了1.76 dB,使隔振系统的隔振效果进一步提升.
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参数 | 数值 |
磁环内径 | 5 |
磁环外径 | 12 |
磁环厚度 | 8(上、中),12(下) |
线圈内径 | 15 |
线圈外径 | 30 |
线圈厚度 | 16 |
工作气隙 Z | 15 |
线径 s | 1 |